1

1.( 第一章 ) 单调增加 ( 或减少 ) 函数的几何解释 : 对应曲线是上升或下降的 .

§4.3 函数的单调性

单调性是函数的重要性态之一 , 也是本章主要

内容 . 它既决定着函数递增和递减的状况 , 又有助

于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描

绘函数的图形等 .

一 . 函数的单调性

2

2x1( )f x

2( )f xy= ƒ(x)

o xx

yy

o1x1x 2x

1( )f x2( )f x

y= ƒ(x)

用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法 . 但繁 ! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性 .

3

o x xo

y y

反之 , 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢 ?

( ) 0( ( ) 0f x f x 或 ）

从上图可看出 : 当曲线为上升 ( 或下降 ) 时 , 其上各点切线与 x 轴正向夹角为锐角 ( 或钝角 ), 则其切线斜率 tanα

是非负 ( 或非正 ) 的 .

根据导数的几何意义知函数 ƒ(x) 单调增加 ( 或减少 ) 时 , 总有

可见函数的单调性与导数的符号有关 .

4

定理 7.( 函数单调性的判定方法 ) 设 y =ƒ(x) 在区间 [a, b]

上连续 , 在区间 (a, b) 内可导 . 有( , ),x a b

(1) ( ) 0 ( ) ( , ) f x f x a b 若 ，则 在区间 内单调增加

(2) ( ) 0 ( ) ( , ) f x f x a b 若 ，则 在区间 内单调递减

即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调 .

5

1 2 1 2 , ( , ), ,x x a b x x

1 2 1 2( ) [ , ] ( , )f x x x x x,由已知 在 上连续在 可导

2 11 2

2 1

( ) ( )( ) ( ( , ) )

f x f xf x x

x x

其中

根据拉格朗日中值定理 , 有

2 1

2 1

( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0

f x f xf x f

x x

当 时，有 从而

2 1( ) ( )f x f x 1 2, ( ) , .x x f x a b, ( )故由 的任意性 在 内单增

证

6

2 1

2 1

( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0

f x f xf x f

x x

当 时，有 从而

1 2 , ( ) , .x x f x a b, ( )故由 的任意性 在 内单减

例 15 ( ) xf x e ( ) 0 ( , ) ( , ) .x xf x e e 在 内单增

2 1( ) ( ),f x f x

( ) xf x e ( ) 0 ( , ) ( , ) .x xf x e e 在 内单减

注 1. 研究函数的单调性 , 就是判断它在哪些区间内递增 ,哪些区间内递减 .由定理 1 对可导函数的单调性 ,可根据导数的正负情况予以确定 .

2. 定理 7 的结论对无穷区间也成立 .

7

o x

y3y x

3. 如果函数的导数仅在个别点处为 0, 而在其余的点处均满足定理 1, 则定理 1 仍成立 . 如

3 2

3

( ) ( ) 2 0( (0) 0)

( , ) .

y f x x f x x f

y x

有

但 在 增

4. 此定理可完善为充要条件 . 即若 ƒ(x) 在

(a, b) 内可导且单调增加 ( 或减少 ), 则 ƒ(x)

在 (a, b) 内必有( ) 0( ( ) 0).f x f x 或

5. 有些函数在它的定义区间上不是单调的 . 如2 0 , [0, )

( ) ( ) 20 , ( ,0)

xy f x x f x x

x

但它在部分区间上单调 , 那么怎么来求它的单调区间呢 ?

o x

2y xy

8

o x

y

y=|x|

的点 ( 单调区间分界点 ) 来划分函数的定义区间 , 就能保证函数在各个部分区间内保持固定符号 , 从而可得单调区间及函数的单调性 .

( ) 0 ( ) f x f x 的解及 不存在

6. 函数 y=|x|, x = 0 为其连续不可导点 . 但它在部分

区间上单调 , 那么又怎么来求它的单调区间呢 ?

结论 : 如果函数在定义区间上连续 , 除去有限个导数不存在的点外导数都存在且连续 , 那么只要用方程

9

确定某个函数 y=ƒ(x) 的单调性的一般步骤是 :

(1) 确定函数定义域 ;

(2) 求出 的点 , 以这些点为分界点划分定义域为多个子区间 ;

( ) 0 ( ) f x f x 及 不存在

(3) 确定 在各子区间内的符号 , 从而定出 ƒ(x) 在各子区间的单调性 .

( ) f x

10

例 16 求函数 的单调区间 .3 2( ) 2 9 12 3f x x x x

( , )

1 2 ( ) 0 1, 2f x x x 由 有

x 1 (1, 2) 2

+ – +ƒ(x)

( , 1) (2, )

( )f x

列表讨论如下 :

2( ) 6 8 12 6( 1)( 2)f x x x x x

( , ) ( ,1],[1,2],[2, ) 根 分 三 子

解 定义域为

故 是 ƒ(x) 的递增区间 . [1, 2] 是递减区间 . ( 端点可包括也可不包括 )

( ,1],[2, )

11

例 17 讨论函数 的单调性 .2

3( ) ( 1)f x x x

解 定义域为 ( , ) 1 2

3 31

3

2 5 2( ) ( 1)

33

xf x x x x

x

x 0

+ – +

ƒ(x)

( , 0) 2( , )5

( )f x

故在 内 ƒ(x) 是递增的 . 在 内递减 .2 ( ,0),( , )

5

2( , )5

列表讨论如下 :

2 0 ( ) .x f x而 是 的不可导点2 2

( , ) ( ,0 , 0, , , )5 5

这两个点将 分为三个子区间 ）（ ）（

2(0, )

5

1

2 ( ) 0

5f x x 由 有

2

5

12

例 18 证明不等式

二 . 函数单调性的应用

下面利用函数的单调性 , 来证明不等式和判断方程

的根的存在性及其个数 .

1. 证明不等式 : 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅

助函数 , 并讨论它在指定区间内的单调性 .

(1) 1 ( 0) (2) ln(1 ) ( 0)1

x xe x x x x x

x

(1) ( ) 1xf x e x 解 令 (0) 0, ( ) 1 0( 0)xf f x e x 而

( ) f x 单增 1.xe x 故 ( ) (0)( 0)f x f x 即

13

1(2) ( ) ln(1 )1

xf x x

x

解 令

1 1 2(0) 0, ( ) 0( 0)(1 )

xf f x x

x

而 ( ) f x 单增

1 1 ( ) (0)( 0)f x f x 即 ln(1 )1

xx

x

故

2 ( ) ln(1 )f x x x 令

2 2(0) 0, ( ) 0( 0)1

xf f x x

x

而 ( ) f x 单减

2 2 ( ) (0)( 0)f x f x 即 ln(1 )x x 故

2. 讨论方程根的问题 : 若 y = ƒ(x) 单调且变号 , 则方程 ƒ(x)

=

0 一定有根 , 而函数曲线与 x 轴的交点 , 确就是方程的根 .

14

例 19 设 ƒ(x) 在 内连续 , ƒ(a) < 0 当 x >a 时 , 有 ( 其中 k 为常数 ). 求证 : 在 内 , 方程 ƒ(x) = 0 有且仅有一个实根 .

[ , )a ( ) 0f x k ( )

( , )f a

a ak

o x

y y= ƒ(x)

a( ) 0f x k

[ , )a ( )

[ , ]f a

a ak

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

f a f a f af a f a f a a

k k k

( )f aa

k

证 因当 x >a 时 , 有 , 则 ƒ(x) 在内单调增加 .

在区间 上应用拉格朗日中值定理 , 得

, ( ) 0a f k 当 时( ) ( )

[ ] ( ) [ ] ( ) 0f a f a

f a f a k f ak k

( ) 0f a 而

由介值定理知方程 ƒ(x) = 0 在 ( )( , )

f aa a

k 内至少有一个实根 .

故结论得证 .

( )[ ] 0

f af a

k

15

例 20 证明方程 (1) 有且仅有一个正根 .

3 1 0x x

ln 1 (0, )x

xe

在(2) 内有两个实根 .

证 (1) 3( ) 1f x x x 设

2'( ) 3 1 0,f x x 函数单调増加

(0) 1, (1) 1f f 且

( ) 0 .f x 方程 有且仅有一个正根

(2) ( ) ln 1 x

f x xe

设1 1

'( ) 0,f x x ex e

则

'( ) 0, '( ) 0x e f x x e f x , , 且

31( ) 0, ( ) 0, ( ) 02

f f e f e 又

( ) 0 (0, ) .f x 方程 在 内有两个实根