المدربةالتجهيزية

الهندسة في اإلحداثية

السودانية الشهادة لطالب علمي الثالث الصف أدبي الثالث الصف الثانوي الثاني الصف

البحيري / فتحيأ إعداد

1

مقدمة رأسهم وعلى اإللكترونية المدرسة ألسرة موصول الشكر

رأسهم وعلى رونق مركز وألسرة األحمدي مكي األستاذ العمل هذا جعلهم على صافي ابراهيم محمد األستاذ ممكنا الكافية التمارين إشكالية ظلت . لقد للتنفيذ وقابال

الرياضيات مادة في المادة ومعلمي التالميذ يؤرق هاجسا ، سواء حد األمورعلى وأولياء ناحية من ألهميتها نظرا

شك ال . فمما ناحية من بها الوفاء واستحالة ولصعوبة ، الطالب أن فيه للموضوع استيعابه درجة كانت أيا

التمارين إلى دائم ظمأ حالة في يظل ، المحدد الرياضي نفس في ، باستمرار منها المزيد وإلى الموضوع هذا في

ال المادة معلمي على الواقعة الضغوط أن نجد الوقت ومتابعة منها الكافي القدر تالميذهم إعطاء من تمكنهم ال المدربة هذه أن التنويه عن . غني يجب كما لها حلولهم

األخرى المهمة المراجع وال المدرسي الكتاب محل تحل بال ولكنها المعلم أو األمر ولي أو الطالب يختارها قد التي المفاهيم لتركيز عنه غنى ال مكمال جزءا تمثل شك

هذا مع بالتعامل . ينصح باب كل في المطلوبة والمهارات جماعية [ أو حدة على طالب ]كل فردية بطريق المصنف

استنفاذ ينبغي األحوال كل . وفي مجموعات شكل في للحل اللجوء قبل المعين التمرين حل في المحاوالت كل

حل يتم أن . يستحسن المصنف نهاية في اإلرشادي . واإلصالح التعديل لتسهيل الرصاص بقلم التمارين

هو للتمرين اإلرشادي الحل يكون أن بالضرورة ليست العناصر على يحوي بالتأكيد ولكنه له النموذجي الحل

الخطوات بعض إغفال يتم . قد النموذجي للحل االساسية والجبرية الحسابية feed الراجعة . التغذية لوضوحها عمدا

back المعلمين من العمل هذا قراء بها يتفضل التي مطلوبة المهتمين من وغيرهم األمور وأولياء والطالب

البريد على وأجمل أكمل هو لما للوصول بإلحاح اإللكترونية المدرسة موقع وعبر والهاتف اإللكتروني

www.eschoolsudan.com الذي وهو السبيل قصد الله وعلى والسداد التوفيق ومنه االتكال عليه

البحيري فتحيfthibhiri@yahoo.comfathi@eschoolsudan.com

2

الـتمارين هي اإلحداثية ( الهندسة1

…………………………………………… ، ل المستقيم للخط اإلحداثي النظام ( في2

تعطى2= س ب ، 1أ= س النقطتين بين المسافة……………………………………= أب بالعالقة

، ل المستقيم للخط اإلحداثي النظام ( في3 بين المسافة تقسم التي جـ النقط إحداثي

2 : ن1ن بنسبة2= س ب ، 1أ= س النقطتين = جـ بالعالقة تعطى

……………............................... ، ل المستقيم للخط اإلحداثي النظام ( في4

بين المسافة تنصف التي جـ النقط إحداثي بالعالقة تعطى2= س ب 1أ= س النقطتين

.……………………………………………………= جـ هي ب ( ،1ص ،1)س النقطة هي أ كانت ( إذا5

المستقيمة القطعة طول ( فإن2ص ،2)س النقطة……………………………………= أب هي ب ( ،1ص ،1)س النقطة هي أ كانت ( إذا6

أب تنصيف نقطة إحداثيات ( فإن2ص ،2)س النقطة…………= ص ،…………= س هي

هي ب ( ،1ص ،1)س النقطة هي أ كانت ( إذا7 أب تقسيم نقطة إحداثيات ( فإن2ص ،2)س النقطة

هي 2 : ن1ن بنسبة الداخل من……………………………= ص………………= س

هي ب ( ،1ص ،1)س النقطة هي أ كانت ( إذا8 أب تقسيم نقطة إحداثيات ( فإن2ص ،2)س النقطة

هي 2 : ن1ن بنسبة الخارج من……………………= ص………………= س

هي المستقيم ميل ( زاوية9…………………………………………

3

مع هـ قدرها زاوية يصنع الذي المستقيم ( ميل10 م بالعالقة يعطى السينات لمحور الموجب االتجاه

=…………….. ( ،1ص ،1)س بالنقطتين المار المستقيم ( ميل11

..……………= م بالعالقة ( يعطى2ص ،2)س + ص + ب أس معادلته الذي المستقيم ( ميل12..……………= م بالعالقة يعطى = صفر جـ فقط وإذا إذا متوازيين المستقيمان ( يكون13

. ميالهما ……… كان إذا يتعامدان 2م ،1م ميالهما ( مستقيمان14

= ..………… .. اللذين المستقيمين بين هـ الزاوية ( ظل15

ظاهـ بالعالقة يعطى 2م ،1م ميالهما............................................. =

هي المستقيم الخط ( معادلة16.……………………………………

……………………………………………………………………

جزءا ويقطع م ميله الذي المستقيم ( معادلة17 هي الصادي المحور من جـ طوله

..................…………………………………… (1ص ،1)س بالنقطتين المار المستقيم ( معادلة18

( هي2ص ،2)س ،……………………………………………………………

…… بالنقطة ويمر م ميله الذي المستقيم ( معادلة19

( هي1ص ،1)س……………………………………………………………

……… المحور من يقطع الذي المستقيم ( معادلة20

جزءا الصادي المحور ومن أ طوله جزءا السني……………………………… هي ب طوله

4

عن العمودي بعده الذي المستقيم ( معادلة21 هـ قدرها زاوية العمودي هذا ويصنع ر األصل نقطة

… هي السينات لمحور الموجب االتجاه مع..............................................................

.......... + أس المستقيم ( عن1ص ،1)س النقطة ( بعد22 يساوي = صفر + جـ ص ب

.............................................................. ...

( امأل الجدول التالي 23 ميل الميل

مستقيميوازيه

المعاد لة

معادلة مستقيميوازيه

المحور السيني

م= ...

....=.م= .....

....=....

المحور الصادي

م= ...

....=.م= .....

....=....

........... األصل بنقطة يمر مستقيم معادلة + ...........= صفر

،2= ) ب ( ،1 ،6= ) - أ حيث أب طول ( جد247.)

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

ب ( ،3 ،7= ) جـ حيث د و جـ بين المسافة ( جد25( =2، -9.)

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

5

حيث األضالع متساوي جـ أب المثلث أن ( برهن26 (2+3 3 ،4= ) جـ ( ،7،2= ) ب ( ،2 ،1= ) أ[ جـ= أجـ أب=ب أن : اثبت ارشاد]

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

،8= ) أ حيث أضالع متوازي د جـ أب أن ( أثبت27 (.1،5= ) د ( ،2،4= ) (،جـ9،1= ) (،ب2

..............................................................

....................................................................................

استقامة على تقع جـ ، ب أ، النقاط أن ( أثبت28(. 11 ،3) جـ ( ،9،2= ) ب ( ،7،1= ) أ حيث واحدة

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

= أ حيث الزاوية قائم جـ ب أ المثلث أن ( أثبت29 : اثبت ارشاد(. ]2،4) جـ ( ،2،1= ) ب ( ،6،1)

[2 = )أجـ(2جـ( + )ب2أن)أب(..........................................................................................................................................................................................

................................. األجزاء نقاط مجموعات المجموعات بلغة اكتب

اإلحداثي المستوى من التالية = السيني ( المحور30

................................................. ( المحورالصادي=31

..................................................

6

= األول ( الربع32....................................................

= الثاني ( الربع33....................................................

= الثالث ( الربع34....................................................

= الرابع ( الربع35...................................................

= األعلى ( النصف36.................................................

األسفل ( النصف37=...................................................

= األيمن ( النصف38.................................................

األيسر= ( النصف39..................................................

األصل ( نقطة40=.....................................................

100= 2+ ص 2س ( الدائرة41.......................................

100= 2+ ص 2س الدائرة ( داخل42..................................

100= 2+ ص 2س الدائرة (خارج43.................................

= السيني للمحور السالب ( الجزء44..................................

= السيني للمحور ( الجزءالموجب45..................................

= الصادي للمحور السالب ( الجزء46..................................

للمحور الموجب ( الجزء47.................................الصادي=

7

12= ص3+ س المستقيم ( نقاط48............................... =.

= ص )فوق( المستقيم أعلى ( الواقعة494............................

= س المستقيم يسار الواقعة ( النقاط503.............................

المحصور المستطيل داخل الواقعة ( النقاط51ص= و8س= والمستقيمين المحورين بين

2......................................... 11،3= ) أ حيث أب تنصيف نقطة إحداثيات ( جد52 (7 ،5= ) ب ( ،

..............................................................

....................................................................................

،8= )- أ حيث أب تنصيف نقطة إحداثيات ( جد53 (7 ،2= ) ب ( ،15

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

إحداثيات كانت إذا أ النقطة إحداثيات ( جد54 (7 ،2= ) ب ( وكانت2 ،5) هي أب تنصيف

..............................................................

....................................................................................

.............................................................. ...........

أضالع متوازي د جـ أب كان إذا د إحداثيات ( جد55صفر( ،1= ) (،جـ7،7ب=) (،3،12أ=) وكانت

..............................................................

..............................................................

....................................... ......................

8

..............................................................

......................................................................................................................

المتوسطة المستقيمات تالقى نقطة ( جد56 (6 ،10) (،جـ1،1) (،4،2أ) للمثلث

..............................................................

..............................................................

....................................... ......................

...........................................................................................................

2:3 بنسبة الداخل من أب تقسيم نقطة ( جد57(1،8= ) ب (،11،3= ) أ حيث

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

.............................................................. .......................................................

1:5 بنسبة الداخل من أب تقسيم نقطة ( جد58(13،8=) (،ب1 ،2= ) أ حيث

..............................................................

....................................................................................

..............................................................

....................................................................................

الخارج ( من1،9ب) ( و7،3أ) تقسيم نقطة ( جد59 =1:3 بنسبة

..............................................................

....................................................................................

9

.........................................................................

= ب ( ،5،2= ) - أ حيث أب المستقيم ميل ( جد60(1،1)

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

الموجب االتجاه مع يصنع مستقيم ميل ( جد61 45زاوية لمحورالسينات

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

ب و أ بالنقطتين المار المستقيم أن ( أثبت62 الذي المستقيم ( يعامد2،5= ) ب ( ،4،1= ) أ حيث

أ النقطة عند0 = 2- ص2- س معادلته..........................................................................................................................................................................................

................................. السيني المحور يعامد مستقيم ميل ( جد63

( الصادي المحور )يوازي................................................................................................................................................................... ....................................................................................

............................................. - س هـ المستقيمان تجعل التي هـ قيمة ( جد64 = صفر7+ ص5- س4 و = صفر1- ص3

................................................. متعامدين..............................................................

10

13

..............................................................

.......................................................................................................................

الذين المستقيمين بين الحادة الزاوية ( جد65 3 و ميالهما

.............................................................. ...........

..............................................................

..............................................................

.............................................................. معادلة ( جد66 .................................

( 3،7ب) ( ،5،2) أ بالنقطتين المار المستقيم..........................................................................................................................................................................................

................................. يمربنقطةاألصل ( جدمعادلةمستقيم67 مع صانعا

2 1-ظا زاوية س محور............................................................................................................................

3ميله مستقيم معادلة ( جد68...................... 5- طوله جزء المحورالصادي من ويقطع

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

المستقيم على عمودي مستقيم معادلة ( جد69 المحور من ويقطع0 =2ص-5س+4 معادلته الذي

الصادي 7 طوله جزءا..........................................................................................................................................................................................

1ل ( المستقيم70 .................................

11

أ قيمة جد ، 0=11+ ص – : أس2ل ويعامد4 ميله الصادي المحور من المقطوع الجزء وطول

.2ل بواسطة..........................................................................................................................................................................................

................................. السيني المحور من يقطع مستقيم معادلة ( جد71

.7 طوله جزءا الصادي المحور ومن4 طوله جزءا عليه عمودي مستقيم وميل ميله جد

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

في = صفر42- ص7س+ 6 المعادلة ( ضع72 الجزءين طولي جد ثم ومن المقطعين صورة

المستقيم هذا بواسطة المحورين من المقطوعين............................................................................................................................

...................... صورة في = صفر3- س+ ص3 المعادلة ( ضع73

المقطوعين الجزءين طولي جد ثم ومن المقطعينالمستقيم هذا بواسطة المحورين من

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

صورة في = صفر13- س- ص المعادلة ( ضع71 المقطوعين الجزءين طولي جد ثم ومن المقطعين

المستقيم هذا بواسطة المحورين من..........................................................................................................................................................................................

12

معادلة ( جد74 ................................. األصل نقطة عن منه العمودي يبعد الذي المستقيم

12/5 ظلها زاوية العمودي هذا ويصنع وحدات3................................................................................................................ .........................................................................

.................................. منه العمودي يبعد الذي المستقيم معادلة ( جد75 العمودي هذا ويصنع وحدات5 األصل نقطة عن

درجة60 زاوية..........................................................................................................................................................................................

................................. الصورة في = صفر8 – + ص س المعادلة ( ضع76

نقطة من النازل العمود طول جد ثم ومن العموديةالعمود ميل وزاوية المستقيم هذا على األصل

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

الصورة في6+ س3= ص المعادلة ضع(77 نقطة من النازل العمود طول جد ثم العمودية

العمود ميل وزاوية المستقيم هذا على األصل..........................................................................................................................................................................................

................................. (26= ص12+ س5لـ) العمودي البعد جد (78 األصل نقطة عن

..............................................................

.................................................. ...........

13

................................................................................................

المستقيم ( على0 ،4)- من العمود جدطول (79 = صفر7ص+4س+3

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

س المتوازيين المستقيمين بين المسافة جد (80 = صفر11- ص6س+3 و =صفر14- ص2+

..............................................................

..............................................................

...............................................................................................

1 = 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل ( إذاكان81=.....2ل ميل فإن 0 = 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل ( إذاكان82

=.....2ل ميل فإن ∞ =1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل ( إذاكان83

=.....2ل ميل فإن 2 = 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل ( إذاكان84

=.....2ل ميل فإن 10 = - 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل ( إذاكان85

=.....2ل ميل فإن 0.25=1ل ميل وكان متعامدين 2،ل 1ل ( إذاكان86

=.....2ل ميل فإن 0.8 = 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل ( إذاكان87

=.....2ل ميل فإن[ اعتيادي كسر صورة إلى العشري الكسر ] حول

،-3أ) المثلث متوسطات تقاطع نقطة ( جد88( 10،9) (،ج7،1)- (،ب1

14

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

مع درجة45 زاوية يصنع مستقيم ميل ( جد89 3- ميله الذي المستقيم

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

كان إذا المستقيم للخط اإلحداثي النظام ( في90 هي جـ ،8 يساوي ب وإحداثي4- يساوي أ إحداثييساوي جـ إحداثي إذن ، أب منتصف

..............................................................

.................................................. ..................................

.........................................................................

( موازيا3)صفر،- بـ مار معادلةمستقيم ( ما910س+ ص= المستقيم

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

(1+ )هـ يساوي ما مستقيم ميل كان ( إذا92 المستقيم هذا وكان س6= ص2 للمستقيم موازيا

هـ قيمة فما ،2+............................................................................................................................

......................

15

.........................................................................

تقسم التي الثالث النقاط إحداثيات ( جد93 حيث متساوية قطع4 إلى أب المستقيمة القطعة

(1 ،1) ب ( ،7- ،5) أ............................................................................................................................

....................................................................................

........... نقطة عن يبعد الذي المستقيم معادلة ( اكتب94

زاوية إليه منها العمودي ويصنع واحدة وحدة األصل السينات لمحور الموجب االتجاه مع0.75 ظلها

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

ج ، ب أ، نقط ثالث أن الثبات طريقتان ( هناك95 وضحهما ، واحدة استقامة على تقع

.............................................................

................................................. ...........

.................................................................................................

علمت إذا مستقيم ميل إيجاد يمكنك ( كيف96................... معادلته

علمت إذا مستقيم معادلة إيجاد يمكنك ( كيف97 بها يمر ونقطة ميله

.........................................................................

( هات98 األصل بنقطة يمر مستقيم لمعادلة مثاال......................

16

( هات99 المحور يوازي مستقيم لمعادلة مثاال............. السيني

( هات100 المحور يوازي مستقيم لمعادلة مثاال للمستوى األعلى النصف في ويقع السيني

.............................................. اإلحداثي ( هات101 المحور يوازي مستقيم لمعادلة مثاال

للمستوى األسفل النصف في ويقع السيني.............................................. اإلحداثي

( هات102 يوازي مستقيم لمعادلة مثاال للمستوى األيمن النصف في ويقع المحورالصادي

....................................... اإلحداثي ( هات103 المحور يوازي مستقيم لمعادلة مثاال

للمستوى األسفل النصف في ويقع الصادي...................................... اإلحداثي

من جزءا ويقطع ب ميله مستقيم ( جدمعادلة104 ب طوله ص محور

..............................................................

....................................................................................

المحور من يقطع الذي المستقيم معادلة ( جد105 جزءا الصادي المحور ومن ب طوله جزءا السيني

ب طوله............................................................................................................................

...................... المار المستقيم معادلة أن على ( برهن106

– ص + ب أس أ( هي ب،2) أ( ،2 ، ) ب بالنقطتين = صفر أب3

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

17

، ) ب الماربـ المستقيم معادلة أن على ( برهن107 س = ب ص هي ب ميله ( والذي2ب

..............................................................

....................................................................................

.........................................................................

=2أ2- أص4+ أس3لـ) البعدالعمودي أن ( أثبت108 )أ،أ( = أ ( عن0

..............................................................

...................................................................................

.........................................................................

المستقيمات بين المحصور المثلث أن ( أثبت109 ومتساوي الزاوية قائم0.5 ،2- ،3 أميالها التي

الساقين............................................................................................................................

..................................................................................................................................................

......................

وتوفيقه الله بحمد تم

18

الحلول للهندسة الجبري التحليل هي اإلحداثية ( الهندسة1

المستوية ، ل المستقيم للخط اإلحداثي النظام ( في2

تعطى2= س ب ، 1أ= س النقطتين بين المسافة│1- س2س│ = │ 2- س1س│= أب بالعالقة

، ل المستقيم للخط اإلحداثي النظام ( في3 بين المسافة تقسم التي جـ النقط إحداثي

2 : ن1ن بنسبة2= س ب 1أ= س النقطتين= جـ بالعالقة تعطى

، ل المستقيم للخط اإلحداثي النظام ( في4 بين المسافة تنصف التي جـ النقط إحداثي

جـ بالعالقة تعطى2= س ب 1أ= س النقطتين = هي ب ( ،1ص ،1)س النقطة هي أ كانت ( إذا5

القطعة طول ( فإن2ص ،2)س النقطة2(1- ص2 + )ص2(1- س2المستقيمةأب= )س

هي ب ( ،1ص ،1)س النقطة هي أ كانت ( إذا6 أب تنصيف نقطة إحداثيات ( فإن2ص ،2)س النقطة

= = ص س هي هي ب ( ،1ص ،1)س النقطة هي أ كانت ( إذا7

أب تقسيم نقطة إحداثيات ( فإن2ص ،2)س النقطة هي 2 : ن1ن بنسبة الداخل من

= ص = س هي ب ( ،1ص ،1)س النقطة هي أ كانت ( إذا8

أب تقسيم نقطة إحداثيات ( فإن2ص ،2)س النقطة هي 2 : ن1ن بنسبة الخارج من

= ص= س يصنعها التي الزاوية هي المستقيم ميل ( زاوية9

السينات لمحور الموجب االتجاه مع محور اتجاه مع هـ زاوية يصنع مستقيم ( ميل10ظاهـ= الموجب س

19

1س2ن+ 2س1ن

2ن + 1ن

س+ 1س2

2

س+ 1س2

2

2ص+ 1ص

2

1س2ن+ 2س1ن

2ن + 1ن

1ص2ن+ 2ص1ن

2ن + 1ن

1س2ن - 2س1ن

2ن - 1ن1ص2ن - 2ص1ن

2ن - 1ن

( ،1ص ،1)س بالنقطتين المار المستقيم ( ميل11= م بالعالقة ( يعطى2ص ،2)س + ص + ب أس معادلته الذي المستقيم ( ميل12= م بالعالقة يعطى = صفر جـ فقط وإذا إذا متوازيين المستقيمان ( يكون13

. ميالهما تساوى إذا متعامدان 2م ،1م الميالهما ( المستقيمان14

1= - 2 م1م كان إذا فقط اللذين المستقيمين بين هـ الزاوية ( ظل15

= ± ظاهـ بالعالقة يعطى 2م ،1م ميالهما من )معادلة عالقة هي المستقيم الخط ( معادلة16

لكل صحيحة ص ، س المتغيرين (في األولى الدرجة المستقيم الخط على الواقعة النقاط

جزءا ويقطع م ميله الذي المستقيم ( معادلة17 + س = م ص هي الصادي المحور من جـ طوله

.. جـ (1ص ،1)س بالنقطتين المار المستقيم ( معادلة18

( هي2ص ،2)س ، =

بالنقطة ويمر م ميله الذي المستقيم ( معادلة19 ( هي1ص ،1)س

..(1س – )س = م1ص – ص المحور من يقطع الذي المستقيم ( معادلة20

جزءا الصادي المحور ومن أ طوله جزءا السني1+ = هي ب طوله

عن العمودي بعده الذي المستقيم ( معادلة21 مع هـ زاوية العمودي هذا ويصنع ر األصل نقطة

هي السينات لمحور الموجب االتجاه.. = ر جاهـ +ص جتاهـ س

+ أس المستقيم ( عن1ص ،1)س النقطة ( بعد22يساوي = صفر + جـ ص ب

التالي الجدول ( امأل23

20

1ص - 2ص

1س - 2سأ - ب

1ص - 2ص

1س - 2س

1 م – 2م

م1م + 12

ص – ص1

س -

ص – 2ص1

س - 2س

سأ

بص

ص+ 1 أس │ │ جـ+ 1ب2ب + 2أ

ميل الميل مستقيم

يوازيه

المعا دلة

معادلة مستقيم

يوازيه المحور السيني

م=صفر

ص=صفرم= 0

ص= ثابت

المحور الصادي

س=∞م= ∞م=0

س= ثابت

=ص + ب س أ األصل بنقطة يمر مستقيم معادلةصفر

( ،ب)1 ،6أ) - المستقيمة القطعة طول ( جد242، 7.)

=100 = 64 + 36 = 2(6+2+ )2(1-7= ) أب وحدات10(.9- ،2) د ( و3 ،7) جـ بين المسافة ( جد25 =169 = 144 + 25 = 2(9+3+ )2(2-7= ) د جـ وحدة13 حيث األضالع متساوي جـ أب المثلث أن ( برهن26

ارشاد] ( 2+3 3 ،4= ) جـ ( ،7،2= ) ب (،1،2= ) أ[ = أجـ جـ = ب أب أن : اثبت

وحدات6 = 36 = 2(2-2+ )2(1-7= ) أب 6 = 36 = 27+9 = 2(2-3 3-2+ )2(4-1= ) أجـ

وحدات =36 = 27+9 = 2(2-3 3-2+ )2(4-7= ) جـ ب وحدات6

متساوي مثلث جـ ب أ إذن جـ = ب جـ = أ أب إذن األضالع

،8= ) أ حيث أضالع متوازي د جـ أب أن ( أثبت27 (.5،-11= ) د ( ،2،4= ) (،جـ9،1= ) (،ب2

=2×49 = 49 + 49 = 2(9-2+ )2(1-8= ) أب وحدة2 7 وحدة58 = 49+9 = 2(2-9+ )2(4-1= ) جـ ب

21

2×49 = 49 + 949 = 2(2-5+ )-2(4-11= ) د جـ وحدة2 7= وحدة58 = 49+9 = 2(5+2+ )2(11-8= ) أد

استقامة على تقع جـ ، ب أ، النقاط أن ( أثبت28(.11 ،3) جـ ( ،9،2= ) ب ( ،7،1= ) أ حيث واحدة

وحدة5 = 4 + 1 = 2(9-7+ )2(2-1= ) أب وحدة5= 4+1 = 2(11-9+ )2(3-2= ) جـ ب

2 =20 = 16 + 4 = 2(11-7+ )2(3-1= ) أجـ وحدة5

= أجـ جـ + ب أب إذن = أ حيث الزاوية قائم جـ ب أ المثلث أن ( أثبت29

: ارشاد(. ]2،4) جـ ( ،2،1= ) ب ( ،6،1)[2 = )أجـ(2جـ( + )ب2أن)أب( اثبت 16 = 16+ = صفر2(2-6+ )2(1-1 = )2)أب(

9= + صفر9 = 2(2-2+ )2(4-1 = )2جـ( )ب 25 = 16 + 9 = 2(2-6+ )2(4-1 = )2)أجـ(

جـ ب أ مثلث إذن2 = )أجـ(2جـ( + )ب2إذن)أب( ب في الزاوية قائم التالية النقاط مجموعات المجموعات بلغة اكتب

اإلحداثي المستوى من = صفر ( : ص ص ، = } )س السيني ( المحور30}

{ = صفر ( : س ص ، ( المحورالصادي= } )س31 ، < صفر ( : س ص ، = } )س األول ( الربع32{ < صفر ص ، > صفر ( : س ص ، = } )س الثاني ( الربع33{ < صفر ص ، > صفر ( : س ص ، = } )س الثالث ( الربع34{ > صفر ص ، < صفر ( : س ص ، = } )س الرابع ( الربع35{ > صفر ص < صفر ( : ص ص ، = } )س األعلى ( النصف36}

22

> صفر ( : ص ص ، =} )س األسفل ( النصف37}

< صفر ( : س ص ، } )س.= األيمن ( النصف38}

{ > صفر ( : س ص ، األيسر= } )س ( النصف39 ، = صفر ( : س ص ، =} )س األصل ( نقطة40{ = صفر ص ( : ص ، (=} )س100= 2+ ص 2( الدائرة)س41{100= 2+ ص 2س =2+ ص 2)س الدائرة ( داخل42

{100>2+ص2(=} )س،ص(:س100=2+ ص 2)س الدائرة (خارج43

{100<2+ص2(=} )س،ص(:س100 = = } )س،ص( : ص س لمحور السالب ( الجزء44

صفر،س> صفر{ = = } )س،ص( : ص س لمحور ( الجزءالموجب45

صفر،س< صفر{ = = } )س،ص( : س ص لمحور السالب ( الجزء46

صفر،ص> صفر{ = =} )س،ص( : س ص لمحور الموجب ( الجزء47

صفر،ص< صفر{ = ص3+ المستقيم)س ( نقاط48{12= ص3+ } )س،ص( : س=(12 (= }4= )ص المستقيم أعلى الواقعة ( النقاط49

{4< )س،ص( : ص ( = }3= )س يسارالمستقيم الواقعة ( النقاط50

{3> )س،ص( : س المحصوربين المستطيل الواقعةداخل ( النقاط51

2ص= و8س= والمستقيمين المحورين {2> > ص صفر ،8> > س } )س،ص( : صفر

11،3= ) أ حيث أب تنصيف نقطة إحداثيات ( جد52 (7 ،5= ) ب ( ،

4= = = س

23

س+ 1س2

2

3 + 5 2

9= ص ،4= ) التنصيف نقطة إذن

9) ،8= )- أ حيث أب تنصيف نقطة إحداثيات ( جد53 (2،7= ) (،ب15

3= = = - س 11= = = ص

،3= )- التنصيف نقطة إذن 11) إحداثيات كانت إذا أ النقطة إحداثيات ( جد54

(7 ،2= ) ب ( وكانت2 ،5) هي أب تنصيف 2+1 = س10 = إذن5 = إذن س 8= 1س إذن

(3- ،8) النقطة هي أ إذن3 = -1ص وبالمثلأ=) وكانت أضالع متوازي د جـ أب كان إذا د ( جد55

صفر( ،1= ) (،جـ7،7ب=) (،3،12 م كانت فإذا البعض بعضها ينصف المتوازي أقطارفإن القطرين تالقي نقطة

+س1س = إذن م = وأيضا م 4+س2= س3

3 = -7-4= 4س إذن4+س7=1+3 إذن (5 ،3)- النقطة هي أ إذن5 = 4ص وبالمثل

المتوسطة المستقيمات تالقى نقطة ( جد56 (6 ،10) (،جـ1،1) ب (،4،2أ) للمثلث

) هي د إحداثيات فإن أجـ منتصف هي د كانت إذا7، 4)

ب تقسم م المتوسطة المستقيمات تقاطع نقطة +7×2= ) س هي م إحداثيات إذن1 :2 بنسبة د1×1/ )3 = 15/3 = 5

،5) هي م إذن3 = 9/3 = 3( /1×1 + 4×2ص= )3)

24

س+ 1س2

2

- 8 + 2 2 2ص+ 1ص

215 + 7

2

2ص+ 1ص =

2 =11 + 7

2

س+ 1س 2

2

2 + 1س2

س+ 1س3

2

س+ 2س4

2

(من1،8) ب ( ،11،3أ) تقسيم نقطة ( جد57 2:3 بنسبة الداخل

6س= = = ،6= ) هي التقسيم نقطة إذن7= ص وبالمثل

7) الداخل ( من13،8(ب)2،1أ) تقسيم نقطة ( جد58

1:5 بنسبة 7س= = =

،7) هي التقسيم نقطة إذن11= ص وبالمثل11) الخارج ( من1،9(ب)7،3أ) تقسيم نقطة ( جد59

1:3 بنسبة

12= = = س- ،12) هي التقسيم نقطة إذن2= - ص وبالمثل

2) = ب ( ،5،2= ) - أ حيث أب المستقيم ميل ( جد60

(1-،1) 2= = = - م

االتجاه مع يصنع الذي المستقيم ميل ( جد61 45 زاوية لمحورالسينات الموجب

1 = 45= ظا = ظاهـ م ب و أ بالنقطتين المار المستقيم أن ( أثبت62

الذي المستقيم ( يعامد2،5= ) ب ( ،4،1= ) أ حيث أ النقطة عند0 = 2- ص2- س معادلته

1= -2م1م التعامد شرط = ص / معامل س = -معامل2 م2= - = 1م-1-/2 = 1/2

متعامدان المستقيمان إذن1= -2م1م إذن أ إحداثيات ألن أ بـ يمر الثاني المستقيم أن وواضح معادلته تحقق

25

2ن+ 2س 1ن

1س

2ن+ 1ن

3× 8 + 2 × 3 3+2

5× 8 + 1 × 2 5+1

2ن+ 2س 1ن

1س

2ن+ 1ن

3× 9 - 1 × 3 3-1

2ن- 2س 1ن

1س

2ن- 1ن

5 + 1 -2-1

2ص- 1ص

2س- 1س

1 - 5 4-2

13

أ عند متعامدان هما إذن السيني المحور على عمودي مستقيم ميل ( جد63

( الصادي المحور )يوازي يوازي السيني المحور على العمودي المستقيم

الصادي المحور )شرط الصادي المحور ميل يساوي ميله إذن

( التوازي المستقيم ميل∞= الصادي المحور ميل

∞= المطلوب - س هـ المستقيمان تجعل التي هـ قيمة ( جد64 = صفر7+ ص5- س4 و = صفر1- ص3

متعامدين ،3 = هـ/3= - هـ/-1م ،1= -2م1م التعامد شرط

4/5 = 5/-4 = -2م)- هـ إذن15= - هـ4 إذن1( = -4/5()3)هـ/ إذن15 / 4) الذين المستقيمين بين الحادة الزاوية ( جد65

0.5 و3 ميالهما ( /3.0 – 0.5( = ± )2م1+ م1(/)1م – 2= ±)م ظاهـ

(1.0( + 3()0.5 =)) المطلوب أن وبما1( = ± -2.5(/ )±2.5)-

إذن45= هـ إذن1= ظاهـ إذن الحادة الزاوية هو 45 هي بينهما المحصورة الزاوية

ب ، أ بالنقطتين المار المستقيم معادلة ( جد66(3،7= ) ب ( ،5،2= ) أ حيث النقطتين صيغة من

إذن4- س2 = 5- ص إذن= =صفر1+ س- ص2

األصل الماربنقطة المستقيم ( جدمعادلة67 صانعا2 1-ظا زاوية المحورالسيني مع

26

7 - 5 3-2

ص -5

2س -

هي والنقطة2= م ( ،1س – )س = م1ص – صصفر( )صفر،

= صفر ص – س2 أو س2= ص هي المعادلة إذن من ويقطع3ميله معادلةمستقيم ( جد68

المحورالصادي 5- طوله جزءا هي المعادلة إذن5= - جـ ،3= س+ جـ،م = م ص

= صفر5- ص – س3 أو5- س3ص= المستقيم على عمودي مستقيم معادلة ( جد66

المحور من ويقطع0 =2ص-5س+4 معادلته الذي الصادي 7 طوله جزءا

1 = -2م1م التعامد شرط ،7= جـ ، س+ جـ = م ص المعادلة إذن5/4= -2م إذن4/5 = 5/-4= -2م ،

أو28س+5= - ص4 أو7+ (س5/4= )- ص هي = صفر28- ص4+ س5

يعامد4 ميله الذي1ل المستقيم كان ( إذا67 وما أ قيمة فما0=11+ ص – : أس2ل المستقيم

بواسطة الصادي المحور من المقطوع الجزء طول .2ل

أ= )- المعادلة من الميل وقانون التعامد شرط من = صفر44- ص4+ س 2ل معادلة ( إذن1/4

11= الصادي المحور من المقطوع الجزء ومنها المحورالسيني من يقطع مستقيم معادلة ( جد68

. جد7طوله جزءا المحورالصادي ومن4 طوله جزءا عليه عمودي مستقيم وميل ميله

،7،ب=4،أ=1)س/أ( +)ص/ب(= المقطعين صيغة 28= ص4+ س7 إذن1(= 7(+)ص/4)س/ إذن(4/7)- العمودي ميل ( ،7/4) الميل إذن في = صفر42- ص7س+ 6 المعادلة ( ضع69

الجزءين طولي جد ثم ومن المقطعين صورة المستقيم هذا بواسطة المحورين من المقطوعين

،أ=1(=6( +)ص/7)س/ إذن42= ص7+ س6 6،ب=7

271 - 5

4-21 - 5

4-2

صورة في = صفر3- س+ ص3 المعادلة ( ضع70 المقطوعين الجزءين طولي جد ثم ومن المقطعين

المستقيم هذا بواسطة المحورين من،ب=7،أ=1(=3( +)ص/1)س/ إذن3= + ص س36

صورة في = صفر13- س- ص المعادلة ( ضع71 المقطوعين الجزءين طولي جد ثم ومن المقطعين

المستقيم هذا بواسطة المحورين من،أ=1(=13( +)ص/-13)س/ إذن13= - ص س 13،ب=-13 منه العمودي يبعد الذي المستقيم معادلة ( جد72 العمودي هذا ويصنع وحدات3 األصل نقطة عن

12/5 ظلها زاوية = جاهـ فإن12/5 ظلها التي الزاوية هي هـ كان إذا

5/13= جتاهـ ،12/13) ( + ص5/13) س هي المطلوبة المعادلة إذن

12/13 = )3 = صفر39- ص12+ س5 أو

منه العمودي يبعد الذي المستقيم معادلة ( جد73 العمودي هذا ويصنع وحدات5 األصل نقطة عن

درجة60 زاوية 60جا + ص60جتا س إذن = ر جاهـ +ص جتاهـ س إذن5= = صفر3 5- ص3+ س الصورة في = صفر8 – + ص س ( ضع74

هـ ر، جد ثم العمودية الترتيب وإعادة2 على المعادلة حدود كل بقسمة

ر= ،45= هـ إذن2 4 ( = 2/ ( + )ص2/ )س4 2

الصورة في6+ س3= ص المعادلة ضع(75 نقطة من النازل العمود طول جد ثم ومن العمودية

العمود ميل وزاوية المستقيم هذا على األصل

28

الترتيب وإعادة2 على المعادلة حدود كل بقسمة = هـ ،3= ر إذن3( = 1/2) ( + ص2 /3)- س

درجة120+ ص12+ س5 للمستقيم العمودي البعد جد (76األصل نقطة عن26

= = العمودي البعد

وحدة2= =

( عن4،0)- للنقطة العمودي البعد جد (77 = صفر7 ص+4س+3 المستقيم

= = وحدة العمودي البعد واحدة

س المتوازيين المستقيمين بين المسافة جد (78 = صفر11- ص6س+3 و =صفر14- ص2+

ص2+ س المستقيم على صفر( تقع ،14) النقطة = المستقيمين بين العمودي البعد إذن =صفر14-

=

وكان متعامدين 2ل ، 1ل المستقيمان ( إذاكان791=-2ل ميل فإن1 = 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل المستقيمان ( إذاكان80

∞ =2ل ميل فإن0 = 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل المستقيمان ( إذاكان81

0=2ل ميل فإن∞ = 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل المستقيمان ( إذاكان82

0.5=-2ل ميل فإن2 = 1ل ميل 10 = - 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل ( إذاكان83

0.1= 2ل ميل فإن

29

ص+ 1 أس │ + 1ب │ جـ

│ 5 × 0 + 12 × 0 + 26 │ 25 + 212 26

13

7 + صفر × 4 + 4 × - 3 23 + 24

│ 11 - صفر × 6 + 14 × 3 │23 + 26

│ 31 │ 3 5

وكان متعامدين 2،ل1ل المستقيمان ( إذاكان844=-2ل ميل فإن0.25 = 1ل ميل 0.8 = 1ل ميل وكان متعامدين 2ل ، 1ل ( إذاكان85

1.25= - 2ل ميل فإن[ اعتيادي كسر صورة إلى العشري الكسر ] حول

المتوسطة المستقيمات تقاطع نقطة ( جد86) ج ( ،1 ،6)- ب ( ،1- ،2أ) رؤوسه الذي للمثلث

10،9) 2)- هي د إحداثيات فإن أب منتصف هي د كانت إذا

صفر( ، جـ تقسم م المتوسطة المستقيمات تقاطع نقطة

هي م إحداثيات إذن1 :2 بنسبة د 2 = 6/3 = 3( /10×1 + 2×-2= ) س

3 = 9/3 = 3( /9×1+ ×صفر2ص= )(3 ،2) هي م المتوسطات تالقي نقطة إذن درجة45 زاوية يصنع الذي المستقيم ميل ( جد87 3- ميله الذي المستقيم مع (2م3-1(/ )3+ 2 =< )م1( = 2م1+م1(/ )1- م2)م2م3-1 = 3+ 2 =< م1= - م3)- العكس وبافتراض0.5= -2 =< م2= -2م4م2 =< 1- 1م3 = 3+ 1 =< م1( = 1م1-3(/ )12=1 =< م4=1

كان إذا المستقيم للخط اإلحداثي النظام ( في88 وكانت8 يساوي ب وإحداثي4- يساوي أ إحداثي

يساوي جـ إحداثي فإن أب منتصف هي جـ 2 = 4/2 = 2(/8 +4= )- جـ (3)صفر،- بـ المار المستقيم معادلة ( اكتب89

0= س+ ص المستقيم موازيا التوازي شرط حسب المطلوب المستقيم ميل

1= - المعادلة من الميل وقانون+ + ص س أو = - س3+ ص هي المعادلة إذن

= صفر3

30

(1+ )هـ يساوي ما مستقيم ميل كان ( إذا90 المستقيم هذا وكان س6= ص2 للمستقيم موازيا

هـ قيمة فما ،2+ من الميل وقانون التوازي شرط ) حسب1+ هـ

3( = المعادلة2= هـ إذن تقسم التي الثالث النقاط إحداثيات ( جد91

حيث متساوية قطع4 إلى أب المستقيمة القطعة (1 ،1) ب ( ،7- ،5) أ

فإن هـ ، د ، جـ هي المطلوبة النقاط أن افترضنا إذ إذن أب تنصف د- ،4= ) جـ إذن د أ تنصف جـ ( وبالمثل3- ،3= ) د5، ) (1- ،2= ) هـ إذن دب منتصف هـ أيضا

نقطة عن يبعد الذي المستقيم معادلة ( اكتب92 زاوية إليه منها العمودي ويصنع واحدة وحدة األصل السينات لمحور الموجب االتجاه مع0.75 ظلها

جاهـ فإن0.75= ظاهـ بحيث هـ الزاوية كانت إذا س المطلوبة المعادلة إذن0.8= جتاهـ ،0.6=

1ص= 0.6+ س0.8 أو = ر جاهـ + ص جتاهـ = صفر5 – ص3+ س4 أو

ج ، ب أ، نقط ثالث أن الثبات طريقتان ( هناك93 وضحهما ، واحدة استقامة على تقع عن أو = أجـ جـ + ب أب أن نثبت البعد طريق عن

أن نثبت الميل طريق أجـ = ميل جـ ب = ميل أب ميل

علمت إذا مستقيم ميل إيجاد يمكنك ( كيف94 ص / معامل س معامل – معادلته

علمت إذا مستقيم معادلة إيجاد يمكنك ( كيف95 بها يمر ونقطة ميله

(1س – )س = م 1ص – ص ( هات96 األصل بنقطة يمر مستقيم لمعادلة مثاالمنعدم المطلق الحد فيها معادلة أي

31

( هات97 المحور يوازي مستقيم لمعادلة مثاال عدد = أي ص السيني

( هات98 المحور يوازي مستقيم لمعادلة مثاال للمستوى األعلى النصف في ويقع السيني

موجب = عدد ص اإلحداثي ( هات99 المحور يوازي مستقيم لمعادلة مثاال

للمستوى األسفل النصف في ويقع السينيسالب = عدد ص اإلحداثي

( هات100 يوازي مستقيم لمعادلة مثاال للمستوى األيمن النصف في ويقع المحورالصادي

موجب = عدد س اإلحداثي ( هات101 المحور يوازي مستقيم لمعادلة مثاال

للمستوى األسفل النصف في ويقع الصادي سالب = عدد س اإلحداثي

ويقطع ب ميله الذي المستقيم ( جدمعادلة102 ب طوله الصادات محور من جزءا

= صفر + ب ص – س ب أو + ب س = ب ص المحور من يقطع الذي المستقيم معادلة ( جد103

جزءا الصادي المحور ومن ب طوله جزءا السيني ب طوله = صفر ب – + ص س أو1= / ب + ص س/ب المار المستقيم معادلة أن على ( برهن104

– ص + ب أس أ( هي ب،2) أ( ،2 ، ) ب بالنقطتين = صفر أب3

ب – أ( / )س2)ص- هي نقطتين بمعلومية المعادلة أو ( = -أ/ب

= أب3 – ص + ب أس أو +أب = -أس أب2 – ص بصفر ، ) ب الماربـ المستقيم معادلة أن على ( برهن105

هي ب ميله ( والذي2بس = ب ص

32

2ب – ص ( أو ب – )س = ب 2ب – ص هي المعادلة

س = ب ص أو2ب – س = بأ2- أص4+ أس3 بعدالمستقيم أن ( أثبت106

أ )أ،أ( يساوي النقطة عن =صفر2أ× +3│ البعد أ× -4أ وهو = أ أ2/5أ5( = 2أ25/ )│2أ2أ

المطلوب المستقيمات بين المحصور المثلث أن ( أثبت107 ومتساوي الزاوية قائم0.5 ،2- ،3 أميالها التي

الساقين والثالث الثاني المستقيمان التعامد شرط من

الزاوية قائم المثلث إذن متعامدان األول المستقيمين بين ( الزاوية65) السؤال ومن

الزاوية قائم المثلث إذن45 تساوي والثالث الساقين ومتساوي

وتوفيقه الله بحمد تم

33