Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pagrindinės sąvokos.

Koši uždavinys.

Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais, homogeninės lygtys.

1

Diferencialinės lygties ir jos sprendinio sąvokos

Ap. Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, siejanti nepriklausomą

kintamąjį 𝑥, ieškomąją funkciją 𝑦 ir jos išvestines 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛 .

Diferencialinės lygties bendrasis pavidalas yra

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛 = 0.

Lygtis, kurią galima išspręsti išvestinės 𝑦 𝑛 atžvilgiu, dar užrašoma ir taip:

𝑦 𝑛 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦 𝑛−1 )

Jeigu ieškomoji funkcija yra tik vieno kintamojo 𝑥 funkcija, tai diferencialinė lygtis vadinama paprastąja.

Dif. lygtis, siejanti nežinomą kelių kintamųjų funkciją ir jos dalines išvestines, vadinama dalinių išvestinių dif. lygtimi.

𝑥𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦

2

Ap. Dif. lygties eile vadinama aukščiausios eilės išvestinės, esančios toje lygtyje, eilė.

Pvz.

• 𝑦′ − 𝑥 = 0 – pirmos eilės diferencialinė lygtis

• 𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 + 𝑥 = 0

• 𝑦𝐼𝑉 + 𝑦′ + 𝑥𝑒𝑥 = 0

3

Išspręsti dif. lygtį reiškia rasti nežinomą funkciją 𝑦 = 𝑦 𝑥 .

Ap. Dif. lygties sprendiniu (arba integralu) vadinama funkcija 𝑦 = 𝑦 𝑥 , tinkanti tai lygčiai.

Funkcija 𝑦 = 𝑦 𝑥 turi būti 𝑛 kartų tolydžiai diferencijuojama.

Diferencialinės lygties kiekvieno sprendinio 𝑦 = 𝑦 𝑥 grafikas 𝑥𝑂𝑦 plokštumoje yra kreivė, kuri vadinama integraline dif. lygties kreive.

Diferencialinės lygties sprendimo procesas vadinamas tos lygties integravimu.

4

5

Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Koši uždavinys

Nagrinėkime lygtį

0',, yyxF

arba

yxfy ,'

ši lygtis turi be galo daug sprendinių. Dažnai,

diferencialinių lygčių teorijoje, reikia rasti lygties

yxfy ,' sprendinį xyy , tenkinantį sąlygą

00 yxy

(arba 0yy , kai 0xx ;

arba 00yy xx )

čia 00 , yx - realieji skaičiai.

Ši sąlyga vadinama pradine sąlyga,

o pats uždavinys – Koši uždaviniu.

6

Apibrėžimas

Pirmos eilės diferencialinės lygties yxfy ,'

bendruoju sprendiniu vadinama funkcija

Cxy , , priklausanti nuo laisvosios konstantos

C ir tenkinanti šias sąlygas:

Su bet kuria konstantos C reikšme ji tinka

diferencialinei lygčiai yxfy ,' Kad ir kokios būtų pradinės sąlygos

00 yxy , visada galima rasti tokia

parametro C reikšmę C0, su kuria funkcija

0,Cxy tenkintų tas pradines sąlygas.

Kartais diferencialinės lygties sprendinys užrašomas

taip: 0,, Cyx . Toks sprendinys vadinamas

bendruoju diferencialinės lygties integralu. 7

Atskiruoju diferencialinės lygties yxfy ,'

sprendiniu vadinamas sprendinys, kuris gaunamas iš

bendrojo sprendinio su kuria nors konstantos C

reikšme C0.

Analogiškai iš bendrojo integralo 0,, Cyx

gautas atskirasis sprendinys vadinamas atskiruoju

integralu.

8

Apibrėžimas

Lygties sprendinys xy , kurio negalima gauti

iš bendrojo sprendinio nė su viena konstanta C

reikšme vadinamas ypatinguoju tos lygties

sprendiniu.

9

Teorema (apie Koši sprendinio egzistavimą ir vienatį)

Tarkime, kad funkcija yxf , apibrėžta, tolydi ir

turi tolydžią išvestinę y

f

tam tikroje plokštumos

xOy srityje D, kuriai priklauso taškas 00 , yx .

Tuomet yra taško 0x aplinka 0xV , kurioje

egzistuoja vienintelis diferencialinės lygties

yxfy ,' sprendinys xy , tenkinantis

duotąsias pradines sąlygas 00 yxy .

10

Pvz.

xy 2'

11

Diferencialinės lygtys su atskiriamaisiais kintamaisiais

Apibrėžimas

čia yNxMyNxM 2211 ;;; - tolydžios tam

tikruose intervaluose funkcijos.

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis

02211 dyyNxMdxyNxM (1)

Vadinama lygtimi su atskiriamaisiais kintamaisiais;

Tarkime, kad 02 xM ir 01 yN tuose

intervaluose.

Padalinkime (1) lygties abi lygybės puses iš

yNxM 12 gauname

12

01

2

2

1 dyyN

yNdx

xM

xM. (2)

Šią lygtį vadiname lygtimi su atskiriamaisiais

kintamaisiais.

Perkelkime antrąjį (2) lygybės narį į kitą lygybės

puse:

dyyN

yNdx

xM

xM

1

2

2

1

Kadangi tai dviejų diferencialų lygybė, tai jų

neapibrėžtiniai integralai skiriasi tik konstanta:

CdyyN

yNdx

xM

xM

1

2

2

1

13

Pvz.

y

xyy

21'

; xyxyy 2' 2 ; 0ln

' y

y

y, kai

12 y

14

Homogeninės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas

Funkcija yxf , vadinama kintamųjų x ir y m – ojo

matavimo homogenine funkcija, jei

yxfttytxf m ,, , Rt

Pvz. 2

6223 2

,y

xxyyxyxf yra 4 – ojo

matavimo homogeninė funkcija, nes

yxftyt

xtxtyttyxttytxf ,

2, 4

22

66222233

15

Apibrėžimas

Diferencialinė lygtis

0,, dyyxQdxyxP (1)

kurios yxP , ir yxQ , yra to paties matavimo

homogeninės funkcijos, vadinama pirmosios eilės

homogenine diferencialine lygtimi.

Padalinę abi (1) lygybės puses iš 0, yxQ

gauname yxQ

yxP

dx

dy

,

,

Kadangi funkcijos yxP , ir yxQ , yra to paties

matavimo homogeninės funkcijos tai jų santykis

yxQ

yxP

,

, bus nulinio matavimo homogeninė

funkcija.

16

Pažymėkime yxQ

yxPyxg

,

,,

Gauname

yxgy ,' ,

čia yxg , yra nulinio matavimo homogeninė

funkcija.

yxgyxgttytxg ,,, 0 .

Parinkime keitinį x

t1

, kai 0x . Tada funkcija

yxg , atrodys taip:

x

ygyxg ,1,

17

Bei

x

ygy ,1'

Ši diferencialinė lygtis sprendžiama naudojant

keitinį ux

y arba uxy .

Iš čia gauname uxuy ''

Tada pati diferencialinė lygtis bus: uguxu ,1' arba

uugxu ,1'

Ši lygtis yra lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais:

uugxdx

du ,1

Galutinai gauname, tardami, kad 0,1 uug :

x

dx

uug

du

,1

Suintegravę abi lygybės puses turėsime sprendinį

x

dx

uug

du

,1

18

Pvz.:

• 𝑦2 + 𝑥2𝑦′ = 𝑥𝑦𝑦′

• 𝑥𝑦′ = 𝑦 1 + ln𝑦

𝑥; 𝑦 1 = 𝑒−

1

2

19