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1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 3.- TRIGONOMETRÍA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- REPASO: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Medida de ángulos

Para medir ángulos se usan principalmente dos sistemas de medida:

- El sistema sexagesimal usa como unidad de medida el grado. Un grado es 1/90 del ángulo recto. Por eso el ángulo recto mide 90º. Los submúltiplos del grado son el minuto (1´) y el segundo (1´´) : 1º = 60´ y 1´ = 60´´ - El sistema circular usa como unidad de medida el radián. Un radián es el ángulo que abarca un arco igual al radio.

Ángulos en la calculadora científica CASIO Para introducir ángulos en la calculadora primero debemos elegir el sistema con el que vamos a

trabajar tecleando varias veces la tecla MODE hasta que nos aparezca Deg Rad Gra

1 2 3.

Entonces pulsamos 1 si vamos a trabajar con grados sexagesimales y 2 si es con radianes. Para introducir un ángulo del sistema sexagesimal debemos usar la tecla o , , , .

Para introducir un ángulo en forma incompleja, por ejemplo 35,27º, el proceso es 35.27 o , , ,

Aparece en la pantalla 35º16º12 que significa que 35,27º son 35º 16´12´´ Si queremos introducir un ángulo en forma compleja, por ejemplo 28º 50´ 12,5´´, el proceso es

28 o , , , 50 o , , , 12.5 o , , ,

Aparece en la pantalla 28º50º12.5 que significa 28º 50´ 12,5´´ En ambos casos, si volvemos al pulsar o , , , nos va cambiando de una forma a otra.

Transformación de grados a radianes o de radianes a grados

Para pasar de grados a radianes o viceversa, puedes usar que 360º 2 R 2 rad 180º rad

Ejemplos:

1) Pasar 150º a rad: 180º rad 150 5

x rad rad150º x rad 180 6

2) Pasar 84º 25´ 45´´ a rad: Lo expresamos en forma incompleja y obtenemos aproximadam. 84,43º 180º rad 84,43

x rad 1,47 rad84,43º x rad 180

3) Pasar 11

rad6

a grados sexagesimales: 11.180º

330º6

4) Pasar 3,72 rad a grados sexagesimales: 180º rad 3,72 . 180

x 213,14º 213º 8´ 25,08´´x 3,72 rad


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Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Si consideramos un ángulo agudo cualquiera, α. Se definen las razones trigonométricas (r.t.) de α así:

cateto opuestoseno de : sen

hipotenusa

cateto contiguor.t. directas : coseno de : cos

hipotenusa

cateto opuestotangente de : tg

cateto contiguo

1cosecante de : cosec

sen

1r.t. inversas : secante de : sec

cos

1cotangente de : cotg

tg

Observa bsen b sena tg tgccos c cos

a

1 cos cos

cotg cotgtg sen sen

Veamos que las r.t. solo dependen del valor del ángulo y no de las medidas de los lados del triángulo rectángulo:

Observa que estos dos triángulos son semejantes pues tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. Por tanto, las r.t. son las mismas independientemente del triángulo que usemos

En el primer triángulo 9 3

sen15 5

y en el segundo 6 3

sen10 5

. Lo mismo ocurre con las

demás r.t., que son iguales.

Razones trigonométricas con la calculadora científica

Las r.t. de un ángulo también se pueden hallar con la calculadora científica CASIO usando las teclas sin cos y tan . Por ejemplo, para calcular sen 30º tecleamos sin 30 . Nos da 0.5 .

De igual forma se calcula el coseno y la tangente usando las teclas cos y tan. También se puede hallar el ángulo α conocido el valor de una r.t. directa. Por ejemplo, si queremos hallar el ángulo agudo α que cumple cos = 0,5 (este ángulo se llama el arcocoseno de 0,5 y se representa por arccos 0,5 ó por cos–10,5) tecleamos SHIFT cos 0.5 .

Nos da 60. Luego, α = cos–1 0,5 = 60º, que significa que cos 60º = 0,5

De igual forma se hace usando las teclas sin y tan si nos dieran sen ó tg

Razones trigonométricas de ángulos complementarios Recuerda que dos ángulos son complementarios si suman 90º. En general, los ángulos α y 90º - α son complementarios.

Observa que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios:

cs e n (9 0 º ) c o s s e n (9 0 º ) c o s

ab

c o s (9 0 º ) s e n c o s ( 9 0 º ) s e na

ct g ( 9 0 º ) c o t g tg (9 0 º ) c o t g

b


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Razones trigonométricas de 60º, 30º y 45º

Tomemos un triángulo equilátero

Por el teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2l l l 3l 3l l 3h l h l h l h

2 4 4 4 4 2

Luego:

l 332sen 60º

l 2l

12cos 60ºl 2

32tg 60º 312

. 3

. 3

1sen 30º cos 60º

2

3cos 30º sen 60º

2

1 3tg 30º cotg 60º

33

Usando un razonamiento similar con un cuadrado

obtenemos:

2l 1 2 l 1 2 2sen 45º cos 45º tg 45º 1

2 2l 2 2 l 2 2 22

Para recordar mejor las r.t. de 30º, 45º y 60º construimos este cuadro donde los denominadores son siempre 2 y los numeradores de la 1ª fila van aumentando 1, 2 y 3 y en la 2ª fila igual pero en sentido inverso

30º rad 45º rad 60º rad6 4 3

1 2 3sen

2 2 2

3 2 1cos

2 2 2


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Ejercicios resueltos: 1) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo. (Las medidas de los lados están dadas en cm)

25

A

BC Resolución

� �2 2sen C C arcsen 23,58º 23º34´42´´

5 5 � �A 90º C 66,42º 66º25´19´´

Para hallar el cateto BC podemos usar el teorema de Pitágoras o las r.t de cualquiera de los ángulos:

Usando �tg C : � �

�

2 2 2tg C BC .tg C 2 BC 4,6 cm

tg 23,58ºBC tg C

Usando �cos C : � �BCcos C BC 5 .cos C 5 .cos 23,58º 4,6 cm

5

Usando el teorema de Pitágoras: 2 2 22 25 2 BC 25 4 BC BC 21 BC 21 4,6 cm

2) El tobogán de un parque mide 2,9 m y forma un ángulo de 40° con el suelo. ¿Qué altura, x, tendrá la escalerilla?

xSolución : sen 40º x 2,9 sen 40º 1,86; Respuesta : 1,86 m

2,9

ACTIVIDADES

1.- Pon tu calculadora para trabajar en radianes. Expresa en radianes y halla las r.t. directas (si es necesario redondea a las milésimas) de los ángulos: a) 330º (en función de π) b) 135º 40”

Solución a) 11π/6 rad ; sen: –0,5 cos: 0,866 tg: –0,577 b) 2,356 rad; sen: 0,707 cos: –0,707 tg: –0,1

2.- Pon tu calculadora para trabajar en grados sexagesimales. Expresa en grados y halla las r.t. directas (si es necesario redondea a las milésimas) de los ángulos: a) 4/5 rad b) 2,25 rad

Solución a) 144º ; sen: 0,588 cos: –0,809 tg: –0,727 b) 128º 54´ 57,6´´; sen: 0,778 cos: –0,628 tg: –1,239 3.- Halla las r.t. inversas del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 10 cm

Solución: 5

cosec 5 sec cotg 22

4.- Resuelve los siguientes triángulos: a) 25

A

BC

b) Un triángulo rectángulo de hipotenusa 6,5 cm y uno de los ángulos agudos 40º.

Solución a) A ≈ 66º 25´ 18,56´´ C ≈ 23º 34´ 41,44´´ CB ≈ 4,58 b) 50º ; catetos: 4,18 y 4,98 aproximadamente


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5.- Un rectángulo tiene 6 cm de base y 2 10 cm de diagonal, halla el ángulo que forma la diagonal

con el lado mayor y el área del rectángulo. Solución: 18º 26´5,82´´ y 12 cm2.

6.- Halla el área de la zona comprendida entre el pentágono regular y el círculo.

Solución: Aproximadamente 8,36 cm2.

7.- Calcula el ángulo que forma la diagonal D del cubo con la base

Solución: Aproximadamente 35º 15´51,8´´ 8.- Halla la altura de un cono si su generatriz mide 12 cm y forma un ángulo de 40º con la base.

Solución: Aproximadamente 7,71 cm

9.- Calcula la altura de la cometa

Solución: Aproximadamente 17,09 m

10.- Calcula la altura del edificio


11.- Halla la distancia x

Solución: Aproximadamente 4,51 m 12.- Dos edificios distan entre sí 150 m. Desde un punto que está entre los dos edificios, las visuales a los puntos más altos de éstos forman con la horizontal ángulos de 35º y 20º, respectivamente. Calcula la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo.



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2.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

Ángulos positivos y negativos

Se consideran positivos los ángulos cuyo sentido de giro sea contrario al de las manecillas del reloj.

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Las r.t. de un ángulo cualquiera se deducen a partir de las r.t. de un ángulo agudo estudiadas anteriormente. Veamos cómo: 1º) Trazamos una circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas (esta circunferencia se llama circunferencia goniométrica o trigonométrica). La circunferencia queda dividida en 4 cuadrantes:

2º) Dibujamos el ángulo de forma que el vértice sea el origen de coordenadas y el lado inicial la parte positiva del eje X (se dice que estamos dibujando el ángulo en posición normal). El lado final del ángulo corta a la circunferencia en un punto P(a, b)

Usando la definición de las r.t.:

cateto opuesto bsen b

hipotenusa 1 cateto opuesto btg

cateto contiguo a cateto contiguo acos a

hipotenusa 1

Esta misma definición se usa para calcular las r.t. de un ángulo cualquiera: cuadrante I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV

X

Y

cos α = a > 0

P(a,b)

a

sen α = b > 0

α

b1

X

Y

cos α = a < 0

P(a,b)

a

sen α = b > 0

α

b

1

X

Y

cos α = a < 0

P(a,b)

a

sen α = b < 0

α

b1

X

Y

cos α = a > 0

P(a,b)

a

sen α = b < 0

α

b

1

cos+ sen+ cos– sen+ cos– sen– cos+ sen–

El signo del seno y coseno de un ángulo depende del cuadrante en el que esté dicho ángulo. Observa que puesto que la circunferencia tiene radio 1 siempre se cumple que

– 1 ≤ sen α ≤ 1 – 1 ≤ cos α ≤ 1


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Interpretación gráfica del seno, coseno y tangente

Razones trigonométricas de ángulos especiales

3

0º 0 rad 360º 2 rad 90º rad 180º rad 270º rad2 2

punto P (1, 0) (0, 1) ( 1, 0) (0, 1)

sen 0 1 0 1

cos 1 0 1 0

tg 0

0

Relaciones entre las razones trigonométricas

Vamos a deducir algunas fórmulas que relacionan entre sí a las r.t. de un ángulo α:

por el teorema2 2 2 2 2 2 2de Pitágoras2 2 2 2

2 2 2 2b c b c b c a

(sen ) (cos ) 1 sen cos 1a a a a a a

A partir de esta fórmula podemos deducir otras: 2 2 2

dividiendo entre cos2 2 2 22 2 2

sen cos 1sen cos 1 tg 1 sec

cos cos cos

2 2 2dividiendo entre sen2 2 2 2

2 2 2sen cos 1

sen cos 1 1 cotg cosecsen sen sen

Estas fórmulas son válidas para cualquier ángulo α


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Ejemplos:

1) Si cos x = 3

5

y π < x < 3π/2 entonces como 2 2 2sen x cos x 1 senx 1 cos x . Como

x III cuadrante, su seno es negativo. Luego, 2

2 3 3 22senx 1 cos x 1 1

5 25 5

2) Si cotg α = 2

3

y 90º < α < 180º entonces tg α = 3

2

y como tg2α + 1 = sec2 α

2sec tg 1 . Como α II cuadrante, su coseno es negativo. Luego, su secante también.

22 3 13 2 2 13

sec tg 1 1 cos2 2 1313

Como sen 3 2 13 3 13

tg sen tg coscos 2 13 13

Usando las relaciones trigonométricas podemos simplificar expresiones trigonométricas.

Por ejemplo, 2 21

cosec x cosx 1 cosx 1 cos x sen xsenxcotgx tgx

cosx cosx senx senx cosx senx senx cosx senx cosx

ACTIVIDADES

1.- Indica en qué cuadrante está el ángulo en los siguientes casos: a) sen < 0, cos < 0 b) sen < 0 , cos > 0 c) cos < 0 , tg < 0

Solución: a) III b) IV c) II

2.- Usando la relación fundamental de la trigonometría halla, sin calcular el ángulo α, las r.t. directas:

a) sen = 2

5 , /2 < < b) cos = –1/5, 180º < < 270º

c) tg α = 3 , II cuadrante d) sec α = 5, I cuadrante

e) cos = 3/4 , IV cuadrante f) cosec = –3/2 , III cuadrante

g) cotg = 2 5 , 3/2 < < 2

Solución: a) 23 2

cos tg5 23

b)

24sen tg 24

5

c) 1 3

cos sen2 2

d) 1 24

cos sen tg 245 5

e) 7 7

sen tg4 3

f) 2 5 2 5

sen cos tg3 3 5

g) 5 20 21

tg cos sen10 21 21

3.- Demuestra: a) 3cosx secxtg x

senx cosecx

b) 1 cotgx

cosecxsenx cosx

4.- Simplifica: a) cosx cosecxsenx secx

b) tg x tg y (cotg x + cotg y)

Solución: a) cotg x b) tg x + tg y


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3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS POR REDUCCIÓN

Ángulos equivalentes Dos ángulos son equivalentes cuando al dibujarlos en posición normal coinciden sus lados finales. Los ángulos equivalentes tienen las mismas r.t.

Reducir un ángulo a la primera vuelta consiste en obtener otro ángulo equivalente de la primera vuelta. Para reducir un ángulo mayor de 360º a la primera vuelta lo dividimos entre 360º para saber cuántas vueltas ha dado a la circunferencia el lado final del ángulo y el resto de la división es un ángulo equivalente.

Por ejemplo, vamos a obtener un ángulo equivalente a 2 580º:

2580 3602580º 7.360º 60º 7 vueltas y 60º

60 7 . Luego, un ángulo equivalente es 60º.

Cálculo de las r.t. por reducción al primer cuadrante

Reducción del II cuadrante al I cuadrante

Por ejemplo, sen 150º sen30º

para hallar las r.t. de 150ºcomparamos con 180º 150º 30ºcos 150º cos30º

Reducción del III cuadrante al I cuadrante

Por ejemplo, sen 220º sen40º

para hallar las r.t. de 220ºcomparamos con 220º 180º 40ºcos 220º cos 40º

Reducción del IV cuadrante al I cuadrante

Por ejemplo, sen ( 25º ) sen25º

para hallar las r.t. de 25ºcomparamos con 25ºcos ( 25º ) cos25º


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Relación entre las r.t de x y 90º + x

sen(90º x) cosx

cos(90º x) senx

.

Por ejemplo, sen 100º cos10º

para hallar las r.t. de 100ºcomparamos con 100º 90º 10ºcos 100º sen10º

ACTIVIDADES 1.- Halla por reducción a la primera vuelta las siguientes r.t.: a) sec (–2475º) b) cos (19π)

c) cotg 420º d) tg(–23π/2) e) sen 5400º f) cosec(73π/6) g) sen(–4050º)

Solución: a) 2 b) –1 c) 3

3 d) e) 0 f) 2 g) –1

2.- Calcula por reducción al I cuadrante halla las siguientes r.t.:

a) sen (5π/3) b) cos 315º c) tg 120º d) cosec(–30º) e) cotg(5π/4) f) cos 210º g) tg 2295º

Solución: a) 3

2

b) 2

2 c) 3 d) –2 e) 1 f)

32

g) –1

3.- Usando que sen 57º = 0,839 halla, sin el uso de las funciones trigonométricas de la calculadora científica, dando el resultado redondeado a las milésimas: a) El resto de r.t. directas de 57º b) Las r.t. directas de 33º c) tg 147º d) sec 123º

e) cosec 213º f) sen 237º g) cos(–33º) h) tg 303º i) cotg 327º j) cosec 1113º Solución: a) cos 57º ≈ 0,54 tg 57º ≈ 1,54 b) sen 33º = cos 57º ≈ 0,54 cos 33º = sen 57º ≈ 0,84 tg 33º = cotg 57º ≈ 0,65

c) sen 33º

tg 33º 0,65cos 33º

d) 1

1,84cos 57º

e) 1

1,84sen 33º

f) – sen 57º ≈ –0,84 g) cos 33º ≈ 0,84 h) sen 57º

tg 57º 1,54cos 57º

i) cos33º

cotg 33º 1,54sen 33º

j) 3 vueltas y 33º 1

1,84sen 33º

4.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA, RESTA, ÁNGULO DOBLE Y MITAD

sen( ) sen cos sen cos tg tgSuma : tg( )

1 tg tgcos( ) cos cos sen sen

cos( ) cossen( ) sen

cos( ) cossen( ) sen

sen( ) sen[ ( )] sen( ) sen cos sen cos tg tgResta : tg( )

1 tg tgcos( ) cos[ ( )] cos( ) cos cos sen sen


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22 2

sen(2 ) sen( ) sen cos sen cos sen(2 ) 2sen cos 2tgÁngulo doble : tg(2 )

1 tgcos(2 ) cos( ) cos cos sen sen cos(2 ) cos sen

2 22 2

2 22 2 2 2

22

22 2

2 22 2

2 2 2 22

2

1 cos sen1 cos

cos cos(2 ) cos sen sen2

Restando : 1 cos 2sen1 cos

Ángulo mitad : tg1 cos

1 cos sen1 cos

cos cos(2 ) cos sen cos2

Sumando : 1 cos 2cos

Transformaciones de sumas en productos

x y x y x y x ysenx seny 2sen cos senx seny 2sen cos

2 2 2 2

x y x y x y x ycosx cosy 2cos cos cosx cos y 2sen sen

2 2 2 2

Ejemplos:

1) Si cos x = –4/5, x III cuadrante entonces como sen x = 2 16 31 cos x 1

25 5

y tg x = sen x / cos x = 3/4

* sen (x – π/6) = sen x cos (π/6) – sen (π/6) cos x = 3 3 1 4 4 3 3

. .5 2 2 5 10

* tg (x + π/3) =

3tgx tg 4 33 43 3 311 tgx tg 43

3 3

43

* cos(2x) = cos2x – sen2x = 16/25 – 9/25 = 7/25

* como x/2 II cuadrante411 cosx 9 3 3 105xsen 2 2 2 10 1010

2) 3 6 3 6cos cos 2sen sen 2sen sen3 6 2 2 4 12

3) Vamos a demostrar que cos(x + y) cos(x – y) = cos2x – sen2y cos(x + y) cos(x – y) = (cos x cos y – sen x sen y)(cos x cos y + sen x sen y) = cos2x cos2y – sen2x sen2y = cos2x (1 – sen2y) – (1 – cos2x) sen2y = cos2x – cos2x sen2y – sen2y + cos2x sen2y = cos2x – sen2y


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ACTIVIDADES 1.- Usando las fórmulas de suma y diferencia de ángulos halla, sin el uso de las funciones trigonométricas de la calculadora científica, las r.t. directas de los ángulos: a) 75º b) π/12

Solución

a) 2 6 6 2

sen 75º cos 75º tg 75º 2 34 4

b) 6 2 6 2

sen cos tg 2 312 12 124 4

2.- Sabiendo que sen x = 3/5 y que

x2

calcula sin hallar x:

a)sen x6

b)

2

xtg c)

3

cos

x d)

4

xtg e) sec(2x)

Solución: a) 3 3 4

10

b) 3 c) 3 3 4

10

d) 1/7 e) 25/7

3.- Sabiendo que tg a = 2 y tg b = 1/3 y que a, b III cuadrante, halla:

a) Las restantes r.t. directas de a y b b) tg(a + 2b ) c) sen2

a

Solución

a) 5 2 5 3 10 10

cos a sen a cos b sen b5 5 10 10

b) –11/2 c) 5 5

10

4.- Sabiendo que tg α = 3 y α III cuadrante halla las r.t. directas de 2α y de α/2

Solución:

2 2 2

10 3 10 3 4 3[cos sen sen(2 ) cos(2 ) tg(2 )

10 10 5 5 4

10 10 10 10 10 10sen cos tg

20 20 10 10

5.- Transforma en productos y calcula: a) sen 75º + sen 15º b) cos 105º – cos 15º

Solución: a) 6

2sen45ºcos30º2

b) 6

2sen 60º sen45º2

6.- Demuestra: a) sen2x – sen2y = sen(x + y) sen(x – y) b) 1 cos(2x) sen(2x)

senx tgx2senx 1 cos(2x)

5.- ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son ecuaciones donde la incógnita está bajo alguna razón trigonométrica.

Ecuaciones trigonométricas básicas Son del tipo sen x = m, cos x = m ó tg x = m Para resolver este tipo de ecuaciones, hallamos primero los ángulos x1, x2 de la primera vuelta o

equivalentes que verifican la ecuación. Las soluciones serán los ángulos que se obtengan al sumarle (o restarle) vueltas completas a dichos

ángulos, es decir 1

2

x x 360ºkS : , con k Z

x x 360ºk


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Casos que se pueden dar:

1

2


x x 360ºk

senx=b Ej: 1

2 1

2x 23,6º 360ºkx arcsen 23,6º2

sen x S : , con k Z5x 156,4º 360ºk5 x 180º x 156,4º

1

2


x x 360ºk

senx=-b Ej: 1

2

3 x 60º 360ºk3 x arcsen 60ºsen x S : , con k Z2 x 240º 360ºk2

x 180º 60º 240º

1

2


x x 360ºk

cosx=b Ej: 1

2 1

x arccos(0,7) 45,6º x 45,6º 360ºkcos x 0,7 S : , con k Z

x x 45,6º x 45,6º 360ºk

1

2


x x 360ºk

cosx=-b Ej: 1

2 1

1x arccos 120º x 120º 360ºk1

cos x S : , con k Z2x 120º 360ºk2

x x 120º


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2 1 1Como x x 180º , las soluciones son S : x x 180ºk, con k Z tgx=b Ej: 1tg x 0,4 x arctg(0,4) 21,8º , S : x 21,8º 180ºk, con k Z

2 1 1Como x x 180º , las soluciones son S : x x 180ºk, con k Z tgx=-b

Ej: 16 6

tg x x arctg 50,2º , S : x 50,2º 180ºk, con k Z5 5

Teniendo en cuenta las r.t. de 0º, 90º, 180º y – 90º

obtenemos fácilmente las

soluciones de las siguientes ecuaciones: sen x 0 x 0º 180ºk 180ºk

sen x 1 x 90º 360ºk , con k Z

sen x 1 x 90º 360ºk

cos x 0 x 90º 180ºk

cos x 1 x 0º 360ºk 360ºk , con k Z

cos x 1 x 180º 360ºk

Si m < – 1 ó m > 1 las ecuaciones sen x = m y cos x = m no tienen solución pues los valores de sen x y cos x siempre están entre –1 y 1. Para resolver otros tipos de ecuaciones trigonométricas usaremos las fórmulas trigonométricas y resultados conocidos para conseguir llegar a una ecuación trigonométrica básica.

Ejemplos:

1) 2cos2 x + 3sen x = 3 2(1 – sen2x) + 3 sen x – 3 = 0 –2sen2x + 3 sen x – 1 = 0 (t = sen x) –2t2+3t – 1 = 0 t = 1/2 , t = 1. Deshaciendo el cambio:

1

2 1

1x arcsen 30º x 30º 360ºk1

sen x S : , con k Z2x 150º 360ºk2

x 180º x 150º

sen x 1 x 90º 360ºk , con k Z


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2) cos x – 2 sen x = 2 21 sen x 2senx 2 (t = sen x) 21 t 2t 2 21 t 2t 2

Elevando al cuadrado: 1 – t2 = 4t2 + 8t + 4 5t2 + 8t + 3 = 0 t = –3/5 , t = –1.

Deshaciendo el cambio: 3 3 4sen x cosx 2. 2 cosx x IV cuadr S : x 36,87º 360ºk, con k Z

5 5 5

sen x 1 cosx 2.( 1) 2 cos x 0 x 90º 360ºk

3) sen2x + cos(2x) = 1 sen2x + cos2x – sen2x = 1 cos2x = 1 cos x = ±1 cos x 1 x 0º 360ºk 360ºk , cos x 1 x 180º 360ºk , con k Z Luego, las soluciones son: S: x = 180ºk, con k Z

4) 6sen3 x – sen(2x) cos x = 0 6sen3 x – (2sen x cos x)cos x = 0 2sen x [3sen2 x – cos2x] = 0 2sen x [3sen2 x – (1 – sen2x)] = 0 2sen x (4sen2 x – 1) = 0

2senx 0 senx 0 x 180ºk, con k Z ó 2 1 14sen x 1 0 senx

4 2

1

2



x 180º 30º 150º

1

2



x 180º 30º 210º

ACTIVIDADES

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas básicas: a) sen x = 1/2 b) cos x = 2

2

c) tg x = 3 d) sen x = – 0,72 e) cos x = 0,8 f) 1 3 tgx 0

Solución: a) x 30º 360ºk, con k Z

x 150º 360ºk

b) x 135º 360ºk

, con k Zx 135º 360ºk

c) x 71,6º 180ºk, con k Z

d) x 46,1º 360ºk, con k Z

x 226,1º 360ºk

e) x 36,9º 360ºk

, con k Zx 36,9º 360ºk

f) x 30º 180ºk, con k Z

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) sen2x + cos x = 5/4 b) sen x + cos(2x) = 1 c) sen x + cos x = 0 d) 2sen2x + cos(2x) = 4cos2x e) 2cos x = 1 – sen x f) tg x + cotg x = 5

Solución: a) x 60º 360ºk

, con k Zx 60º 360ºk

b)

x 180ºk

x 30º 360ºk , con k Z

x 150º 360ºk

c) x 135º 360ºk

, k Zx 45º 360ºk

d) x 60º 360ºk x 120º 360ºk

, con k Z , con k Zx 60º 360ºk x 240º 360ºk

e)

x 90º 360ºk, con k Z

x 36,9º 360ºk

f) x 78,2º 180ºk, con k Z x 11,3º 180ºk, con k Z


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6.- TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO

Dado un triángulo cualquiera ABC se cumple:

a b c:

sen A sen B sen C Teorema del seno

Demostración

hsen A h bsen A

a bb asen B bsen Ah sen A sen B

sen B h asen Ba

.

De forma análoga se demuestran las otras igualdades. 2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc cosA

co : b a c 2ac cosB

c a b 2ab cosC

Teorema del seno

Demostración:

x

cos A x b cosAb

Por otra parte, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la izquierda:

2 2 2 2 2 2b h x h b x Y ahora aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la derecha:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a h (c x) (b x ) c x 2cx b c 2cx b c 2c(b cosA) b c 2bc cosA De forma análoga se demuestran las otras igualdades. El uso de los teoremas del seno y del coseno nos permite resolver triángulos y, por tanto, muchos problemas donde intervienen dichos triángulos.

Ejemplos:

1) Resuelve el triángulo de lados a = 7 cm, b = 10 cm y c = 6 cm

Resolución

Por el teorema del coseno 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 b c a 10 6 7a b c 2bc.cosA 2bc.cosA b c a cosA 0,725 A arcos(0,725) 43,5º

2bc 2.10.6

2 2 2 2 2 22 2 2 a c b 7 6 10

b a c 2ac.cosB cosB 0,179 B arcos( 0,179) 100,3º2ac 2.7.6

Como la suma de los tres ángulos de un triángulo vale 180º, C = 180º – A – B ≈ 36,2º


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2) Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º. ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora?

Resolución

Como la suma de los tres ángulos de un triángulo vale 180º, E = 180º – A – B = 75º

Por el teorema del seno

10 sen 40ºa 6,65 km

sen 75ºa b 1010 sen 65ºsen 40º sen 65º sen 75º

b 9,38 kmsen 75º

3) Resuelve este triángulo y calcula su área

Resolución 2 2 2

A debe ser obtuso

Por el teorema del coseno : b 2 4 2. 4 .2.cos 50º 9,715 b 3,117

4 3,12 4sen50ºPor el teorema del seno : senA 0,983 A 100,56º

senA sen50º 3,117

Como los tres ángulos suman 180º C 180º 50º 100,56º C 29

, 44º

2h b.h 3,117.1,966

sen C h 4.sen C 4.sen 29,44º 1,966 A(triángulo) A(triángulo) 3,06 cm4 2 2

4) Resuelve el triángulo ABC siendo a = 3 m, b = 4 m y A = 30º

Resolución

a b 3 4 4sen30º 2Por el teorema del seno : senB B 41,8º

senA senB sen30º senB 3 3

Como los tres ángulos suman 180º C 180º 30º 41,8º C 108,2º

2 2 2 2 2Por el teorema del coseno :c a b 2ab.cos C 3 4 2.3. 4 .cos 108,2º 32,496 c 32,496


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ACTIVIDADES 1.- Calcula el perímetro y área de un triángulo que tiene dos lados de 5 cm y 8 cm, respectivamente que forman un ángulo de 40º. Redondea a las décimas. Solución: P = 18,3 cm A = 12,8 cm2.

2.- Resuelve este triángulo y calcula su perímetro y área redondeando a

las décimas. Solución: C = 110º, a ≈ 13,3 cm, b ≈ 17,1 cm, P = 55,4 cm, A = 106,3 cm2. 3.- Hallar el mayor ángulo del triángulo de lados 4 cm, 7 cm y 10 cm. Solución: A ≈ 128º 42´ 4.- Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6 km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora y media? Solución: Aproximadamente a 6,9 km 5.- Se quiere construir un puente desde A hasta B (ver figura). Calcula la longitud del puente

Solución: Aproximadamente a 73,2 m 6.- Un carpintero quiere construir una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2 m otro 1,5 m y el ángulo opuesto al primero debe ser de 40°. Halla el resto de las medidas para que el carpintero pueda construirlo. Solución: C ≈ 28º 48´ A ≈ 111º 11´ a ≈ 2,9 m 7.- Las longitudes de los lados de una finca triangular son de 240 m y de 300 m, y el ángulo opuesto al lado mayor mide 75°. Hallar el tercer lado. Solución: Aproximadamente a 252,5 m 8.- Una escalera de 5,2 m de largo es colocada a 2 m de la base de un muro inclinado y alcanza una altura de 4,6 m sobre dicho muro. Hállese el ángulo de inclinación del muro. Solución: Aproximadamente a 94,5º

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1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 3.- …iesaricel.org/rafanogal/bachillerato/1bach-mat1-19-20/1bach ciencias-u3... · Razones trigonométricas de ángulos complementarios