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Contenido
1. Fundamentos Matemáticos2. Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa3. Esquema universal moderno del control de
motores eléctricos: “Control Maestro-Esclavo”1. Control Maestro-Esclavo2. Diseño del controlador para el motor de cd3. Diseño del observador para el par de carga
4. Control por modos deslizantes5. Aspectos prácticos para la implementación en
tiempo real
3
Fundamentos Matemáticos
Analicemos la
siguiente ecuación
diferencial lineal de
primer orden
encontrando su
solución.
buaxx
buaxx
Multiplicando por el factor de integración
budtexed
buedtxed
bueaxexe
atat
atat
atatat
)(
)(
4
Fundamentos Matemáticos
Integrando en ambos lados
tatat
tatat
t
at
tat
tat
budtextxe
budtexexe
budtexed
0
00
00
)0()(
)(
t
atatat budteexetx0
)0()(
Para facilitar los cálculos
vamos a considerar que u
es constante, u=u0
0
0
00
11
)0()(
11
)0()(
)0()(
buea
xetx
buea
exetx
dtbueexetx
atat
atatat
tatatat
5
Fundamentos Matemáticos
Sin perdida de generalidad vamos a considerar que u0=0
)0()( xetx at
Supongamos que a>0 Supongamos que a<0
)(tx
)0(x
t
)(tx
t
)0(x
5
Constante de tiempo a1
6
Fundamentos Matemáticos
Ahora consideremos que u00
00)0()( uab
ueab
xetx atat
Supongamos que a>0 Supongamos que a<0
)(tx
)0(x
t
)(tx
t
)0(x
5
Constante de tiempo a1
0ua
b
Respuesta en estado estable
Respuesta
transitoria
7
Fundamentos Matemáticos
El signo de “a” determina si la solución de la ecuación
diferencial tenderá a infinito (a>0) o a un valor finito (a<0).
En caso de ser negativo, el valor finito depende de tipo de
la señal de entrada.
A la constante “a” se le conoce por los siguiente nombres: Polo Valor propio Eigenvalor
buaxx
8
Fundamentos Matemáticos
Relación con la transformada de Laplace.
Tomemos ahora la transformada de Laplace de la ecuación diferencial:
)()()0(
)(
)()0())((
)()()0()(
}{}{
assbUx
sX
sbUxassX
sbUsaXxssX
buaxLxL
Se observa entonces que tiene la siguiente ecuación característica
0)()( assF
Polo en s=a
9
Fundamentos Matemáticos
Ahora surge la siguiente pregunta:
Como se determinan los valores propios de un conjunto
de ecuaciones diferenciales lineales?
Ejemplo:
La mejor manera de representar un sistema de
ecuaciones diferenciales es usando matrices
ubxaxax
ubxaxax
22221212
12121111
10
Fundamentos Matemáticos
Para esto definimos el siguiente vector
Derivando este vector tenemos que
En donde
2
1
x
xx
uBAxx
2
1
2221
1211 ,b
b
aa
aaBA
11
Fundamentos Matemáticos
Comparando la ecuación diferencial escalar y matricial
Notamos entonces que los polos de la ecuación
diferencial matricial están relacionados con la matriz A de
hecho, estos polos se encuentran dentro de dicha matriz.
Los polos se despejan de la ecuación característica
usando la siguiente formulabuaxx uBAxx
)det()( 22 AI ssF
12
Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa
Funcionamiento básico del motor de cd
13
Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa
Diagrama esquemático del motor de CD
Variablesi - Corriente de armadurau – Voltaje en terminales – Velocidad del eje del rotorL–Par de carga
ConstantesR – Resistencia de armaduraL – Inductancia de armadura - Constante de la fuerza
contraelectromotrizJ – Momento de inercia del rotor y la carga
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Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa
Modelo matemático del motor de CD
Ecuación eléctrica
Ecuación mecánica
0dtdi
LRiu
LmJ
Voltaje contra electromotriz
Par desarrollado por el motor
Par mecánico ikTm kT es la constante
del par
15
Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa
Reordenado las ecuaciones tenemos el modelo final con el que vamos a trabajar
uLL
iLR
dtdi 10
LT
Ji
Jk
dtd 1
Como elegir el voltaje u para que la velocidad sea igual a una de velocidad de referencia deseada ref?
16
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Control Maestro-Esclavo
Lazo interno de control conocido como control esclavoLazo externo de control conocido como control maestro
17
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del controlador para el motor de cd
Empecemos por definir error en velocidad como la
diferencia entre la velocidad del motor y su velocidad de
Referencia
Entonces el objetivo de control es hacer que el error “e”
tienda a cero. Para esto tomemos la derivada de “e”.
refe
dt
d
Ji
Jk
dt
de
dt
d
dtd
dt
de
refL
T
ref
1
18
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del controlador para el motor de cd
Como lograr que e =0?
Si logramos hacer que
Entonces tenemos que
Para lograrlo partimos de
0, 11 aeadtde
)0()( 1 eete ta
)(te
t
)0(e
5
Constante de tiempo1
1a
dtde
ea1 dt
d
Ji
Jk ref
LT
1
19
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del controlador para el motor de cd
De la última ecuación
despejaremos la corriente como corriente de referencia
(iref) o deseada
esto solo representa un valor deseado para la corriente.
Para lograr que la corriente real del motor “i”, sea igual a
la de referencia “iref”, introducimos el error en corriente “ei”
eadt
d
Ji
Jk ref
LT
11
ekJa
dt
d
kJ
ki
T
ref
TL
Tref
11
20
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del controlador para el motor de cd
Esto es,
Tomando la derivada de “ei”
De la misma forma, proponemos
para así poder garantizar ei=0
refi iie
dt
diuLL
iLR
dt
de
dt
di
dtdi
dt
de
refi
refi
10
0, 22 aeadtde
ii
)(tei
t
)0(ie
5
Constante de tiempo2
1a
21
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del controlador para el motor de cd
Para lograrlo tenemos que
Y finalmente despejamos el control o voltaje “u” como
Este voltaje es tal que si lo ponemos en las terminales del
motor tendremos que “=ref” para un tiempo dado.
dtdei
iea2 dt
diuLL
iLR ref10
iref eLadt
diLRiu 20
22
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del controlador para el motor de cd
Comprobación: Tenemos que
Sustituyendo o aplicando el voltaje de control diseñado
Lo que lleva a
iref eLadt
diLRiu 20
dt
diuLL
iLR
dt
de refi 10
ii eadtde
2
23
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del controlador para el motor de cd
Haciendo lo mismo para la ecuación de error de velocidad
Recordemos que definimos
Sustituyéndola en la ecuación de error de velocidad
Recordemos también que Reemplazando arriba:
dt
d
Ji
Jk
dt
de refL
T
1
refirefi ieiiie
dt
d
Ji
Jk
eJk
dt
de refLref
Ti
T
1
ekJa
dt
d
kJ
ki
T
ref
TL
Tref
11 iT eJk
eadtde
1
24
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del controlador para el motor de cd
Resumiendo los resultados
Nos lleva al siguiente análisis:
1. Debido a que a2<0, “ei” tenderá a cero en t=5/a2
2. Por lo que el conjunto de ecuaciones se reduce a
3. De la misma forma, ya que a1<0, “e” tenderá a cero en t=5/a1
4. Finamente, como e =0, tenemos que =ref, cumpliéndose así con el objetivo de control
,1 iT eJk
eadtde
i
i eadtde
2
eadtde
1
25
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del observador para el par de carga
Ahora analicemos el voltaje de control diseñado
Para poder implementar este voltaje de control se necesitan medir las siguientes variables1. La corriente i (Se utiliza sensor de corriente)2. La velocidad (Se utiliza sensor de velocidad)
3. El par de carga L que es desconocido (Sensor muy costoso)
iref eLadt
diLRiu 20
ekJa
dt
d
kJ
ki
T
ref
TL
Tref
11
26
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del observador para el par de carga
Para superar el problema del par de carga desconocido se procede a diseñar el estimador u observador para el par de carga, para esto se hace la siguiente asunción:
Esto significa que se asume que la variación del par de carga con respecto del tiempo es muy lento, por decir, constante. Esto es valido ya que la velocidad y la corriente varían más rápido con respecto al tiempo. Por lo que la ecuación anterior representa el modelo matemático del par de carga.
0dtd L
27
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del observador para el par de carga
Agregando la ecuación de la velocidad
El observador es una copia exacta de las ecuaciones
diferenciales más unas ganancias para garantizar la
Estimación.
El gorro indica que es una variable estimada
0
1
dtd
Ji
Jk
dtd
L
LT
)ˆ(ˆ
)ˆ(ˆ1ˆ
2
1
ldtd
lJ
iJk
dtd
L
LT
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Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del observador para el par de carga
El objetivo del observador es garantizar que las variables
estimadas tiendan a ser iguales que las variables reales.
Para poder lograr esto introducimos los errores de
estimación.
Tomemos ahora las derivada de estos errores
LLL
ˆ~ˆ~
~ˆ~
~~1~ˆ11ˆ~
2
11
ldtd
dtd
dtd
lJ
lJ
iJk
Ji
Jk
dtd
dtd
dtd
LLL
LLT
LT
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Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del observador para el par de carga
La ecuaciones de error del observador se pueden arreglar
en forma matricial
Entonces se debe elegir l1 y l2 para que la matriz A tenga
sus polos negativos y así los errores de estimación
tiendan a cero
LL lJ
l
dtddtd
~
~
0
1
~
~
2
1
xAx ~~
30
Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del observador para el par de carga
La ecuación característica es
Reformulando lo anteriormente dicho, se deben elegir l1 y
l2 para que P(s) tenga sus raíces (Polos) negativos para
que los errores de estimación tiendan a cero
slJ
ls
lJ
ls
s
lJ
ls
AsIsP
2
1
2
1
2
1
22
1det
0
1
0
0det
0
1
10
01det
0)det()(
sls 12 02
Jl
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Esquema universal moderno del control de motores eléctricos
Diseño del observador para el par de carga
Para elegir correctamente l1 y l2 propondremos una
ecuación característica deseada con polos deseados
p1<0 y p2<0
Comparándola con P(s)
0)())(()( 21212
21 ppsppspspssPd
0)( 21
2 Jl
slssP
212
211
pJpl
ppl
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Control por modos deslizantes
El control por modos deslizantes es una técnica de
control originaria de Rusia. Actualmente es muy usada en
muchas aplicaciones como motores eléctricos, robótica,
industria automotriz (frenos abs, fuel injection, control de
crucero, etc.).
Recordando las ecuaciones de error de velocidad y de
corrientei
T eJk
eadtde
1
dt
diuLL
iLR
dt
de refi 10
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Control por modos deslizantes
El control por modos deslizantes se elige como una
función signo
Mediante un análisis avanzado pero ya bien conocido se
sabe que este controlador garantiza ei=0
Cumpliéndose de nuevo con el objetivo de control, como
se ha visto anteriormente
dt
diLRikeksignu ref
i 0),(
iT eJk
eadtde
1
34
Control por modos deslizantes
El control por modos deslizantes tiene dos ventajas
principales sobre el controlador anteriormente diseñado
1. Es robusto ante variaciones de parámetros, por ejemplo, supongamos que la resistencia empieza a incrementarse en una cantidad desconocida R de la cual solo se conoce su valor máximo Rmax porque el motor se está calentando, entonces k debe ser mayor.
2. No requiere de modulación de ancho de pulso, PWM por sus siglas en ingles, ya que la señal signo produce una señal que switchea entre dos estados ideal para ser aplicada en drivers de motores de cd como el puente H.
dt
diLiRRik ref 0max
35
Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real
A continuación conoceremos más detalles para la
implementación del controlador en tiempo real
36
Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real
Sensores de velocidad
Tacogenerador (Analógico) Encoder (Digital)
Voltaje proporcional Tren de pulsos
a la velocidad
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Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real
Sensor de corriente
Entrega un voltaje proporcional a la corriente
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Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real
Puente H
Los pares de switches 1, 4 y 2, 3 se enciende simultáneamente
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Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real
PWM
Convierte una señal analógica en una señal de dos estados
