Nội dung ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------

1 – Đạo hàm

2 – Vi phân.

3 – Định lý giá trị trung bình

4 – Công thức Taylor, Maclaurint

Định nghĩa (đạo hàm)

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm . 0x

' 0 00

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0 . '

0( )f x

I. Đạo hàm

Ví dụ

Tìm đạo hàm của hàm tại điểm x0 ( ) cosf x x

' 0 00

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

0 0

0

cos( ) coslimx

x x x

x

0

0

sin sin2 2

lim

2

x

x xx

x

0sin( )x

'

0

(0 ) (0)(0) lim

x

f x ff

x

Ví dụ

Tìm , biết

2 1sin , 0

( )

0, 0

x xf x x

x

'(0)f

2

0

sin 1/ 0limx

x x

x

0

1lim sinx

xx

0 (bị chặn x vô cùng bé)

Định nghĩa (đạo hàm phải)

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm . 0x

0 00

0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f xf x

x

được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 . '

0( )f x

Định nghĩa (đạo hàm trái)

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm . 0x

0 00

0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f xf x

x

được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x0 . '

0( )f x

Định nghĩa (đạo hàm vô cùng)

Nếu , thì ta nói hàm 0 0

0

( ) ( )limx

f x x f x

x

có đạo hàm vô cùng tại điểm x0 .

Định lý

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi 0x

nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và

hai đạo hàm này bằng nhau.

'

0

(0 ) (0)(0 ) lim

x

f x ff

x

Ví dụ

Tìm , biết

1/ , 0( )

0, 0

xe xf x

x

' '(0 ); (0 )f f

1/

0

0lim

x

x

e

x

'

0

(0 ) (0)(0 ) lim

x

f x ff

x

1/

0

0lim

x

x

e

x

0

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,

nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.

Ví dụ

Tìm , biết 2( ) 3 | | 2f x x x '( )f x

Tại điểm x = 0:

2

2

3 2, 0( )

3 2, 0

x x xf x

x x x

'2 3, 0

( )2 3, 0

x xf x

x x

' '(0 ) 3; (0 ) 3f f

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,

suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.

'

0

(0 ) (0)(0 ) lim

x

f x ff

x

Ví dụ

Tìm , biết ( ) sin 2f x x' '(0); (0)f f

0

sin 2limx

x

x

2

'

0

(0 ) (0)(0 ) lim

x

f x ff

x

0

sin 2limx

x

x

2

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,

nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.

Ví dụ

Tìm , biết

sin, 0

( )

1, 0

xx

f x x

x

'( )f x

' 2

cos sin, 0

( )

0, 0

x x xx

f x x

x

'

0

(0 ) (0)(0) lim

x

f x ff

x

0

sin1

limx

x

x

x

20

sinlimx

x x

x

0

'

0

1arctan

2(0 ) limx

xfx

Ví dụ

Tìm , biết

1arctan , 0

( )

, 02

xx

f x

x

' '(0 ), (0 )f f

'

0

1arctan

2(0 ) limx

xfx

1

Đạo hàm hàm hợp

'

1. 0a

'

12. x x

'

3. x xe e

'

4. sin cosx x

'

5. cos sinx x

' 1

6. ln xx

'

2

17. tan

cosx

x

'

2

18. cot

sinx

x

'

1 '2. u u u

'

'3. u ue e u

' '4. sin cosu u u

' '5. cos sinu u u

'

'6. ln

uu

u

'

'

27. tan

cos

uu

u

'

'

28. cot

sin

uu

u

Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic

'

2

11. arcsin

1x

x

'

2

12. arccos

1x

x

'

2

13. arctan

1x

x

'

2

14. arccot

1x

x

'

5. sinh coshx x

'

6. cosh sinhx x

'

2

17. tanh

coshx

x

'

2

18. coth

sinhx

x

Công thức tính đạo hàm

' '1. u u

' ' '2. u v u v

' ' '3. u v u v u v

' ' ' '4. u v w u v w u v w u v w

' ' '

25.

u u v u v

v v

' ' '( ), ( ) ( ) ( ) ( )f f u u u x f x f u u x

Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương,

hàm hợp.

Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm của hàm ngược.

'0 '

0

1( )

( )g y

f x

Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y).

'

'

1( )

( )x y

y x

Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0, thì

hàm

g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và

Ví dụ

Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm 3( )f x x x

f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm ' 2( ) 1 3 0,f x x x

' 2

1 1

( ) 1 3

dx

dy y x x

x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm '( ) 1/ cosh 0,x y y y

'

' 2 2

1 1 1( )

( ) 1 sinh 1

dyy x

dx x y y x

Ví dụ

Tìm , biết sinh2

y ye ex y

'( )y x

Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.

' ''

' '

( ) ( )( )

( ) ( )

dy y t dt y ty x

dx x t dt x t

( )

( )

x x t

y y t

Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số:

Giả sử hàm có hàm ngược ( )x x t ( )t t x

Khi đó là hàm y theo biến x. ( ) ( ( ))y y t y t x

''

'

( )( )

( )

y ty x

x t

Ví dụ

Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số

3 3cos , sin , (0, / 2).x a t y b t t

''

'

( )( )

( )

y ty x

x t

' 2( ) 3 cos sin 0, (0, / 2)x t a t t t

' 2( ) 3 sin cosy t b t t

2

2

3 sin costan

3 cos sin

b t t bt

aa t t

Đạo hàm của hàm ẩn.

Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi

x là biến, y là hàm theo x.

Hàm y = y(x) với cho ẩn bởi phương trình ( , )x a b

nếu với . ( , ) 0F x y ( , ( )) 0F x y x ( , )x a b

Ví dụ

2 3 cosx ye x y

Tìm , biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ '( )y x

phương trình

2 ' 2 '2 ( ) 3 ( ) sinx ye y x x y x y 2 2

'

2

3 2( )

sin

x y

x y

x ey x

e y

Ví dụ

Tìm , biết 3( ) ln ; (2 1),1 cos

xef x x n n Z

x

'( )f x

1 1 1ln ln(1 cos ) ln(1 cos )

3 3 3 3

x xy e x x

' 1 1 sin

3 3 1 cos

xy

x

' 1 1 sin

3 3 1 cos

xy

x

Ví dụ

Tìm , biết 2

3 4 7

1( ) ,

sin

xf x x n n Z

x x

;

'( )f x

2 4ln ln(1 ) ln 7lnsin

3f x x x

2'

23 4 7

1 2 4 cos7

3 sin1sin

x x xy

x xxx x

Đạo hàm hai vế '

2

2 4 cos7

3 sin1

f x x

f x xx

Ví dụ

Tìm , biết sin( ) (2 1) xf x x '( )f x

Đạo hàm hai vế

sinln ln(2 1) sin .ln(2 1)xf x x x

' 2sincos .ln(2 1)

2 1

f xx x

f x

' 2sincos .ln(2 1)

2 1

xf f x x

x

sin 2sin(2 1) cos .ln(2 1)

2 1

x xx x x

x

Có thể sử dụng: sin .ln(2 1)( ) x xf x e

Định nghĩa (đạo hàm cấp cao)

Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số.

'

'' '( ) ( )f x f x

Nếu f’(x) khả vi ta có thể lấy đạo hàm một lần nữa

của f’(x), ta được khái niệm đạo hàm cấp hai.

Tiếp tục quá trình ta có đạo hàm cấp n.

'

( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x

Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao)

Dùng qui nạp ta chứng minh được

( ) ( ) ( )

0

. .nn k k n k

nk

f g C f g

Giả sử .y f g

0 (0) ( ) 1 (1) ( 1) ( ) (0). . .n n n nn n nC f g C f g C f g

Qui ước: (0) (0); .f f g g

Phương pháp tính đạo hàm cấp cao.

1) Sử dụng các đạo hàm cấp cao của một số hàm đã

biết.

2) Phân tích thành tổng các hàm “đơn giản”.

3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là

hàm đa thức, chỉ có vài đạo hàm khác không, sau đó sử

dụng công thức Leibnitz.

4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học)

Đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp

( )

1) ( 1) ( 1)n

nx a n x a

( )

1

1 1( 1) !

( )

n

n

nn

x a x a

( )

2) n

ax n axe a e

( ) 1 ( 1)!

3) ln ( 1)n n

n

nx

x

( )

4) sin( ) sin( )2

n nax a ax n

( )

5) cos( ) cos( )2

n nax a ax n

Chú ý: ( )

n

ax b

( )

ln( )n

ax b

( )

sin( ) sin( )2

n nax b a ax b n

( )

cos( ) cos( )2

n nax b a ax b n

( 1) ( 1) nnn ax b a

1 ( 1)!( 1)

( )

n n

n

n

axa

b

100

(100) 99

100

2ln(2 3) ( 1) 99!

(2 3)x

x

Ví dụ.

1 1 1 1

( 2)( 2) 4 2 2y

x x x x

Ví dụ

Tính , biết 2

1

4y

x

( ) ( )ny x

( )

1

1 1( 1) !

( )

n

n

nn

x a x a

Sử dụng công thức

( )

1 1

( 1) ! 1 1

4 ( 2) ( 2)

nn

n n

ny

x x

1 1 1 1

( 2 )( 2 ) 4 2 2y

x i x i i x i x i

Ví dụ

Tính , biết 2

1

4y

x

(100) (0)y

( )

1

1 1( 1) !

( )

n

n

nn

x a x a

Sử dụng công thức

( )

1 1

( 1) ! 1 1

4 ( 2 ) ( 2 )

nn

n n

ny

i x i x i

100(100)

101 101

( 1) 100! 1 1

4 ( 2 ) (2 )y

i i i

100

100!

4 2

1 cos2 1 cos2

2 2 2

x xy

Ví dụ

Tính biết 2siny x( ) ( ),ny x

( ) 1( ) 2 cos(2 )

2 2

n ny x x n

( ) 1( ) 2 cos(2 )2

n ny x x n

2( ) 3 1; ( ) lnf x x g x x .y f g

(100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98)100 100 100( . ) . . .f g C f g C f g C f g

Ví dụ

Tính , biết 2(3 1)lny x x (100) (1)y

Vì , nên ( )

0, 2k

f k

(100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98)100 100 100( . ) . . 0.f g C f g C f g C f g

3 (3) (97) 100 (100) (0)100 100C f g C f g

(100) 99

100

99!ln ( 1) ,x

x

(100) 2

100 99 98

99! 98! 97!( ) 1. 3 1 . 100.6 . 4950.6.y x x

x x x

Sử dụng , ta có ( ) 1 ( 1)!

ln ( 1)n n

n

nx

x

(99) 98

99

98!ln ( 1)x

x

(98) 97

98

97!ln ( 1)x

x

(100)( ) (1) 4.99! 600.98! 29700.97!y

9708 97!

2 3; cos2f x g x

Ví dụ

Tính , biết (2 3).cos2y x x (100) ( )y x

(100) 0 (0) (100) 1 (1) (99)100 100. . . 0( )f g C f g C f g

(100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98)100 100 100( )fg C f g C f g C f g

100 99100 99(2 3).2 cos 2 200.2 cos 2

2 2x x x

100 99(2 3).2 .cos2 200.2 .sin 2x x x

'

2

1

1y

x

Ví dụ

Tính , biết arctany x(100) (101)(0); (0)y y

2 ( ) ( 1) ( 2)(1 ) 2( 1) ( 1)( 2) 0n n nx y n x y n n y

0 (0) ( 1) 1 (1) ( 2) 2 (2) ( 3)1 1 1 0n n n

n n nC f g C f g C f g

( ) ( 2)(0) ( 1)( 2) (0)n ny n n y

2 '(1 ) ( ) 1x y x 2 '(1 ); ( )f x g y x

Vì nên ''(0) 0y (100) (0) 0.y

Vì nên '(0) 1y

(101) (0) 100!y

'

2

1

1y

x

Ví dụ

Tính , biết arctany x(100) (101)(0); (0)y y

1( ) ( 1) ( 1)! 1 1

2 ( ) ( )

nn

n n

ny

i x i x i

99(100)

100 100

( 1) .99! 1 1(0) 0

2 ( ) ( )y

i i i

1 1 1

2i x i x i

100(101)

101 101

( 1) .100! 1 1 100! 1 1(0) 100!

2 2( ) ( )y

i i i ii i

Định nghĩa (khả vi)

Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại điểm , nếu 0x

0 0( ) ( ) . ( )f x x f x A x x

II. Vi phân

Khi đó được gọi là vi phân của hàm f(x) tại x0, .A x

0( ) . df x A xký hiệu

Định lý

Hàm số y = f(x) khả vi tại khi và chỉ khi tồn tại 0x'

0( ).f x

a) Nếu f khả vi tại x0, thì: 0 0( ) ( ) . ( )f x x f x A x x

0 0( ) ( ) ( )f x x f x xA

x x

' 0 00

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

0

( )limx

xA A

x

b) Ngược lại nếu tồn tại ' 0 0

00

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

'0 00

( ) ( )( ) 0

f x x f xf x

x

. Vậy: f(x) khả vi tại x0.

Vi phân của hàm f(x) tại x0: '

0 0( ) ( )df x f x dx

Tính chất của vi phân

1) 0, d R

3) d f g df dg

4) . d f g gdf fdg

25)

f gdf fdgd

g g

Tất cả các tính

chất này đều

suy ra trực tiếp

từ tính chất của

đạo hàm.

2) . , d f df R

0x

0x x

0( )f x

0f x x

0 0f x x f x

df(x0)

thì ( ) 0x 0 0 0( ) ( ) ( )f f x x f x df x

Vi phân của hàm hợp.

( )

( )

y y u

u u x

( ( ))y y u x

'( )dy y x dx

Hai công thức này có dạng giống nhau, không phụ

thuộc biến độc lập x hay biến hàm u.

' '( ). ( ) y u u x dx '( )y u du

'( )dy y x dx'( )dy y u du

Vi phân cấp một có tính bất biến.

Vi phân của hàm cho bởi phương trình tham số

( )

( )

x x t

y y t

''

'

( )( )

( )

y tdy y x dx dx

x t

Vi phân của hàm ẩn

là hàm ẩn xác định từ pt ( )y y x ( , ) 0.F x y

''

'( ) x

y

Fdy y x dx dx

F

Ứng dụng vi phân cấp một tính gần đúng

'0 0 0( ) ( ) ( ) f x x f x f x x x

là hàm khả vi trong lân cận của x0. ( )y y x

'0 0 0( ) ( )f x f x f x x x

Công thức tính gần đúng dựa vào vi phân cấp 1.

'0 0 0( ) ( )f x f x f x x x

f df

Thay vì tính giá trị phức tạp, tính df đơn giản hơn. f

a)

Ví dụ Cho . 3 2( ) 2 1f x x x x

a) Tính và , nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01. f df

b) Tính và , nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05. f df

3 2(2) 2 2 2.2 1 9f

3 2

(2.01) 2.01 2.01 2. 2.01 1 9.140701f

0 0( ) ( )f f x x f x (2.01) (2 0.14) 0701f f

'0 0( )df f x x x 23.2 2.2 2 0.01 0.14

b) Tương tự. 0.717625f 0.7df

Khi x thay đổi nhỏ, và càng gần nhau. f df

Ví dụ a) Tìm vi phân cấp 1 tại của

.

3f x

b) Sử dụng a), tính gần đúng . 3.98

' 1( )

2 3f x

x

1

2 3df dx

x

0 1x

1 1(1) ( 1)

4 4df dx x

1

( ) (1) 14

f x f x khi x gần 0 1x

3.98 3 0.98

x

1(1) (0.9 )8 1

4f 1.995

Nếu dùng máy tính: 1.99493.98 9373

'(1) (1) 1y y f x

3.98

Giá trị gần

đúng

Giá trị chính

xác của 3.98

Trong ví dụ này, tiếp tuyến nằm trên đồ thị hàm số

nên giá trị gần đúng luôn lớn hơn giá trị chính xác.

Ví dụ: Bán kính của hình cầu đo được là 21cm, với

Thể tích hình cầu là:

sai số không quá 0.05cm. Hỏi sai số lớn nhất của thể

tích hình cầu đo được so với thể tích thực là bao

nhiêu?

34

3V r

Sai số lớn nhất của thể tích là V dV

'( )V V r r 2 34 21 0.05 277 (cm )

21, 0.05r r

Vi phân cấp cao

Vi phân (nếu có) của df(x) được gọi là vi phân cấp

hai của hàm y = f(x).

'( ) ( )df x f x dx là một hàm theo biến x.

2 ( )d f x d df '( )d f x dx '( )dxd f x

'

'( )dx f x dx''( )f x dxdx

'' 2( )f x dx

Tương tự, vi phân cấp n là vi phân (nếu có) của vi

phân cấp n – 1:

( )( ) ( ) .n n nd f x f x dx

Vi phân cấp cao của hàm hợp ( )

( )

f f u

u u x

Vi phân cấp một có tính bất biến: ' '( ) ( )df f x dx f u du

Vi phân cấp hai 2 '( )d f d df d f u du

Chú ý: dx là hằng số, du không là hằng số: '( )du u x dx

'2 ') ( ))( (d f dud f uu f u d d

'

2' '( ) ( ( ))f u u du udu f u d

2 '' 2 ' 2( ) ( )d f f u du f u d u còn 2 '' 2( )d f f x dx

Do đó vi phân cấp 2 không còn tính bất biến.

III. Các định lý về giá trị trung bình

Định lý Rolle Cho hàm y = f(x).

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b)

3) f (a) = f(b) ', : ( ) 0c a b f c

Định lý Fermat

Hàm y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 và

đạt cực trị tại đó. Nếu tồn tại đạo hàm , thì

'0( )f x

'0( ) 0.f x

Nêu lên mối liên hệ giữa hàm y = f(x) và đạo hàm

.

'( )f x

III. Các định lý về giá trị trung bình

3)

Định lý Lagrange Cho hàm y = f(x).

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b) , :c a b

'( ) ( )( )

f b f af c

b a

Định lý Cauchy Cho hai hàm y = f(x) và y = g(x).

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b) , :c a b

'

'

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f b f a f c

g b a g c

( ) 0, ,g x x a b

Hàm khả vi trên đoạn [1,3] và bằng 0 tại các điểm ( )f x

Ví dụ

Kiểm tra tính đúng đắn của định lý Rolle đối với hàm

( ) ( 1)( 2)( 3)f x x x x

x = 1, x= 2, x = 3.

Trên hai đoạn [1,2] và [2,3] đối với hàm f(x) thỏa mãn

tất cả các điều kiện của định lý Rolle.

Tồn tại ít nhất hai điểm của khoảng (1,3) tại đó

.

'( ) 0f x

' 2( ) 3 12 11 0f x x x 1 2

1 12 ; 2

3 3c c

1 2[1,2]; [2,3]c c

' '(1 ) 1 (1 )f f Ta có

'(2) (0) ( ) 2 0 ,0 2f f f c c

' '

2

1( ) ,0 1, ( ) ,1 2f x x x f x x

x

Ví dụ. Xác định giá trị trung gian c trong đlý Lagrange

23, 0 1

2( )1

, 1

xx

f x

xx

đối với hàm trên đoạn [0,2].

Vậy f(x) khả vi, liên tục trên đoạn [0,2]. Theo đlý

Lagrange

2

2 , 0 11

2/ , 1 2

c c

c c

1/ 2 2c c

Trên đoạn [0,2], hàm khả vi và liên tục.

Áp dụng đlý Lagrange, ta có:

Ví dụ. Giả sử . Hỏi giá trị lớn nhất '(0) 3, ( ) ( ) 5f x f x

của f(2) có thể là bao nhiêu?

'(2) (0) ( ) 2 0f f f c '2 ( )f c

'(2) (0) 2 ( )f f f c

(2) 3 2 5 7.f

Hàm liên tục và khả vi trên đoạn [a,b]. ( ) arctanf x x

Ví dụ

Chứng minh bất đẳng thức

arctan arctana b a b

'( ) ( ) ( )f b f a f c b a

Theo định lý Lagrange, tồn tại một hằng số ,c a b

2

1( ) ( )

1f b f a b a

c

arctan arctana b a b

IV. Công thức Taylor, Maclaurint

Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x0.

Mục đích. Tìm một đa thức bậc n, sao cho:

1) ( ) ( )0 0 0 0( ) ( ); 1,..., : ( ) ( )k k

n nf x P x k n f x P x

2) là xấp xỉ tốt nhất cho hàm f(x) trong lân cận ( )nP x

của x0, tức là là VCB bậc cao hơn ( ) ( )nf x P x 0( )nx x

IV. Công thức Taylor, Maclaurint

Định nghĩa

Đa thức gọi là khai triển

Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận của

x0.

Taylor đến bậc n của hàm f(x) trong lân cận của x0

( )

00 0

1

( )( ) ( )

!

kn k

nk

f xP x f x x x

k

Lưu ý: Với một hàm có đạo hàm đến cấp n cho trước

ta luôn tìm được đa thức Taylor.

Định lý sau cho ta thấy Pn(x) là xấp xỉ (tốt nhất) cho hàm

y = f(x) (khác nhau một đại lượng là VCB bậc n+1).

Định lý

Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n + 1 trong lân

cận điểm . Công thức Taylor của f(x) đến cấp n tại

x0 là:

' ''20 0

0 0 0

( ) ( )( )

1)

! 2!(

f x f xf x x xf x x x

IV. Công thức Taylor, Maclaurint

0x

( 1)

1( )

00 0

( )( )

( 1)!

( )

!

nn

nn ff x

x x xn

xn

Phần dư cấp n: ( )nR x

( )

00 0

1

( )( ) ( ) ( )

!

kn k

n n nk

f xf x f x x x R x P x R x

k

là số nằm giữa x và x0

Từ công thức Taylor, ta có:

Định lý

Trong định nghĩa của công thức Taylor, ta có:

0( )n

nR x x x

( ) ( )n nR x f x P x

( ) ( )0 0 0 0( ) ( ), 1,..., : ( ) ( )k k

n nf x P x k n f x P x

' ( )0 0 0( ) ( ) ( ) 0n

n n nR x R x R x

0 0 0

' ( )

1

0 0

( ) ( ) ( )lim lim lim 0

!

nn n n

n nx x x x x x

R x R x R x

nx x n x x

0( )n

nR x x x

Sử dụng qui tắc L’Hôpital n lần, ta được:

Phần dư ghi ở dạng Peano

0

n

nR x x x

Phần dư là một vô cùng bé bậc cao hơn 0

nx x

Khi không quan tâm đến phần dư, sử dụng dạng

Peano

Phần dư ghi ở dạng Lagrange

( 1)

1

0 0 0,( 1)!

nn

n

fR x x x x x x x

n

Khi cần đánh giá phần dư, sử dụng dạng Lagrange:

Khai triển Taylor tại x0 = 0 gọi là khai triển Maclaurint.

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

2 3

1) 1 ( )2! 3! !

nx nx x x

e x xn

2 312) ln(1 ) ( 1) ( )

2 3

nn nx x x

x x xn

3 5 2 12 23) sin ( 1) ( )

3! 5! (2 1)!

nn nx x x

x x xn

2 4 22 14) cos 1 ( 1) ( )

2! 4! (2 )!

nn nx x x

x xn

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

3 5 2 12 25) sinh ( )

3! 5! 2 1 !

nnx x x

x x xn

2 4 22 16) cosh 1 ( )

2! 4! 2 !

nnx x x

x xn

1 ( 1)

7) 1 1 ( )!

n nnx x x x

n

3 5 2 12 28) arctan ( 1) ( )

3 5 2 1

nn nx x x

x x xn

Có thể dùng phương pháp sau để nhớ các khai triển

ln(1 )1

dxx

x

2 31ln(1 ) ( 1) ( )

2 3

nn nx x x

x x xn

2arctan

1

dxx

x

2 3 1 1 11 ( 1) ( )n n nx x x x x dx

2 4 1 2 2 2 21 ( 1) ( )n n nx x x x dx 3 5 2 1

1 2 1arctan ( 1) ( )3 5 2 1

nn nx x x

x x xn

ln(1 ), arctan , arcsin , arccos ,...x x x x

2 2 3

1 2 3( ) 1 ; ( ) 1 ; ( ) 1 ;2! 2! 3!

x x xP x x P x x P x x

3( )P x

1( )P x

2( )P x

3( )P x

2( )P x

Các ứng dụng của công thức Taylor, Maclaurint

1) Xấp xỉ hàm y = f(x) bởi một đa thức bậc n.

2) Tìm đạo hàm cấp cao của y = f(x) tại điểm x0.

3) Tìm giới hạn của hàm số.

4) Tính gần đúng với độ chính xác cho trước.

Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 3 của hàm

2

1( )

5 6f x

x x

1

( )2 3

f xx x

2 311

1

n nx x x x xx

2 311 ( 1)

1

n n nx x x x xx

1 1

2 3x x

1 1 1 1

2 1 / 2 3 1 /3x x

2 3 2 33 31 1

1 ( ) 1 ( )2 2 4 8 3 3 9 27

x x x x x xx x

2 3

31 5 19 65( )

6 36 216 1296

x x xf x x

Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 5 của hàm

22( ) x xf x e

2

2 32 2

2 22 2

( ) 1 22! 3!

x xx x x x

f x e x x

4 5

2 2

52 2

( )4! 5!

x x x xx

2 3 4 5 52 5 1( ) 1 2 ( )

3 6 15f x x x x x x x

Khai triển, rút gọn, sắp xếp các số hạng theo bậc tăng

dần:

Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm

( )1x

xf x

e

2 3 4 55

( )

1 ( ) 12! 3! 2! 2!

xf x

x x x xx x

2 3 44( )

2! 3

1

15!

( )

! 4!

x xf

xx

xx

Chia tử và

mẫu cho x

2 3 4 411 ( )

1t t t t t

t

chú ý: 0t

2 44( ) 1 ( )

2 12 720

x x xf x x

Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm

Nhân tử và mẫu cho 1 + x, ta được:

2

2

1( )

1

x xf x

x x

2

3

1 2 2( )

1

x xf x

x

2

3

11 2 2

1x x

x

2 3 41 2 2 1 ( )x x x x

2 4 4( ) 1 2 2 2 ( )f x x x x x

Đổi biến, đặt:

Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm

2 1( )

1

xf x

x

2 2 1

2 1

Xf

X

2 3

1

X

X

2 2X x x X

2 3 32 3 1 ( )X X X X X

2 3 33 ( )f X X X X

2 3 33 2 2 2 2f x x x x

Đổi biến, đặt:

Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm

2

1( )

5 6

xf x

x x

2

1 5 1 6

Xf

X X

2 3 2

X

X X

1 1X x x X

1 1

1 2X

X X

1 1 1

1 2 1 / 2X

X X

2

2 2 211 1

2 2 4

X Xf X X X X X

2 3 31 3 7( ) -1 + -1 + -1 1

2 4 8f x x x x x

Đổi biến, đặt:

Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 1 đến cấp 3 của hàm

( ) ln(2 3 )f x x

ln 2 3 1f X ln 5 3X

1 1X x x X

2 3

33 1 3 1 3ln5

5 2 5 3 5

X X XX

2 3 33 9 9( ) ln(5) -1 - -1 -1 -1

5 50 125f x x x x x

Đổi lại biến x, sắp xếp theo thứ tự tăng dần của bậc

3ln5 ln 1

5

X

Ví dụ. Tính giới hạn 3

0

tan sinlimx

x xI

x

3

4sin ,3!

xx x x

33tan

3

xx x x

3 33 3tan sin ( ) ( )

3 3!

x xx x x x x x

30

tan sinlimx

x xI

x

33tan sin ( )

2

xx x x

33

30

( )2lim

x

xx

x

3

30

1 ( )lim

2 x

x

x

10

2

Ví dụ. Tính giới hạn 3 2

30

ln 1 2sin 2 coslimx

x x x xI

x

3 4

3 3 4 5

30

( ) 2 2 13! 2!

limx

x xx x x x x x

Ix

3 3 3ln(1 ) ( )x x x

33

30

4( )

3limx

xx

x

3

30

4 ( )lim

3 x

x

x

40

3

3

4sin3!

xx x x

2

3cos 12!

xx x

Ví dụ. Tính giới hạn 2

0

1 2tanlim

arcsin sin

x

x

x e xI

x x

3

4sin3!

xx x x

33arcsin

6

xx x x

3

3tan3

xx x x

2 331 ( )

2! 3!

x x xe x x

2 3 2 33 3 2

3 303 4

51 ( ) 1 ( )

2 6 2! 3!lim

6 3!

x

x x x xx x x x x

Ix x

x x x x

3 3

3 30

2 /3 ( ) 2lim

3/3 ( )x

x xI

x x

Ví dụ. Tính giới hạn 3

2

0

ln 13lim

tanhx

xx x x

Ix x

3

4sinhtanh

cosh 3

x xx x x

x

3 4 3

3 40

/ 6 ( ) /3 1lim

18/3 ( )x

x x x x xI

x x x x

'

2

2

1ln 1

1x x

x

231

2

xx

3

2 4ln 16

xx x x x

Phần dư trong khai triển Maclaurint của hàm y = cos x

là

(2 2)

2 2( ) ,02 2 !

n

nn

fR x x x

n

2 2cos ( 1)

( )2 2 !

nn

x nR x x

n

2 210.2

2 2 !

n

n

Tìm n để 7

2 2

1 1 110

(2 2)! 100000005n n

Rn

Ví dụ. Tính gần đúng với độ chính xác . cos 0.2A 710

2n

2 4

cos 12! 4!

x xx

2 4(0.2) (0.2)cos(0.2) 1

2! 4! =0.9800666667

I. Tìm đạo hàm cấp n

11) ( 1)2xx

32) ln

3

xx

x

23) ln 3 2x x x

2 24) ( )cosx x x

2 2 35) 3 2 xx e

1 1ln 2 2 ((ln 2)( 1) )n x x n

( 2)!((3 )(3 ) ( 1) (3 )(3 ) )n n nn n x x n x x

( 1) ( 2)!(( )( 1) ( 2 )( 2) )n n nn x n x x n x

3 2 22 ((4 4 )cos 2 2 2 1 sin 22 2

n n nx x n n x n x x

2 2 2 2 3( 3) 36 12(9 2 ) 81 32 4n xx n x n n e

I. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp n

2

2

31) , 3

x

x

x en

e

2 32) ln , 3

3 2

xn

x

23) ln 3 2 , 4x x n

4) (1- )ln(1 ) - (1 )ln(1- ), 5x x x x n

2

45)

5 6

x

x x

2 3 35 53 3 ( )

2 3x x x x

2 3 313 65 793ln(2 /3) ( )

6 72 648x x x x

2 3 4 43 5 3 17ln 2 ( )

2 8 8 64x x x x x

3 5 55 92 ( )

3 10x x x x

2 3 32 13 53 187( )

3 18 108 648x x x x

2

2

5 56) , 3

2

x xn

x x

7) cosh3 , 5x x n

4

2

18) , 4

1

xn

x

29) ln 1 , 5x x n

211) cosh , 5x x n

10) sinh cosh 2 , 5x x n

2 3 35 5 7 17( )

2 4 8 16x x x x

3 5 59 27( )

2 8x x x x

2 4 41 2 ( )x x x

3 5 51 3( )

6 40x x x x

3 5 513 121( )

6 120x x x x

3 5 51( )

3x x x x

312) 4 sinh 2 , 4x x x n

2 2

113) , 8

2 2 -n

x x

2

114) , 9

1n

x x

cos15) , 4x xe n

2 3

116) , 5

1n

x x x

2

2

1 117) , 6

1 1

xn

x

2 4 4108 ( )

3x x x

4 8 82 2 7 2( )

4 128 8192x x x

3 4 6 7 9 91 ( )x x x x x x x

2 3 4 41 1 111 ( )

2 3 24x x x x x

4 5 51 ( )x x x x

2 4 6 61 1 5( )

4 8 64x x x x

I. Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n

2 21) ( 1) , 1, 3xx e x n

2) ln 2 1 , 1/ 2, 3x x n

2 13) ln , 1, 4

-1

xx x n

x

2 34) , 1, 3

1

x xx n

x

2 2 15) , 1, 4x xe x n

2 32 32 1 3 1 2 1 (( 1) )e x x x x

2 3 31 1 1 1 1 1

ln 22 2 2 3 2 2

x x x x

3 4 41 1 1

3 1 1 1 12 12 10

x x x x

2 3 33 1 1

2 1 1 1 12 4 18

x x x x

2 4 42 1

1 1 1 12

e x x x

26) ln(2 ), 1, 3x x x n

2

27) , 2, 3

1

xx n

x

2

18) , 1, 4

2 -x n

x x

2

9) 2 , 1/ 2, 3x x x n

3 2

210) , 2, 5

4 5

xx n

x x

2 3 31 5 7

ln 2 1 1 1 (( 1) )2 8 24

x x x x

2 3 34 10 28 82

2 2 2 23 9 27 81

x x x x

2 4 41 3

1 1 1 12 8

x x x

2 34 4 1 1

2 2 ln 22 2

x x

3 5 51 2

2 2 2 13 9

x x x x

I. Tính giới hạn 2

40

cos 121) lim

x

xx

x

0

arctan arcsin2) lim

tan sinx

x x

x x

0

1 cos 1 23) lim

ln(1 )x

x x x

x x

2

0

1 14) lim

x

x

x

x

arctan

30

ln(1 ) 15) lim

2 4

x

x

e x

x

1

24

1

1

1

2

I. Tính giới hạn

sin

0

ln(1 ) 16) lim

arcsin sin

x

x

e x

x x

tan 2

30

sin7) lim

tan

x

x

xe x x

x x x

2 2 3

20

ln(1 ) arcsin8) lim

sin

x

x

x e x x

x x x

3 4

0

1 2 cos9) lim

tanx

x x

x x

/(1 )

6 60

sinh cos10) lim

1 1 2

x x

x

e x x

x x

6

3

1

3

4

72

5

1/3

20

cosh 2 (1 3 )11) lim

/ 2 ln(1 tan ) arcsinx

x x x

x x x

sin 2

20

1 arcsin12) lim

sinh( ) ln 1 2

x

x

e x x

x x x

sinh 1/ 2 20

sinarctan tan13) lim

(1 2 )xx

x x

e x x

20

arcsin14) lim

1 tan

x

x

x xe

x x x

2

0

tan ln( 1 )15) lim

sin cosx

x x x

x x x

3

2

1

7

5

1

28

3

2

0

1 2 216) lim

tan sin 2

x

x

e x x

x x x

0

1 117) lim

sin cosh sinh

x

x

e x x

x x x

3 40

ln(1 sin ) 118) lim

8 2

x

x

e x

x

3

50

sin 1 sin119) lim

1 2 ln cos 1x

x

x x

3cos 2

20

1 420) lim

(1/ )arcsin 2 2cosh

x

x

e e x

x x x

5

8

e

5cos1

2

1

2

7

4

2

5