Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Chương IV.
ĐẠO HÀM RIÊNG
1
CALCULUS FOR COMPUTING
NỘI DUNG
- Hàm nhiều biến và đạo hàm riêng
- Đạo hàm có hướng
- Mặt phẳng tiếp xúc
- Xấp xỉ tuyến tính
- Quy tắc dây chuyền (Chain Rule)
- Đạo hàm riêng bậc cao
2 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
3 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
1. HÀM NHIỀU BIẾN
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 4
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 5
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 6
CALCULUS FOR COMPUTING
HÀM HAI BIẾN
7 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
HÀM HAI BIẾN
8 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
HÀM HAI BIẾN
Ví dụ
Cho hàm số 2 biến:
𝑎/ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦 + 7
𝑏/ 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑥2 𝑦 + 2 𝑥𝑦 + 5
𝑐/ 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦2 + (5𝑥 + 7𝑦)2
9 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Miền xác định?..........................................................................
Miền giá trị?..............................................................................
𝑓(0,1)? ………………………………………………..…….
𝑓(2, −1)?……………………………………………………..
𝑓(𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦)? ………………………………………….…
𝑓(𝑥, 𝑥)?……………………………………………………....
10 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Miền xác định?.....................................................
Miền giá trị?.........................................................
11 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
HÀM HAI BIẾN
Đồ thị của 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) là một mặt, tập
hợp của tất cả các điểm có toạ độ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧).
12 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
HÀM HAI BIẾN
Đồ thị của hàm 𝑓 = 2𝑥 + 3𝑦
13 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
HÀM HAI BIẾN
Đồ thị của hàm 𝑓 = 4𝑥2 − 𝑦2 + 15 và
𝑓 = 4𝑥2 − 𝑦2
14 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
15 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Giới hạn và liên tục
16 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. Giới hạn
17 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. Giới hạn
Định nghĩa giới hạn kép
18 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. Giới hạn
19 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. Giới hạn
20 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Chú ý:
Thay tương đương VCB, VCL, quy tắc
L’Hospital chỉ được áp dụng nếu chuyển được
sang hàm 1 biến.
a. Giới hạn
21 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Ví dụ
Tính ∶ lim(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥𝑦−2𝑥−𝑦+2
𝑥−1
0
0
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………..
22 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Tính: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
1+𝑥𝑦−1
ln (1+𝑥𝑦)
0
0
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………..
……………………………………
Ví dụ
23 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………..
24 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………..
…………………………………… 25 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. LIÊN TỤC
26 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. LIÊN TỤC
27 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. LIÊN TỤC
28 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN
29 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
30 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
31
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
32 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………..
……………………………………
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
33 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
34 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
35 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
36 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………..
……………………………………
37 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………..
……………………………………
38 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
39 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
40 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
41 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Ví dụ
Tìm 𝜕2𝑓
𝜕𝑥2 ,𝜕2𝑓
𝜕𝑦2 ,𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 3𝑦 + 5
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5 𝑥 − 6𝑦2
c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥5𝑦4 + 𝑥3𝑦2
e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑒𝑦 .
f. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2𝑦2 + 2𝑥3𝑦
𝑔. 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥2 + 𝑦2
. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥2𝑦
42 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 43
CALCULUS FOR COMPUTING
Vi phân cấp 1 của hàm f(x,y) tại (x0,y0):
𝑑𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓′𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑥 + 𝑓′𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑦
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 44
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Ví dụ: Tìm vi phân toàn phần (cấp 1) của hàm số tại (0,1)
a) 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 − 1
b) 𝑧 = 3𝑥2 𝑦 − 4𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 1
c) 𝑧 = 𝑥2 − 6𝑥𝑦2 − 𝑥𝑦3 − 𝑥
45 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
46 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
47 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
48 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Ví dụ:
Dùng hàm 𝑓 = 𝑥𝑒𝑥𝑦, tính gần đúng giá trị 𝑓(1.1, −0.1)
49 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Ví dụ: Dùng hàm 𝑓 = 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦2, tính gần đúng
giá trị 𝑓(2.05, 2.96)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………..
……………………………………
50 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
51 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
52 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
53 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………..
…………………………………… 54 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………..
……………………………………
55 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Đạo hàm riêng hàm hợp
56 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Đạo hàm riêng hàm hợp
57 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Đạo hàm riêng hàm hợp
58 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Vi phân của hàm hợp
59 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Các ví dụ
60 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Các ví dụ
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 61
CALCULUS FOR COMPUTING
Đạo hàm riêng hàm ẩn
62 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
Trƣờng hợp 1
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 63
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 64
CALCULUS FOR COMPUTING
65 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
Cách 1. đạo hàm 2 vế của phương trình theo x. Chú ý, y là
hàm theo x.
Cách 2. Dùng công thức, đạo hàm riêng của F theo x, coi y
là hằng số
CALCULUS FOR COMPUTING
Đạo hàm riêng hàm ẩn
66 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
Trƣờng hợp 2
CALCULUS FOR COMPUTING
67 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
Cách 1. Đạo hàm 2 vế của phương trình theo x.
Chú ý y là hằng, z là hàm theo x.
Cách 2. Dùng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y
và z là hằng số.
CALCULUS FOR COMPUTING
Ví dụ
68 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG
CALCULUS FOR COMPUTING
Đạo hàm theo hƣớng, vectơ Gradient
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 69
𝑓 = 𝑓 𝑥, 𝑦
CALCULUS FOR COMPUTING
Đạo hàm của hàm f theo hướng vectơ 𝑢 tại
điểm M0:
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 70
Đạo hàm theo hƣớng, vectơ Gradient
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 71
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 72
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 73
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 74
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 75
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 76
Đạo hàm theo hƣớng, vectơ Gradient
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 77
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 78
CALCULUS FOR COMPUTING
Bài tập 1
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 79
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 80
Bài tập 2
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 81
Bài tập 3
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 82
Bài tập 4
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 83
Bài tập 5
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 84
Bài tập 6
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 85
Bài tập 7
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 86
Bài tập 8
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 87
Bài tập 9
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 88
Bài tập 10
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 89
Bài tập
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 90
Bài tập