DISTRIBUSI DISKRIT

1. Distribusi Seragam

2. Distribusi Binomial dan Multinomial

3. Distribusi Hipergeometrik

4. Distribusi Poisson

5. Distribusin Binomial Negatif dan Geometrik

DISTRIBUSI KONTNU

1. Distribusi Normal

2. Distribusi Gamma

3. Distribusi Eksponensial

4. Distribusi Khi-Kuadrat

5. DistribusiWeillbull

DISTRIBUSI DISKRIT [1]Distribusi Seragam [1.1]Bila peubah acak X mendapatkan harga x1, x2, ..., xk dengan peluang yang sama makadistribusi seragam diskrit memberikan

f(x, k) =1

k, x1, x2, x3, ..., xk

Notasi f(x, k) telah dipakai sebagai pengganti f(x) untuk menunjukan bahwa distribusiseragam tersebut bergantung atas parameter k. Distribusi Seragam merupakan Distribusipeluang Diskrit yang paling sederhana hal ini dikarenakan peubah acaknya diperoleh se-mua harganya dengan peluang yang sama.Distribusi Binomial dan MultinomialSuatu percobaan Binomial adalah yang memenuhi persyaratan sebagai berikut.

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

2. Tiap usaha memberi hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal.

3. Peluang sukses, dinyatakan dengan P, tidak berubah dari usaha yang ke satu keyang berikutnya.

4. Tiap usaha bebas dengan yang lainnya.

Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acakbinomial.Bila usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan pelu-ang q = 1− p, maka Distribusi peluang peubah acak biomial X , yaitu banyaknya sukses

1

dalam n usaha bebas adalah

b(n;x, p) =

(n

x

)pxqn−x, x = 0, 1, 2, ..., n

Distribusi semacam ini diberi nama distribsi binomial karena n + 1 buah sama dalampenguraian binomial (q + p)n berpadanan dengan b(x;n, p) untuk x = 0, 1, 2, ..., nTeorema [1.1]Distribusi binomial b(x;n, p) mempunyai rataan dan variansi

µ = np dan σ2 = npq

Distribusi Multinomial [1.2]Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1, E2, ..., Ek dengan pelu-ang P1, P2, P3, ..., Pk maka distribusi peluang acak X1, X2, X3, ..., Xk yang menyatakanterjadinya E1, E2, E3, ..., Ek dalam usaha bebas adalah

f(x1, x2, ..., xk;P1, P2, ..., Pkn) =

(n

x1, x2, ..., xk

)px11 p

x22 , ..., p

xkk

dengank∑i=1

xi = n dank∑i=1

Pi = 1.

dengan (n

x1, x2, ..., xk

)=

n!

x1!x2!x3!...xk!

Karena tiap bagian saling terpisah dan terjadi dengan peluang yang sama, maka distribusimultinomial dapat diperoleh dengan mengalikan peluang untuk tiap urutan tertentu den-gan banyaknya sekatan.

Distribusi Hipergeometrik [1.3]Misalkan ada n benda yang terdiri atas k benda yang akan diberi nama sukses, sedan-gkan sisanya n-k akan diberi nama gagal. Umumnya, yang ingin dicari adalah peluangmemilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n−k gagal dari sebanyak n−k yangtersedia, bila sampel acak ukuran n yang diambil dari n benda. Ini dikenal dengan namaPercobaan Hipergeometrik.DefiisiBanyaknya sukses X dalam percobaan Hipergeometrik disebut peubah acak Hiperge-ometrikDistribusi peluang peubah acak Hipergeometrik X disebut Distribusi Hipergeometerikdan akan dinyatakan dengan h(x : N, n, k) karena nilainya tergantung atas sampel uku-ran n yang diambil dari himpunan N benda, k diantaranya bernama sukses.DefinisiDistribusi peluang peubah acak Hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampelukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung K bernama sukses dan N − kbernama gagal ialah

h(x;N, n, k) =

(k

x

)(N − kn− x

)(N

n

) , x = 0, 1, 2, 3, ..., n

2

Rataan dan Variansi Distribusi Hipergeometrik h(x;N, n, k) adalah

µ =nk

N, danσ2 =

N − nN − 1

n,k

N(1− k

N)

Perluasan Distribusi Geometri Bila N benda dapat dikelompokan dalam k selA1, A2, A3, ..., Akmasing-masing berisi a1, a2, a3, ..., ak benda distribusi peluang peubah acakX1, X2, ..., Xkyangmenyatakan banyaknya beda (anggota) yang terambil dari A1, A2, A3, ..., Ak dalam suatusampel ukuran adalah

f(x1, x2, ..., xk; a1, a2, ..., ak, N, n) =

(a1x1

)(a2x2

)...

(a1x1

)(akxk

)(N

k

)dengan

k∑i=1

xi = n dank∑i=1

ai = N

Distribusi Poisson [1.4]Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik, yaitu banyaknyasukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu disebut percobaan Pois-son. Sifat-sifat percobaan Poisson adalah sebagai berikut.

1. Banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidakberpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu daerah waktuatau daerah lain yang terpilih.

2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang amat pendekatau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnyadaerah tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktuatau daerah tersebut.

3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang pendek ataudaerah yang sempit dapat diabaikan.

Contoh:-Banyaknya hubungan telepon sejam yang diterima di kantor-Banyaknya hari sekolah yang ditutup karena banjir.-Banyaknya pertandingan sepak bola yang diundur karena hujan pada musim hujan.Contoh untukyang daerah bisa berupa sepotong garis, suatu isi, luas, isi.Banyaknya sukses X dalam suatu percobaan Poisson dinamakan satu Peubah Acak Pois-sonDistribusi peluang peubah acak poison X disebut distribusi poson diyatakan denganP (x;µ)Distribusi peluang peubah acak poison X, yang menyatakan banyaknya sukses yang ter-jadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan

P (x;µ) =e−µµx

x!, x = 1, 2, 3, ...

3

µ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerahtertentu dengan e = 2, 71828Teorema [1.2]Rataan dan Variansi distribusi Poisson Px;µ keduanya sama dengan µTeorema [1.3]Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang b(x;n, p). Bila n→∞, prightarrow0 dan µ = np tetap sama,maka

(x;n, p) −→ p(x;µ)

Distribusi Binomial Negatif dan GeometrikPandanglah suatu percobaan yang berbagai sifatnya sama dengan yang tertera denganpercobaan binomial , kecuali bahwa disini usaha diulangi sampai terjadi jumlah suksestertentu. Jadi alih-alih mencari peluang x sukses dalam n urusan, jika n tetap. Sekarangingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x. Percobaan semacamini dinamakan percobaan Binomial Negatif.Distribusi peluang Binomial negatifx disebut Distribusi Binomial Negatif dan akan diny-atakan dengan b ∗ (x; k, p) karena nilainya tergantung pada banyaknya sukses yang di-inginkan dan peluang sukses berada dalam usaha tertentu.Definisi Distribusi Biomial Negatif [1.5]Bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluangP sedangkan gagal dengan peluang q = 1 − p, maka distribusi peluang peubah acak X,yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat sukses ke k, diberikan oleh

b∗ = (x;n, k, p) =

(x− 1

k − 1

)pkqx − k, x = k, k + 1, k + 2, ...

Distribusi Geometrik [1.6]Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses denganpeluang P dan gagal dengan peluang 1 − P , maka distribusi peluang acak X, yaitubanyaknya usaha yang berakhir pada sukses yang pertama diberikan oleh:

q(x; p) = pqx−1, x = 1, 2, 3...

DISTRIBUSI KONTINU [2]Distribusi Normal [2.1] Grafik distribusi normal berbentuk lonceng menggambarkanberbagai kumpulan data yang mencul di alam, industri, maupun penelitian. Persamaanmatematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua (2) param-eter yakni µ dan σ, yaitu rataan dan simpangan baku.Fungsi padat peubah acak normal X dengan rataan µ dan variansi σ2 ialah

n(x;µ, σ) =1√2πr

e12[(x−µ)σ

]2

Begitu π dan σ dikatehui maka seluruh kurva normal diketahui. Lima (5) sifat kurvanormal:

4

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, titik pada x = µ

2. Kurva setangkup terhadap garis tegak lurus yang melalui rataan µ.

3. Kurva mempunyai titik belok pada x = µ± σ, cekung kebawah bila −µ− σ < x <µ+ σ, dan cekung ke atas untuk x lainnya.

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerakmenjauhui µ baik dari kiri maupun kanan.

5. Seluruh luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1. Distribusipeubah acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 sama dengan distribusi nor-mal.

Teorema [2.1] Bila X peubah acak binomial dengan rataan µ = np dan variansi σ2 =n, p, q maka bentuk limit berdistribusi

X − np√npq

bila n→∞ ialah distribusi normal baku n(Z, 0, 1)Pada distribusi normal, parameter µ dan σ2 adalah rataan dan variansi distribusi normal.Luas dibawah Kurva NormalKurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa se-hingga luas dibawah kurva diantara kedua ordinat x = x1 dan x = x2

P (x1 < X < x2) =

x2∫x1

n(x;µ, σ)dx =1√2πσ

x2∫x1

e12[(x−µ)σ

]2

Transformasi DistribusiRumus untuk distribusi transformasi adalah sebagai berikut.

z =x− µσ

Langkah-langkah pengerjaan Distribusi Normal

1. Hitung nilai rataan (µ) dan standar deviasi (σ)

2. Lakukan Transformasi Distribusi Normal tersebut

3. Dengan menggunakan tabel Distribusi (tabel 4) diperoleh nilai yang bersesuaiandengan nilai z tadi.

4. Diperoleh nilai peluang yang sedang dihitung.

Distribusi Gamma, Eksponensial, dan Khi-Kuadrat [2.2-2.4]Distribusi Gamma [2.2]Distribusi Gamma mendapatkan namanya dari fungsi Gamma.

5

Fungsi Gamma didefinisikan oleh

Γ(α) =

∞∫0

xα−1e−xdx

untuk x > 0Peubah acak kontinu X berdistribusi Gamma, dengan parameter α dan β bila padarnuuyadiberikan oleh

f(x) =1

βαΓ(α)xα−1e

−xβ , x > 0

= 0, untukxlainnya

Bila α > 0 dan β > 0Distribusi Gamma khususnya dengan α = 1 disebut Distribusi Eksponensial.Distribusi Eksponensial [2.3]Distribusi Eksponensial biasanya digunakan dalam Teori Keandalan, waktu tunggu ataupunteori antrian.Definisi EksponensialDistribusi Gamma khususnya dengan α = 1 disebut Distribusi Eksponensial.

f(x) =1

β1Γ(1)x1−1e

−xβ =

1

βe

−xβ

Peubah acak kontinu X berdistribusi Eksponensial dengan parameter β bila fungsi pa-datnya diberikan oleh

f(x) =1

βe

−xβ , x > 0

= 0, xlainnya

dengan β > 0Distribusi Khi-kuadrat [2.4]Peubah acak kontinu X berdistribusi Khi-Kuadrat dengan derajat v, bila fungsi padatnyadiberikan oleh

f(x) =1

2v2 Γ(v

2)xv2−1e

−x2 , x > 0

= 0, lainnya.

dengan v bilangan positif.Teorema 2.2Rataan dan variansi Distribusi Gammaµ = αβ dan σ2 = αβ2 Rataan dan variansi Distribusi Eksponensialµ = β dan σ2 = β2 Rataan dan variansi Distribusi Khi-Kuadratµ = v dan σ2 = 2v

6