1. El őadás

László István, Fizika A2 ( Budapest, 2013) 1 1. Előadás

- 1 -

1. Előadás

1. Elektrosztatika

Tartalmi kiemelés

1. A természetben pozitív és negatív elektromos töltés található. Különböző előjelű töltések vonzzák, azonos előjelű töltések pedig taszítják egymást.

2. Bármely szabad állapotú töltés az elemi töltés (e ) egész számú többszöröse.

3. Az elektromos töltés megmaradása: Zárt rendszerben a teljes elektromos töltés állandó 4. Az elektromos vezetés szempontjából az anyag lehet vezető, szigetelő vagy félvezető.

5. Coulomb törvénye. Légüres térben egymástól 12rr = távolságban elhelyezett 1Q és 2Q pontszerű töltések között ható elektrosztatikai erő értéke

12

12212

21e12 rr

QQk

rF ⋅=

ahol 12F a 2Q töltés által a 1Q -re kifejtett erő, 2112 rrr −= a

2Q töltésből a 1Q -be mutató vektor. (0

e 4

1k

πε= , ahol 0ε a

vákuum permittivitása.)


- 2 -

6. A szuperpozíció elve alapján egy töltött részecskére ható, több töltött részecske által kifejtett eredő erőt megkapjuk, mint az egyes részecskék által, a kiszemelt részecskére ható erők összegét. Bevezetés Száraz időben, ha száraz a hajunk, fésülködés után a fésű magához vonzza az apró papírszeleteket, vagy taszítja a csapból kifolyó vízsugarat. Műanyag padlón járva, néha megráz bennünket az ajtókilincs, ha hozzáérünk vagy szikrázik a pulóverünk, amikor levetjük. Ezek a jelenségek mind elektromos hatások során jönnek létre. Az pedig, hogy a mágnestű mindig északra mutat, vagy pedig az, hogy a mágnes vonzza a vasat, mágneses jelenség. Thalész (Kb. Kr. e. 624- Kr. e. 546 körül) észrevette, hogy a borostyánkő (fenyőfélék megkövesedett gyantája ) ha gyapjúval vagy prémmel megdörzsölték, magához vonzotta a tollpihét vagy szalmaszálat. Arisztotelész (Kr. e. 384-322) foglalkozott az elektromos angolna azon tulajdonságával, hogy elektromos áramütéssel képes elkábítani vagy megölni áldozatait. A IV-ik században itáliai hajósok megfigyelték, hogy néha hajóárbocok végein érdekes fényjelenség (Szent Elmo tüze ) látható. Ezek a jelenségek mind elektromos hatásokkal magyarázhatók. Thalész a görög bölcs és Lucretius ( Kr. e. 98-55) , római költő is beszámol egy a kisázsiai Magnesia város közelében található különös vasércről, amely kisebb vasdarabokat magához vonz, anélkül, hogy bármivel is meg kellene dörzsölni.


- 3 -

Az elektromosság szó a borostyán görög elnevezéséből ηλεκτρον, származik és a mágnesség pedig Magnesia-ról kapta a nevét. 1.1 Az elektromos töltés Ha egy üvegbotot selyemmel megdörzsölünk, akkor az üvegbot és a selyem is feltöltődik. Végezzük el, a következő kísérletet két felfüggesztett polisztirol (vagy bodzabél ) gömbbel.

Ez a kísérlet azt mutatja, hogy kétfajta elektromos töltés van. Az azonos fajtájúak taszítják, a különböző fajtájúak pedig vonzzák egymást.

Nem értünk hozzá egyik bodzagolyóhoz sem.

Az egyik bodzagolyóhoz a selyemmel, a másikhoz az üveggel értünk hozzá

Mindegyik bodzagolyóhoz a selyemmel (üveggel ) értünk hozzá


- 4 -

Ma már tudjuk, hogy a negatív töltést az elektronok, a pozitív töltést pedig a protonok hordozzák. Minden atom (melynek sugara m10r 10−≈ ) tartalmaz Z elektront és Z protont az m10R 15−≈ sugarú atommagjában. Az atommag a protonok mellett még tartalmaz semleges töltésűN számú neutront is. Mivel az elektron és proton töltésének abszolút értéke megegyezik, az atomok semlegesek. Ha egy atomból eltávolítunk bizonyos számú elektront, a visszamaradó ion töltése pozitív lesz. Ha két anyagot összedörzsölünk, elektronok mennek át az egyikről a másikra. Itt nem is annyira a dörzsölés a fontos, hanem a két anyag összeérintése. Dörzsöléssel csak az érintkezést fokozzuk. A töltés mértékegysége A töltés SI mértékegysége a coulomb ( C ). A pontos definícióját később adjuk meg az elektromos áram segítségével. Az elektromos áram, amely egységnyi idő alatt adott felületen átmenő töltést jelent, könnyebben mérhető, mint maga a töltés. A coulomb egyébként egy nagyon nagy mértékegység. Ha két testet összedörzsölünk, kb. C10 8− töltés keletkezik. Villámlással a felhő és a föld között akár C20 töltés is átáramolhat. Két test összedörzsölésekor általában 510 atom közül 1 nyer vagy veszít egy elektront. Nagyon erős dörzsöléskor is kb. 500 felületi elektronból 1 megy át egyik testről a másikra.


- 5 -

Az elemi töltés A XVII. és XVIII. században úgy gondolták, hogy az elektromos töltés és az anyag folytonos mennyiség. A XIX. században a kémiai elemek átalakulásaiból következtettek az anyag atomos természetére. Kémiai kísérletekből következtettek arra is, hogy a molekulák ionokká bomolhatnak és az ionok képződésekor létezik egy elemi töltés, melynek minden átadott töltésmennyiség a többszöröse. Először Robert Millikan (1868-1953) mérte meg az elemi töltést 1909-ben. Jelenlegi pontossággal az elemi töltés értéke

C10)49(60217733.1e 19−×= (Gyakorlati számolásokban

elégséges pontosság, ha az C10602.1e 19−×= értéket vesszük figyelembe.) Tehát a természetben mérhető bármely izolált q töltés ezen elemi töltés többszöröse:

,...e3,e2,e,0q ±±±= Az elektronnak eqe −= és a protonnak eqp = a töltése. Az elemi részecskék szerkezetét kvarkok

segítségével írják le, melyek töltése 3e± vagy

3e2± . A

kísérleti és elméleti magyarázatok alapján a kvarkok mindig az elemi részecskék belsejében találhatók (kvarkbezárás ). Nem lehet őket izolálni. Így továbbra is mondhatjuk, hogy az izolált töltések az e elemi töltés többszörösei. Az elektronról már nem tudjuk levenni a töltését. A töltése ugyanolyan tulajdonsága, mint a tömege.


- 6 -

Az elektromos töltés megmaradása Izolált rendszerek teljes elektromos töltése állandó Példák: 1.Kémiai folyamat

)0()e()e(

NaClClNa

=−++→+ −+

2.Rádioaktív bomlás

)0()e()e()0(

~epn

+−++=ν++→ −

1.2 Vezetők és szigetelők

Az elektromos töltés átvihető egyik testről a másikra dörzsölés nélkül (Stephen Gray (1670-1736)).


- 7 -

Az elektromos vezetés szempontjából az anyagok lehetnek vezetők vagy szigetelők. Vezetőkben (fémekben, elektrolitokban, emberi testben, magas hőmérsékletű gázokban) az elektromos töltés könnyen elmozdulhat, szigetelőkben ( borostyánkőben, üvegekben, műanyagokban) viszont mozgékony töltéshordozók nincsenek. A vezetők és szigetelők között találhatók a félvezetők ( szilícium, germánium … ). A vezetők tartalmaznak szabad elektronokat, amelyek szabadon elmozdulhatnak az anyagban. A szigetelőkben nincsenek szabad elektronok. A vezetési és szigetelési tulajdonságait az anyagnak a kvantummechanika segítségével tudjuk megérteni. Ez azt mondja, hogy az anyagban az elektronok csak bizonyos energiaértékeket vehetnek fel. Ezen energiaértékek sávokba rendezhetők. A Pauli-elv szerint minden energiaértéket maximum 2 elektron tölthet be, ha az elektron spinjét is figyelembe vesszük. Így beszélünk betöltött, részben betöltött vagy üres energiasávokról. A tiltott sáv energiaértékeit nem vehetik fel az elektronok.


- 8 -

vezető szigetelő félvezető A vezetőben létezik egy nem teljesen betöltött energiasáv. A szigetelőkben a vegyértéksáv teljesen betöltött. Az üres vezetési sávot egy gap (energia rés, tiltott sáv ) választja el. A félvezetőkben olyan kicsi a gap, hogy a hőmozgás miatt néhány elektron át tud rajta kerülni és a vezetési sávba tud jutni.


- 9 -

fém szigetelő Relaxációs idő )(τ : Az az idő, ami alatt az odahelyezet töltés egyensúlyi helyzetbe jut. τ réz s10 12− üveg s2 borostyán s104 3× polisztirén s1010


- 10 -

1.3 Az elektromos megosztás

Két vezető gömb feltöltése elektromos megosztással azonos abszolút értékű, de ellentétes előjelű töltésre.

Egy vezető gömb feltöltése elektromos megosztással.


- 11 -

1.4 A lemezes elektroszkóp

Üvegedénybe jó szigetelő dugón át fémrúd nyúlik be, ennek alsó végére két aranyfüst vagy sztaniol lemez van erősítve.

Elektroszkóp alkalmazása töltés előjelének a meghatározására


- 12 -

1.5 A Coulomb-törvény Előzmények: Eddig az elektromosság kvalitatív tulajdonságaival foglalkoztunk. A Coulomb-törvény kvantitatív összefüggést ad meg az elektromos töltések és a közöttük ható erők között. Joseph Priestley (1733-1804) és Benjamin Franklin (1706-1790) megállapította, hogy egy töltött fémgömb felület belsejébe helyezett, fémmel bevont bodzabélgolyókra semmiféle erő nem hat, sőt nem is töltődik fel, ha a fémgömb belső felületéhez érintjük. A gravitációs tömegvonzás törvényével vett analógia alapján arra következtettek, hogy a töltések közötti erő a köztük lévő r távolság négyzetének a

reciprokjával arányos ( 2r

1F ≈ ). Ezen törvényt mérések

alapján Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) bizonyította be.


- 13 -

Coulomb mérése Coulomb idejében még nem volt mértékegysége a töltésnek. A

Q, 2Q

, 4Q

, 8Q

, 16Q

stb. töltéseket a következő módon készítette

el. Készített több azonos méretű bodzabél gömböt és azokat vékony aranylemezzel bevonta. Vette az egyik ilyen aranylemezzel bevont bodzabél gömböt és valahogy feltöltötte. Ezt a töltést elnevezte Q-nak. Ezt a feltöltött gömböt hozzáérintette egy másik semleges gömbhöz. A

szimmetria miatt kapott két gömböt, melyek töltése 2Q

volt.

Az egyik 2Q

töltésű gömböt hozzáérintette egy újabb semleges

gömbhöz, minek eredményekén két 4Q

töltésű gömböt kapott.

Ezeket a lépéseket többször megismételve újabb töltés felezéshez jutott. Az erők és távolságok méréséhez a következő torziós mérleget használta


- 14 -

A mérések a következő eredményt adták:

2r

1F ≈ és qQF ≈ ahol F a q és Q töltések között ható erő

abszolút értéke és r a két töltés közötti távolság. Azonos előjelű töltések között taszítás, különböző előjelű töltések között vonzás van.

A q és Q töltések előjele ellentétes.

A q és Q töltések előjele azonos.


- 15 -

Tehát: Coulomb törvénye. Légüres térben egymástól 12rr = távolságban elhelyezett 1Q és 2Q pontszerű töltések között ható elektrosztatikai erő értéke

12

12212

21e12 rr

QQk

rF ⋅=

ahol 12F a 2Q töltés által a 1Q -re kifejtett erő, 2112 rrr −= a

2Q töltésből a 1Q -be mutató vektor.

(2

29

0e

C

Nm109

41

k ×=πε

= , ahol 2

212

0Nm

C1085.8 −×=ε a

vákuum permittivitása.) A szuperpozíció elve A szuperpozíció elve szerint ha a térben elhelyezzük a 1q , 2q ,

3q , …, Nq töltéseket, akkor a 1q töltésre ható 1F erőre az

N113121 ... FFFF +++= összefüggést kapjuk. Itt ijF az jq

töltés által a iq töltésre ható erő.

A 1q töltésre ható, a 2q , 3q , és 4q töltések által kifejtett erő.


- 16 -

1.6 Matematikai alapismeretek Skalár A skalár egy olyan fizikai mennyiség, amelyet egy szám és egy mértékegység teljesen meghatároz. Vektor A vektor olyan matematikai mennyiség, amelyet több számadat határoz meg. Ezek a számadatok meghatározzák a vektor hosszát (vagy más néven abszolút értékét, normáját) és irányát. A fizikában a vektornak is van mértékegysége. Vektorok összeadása

BAC += , ABBA +=+


- 17 -

(-B) A B-A += , B)-(ABA +=

C)(BACB)(A ++=++


- 18 -

Vektorok felírása egymásra merőleges egységvektorok lineáris kombinációjaként. Az A hosszára vezessük be az A jelölést.

Az i , j és k vektorok egymásra merőleges egységvektorok, tehát 1=== kji

kjiA zyx AAA ++= ahol xA , yA és zA az A vektor

rendre az x , y és zkoordináta tengelyekre vett vetülete. 2z

2y

2x AAA ++=A

Ha kjiA zyx AAA ++= és kjiB zyx BBB ++= akkor

=+++++=+= kjikjiBAC zyxzyx BBBAAA

kjikji zyxzzyyxx CCC)BA()BA()BA( ++=+++++=


- 19 -

vagy

=−−−++=−= kjikjiBAC zyxzyx BBBAAA

kjikji zyxzzyyxx CCC)BA()BA()BA( ++=−+−+−=

A skaláris szorzat Az A és B vektorok skaláris szorzatán az

θ⋅=⋅ cosBABA mennyiséget értjük, ahol θ az A és B vektorok által bezárt szög (a két lehetséges közül a kisebbik).

Ebből következik, hogy 20cos AAAAA =⋅=⋅ o .

Így, mivel 090cos =o , és az i , j és k egység vektorok egymásra merőleges, kapjuk:

1=⋅ ii , 1=⋅ jj , 1=⋅kk 0=⋅ ji , 0=⋅kj , 0=⋅ ik

Ebből következik:

=++⋅++=⋅ )BBB()AAA( zyxzyx kjikjiBA

+⋅+⋅+⋅= kijiii zxyxxx BABABA

+⋅+⋅+⋅+ kjjjij zyyyxy BABABA

=⋅+⋅+⋅+ kkjkik zzyzxz BABABA

zzyyxx BABABA ++=


- 20 -

A vektoriális szorzat Az A és B vektorok vektoriális szorzatán az

nsinBA uBA θ⋅=× mennyiséget értjük, ahol θ az A és B vektorok által bezárt szög (a két lehetséges közül a kisebbik) és nu az A és B vektorok által meghatározott síkra merőleges egységvektor. Az nu irányának a meghatározására a jobbkéz szabályt használjuk.

A jobbkéz szabály.


- 21 -

Az i , j és k egymásra merőleges egység vektorok szorzási szabályai így a következők:

0ii =× , 0jj =× , 0kk =× kji =× , kij −=× , jik =× -jki =× , ikj =× , -ijk =×

Ebből következik:

=++×++=× )BBB()AAA( zyxzyx kjikjiBA

+×+×+×= kijiii zxyxxx BABABA

+×+×+×+ kjjjij zyyyxy BABABA

=×+×+×+ kkjkik zzyzxz BABABA

−−+= jk0 zxyxxx BABABA

+++− i0k zyyyxy BABABA

=+−+ 0ij zzyzxz BABABA

=−+−+−= kji )BABA()BABA()BABA( xyyxzxxzyzzy

kji zyx CCC ++=

==×

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

)BABA()BABA()BABA xyyxxzzxyzzy −+−−−= kji(


- 22 -

Koordináta rendszerek

Descartes-féle koordinátarendszer. ( Derékszögű koordinátarendszer ) x , y , z


- 23 -

Polárkoordináta rendszer

θ= cosrx θ= sinry


- 24 -

Hengerkoordináta rendszer

ϕρ= cosx ϕρ= siny

zz =


- 25 -

Gömbi koordinátarendszer

ϕθ= cossinrx ϕθ= sinsinry

θ= cosrz

Documents

1. El őadás