1

Elementi di Teoria della Probabilità

• Terminologia Terminologia • Operazioni su insiemi di eventi Operazioni su insiemi di eventi

– unione unione – intersezioneintersezione

• Proprietà della probabilità ( 1 , 2 , 3 , 4 )Proprietà della probabilità ( 1 , 2 , 3 , 4 )– I° esperimentoI° esperimento– II° esperimentoII° esperimento

• Eventi condizionatiEventi condizionati• Proprietà Moltiplicativa della probabilitàProprietà Moltiplicativa della probabilità• Teorema di BayesTeorema di Bayes

2

TerminologiaTerminologia

esperimentoun’attività che produce risultati diversi nelle successive prove in cui viene ripetuta (lanciare una moneta, estrarre un soggetto a caso da un elenco)

spazio dei risultati (o degli eventi)

tutti i possibili risultati dell’esperimento (testa o croce,somma di due dadi, maschio o femmina, età della persona)

evento semplice EEi

ogni elemento dello spazio dei risultati. Gli eventi semplici di un esperimento sono mutuamente esclusivi ( o incompatibili e collettivamente esaustivi

evento composto

un insieme di eventi semplici. Gli eventi composti non sono necessariamente mutuamente esclusivi .

3

Operazioni su Insiemi di EventiOperazioni su Insiemi di Eventi

unione di 2 eventiunione di 2 eventi = l’uno o l’altro o tutti e due E1E2

probabilità(unione)probabilità(unione)

= P(E1 o E2) = P(E1 E2)

intersezione di 2 eventiintersezione di 2 eventi = l’uno e l’altro E1E2

probabilità(intersezione)probabilità(intersezione)

= P(E1 e E2) = P(E1E2)

.OR..OR.

.AN.AND.D.

4

proprietà delle probabilità:proprietà delle probabilità:

1.1. 0 0 P(E P(Eii) ) 1 1 La probabilità di un evento ELa probabilità di un evento Ei i è sempre è sempre

un numero compreso tra 0 e 1un numero compreso tra 0 e 1

2.2. ii P(E P(Eii) = 1) = 1 La somma delle probabilità di tutti gli La somma delle probabilità di tutti gli

eventi Eeventi Ei i spazio degli spazio degli

eventi è = 1eventi è = 1

3.3. Regola della Somma della ProbabilitàRegola della Somma della Probabilità:

P(EP(E11 E E22) = P(E) = P(E11) + P(E) + P(E22) - P(E) - P(E11 E E22))

5

S=spazio campionario (totalità degli eventi)

DefinizioniDefinizioni

A A BBA A B BA B

S=spazio campionario (totalità degli eventi)

__AA

SS

6

I° esperimento: lancio di due I° esperimento: lancio di due dadidadi

risultato = somma del valore della risultato = somma del valore della faccia superiore dei due dadifaccia superiore dei due dadi

X= 6+5 (nell’esempio)X= 6+5 (nell’esempio)

7

x combinazioni possibilicombinazioni possibili

2 1,1

3 1,2 2,1

4 2,2 3,1 1,3

5 2,3 3,2 4,1 1,4

6 3,3 4,2 2,4 5,1 1,5

7 3,4 4,3 5,2 2,5 6,1 1,6

8 4,4 5,3 3,5 6,2 2,6

9 6,3 3,6 5,4 4,5

10 5,5 6,4 4,6

11 5,6 6,5

12 6,6

x=

som

ma d

ei 2

x=

som

ma d

ei 2

d

ad

id

ad

i

X= somma della faccia superiore dei due dadi {2, 3 , …, 12}X= somma della faccia superiore dei due dadi {2, 3 , …, 12}

p(x)

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

8

Regola della sommaRegola della somma

• EE11= = [x pari][x pari]• EE22 = = [[xx7]) 7])

P([x pari]P([x pari][[xx7]) 7]) = P(x pari) + P(x= P(x pari) + P(x7) - 7) - P(xP(x{{8,10,128,10,12}}))

= 18/36 + 21/36 - 9/36 = = 18/36 + 21/36 - 9/36 = 30/3630/36

P(EP(E11 E E22) ) = P(E= P(E11) ) + P(E+ P(E22) ) - P(E- P(E11 E E22))

9

x combinazioni possibilicombinazioni possibili p(x)2 1,1 1/363 1,2 2,1 2/36

4 2,2 3,1 1,3 3/36

5 2,3 3,2 4,1 1,4 4/366 3,3 4,2 2,4 5,1 1,5 5/367 3,4 4,3 5,2 2,5 6,1 1,6 6/368 4,4 5,3 3,5 6,2 2,6 5/369 6,3 3,6 5,4 4,5 4/36

10 5,5 6,4 4,6 3/3611 5,6 6,5 2/3612 6,6 1/36

x=

som

ma d

ei 2

x=

som

ma d

ei 2

d

ad

id

ad

i

P([x pari]P([x pari][[xx7]) 7]) = P(x pari) + P(x= P(x pari) + P(x7) - P(x7) - P(x{{8,10,128,10,12}}) ) = 18/36 + 21/36 - 9/36 = 30/36= 18/36 + 21/36 - 9/36 = 30/36

10

Se Se EE11 ed ed EE22 sono Mutuamente Esclusivi allora … sono Mutuamente Esclusivi allora …

P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)

Esempio.

P(somma= 2 3) = 1 + 2 = 3 . 36 36 36

3. Proprietà Additiva della 3. Proprietà Additiva della probabilitàprobabilità:

11

II° esperimentoII° esperimento= estrarre una coppia

{genitore ; figlio}

Estrarre una coppia dalla distribuzione congiunta delle variabili …

{titolo di studio del genitoretitolo di studio del genitore; titolo di studio del figlio }.

12

eventoevento= una coppia di valori: uno per ciascuna variabile

titolo di studio del genitoretitolo di studio del genitoreelementar

emedia diploma totale

titolo di studio del figlio

elementare

4 1 0 5

media 6 24 5 35diploma 5 30 25 60

totale 15 55 30 100

Probabilità di eventi marginali :P(Gd) = P(titolo di studio del genitore = diploma) = 0,30P(Fd) = P(titolo di studio del figlio = diploma) = 0,60Probabilità dell’unione di eventi:Probabilità dell’unione di eventi:P(GdFd)=P[(genitore=diploma) o (figlio=diploma)] = 0,30+0,60-0,25 = 0,65P(GeFe)=P[(genitore=element.) o (figlio=element.)]= 0,05+0,15-0,04= 0,16P(GdFe)=P[(genitore=diploma) o (figlio=element.)] = 0,30+0,05-0,00= 0,35

Probabilità condizionat

a

13

Probabilità Condizionata

Condizionare per “un evento” significa considerare quell’evento come il nuovo spazio degli eventi.

Per pesto motivo si divide per la sua probabilità. E’ come dividere per il totale di riga o il totale di colonna quando nella tabella ci sono frequenze invece di probabilità.

1 2 1 2 2P(E E )=P(E |E ) P(E )

1 40 4=

10 100 100

1 21 2

2

P(E E )P(E |E )=

P(E ) E

ven

to E2

Evento E1SI NO

SI E1E2 E2

NO

E1 1,0

Cara

rrere

docile

(E1)

Capelli rossi (E2)

Si NoSi 4 21 25No 36 39

40 100

1 2

1 2 12

P(E E ) 4 1P(E |E ) = P(E )=

P(E ) 40 4

14

Probabilità Condizionata

P(Fd | Ge)= P[(figlio=diploma) tra quelli con (genitore=elementari)] = 0,05/0,15 = 0,33

P(Fd | Gm)= P[(figlio=diploma) tra quelli con (genitore=medie)] = 0,30/0,55 = 0,54

P(Fd | Gd)= P[(figlio=diploma) tra quelli con (genitore=diploma)] = 0,25/0,30 = 0,83

EVENTI INDIPENDENTIEVENTI INDIPENDENTI

Due eventi sono indipendenti quando la probabilità del primo Due eventi sono indipendenti quando la probabilità del primo condizionata al secondo è uguale alla probabilità del primo non condizionata al secondo è uguale alla probabilità del primo non condizionata (e viceversa)condizionata (e viceversa)

Se P(ESe P(E11 |E |E22) = P(E) = P(E11) ed P(E) ed P(E22|E|E11) = P(E) = P(E22) )

allora Eallora E11 ed E ed E22 sono indipendenti sono indipendenti

Vai alla

tabella

15

Eventi Indipendenti?Esempio dei due dadiEsempio dei due dadi

P(somma=10 | due dadi sono uguali) P(somma=10) 1/6 3/36 Falso

P(somma=pari | due dadi sono diversi) P(somma = pari) 12/30 18/36 Falso

P(dadi uguali | primo dado pari) = P(dadi uguali)   3/18 = 6/36  Vero

P(primo dado pari | dadi uguali) = P(primo dado pari)  

3/6 = 18/36 Vero

Esempio dei titoli di studio di genitori e figliEsempio dei titoli di studio di genitori e figli 

P(figlio con diploma | genitore con diploma)

P(figlio con diploma)

 

0,83 0,60  FalsoP(figlio con medie | genitore con

diploma) P(figlio con medie)

0,16 0,35  Falso

16

4.4. Proprietà Moltiplicativa della Proprietà Moltiplicativa della probabilitàprobabilità

Intuizione:Fingiamo per un attimo che E2 si verifichi con certezza, e calcoliamo P(E1|E2).

Adesso, rilasciamo questo assunto; E2 ridiventa un evento incerto, quindi moltiplichiamo per la probabilità di P(E2).

Il prodotto è la probabilità che E1 ed E2 si verifichino, cioè la probabilità dell’intersezione dei due eventi.

P(E1E2)=P(E1|E2)xP(E2)

Se ESe E11 ed E ed E2 sono indipendenti sono indipendenti P(E P(E1|E|E2)=P(E1) )=P(E1)

quindi P(Equindi P(E1EE2) = P(E) = P(E1) x P(E) x P(E2))

Dalla definizione di probabilità condizionata si deriva la proprietà

17

Regola del prodotto

Questo è un caso particolare della proprietà moltiplicativa:Questo è un caso particolare della proprietà moltiplicativa:

La probabilità che due eventi indipendenti si verifichino La probabilità che due eventi indipendenti si verifichino

entrambi è uguale al prodotto delle loro probabilitàentrambi è uguale al prodotto delle loro probabilità

(esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito = (esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito =

= probabilità testa 1= probabilità testa 1°° lancio x probabilità testa 2 lancio x probabilità testa 2°° lancio lancio = 0,5 x 0,5 = 0,25)= 0,5 x 0,5 = 0,25)

Note: Note: 1) due eventi mutuamente esclusivi non sono mai 1) due eventi mutuamente esclusivi non sono mai

indipendenti indipendenti 2) due eventi indipendenti, non sono mai 2) due eventi indipendenti, non sono mai

mutuamente esclusivimutuamente esclusivi

P(EP(E1EE2) = P(E) = P(E1) x ) x

P(EP(E2))

18

i ip(A )=1-p(A )

Evento certo:Evento certo: p(Ap(A11 A A22 ... A ... Ann ) = p(I) = 1 ) = p(I) = 1

Evento impossibile:Evento impossibile: p(B | [B p(B | [B I]) = 0 I]) = 0

Evento Evento complementare:complementare:

Unione di eventi:Unione di eventi: p(Ap(AiiAAjj)=p(A)=p(Aii) + p(A) + p(Ajj) - p(Ai) - p(AiAAjj))

Evento condizionato:Evento condizionato: p(Ap(Aii | A | Ajj ) = p(A ) = p(Aii A Ajj ) /p(A ) /p(Ajj ) )

Intersezione di eventi:Intersezione di eventi: p(Ap(Aii A Ajj ) = p(A ) = p(Ajj ) ) p(A p(Aii | A | Ajj ) )

Eventi incompatibili:Eventi incompatibili: p(Ap(Aii A Ajj ) = 0 ) = 0

regola della somma :regola della somma : p(Ap(Aii A Ajj ) = p(A ) = p(Aii ) + p(A ) + p(Ajj ) )

Eventi indipendenti:Eventi indipendenti: p(Ap(Aii | A | Ajj ) = p(A ) = p(Aii ) )

regola del prodotto :regola del prodotto : p(Ap(Aii A Aj j ) = p(A) = p(Aii ) ) p(A p(Ajj ) )

PROBABILITÀ: PROSPETTO RIASSUNTIVODato l'insieme I : {A1 , A2 , ... An I}

19

dadoB 1 2 3 4 5 6

dadoA

1 2 3 4 5 6 7  

2 3 4 5 6 7 8  

3 4 5 6 7 8 9  

4 5 6 7 8 9 10  

5 6 7 8 9 10 11  

6 7 8 9 10 11 12 punti

Un qualunque esito per uno dei due dadi può manifestarsi in concomitanza con un qualunque esito per l'altro dado. Se entrambi i dadi sono ben bilanciati, tutte le facce hanno la medesima probabilità di comparire. L'esito del lancio di uno qualunque dei due dadi è ininfluente sull'esito del lancio dell'altro dado.

20

Note:Punteggi ottenibili con due dadi da gioco a 6 facce

dadoB 1 2 3 4 5 6

dadoA

1 2 3 4 5 6 7  

2 3 4 5 6 7 8  

3 4 5 6 7 8 9  

4 5 6 7 8 9 10  

5 6 7 8 9 10 11  

6 7 8 9 10 11 12punti

21

PROBABILITÀ DI UN EVENTO

Evento: E Evento: E = punteggio minore di 6= punteggio minore di 6

p(E) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) == + + + = 1

36236

336

436

1036

dadoB 1 2 3 4 5 6

dadoA

1 2 3 4 5 6 7  

2 3 4 5 6 7 8  

3 4 5 6 7 8 9  

4 5 6 7 8 9 10  

5 6 7 8 9 10 11  

6 7 8 9 10 11 12 punti

22

dadoB 1 2 3 4 5 6

dadoA

1 2 3 4 5 6 7  

2 3 4 5 6 7 8  

3 4 5 6 7 8 9  

4 5 6 7 8 9 10  

5 6 7 8 9 10 11  

6 7 8 9 10 11 12 punti

UNIONE DI EVENTI(1) Evento:E (punteggio< 6) Evento:E (punteggio< 6) (punteggio (punteggio 8) 8)1036

1536

+

1136

=

2536

p(E)= p(<6)+p(8) = + = p(E)= 1 - [ p(6)+p(7)] = 1 - =

23

dadoB 1 2 3 4 5 6

dadoA

1 2 3 4 5 6 7  

2 3 4 5 6 7 8  

3 4 5 6 7 8 9  

4 5 6 7 8 9 10  

5 6 7 8 9 10 11  

6 7 8 9 10 11 12 punti

UNIONE DI EVENTI (2) Evento:E(punteggio

PARI)(punteggio<6)

p(E) = p(PARI) + p(<6) - p([PARI][<6]

=

= + - =

1836

1036

436

2436

24

dadoB 1 2 3 4 5 6

dadoA

1 2 3 4 5 6 7  

2 3 4 5 6 7 8  

3 4 5 6 7 8 9  

4 5 6 7 8 9 10  

5 6 7 8 9 10 11  

6 7 8 9 10 11 12

punti

INTERSEZIONE DI EVENTI (1)

Evento:E (punteggio PARI)(punteggio<6)

p(E) = p(PARI) p(<6|PARI) =

= =

1836

418

436

25

B 1 2 3 4 5 6 dado A

1 2 3 4 5 6 7  

2 3 4 5 6 7 8  

3 4 5 6 7 8 9  

4 5 6 7 8 9 10  

5 6 7 8 9 10 11  

6 7 8 9 10 11 12 punti

INTERSEZIONE DI EVENTI (2) Evento:E= (A=1)(punteggio=7)

p(E)= p(A=1) p(7|A=1) =

= =636

16

136

16nb: (A=1) e (punteggio=7) sono eventi indipendenti P(7) = p(7|A=1) =

dado

26

n21

3

1i B, ,...B ,B ABpAp

22 22

3

i1 i

2

2 2

Ap p B

p B A BBp 0,303

A p A Ap p B

B

p B AAp

B p B

B1

B2

Bn

p[A/B1]

p[A/B2]

p[A/Bn]

A

A

AA1

A2

A3S

EsercizioUna ditta acquista fiale da tre diversi fornitori:il 65% dal fornitore B1, con difettosità del 5%il 25% dal fornitore B2, con difettosità del 10%il 10% dal fornitore B3, con difettosità del 25%Qual è la probabilità di ricevere una fiala difettosa?SoluzioneP[B1]+P[B2]+P[B3]=1

S=B1B2B3

•

p[A1A2A3]=p[A1]+p[A2]+p[A3]-p[A1A2]-p[A1A3]-p[A2A3]-p[A1A2A3]

•di conseguenza, usando la stessa formula,•p[B1/A]=0,394

•p[B3/A]=0,303

27

In uno studio sui fattori di rischio per le patologie cardiache, è stata esaminata la relazione tra

ipertensione (ia) e patologie coronariche (CHD) in soggetti di due diverse fasce di età

35 ‑ 49 anni > 65 anni

CHD CHD

Si NoTotal

eSi No

Totale

IASi 552 212 746

1102

87 1189

No 941 495 1436101

8106 1124

Totale

1493

707 2200212

0193 2313

In ciascuna fascia di età, le probabilità di essere affetti da patologie corona-riche sono maggiori o minor nei soggetti ipertesi ? E appropriato combinare le informazioni di queste due tabelle ?Perche si ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Perche no? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Esempio : calcolo dei “valori attesi”

28

In uno studio sui fattori di rischio per le patologie cardiache è stata esaminata la relazione tra: patologie coronariche ~ ipertensione

arteriosa ed età

35 ‑ 49 anni > 65 anni CHD CHD

IA Si No Totale Si No TotaleSi 552 212 746 1102 87 1189No 941 495 1436 1018 106 1124

Totale 1493 707 2200 2120 193 2313

Sembra che patologie coronariche dipendano dall ‘età … ma …

N*p( iachd | 35‑49 anni)= (2200) ( 746/2200) (1493/2200) = 506.26 N*p( iachd | > 65 anni)= (2313) (1189/2313) (2120/2313) =1089.79

(N)*P(E(N)*P(E1EE2) = (N)*P(E) = (N)*P(E1) x P(E) x P(E2))

che relazione esiste tra ipertensione ed età ?

Esempio : calcolo dei “valori attesi”

29

Prima di rispondere osserviamo anche come siano distribuiti fattori di rischio nelle due fasce di età:

35 ‑ 49 anni > 65 anniCHD CHD

Si NoTotal

eSi No Totale

IASi 36.97 29.99 33.91 51.98 45.08 51.41

No 63.03 70.01 65.27 48.02 54.92 48.59Total

e100.0

0100.0

0100.0

0100.0

0100.0

0 100.00

p(ia)=33.91 p(ia)=51.41

Esempio : calcolo dei “valori attesi”

30

ed osserviamo anche come è distribuita la patologia nelle due fasce di età

35 ‑ 49 anni > 65 anni

CHD CHD

IA Si No Totale Si No Totale

Si 72.25 27.75 100.0 92.68 7.32 100.0

No 65.53 34.47 100.0 90.57 9.43 100.0

Totale 67.86 32.14 100.0 91.66 8.34 100.0

P(chd)=67.86P(chd)=91.66

31

Nelle due fasce di età la relazione (ia~chd) è in accordo con la regola dell’indipendenza

Tabella % 35 ‑ 49 anni > 65 anniCHD CHD

ia Si No Totale Si No Totale

Si25.0

99.64 33.91 47.64 3.76 51.41

No42.7

722.50 65.27 44.01 4.58 48.59

Totale67.8

632.14 100.00 91.66 8.34

100.00

Osservati ~ Attesi

0,2509~0.3391*0.6786=0.2391

Osservati ~ Attesi

0.4764~0.5141*0.9166=0.4712

32

I fattori di rischio possono combinarsi in modo moltiplicativo

oppure in modo additivo Quali effetti potremmo osservare ?

33

Avendo tre fattori a,b,c per c=0 c=0

a b=0 b=1 tot

a=0p(a=0|

b=0)××p(b=0)p(a=0|

b=1)*p(b=1)p(a=0

)

a=1p(a=1|

b=0)*p(b=0)p(a=1|

b=1)*p(b=1)p(a=1

)

tot p(b=0) p(b=1) 1.0

| col row | 0 1 | Total-----+--------------+------- 0 | 50 135 | 185 1 | 369 505 | 874 -----+--------------+-------Total| 419 640 | 1,059

| col row | 0 1 | Total-----+-----------------+------- 0 | 11.93 21.09 | 17.47 1 | 88.07 78.91 | 82.53 -----+-----------------+-------Total| 100.00 100.00 | 100.00

| col row | 0 1 | Total-----+-----------------+------- 0 | 27.03 72.97 | 100.00 1 | 42.22 57.78 | 100.00 -----+-----------------+-------Total| 39.57 60.43 | 100.00

E lo stesso schema si ripete per c=1

505 osservati 528.2 attesi

Percentuali per colonna Percentuali per riga

34

ETA35 Ignorando l’etàCHD CHD

IP 552 212 746 IP 1654 299 1935941 495 1436 1959 601 2560

1493 707 2200 3613 900 4513CHI2 ATTESI OR RR CHI2 OR RR

10.58 506.26 1.37 1.23 46.71 1.70 1.38

ETA65 Valori attesi per

un’ipotesiCHD di indipendenza

IP 1102 87 11891549.1

1 385.89 1935

1018 106 11242063.8

9 496.11 25602120 193 2313 3613 900 4513

CHI2 ATTESI OR RR OR RR

3.371089.7

9 1.32 1.15 0.96 0.993

RR= rischio relativoOR= odds ratio

35

Se avessi un effetto additivo 605=235+370

| col row | 1 2 | Total------+----------------------+---------- 1 | 50 235 | 285 | 17.54 82.46 | 100.00 | 11.90 27.98 | 22.62 -----+----------------------+---------- 2 | 370 605 | 975 | 37.95 62.05 | 100.00 | 88.10 72.02 | 77.38 ------+----------------------+----------Total | 420 840 | 1,260 | 33.33 66.67 | 100.00 | 100.00 100.00 | 100.00