1

Expresiones Algebraicas

• Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

• Ejemplos

12.

)

2)

2)

2

32

2

xxyx

c

xyxb

xyxa

2

Expresiones Algebraicas

3

Expresiones Algebraicas comunes

• El doble o duplo de un número: 2x• El triple de un número: 3x• El cuádruplo de un número: 4x• La mitad de un número: x/2• Un tercio de un número: x/3• Un cuarto de un número: x/4• Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...• Un número al cuadrado: x²

4

Expresiones Algebraicas comunes

• Un número al cubo: x³• Un número par: 2x• Un número impar: 2x + 1• Dos números consecutivos: x y x + 1• Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2• Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3• Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

5

Expresiones Algebraicas comunes

• La suma de dos números es 24: x y 24 − x• La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x• El producto de dos números es 24: x y 24/x• El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

6

Tipos de Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas

Racionales Irracionales

Enteras Fraccionarias

7

Expresión Algebraica Racional

• Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación

• Ejemplo

312

.2

22

y

yxx

8

Expresión Algebraica Irracional

• Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación

• Ejemplo

yxx 2

9

Expr.Algebraica Racional Entera

• Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.

• Ejemplo

542 3 yyxx

10

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria• Una expresión algebraicas racional es

fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.

• Ejemplo

31 2 yxx

11

Polinomios

• Son las expresiones algebraicas más usadas.

• Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:

a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn

12

Ejemplos de polinomios

A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

3

2

32

3)

31

)

xxb

xa

3

3

532)

21)

xxd

xc

13

Términos

• Monomio : polinomio con un solo término.• Binomio : polinomio con dos términos.• Trinomio : polinomio con tres términos.

• Cada monomio aixi se llama término.

• El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an0.

• A a0 se lo llama término independiente.

• A an se lo llama término principal.

14

Ejemplos

El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).

No se le asigna grado.

15

16

17

18

Ejercicio• Indicar cuáles de las siguientes expresiones

algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

2

13)

)3)(2()

1231

)

4

3

xc

xxb

xxa

132

)

312

)

52)

2

2

xxx

f

xxxe

xd

19

Polinomios iguales• Dos polinomios son iguales si y sólo si los

coeficientes de los términos de igual grado lo son.

• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

2

2

33

)2()1()(

25)12(5)()

)()(;52)()

xbcxbaxQ

xxxPb

xbaaxQxxPa

20

Suma de Polinomios

• Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.

• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

21

Propiedades de la Suma• Asociativa• Conmutativa• Existencia de elemento neutro• Existencia de elemento opuesto

22

Resta de Polinomios

• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).

P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]

• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

23

Multiplicación de Polinomios

• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.

• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2

P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

24

Propiedades del Producto

• Asociativa• Conmutativa• Existencia de elemento neutro.

25

Algunos productos importantes

• (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2

• (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2

• (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

• (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3

• (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2

26

Ejercicio

• Escribir los desarrollos de

243

232

2

31

32

)

)()

)32()

xxc

xxb

xa

323

34

3

3

2

2

1)

)()

)32()

xxf

xxe

xd

27

Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

93025)

4914)

144)

2

2

2

xxc

xxb

xxa

6543

23

23

81

23

68)

16128)

8126)

xxxxf

xxxe

xxxd

28

Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

64)

4)

361

)

100)

8

4

2

2

xd

xc

xb

xa

29

División de polinomios

• Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.

• Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

30

División entre números enteros

• En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que

D = d . C + r 0 ≤ r < |d|

• Si r=0 se dice que D es divisible por d.

31

División entre números enteros

• Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:

• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues

29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6

• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues

29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|

¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

32

División de polinomios• Dados los polinomios

D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8

d(x) = 3x – 4

determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que

D(x) = d(x). C(x) + r(x)

de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)

33

-6x3 + 8x2

Ejemplo

6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4

2x2

0x3 - 9x2+ 15x

- 3x

9x2- 12x

0x2+ 3x - 8

+ 1

-3x + 4

0x - 4

6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

34

Ejercicios

a) D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x

d(x) = x2 – 3x

b) D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4

d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2

c) D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2

d(x) = x-2

35

División de Polinomios

• Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que

D(x) = d(x) . c(x)

36

Ejercicios

• Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro

a) P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1

Q(x) = x3 + x2 + x + 1

b) P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16

Q(x) = x5 - 32

37

Regla de Ruffini

3 -2 -5 -92

-3

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)

3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3

4x2 – 5x - 4x2 + 8x

3x – 9 -3x + 6

-3 3

6

4

8

3

6

3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)

38

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)

realizada por la Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9 2 6 8 6 3 4 3 -31º operación : 3.2 -2 = 4

2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3

3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3

Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3

39

Raíces de un polinomio

• Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0

• Ejercicio:

Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5

40

Raíces de un Polinomio

• Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.

• Ejercicio: Calcular las raíces de

P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24

41

Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24 • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe

ser divisor de 24.• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)

2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)

Ver x=2 también es raíz de

2x2 + 2x -12

2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)

42

Ejercicio

• Calcular las raíces de

P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8

P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)