Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
¤³ÔµÈÒʵÃ�ÁÑ ÂÁÈÖ¡ÉÒ»�·Õè 3 ¤ÇÒÁ¹�Ò¨Ðà»�¹
บทนา เหตการณบางเหตการณเปนส�งท�ยงไมเกดข �น หรอเปนส�งท�ไมแนใจวาจะเกดข �น เพยงแตทราบวาม
โอกาสท�จะเกดข �นเทาน �น เหตการณท�อาจจะมโอกาสเกดข �น หรอไมมโอกาสเกดข �น ปรมาณท�จะวดวา
เหตการณน �นๆ มโอกาสเกดข �นมากหรอนอยเพยงไร เราเรยกปรมาณน �นวา ความนาจะเปนของเหตการณ
น �นๆ
การทดลองสมและเหตการณ
การทดลองสม (Random Experiment) เปนการกระทาใดๆ ท�เราไมสามารถทราบผลท�จะเกดข �นได
แนนอน แตทราบผลท �งหมดท�อาจเกดข �นได
ผลท�เกดข �นจากการทดลองสม เรยกวา ผลลพธ (Outcome)
ผลการทดลองท �งหมด หรอแซมเปลสเปซ (Sample Space) หมายถง ผลท �งหมดท�อาจจะเกดข �น
จากการทดลองสม
หมายเหต
นยมใช S เปนสญลกษณแทนแซมเปลสเปซ และเขยนไวในเคร�องหมายปกกาและใชเคร�องหมาย
“จลภาค” (,) ค�นระหวางผลลพธแตละตว และใช n(S) แทนจานวนสมาชกในแซมเปลสเปซ
การหาแซมเปลสเปซโดยใชแผนภาพตนไม
ตวอยาง
1. จงหาแซมเปลสเปซของการ โยนเหรยญ 1 อน 2 คร �ง
2. จงเขยนแซมเปลสเปซ ของการสรางเลข 2 หลก จากแผนปายหมายเลข 1, 2 และ 3
2
3. จงเขยนแซมเปลสเปซ ของโยนลกเตา 2 ลกพรอมกน
4. จงเขยนแซมเปลสเปซ ของโยนเหรยญ 1 อน 3 คร �ง
5. จงเขยนแซมเปลสเปซ ของโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ และโยนลกเตา 1 ลก พรอมกน 1 คร �ง
6. ตองการสรางเลข 3 หลก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3 หรอ 4
จงเขยนจานวนค�ท�สรางไดท �งหมด เม�อตวเลขในจานวนแตละหลกไมซ �ากน
3
7. จากเมอง ก. ไปเมอง ข. มเสนทางการเดนทางได 3 วธ คอ ทางรถยนต รถไฟและเคร�องบน
จากเมอง ข. ไปเมอง ค. มเสนทางการเดนทางได 2 วธ คอ ทางรถยนต และเรอ
จากเมอง ค. ไปเมอง ง. มเสนทางการเดนทางได 3 วธ คอ ทางเรอ รถไฟ และเคร�องบน
ถา นายเอก จะเดนทางจากเมอง ก. ไปเมอง ง. โดยผานเมอง ข. และ ค. จะเลอกเดนทางไดก�วธ
8. กาหนดใหหยบลกบอล 2 ลก จากกลองทบใบหน�งมลกบอล สแดง 2 ลก สขาว 2 ลก และสฟา 1 ลก
โดยท�ทกๆลกขนาดตางกน
(1) จงเขยนแซมเปลสเปซของหยบออกมา 2 ลกโดยหยบทละลกและใสคน
(2) จงเขยนแซมเปลสเปซของหยบออกมา 2 ลกโดยหยบทละลกและไมใสคน
(3) จงเขยนแซมเปลสเปซของหยบออกมา 2 ลกโดยหยบพรอมกน 2 ลก
4
9. มลกปงปองเขยนเลข 1, 2, 3, 4, 5 กากบไวอยางละหน�งลก
(1) จงเขยนแซมเปลสเปสของการหยบลกปงปองออกมา 2 ลกพรอมกน
(2) จงเขยนแซมเปลสเปสของการหยบลกปงปองออกมา 2 ลกท�ละลกและไมใสคน
(3) จงเขยนแซมเปลสเปสของการหยบลกปงปองออกมา 2 ลกท�ละลกและใสคน
(2) จงเขยนแซมเปลสเปสของการหยบลกปงปองออกมา 3 ลกพรอมกน
10. มานพ และ เอก แขงขนเทนนสกน โดยมกตกาวาผใดชนะสองเกมตดตอกน หรอชนะรวมสามเกม
จะเปนผชนะในการแขงขน จงหาวาจะมการแขงขนกนจนกวาจะมผชนะท �งหมดก�วธ
5
การหาแซมเปลสเปซโดยการใชกฎการนบเบ �องตน
กฎการนบเบ �องตน
ถาในการดาเนนงานอยางใดอยางหน�งใหสาเรจ ตองประกอบดวยการกระทายอยๆ ถง k ข �นตอน โดยท�
ข �นตอนท� 1 เลอกกระทาได n1 วธ
และในแตละวธของการกระทาข �นตอนท� 1 สามารถเลอกกระทาข �นตอนท� 2 ได n2 วธ
และในแตละวธของการกระทาข �นตอนท� 2 สามารถเลอกกระทาข �นตอนท� 3 ได n3 วธ
เปนเชนน �เร�อยๆ จนกระท�งถงการกระทาข �นตอนท� k ซ�งเลอกกระทาได nk วธ
ดงน �น ในการดาเนนงานคร �งน �ใหสาเรจสามารถเลอกกระทาได k321 nnnn ดดดด วธ
ตวอยาง
1. จงหาจานวนผลการทดลองท�อาจเกดข �นท �งหมดของการ
(1) เลอกซ �อขาวราดกบขาว 2 อยาง จากรานท�มแกงเน �อ ผดวนเสน ไขดาว หมทอด
(2) สลากกนแบงรฐบาลออกเลขทาย 2 ตว
(3) นาจดหมาย 3 ฉบบใสตไปรษณย 4 ต
2. ในการสอบวชาสงคมศกษา มขอสอบแบบ ถก – ผด อย 10 ขอ
นกเรยนจะเลอกตอบขอสอบท �ง 10 ขอดงกลาวไดก�วธ
3. มชาย 3 คน หญง 3 คน นามายนสลบกนเปนแถวยาวจะสามารถทาไดก�วธท�แตกตางกน
6
ขอ 1 – 5 จงเขยนแซมเปลสเปซจากการทดลองสมตอไปน �
1. โยนเหรยญ 1 อน 1 คร �ง ................................................................................................................
2. โยนเหรยญ 1 อน 2 คร �ง ................................................................................................................
3. โยนเหรยญ 2 อน 1 คร �ง ................................................................................................................
4. โยนเหรยญ 3 อน 1 คร �ง ................................................................................................................
5. ไพสารบหน�งม 52 ใบ ในจานวนท �งหมดแบงออกเปน 4 ชด คอ
ช โพดา 13 ใบ มสดา ฉ โพแดง 13 ใบ มสแดง
จขาวหลามตด 13 ใบ มสแดง ง ดอกจก 13 ใบ มสดา
แตละชดประกอบดวยแตม 13 แตม คอ K,Q,J,A,2,3,4,5,6,7,8,9,10
(1) หยบไพ 1 ใบออกจากสารบ
.....................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
(2) หยบ 1 ใบไดชดดอกจก ...........................................................................................................
(3) หยบไดไพท�มแตมเปนจานวนเฉพาะ .........................................................................................
.............................................................................................................................................
(4) หยบไดไพแตม J,Q หรอ K ......................................................................................................
6. นกเรยนคนหน�งมเส �อและกางเกงสาหรบไปเท�ยวอย 3 ตว และ 2 ตว ตามลาดบ เขาจะสวมเส �อและ
กางเกงไปเท�ยวเปนชดตางๆ กนไดท �งหมดก�วธ
7. สนามกฬาแหงหน�งมประตอย 4 ประต ถาจะเขาประตหน�งแลวออกอกประตหน�งซ�งไมซ �ากบประตท�เขา
มา จะมวธเขาและออกไดท �งหมดก�วธ
8. นก 5 ตว จะเลอกเกาะตนไม 3 ตน ไดก�วธ
Ẻ½�¡ËÑ´ : ¡Ò÷´ÅͧÊØ�ÁáÅÐá«Áà»�ÅÊ໫
7
9. เดกคนหน�งพนนยงปนกบเพ�อนของเขา โดยมกตกาวา ถาเขายงถกเปาเขาจะได 1 บาท แตถาเขายง
ผดเปา เขาจะเสย 1 บาท ถาเดกคนน �ยงไดท �งหมดไมเกน 5 นด และจะหยดเลนกอนครบ 5 นด เม�อ
เขาเสยเงนหมด หรอเขาไดกาไร 3 บาท จงหาจานวนวธการเลนของเดกคนน �จนกวาเขาจะหยดเลน
โดยกาหนดวา เม�อเร�มเลนเดกคนน �มเงนอยแลว 1 บาท
10. การแขงขนฟตบอลระหวางทมผแดง และทมหงสแดง โดยมกตกาวา ทมใดท�ชนะ 3 คร �ง ทมน �นจะ
เปนผชนะ (กาหนดใหผลการแขงขนแตละคร �งมชนะหรอแพเทาน �น) จงหาจานวนวธแขงขนจนกวาจะม
ทมท�ชนะในการแขงขนคร �งน �
11. ถาตองการสรางจานวนท�ม 3 หลก เลขแตละหลกเลอกจากตวเลข 2,3,5,7 และ 9
จะสรางไดท �งหมดก�จานวน เม�อ
(1) ไมมเง�อนไขใดเพ�มเตม (2) เลขแตละหลกไมซ �ากน
(3) จานวนท�สรางทคานอยกวา 400 (4) เปนจานวนค
(5) เปนจานวนค�และเลขแตละหลกไมซ �ากน (6) จานวนท�สรางไดหารดวย 5 ลงตว
8
12. ถาตองการเลอกประธาน รองประธาน และเหรญญก ตาแหนงละ 1 คน โดยเลอกจากนกเรยนชาย 5 คน
และนกเรยนหญง 4 คน จะเลอกกรรมการดงกลาวไดท �งหมดก�ชด โดยท�ประธานและรองประธานเปน
เพศเดยวกน แตเปนคนละเพศกบเหรญญก
13. ถาตองการสรางคาท�ประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซ�งไมซ �ากน และเลอกตวอกษรมาจากคาวา
EXPONENTIAL จะสรางไดท �งหมดก�คา เม�อคาท�สรางไมจาเปนตองมความหมาย และ
(1) ตวอกษรในคาน �นมพยญชนะอยางนอย 1 ตว
(2) ตวอกษรในคาน �นมสระอยางนอย 1 ตว
14. มหนงสอคณตศาสตรท�แตกตางกน 3 เลม มหนงสอเคมท�แตกตางกน 5 เลม ตองการจดหนงสอจานวน
5 เลม บนช �นหนงสอเปนแถวยาว จะมวธการจดหนงสอท �งหมดก�วธ เม�อ
(1) มหนงสอคณตศาสตรบนช �นอยางนอย 1 เลม
(2) หนงสอเลมแรกและเลมสดทายเปนวชาเดยวกน
15. จงหาจานวนของจานวนเตมบวกซ�งหาร 23 ด 34 ด 52 ลงตว
9
เหตการณ (Event) เหตการณ (Event) ไดแกผลลพธท�เราสนใจจากการทดลองสม
บทขยายความ
1. ผลลพธทกตวในเหตการณเปนผลลพธในแซมเปลสเปซ
2. แซมเปลสเปซกเปนเหตการณหน�ง เรยกวา เปนเหตการณท�แนนอน
3. ผลลพธท�ไมเกดข �นจากการทดลองสมกเปนเหตการณหน�ง เรยกวา เหตการณท�เปนไปไมได
4. ใช E เปนสญลกษณแทนเหตการณ
ตวอยาง 1 จงเขยนแซมเปลสเปซ จากการทดลองโยนเหรยญ 3 อน 1 คร �ง
และ จงเขยนเหตการณจากการทดลองสมแตละขอตอไปน �
(1) เหตการณไดกอยสองอน (2) เหตการณไดหวหน�งอน
(3) เหตการณไดกอยอยางนอยหน�งอน (4) เหตการณไดหวอยางมากหน�งอน
ตวอยาง 2 จงเขยนแซมเปลสเปซจากการหยบลกหนสองลกโดยหยบทละลก ข �นมาจากถงใบหน�งท�บรรจลก
หนสแดงไว 3 ลกและสขาว 2 ลก ถาการหยบลกแรกไดแลวไมใสคนและจงเขยนเหตการณจาก
การหยบลกหนในแตละขอตอไปน �
(1) ไดลกหนสแดงท �งสองลก (2) ไดลกหนสแดงในการหยบคร �งท�สอง
(3) ไดลกหนสขาวลกเดยว (4) ไดลกหนสเหลอง
10
ตวอยาง 3 จงหาเหตการณตอไปน �
(1) นาเลขโดด 3, 4 และ 5 มาเรยงเปนเลข 3 หลก ใหมจานวนมากกวา 400 โดยแตละหลกใช
ตวเลขไมซ �ากน
(2) ครอบครวหน�งตองการมบตร 2 คน คนหน�งเปนผหญง
(3) เอา 3 หาร เลข 4 หลกคอ 65k3 ไดลงตว เม�อ k เปนจานวนเตมบวก
(5) ทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 คร �ง และไดแตมรวมไมเกน 4
แฟกทอเรยล (Factorial) นยาม ถา n เปนจานวนเตมบวกแลว ผลคณของจานวนเตมบวกต �งแต 1 ถง n ดงน �
1 2 3 ... n
เขยนแทนดวยสญลกษณ n! อานวา เอนแฟกทอเรยล โดยกาหนดวา 0! = 1
น�นคอ
หรอ
เพ�มเตม
n ! = 1 2 3 … n
n ! = n(n – 1)(n – 2)… 3 2 1
จานวนวธเรยงสบเปล�ยนของ n ส�ง ซ�งแตกตางกนท�งหมด นามาจดคราวละ n ส�ง ได n ! วธ
11
ตวอยาง 4 จงหาจานวนวธของเหตการณตอไปน �
(1) จงหาจานวนวธท�แตกตางกนท�จะจดคน 6 คน เขาแถวเรยงหน�ง
(2) จงหาจานวนวธท�แตกตางกนท�จะจดตวอกษรจากคาวา PHYSIC ใหเปนคาใหม
โดยใชตวอกษรท �งหมดโดยไมคานงถงความหมายของคา
(3) สามภรรยาคหน�ง พรอมดวยลก 4 คน มายนเรยงเปนแถวยาวเพ�อถายรป
จะมวธจดใหยนท �งหมดก�วธเม�อ
ก. ไมมเง�อนไขใดเพ�มเตม
ข. พอและแมยนตดกน
ค. พอและแมยนรมท �งสองดาน .
(4) มลกบอลสแดง 4 ลก สขาว 4 ลก และสมวง 4 ลก ลกบอลแตละลกไมเหมอนกน
ถาตองการจดลกบอลเรยงเปนแถวยาว จะจดไดก�วธเม�อ
ก. ลกบอลสลบสกนทละลก
ข. ลกบอลสลบสกนทละ 2 ลก
12
จงหาเหตการณจากการทดลองสมตอไปน �
1. โยนเหรยญ 3 เหรยญ แลวได
(1) กอย 2 เหรยญ ...................................................................................................................
(2) ไดกอยอยางนอย 2 เหรยญ .................................................................................................
(3) ไดหวและกอยเทากน .........................................................................................................
(4) ไดหวมากกวากอย .............................................................................................................
(5) ไดหวนอยกวา 4 คร �ง ..........................................................................................................
2. ทอดลกเตา 3 ลกแลวได
(1) ไดผลบวกของแตมเปน 10 ..................................................................................................
(2) ไดผลบวกของแตมมากกวา 10 ...........................................................................................
(3) ไดผลบวกของแตมไมเกน 5 ................................................................................................
(4) ไดผลบวกเปน 1 ................................................................................................................
3. การสรางเลข 3 หลก จากเลข 3,7 และ 0 โดยใชตวเลขซ �าได
(1) เลขค� ................................................................................................................................
(2) เลขมากกวา 500 ..............................................................................................................
(3) เลขท�หลกสบเปน 3 ...........................................................................................................
4. การหยบลกบอล 2 ลก จากกลองทบท�มลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 2 ลก สฟา 1 ลก โดยหยบทละลกและ
ไมใสคน
(1) สเดยวกน ..........................................................................................................................
(2) ตางส ................................................................................................................................
5. การหยบไพ 1 ใบจากสารบ
(1) ไพสแดง ..........................................................................................................................
(2) ไพโพดาแตมค ...................................................................................................................
(3) ดอกจกแตมท�ไมเกน 8 ........................................................................................................
Ẻ½�¡ËÑ´ : à˵ءÒó�¢Í§¡Ò÷´ÅͧÊØ�Á
13
6. เลอกตวอกษร 3 ตว จากตวอกษร 5 ตว คอ S,A,B,E และ N
(1) ม E รวมอยดวย ...............................................................................................................
(2) มสระอยดวยเสมอ .............................................................................................................
(3) ไมมสระ ............................................................................................................................
7. จดเรยงเดก 3 คน คอ ก,ข และ ค เขาแถวหนากระดานถายรป
(1) จงเขยนผลการจดเรยงท �งหมด ............................................................................................
(2) ข อยกลางเสมอ ...............................................................................................................
(3) ก อยรมเสมอ ...................................................................................................................
8. มชาย 3 คน และหญง 2 คน จะมก�วธท�จะใหคนท �ง 5 มายนเปนแถว โดยท�ชายท �ง 3 คนยนตดกน และ
หญง 2 คนยนตดกน
.................................................................................................................................................
9. ถานาตวอกษรจากคาวา TRIANGLE มาจดเปนคาใหม โดยท�คาน �นจะมความหมายหรอไมกได
9.1 จะจดเปนคาใหมไดท �งหมดก�คา ..........................................................................................
9.2 จะจดเปนคาใหมไดท �งหมดก�คา ถาคาน �นข �นตนดวย T และลงทายดวย E
………………………………………………………………………………………………………….
10. จะมก�วธท�จะนาตวอกษรจากคาวาHONESTY มาจดเปนคาใหม โดยคาดงกลาว
ไมมความหมายกได ถา
10.1 S และ T ตองอยตดกน ..................................................................................................
10.2 S และ T ตองไมอยตดกน ...............................................................................................
14
11. ชาย 3 คน และหญง 2 คน มาน�งบนมาน�ง 5 ตวเรยงแถวยาว จะมวธการน�งท �งหมดก�วธ เม�อ
11.1 เพศเดยวกน น�งตดกน ......................................................................................................
11.2 หญง 2 คน น�งตดกน .......................................................................................................
11.3 ชาย 3 คน น�งตดกน .......................................................................................................
11.4 ชายและหญงน�งสลบกนท�ละคน .......................................................................................
12. มผชาย 6 คน และผหญง 6 คน ถาตองการนาคนท �งหมดไปน�งเรยงแถวยาว จะมวธการน�งก�วธ เม�อ
ตองการให
12.1 ชายและหญงน�งสลบกนทละ 1 คน .................................................................................
12.2 ชายและหญงน�งสลบกนทละ 2 คน ................................................................................
12.3 ชายและหญงน�งสลบกนทละ 3 คน ................................................................................
13. เดกนกเรยนคนหน�งมหนงสอคณตศาสตร 3 เลม หนงสอฟสกส 2 เลม และหนงสอเคม 4 เลม ถาหนงสอ
ทกเลมมความแตกตางกน และตองการจดหนงสอท �งหมดเรยงแถวบนช �นหนงสอ จะจดไดก�วธ เม�อ
13.1 หนงสอท�เปนวชาเดยวกนอยตดกน ...................................................................................
13.2 หนงสอคณตศาสตรอยตดกน แตหนงสอเคมอยตดกนทเดยว 4 เลมไมได
.................................................................................................................................................
13.3 หนงสอท�อยรมท �งสองดานตองเปนหนงสอวชาเดยวกน
.................................................................................................................................................
14. มจานวนท�มคามากกวา 1,000,000 ก�จานวน ถาจานวนน �นสรางมาจากเลขโดด 0,1,2,3,4,5,6 โดยท�แต
ละหลกเลขตองไมซ �ากน
.................................................................................................................................................
15. มจานวนท�ม 6 หลกก�จานวนท�หารดวย 5 ไมลงตว ถาจานวนเหลาน �นสรางจากเลขโดด 4,5,6,7,8,9 โดย
ท�เลขแตละหลกตองไมซ �ากน
………………………………………………………………………………………………………..
15
ความนาจะเปนของเหตการณ(Probability of Events) ถา n(S) เปนจานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ
n(E) เปนจานวนสมาชกในเหตการณ
P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E
จะไดวา n(S)
n(E)P(E)
บทขยายความ
1. เน�องจากสมาชกทกตวในเหตการณเปนสมาชกในแซมเปลสเปซ เพราะฉะน �น 0 n(E) n(S)
2. ถา E เปนเหตการณใดๆ จะไดวา
2.1 0 P(E) 1
2.2 P(E) = 1 หมายถงเหตการณน �นเกดข �นแนนอน
2.3 P(E) = 0 หมายถงเหตการณน �นไมมโอกาสเกดไดเลย
3. ถา S เปนแซมเปลสเปซจะไดวา P(S) = 1
4. ถา E แทนเหตการณท�เราไมสนใจ จะไดวา P(E) = 1 – P(E)
ตวอยาง 1 กลองทบใบหน�งมบอลสขาว 5 ลก สแดง 3 ลก หยบบอล 1 ลกจากกลองใบน � จงหา
(1) ความนาจะเปนของการหยบลกบอล 1 ลกจากกลองไดสขาว
(2) ความนาจะเปนของการหยบลกบอล 1 ลกจากกลองไดสแดง
(3) ความนาจะเปนของการหยบลกบอล 1 ลกจากกลองไดสฟา
ตวอยาง 2 จากการโยนเหรยญ 3 เหรยญพรอมกน จงหา
(1) แซมเปลสเปซและจานวนของแซมเปลสเปซ
(2) ความนาจะเปนของเหตการณท�ไดเหรยญข �นหนากอย 2 เหรยญ
(3) ความนาจะเปนของเหตการณท�ไดเหรยญข �นหนาหวอยางนอย 2 เหรยญ
16
ตวอยาง 3 จากการโยนลกเตา 2 ลก 1 คร �ง จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน �
(1) ไดแตมท �งสองเหมอนกน (2) ไดแตมท �งสองตางกน
(3) ไดผลรวมของแตมมากกวา 3 (4) ไดผลคณของแตมเปนจานวนค
ตวอยาง 4 ดงไพ 1 ใบ จากไพสารบหน�งซ�งม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนท�ไพใบน �น
(1) เปนไพโพแดง (2) จะเปนไพ A
(3) จะเปน A หรอ K (4) จะเปน Q และ K
ตวอยาง 5 ครอบครวหน�งมลก 4 คน จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน �
(1) ในครอบครวน �นมลกชาย 3 คน ลกสาว 1 คน
(2) ในครอบครวน �นมลกชายคนโต และมลกสาวคนเลก
(3) ในครอบครวน �นมลกชาย 2 คน ลกสาว 2 คน สลบกน
17
1. โยนเหรยญ 4 เหรยญ 1 คร �ง จงหา
1.1 ความนาจะเปนท�ไดหว 2 คร �ง 1.2 ความนาจะเปนท�ไดหวไมเกน 3 คร �ง
1.3 ความนาจะเปนท�ไดหวเทากบกอย 1.4 ความนาจะเปนท�ไดหวอยางนอย 1 หว
2. ขอสอบฉบบหน�งม 20 ขอ ขอละ 1 คะแนน จงหา
2.1 ความนาจะเปนท�ทาขอสอบฉบบน �ไดผาน
2.2 ความนาจะเปนท�ทาขอสอบไดมากกวา 18 ขอ
3. ถาสมครอบครวท�มบตรสามคนมาครอบครวหน�ง จงหาความนาจะเปนของเหตการณท�ครอบครวน �น
3.1 มบตรคนแรกเปนหญง และบตรคนท�สองเปนชาย
3.2 มบตรเปนชายอยางนอย 1 คน
3.3 ไมมบตรหญงเลย
3.4 มบตรเปนหญงอยางมาก 1 คน
4. ถงใบหน�งใสเหรยญหาไว 100 อน เหรยญแตละอนไดเขยนเลขกากบไว โดยไมซ �ากนคอเร�มจาก 1 จนถง
100 ถาหยบเหรยญอนหน�งออกมาโดยการสม จงหาความนาจะเปนท�เลขท�เขยนกากบไว
4.1 เปนจานวนเตมค
4.2 เปนจานวนค�และจานวนท�หารดวย 3 ลงตว
4.3 เปนจานวนท�มรากท�สองเปนจานวนเตม
4.4 เปนจานวนคหรอมรากท�สามเปนจานวนเตม
Ẻ½�¡ËÑ´ : ¤ÇÒÁ¹�Ò¨Ðà»�¹¢Í§à˵ءÒó�
18
5. สมหยบลกบอล 1 ลก จากถงใบหน�งซ�งบรรจลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 4 ลก และสเขยว 5 ลก
จงหาความนาจะเปนท�จะ
5.1 หยบไดลกบอลสขาว
5.2 หยบไดลกบอลสขาวหรอสแดง
5.3 หยบไมไดลกบอลสแดง
5.4 หยบไดลกบอลสขาวและสเขยว
6. ในถงใบหน�งบรรจเหรยญ 5 บาท 5 เหรยญ และเหรยญ 1 บาท 2 เหรยญ สมหยบข �นมา 2 เหรยญ ท�ละ
เหรยญไมใสคน และหยบคร �งแรกทกคร �งเปนเหรยญ 5 บาท จงหาความนาจะเปนท�หยบเหรยญคร �งท�
สองเปนเหรยญ 5 บาทดวย
7. ไพสารบหน�งม 52 ใบ สมหยบข �นมา 2 ใบ โดยหยบทละใบแลวใสคนกอนหยบใหม จงหาความนาจะเปน
7.1 ไดไพ A โพดาดวยเสมอ
7.2 ไมไดไพโพดาเสมอ
8. ถาเลอกสมตวอกษร 1 ตวจากคาวา MATHS จงหาความนาจะเปน
8.1 สมหยบจากกลมไดสระ
8.2 สมหยบจากกลมไดพยญชนะ
19
9. กลองใบหน�งมลกบอลสแดง 3 ลก และสขาว 2 ลก หยบลกบอลอยางสมจากกลองใบน � 2 ลก
จงหาความนาจะเปนท�ลกบอล 2 ลกน �น จะเปนสแดง 1 ลก และสขาว 1 ลก
10. กลองใบหน�งมหลอดไฟอย 10 หลอด ในจานวนน �เปนหลอดเสย 3 หลอด นอกน �นเปนหลอดด
ถาหยบหลอดไฟออกจากกลองอยางสม 2 หลอด จงหาความนาจะเปนท�ไมมหลอดเสย ตดมาเลย
11. มคนกลมหน�งจานวน 8 คน ในจานวนน � มนาย ก, นาย ข และ นาย ค รวมอยดวย
ถาสมเลอกคนเหลาน �ออกมา 4 คน จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน �
11.1 ไดท �งนาย ก, นาย ข, และ นาย ค
11.2 ไดนาย ก แตไมได นาย ข
11.3 ไดนาย ก, นาย ข และนาย ค เพยง 2 คนเทาน �น
12. สลาก 20 ใบ มหมายเลขกากบต �งแต 1 ถง 20 สลากหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 มรางวล 1,000, 500,
300 และ 200 บาท ตามลาดบ ชายผหน�งหยบสลาก 2 ใบ แบบสมจากสลากท �งหมด
จงหาความนาจะเปนท�
12.1 ชายผน �ไดรบรางวลรวมกน 500 บาทพอด
12.2 ชายผน �ไดรบเงนรางวลอยางนอย 1,000 บาท
20
13. สมหยบไพ 3 ใบ ออกจากสารบหน�ง ซ�งม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน �
13.1 ไดไพหมายเลขเดยวกนท �งสามใบ
13.2 ไดไพชด(ดอก)เดยวกนท �งสามใบ
13.3 ไพท �งสามใบมาจากชดตางๆ กน
14. สมชายทอดลกเตาลกหน�ง ถาแตมท�ข �นหารดวย 2 ลงตวจะหยบฉลากหน�งใบจากกลองซ�งมฉลาก 2 ใบม
ตวเลข 1 และ 4 กากบอย แตถาแตมท�ข �นหารดวย 2 ไมลงตวจะหยบฉลากหน�งใบจากกลองอกใบหน�ง
ซ�งมฉลาก 2 ใบเชนกนแตมตวเลข 3 และ 2 กากบอย ความนาจะเปนท�ผลรวมของแตมท�ข �นกบตวเลขใน
ฉลากจะหารดวย 3 ลงตว มคาเทาใด
15. มแมกญแจ 4 ตว และลกกญแจ 4 ดอก วางรวมกนอยบนโตะ ลกกญแจหน�งดอกไขแมกญแจได 1 ตว
เทาน �น สมหยบแมกญแจมา 2 ตว และสมหยบลกกญแจมา 2 ดอก ความนาจะเปนท�จะไขแมกญแจ
ไดท �งสองตว มคาเทาใด
16. นาไพ 4 ใบ ท�มตวเลข 1 ถง 4 กากบอย สบไพ 4 ใบน �น แลวเรยงหงายทละใบบนโตะ ความนาจะ
เปนท�จะมเพยง 2 ใบวางถกตาแหนง (วางถกตาแหนงคอไพท�มตวเลข n วางอยในตาแหนงท� n)
มคาเทาใด
21
17. ถงใบหน�งมดนสอ 3 แทง ยาวแทงละ 3, 4 และ 5 เซนตเมตร หยบออกมาดคร �งละ 1 แทง บนทกความ
ยาวไวแลวใสกลบคน ทาเชนน �ซ �ากน 3 คร �ง ถาสรางรปสามเหล�ยมใหมความยาวของดานสอดคลองกบ
ความยาวท�บนทกไว ความนาจะเปนท�จะไดรปสามเหล�ยมมมฉากเปนเทาใด
18. กลองใบหน�งบรรจฉลากหมายเลข 2, 3, 4 และ 5 กลองใบท�สองบรรจฉลากหมายเลข 3, 4, 5 และ 6
หยบฉลาก 1 ใบจากแตละกลอง ถา a คอหมายเลขในฉลากท�หยบไดจากกลองใบแรก และ b คอ
หมายเลขในฉลากท�หยบไดจากกลองใบท�สอง ความนาจะเปนท�เม�อนา 3 ไปหารผลคณของ a กบ b
แลวเหลอเศษมากกวา 1 มคาเทาใด
19. มสลาก 4 ใบ หมายเลข 1 ถง 4 อยในกลอง สมหยบสลากมา 1 ใบ เปดดจดตวเลขไว แลวใสกลบคน
ลงในกลองตามเดม เขยากลองสกครจงหยบสลากออกมาอก 1 ใบ เปดดและจดตวเลขไว
ถา a คอ ตวเลขท�จดไวคร �งแรก และ b คอตวเลขท�จดไวคร �งท�สอง
ความนาจะเปนท� a2b + 1 หารดวย 5 ลงตวเปนเทาใด
22
20 ชายคนหน�งทอดลกเตา 1 ลก 2 คร �ง ให x1 คอแตมท�ไดจากการทอดคร �งแรก เขาจะกาวจากจดท�เขายน
อยไปทางขวาเปนจานวน x1 กาว จากน �นทอดลกเตาอกคร �ง และให x2 คอแตมท�ไดจากการทอด
คร �งท�สอง เขาจะกาวไปทางซายจากตาแหนงท�เขายนอยขณะน �นเปนจานวน x2 กาว ความนาจะเปนท�
ภายหลงจากท�เขากาวไปทางซายเปนจานวน x2 กาวแลวทาใหเขาอยหางจากจดท�เขายนอยคร �งแรกไป
ทางซายเปนจานวน 3 กาวเปนเทาใด
21. กลองบรรจลกแกว 2 ใบ ใบท�หน�งบรรจลกแกวสแดง ใบท�สองบรรจลกแกวสเหลอง ถาเชอกท�ผกไวกบ
กลองใบท�หน�งถกดง ลกแกวสแดงจะหลนออกมา 2 ลก แตถาเชอกท�ผกไวกบกลองใบท�สองถกดง
ลกแกวสเหลองจะหลนออกมา 1 ลก สมดงเชอกคร �งละเสน 4 คร �ง ความนาจะเปนท�ลกแกวท�หลน
ออกมาเปนสแดง 4 ลก และสเหลอง 2 ลกมคาเทาใด
22. มไมยาว 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 เซนตเมตรอยางละทอนอยในถง สมหยบข �นมาสามทอน ความนาจะเปน
ท�จะนาไมสามทอนน �นมาประกอบเปนรปสามเหล�ยมไมไดเปนเทาใด
23
23. สชาตเขยนจดหมายฉบบหน�งถงเพ�อน 4 คน แตเม�อนาจดหมายใสซองปดผนกและสงไปแลว จงนกข �น
ไดวากอนนาจดหมายใสซอง ลมดวาช�อในจดหมายกบช�อท�จาหนาซองตรงกนหรอไม ความนาจะเปนท�
จะมเพ�อนคนใดคนหน�งเพยงคนเดยวเทาน �นท�ไดรบจดหมายถกตองตามท�จาหนาซองเปนเทาใด
24. กลองใบหน�งมลกปงปอง ซ�งมหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 หมายเลขละหน�งลก สมหยบข �นมา 2 ลก
พรอมกน จงหาความนาจะเปนท�ผลคณของหมายเลขท �งสองเปนจานวนค�