1 Ferdinando Arzarello Cristina Sabena Controllo logico e controllo semiotico nelle attività matematiche Università di Torino SFIDA Torino 22 Maggio 2009

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Ferdinando Arzarello Cristina Sabena

Controllo logico e controllo semiotico nelle attività matematiche

Università di Torino

SFIDA Torino 22 Maggio 2009

Il ruolo cruciale delle risorse semiotiche nei processi di argomentazione e problem solving

Il problema di ricerca

Strumenti di analisi:

Aspetti logici: il modello di Toulmin

Aspetti semiotici: (il modello del semiotic bundle)

Arzarello, F. (2006). Semioss as a multimodal process. Relime Vol Especial, 267-299.Toulmin, S. (1975). Gli usi dell’argomentazione. Torino: Rosemberg & Sellier. (1958-2003). The uses of argument. Cambridge/New York: Cambridge

University Press.

Il modello di Toulmin

Example: Harry is a British subject since he was born in Bermuda.

Claim: the statement of the argument




Data: facts supporting the claim




D C

since W

Data: facts supporting the claim

Warrant: rule that connects data to the claim



Qualifier: the strength provided by the warrant

Rebuttal: exception to the rule of the warrant

Backing: grounding of the warrant


Warrant: a man born in Bermuda will be a British subject

Data: Harry was born in Bermuda

Claim: Harry is a British subject

Rebuttal: unless he has become a naturalised American…

Qualifier: presumably…

Backing: on account of the British laws

D Q C

W R

B


“…il punto d’inizio dei nostri studi sarà la pratica logica” (Toulmin, 1975, p. 9).

L’obiettivo è “caratterizzare ciò che può essere chiamato il “processo razionale”, le procedure e le categorie usando le quali si possono discutere e dirimere le pretese in generale” (ibid., p. 10).


In che senso si tratta di un’analisi ti tipo “logico”?

Osservazione:

L’analisi condotta da Toulmin ed il suo schema sono pensati per analizzare non come si raggiungono le conclusioni, ma come le si stabilisce sostenendole con un’argomentazione: ….


“Non vogliamo, in generale, in questi saggi trattare dei modi in cui di fatto raggiungiamo le nostre conclusioni […]

In questo saggio, ad ogni modo, non ci interessa come si raggiungono le conclusioni ma come le stabiliamo sostenendole con un’argomentazione” (ibid., p. 19).

Nelle nostre analisi, invece, noi usiamo il modello di Toulmin proprio per analizzare i processi argomentativi, nonché processi di problem solving, ….

In letteratura:

- Pedemonte, ESM 2006: modello di Toulmin combinato con il modello di Balacheff per studiare continuità e distanze tra argomentazione e dimostrazione.

- Inglis, Mejia-Ramos & Simpson, ESM 2007; Jahnke, ZDM 2008: importanza del modello completo per analizzare le argomentazioni matematiche, in quanto saper gestire qualifier e rebuttal fa parte della competenza matematica.

- …


ANALISI SEMIOTICA

Noi consideriamo come “segni” (nel senso di Peirce) un ampio spettro di risorse, nel modello del semiotic bundle:

sistema dinamico di segni (includendo drawings, symbols, words, gestures, …) prodotto dai soggetti coinvolti (studenti, insegnante)

In matematica, nel risolvere problemi e argomentare è fondamentale avere competenza semiotica, ossia nel trattamento di sistemi semiotici, e nel passare dall’uno all’altro (Duval parla di “trattamenti” e “conversioni”).

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Classe: I Liceo Scientifico, verifica di un percorso sull’aspetto grafico, sulle primitive di funzioni, in cui avevano risolto in gruppo problemi simili

Francesca, Emanuela, Daniele

stesso gruppo

CASE STUDY 1

Il disegno mostra i grafici di: una funzione f, la derivata di f, una primitiva di f.

Identifica il grafico di ogni funzione, giustificando la risposta.

Task:

F

ED

metti che sia una derivata…da qua a qua…decresce

questa è la primitiva

…aspetta…

e non ce n’è nessuna che……quindi questa è una primitiva

osservare la corrispondenza

tra i grafici

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Emanuela

3 CLAIMS

DATI

WARRANTS

16

Emanuela

Modalità osservativa

Modalità logico-deduttiva

Livello meta-cognitivo

17

Emanuela

Mondo ipotetico

Realtà fattuale

Dinamica complessa dell’argomentazione: da un livello osservativo ad una strutturazione via via più generale

Dialettica tra aspetti logici e semiotici.

Emanuela

Strutturazione ricorsiva del modello di Toulmin

Francesca

CLAIM

WARRANT

BACKING

markers linguistici per ciascun passaggio

DATI

Argomentazione fortemente strutturata

Consapevolezza di tale struttura.

CONTROLLO

LOGICO

COMPETENZA LOGICA

Francesca

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Il Backing: E’ molto generale

sono sottintese relazioni logiche di equivalenza

kit logico per risolvere i problemi di quel tipo

crescenza -decrescenza

positivo - negativo

CONTROLLO LOGICO

Sia dato il seguente grafico di una funzione y = f(x)

Che cosa si può dire del grafico della funzione che descrive, al variare di x, come variano le pendenze delle tangenti al grafico di f nel punto (x, f(x))? Giustificate le vostre risposte.

Attività di gruppo in classe II Liceo Scientifico

CASE STUDY 2

Tre studenti: Luca, Marco, and Roberto

Selezione di due episodi

1) una refutazione riuscita

2) una refutatione mancata

Primo episodio:

una refutazione riuscita

25

1a

1b

Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo l’equazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema.

1a


1a

D C

since W

La funzione data è polinomiale e ne conosciamo l’equazione


1a


Possiamo ottenere la funzione pendenza

D C

since W


1a



D C

since W

Sappiamo come ottenere le funzioni pendenza di funzioni polinomiali


1a



D C

since W

Sappiamo come ottenere le funzioni pendenza di funzioni polinomiali

Sulla base di quanto abbiamo fatto nell’attività precedente (limiti di rapporti incrementali)

31

Di conseguenze, il problema è riuscire a risalire ad una funzione polinomiale…

1b

Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimol’equazione potremmo, in base a quanto esplicitato nellascheda precedente, risolvere il problema.

1a

La funzionedata polinomialee neconosciamolÕequazione

Possiamoottenere lafunzionependenza

D C

since W

Sappiamo come ottenerele funzioni pendenza difunzioni polinomiali

Sulla base di quanto abbiamofatto nellÕattivit̂ precedente(limiti di rapporti incrementali)

… e per questo, inizialmente avevamo pensato di prendere le coordinate di alcuni punti della funzione al fine di calcolarne le differenze e scoprire di che tipo di funzione si trattasse,

1b

ma ci è impossibile per 2 motivi:- non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti- ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze

1b


1b

D C

since W

Non possiamo avere l’equazione della funzione


1b

- non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti- ci servirebbero troppi punti

D C

since W



1b

D C

since W

Per avere l’equazione ci servono le coordinate esatte di molti punti




Primo episodio: una refutazione riuscita

Le risorse semiotiche intervengono in modo fondamentale nelle argomentazioni 1a e 1b:

1b1a






Primo episodio: una refutazione riuscita

COMPETENZA E CONTROLLO SEMIOTICO

COMPETENZA E CONTROLLO LOGICO

Consapevolezza di tale struttura.

La refutazione avviene a livello di pratiche e tecniche collegate ai segni in gioco.

Secondo episodio:

una refutazione mancata

L’insegnante suggerisce di concentrarsi sul registro grafico;

Registrazione degli zero e del segno della

funzione pensenza

Gli studenti individuano i punti stazionari;

L’insegnante suggerisce di organizzare tale informazione in un piano cartesiano;

Gli studenti producono un diagramma:

Gli studenti intendono quindi descrivere la crescenza della funzione pendenza:

2. Muove la mano nell’aria a mimare il grafico

1. pointing sul secondo flesso del grafico

1. Roberto: Qui pressappoco è

costante

2. Luca: No, partiamo di qua (pointing sulla prima parte del

grafico). Qui non è che decresce? Cioè, decresce sempre meno. Sì,

guarda!

3. Marco: la pendenza…fa così,

in teoria…

3. mette la mano sul foglio a mimare una tangente

4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza5. Marco: Decresce sempre...6. Luca : Meno7. Marco e Roberto: Sì, giusto […]8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma)

decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero.

Completano il diagramma:

Registrazione degli zeri e del segno della funzione pendenza

Registrazione della crescenza/descrescenza della

funzione pendenza

, , : collegamenti tra le due rappresentazioni

la funzione data

Diagramma della funzione pendenza

44

decresce sempre meno

negativa

Raggiunge zero

contraddizione

Perchè gli studenti non individuano tali contraddizioni? Perchè in questo caso non emerge alcuna refutazione?



D C

since W

La funzione pendenza decresce sempre meno;essa arriva a zero



D C

since W

Decresce sempre meno, fino ad arrivare a zero





D C

since W

Regola di inferenza: se due fatti sono veri ciascuno per conto loro, essi sono veri anche insieme

Falso

Decresce sempre meno, fino ad arrivare a zero



Gli studenti confondono proprietà del grafico dato (il quale invero decresce sempre meno e raggiunge zero, nella sua parte iniziale) con quelle del grafico della funzione pendenza.

Possibile interferenza del significato quotidiano del termine “pendenza”.



Agli studenti manca un uso adeguato delle risorse semiotiche utilizzate:

languaggio e gesti sono entrambi usati in modo fuorviante:

- mancano degli strumenti per distinguere i riferimenti ai due grafici;

- entrambi potrebbero fare riferimento al significato quotidiano di “pendenza”;

il diagramma suggerito dall’insegnante è utilizzato senza adeguate pratiche e techiche ad esso associate

Una refutazione mancata

DEBOLE CONTROLLO SEMIOTICO

dimlogica

dimsemiotica

1 episodio

Competenza(liv cognitivo)

Controllo(liv meta-cogn) Competenza(liv cognitivo)

Controllo(liv meta-cogn)

scarso

assenteforte

scarso

refutazionemancata

refutazioneriuscita

CASE STUDY 2

2 episodio

Prime conclusioni

Un controllo ad entrambi i livelli logico e semiotico risulta necessario per portare a termine correttamente processi argomentativi in matematica.

Processo dialettico tra un controllo semiotico e controllo logico.

L’analisi semiotica risulta complementare al quadro di Toulmin per analizzare i processi argomentativi.

Questioni aperte: indipendenza o interdipendenza?

Indipendenza: si possono avere casi in cui sia presente un controllo a livello semiotico ma non a livello logico?

Interdipendenza: un controllo di tipo logico è favorito da un controllo (non solamente una competenza) a livello semiotico? O viceversa?

…

Grazie

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