1 Filtrage des mesures gradiométriques Gilles Métris CERGA Observatoire de la Côte dAzur

1

Filtrage des mesures Filtrage des mesures gradiométriquesgradiométriques

Gilles MétrisGilles Métris

CERGACERGA

Observatoire de la Côte d’AzurObservatoire de la Côte d’Azur

2-6 septembre 2002 Ecole d ’été GRGS 2

FiltrageFiltrage

Opération consistant à extraire d ’un signal observé, le Opération consistant à extraire d ’un signal observé, le signal utile pour l ’observateur.signal utile pour l ’observateur.


Généralité sur les variables Généralité sur les variables aléatoiresaléatoires

Espérance d ’une Espérance d ’une variable aléatoire:variable aléatoire:

Moments :Moments :

Covariance de deux VA :Covariance de deux VA :Coefficient de corrélation :Coefficient de corrélation :

En dimension En dimension nn : :Matrice de covarianceMatrice de covariance

aléatoire)(non certain évennementun pour

é)probabilit de densité (continu en xT

discreten )]([

xXE

xTdxxf

xfpXfEi

ii

dispersionou type-écart

variance 2 ordred' centrémoment ][

equadratiqu moyenne ][

moyenne ][

2

212

212

222

1

mmmXE

xpXEm

xpXEm

XEm

iii

iii

nn

][ 221112 mXmXEC

1021

12

C

221

22

221

1122

1

][

nnn

n

n

TccX

CC

CC

CC

XXEC


Processus aléatoiresProcessus aléatoires

Processus aléatoire (ou stochastique) : génération d’une VA au Processus aléatoire (ou stochastique) : génération d’une VA au cours du temps (au sens large) = fonction aléatoire.cours du temps (au sens large) = fonction aléatoire.En discret : séquence de VA En discret : séquence de VA

Exemple : Exemple : – Résultat d’un lancé de dès = variable aléatoireRésultat d’un lancé de dès = variable aléatoire– Succession de lancés de dès = processus stochastiqueSuccession de lancés de dès = processus stochastique

Les moments sont maintenant une fonction du temps :Les moments sont maintenant une fonction du temps :

Covariance mutuelle : Covariance mutuelle :

][iX

discret en temps ]][[][

continu en temps ][

kXEkm

tXEtm

n

n

corrélée.non est aléatoirefonction la , Si

signal)du (puissance Variance ,

e translatécopie sa avec signal""du ceressemblan la mesure : Covariance ,,

mutuelle Covariance ,,

212

X21

2X

2121

21221121

ttttC

ttCt

ttCttC

ttCtmtYtmtXEttC

X

X

XXX

YXYXXY


Stationnarité : Stationnarité : – Un processus aléatoire est stationnaire si tous ses moments Un processus aléatoire est stationnaire si tous ses moments

sont indépendants de l’origine du temps.sont indépendants de l’origine du temps.– Stationnarité d’ordre 2 (ou faible) : la moyenne ne dépend pas Stationnarité d’ordre 2 (ou faible) : la moyenne ne dépend pas

du temps et la covariance ne dépend que de la différence entre du temps et la covariance ne dépend que de la différence entre les deux arguments les deux arguments fonction d ’autocorrélationfonction d ’autocorrélation ::

Ergodisme : un processus est ergodique si on peut remplacer les Ergodisme : un processus est ergodique si on peut remplacer les sommes sur des ensembles par des sommes temporelles.sommes sur des ensembles par des sommes temporelles.Ex : au lieu de lancer Ex : au lieu de lancer NN dés, on lance dés, on lance NN fois successivement le fois successivement le même dés.même dés.Ergodisme en moyenne :Ergodisme en moyenne :

Stationnarité - ErgodicitéStationnarité - Ergodicité

22

2121

0,

,

XXXX

XX

XX

CttCt

ttCttC

mtm

discreten 1

continuen 1

0

0

0

0

0

0

lim

lim

nmnXN

tmdttXT

X

Nn

nnN

X

Tt

tT


Densité spectrale de puissanceDensité spectrale de puissanceBruit blanc - bruit coloréBruit blanc - bruit coloré

Densité spectrale de puissanceDensité spectrale de puissance (DSP) : c’est la transformée (DSP) : c’est la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation :de Fourier de la fonction d’autocorrélation :

La DSP décrit la répartition de la puissance La DSP décrit la répartition de la puissance 22 suivant les suivant les fréquences. fréquences.

Cas d’un processus non corrélé :Cas d’un processus non corrélé :

La DSP est la même à toutes les fréquences : on a un bruit blanc.La DSP est la même à toutes les fréquences : on a un bruit blanc.Inversement, si la DSP varie avec la fréquence (bruit coloré), le Inversement, si la DSP varie avec la fréquence (bruit coloré), le processus est corrélé.processus est corrélé.

dffC

dffeCdCef

XX

Xfj

XXfj

X

0

2X

22

2X

2X fC XX

7 Ecole d ’été GRGS 2-6 septembre 2002

Spécificationinitiale :

3 mE/Hz entre0.005 et 0.1 Hz

Performancesprédites (à partird ’analyses et de tests)

(200 s) (10 s)

GOCE : densité spectrale de bruit du gradiomètre


Exemple d’un gradiomètreExemple d’un gradiomètre

La structure de l’équation d’observation est :La structure de l’équation d’observation est :

)(Δ)]([)]([][)( 0 kkkk tbtItTAKtM

Biais

Matrice instrumentale

Tenseur gradient de gravité

Tenseur d’inertie

Bras dugradiomètre

Bruit

= combinaison linéaire des coefficients du champ de gravité que l’on veut déterminer.


Gradiomètre (suite)Gradiomètre (suite)

Equations d’observations linéaires classiques

Vecteur des observations

[X] = Vecteur des paramètres à déterminer (gravité…)

[h] = Matrice de configuration

[B] = Bruit (supposé centré et stationnaire d’ordre 2)

[P]T[P] = Matrice de pondération

Solution classique (MC)minimise erreur sur les observation

][][][][11

BXhMppnn

]][[][][]][[][][]ˆ[ mini])ˆ[]ˆ([1

MPPhhPPhXMMMME TTTTT

]][[][]][[]][[11

BPXhPMPnnppnnnn

Pondération


Choix de la pondérationChoix de la pondération

Matrice [P] qui minimise la variance sur l’estimation de Matrice [P] qui minimise la variance sur l’estimation de [X] :[X] :

[R[Rbb] = Matrice de covariance] = Matrice de covariance

Il faut donc :Il faut donc :– Evaluer la fonction d’autocorrélation,Evaluer la fonction d’autocorrélation,– En déduire la matrice de covariance et l’inverser.En déduire la matrice de covariance et l’inverser.

11 ][)]][([][][ mini])ˆ[]ˆ([ bTTT RBBEPPXXXXE

! colorébruit un pour pas mais blanc,bruit un pour ][

ation)autocorréld'(fonction ][)(

ij

jib

ji

jibbERij


Fonction d’autocorrélationFonction d’autocorrélation

Par définition, la densité spectrale de puissance (DSP) Par définition, la densité spectrale de puissance (DSP) est la TF de la fonction d’autocorrélation.est la TF de la fonction d’autocorrélation.

Inversement, connaissant la DSP (PSD en anglais), on Inversement, connaissant la DSP (PSD en anglais), on peut en principe calculer la la fonction d’autocorrélation peut en principe calculer la la fonction d’autocorrélation par TF inverse…par TF inverse…

… … mais : mais : – la DSP à priori reste un modèle et est difficile à la DSP à priori reste un modèle et est difficile à

quantifier avec grande précision (les instruments ne quantifier avec grande précision (les instruments ne peuvent être testés complètement au sol)peuvent être testés complètement au sol)

– si la dynamique de bruit est très grande, une petite si la dynamique de bruit est très grande, une petite erreur relative de modèle dans une zone de bruit erreur relative de modèle dans une zone de bruit important peut dégrader nettement la restitution.important peut dégrader nettement la restitution.


Inversion de la matrice de Inversion de la matrice de covariancecovariance

En l’absence d’hypothèses (trop) restrictives, c’est une En l’absence d’hypothèses (trop) restrictives, c’est une matrice carrée, pleine, de grande taille (autant que le matrice carrée, pleine, de grande taille (autant que le nombre d’observations)nombre d’observations)

CC’’est une matrice de Toeplitz symétrique (Rest une matrice de Toeplitz symétrique (Rij ij == RRji ji =R=Ri-ji-j) ) qui offre des algorithmes particuliers d’inversion (ou de qui offre des algorithmes particuliers d’inversion (ou de décomposition).décomposition).

Le calcul est toujours lourd (si pas impraticable) dans le Le calcul est toujours lourd (si pas impraticable) dans le cas de plusieurs centaines de milliers d’observations. cas de plusieurs centaines de milliers d’observations.


Bilan :Bilan :

L’utilisation d’une matrice de pondération non diagonale L’utilisation d’une matrice de pondération non diagonale dans l’espoir d’obtenir un estimateur à variance dans l’espoir d’obtenir un estimateur à variance minimale en présence de bruit coloré représente un minimale en présence de bruit coloré représente un gros effort calculatoire pour une optimisation incertaine.gros effort calculatoire pour une optimisation incertaine.

Il est plus efficace d’effectuer un prétraitement sur le Il est plus efficace d’effectuer un prétraitement sur le signal pour pouvoir ensuite appliquer une inversion par signal pour pouvoir ensuite appliquer une inversion par MC non pondérés (ou avec une pondération diagonale).MC non pondérés (ou avec une pondération diagonale).


PrincipePrincipe

Au lieu de considérer les équations d’observations pour Au lieu de considérer les équations d’observations pour différentes dates :différentes dates :

On peut travailler en fréquentiel et considérer les On peut travailler en fréquentiel et considérer les équations d’observation pour différentes équations d’observation pour différentes fréquences :fréquences :

ikik XthtM

ikik XfHfM


Avantages :Avantages :– On obtient un bruit non corrélé (propriété de la TF)On obtient un bruit non corrélé (propriété de la TF)– Connaissant la DSP, la pondération (diagonale) est directe.Connaissant la DSP, la pondération (diagonale) est directe.

Inconvénient : la projection en fréquentiel est toujours délicate.Inconvénient : la projection en fréquentiel est toujours délicate.– Quelles raies de projection choisir ? Quelles raies de projection choisir ? – Celles prévues par une théorie linéaire du satellite ?Celles prévues par une théorie linéaire du satellite ?– Gros risque de perdre de l’information.Gros risque de perdre de l’information.– Appliquer la FFT en utilisant toutes les raies (pas de perte Appliquer la FFT en utilisant toutes les raies (pas de perte

d’information) ?d’information) ?

DSP) (12

kk

k

ikikkk

ff

fW

XfHfWfMfW


Simplification supplémentaireSimplification supplémentaire

Utiliser seulement le domaine fréquentiel sur lequel la Utiliser seulement le domaine fréquentiel sur lequel la DSP peut être considérée comme uniforme DSP peut être considérée comme uniforme

Cela revient à appliquer un filtre passe bande :Cela revient à appliquer un filtre passe bande :

Avantage : ce filtre (classique) peut-être appliqué Avantage : ce filtre (classique) peut-être appliqué directement en temporeldirectement en temporel

21 , si fffXfHfM kikik

sinon 0

],[ si 1 21 ffffW

XfHfWfMfW

kk

ikikkk

ikikkk XthtwtMtw

17 Ecole d ’été GRGS 2-6 septembre 2002

Spécificationinitiale :

3 mE/Hz entre0.005 et 0.1 Hz

Performancesprédites (à partird ’analyses et de tests)

(200 s) (10 s)

GOCE : densité spectrale de bruit du gradiomètre


StratégieStratégie

Choisir un filtre passe-bande,Choisir un filtre passe-bande,

Appliquer ce filtre (en temporel)Appliquer ce filtre (en temporel)– Aux observations,Aux observations,– Aux dérivées partielles (matrice de configuration)Aux dérivées partielles (matrice de configuration)Signaux ne comprenant que les fréquences « utilisables »

Il est indispensable d ’appliquer le même filtre aux observations et aux dérivées partielles pour obtenir les mêmes « distorsions »

Appliquer les MC aux signaux filtrés.Appliquer les MC aux signaux filtrés.


Caractéristiques du filtreCaractéristiques du filtre

Contraintes fortes :Contraintes fortes :– Passe bande,Passe bande,– Très forte atténuation loin de la bande passante (Très forte atténuation loin de la bande passante (

le bruit devient très fortle bruit devient très fort).). Contraintes faibles :Contraintes faibles :

Grâce au fait que l’on applique le même filtre aux Grâce au fait que l’on applique le même filtre aux observations et aux dérivées partielles, on peu observations et aux dérivées partielles, on peu admettreadmettre– Un gain un peu différent de 1 dans la bande Un gain un peu différent de 1 dans la bande

passante,passante,– Une transition pas spécialement raide,Une transition pas spécialement raide,– Un déphasage à peu près quelconque.Un déphasage à peu près quelconque.



Filtres numériquesFiltres numériques

Filtre = Système Linéaire Invariant (SLI)Filtre = Système Linéaire Invariant (SLI) Système linéaire : Système linéaire :

Le signal en sortie du système est obtenu à partir du Le signal en sortie du système est obtenu à partir du signal d entrée par un opérateur linéaire.signal d entrée par un opérateur linéaire.

Exemple : La transformée de fourier est un SL

Système invariant :Système invariant :

La transformation effectuée par le système est La transformation effectuée par le système est indépendante de l’origine temporelle (sauf phase indépendante de l’origine temporelle (sauf phase transitoire)transitoire)

NiklN

k

ekxly /21

0

][][][][ nkxGnlykxGly


Représentation des filtres Représentation des filtres numériquesnumériques

Filtre numérique = discret Filtre numérique = discret (par opposition à filtre analogique = continu)(par opposition à filtre analogique = continu)

Discrétisation = Discrétisation = échantillonnage à pas fixe échantillonnage à pas fixe TTee

Fréquence d ’échantillonnage Fréquence d ’échantillonnage ffee

Notation :Notation :

Filtrage linéaire :

Le système est en général dynamique : Le système est en général dynamique : yy[[kk00] est fonction de ] est fonction de xx à la date à la date kk00 mais aussi à d’autres dates mais aussi à d’autres dates kk

][][ kxkTtx e

causalest filtre le 00 si

][][1

na

nkxaky

n

nn


Réponse impulsionnelleRéponse impulsionnelle

C’est la réponse du filtre à une impulsion :C’est la réponse du filtre à une impulsion :

hh = réponse impulsionnelle ou séquence de pondération. = réponse impulsionnelle ou séquence de pondération.

x[k] = impulsion

-1

0

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y[k] = h[k] réponse impulsionnelle

-1

0

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

][][][][ khkykkx


Relation de convolutionRelation de convolution

Problème : Problème : – entrée x[k] (k = variable et non pas une date fixée)entrée x[k] (k = variable et non pas une date fixée)

– sortie y[ksortie y[k00] (k] (k0 0 = date fixée) ?= date fixée) ?

][

]x[k][ ]y[k

: indiced' changement

date la à ]h[k][ ]y[k réponse dates les toutesà Entrées

date la à ]h[k][ ]y[k réponse date la à ][ Entrée

e)(invarianc date la à ]h[k ]y[k réponse date la àImpulsion

date la à ]h[k ]y[k réponse 0 date la àImpulsion

0

00

0

000

000

000

000

2

1

kxh

nnh

kkn

kkkxk

kkkxkkx

kkk

k

n

k


Systèmes IIR et FIRSystèmes IIR et FIR

(IIR) Infinie elleImpulsionn Réponse Sinon

2

1

N

N21 n]-h[n]x[ky[k] : (FIR) Finie elleImpulsionn Réponse ],[0][ Si NNnnh

0

n]-h[n]x[ky[k] : causal Filtre 00][ Si nnh

causalnon sinon 0

12

1][

][12

1][

KnKKnh

nkxK

kyK

Kn

Exemple :Exemple :

Réalisation ? Stabilité ?Réalisation ? Stabilité ?


Filtres réalisablesFiltres réalisables

Un filtre FIR est toujours réalisable car il demande un Un filtre FIR est toujours réalisable car il demande un nombre fini d’opérations.nombre fini d’opérations.

Un filtre IIR numérique n’est pas pas réalisable en Un filtre IIR numérique n’est pas pas réalisable en appliquant directement la relation de convolution qui appliquant directement la relation de convolution qui demande un nombre infini d’opérations.demande un nombre infini d’opérations.

A une date A une date kk, on peut utiliser :, on peut utiliser :– un nombre fini d’entrées antérieures (système un nombre fini d’entrées antérieures (système

causal),causal),– un nombre fini de sorties strictement antérieuresun nombre fini de sorties strictement antérieuresfiltre causalle plus général réalisable :

J

jj

I

ii jkxikyky

01

][][][ Equation aux différences d’ordre Equation aux différences d’ordre II


Relation entre RI et équation aux Relation entre RI et équation aux différencesdifférences

Ainsi l’ensemble des filtres réalisables est restreint par Ainsi l’ensemble des filtres réalisables est restreint par cette récurrence sur la RI.cette récurrence sur la RI.

Jkikh

jkikhkhkkx

jkxikyky

I

ii

J

jj

I

ii

J

jj

I

ii

pour ][

][][][][][

][][][

1

01

01


ExempleExemple

0]0[ si ]0[]0[ exemplePar

? initialeCondition

][]1[][ sdifférenceaux Equation

]1[][ : Mais

réalisablenon ][][ :n convolutio deEquation

00

10][

0

kxxy

kxkyky

khkh

nkxky

k

kkh

n

n

k


Fonctions propres d’un filtreFonctions propres d’un filtre

– La réponse est proportionnelle à l’entréeLa réponse est proportionnelle à l’entrée– zzkk est une fonction propre du filtre est une fonction propre du filtre– H(z) est la transmittance (ou fonction de transfert) H(z) est la transmittance (ou fonction de transfert)

du filtredu filtre

)(][

h[n]z

h[n]zy[k]

complexe zSoit x[k]

n-

n-k

k

zHkx

z

z

n

k

n


Réponse en fréquenceRéponse en fréquence

Des fonctions propres particulières sont les fonctions Des fonctions propres particulières sont les fonctions harmoniques harmoniques

fréquence la à filtredu Déphasage )(Arg

fréquence la à filtredu Gain )(

fréquenceen réponse h de TF : ][)(

)(][][

réel ][

2

2

H

H

enhH

Hkxky

ekx

nj

n

kj


Transformée en ZTransformée en Z

Par analogie avec la TF discrète Par analogie avec la TF discrète la fonction est appelée la fonction est appelée Transformée en z Transformée en z dede x. x.

C ’est une série de Laurent, convergente sur une C ’est une série de Laurent, convergente sur une couronnecouronne

centrée sur O : centrée sur O :

Ainsi la fonction de transfert Ainsi la fonction de transfert

est la Transformée en z de la RI.est la Transformée en z de la RI.

n

X n-i2x[n]e)(

n

zX -nx[n]z)(

n

zH -nh[n]z)(

Rzr0


Propriétés de la TZPropriétés de la TZ

Retard :Retard :

Transformation du produit de convolution en produit Transformation du produit de convolution en produit simple : simple :

LinéaritéLinéarité

)(][][ 00 zXzzUkkxku k

zX

zYzH

zXzHzYkxhky

][][


Transmittance d’un filtre réalisableTransmittance d’un filtre réalisable

Equation aux différences :Equation aux différences :

Transformée en Z :Transformée en Z :

La transmittance est une fraction rationnelle de deux polynômes La transmittance est une fraction rationnelle de deux polynômes en en zz-1-1 (ou en (ou en zz))– n = ordre du filtren = ordre du filtre– les racines de les racines de N(z) N(z) sont les zéros de la transmittancesont les zéros de la transmittance– les racines de les racines de D(z)D(z) sont les pôles de la transmittance. sont les pôles de la transmittance.

n

jj

m

ii jkxikyky

01

][][][

1

1

11

110

1

01

1

][][car 1

zD

zN

zz

zz

zX

zYzH

kyTZzikyTZzXzzYz

mmn

nn

n

j

jj

m

i

ii


StabilitéStabilité

Stabilité EBSBStabilité EBSB : : un filtre est stable EBSB si à toute un filtre est stable EBSB si à toute Entrée Bornée correspond une Sortie Bornée.Entrée Bornée correspond une Sortie Bornée.

Equation de convolution :Equation de convolution :– Un FIR est toujours stable (suite finie)Un FIR est toujours stable (suite finie)– Un IIR peut être instable (suite infinie)Un IIR peut être instable (suite infinie)

Confirmé par l’étude de la transmittance :Confirmé par l’étude de la transmittance :Rôle fondamental des 0 et des pôlesRôle fondamental des 0 et des pôles– m = 0 : non récursif m = 0 : non récursif FIR FIR tous zéros tous zéros MAMA– n=0 : récursif n=0 : récursif IIR IIR tous pôles tous pôles ARAR– m m et n et n : récursif ; IIR ; pôle-zéros ; ARMA: récursif ; IIR ; pôle-zéros ; ARMA

m

m

nn

zz

zzzH

11

110

1


Stabilité d’un filtre causalStabilité d’un filtre causal

Stabilité EBSB :Stabilité EBSB :

Filtre causal : Filtre causal :

R1r0

unité cercle lecontient )( de econvergenc de couronne La

1pour econvergent absolumentest )(

bornée sortie bornée Entrée

zH

zznhzH

nhn

R

z

nh

znhzH

nnh

n

n

0

0

)(

00


Stabilité d’un filtre causalStabilité d’un filtre causal

Filtre causal stable :Filtre causal stable :

Un filtre causal est stable EBSB si et seulement si tous Un filtre causal est stable EBSB si et seulement si tous les pôles de sa transmittance sont strictement à les pôles de sa transmittance sont strictement à l’intérieur du cercle unité du plan complexe.l’intérieur du cercle unité du plan complexe.

1p vérifient pôles les Tous

10

rp

R

r

InstabilitéInstabilité StabilitéStabilité

CercleCercle

unitéunité


e

m

X p1

X p2*

X p1*

X p2

Filtre instable

O z1*

O z111

e

m

X p1

X p2*

X p1*

X p2

Filtre stable

O z1*

O z111

*

22*

11

*11

2

1*2

12

1*1

11

1*1

11

1111

1)1(

pzpzpzpz

zzzzz

zpzpzpzp

zzzzzH


Caractéristiques généralesCaractéristiques générales

Les filtres FIR sont les seuls à permettre un déphasage Les filtres FIR sont les seuls à permettre un déphasage linéaire (par rapport à la fréquence)linéaire (par rapport à la fréquence)

Les filtres IIR sont en général plus économiques mais Les filtres IIR sont en général plus économiques mais plus sujets à des erreurs numériques, même quand ils plus sujets à des erreurs numériques, même quand ils sont stables (récursivité)sont stables (récursivité)

Un zéro Un zéro zzii de de HH placé sur le cercle unité correspond à un placé sur le cercle unité correspond à un zéro de transmission de la fréquence zéro de transmission de la fréquence ii=Arg(=Arg(zzii).).

Un pôle Un pôle ppii de de HH placé sur le cercle unité correspond à placé sur le cercle unité correspond à une résonance de transmission de la fréquence une résonance de transmission de la fréquence ii=Arg(=Arg(ppii).).


Exemple : filtre de Butterworth Exemple : filtre de Butterworth

n

c

nF2

2

1

1

impair ,1exp

pair ,2

121exp

)(stabilité négative réelle partie à pôles :,)(

1)(

)1(1

1)(

1

1

11

2

2

2

22

nn

ij

nn

ij

ns

sH

s

psH

i

ppHpHipHF

i

in

i

n

nnc

n

n

c

Fonctions de Butterworth :

Filtre analogiqueFiltre analogique :


Fonctions de Butterworth Fonctions de Butterworth


Passage au discretPassage au discret

La transformation bilinéaire est la méthode la plus courante pourLa transformation bilinéaire est la méthode la plus courante pour

synthétiser un filtre numérique à partir d’un filtre analogiquesynthétiser un filtre numérique à partir d’un filtre analogique

Fonction de transfert en p Fonction de transfert en p Fonction de transfert en zFonction de transfert en z

nageéchatillond' pas

1

121

1

e

e

T

z

z

Tp

zHpH

Correspondance entre fréquence numérique et fréquence analogique :Correspondance entre fréquence numérique et fréquence analogique :

en

e

a TfT

f

tan1

1

1

)/tan(

1

z

z

ffs

ecSubstitution : Substitution :


Filtre passe bas Filtre passe bas filtre passe bande

2tan

2cot

2cos

2cos

11

2

1

11

1

1

2

12

12

1

pbh

bh

bh

k

Zk

kZ

k

kk

kZ

k

kZ

z

p p bbhh


Aspects pratiquesAspects pratiques

Choix du filtre :Choix du filtre :

- - fonctions de basefonctions de base : Butterworth, Tchebytcheff, elliptique...: Butterworth, Tchebytcheff, elliptique...

- ou filtre spécial - ou filtre spécial (équations de Yule-Walker...)équations de Yule-Walker...)

- - ordre : ordre augmente ordre : ordre augmente @@ amélioration desamélioration des performances en amplitude,performances en amplitude,

@ augmentation du déphasage (en général),@ augmentation du déphasage (en général),

@ perte de données au début (phase d’initialisation)@ perte de données au début (phase d’initialisation)

@ augmentation du coût en temps de calcul.@ augmentation du coût en temps de calcul.

- - ou ou gabarit..

- fréquences de transition : - fréquences de transition :

@ le filtre utilise des numéros d'événement, pas le temps@ le filtre utilise des numéros d'événement, pas le temps

utilisation de fréquences normalisées :utilisation de fréquences normalisées :

2

10

20

ff : lfréquentieEn

: lEn tempore

e

e

e

ek

ff

f

f

kTt


Gabarit d’un filtreGabarit d’un filtre


Aspects pratiques (suite)Aspects pratiques (suite)

Utilisation du filtre :Utilisation du filtre :

- - fonction de transfert

- - programmation en cellule

Elaboration du filtre :Elaboration du filtre : logiciels existants


Utilisation de la fonction de transfertUtilisation de la fonction de transfert

1imposer d'permet qui ce parfois

1

01

1

1

1

11

110

zD

zNGzH

zD

zN

zz

zz

zX

zYzH

nn

mm

m

jj

n

ii jkxGikyky

01

][][][

m

jj

n

ii jkxGikyky

01

][][][

Fonction de transfert :Fonction de transfert :

Equation aux différences :Equation aux différences :

Programmation récursive Programmation récursive

(boucle sur k)(boucle sur k)

]1[]2[]1[]2[

]1[]1[

101

0

xxGyy

xGy

j

Initialisation :Initialisation :


Représentation en cellulesReprésentation en cellules

12

12

11

zD

zNzHzH

q

qq

iq

q

i

Il est pratique d’utiliser une factorisation de la fonction de transfertIl est pratique d’utiliser une factorisation de la fonction de transfert

en cellules du second ordre (fournie par les logiciels en général) :en cellules du second ordre (fournie par les logiciels en général) :

][][ 21 khhhkh q

yxxx qhhh 12121

Fonction de transfert :Fonction de transfert :

Programmation séquentielleProgrammation séquentielle

des cellules :des cellules :

Réponse impulsionnelle :Réponse impulsionnelle :


Traitement du signal interactifTraitement du signal interactif

Directement sur le WEBDirectement sur le WEB : :– Liste de sites montrants des démos :Liste de sites montrants des démos :

http://www.ensicaen.ismra.fr/~furon/Liens_Java/_appletsJava.htmlhttp://www.ensicaen.ismra.fr/~furon/Liens_Java/_appletsJava.html– Un tableau de bord permettant de visulaiser à la fois les zéros et les pôles, la RI, Un tableau de bord permettant de visulaiser à la fois les zéros et les pôles, la RI,

la réponse en fréquence pour les fitres les plus courants :la réponse en fréquence pour les fitres les plus courants :

http://wwwext.enssat.fr:8080/RECHERCHE/ARCHI/Enseignement/Signal/V2/http://wwwext.enssat.fr:8080/RECHERCHE/ARCHI/Enseignement/Signal/V2/Java_Filtre.htmlJava_Filtre.html– Conception automatique de filtres, visualisation de leur réponse en fréquence et Conception automatique de filtres, visualisation de leur réponse en fréquence et

affichage de la fonction de transfert :affichage de la fonction de transfert :

http://www.nauticom.net/www/jdtaft/http://www.nauticom.net/www/jdtaft/

http://dolphin.wmin.ac.uk/filter_design.htmlhttp://dolphin.wmin.ac.uk/filter_design.html Logiciels :Logiciels :

– MATLAB : logiciel universellement utilsé dans le monde du traitement du signal ; MATLAB : logiciel universellement utilsé dans le monde du traitement du signal ; puissant mais onéreux.puissant mais onéreux.

– SCILAB : logiciel gratuit développé par l’INRIA (http://www-rocq.inria.fr/scilab/)SCILAB : logiciel gratuit développé par l’INRIA (http://www-rocq.inria.fr/scilab/) offrant des fonctions intéressantes mais peu convivial.offrant des fonctions intéressantes mais peu convivial.

– OCTAVE : une autre alternative gratuite à MATLAB(plus répandue apparemment) : OCTAVE : une autre alternative gratuite à MATLAB(plus répandue apparemment) : http://www.octave.org/http://www.octave.org/


ExemplesExemples

Construction interactive de filtre surConstruction interactive de filtre sur http http://://wwwwww..nauticomnauticom.net/.net/wwwwww//jdtaftjdtaft//iiriir..htmhtm

Mise en évidence du déphasageMise en évidence du déphasage

GOCE :GOCE :

00995.0,00525.0Hz 10f

Hz 0.0995 , Hz 0.0525 f

Hz 0.1f , Hz 0.005 f

e

c

hb

c

- Le filtre d ’ordre 2 a un gain plus proche de 1...- Le filtre d ’ordre 2 a un gain plus proche de 1...

- … mais il déphase plus.- … mais il déphase plus.

- Noter les effets de l’initialisation- Noter les effets de l’initialisation


Processus MA, AR, ARMAProcessus MA, AR, ARMA

Ce sont des modèles de processus stochastiques qui Ce sont des modèles de processus stochastiques qui reposent sur la transformation d’un bruit blanc par un reposent sur la transformation d’un bruit blanc par un filtre linéaire.filtre linéaire.

Filtre FIR Filtre FIR Modèle à moyenne mobile (MA)Modèle à moyenne mobile (MA)

Filtre IIR tous pôles Filtre IIR tous pôles Modèle autorégressif (AR)Modèle autorégressif (AR)

Filtre IIR Filtre IIR Modèle autorégressif à moyenne mobile Modèle autorégressif à moyenne mobile (ARMA)(ARMA)

n

jj jkbky

0

][][

n

jj

m

ii jkbikyky

00

][][][

][][][0

kbikykym

ii


Filtrage optimal de WienerFiltrage optimal de Wiener

Position du problème :Position du problème :

On cherche un filtre linéaire On cherche un filtre linéaire w(t)w(t) tel que : tel que :

Filtre optimal Filtre optimal minimisationde l’erreur d’estimation principe d’orthogonalité

tbtxty

Signal observéSignal observé Signal cherchéSignal cherché bruitbruit

dtyw

tytwtx̂


f

ffW

ffWf

TF

CwdCwC

dtytyEwtytxE

tytywtxE

tytxtxE

yy

xy

yyxy

yyyyxy

0

0ˆ

La DSP de y peut-être calculée à partir des observationsLa DSP de y peut-être calculée à partir des observations

mais on n’a en général pas accès à la DSP mutuelle de x et y….mais on n’a en général pas accès à la DSP mutuelle de x et y….


… … un truc à essayerun truc à essayer

fff

tCtC

tCtCtCtCtbtxty

bbxx

bbxx

xbbbxxyy

yy

corrélés.non sont signal leet bruit le si

f

fffW

yy

bbyy

Calculable si on une idée à priori de la DSP du bruit.


BibliographieBibliographie

– « Processus stochastiques, estimation et prédiction »,« Processus stochastiques, estimation et prédiction »,cours de M. Gevers et L. Vandendorpe, Université cours de M. Gevers et L. Vandendorpe, Université catholique de Louvain.catholique de Louvain.

– Représentation des signaux certains et des systèmes »,Représentation des signaux certains et des systèmes »,Dominique Beauvois et Yves Tanguy, Supélec, 01139.Dominique Beauvois et Yves Tanguy, Supélec, 01139.

– « Traitement numérique des signaux certains »,« Traitement numérique des signaux certains »,Yves Tanguy, Supélec, 01140.Yves Tanguy, Supélec, 01140.

– « Filtrage analogique et numérique », cours Dept GEII IUT « Filtrage analogique et numérique », cours Dept GEII IUT Bordeaux I, G. Couturier.Bordeaux I, G. Couturier.

Documents

1 Filtrage des mesures gradiométriques Gilles Métris CERGA Observatoire de la Côte dAzur