1 Giulia Rotundo Università degli Studi della Tuscia [email protected] RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16

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Giulia RotundoUniversità degli Studi della Tuscia

[email protected]

RANDOM NETWORKSper le applicazioni economiche e finanziarie

Udine, 16 gennaio 2008

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MATEMATICA

COMBINATORIA

TEORIA DEI GRAFI

INFORMATICA

RANDOM NETWORKS

TEORIA DELLA PERCOLAZIONE

FISICAAREE DI STUDIO

COMPLEX NETWORKS

RICERCA OPERATIVA

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1. Definizione di network; esempi;2. Dalle random network alle

complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti;

3. Processi diffusivi su reti;4. Self-organized criticality;5. Applicazioni economiche e

finanziarie.90

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•rete

•grafo (graph) (Sylvester (1878) Nature)

1. Definizione

Nodi (vertici, unità)

Archi (edges, lines). Un arco unisce due nodi.

Un grafo è un insieme di:

Applicazioni: i grafi servono per creare modelli astratti di problemi concreti.

RANDOM + NETWORKS

http://en.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester

http://en.wikipedia.org/wiki/1878

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Leonhard Euler (1707-1783)

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Koenigsberg ed il problema dei 7 ponti(Eulero, 1736)

Problema:Esiste un cammino che attraversi tutti i ponti percorrendo ciascuno di essi una volta sola ?

• esempio

Lunghezza del cammino= N. dei suoi archi PROBLEMI DI CAMMINO MINIMO

Cammino (path): Sequenza di nodi uniti da archi

8Osservazione: studio del caso peggiore del cammino minimo= studio del diametro

• esempio

Applicazioni:•Il problema del commesso viaggiatore•Problemi di trasporto•Logistica•Instradamento del flusso dati (reti di comunicazione)• …

PROBLEMI DI CAMMINO MINIMO

Osservazione: Limite superiore per la lunghezza del cammino

Diametro

lunghezza del path più lungo tra due nodi del grafo

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RANDOM + NETWORKS

•rete

•grafo (graph) (Sylvester (1878) Nature)

1. Definizione

Utilizzo di metodi

probabilistici

Studio delle proprietà che valgono

con alta probabilità per grafi ottenuti utilizzando particolari

distribuzioni di probabilità per selezionare nodi ed archi.

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http://en.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester

http://en.wikipedia.org/wiki/1878

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RANDOM NETWORKS

Primo articolo sui random graphs (Erdos e Renyi, 1959)

1. esempio

Rete con N nodi e connettendo ogni coppia di nodi con probabilità p

Osservazione: Il numero delle coppie di nodi è N(N-1)/2

Osservazione: il valore atteso del numero di archi m è E(m)= p N(N-1)/2

Domande classiche:

Come dipende il diametro dal numero di nodi?

Esiste un cammino che tocca tutti i nodi (ovvero, il grafo è connesso)?

Ci sono cammini del tipo (triangoli) ?

Obbiettivo: trovare la soglia pc oltre la quale le proprietà sono verificate quasi sempre.

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RANDOM NETWORKS

Scoperta principale: per molte proprietà p(N) esiste pc(N) tale che

1. esempio

- Se la p(N) cresce con N più velocemente di pc(N) allora quasi ogni grafo con probabilità di connessione p(N) ha la proprietà

Risposte: 1. diametro=O(log(N))

2. -Se il valore medio degli

archi uscenti da un nodo è

3. solo se p>=1/N

- Se la p(N) cresce con N più lentamente di pc(N) allora quasi ogni grafo con probabilità di connessione p(N) NON ha la proprietà

Domande classiche:

1. Come dipende il diametro dal numero di nodi?

2. Esiste un cammino che tocca tutti i nodi (ovvero, il grafo è connesso)?

3. Ci sono triangoli ?

=pN<1, no

> 1 no, ma il diametro è lo stesso di un grafo dello stesso tipo e connesso

>=ln(N) si’

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Random networks

Formalizzazione matematica e calcolo della soluzione

Ottima; algoritmi.

Utilizzo della probabilità e soprattutto del calcolo combinatorio

per lo studio della dipendenza del diametro dal numero dei

nodi ed archi

Ricerca operativa

Complex networks

1. esempio

Differenze di approccio tra le varie discipline

Utilizzo della probabilità per studiare reti con particolari

strutture e proprietà

Studio delle componenti connessePercolazione

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finanziarie.90

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RANDOM NETWORKS

grafi ottenuti utilizzando particolari distribuzioni di probabilità per selezionare nodi ed archi.

COMPLEXNETWORKS

grafi con proprietà topologiche non banali

2. Dalle random network alle complex network

Il termine “COMPLEX” è in opposizione a “SEMPLICE”Reti “SEMPLICI” sono quelle con struttura regolare, come le griglie (lattice) oppure grafi completi (ciascun nodo è collegato

con ciascun altro).

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Proprietà importanti:


1. Clustering

2. Betweenness

3. Small world

4. Scale-free

a.Confronto small word e scale-free

b.Algoritmi per la costruzione scale free

5. Assortativity/disassortativity

6. Community structure

7. Hierarchical structure

8. Resilience90

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Gli amici dei miei amici sono miei amici?

2.Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient

Clustering coefficient =

N. triangoli

N. triangoli cui manca un arco + +=

AB

C

D

A è amico di B che è amico di A e C, ma A e C non sono amici

Proprietà di transitività

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2.Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient C

Reti sociali

Reti tecnologiche

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Reti complesse:

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2.Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient C

reti “puramente” random: C=O(n-1)

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Griglie non triangolari: C=0

Grafi totalmente connessi: C=1

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1. Clustering

2. Betweenness

3. Small world

4. Scale-free






8. Resilience90

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2.Dalle random network alle complex network 2. betweenness (centrality)

Esprime l’importanza di un nodo nel grafo

Numero dei cammini più brevi tra qualsiasi coppia di nodi che passa attraverso v

C(v)=Numero dei cammini più brevi tra qualsiasi coppia di nodi

Esempio: il nodo ha C(v) più alto

betweenness (rosso=0,blu=massimo)

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http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Graph_betweenness.svg

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1. Clustering

2. Betweenness

3. Small world

4. Scale-free






8. Resilience90

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il diametro della rete è piccolo rispetto al numero di nodi N (<=log(N))

Esempi (reti sociali):• esperimento del sociologo Stanley Milgram (1967):

è possibile contattare chiunque tramite (in media) d=6 conoscenti

• Per gli attori di Hollywood (in media) d=3.65

• Co-autori matematici (in media) d =9.5

Fotografia di un poster nella metro di Parigi che pubblicizzava una serie di eventi musicali (agosto 2007)

2.Dalle random network alle complex network 3. small world

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Kevin Bacon number:

Kevin Bacon.

Nick Nolte

CAPE FEAR Robert De Niro

GOODFELLAS Joe Pesci

JFK

Grado di separazione di Nick Nolte: 3

Val Kilmer Tom Cruise Kevin Bacon

Numero di conoscenze intermedie per arrivare a Kevin Bacon (gioco del 1994)

Grado di separazione di Val Kilmer: 2

TOP GUN A FEW GOOD MAN

Esempio 1

Esempio 2


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Erdős–Bacon number: Erdős : matematico ungherese

Numero di Erdős = lunghezza della più breve catena di coautori in cui solo l’ultimo ha scritto un lavoro con Erdős

Erdős–Bacon number=

Erdős number + Bacon number

Esempio: Erdős ha Bacon number 3:Erdős -> N is a number: a portait of Paul Erdős ->Mark Adler -> Rat Pack -> Joe Mantegna -> Sognando Manhattan K.Bacon


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1. Clustering

2. Betweenness

3. Small world

4. Scale-free






8. Resilience90

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Grado 1Grado 2 Grado 3

Per ogni rete si può calcolare la probabilità P(k) del grado k dei nodi

Grado di un nodo = numero di archi uscenti

2.Dalle random network alle complex network 4. scale-free

Reti scale-free: P(k) k-

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2.Dalle random network alle complex network 4. scale-free

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single-scale network

Decresce rapidamente.

Esempi: random networks (decrescita esponenziale), traffico tra aeroporti, rete di conoscenti: comunità mormone dello Utah, studenti della scuola superiore.

Sono “small world” le reti in cui la distribuzione di probabilità del grado dei nodi

2.Dalle random network alle complex network 4.a confronto small-world e scale-free

broad-scale network

Decresce polinomialmente fino ad un certo punto e poi più rapidamente (cutoff)

Esempi: movie-actor network

scale-free network

Decresce polinomialmente Esempi: rete di citazione di lavori scientifici, www, Internet (router, domini), reti elettriche, rete neurale del verme caenorhabditis elegans, …

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Osservazione: le griglie NON sono small world e NON sono scale-free

Lattice d=1 Lattice d=2Lattice d=3

Come costruire una rete scale-free?

2.Dalle random network alle complex network 4.a confronto small-world e scale-free

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preferential attachment

I nuovi nodi che sono aggiunti alla rete sono collegati più facilmente a nodi che hanno più archi.

2.Dalle random network alle complex network 4.b algoritmi per le scale-free networks

Modelli di reti sociali

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1. Clustering

2. Betweenness

3. Small world

4. Scale-free






8. Resilience90

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Assortative networks:I nuovi nodi che sono aggiunti alla rete sono collegati più facilmente a nodi che hanno più archi.

2.Dalle random network alle complex network 5. assortativity/disassortativity

Esempi: reti sociali

Correlazione tra i gradi di nodi uniti da archi

Disassortative networks:

Nodi con pochi archi sono collegati con nodi

con molti archi e viceversa. Esempio: reti tecnologiche90

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Grafo dei collegamenti dalla pagina principale di wikipedia

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1. Clustering

2. Betweenness

3. Small world

4. Scale-free






8. Resilience90

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I nodi si dividono in gruppi con - alta densità di connessioni fra di loro e - bassa densità di connessioni verso gli altri

2.Dalle random network alle complex network 6. community structure

Esempio:

rete di amicizie

nelle scuole

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1. Clustering

2. Betweenness

3. Small world

4. Scale-free






8. Resilience90

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2.Dalle random network alle complex network 7. strutture gerarchiche

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Caso particolare della suddivisione

In communities

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1. Clustering

2. Betweenness

3. Small world

4. Scale-free






8. Resilience90

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Robustezza delle reti rispetto a rimozione random dei nodi

-scale-free: rimozione di piu’ del 99% dei nodi

2.Dalle random network alle complex network 8. resilience

Interventi mirati: isolare gli hubs (nodi piu’ connessi)

Assortative: rimuovere il “club” centraleDisassortative: gli hubs sono sparsi nella rete

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Interventi mirati: isolare gli hubs

• Robustezza delle reti rispetto a rimozione random dei nodi

-scale-free: rimozione casualedi piu’ del 99% dei nodi

2.Dalle random network alle complex network 8. resilience

• Assortative: rimuovere il “club” centrale• Disassortative: rimuovere gli hubs sparsi nella rete

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La proprietà di resilience è particolarmente importante nello studio della diffusione di epidemie.

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La struttura della rete è importante per lo studio

dei processi diffusivi

3. Processi diffusivi

Problema importante per la diffusione delle epidemie. Esempio: diffusione della SARS

Interventi mirati: isolare gli hubs 90

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Importanza della struttura dei primi vicini:

diffusione delle epidemie

3. Processi diffusivi

DisassortativeNeutralAssortative

t90

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Diffusione dell’informazione3. Processi diffusivi importanza della struttura dei primi vicini

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The Diffusion of Innovations in Social NetworksH. Peyton Young

[..] New ideas and ways of doing things do not necessarily take hold all at once, but often spread gradually through social networks. In a classic study, Coleman, Katz, and Menzel (1966) showed how doctors‘ willingness to prescribe the new antibiotic tetracycline diffused through professional contacts. A similar pattern has been documented in the adoption of family planning methods, new agricultural practices, and a variety of other innovations (Rogers and Shoemaker, 1971; Rogers and Kincaid, 1981; Rogers, 1983; Valente, 1995).

In the first stage a few innovators adopt, then people in contact with the innovators adopt, then people in contact with those people adopt, and so forth until eventually the innovation spreads throughout the society. [..]

3. Processi diffusivi importanza della struttura dei primi vicini

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3. Self-organized criticality

Self-organized criticality

“is a property of (classes of) dynamical

systems which have a critical point as an attractor. Their macroscopic behaviour thus displays the spatial and/or temporal scale-invariance characteristic of the critical point of a phase transition, but without the need to tune control parameters to precise values.

”

Modello di Bak e Sneppen

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http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_system



http://en.wikipedia.org/wiki/Critical_point_%28physics%29



http://en.wikipedia.org/wiki/Attractor

http://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance

http://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance




http://en.wikipedia.org/wiki/Phase_transition



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1-d Bak-Sneppen Evolution Model

•L agents

•Fitness

•Drawn at t=0: uniform distribution in (0,1)

•coevolution:•at each time step t the lowest fi and its first

2 neighbours are replaced by a uniform sampling

( ), 1,if t i N

min(fi)

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Caratteristiche perSoglia critica fc: i valori di fi hanno una distribuzione

uniforme al di sopra di un valore fc :

Avalanche:Durata di un avalanche= tempo che intercorre tra due istanti in cui tutti i

valori sono al di sopra di fc

Probabilità di avere un avalanche di durata s:

Media delle fitness

1

1( ) ( )

dL

idi

f t f tL

N

( ,1)i cf f

( ,1)av avcf f

( )P s s

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Modello co-evolutivo

Fase transiente

Fase stabile90

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2-d Bak-Sneppen Evolution Model

•L2 agents

•Fitness • drawn at t=0 : uniform distribution

•coevolution:•at each time step t the lowest fi and its first

4 neighbours are replaced by a uniform sampling

( ), 1,if t i N

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