1. Hình chóp tam giác...1 1. Hình chóp tam giác Bài 1. (Trích thi tuy n sinh H Kh i A n ăm 2002). Cho hình chóp tam giác u S ABC. có dài c nh AB a= . G i M, N l n l ư

1

1. Hình chóp tam giác Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh

AB a= . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN,

biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Gợi ý: Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có

3 3, , .

2 2 6

a a aOA OB OC OG= = = =

Đặt 0.SG z= > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A,

tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song

song với SG (xem hình vẽ). Khi đó

3 3;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; .

2 2 2 6

a a a aA B C S z −

3 3; ; , ; ; .

12 4 2 12 4 2

a a z a a zM N

−

Tính được 15

.6

az = Suy ra

2 10.

16AMN

aS =

x

y

z

GO

S

A

B

C

Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB

và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho AC R= . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S

sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,

SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp . .S ABC

Gợi ý:

Ta có , 3.AC R BC R= = Đặt 0.SA z= >

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ,O C≡ tia Ox chứa A,

tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và

song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , ;0; .C A R B R S R z Khi đó tính

được 8 3 4 2

; ;9 9 9

R R RH

và 2 2 2

;0; .3 3

R RK

Thể tích khối chóp .S ABC là: 3

.

6.

12S ABC

RV =

2Rx

y

z

A

S

B

C

K

H

Bài 3. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có

giao tuyến là đường thẳng ∆ . Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB a= . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong

mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và .AC BD AB a= = = Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.

Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó

( );0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ).A a B C a a D a

+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm

( )/ 2; / 2; / 2I a a a và bán kính 3 / 2.=R a

+ Mặt phẳng (BCD) có phương trình 0.x y− =

+ Khoảng cách từ A đến (BCD) là

( )2

,( ) .2

ad A BCD =

P

Q

a

a

a

y

z

x

A

B

D

C

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

www.DeThiThuDaiHoc.com

2

Bài 4. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh a, 2SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc

của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

Gợi ý: + Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như

hình vẽ, lúc đó

3 3;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;2 .

2 2 2 2

a a a aA B C S a

−

+ Tìm được tọa độ các điểm M, N là 3 2 2

; ;10 5 5

a a aM

và

3 2 2; ; .

10 5 5

a a aN

−

+ Thể tích khối chóp A.BCNM là 3

.

3 3.

50A BCNM

aV =

a

2a

z

x

y

N

O

S

C

B

AM

Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân

tại B, 2AB BC a= = , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung

điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

(ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Gợi ý:

+Đặt 0.SA z= > Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:

( ) ( ) ( )2 ;0;0 , 0;0;0 , 0;2 ;0 ,A a B C a ( );0;0 , (2 ;0; ).M a S a z

+ Tìm được điểm ( ); ;0 .N a a

+ Vectơ pháp tuyến của (SBC) là ( );0;2 .SBC

n z a= −��

+Vectơ pháp tuyến của (ABC) là ( )0;0;1 .ABC

n =��

+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o

tìm được ( )2 3 2 ;0;2 3 .z a S a a= ⇒

+ Suy ra 3 3SBCNMV a= và 2 39

( , ) .13

ad AB SN =

z

yx N

M

C

B

A

S

Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, 3 , 4BA a BC a= = , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết 2 3SB a= và � 30 .oSBC =

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Gợi ý:

+ Kẻ ,SO BC⊥ khi đó ( )SO ABC⊥ . Tính được

3, 3 , .SO a OB a OC a= = =

+ Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:

( ) ( ) ( ) ( )3 ;3 ;0 , 3 ;0;0 , ;0;0 , 0;0; 3 .A a a B a C a S a−

+ Tính thể tích khối chóp S.ABC là 3

. 2 3.S ABCV a=

+ Phương trình mặt phẳng (SAC) là:

3 4 3 3 0.x y z a− + + − =

+ Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là

( )6 7

,( ) .7

ad B SAC = 4a 3a

z

y

x

S

A

B

C

O



3

Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a,

AB = 2a, AC = 4a, � oBAC 60= . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD. Đường

thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E. Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện

BCDE theo a.

Giải:

60 o

4a

2a

3a

E

A

B

C

D

x

z

y

H

K

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa

độ O.

A(0;0;0), B(2a;0;0), ( )2 ;2 3;0C a a , D(0;0;3a)

.cos60o

AH AB a= = . Suy ra tọa độ của 3

; ;02 2

a aH

( )2 ;2 3; 3DC a a a= −��

suy ra ( )2;2 3; 3u = −�

là một vecto chỉ

phương của DC nên phương trình đường thẳng DC là:

2

2 3

3 3

x t

y t

z a t

=

= = −

. Vì K thuộc DC nên ( )2 ;2 3 ;3 3K t t a t− .

Ta có ( )2 2 ;2 3 ;3 3BK t a t a t= − −��

13. 0

25

aBK DC t= ⇔ =��

. Vậy 26 26 3 36

; ;25 25 25

a a aK

Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z). 3

; ;2 2

a aEH z

= −

��;

27 27 3 36; ;

50 50 25

a a aHK

=

��

Vì E, H, K thẳng hàng nên ;EH HK��

cùng phương, do đó suy ra 4

3

az = − . Vậy E(0;0;

4

3

a− ).

42 ;0;

3

aEB a

=

�� và ( )2 ;2 3; 3DC a a a= −��

nên EB��

.DC��

= ( )4

2 .2 0.2 3 3 03

aa a a a+ + − =

Vậy BE vuông góc với CD.

A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Giải:

60o

O H

C

A

B

S

x

y

z

Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

như hình vẽ.

Ta có: 0; ;02

aA

, 0; ;02

aB

−

, 3;0;0

2

aC

6

aOH = 2 2 7

3

aCH CO OH⇒ = + =

21

.tan603

o aSH CH⇒ = =

21

0; ;6 3

a aS

⇒ −

• 3

.

1 7.

3 12S ABC ABC

aV SH S= =



4

• ( )0; ;0AB a= −��

;2 21

0; ;3 3

a aSA

= −

��;

3; ;0

2 2

a aBC

=

��;

2 2 2 221 7 3 24; ; ; ;

6 2 3 3SA BC a a a SA BC a

= − ⇒ =

�� và 37

; .2

SA BC AB a = −

�� .

Suy ra: ( )3

2

; . 7 3 42; .

2 824;

SA BC AB a ad SA BC

aSA BC

= = =

��

�� . ☺☺☺☺

B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên

cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.

Giải:

KO

A

B

C

S

x

y

z

H

Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là tâm

của tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như

hình vẽ.

Ta có: 0; ;02

aA

−

, 0; ;02

aB

, 3

0; ;02

aC

.

3

3

aCK = 2 2 33

3

aSK SC CK⇒ = − =

3 330; ;6 3

a aS

⇒

3 33

0; ;3 3

a aSC

= −

��; ( )0; ;0AB a=��

. 0AB SC AB SC= ⇒ ⊥��

( )AB SC

AB ABHAB OH

⊥ ⇒ ⊥

⊥

. 11

4

SK OC aOH

SC⇒ = = .

Giải:

( )2

1 5. ,( )

3 3ABCD ACD ACD

aV S d B ACD S= ⇒ = . Từ đây tính được

2 5;3 3

A

a aCD h= = .

O

A

C

D

B

x

y

z

Gọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Ta có: 5

0; ;03

aA

, ;0;0 , ;0;0 , ; ;3 3 3

a a aC D B x y

với y > 0

Từ giả thiết BC = BD = a ta giải ra được 0;3

ax y= = .

Vậy 0; ;3 3

a aB

. 2 2

2 2; 0; ;

3 3

a aBC BD

= −

�� .

( )( ) 0;0;1ACDn =�

; ( )( ) 0;1; 1BCDn = −�

.

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Ta có: ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2

0.0 0.1 1.( 1) 1cos cos ; 45

20 0 1 . 0 1 1

oACD BCDn nα α

+ + −= = = ⇒ =

+ + + +

� �.



5

Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và � oABC 30= .

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60o. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Giải:

B

A

C

S

y x

z

H

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O

trùng điểm A.

A(0;0;0), ( )3;0;0 , 0; ;0 , ; ;

2 2

a aB C S x y z

với

0; 0; 0x y z> > > ( ); ; ;0H x y với H là hình chiếu vuông

góc của của S trên (ABC).

( )1 0;0;1n =��

là vectơ pháp tuyến của (ABC) và

2

3 3; 0; ;

2 2

a an AB AS z y

= = −

�� là vectơ pháp tuyến

của (SAB).

3 ; ;0;2 2

a an AC AS z x

= = −

�� là vectơ pháp tuyến của (SAC).

• ( )1 2 2 2

2 21 2

. 1cos ( ),( ) 3

2

n n ySAB ABC z y

n n z y= ⇔ = ⇔ =

+

��

�� (1)

• ( )1 3 2 2

2 21 3

. 1cos ( ),( ) 3

2

n n xSAC ABC z x

n n z x= ⇔ = ⇔ =

+

��

�� (2)

Từ (1), (2) ta có x y= . Nên ( ); ;0H x x . Vì H thuộc BC nên 3; ;0 , ; ;0

2 2 2

a a aBC CH x x

= − = −

�� cùng

phương, suy ra

( )32

3 2 1 322

ax

x ax

aa

−= ⇔ =

+−

thay vào (1), ta được

( )3

2 1 3

az =

+.

• ( )

( ) 32

.

3 31 1 3 3. . .

3 3 8 322 1 3S ABC ABC

aa aV SH S∆

−= = =

+. ☺☺☺☺

A

B

C

S

x

y

z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng

với điểm A.

Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0

SA=7a 2 2 2 249x y z a⇔ + + = (1)

SB=9a ( )2 2 2 2

8 81x a y z a⇔ − + + = (2)

SC=11a ( )22 2 2

6 121x y a z a⇔ + − + = (3)

Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a).

Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là 6S

h z a= = .

21. 24

2ABCS AB AC a= = . 3

.48

S ABCV a=



6

2. Hình chóp tứ giác Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh

a, góc � 60 ,oBAD = SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD và .SA a= Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt

phẳng (P) đi qua 'AC và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại ', 'B D . Tính thể tích khối chóp

. ' ' 'S AB C D .

Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và DB.

Vì tam giác ABD đều nên 3

, .2 2

a aOB OD OA= = =

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song

song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:

3 3;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,

2 2 2 2

a a a aA B C D

− −

3' 0;0; , ;0; .

2 2

a aC S a

x y

z

O

CD

A B

S

Tìm được 3

' ; ;6 3 3

a a aB

và 3

' ; ; .6 3 3

a a aD

−

Thể tích khối chóp . ' ' 'S AB C D là: 3 3 3

. ' ' ' . ' ' . ' '

1 1 1 3 1 3 3, ' . ' , ' . ' . . .

6 6 6 6 6 6 18S AB C D S AB C S AC D

a a aV V V SA SC SB SA SC SD = + = + = + =

��

Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

, 2,AB a AD a SA a= = = và SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng

(SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

Gợi ý:

+Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ,O A≡ tia Ox chứa B, tia

Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , ;0;0 , ; 2;0 , 0; 2;0 , 0;0; ;A B a C a a D a S a

2 20; ;0 , ; ; .

2 2 2 2

a a a aM N

( ) ( ) ( )2

0;0; , ; 2;0 , 0; ; , ;0; .2

aAS a AC a a SM a SB a a

= − = −

��

Vectơ pháp tuyến của (SAC) là ( )2 2, 2; ;0 .AS AC a a = −

��

x

z

yI

NM D

CB

A

S

Vectơ pháp tuyến của (SBM) là 2

22, ; ;0 .

2

aSM SB a

= − −

��

Vì 4 4, . , 0AS AC SM SB a a = − =

�� nên ( ) ( ).SAC SBM⊥

Ta có 2 2 .IC BC

IC IAIA AM

= = ⇒ = −��

Từ đây tìm được 2

; ;0 .3 3

a aI

Thể tích khối tứ diện ANIB là 3 31 1 2 2

, . . .6 6 6 36

ANIB

a aV AN AI AB = = =

��



7

Bài 3. (Trích đề ĐH Khối A năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các

cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm AD, khi đó ( ).SO ABCD⊥ Chọn

hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

chứa N và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:

( )3

;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,2 2 2

3; ;0 , ; ; .

2 2 4 2 4

a a aA B a N a S

a a a a aP M

−

Ta có: 3

; ; , ; ;0 .4 2 2 2

a a a aAM BP a

= − = − −

��

Thể tích của khối tứ diện CMNP là 3 3

.96

CMNP

aV =

x

z

y

P

M

NO

CD

AB

S

Bài 4. (Trích đề ĐH Khối B năm 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của

BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Gợi ý:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa độ

Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz

chứa S (xem hình vẽ). Đặt SO=z, Khi đó:

( )2 2 2

;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,2 2 2

2 2 2 2;0;0 , ; ;0 , ;0; ,

2 4 4 4 2

2 2 2 2; ; ; ; ; .

2 2 2 4 2

a a aA B D S z

a a a a zC N I

a a a a zE z M

−

− −

Ta

có 3 2 2

;0; , 0; ;0 .4 4 4

a z aMN BD

= = −

��

a

z

x y

N

M

E

I

O

CD

A B

S

+ . 0 .MN BD MN BD= ⇒ ⊥��

+ Khoảng cách giữa MN và AC là 2

( , ) .4

ad MN AC =

Bài 5. (Trích đề ĐH Khối D năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,

� � 90 , , 2 .o

ABC BAD AB BC a AD a= = = = = Cạnh bên SA vuông góc với đáy là 2.SA a= Gọi H là hình

chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt

phẳng (SCD).

Gợi ý:



8

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ,O A≡ tia Ox chứa B, tia

Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0;2 ;0 , 0;0; 2 .A B a C a a D a S a Tìm

được 2 2

;0; .3 3

a aH

Phương trình mặt phẳng (SCD) là: 2 2 0.x y z a+ + − =

Khoảng cách từ H đến (SCD) là ( ), ( ) .3

ad H SCD =

a

2a

a

z

x

y

C

D

A

B

S

H

Bài 6. (Trích đề ĐH Khối B năm 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,

, 3SA a SB a= = và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

SM, DN.

Gợi ý: Gọi O là hình chiếu của S trên AB. Ta có:

3 3, , .

2 2 2

a a aSO OA OB= = =

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi

đó:

3 3;0;0 , ;0;0 , ;2 ;0 , ;2 ;0 ,

2 2 2 2

a a a aA B C a D a

− −

3 30;0; , ;0;0 , ; ;0 .

2 2 2

a a aS M N a

− −

2a

a

x

z

y

N

MC

B

AD

O

S

+ Thể tích của khối chóp S.BMDN là 3

.

3.

3S BMDN

aV =

+ cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN là �5

cos( , ) .5

SM DN =

Bài 7. (Trích đề ĐH Khối A năm 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D; 2 , ;AB AD a CD a= = = góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o . Gọi I là trung điểm của

cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp

S.ABCD theo a.

Gợi ý:

Từ giả thiết suy ra ( ).SI ABCD⊥ Đặt 0.SI z= >

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O I≡ , tia Ox chứa D,

tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình

vẽ). Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( );0;0 , ;2 ;0 , ; ;0 , ;0;0 , 0;0; .A a B a a C a a D a S z− −

+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)

bằng 60o ta tìm được 3 15

.5

az =

+ Thể tích khối chóp S.ABCD là 3

.

3 15.

5S ABCD

aV =

2a

2a

a

z

y

x

I

C

BA

D

S



9

Bài 8. (Trích đề ĐH Khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) và 3.SH a= Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng DM và SC theo a.

Gợi ý:

Trước hết chứng minh được .DM CN⊥

+ 2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 5 5.

5

aDH

HD DN DC a a a= + = + = ⇒ =

+ 5 3 5

.2 10

a aDM HM DM DH= ⇒ = − =

+ 5 2 5

;. .10 5

a aHN HC= =

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O H≡ , tia

Ox chứa N, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình

vẽ). Khi đó:

( )

5 5 2 5;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 ,

10 5 5

3 50; ;0 , 0;0; 3 .

10

a a aN D C

aM S a

−

−

a

x y

z

H

N

M

CB

AD

S

+ Thể tích khối chóp S.CDNM là 3

.

5 3.

24S CDNM

aV =

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là: ( )2 57

, .19

ad DM SC =

Bài 9. (Trích đề ĐH Khối D năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. cạnh

bên ,SA a= hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

4

ACAH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối

tứ diện SMBC theo a.

Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O H≡ , tia

Ox song song với tia AB, tia Oy song song với tia

AD và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: 2

2 2 2 2 14

4 4

a aSH SA AH a

= − = − =

do đó

3 3 3; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,

4 4 4 4 4 4

3 14; ;0 , 0;0; .

4 4 4

a a a a a aA B C

a a aD S

− − −

−

a

a

x

y

z

M

H

DA

B C

S

Ta có 2 2 2SC SH CH a AC= + = = nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA. Suy ra

14; ; .

8 8 8

a a aM

− −

Thể tích khối chóp S.BMC là 3

.

14.

48S BMC

aV =



10

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là bình hành, 4 ,AD a= các cạnh bên của hình chóp bằng

nhau và bằng 6a . Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp

S.ABCD lớn nhất.

Gợi ý:

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lượt là

AB và AD. Từ giả thiết suy ra

( )SO AC

SO ABCDSO BD

⊥ ⇒ ⊥

⊥

và 2 26OA OB OC OD a SO= = = = − nên ABCD là

hình chữ nhật.

Đặt 0.ON x= > Khi đó 2 24 .OA x a= +

2 2 2 22 .SO SA OA a x= − = −

+ Thể tích khối chóp S.ABCD là

2 2

.

1 8. . 2 .

3 3S ABCD

V AB AD SO ax a x= = − 4a

x

y

z

M

N

O

CB

A D

S

+ Bằng cách xét hàm số 2 28( ) 2

3f x ax a x= − với ( )0; 2x a∈ hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy

ra .S ABCDV lớn nhất khi và chỉ khi .x a= Suy ra .SO a= Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi

đó: ( )2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 0;0; .2 2 2

a a aB a C a D a S a

− − − −

Gọi ϕ góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) thì 2

cos .5

ϕ =

*****



11

3. Hình lăng trụ tam giác Bài 1. (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007). Cho hình lăng trụ đứng 1 1 1.ABC A B C có

1, 2 , 2 5AB a AC a AA a= = = và � 120 .oBAC = Gọi M là trung điểm của cạnh

1.CC Chứng minh 1MB MA⊥

và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 1( ).A BM

Giải:

a) Kẻ .AO BC⊥ Ta có 2 24 2. .2 cos120 7.o

BC a a a a a= + − =

. .sin120 21. . .sin120 .

7

oo AB AC a

AO BC AB AC AOBC

= ⇒ = =

22 2 2 21 2 7

;49 7

5 7.

7

=

a aOB AB AO a

aOC BC OB

= − = − =

= −

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

1

21 2 7;0;0 , 0; ;0 ,

7 7

5 7 210; ; 5 , ;0;2 5 .

7 7

a aA B

a aM a A a

−

Ta có ( )1

21 5 7; ; 5 , 0; 7; 5 .

7 7

a aMA a MB a a

= = −

��

2 2

1 1 1. 5 5 0 .MA MB a a MA MB MA MB= − = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥��

a 2a

z

x

y

C1

A1

B1

B

A

b) Phương trình mặt phẳng 1( )A BM là: 2 7

12 5 15 21 0.7

ax y z

− − − =

Khoảng cách từ A đến 1( )A BM là: ( )1

5,( ) .

3

ad A A BM =

Bài 2. (Trích đề dự bị 2 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng 1 1 1.ABC A B C có tất cả các cạnh đều

bằng a, M là trung điểm của đoạn 1AA . Chứng minh 1BM B C⊥ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

BM và 1 .B C

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox chứa

A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa trung điểm của 1 1B C (xem hình vẽ).

Khi đó:

1

30; ;0 , 0; ;0 , ;0; 0; ; .

2 2 2 2 2 vµ

a a a a aB C M B a

− −

Ta có ( ) ( )1

30; ;0 , ; ; , 0; ;0 .

2 2 2

a a aBC a BM B C a

= = = −

��

+ 2 2

1 1. 0 .2 2

a aBM B C BM B C= − + = ⇒ ⊥��

a

a

a

z

x

y

O

C1B1

A1

A

B C

3

1

1 2

1

3, . 302( , ) .

1010,

2

aBM B C BC a

d BM B CaBM B C

= = =

��

�� +2 2

2

1

3 3, ; ; .

2 2

a aBM B C a

= − −

��



12

Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009). Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC

là tam giác vuông tại B, , ' 2 , ' 3 .AB a AA a A C a= = = Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng ' 'A C , I là giao

điểm của AM và 'A C . Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(IBC).

Giải:

Ta có 2 2 2 2' ' 5; 2 . AC A C AA a BC AC AB a= − = = − =

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ,O B≡ tia Ox chứa A, tia

Oy chứa C và tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ). Khi đó:

(0;0;0), ( ;0;0), (0;2 ;0), ; ;2 .2

a

B A a C a M a a

Gọi ( ); ;I x y z , vì 2 2 4

2 ; ;3 3 3

a a aIA IM I

= − ⇒

�� .

Thể tích khối tứ diện IABC là:

3 31 1 8 4

, . . .6 6 3 9

IABC

a aV BA BC BI = = =

��

a

2a

x

y

z

3a

I

M

C'

A'

B'

B

A

C

+ Gọi n�

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (IBC). Khi đó 2 28 4

, ;0;3 3

a an BI BC

= = −

� �� cùng phương với

( )' 2;0;1n = −��

. Mặt phẳng (IBC) đi qua B và có vectơ pháp tuyến ( )' 2;0;1n = −��

nên có phương trình:

2 0.x z− + = Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là ( )2

| 2 | 2 5,( ) .

5( 2) 1

a ad A IBC

−= =

− +

Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008). Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có độ dài cạnh bên

bằng 2 ,a đáy ABC là tam giác vuông tại A, , 3AB a AC a= = và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt

phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp '.A ABC và cosin của góc giữa hai

đường thẳng 'AA và ' '.B C

Giải: + Gọi O là trung điểm BC, H là trung điểm AB, K là trung

điểm AC thì OHAK là hình chữ nhật. Ta có:

2 2

2 2 2 2

2 , ,2

' ' 4 3.

BCBC AB AC a OA a

OA AA OA a a a

= + = = =

= − = − =

22 2 2

22 2 2

3;

4 2

3.

4 2

a aOH OA AH a

a aOK OA AK a

= − = − =

= − = − =

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa H, tia Oy

chứa K và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:

xy

z

KH

O

C'B'

A'

A

B C

( ) 3 3 3' 0;0; 3 , ; ;0 , ; ;0 , ; ;0 .

2 2 2 2 2 2

a a a a a aA a A B C

− −

+ Thể tích khối chóp '.A ABC là 3 3 3

'.

1 1 3 3' , ' . ' .

6 6 2 2 2A ABC

a a aV A A A B A C = = − − =

��

+ ( )3; ;0 .BC a a= −��

Gọi ϕ là góc giữa 'AA và ' '.B C Khi đó: '. 1

cos cos( ', ) .'. 4

AA BCAA BC

AA BCϕ = = =

��



13

Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc � 60oACB = , biết

rằng ' ' 7,AA BA a= = mặt bên ( ' ')ABB A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng ( ' ')ACC A tạo với

(ABC) một góc 60 .o Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Gợi ý:

+ Gọi O là trung điểm AB, M là trung điểm AC. Khi đó ' , ' , .A O AB A O OM OM AB⊥ ⊥ ⊥

Đặt 0,OA x= > khi đó 2 2' 7 ; .3

xOA a x OM= − =

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

chứa M và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:

( )2 2( ;0;0), 0, ;0 , ' 0;0; 7 .3

x

A x M A a x

−

Theo giả thiết thì 1

cos 2 .2

x aϕ = ⇒ =

Suy ra 4

4 , ; ' 3.3

aAB a BC OA a= = = Thể tích khối lăng trụ

đã cho là

31 1 4. ' . . ' .4 . . 3 8 .

2 2 3ABC

aV S OA AB BC OA a a a= = = =

x

z

y

M

O

C'A'

B'

B

A

C

Bài 6. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng 1 1 1.ABC A B C đáy ABC là tam giác

vuông, 1, 2.AB AC a AA a= = = Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn

1AA và 1BC . Chứng minh MN

là đường vuông góc chung của 1AA và

1BC . Tính thể tích khối chóp 1 1.MA BC

Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A≡ , tia Ox chứa B,

tia Oy chứa C và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

1

;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 2 , ;0; 2 ,

2 20; ; 2 , 0;0; , ; ; .

2 2 2 2

B a C a A a B a a

a a a aC a a M N

+ ( ) ( )1 1; ;0 , 0;0; 2 , ; ; 2 .

2 2

a aMN AA a BC a a a

= = = −

��

1

1

1

. 0

. 0

MN AAMN AA

MN BC

= ⇒ ⊥

=

��

�� và 1MN BC⊥ do đó MN là

đường vuông góc chung của 1AA và 1BC .

a

a

z

x

y

N

M

C1

B1

A1

A

B

C

Tính thể tích khối chóp 1 1MA BC là 1 1

3 2.

12MA BC

aV =

Bài 7. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2008). Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam

giác vuông, , ' 2.AB BC a AA a= = = Gọi M trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng

trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng , ' .AM B C

Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O B≡ , tia Ox chứa A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa B’ (xem hình

vẽ). Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );0;0 , 0;0;0 , 0; ;0 , ' ;0; 2 , ' 0;0; 2 , ' 0; ; 2 , 0; ;0 .2

a

A a B C a A a a B a C a a M

+ Thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C là 3 2.V a=



14

+ Ta có:

( ) ( )2

2 2

; ;0 , ' 0; ; 2 , ' ;0; 2 .2

2, ' ; 2; .

2

aAM a B C a a AB a a

aAM B C a a

= − = − = −

= − − −

��

��

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng , 'AM B C là

( ), ' . ' 7

, ' .7, '

AM B C AB ad AM B C

AM B C

= =

��

�� a

a

z

x

y

M

C'

A'

B'

B

A

C

Bài 8. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2009). Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có 'BB a= ; góc giữa

đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60o ; tam giác ABC vuông tại C và � 60oBAC = . Hình chiếu

vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ

diện 'A ABC theo a.

Gợi ý:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt AC x= , suy

ra 3, 2 .BC x AC x= = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

như hình vẽ. Ta có

( ) ( ) ( )3

;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;0 , ; ;0 .3 3

x x

A x B x C G

22

2 3 13; ;0

3 3 3

13' .

9

x x xBG BG

xGB a

−= ⇒ =

⇒ = −

��

ax y

z

G

B'

C'

A'

A

C

B

Sử dụng giả thiết góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng �' 60oB BO = suy ra

3 13.

26

ax =

Vậy 3 13 3 39 3

; ; ' .26 26 2

a a aAC BC OB= = = Thể tích khối tứ diện 'A ABC là

3

'

9.

208A ABC

aV =

Bài 9. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2010). Cho lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có AB a= ,

góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Gợi ý: Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho, tia

Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz song song với tia AA’ (xem

hình vẽ). Khi đó:3

;0;0 , 0; ;0 , 0; ;02 2 2

−

a a aA B C

3 3 3' ;0; , ;0; .

2 2 6 2

a a a aA G

Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3

. ' ' '

3.

8ABC A B C

aV =

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là 7

.12

aR =

z

x

y

G

O

C'

B'

A'

A

B

C



15

K2pi.net - 2013: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB, AB BC⊥ . Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của A'B' và BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng 2

7

a. Góc giữa hai mặt

phẳng (AB'C) và (BCC'B') bằng 60o. Tính thể tích khối chóp MABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối

chóp B'ANC theo a.

Giải:

M

N

C'

B'

A

B

C

A'

x

y

z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng

điểm B.

Đặt AB = x (x>0) thì BC = 2x.

Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0)

A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0;2

x; y).

( )0; ; , ' 2 ;0;2

xAM y B C x y

= − = −

��

2; ' ;2 ;

2

xyAM B C xy x

⇒ =

��

( )2 ; ;0AC x x= −��

( ); ' .

, '; '

AM B C ACd AM B C

AM B C

=

��

��

2

2 2 2 22 2 4

2

7 74 174

4

x y a xy a

x y x yx y x

−⇔ = ⇔ =

++ +

(1)

( )' 0; ;AB x y= −��

và ( )2 ; ;0AC x x= −��

nên ( )2', ;2 ;2AB AC xy xy x =

�� nên (AB'C) có vectơ pháp tuyến là

( );2 ;2n y y x=�

(vì n�

cùng phương với ',AB AC

�� ) và (BCC'B') có vectơ pháp tuyến là ( )0;1;0j =

�.

( ) 2 2 2

2 2

. 1 2 11cos ( ' ),( ' ') 5 4 16

2 25 4

n j yAB C BCC A y x y x y

n j y x= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =

+

� �

� � (2)

Thế (2) vào (1), giải phương trình ta được kết quả 4

11

ay = và 2x a= .

Vậy 3

1 1 4 16 11.AA'= .2 .4 .

3 2 3311MABC ABC

a aV S a a

= =

☺☺☺☺

• Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a

Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng:

( ) 2 2 2

1: 2 2 2 0S x y z a x by cz d+ + + + + + = với tâm ( ) 2 2 2

1 1; ; ,T a b c R a b c d− − − = + + −

Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ của chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ:

2 1

2

2

1

22

1

316 8 11. 0

11 11 331

4 4 . 0 31311

4 4 . 0 11

816 8 . 0

a aa a c d

b a

a a b d R aac

a a a d

d aa a a d

= −+ + =

= − + + = ⇔ ⇒ = = − + + =

= + + =

. ☺☺☺☺



16

4. Lăng trụ tứ giác Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2011). Cho lăng trụ 1 1 1 1.ABCD A B C D có đáy ABCD là hình

chữ nhật, , 3AB a AD a= = . Hình chiếu vuông góc của điểm 1A trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao

điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng 1 1( )ADD A và ( )ABCD bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ

đã cho và khoảng cách từ điểm 1B đến mặt phẳng

1( )A BD theo a.

Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa

độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó:

3 3 3; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,

2 2 2 2 2 2

3; ;0 .

2 2

a a a a a a

A B C

a aD

− − −

−

Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng 1 1( )ADD A và

( )ABCD bằng 60o tìm được 1

30;0; .

2

aA

Suy ra 1

30; ; .

2

aB a

−

Thể tích khối lăng trụ đã cho là 1 1 1 1

3

.

3.

2ABCD A B C D

aV =

a

z

x

y

O

D1

C1B1

CB

AD

A1

Khoảng cách từ điểm 1B đến mặt phẳng

1( )A BD là ( )1 1

3,( ) .

2

ad B A BD =

D12: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính

thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

Giải:

C D

A

C'

B' A'

D'

B

x

y

z

Từ giả thiết ta tính được '2

aAC AA= = và

2

aAB = .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với

điểm A.

Ta có: A(0;0;0), 0; ;02

aB

, ; ;02 2

a aC

, ;0;02

aD

' 0;0;2

aA

, ' 0; ;2 2

a aB

, ' ; ;2 2 2

a a aC

, ' ;0;2 2

a aD

0; ;02

aAB

=

��; ' 0; ;

2 2

a aAB

=

��; ' ; ;

2 2 2

a a aAC

=

��.

2

; ' ;0;02 2

aAB AB

= ⇒

�� 3

; ' . '4 2

aAB AB AC =

�� 3

' '

1 2; ' . '

6 48ABB C

aV AB AB AC ⇒ = =

�� .

• ;0;02

aCB

= −

��, ' 0; ;

2 2

a aCD

= −

��

( )2 2

; ' 0; ; 0; 2;142 2

a aCD CD n

⇒ = ⇒ =

�� là VTPT của mặt

phẳng (BCD’) nên (BCD’):2

2 02

ay z+ − = ( )

2 2

22.0 0

2 6,( ')

6( 2) 1

a

ad A BCD

+ −

⇒ = =+

. ☺☺☺☺

HẾT



Documents

1. Hình chóp tam giác...1 1. Hình chóp tam giác Bài 1. (Trích thi tuy n sinh H Kh i A n ăm 2002). Cho hình chóp tam giác u S ABC. có dài c nh AB a= . G i M, N l n l ư