1

結合 Hull-White 模型與求面積法評價雪球型債劵

報告者 : 顏妤芳

2

大綱• 簡介雪球型債劵契約• 研究方法• 評價雪球型債劵 －第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息 －第二步驟：考慮票面利率不得低於 0%

－第三步驟：計算債劵現值及考慮贖回條款

3

簡介雪球型債劵契約

+i i-1 i iC =(C +S -r ) , i=1,2,...,n-1

利差(Spread)

時間

浮動利率

重設票面利率

1c 2c n-3c n-1c + Fn-2c0c

1s 2s 3s n-2s n-1s

1t n-1tn-2t nt3t2t

1r 2r 3r n-2r n-1r nr

给付票面利率

0

0c 1c 2c n-2c n-1c

利差(Spread)

時間

浮動利率

重設票面利率

1c 2c n-3c n-1c + Fn-2c0c

1s 2s 3s n-2s n-1s

1t n-1tn-2t nt3t2t

1r 2r 3r n-2r n-1r nr

给付票面利率

0

0c 1c 2c n-2c n-1c

→

1

2 1 1

3 2 2 1 1

01 1

C C

C

C

C

i i i i

i i i i i

i i i i i i i

i i

j jj j

S r

S r S r

S r S S r r

S r

4

簡介雪球型債劵契約•結構型商品•當期票面利率與前一期票面利率相關•票面利率不得低於 0%•反浮動•延遲給付•贖回條款 → 採用樹狀結構法與 Hull-White 利率模型

5

研究方法

• Hull-White 利率模型：

－ 為使模型符合期初期間結構的時間函數 － Mean reversion property

• Hull 和 White(1994) 提出兩階段評價方法： － 1. 建構平行樹 : － 2. 加入利率調整項：

dr=(θ(t)-ar)dt+σdzθ(t)

* *dR =-aR dt+σdz*α(t)=R(t)-R (t)

6

階段一• 建構平行三元樹 為了防止機率為負 , 故有平長 .

垂直間距距離

•應用求面積法 (Quadrature methods)

建構 Hull-White 多元樹 無平長

tR 3

7

階段一 :建構平行三元樹

•間距高度限制•設定垂直間距距離•設定距離中心最長間距 jmax =[0.184/(aΔt)]

•三種 Branches:

tR 3

0.184 0.184j

a t a t

8

Branch (a)

• Equations: Solutions:

* *

* * * 2

where (0, )

[ ] , [ ]

dR aR dt dz dz N dt

E R aR t Var R t

uP

mP

dP

2 2 2 2 2 2 2

1

u d

u d

u m d

p R p R aj R t

p R p R t a j R t

p p p

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1

6 22

31 1

6 2

u

m

d

p a j t aj t

p a j t

p a j t aj t

2 2 2 2

[ ] [ ]

[ ] [ ] ( [ ]) [ ] [ ] ( [ ])

i i u u m m d di

E x Px P x P x P x E x

Var x E x E x E x Var x E x

9

Branches (b) and (c)

• (b) Equations: (c) Equations:

• Solutions: Solutions:

2 2 2 2 2 2 2

2

4

1

u m

u m

u m d

p R p R aj R t

p R p R t a j R t

p p p

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1

6 21

23

7 13

6 2

u

m

d

p a j t aj t

p a j t aj t

p a j t aj t

2 2 2 2 2 2 2

2

4

1

m d

m d

u m d

p R p R aj R t

p R p R t a j R t

p p p

2 2 2

2 2 2

2 2 2

7 13

6 21

23

1 1

6 2

u

m

d

p a j t aj t

p a j t aj t

p a j t aj t

mP

dP

uPuP

mP

dP

10

階段二 :加入利率調整項• 每一期調整移動的值不相同，

但同一期是一樣的，利率結構沒有改變。

• 計算第 i期的利率平移量 αi• 令 Qij 代表走到 Node(i,j) 付 $

1 的現值 Q00 =1• Example: 假定現在的零息利

率 (如右表 )• α0 =3.824%,

Maturity (year) Rate%

1 3.824

2 4.512

3 5.086

RD

C

RB

1

1

1

:

:

:

點短利點短利點短利

1604.01667.0

6417.06666.0

1604.01667.0

03824.011

03824.010

03824.011

eQ

eQ

eQ

11

加入利率調整項

1, , , expm j m k mkQ Q q k j k R t

A

B

C

D

E

F

G

H

I

, 1

1 ,

ln ln

where exp

m

m

m

m

n j R tm j mj n

m

n

m m j mj n

Q e P

t

P Q j R t

12

Hull-White trinomial tree

A

B

C

D

E

F

G

H

I

(2) R

(2)

(2) 2 R

(2) R

(2) 2 R

(1)(0)

(1) R

(1) R

13

階段一 : 建構多元數

• ㄟ － 分配誤差•應用 Quadrature methods 建構多元樹 － k 為正整數

－

* 2ΔR ~N(-a(jΔR)Δt , σ Δt)

* * * *i,j,max i,j i,jR =R +q =R +5σ Δt

* * * *i,j,min i,j i,jR =R -q =R -5σ Δt

* *i,j,max i,j+

i,j

R -Rn =[ ]

ΔR

* *i,j,min i,j-

i,j

R -Rn =[ ]

ΔR

ΔR= Δt/k

14

建構多元數*i,j,maxR

*i,jR

*i,j,minR

R

5σ Δt

ΔtΔt

*i,jR

R

ΔtΔt

R

* +i,j i,jR +n ΔR

* -i,j i,jR +n ΔR

→

15

建構多元數

*0,0R =0

+0,0n ΔR

-0,0n ΔR

+0,0

-

1,n-n ΔR

+0,0

+

1,nn ΔR

1p

2p

np

-0,0

-

1,n-n ΔR

*0,0R =0

+0,0n ΔR

-0,0n ΔR

+0,0

-

1,n-n ΔR

+0,0

+

1,nn ΔR

1p

2p

np

-0,0

-

1,n-n ΔR

16

•應用 Quadrature methods 建構多元樹 － 利用 Simpson‘s rule 求算 1 2 np ,p ,...,p

+i,j

+i,j

(n +0.5)ΔR

*1

(n -0.5)ΔR

+ + +i,j i,j i,j

p F(ΔR )

ΔR[f((n +0.5)ΔR)+4f(n ΔR)+f((n -0.5)ΔR)]

6

+i,j

+i,j

(n -0.5)ΔR

*2

(n -1.5)ΔR

p F(ΔR )

-i,j

-i,j

(n +0.5)ΔR

*n

(n -0.5)ΔR

p F(ΔR )

17

評價雪球型債劵•第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息

•第二步驟：考慮票面利率不得低於 0%

•第三步驟：考慮贖回條款及計算債劵現值

18

評價雪球型債券第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息－未考慮票面利率下限 0%

,

1

2 1 1

3 2 2 1 1

by Hull-White tree0 0

1 1 1 1

C C

C

C ...

C Ck k k jk

i i i i

i i i i i

i i i i i i i

i i i i

k k k kr f Rk k k k

S r

S r S r

S r S S r r

S r S f R

0 t(1) t(2) t(3) … t(n-2) t(n-1) t(n)r(0) r(1) r(2) r(3) r(n-2) r(n-1) r(n)

Spread

TimeFloat rate

Payment

1c 2c 3c 1nc 2nc

F0c

1s 2s 3s 2ns 1ns

0 t(1) t(2) t(3) … t(n-2) t(n-1) t(n)r(0) r(1) r(2) r(3) r(n-2) r(n-1) r(n)

Spread

TimeFloat rate

Payment

1c 2c 3c 1nc 2nc

F0c

1s 2s 3s 2ns 1ns

1c 2c 3c 1nc 2nc

F0c

1s 2s 3s 2ns 1ns

1c 2c 3c 1nc 2nc

F0c

1s 2s 3s 2ns 1ns

Constant

Integer

19

計算各節點的最大最小可能債息

－定義 節點 (i,j) 的父節點 (Parents) 節點 (i,j) 的子節點 (Children) (M,m) : : 節點 (i,j) 所有可能票面利率的集合

i,jC

i

kk=1

- f M , m 的最大值為 最小值為

i i

0 k k 0 k kk=1 k=1

(C + (S -α )+MΔR , C + (S -α )+mΔR)

20

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

Node( 0, 0)

Node( 1,-2)

Node( 1,-1)

Node( 1, 2)

Node( 1, 1)

Node( 1, 0)

Node( 2, 1)

Node( 2, 0)

Node( 2, 2)

Node( 2, 3)

Node( 2, 4)

Node( 2, 1)

Node( 2, 0)

Node( 2, 2)

Node( 2, 3)

Node( 2, 4)

Node( 3, 1)

Node( 3, 0)

Node( 3, 2)

Node( 3, 3)

Node( 3, 4)

Node( 3, 1)

Node( 3, 0)

Node( 3, 2)

Node( 3, 3)

Node( 3, 4)

Node( 3,-4)

Node( 3,-5)

Node( 3,-3)

Node( 3,-2)

Node( 3,-1)

Node( 3,-4)

Node( 3,-5)

Node( 3,-3)

Node( 3,-2)

Node( 3,-1)

Node( 2,-4)

Node( 2,-3)

Node( 2,-2)

Node( 2,-1)

Node( 3, 5)

Node( 3, 6)

Node( 3,-6)

A

I

F

E

D

C

B

J

H

G

－假設 已知，到達節點 (3,1) 的其中一條路徑為節點 (0,0) 至節點 (1,1) 至節點(2,0) 至節點 (3,1)

→

→

0 1 2 3 1 2 3C ,S ,S ,S ,α ,α ,α

3

k 1 2 3k=1

f ΔR=(f +f +f )ΔR=(1+0+1)ΔR=2ΔR3 3 3

0 k k k 0 k kk=1 k=1 k=1

C + (S -α )- f ΔR C + (S -α )-2ΔR

21

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

找出 f 的上下限

( 0, 0)

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( -6,-6)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( -6,-6)

( 2,-6)

( 4,-4)

( 0,-8)

(-3,-9)

(-6,-10)

( 2,-6)

( 4,-4)

( 0,-8)

(-3,-9)

(-6,-10)

(10, 6)

(11, 9)

( 9, 3)

( 8, 0)

( 6,-2)

(10, 6)

(11, 9)

( 9, 3)

( 8, 0)

( 6,-2)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

(-9,-11)

(-12,-12)

(12,12)

A

I

F

E

D

C

B

J

H

G

3 3

2,1 0 k k 0 k kk=1 k=1

C ={ C + (S -α )+0*ΔR,C + (S -α )-1*ΔR 3

0 k kk=1

,C + (S -α )-2*ΔR3

0 k kk=1

,C + (S -α )-3*ΔR }

22

第二步驟：考慮票面利率不得低於 0%

• 本期的債券利率 =上期債券利率 +Inverse floater– 當利率 <0 債券利率重設為 0

• 第 i 期利率可能無法寫成– Ex:

• 處理方法 :– 拿掉 中小於 0 的狀態– 加入狀態 0* 債券利率為 0 的 Case– 使用內插計算 0* 所對應的價格

01 1

Ci i

j jj j

S f R

1 2 2 2 1 2 2

3 3 3

C <0 C 0S r C S r

C S r

01 1

Ci i

j jj j

S R f R

23

• 在 時，存在一個整數 為 (M,m) 的下限 → →

iΔt iKi

i 0 k k ik=1

K C + (S -α )+K ΔR 0為滿足 的最小整數

i

0 k kk=1

i

C + (S -α )K =

ΔR

考慮票面利率不得低於 0%

24

考慮票面利率不得低於 0%

－情況一： M,m 皆大於等於 → 此節點的 (M,m) 不變，共 M-m+1 種債息

－情況二： (M,m) 中有部份小於 → 此節點的 (M,m) 變成 (M,Ki,0*) ，共 M-Ki+2 種債息

－情況三： (M,m) 皆小於 → 此節點的 (M,m) 變成 (0*,0*) ，只有 1 種債息

iK

iK

iK

25

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

Δt 2Δt 3Δt

( 0, 0)

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( -6,-6)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

－假設 已知， 0 1 11

C +S -αK = - 2

ΔR

0 1 2 1 22

C +S +S -α -αK = - 5

ΔR

0 1 2 3 1 2 33

C +S +S +S -α -α -αK = - 11

ΔR

0 1 2 3 1 2 3C ,S ,S ,S ,α ,α ,α ,ΔR

(0*,0*)

26

• 若前一個 node 有 0* 的狀態 , 如何計算最大最小債息

• 使重設的利率也可寫成 的形式

取下高斯 => 為了利用內插法計算債券價值0

1 1

Ci i

k kk k

S f R

R)-(SC)(0i

1kkk0

轉換成RfS ii

R

R f )-(SC-

1-i

1kkk0

ji,

27

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

( 0, 0)

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( 0*,0*)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

－節點 (3,6) 重設的票面利率為

→

→

3 30+S -(α +6ΔR)3

3 3 0 k k 3,6k=1

0+S -(α +6ΔR)=C + (S -α )+ ΔR0 1 2 1 2

3,6

C +(S +S -α -α )+6ΔRδ = - 13

ΔR

28

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

( 0, 0)

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( 0*,0*)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

－節點 (3,5) 重設的票面利率為

→

→

→

3 30+S -(α +5ΔR)3

3 3 0 k k 3,5k=1

0+S -(α +5ΔR)=C + (S -α )+ ΔR0 1 2 1 2

3,5

C +(S +S -α -α )+5ΔRδ = - 12

ΔR

3,4 3,3 3,2δ =-11,δ =-10,δ =-9

29

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( 0*,0*)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

(-9,-12)

(-6,-11)

( 6,-2)

(-3,-10)

( 0,-9)

( 2,-6)

(11, 9)

(10, 6)

( 9, 3)

( 8, 0)

( 4,-4)

(12,12)

(-13,-13)

( 0, 0)

－ 0 1 2 3 1 2 33

C +S +S +S -α -α -αK = - 11

ΔR

30

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( 0*,0*)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

(-6,-11)

( 6,-2)

(-3,-10)

( 0,-9)

( 2,-6)

(11, 9)

(10, 6)

( 9, 3)

( 8, 0)

( 4,-4)( 0, 0)

(12,12)

(-9,-11,0*)

(0*,0*)

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

31

第三步驟 :考慮贖回條款及計算債劵現值

－定義 B(i,j,a) 代表節點 (i,j) 之票面利率為 的情況下， 於 時的債劵現值

－情況一 . a 不等於 0*

情況二 . a 等於 0*

i

0 k kk=1

C + (S -α )+aΔR(i+1)Δt

32

( 1,-5)

( 4,-4)

(-2,-5,0*)

(0*,0*)

( 0,-4,0*)

( 7,-2)

Node(3,1)

Node(4,3)

Node(4,1)

Node(4,2)

Node(4,0)

Node(4,-1)

3Δt 4Δt 5Δt

－節點 (3,1) 於時點 共有 B(3,1,0) 、 B(3,1,-1) 、 B(3,1,-2) 、 B(3,1,-3) 、 B(3,1,-4) 、 B(3,1,0*) 共六種可能的債劵現值

－ 1.a=-4

2.a=0*

4Δt

33

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

0*

0*

-5

-4

-3

節點(3,1)

節點(4,3)

節點(4,2)

節點(4,1)

節點(4,0)

節點(4,-1)

p1

p2

p3

p4

p5

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

：

-5

1

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

：

-5

1

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

：

-5

1

：

-5

1

4

：

-4

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

• 第一種情況： a不等於 0*

－ 為債劵到期日5Δt

14

24

34

44

1B(3,1,-4)=min(p *(B(4,3,0*)+F)*

1+(α +3*ΔR)

1 +p *(B(4,2,0*)+F)*

1+(α +2*ΔR)

1 +p *(B(4,1,-5)+F)*

1+(α +1*ΔR)

1 +p *(B(4,0,-4)+F)*

1+(α +0*ΔR)

54

3

0 k kk=1

1 +p *(B(4,-1,-3)+F)* ,F)

1+(α -ΔR)

+(C + (S -α )-4ΔR)*F

34

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

0*

0*

-5

-4

-3

節點(3,1)

節點(4,3)

節點(4,2)

節點(4,1)

節點(4,0)

節點(4,-1)

p1

p2

p3

p4

p5

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

：

-5

1

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

：

-5

1

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

：

-5

1

：

-5

1

4

：

-4

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

• 第一種情況： a不等於 0*

－ 不為債劵到期日5Δt

14

24

34

44

1B(3,1,-4)=min(p *B(4,3,0*)*

1+(α +3*ΔR)

1 +p *B(4,2,0*)*

1+(α +2*ΔR)

1 +p *B(4,1,-5)*

1+(α +1*ΔR)

1 +p *B(4,0,-4)*

1+(α +0*ΔR)

54

3

0 k kk=1

1 +p *B(4,-1,-3)* ,F)

1+(α -ΔR)

+(C + (S -α )-4ΔR)*F

35

• 第二種情況： a等於 0*－在 時，重設票面利率為零

→ 在 時，重設利率分別為

3Δt

4Δt

4 4max(0+S -(α +2ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +0*ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +2ΔR) , 0)=0

4 4max(0+S -(α +ΔR) , 0)=0.003537

4 4max(0+S -(α +0*ΔR) , 0)=0.004372

→假設4 4max(0+S -(α -ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +3ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +3ΔR) , 0)=0

4 4max(0+S -(α -ΔR) , 0)=0.005207

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

36

• 第二種情況： a等於 0*－轉換形式

→ 將 0.3537% 轉換成

的形式→ A=-4.5371

→ 將 0.4372% 轉換成

的形式→ B=-3.4368

→將 0.5207% 轉換成 的形式→ C=-2.3547

4 4max(0+S -(α +ΔR) , 0)=0.003537

4 4max(0+S -(α +0*ΔR) , 0)=0.004372

4

0 k kk=1

C + (S -α )+AΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )+BΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )+CΔR

4 4max(0+S -(α -ΔR) , 0)=0.005207

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

37

－使用線性內插法求算 B(4,1, -4.5371) 、 B(4,0, -3.4368)

以及 B(4,-1, -2.3547)

B( 4, 1,-4)

B( 4, 1,-5)

B( 4, 1,-4.5371)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-4ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-5ΔR

0.3537%

B( 4, 1,-4)

B( 4, 1,-5)

B( 4, 1,-4.5371)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-4ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-5ΔR

0.3537%

B( 4, 0,-3)

B( 4, 0,-4)

B( 4, 0,-3.4368)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-3ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-4ΔR

0.4372%

B( 4, 0,-3)

B( 4, 0,-4)

B( 4, 0,-3.4368)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-3ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-4ΔR

0.4372%

4

0 k k4 4k=1

0 k k 0 k kk=1 k=1

B(4,1,-4)-B(4,1,-5)B(4,1,-4.5371)= *(0.3537%-(C + (S -α )-5ΔR))+B(4,1,-5)

(C + (S -α )-4ΔR)-(C + (S -α )-5ΔR)

38

評價雪球型債劵1

4

24

34

44

1B(3,1,0*)=min(p *B(4,3,0*)*

1+(α +3*ΔR)

1 +p *B(4,2,0*)*

1+(α +2*ΔR)

1 +p *B(4,1,-4.5371)*

1+(α +1*ΔR)

1 +p *B(4,0,-3.4368)*

1+(α +0*ΔR)

54

1 +p *B(4,-1,-2.3547)* ,F)

1+(α -ΔR)

39

結論與建議• 針對雪球型債劵高度路徑相依的債息問題以及贖回條款，提供了一個創新的數值方法，搭配 Hull-White 模型以及樹狀結構法，再應用 Quadrature methods ，將 Hull-White三元樹延伸至多元樹，減少分配誤差對價格的影響

40

我的改良方法• 若不要取高斯 ,

則K 為非整數 ,

調整 項使其為整數即可避免線性內插法所造成的誤差

使其為 的整數倍數R

h , Rh )-(SC1-i

1kkk0

i

0 k kk=1

i

C + (S -α )K =

ΔR

41

如何選擇 h ?舉例於時間 i=1,令 h= 取最接近的整數 ,

則將原本的 調整為

h , Rh )-(SC1-i

1kkk0

Rh-SC 110

R

-SC 110

1 RhSC 101

42

P1P2

P3

P5

P4

R 21

R1

1

R1

R 21

)54321(1

154321

08*5*4*28*1)(

)(4*5*4*24*1)(

2*5*4*22*1)(

543212

33333

2222222

12 rrrrrrr ePePePePePee

PPPPP

RPRPRPRPRE

tRajtRPRPRPRPRE

tRajRPRPRPRPRE

MM

最大問題所在 :

Fit 期間結構

解出各個節點每個機率

43

Thanks for your listening

44

Cap is a portfolio of interest rate options of caplet

_max( ,0)k R capCaplet L k r K

1 1 _ 2(0, )[ ( ) ( )]k k R capL kP t F N d K N d 2

_1 2 1

ln[ / ] / 2 k R cap k k

k k

k k

F K td d d t

t

•Caplet present value by Black’s equation

_

1

1

: Total life of cap

: Cap rate

: Period time,

: Principal

: Interest rate for period between time and

: Forward rate for pe

r

R cap

k k

k k k

t

T

K

k k t t

L

r t t

F

1riod between time and k kt t

45

Cap is a portfolio of bond options

• Interest rate cap could be characterized as a portfolio of put options on zero-coupon bond.

• Caplet as a put options on zero-coupon bond:

• put option by Hull-White model :

1

1 k

Sr k

_(1 ) max( ,0)R cap capK k K S

_

1

1capR cap

KK k

(0, ) ( ) (0, ) ( )pKP T N h LP s N h

1 (0, )ln

(0, ) 2p

p

LP sh

KP T

2( ) 1

[1 ]2

aTa s T

p

ee

a a