1

Pricing Snowball Notes with Hull-White Model

and Quadrature Methods

結合 Hull-White 模型與求面積法評價雪球型債劵研究生 :王志勛

指導教授 : 鍾惠民 博士 戴天時 博士

2

大綱• 簡介雪球型債劵契約• 研究方法• 評價雪球型債劵 －第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息 －第二步驟：考慮票面利率不得低於 0%

－第三步驟：計算債劵現值及考慮贖回條款• 實證分析與敏感度分析• 結論

3

簡介雪球型債劵契約

利差(Spread)

時間

浮動利率

重設票面利率

1c 2c n-3c n-1c + Fn-2c0c

1s 2s 3s n-2s n-1s

1t n-1tn-2t nt3t2t

1r 2r 3r n-2r n-1r nr

给付票面利率

0

0c 1c 2c n-2c n-1c

利差(Spread)

時間

浮動利率

重設票面利率

1c 2c n-3c n-1c + Fn-2c0c

1s 2s 3s n-2s n-1s

1t n-1tn-2t nt3t2t

1r 2r 3r n-2r n-1r nr

给付票面利率

0

0c 1c 2c n-2c n-1c

+i i-1 i iC =(C +S -r ) , i=1,2,...,n-1→

4

簡介雪球型債劵契約•結構型商品•當期票面利率與前一期票面利率相關•票面利率不得低於 0%•反浮動•延遲給付•贖回條款 → 採用樹狀結構法與 Hull-White 利率模型

5

研究方法• Hull-White 利率模型：

－ 為使模型符合期初期間結構的時間函數 － Mean reversion property

• Hull 和 White(1994) 提出兩階段法： － 1. 建構平行樹 : － 2. 加入利率調整項：

dr=(θ(t)-ar)dt+σdzθ(t)

* *dR =-aR dt+σdz*α(t)=R(t)-R (t)

6

研究方法

α(2)-ΔR

α(2)-2ΔR

α(2)+ΔR

α(0)

α(1)+ΔR

α(1)-ΔR

α(1)α(2)

α(2)+2ΔR

(0,0)節點(1,-1)節點

(1,0)節點

(1,1)節點

(2,-1)節點

(2,-2)節點

(2,1)節點

(2,0)節點

(2,2)節點

7

研究方法• ㄟ － 分配誤差

•應用 Quadrature methods 建構多元樹 － k 為正整數

－

* 2ΔR ~N(-a(jΔR)Δt , σ Δt)

* * * *i,j,max i,j i,jR =R +q =R +5σ Δt

* * * *i,j,min i,j i,jR =R -q =R -5σ Δt

* *i,j,max i,j+

i,j

R -Rn =[ ]

ΔR

* *i,j,min i,j-

i,j

R -Rn =[ ]

ΔR

ΔR= Δt/k

8

研究方法*i,j,maxR

*i,jR

*i,j,minR

R

5σ Δt

ΔtΔt

*i,jR

R

ΔtΔt

R

* +i,j i,jR +n ΔR

* -i,j i,jR +n ΔR

→

9

研究方法

*0,0R =0

+0,0n ΔR

-0,0n ΔR

+0,0

-

1,n-n ΔR

+0,0

+

1,nn ΔR

1p

2p

np

-0,0

-

1,n-n ΔR

*0,0R =0

+0,0n ΔR

-0,0n ΔR

+0,0

-

1,n-n ΔR

+0,0

+

1,nn ΔR

1p

2p

np

-0,0

-

1,n-n ΔR

10

研究方法•應用 Quadrature methods 建構多元樹 － 利用 Simpson‘s rule 求算 1 2 np ,p ,...,p

+i,j

+i,j

(n +0.5)ΔR

*1

(n -0.5)ΔR

+ + +i,j i,j i,j

p F(ΔR )

ΔR[f((n +0.5)ΔR)+4f(n ΔR)+f((n -0.5)ΔR)]

6

+i,j

+i,j

(n -0.5)ΔR

*2

(n -1.5)ΔR

p F(ΔR )

-i,j

-i,j

(n +0.5)ΔR

*n

(n -0.5)ΔR

p F(ΔR )

11

評價雪球型債劵•第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息

•第二步驟：考慮票面利率不得低於 0%

•第三步驟：考慮贖回條款及計算債劵現值

12

評價雪球型債劵•第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息 －未考慮票面利率下限 0%

i i-1 i i

i-2 i-1 i-1 i i

i-3 i-2 i-2 i-1 i-1 i i

i i

0 k kk=1 k=1

i i

0 k k kk=1 k=1

i i

0 k k kk=1 k=1

C = (C +S -r )

= ((C +S -r )+S -r )

= (((C +S -r )+S -r )+S -r )

=C + S - r

=C + S - (α +f ΔR)

=C + (S -α )- f ΔR

13

評價雪球型債劵－定義 節點 (i,j) 的父節點 (Parents) 節點 (i,j) 的子節點 (Children) (M,m) : : 節點 (i,j) 所有可能票面利率的集合

i,jC

i

kk=1

- f M , m 的最大值為 最小值為

i i

0 k k 0 k kk=1 k=1

(C + (S -α )+MΔR , C + (S -α )+mΔR)

14

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

Node( 0, 0)

Node( 1,-2)

Node( 1,-1)

Node( 1, 2)

Node( 1, 1)

Node( 1, 0)

Node( 2, 1)

Node( 2, 0)

Node( 2, 2)

Node( 2, 3)

Node( 2, 4)

Node( 2, 1)

Node( 2, 0)

Node( 2, 2)

Node( 2, 3)

Node( 2, 4)

Node( 3, 1)

Node( 3, 0)

Node( 3, 2)

Node( 3, 3)

Node( 3, 4)

Node( 3, 1)

Node( 3, 0)

Node( 3, 2)

Node( 3, 3)

Node( 3, 4)

Node( 3,-4)

Node( 3,-5)

Node( 3,-3)

Node( 3,-2)

Node( 3,-1)

Node( 3,-4)

Node( 3,-5)

Node( 3,-3)

Node( 3,-2)

Node( 3,-1)

Node( 2,-4)

Node( 2,-3)

Node( 2,-2)

Node( 2,-1)

Node( 3, 5)

Node( 3, 6)

Node( 3,-6)

A

I

F

E

D

C

B

J

H

G

－假設 已知，到達節點 (3,1) 的其中一條路徑為節點 (0,0) 至節點 (1,1) 至節點(2,0) 至節點 (3,1)

→

→

評價雪球型債劵

0 1 2 3 1 2 3C ,S ,S ,S ,α ,α ,α

3

k 1 2 3k=1

f ΔR=(f +f +f )ΔR=(1+0+1)ΔR=2ΔR3 3 3

0 k k k 0 k kk=1 k=1 k=1

C + (S -α )- f ΔR C + (S -α )-2ΔR

15

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

評價雪球型債劵

( 0, 0)

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( -6,-6)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( -6,-6)

( 2,-6)

( 4,-4)

( 0,-8)

(-3,-9)

(-6,-10)

( 2,-6)

( 4,-4)

( 0,-8)

(-3,-9)

(-6,-10)

(10, 6)

(11, 9)

( 9, 3)

( 8, 0)

( 6,-2)

(10, 6)

(11, 9)

( 9, 3)

( 8, 0)

( 6,-2)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

(-9,-11)

(-12,-12)

(12,12)

A

I

F

E

D

C

B

J

H

G

3 3

2,1 0 k k 0 k kk=1 k=1

C ={ C + (S -α )+0*ΔR,C + (S -α )-1*ΔR 3

0 k kk=1

,C + (S -α )-2*ΔR3

0 k kk=1

,C + (S -α )-3*ΔR }

16

評價雪球型債劵• 第二步驟：考慮票面利率不得低於 0% －在 時，存在一個整數 為 (M,m) 的下限 → →

iΔt iKi

i 0 k k ik=1

K C + (S -α )+K ΔR 0為滿足 的最小整數

i

0 k kk=1

i

C + (S -α )K =

ΔR

17

評價雪球型債劵－情況一： M,m 皆大於等於 → 此節點的 (M,m) 不變，共 M-m+1 種債息

－情況二： (M,m) 中有部份小於 → 此節點的 (M,m) 變成 (M,Ki,0*) ，共 M-Ki+2 種債息

－情況三： (M,m) 皆小於 → 此節點的 (M,m) 變成 (0*,0*) ，只有 1 種債息

iK

iK

iK

18

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

Δt 2Δt 3Δt

評價雪球型債劵

( 0, 0)

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( -6,-6)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

－假設 已知， 0 1 11

C +S -αK = - 2

ΔR

0 1 2 1 22

C +S +S -α -αK = - 5

ΔR

0 1 2 3 1 2 33

C +S +S +S -α -α -αK = - 11

ΔR

0 1 2 3 1 2 3C ,S ,S ,S ,α ,α ,α ,ΔR

19

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

評價雪球型債劵

( 0, 0)

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( 0*,0*)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

－節點 (3,6) 重設的票面利率為

→

→

3 30+S -(α +6ΔR)3

3 3 0 k k 3,6k=1

0+S -(α +6ΔR)=C + (S -α )+ ΔR0 1 2 1 2

3,6

C +(S +S -α -α )+6ΔRδ = - 13

ΔR

20

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

評價雪球型債劵

( 0, 0)

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( 0*,0*)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

－節點 (3,5) 重設的票面利率為

→

→

→

3 30+S -(α +5ΔR)3

3 3 0 k k 3,5k=1

0+S -(α +5ΔR)=C + (S -α )+ ΔR0 1 2 1 2

3,5

C +(S +S -α -α )+5ΔRδ = - 12

ΔR

3,4 3,3 3,2δ =-11,δ =-10,δ =-9

21

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

評價雪球型債劵

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( 0*,0*)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

(-9,-12)

(-6,-11)

( 6,-2)

(-3,-10)

( 0,-9)

( 2,-6)

(11, 9)

(10, 6)

( 9, 3)

( 8, 0)

( 4,-4)

(12,12)

(-13,-13)

( 0, 0)

－ 0 1 2 3 1 2 33

C +S +S +S -α -α -αK = - 11

ΔR

22

評價雪球型債劵

( 2, 2)

( 1, 1)

(-2,-2)

(-1,-1)

( 0, 0)

( 0,-3)

( 2, -2)

(-2,-4)

(-4,-5)

( 0*,0*)

( 6, 6)

( 5, 4)

( 4, 2)

( 3, 0)

(-6,-11)

( 6,-2)

(-3,-10)

( 0,-9)

( 2,-6)

(11, 9)

(10, 6)

( 9, 3)

( 8, 0)

( 4,-4)( 0, 0)

(12,12)

(-9,-11,0*)

(0*,0*)

0

-1

1

3

2

5

4

-3

-2

6

-6

-5

-4

0 Δt 2Δt 3Δt

23

評價雪球型債劵• 第三步驟：計算債劵現值及考慮贖回條款 －定義 B(i,j,a) 代表節點 (i,j) 之票面利率為 的情況下，於 時的債劵現值

－ 1.a 不等於 0*

2.a 等於 0*

i

0 k kk=1

C + (S -α )+aΔR(i+1)Δt

24

( 1,-5)

( 4,-4)

(-2,-5,0*)

(0*,0*)

( 0,-4,0*)

( 7,-2)

Node(3,1)

Node(4,3)

Node(4,1)

Node(4,2)

Node(4,0)

Node(4,-1)

3Δt 4Δt 5Δt

評價雪球型債劵

－節點 (3,1) 於時點 共有 B(3,1,0) 、 B(3,1,-1) 、 B(3,1,-2) 、 B(3,1,-3) 、 B(3,1,-4) 、 B(3,1,0*)共六種可能的債劵現值

－ 1.a=-4

2.a=0*

4Δt

25

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

0*

0*

-5

-4

-3

節點(3,1)

節點(4,3)

節點(4,2)

節點(4,1)

節點(4,0)

節點(4,-1)

p1

p2

p3

p4

p5

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

：

-5

1

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

：

-5

1

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

：

-5

1

：

-5

1

4

：

-4

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

• 第一種情況： a不等於 0*

－ 為債劵到期日5Δt

14

24

34

44

1B(3,1,-4)=min(p *(B(4,3,0*)+F)*

1+(α +3*ΔR)

1 +p *(B(4,2,0*)+F)*

1+(α +2*ΔR)

1 +p *(B(4,1,-5)+F)*

1+(α +1*ΔR)

1 +p *(B(4,0,-4)+F)*

1+(α +0*ΔR)

54

3

0 k kk=1

1 +p *(B(4,-1,-3)+F)* ,F)

1+(α -ΔR)

+(C + (S -α )-4ΔR)*F

26

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

0*

0*

-5

-4

-3

節點(3,1)

節點(4,3)

節點(4,2)

節點(4,1)

節點(4,0)

節點(4,-1)

p1

p2

p3

p4

p5

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

：

-5

1

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

：

-5

1

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

：

-5

1

：

-5

1

4

：

-4

4

：

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

：

0*

-2

：

0*

-2

：

-3

7

節點(4,1)

節點(4,3)

-2

• 第一種情況： a不等於 0*

－ 不為債劵到期日5Δt

14

24

34

44

1B(3,1,-4)=min(p *B(4,3,0*)*

1+(α +3*ΔR)

1 +p *B(4,2,0*)*

1+(α +2*ΔR)

1 +p *B(4,1,-5)*

1+(α +1*ΔR)

1 +p *B(4,0,-4)*

1+(α +0*ΔR)

54

3

0 k kk=1

1 +p *B(4,-1,-3)* ,F)

1+(α -ΔR)

+(C + (S -α )-4ΔR)*F

27

• 第二種情況： a等於 0*－在 時，重設票面利率為零

→ 在 時，重設利率分別為

3Δt

4Δt

4 4max(0+S -(α +2ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +0*ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +2ΔR) , 0)=0

4 4max(0+S -(α +ΔR) , 0)=0.003537

4 4max(0+S -(α +0*ΔR) , 0)=0.004372

→假設4 4max(0+S -(α -ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +3ΔR) , 0)

4 4max(0+S -(α +3ΔR) , 0)=0

4 4max(0+S -(α -ΔR) , 0)=0.005207

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

28

• 第二種情況： a等於 0*－轉換形式

→ 將 0.3537% 轉換成

的形式→ A=-4.5371

→ 將 0.4372% 轉換成

的形式→ B=-3.4368

→將 0.5207% 轉換成 的形式→ C=-2.3547

4 4max(0+S -(α +ΔR) , 0)=0.003537

4 4max(0+S -(α +0*ΔR) , 0)=0.004372

4

0 k kk=1

C + (S -α )+AΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )+BΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )+CΔR

4 4max(0+S -(α -ΔR) , 0)=0.005207

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t0 Δ t 2Δ t 5Δ t4Δ t3Δ t

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

-4

-5

-3

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

-2

-3

0

0*

-1

-4

節點(3,1)

節點(4,0)

節點(4,2)

節點(4,-1)

p2

p1

p3

p5

p4

0*

-2

節點(4,1)

節點(4,3)

-3

0*

29

評價雪球型債劵－使用線性內插法求算 B(4,1, -4.5371) 、 B(4,0, -3.4368)

以及 B(4,-1, -2.3547)

→

B( 4, 1,-4)

B( 4, 1,-5)

B( 4, 1,-4.5371)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-4ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-5ΔR

0.3537%

B( 4, 1,-4)

B( 4, 1,-5)

B( 4, 1,-4.5371)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-4ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-5ΔR

0.3537%

B( 4, 0,-3)

B( 4, 0,-4)

B( 4, 0,-3.4368)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-3ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-4ΔR

0.4372%

B( 4, 0,-3)

B( 4, 0,-4)

B( 4, 0,-3.4368)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-3ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-4ΔR

0.4372%

4

0 k k4 4k=1

0 k k 0 k kk=1 k=1

B(4,1,-4)-B(4,1,-5)B(4,1,-4.5371)= *(0.3537%-(C + (S -α )-5ΔR))+B(4,1,-5)

(C + (S -α )-4ΔR)-(C + (S -α )-5ΔR)

B( 4, -1,-2)

B( 4,-1,-3)

B( 4,-1,-2.3547)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-2ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-3ΔR

0.5207%

B( 4, -1,-2)

B( 4,-1,-3)

B( 4,-1,-2.3547)

債劵現值票面利率4

0 k kk=1

C + (S -α )-2ΔR

4

0 k kk=1

C + (S -α )-3ΔR

0.5207%

30

評價雪球型債劵1

4

24

34

44

1B(3,1,0*)=min(p *B(4,3,0*)*

1+(α +3*ΔR)

1 +p *B(4,2,0*)*

1+(α +2*ΔR)

1 +p *B(4,1,-4.5371)*

1+(α +1*ΔR)

1 +p *B(4,0,-3.4368)*

1+(α +0*ΔR)

54

1 +p *B(4,-1,-2.3547)* ,F)

1+(α -ΔR)

31

實證分析與敏感度分析• 合約簡介 －發行機構：永豐銀行 －發行期間：10年 －發行價格：面額新台幣壹仟萬元 －計、付息方式 : 每季重設並單利付息一次，且不得 低於 0%和延遲一期給付 －贖回條款：發行機構得於第三年起以票面金額 贖回 －浮動利率： 90 天商業本票次級市場報價

32

實證分析與敏感度分析－票面利率： 第一年： 第二年： 第三年： 第四年： 第五年： 第六年： 第七年： 第八年： 第九年： 第十年：

iC =3% , i=0,1,2,3+

i i-1 iC =(C +1.40%-r ) , i=4,5,6,7

+i i-1 iC =(C +1.65%-r ) , i=8,9,10,11

+i i-1 iC =(C +1.90%-r ) , i=12,13,14,15

+i i-1 iC =(C +2.15%-r ) , i=16,17,18,19

+i i-1 iC =(C +2.40%-r ) , i=20,21,22,23

+i i-1 iC =(C +2.65%-r ) , i=24,25,26,27

+i i-1 iC =(C +2.90%-r ) , i=28,29,30,31

+i i-1 iC =(C +3.15%-r ) , i=32,33,34,35

+i i-1 iC =(C +3.40%-r ) , i=36,37,38,39

33

實證分析與敏感度分析• 建構零息利率曲線→利率調整項 *α(t)=R(t)-R (t)

期限 (年 ) 零息利率 期限 (年 ) 零息利率 期限 (年 ) 零息利率 期限 (年 ) 零息利率

0.25 1.5160% 2.75 1.9420% 5.25 2.1466% 7.75 2.3572%

0.5 1.5900% 3 1.9678% 5.5 2.1691% 8 2.3744%

0.75 1.6505% 3.25 1.9898% 5.75 2.1918% 8.25 2.3917%

1 1.7115% 3.5 2.0118% 6 2.2145% 8.5 2.4090%

1.25 1.7497% 3.75 2.0339% 6.25 2.2372% 8.75 2.4264%

1.5 1.7880% 4 2.0561% 6.5 2.2601% 9 2.4439%

1.75 1.8264% 4.25 2.0730% 6.75 2.2830% 9.25 2.4614%

2 1.8649% 4.5 2.0900% 7 2.3059% 9.5 2.4790%

2.25 1.8905% 4.75 2.1070% 7.25 2.3230% 9.75 2.4966%

2.5 1.9162% 5 2.1241% 7.5 2.3401% 10 2.5143%

34

實證分析與敏感度分析• 校正 Hull-White 模型參數 (a 、 σ)

－利用市場 caps 報價 →caps 可視為一組 caplets 的投資組合 L ：本金 ：上限水準 ：介於 到 之間，在時間 觀察到的利率水準 (k=1,2…,n)

caplets 會於時間 支付 的報酬 假設 服從指數常態分配， caplets 於時間零的價值為

kt

capK

kr kt k+1t

k k capLδ max(r -k ,0)

k k+1 k 1 cap 2Lδ P(0,t )[F N(d )-K N(d )]2

k cap k k1

k k

ln[F /K ]+σ t /2d =

σ t2

k cap k k2 1 k k

k k

ln[F /K ]-σ t /2d = =d -σ t

σ t

k+1t

kr

35

實證分析與敏感度分析→caps 可視為一組以零息債劵為標的的歐式賣權之投資組合

36

實證分析與敏感度分析→ 利用 Hull-White模型評價零息債劵歐式選擇權

→賣權在時間零的價值為 時間 0 T

賣權到期

s

債劵到期

時間 0 T

賣權到期

s

債劵到期

pLP(0,T)N(-h+σ )-LP(0,s)N(-h)

-2aT-a(s-T)

p

p

p

σ 1-eσ = [1-e ]

a 2aσ1 LP(0,s)

h= ln +σ P(0,T)K 2

37

實證分析與敏感度分析• 校正 Hull-White模型參數 (a、 σ)

→

其中 為 Black’s 模型 算出的市場 caps 價格， 為 Hull-White 模型算出的 caps 價格 → 最小 SSE 為 7.80133E-005 ，得 (a 、 σ)=(0.014485,0.004596)

4 n2

ki kia, a,k=1 i=1

min SSE= min (U -V )

kiU

kiV

38

實證分析與敏感度分析• 附有贖回條款的雪球型債劵價格為 88.1891 元

• 不含贖回條款的價格為 116.566 元

• 可贖回條款的價值為 28.3769(116.566-88.1891)

• 發行機構的報酬率為 13.3927((100-88.1891)/88.1891)

39

實證分析與敏感度分析• 敏感度分析• ( 一 ) 波動度對雪球型債劵價格的影響

callable snowball price v.s. volatility

82

84

86

88

90

92

94

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

volatility

pric

e

a=0.15

a=0.2

a=0.3

noncallable snowball price v.s. volatility

80

100

120

140

160

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

volatility

pric

e a=0.15

a=0.2

a=0.3

40

實證分析與敏感度分析• ( 二 ) 利率回歸速度 a對雪球型債劵價格的影響

calllable snowball price v.s. a

88

90

92

94

96

98

0.175 0.225 0.275 0.325 0.375 0.425 0.475

a

pric

e volatility=0.005

volatility=0.01

volatility=0.02

noncallable snowball price v.s. a

0

50

100

150

200

250

0.175 0.225 0.275 0.325 0.375 0.425 0.475

a

pric

e volatility=0.005

volatility=0.01

volatility=0.02

41

實證分析與敏感度分析• ( 三 ) 零息利率對雪球型債劵價格的影響

Snowball price v.s. zero rate with volatility=0.004596 a=0.014485，

0

50

100

150

200

250

-150 -100 -50 0 50 100 150

bp

pric

e callable

noncallable

42

實證分析與敏感度分析• ( 四 ) 贖回期間對雪球型債劵價格的影響

Snowball price v.s. callable time

0

50

100

150

0 2 4 6 8 10 12

year

pric

e callable

noncallable

43

結論與建議• 針對雪球型債劵高度路徑相依的債息問題以及贖回條款，提供了一個創新的數值方法，搭配 Hull-White 模型以及樹狀結構法，再應用 Quadrature methods ，將 Hull-White三元樹延伸至多元樹，減少分配誤差對價格的影響

• 計算非整數點的債劵現值

• 使用不同的利率模型

44

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45

Snowball upper bound+

1 0 1 1 0 1 1

+ + +2 0 1 1 2 2 0 1 2 1 2 3

1 0 1 2 1 21 2

0 1 2 1 21 2

0 1 2 1 2

1 2

C =(C +S -r ) =C +S -r

C =((C +S -r ) +S -r ) =(C +S +S -r -r ) t

δt max(C +S +S -r -r ,0)

(1+r δ)(1+r δ)

δmax(C +S +S -r -r ,0)

(1+r δ)(1+r δ)

δC +δS +δS -δr -δr=max( ,0)

(1+r δ)(1+r δ)

δ(=max(

於 支付

於 的價值為

2 20 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

20 1 2 1 2

1 2

C +S +S )+1+δ r r -(1+δr +δr +δ r r ),0)

(1+r δ)(1+r δ)

δ(C +S +S )+1+δ r r=max( -1,0)

(1+r δ)(1+r δ)

46

Snowball upper bound

→ 可視為以零息債劵為標的物的歐式買權，買權於 t1到期，零息債劵於 t3支付 $1

2i i+1

0 1 2 1 21 2

0 1 2

1 2

0 1 21 2 0 1 2

0 11 2

δ r r 0 as δ 0

δmax(C +S +S -r -r ,0)

(1+r δ)(1+r δ)

δ(C +S +S )+1=max( -1,0)

(1+r δ)(1+r δ)

1 1=(δ(C +S +S )+1)max( - ,0)

(1+r δ)(1+r δ) (δ(C +S +S )+1)

1 1=kmax( - ,0) where k=δ(C +S +S

(1+r δ)(1+r δ) k

2 )+1

47

Snowball upper bound

1 1 3

21 3 3 1

3 1

3 1

+ + + +3 0 1 2 1 2 3 3 0 1 2 1 2 3 3

Black's model on bond option

1c=kP(0,t )[P(t ,t )N(d1)- N(d2)]

kwhere

ln(P(t ,t )/(1/k))+σ (t -t )/2 d1=

σ (t -t )

d2=d1-σ (t -t )

C =((C +S +S -r -r ) +S -r ) (C +S +S -r -r ) +(S -r )

C

+ + +

4 0 1 2 1 2 3 3 4 4

+ + +0 1 2 1 2 3 3 4 4

=(((C +S +S -r -r ) +S -r ) +S -r )

(C +S +S -r -r ) +(S -r ) +(S -r )

5 ,snowball upper bound 98.272

當可贖回條款的閉鎖期為 年時 為 元