Úlohy ke cvičení z teoretické mechanikyKEF/TMN a KEF/TMN1 (AF, BCHF, NAN, OFMF II a OP II), KEF/TMU (F-X, X-F III), 2 hodiny týdně

1. Kinematika hmotného bodu1.1 Na základě vektorových rovnic určete trajektorii hmotného bodu pro následující případya) r = te x +

(2t− t2

)e y ; b) r = 3 sin

(t3)

e y + 2 cos(t3)

e z ; c) r = a sin te x + 2a cos (2t)e y .

1.2 Pohyb hmotného bodu je zadán rovnicí x = pt + 12 cos(

pt6

). Určete hodnotu souřadnice x v čase t = 15 s a celkovou

dráhu, kterou těleso za prvních 15 s urazí.1.3 Pohyb bodu je v kartézských souřadnicích zadán rovnicemi

x = e2t cos(3t), y = e2t sin(3t), z = e2t.

Určete poloměr křivosti trajektorie.1.4 Jsou dány pohybové rovnice

x = a cosh(5t), y = b sinh(5t).Určete hodograf rychlosti.1.5 Určete rychlost a zrychlení částice, která se pohybuje po kružnici dané rovnicí x2 − 2bx + y2 = 0 s konstantní plošnourychlostí vs = K.

1.6 Určete, jaký tvar má polární hodograf rychlosti pro pohyba) rovnoměrný přímočarý;b) rovnoměrně zrychlený přímočarý;c) rovnoměrný pohyb po kružnici.1.7 Hmotný bod se pohybuje po parabole y2 = 2px tak, že parametrická rovnice ve směru osy y je y = kt. Určete rychlost,zrychlení a poloměr křivosti trajektorie.1.8 Paraboly svazku y = bx2, b ∈ R vyplňují celou rovinu xy. Zadáním b a x je možné určit libovolný bod, neboť těmtohodnotám odpovídá vždy právě jedno y. V souřadnicích q1 = x a q2 = b najděte Laméovy koeficienty, průměty rychlosti nasouřadnicové čáry q1 = konst. a q2 = konst. a také výraz T = 1

2v2.

1.9 Vyšetřete rovinné parabolické souřadnice, jejichž vztah ke kartézským souřadnicím x, y je dán vztahy

x = ±√ξη, y =

1

2(ξ − η) ; 0 ≦ ξ <∞, 0 ≦ η <∞.

1.10 Vyšetřete eliptické cylindrické souřadnice u, v, z, jejichž vztah ke kartézským souřadnicím je dán rovnicemi:

x = a coshu cos v, y = x = a sinhu sin v, z = z.

Najděte Laméovy koeficienty, souřadnicové čáry a rozhodněte, zda jsou tyto souřadnice ortogonální (Arfken a Weber, 2005).1.11 Dokažte, že pro polohový vektor r platí ∇rn = nrn−2r .1.12 Pro cykloidu o parametrických rovnicích x = a (θ − sin θ), y = a (1− cos θ), kde 0 < θ < 2p najděte tečný a normálovývektor (Gregory, 2006).1.13 Pohyb bodu M je určen rovnicemi x = a cos (ωt) a y = a sin (ωt). Určete trajektorii bodu M , jeho rychlost a zrychle-ní (Bajer, 2004a).1.14 Pod jakým úhlem je nutno vrhnout míč, aby dopadl co nejdále na nakloněnou rovinu se sklonem β (Bajer, 2004a)?

2. Dynamika hmotného bodu2.1 Kvádr o hmotnosti m je připevněn k pravému konci pružiny, jejíž druhý konec

0x

x

m

Obr. 2.1: K úloze č. 2.1

je upevněn ke svislé stěně. Na počátku nebyla pružina deformována a kvádru bylaudělena rychlost v0 (viz obr. 2.1). Najděte maximální výchylku kvádru, působí-lina něj síla pružnosti

Fx = −αx− βx3

kde x je prodloužení pružiny a α i β jsou kladné konstanty.2.2 Uvažujte těleso pohybující se vodorovně rychlostí v0 = 0, na něž začne působitsíla úměrná r-té mocnině rychlosti. Pro jaké r má těleso konečnou brzdnou dráhu?Jaká je tato brzdná dráha? Návod viz (Vybíral, 2002).2.3 Zjistěte trajektorii šikmého vrhu v odporujícím prostředí.a) Uvažujte odporovou sílu F o = −kmv , k > 0, najděte analytické vyjádření obecné rovnice trajektorie a ukažte, že pro

Typeset by X ELATEX 1 Poslední úpravy: 20. září 2018

malé k a t přechází v trajektorii šikmého vrhu v neodporujícím prostředí.b) Uvažujte odporovou sílu podle Newtonova vztahu F o = −CϱSvv /2 působící na střelu o hmotnosti m = 2,5 kg s koefi-cientem odporu C = 0,48 a poloměrem příčného průřezu R = 4 cm vystřelenou počáteční rychlostí v0 = 200 m·s−1. Pomocívhodného programu najděte numericky tvar trajektorie a porovnejte získanou balistickou křivku s analytickým řešenímuvedeným v (Trkal, 1956), s. 148. Návod viz (Holíková, 2006; Vybíral, 2002).2.4 Ze střechy výškové budovy pustíme malý míč směrem k zemi, jehož pohyb s odporem vzduchu je popsán rovnicí

mv = mg − cv2,

kde c > 0 je kladná konstanta. Ukažte, že míč dosáhne při pohybu maximální rychlosti vm =√mg/c a že poloha míče v

závislosti na čase je popsána rovnicíy =

v2mg

ln[cosh

(gt

vm

)].

Návod viz (Taylor, 2005).2.5 Na těleso nacházející se v klidu na hladké vodorovné desce začne ve směru osy x působit síla Fx = H sin kt, kde H a kjsou kladné konstanty. Najděte závislost x = x(t).2.6 Nezatížená pružina má délku l. Zavěsíme-li na ní závaží o hmotnosti m, ustálí se délka pružiny na hodnotě l + h. Nazavěšené závaží, které je v klidu, dopadne z výšky h stejné závaží a zůstane na něm. Sestavte pohybovou rovnici a řešte ji zadaných počátečních podmínek, pomocí výsledku určete frekvenci a amplitudu kmitů. Hmotnost pružiny a tlumení pohybuzanedbejte. Řešte nejprve obecně, potom pro hodnoty h = 0,05m a m = 0,1 kg. Návod viz (Kvasnica et al., 2004).2.7 Nelineární oscilátor má potenciální energii popsanou vztahem

U(x) =kx2

2− mλx3

3,

kde λ je malá konstanta. Najděte řešení pohybové rovnice s počáteční podmínkou x0 = 0 pro t = 0 (Yung-Kuo et al., 1994).

2.1 Pohyb v centrálním silovém poli2.8 Meteor se pohybuje ve vzdálenosti 2,2 au od Slunce rychlostí 12,5 km·s−1, jejíž směr svírá se směrem průvodiče úhel 55.Určete rozměry trajektorie a dobu oběhu. Návod viz (Šedivý a Volf, 2000).2.9 Chceme-li řešit závislost polohy na čase pro těleso pohybující po eliptické trajektorii v radiálním gravitačním poli, používáse tzv. Keplerova rovnice

Ψ− ε sinΨ− (GM)1/2

a−3/2t = 0,

kde M je hmotnost centrálního tělesa, a velikost hlavní poloosy, ε numerická excentricita a Ψ tzv. excentrická anomálie, prokterou platí (zvolíme-li počátek souřadnic v ohnisku elipsy)

x = a cosΨ− aε, y = a sinΨ.

Odvoďte Keplerovu rovnici a pomocí ní ukažte platnost 3.Keplerova zákona.b) Kometa Hale-Bopp objevená 23. 7. 1995 prolétla 1. 4. 1997 periheliem ve vzdálenosti 0,9141 au od Slunce. Hlavní poloosajejí trajektorie měří 187,8 au. V jaké vzdálenosti se nacházela v době objevení a jakou rychlostí se přitom pohybovala?Numerické výpočty proveďte pomocí vhodného počítačového programu, návod viz (Šedivý a Volf, 2000; Holíková, 2006).2.10 Kometa se pohybuje po parabolické trajektorii v gravitačním poli Slunce, jež můžeme považovat za nehybné, v periheliuje ve vzdálenosti 1/3 au od Slunce. Po jakou dobu bude kometa od Slunce vzdálena méně než 1 au (Greiner, 2004)?

2.2 Pohyb tělesa s proměnnou hmotností2.11 Německé rakety V2, jimiž Němci na konci 2. světové války ohrožovali Londýn, měly startovní hmotnost 13 000 kg, z tohohmotnost paliva byla 8 750 kg a palivo se spalovalo rychlostí α = 120 kg·s−1. Rychlost spálených plynů byla asi 2 200 m·s−1.Vypočtěte, po jakou dobu rakety spalovaly palivo, jaké maximální rychlosti a maximální výšky dosáhly. Návod viz (Greiner,2004).2.12 (Buquoyova úloha) Jedním z prvních, kdo sestavoval a řešil úlohy na pohyb soustav s proměnnou hmotností byl českýšlechtic Jiří František August Buquoy (1781–1851). Jako první ve své knize uvádí následující:Na vodorovné podložce leží smotané dokonale ohebné vlákno, na jehož jeden konce působí svisle vzhůru konstantní síla.Sestavte a vyřešte pohybovou rovnici pro tento konec vlákna (Šíma a Podolský, 2006).2.13 Prachová částice zanedbatelné hmotnosti padá v homogenním tíhovém poli skrz oblast nasycenou vodními parami.Páry na částici kondenzují tak, že hmotnost vznikající kapky vzroste na každém uraženém centimetru o λ gramů. Najdětezávislost uražené dráhy a rychlosti kapky na čase (Greiner, 2004).

2

3. Diferenciální principy mechaniky, Lagrangeovy rovnice3.1 Z drátu je vyroben rám tvaru pravoúhlého postavený svisle (obr. 3.1). Po rámu bez tření kloužou dvě závaží spojenánití o hmotnostech m1 = 100 g a m2 = 300 g. Zjistěte napětí niti a úhel α ve stavu rovnováhy.3.2 V jaké poloze se ustálí slánka délky 2l ve skleničce tvaru duté polokoule o poloměru r? Tření zanedbejte. Výsledekzískaný pomocí principu virtuální práce ověřte použitím momentové věty. Návod viz (Берeзкин, 1974).3.3 Stanovte podmínku rovnováhy tuhé lomené dvojzvratné páky Páka je zatížena tíhovými silami

m1 m2α

30

.

Obr. 3.1: K úloze 3.1

A B60 60

C

K LD

Obr. 3.2: K úloze 3.5

m2

m4m3

m1

O

y

Obr. 3.3: K úloze 3.6

G 1 a G 2 na svých koncích. Návod viz (Brdička a Hladík, 1987).3.4 Homogenní tyč délky 2l se opírá jedním koncem A o hladkou svislou stěnu, druhý konec B jepomocí pevné niti vázán k bodu O. Body A, B, O leží v jedné rovině kolmé na stěnu, vzdálenostbodu O od stěny je a. Najděte rovnovážnou polohu tyče. Návod viz (Brdička a Hladík, 1987).3.5 Žebřík na obr. 3.2 se skládá ze dvou tyčí AC a CB spojených kloubem v bodě C. Hmotnost každéz tyčí jem. V boděD stojí člověk o hmotnostim1. Určete reakci v boděB, je-li |AC| = |CB| = 4|CD|,∠CAB = ∠CBA = 60o.3.6 (d’Alembertův princip:) Na soustavě pevné a pohyblivé kladky jsou zavěšena břemena o hmot-nostech m2,m3,m4 podle obr. 3.3. Hmotnost pohyblivé kladky je m1. Hmotnost vláken neuvažujte.Vypočtěte zrychlení zavěšených břemen a osy pohyblivé kladky v tíhovém poli.3.7 Kroužek o hmotnosti m klouže po drátu ve tvaru spirály působením tíhové síly. Pomocí Lagran-geových rovnic 1. druhu najděte pohybové rovnice a určete reakci drátu jako funkci času. Šrouboviceje dána průsečíkem dvou ploch x = a cos kz, y = a sin kz. Tíhové pole má směr osy z.3.8 Sestavte pohybové rovnice částice o hmotnosti m klouzající bez tření v homogenním tíhovémpoli po kulové ploše. Zjistěte, v jaké výšce se taková částice od kulové plochy odlepí.3.9 Je dána soustava dvou stejných matematických kyvadel spřažených pružinou tuhosti k (zanedba-telné hmotnosti). Sestavte Lagrangeovu funkci charakteristickou rovnici a vypočtěte vlastní úhlovéfrekvence malých kmitů kyvadel. Obecné řešení pohybových rovnic modelujte pro zvolené počátečnípodmínky pomocí vhodného počítačového programu, zaměřte se na případ vzájemného předáváníenergie mezi kyvadly.3.10 Dvě koule o hmotnostech m a M jsou spojeny pevným, neroztažitelným lanem délky d, jehožhmotnost je zanedbatelná, prostrčeným malým otvorem uprostřed vodorovné roviny tak, že koulem obíhá bez tření po této rovině a koule M svisle visí na druhém konci vlákna. Určete typ vazby,sestavte Lagrangeovy rovnice 2. druhu a najděte integrály pohybu (Greiner, 2003).3.11 Částice klouže bez tření po cykloidě o rovnicích x = a (ϑ− sinϑ), y = a (1 + cosϑ), 0 ≦ ϑ ≦ 2p. Sestavte Lagrangeovyrovnice a najděte jejich obecné řešení; ukažte, že po vychýlení z rovnovážné polohy koná harmonické kmity (Greiner, 2003;Obetková et al., 1990; Taylor, 2005).3.12 Pomocí Lagraneova formalismu najděte frekvenci kmitů atomů trojatomové molekuly A − B − A, v níž rovnovážnépolohy atomů leží v jedné přímce. Návod viz (Ландaу, 1988; Goldstein, 1980; Greiner, 2003).3.13 Najděte závislost doby kmitu matematického kyvadla na amplitudě výchylky a ověřte ji numerickým řešením odpoví-dající diferenciální rovnice. Návod viz (Ландaу, 1988), numerické řešení např. (Holíková, 2006; Lepil a Richterek, 2007).3.14 Najděte pohybové rovnice a rovnice vazby pro válcový disk o hmotnosti M a poloměru R, který se bez prokluzovánívalí po vodorovné rovině tak, že vždy stojí ve svislé rovině (Greiner, 2003).3.15 Najděte rovnovážnou polohu a reakci vazby pro hmotný bod vázaný na elipsu otáčející se podle svislé osy y, jež jezároveň vedlejší osou elipsy, v homogenním tíhovém poli Země. Návod viz (Obetková et al., 1990).3.16 Na svislém drátu tvaru půlkružnice o poloměru r ohnuté vzhůru jsou navlečeny dvě kuličky o hmotnostech m1 a m2

spojené neroztažitelnou nití délky 2L, jejíž hmotnost je zanedbatelná. Najděte úhel α, který svírá nit s vodorovným směremv rovnovážné poloze soustavy. Návod viz (Obetková et al., 1990).3.17 Trojité matematické kyvadlo je rovinné kyvadlo tvořené třemi hmotnými body zavěšenými postupně pod sebou navláknech konstantní délky a zanedbatelné hmotnosti, která kmitá okolo pevného závěsu. Předpokládáme, že hmotnosti mčástic i délky kyvadel l jsou stejné. Sestavte pohybové rovnice soustavy a určete tzv. hlavní kmity (Obetková et al., 1990).

4. Soustava hmotných bodů, tuhé těleso4.1 Tenzor T má nějaké soustavě souřadnic složky

Tik =

(1 47 3

).

Najděte složky Ti′k′ tohoto tenzoru v souřadnicové soustavě, která je oproti původní otočená o 30 v kladném směru.

3

4.2 Pro symetrický tenzor T o složkách

Tik =

7 0 20 1 02 0 4

napište odpovídající kvadratickou bilineární formu, najděte jeho hlavní složky a přepište kvadratickou formu v souřadnicovésoustavě hlavních os.4.3 Pro totálně antisymetrický Levi-Civitův tenzor třetího řádu o složkách (v libovolné soustavě souřadnic!) εijk dokažte, žeplatí ∑

k

εijkεklm = εijkεlmk = δilδjm − δimδjl.

4.4 Je dán trojúhelník ABC, kde A = [3; 0; 0], B = [0; 4; 0], C = [0; 0; 2]. Zjistěte, jak se změní jeho tvar, jestliže jej zobrazímeortogonální maticí (Macur, 2010)

M =1

3

2 2 −12 −1 2−1 2 2

.

4.5 Najděte inverzní matice k maticím (Macur, 2010)

a)(3 27 5

); b)

(cosα − sinαsinα cosα

).

4.6 Najděte lineární transformaci převádějící kvadratickou formu ϕ = 5x21 + 8x1x2 + 5x22 na diagonální tvar a tento tvaruveďte (Macur, 2010).4.7 Určete těžiště homogenní desky na obr. 4.1.

4.8 Určete polohu hmotného středu homogenní tenké desky omezené obloukem křivky y = a cosx, x ∈ ⟨−1

2p,12

p⟩ a osou x.

4.9 Vypočítejte souřadnice hmotného středu oktantu homogenního elipsoidu, jehož plášť je určen rovnicí

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1;

návod viz (Obetková et al., 1990).4.10 Vypočtěte momenty setrvačnosti Ixy, Ixz, Iyz homogenní trojúhelníkové desky o hmotnosti M (viz obr. 4.2).4.11 Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose x homogenního trojosého elipsoidu o rovnici (Landau, 1980)

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

4.12 Najděte tenzor setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám a hlavní osy setrvačnosti homogenní čtvercové deskyo straně a a hmotnosti M , pro kterou platí x ∈ ⟨0,a⟩, y ∈ ⟨0,a⟩, z = 0. Napište rovnici elipsoidu setrvačnosti (Greiner, 2003).4.13 Najděte tenzor setrvačnosti soustavy dvou hmotných bodů o souřadnicích (1,1,0)m a (−1, − 1,0)m a hmotnostechm1 = m2 = 1 kg. Dále určetea) moment hybnosti, rotuje-li soustava úhlovou rychlostí ω = (0,3,0) rad·s−1,b) moment setrvačnosti vzhledem k ose y a ose určené vektorem o = (1/

√5,2/

√5,0),

c) tenzor setrvačnosti vzhledem k bodu P = (2,4,0)m,d) transformujte tenzor setrvačnosti nalezený v bodě a) do soustavy hlavních os setrvačnosti a určete hlavní momentysetrvačnosti.4.14 Tyč délky l klouže po vedení, které se skládá ze čtvrtkruhové části o poloměru a < l a z přímé části podle obr. 4.3.Výchozí poloha tyče je naznačena na obrázku. Určete graficky i analyticky nehybnou polodii. Návod viz (Vybíral, 1997).4.15 Tuhé těleso s hlavními momenty setrvačnosti 7 kg ·m2, 25 kg ·m2 a 32 kg ·m2 rotuje kolem svého hmotného středu. Napočátku byla oddělena úhlová rychlost Ω vzhledem k ose určené vektorem o = (4,0,3). Najděte průměty úhlové rychlosti dohlavních os setrvačnosti a pomocí Eulerových dynamických rovnic najděte jejich závislost na čase.4.16 Dokažte, že pootočení tuhého tělesa o úhel α okolo libovolné osy lze vyjádřit Eulerovými úhly podle vztahu

cos α2= cos ψ + φ

2cos ϑ

2.

Návod viz (Obetková et al., 1990).4.17 Tágem udeříme do kulečníkové koule o hmotnosti m a poloměru R tak, že hmotný střed se začne pohybovat rychlostív0, vektorová přímka hybnosti přitom hmotným středem prochází. Koeficient tření mezi koulí a hracím stolem je µ. Jakoudráhu koule urazí, než klouzání po podložce přejde ve valivý pohyb (Greiner, 2003)?

4

Rr

Obr. 4.1: K úloze č. 4.7

aa

y

z

Obr. 4.2: K úloze č. 4.10

Oa

al

Obr. 4.3: K úloze č. 4.14

Obr. 4.4: K zadání úlohy 4.20

4.18 Povrch neutronové hvězdy varu koule pomalu vibruje tak, že hlavní momenty setrvačnosti jsou následujícími funkcemičasu

Izz =2

5mr2 [1 + ε cos (ωt)]

Ixx = Iyy =2

5mr2

[1− ε

2cos (ωt)

]Hvězda zároveň rotuje s úhlovou frekvencí Ω(t).a) Ukažte, že složka Ωz zůstává téměř konstantní.b) Ukažte, že Ω(t) koná nutační pohyb okolo osy z a najděte úhlovou frekvenci nutace pro případ Ωz Č ω (Greiner, 2003).4.19 Tenká tyč délky l a hmotnosti M leží na dokonale hladké podložce. Hokejový pul o hmotnosti m narazí kolmo do tyčerychlostí v ve vzdálenosti d od jejího hmotného středu a poté zůstane v klidu. Popište pohyb tyče po nárazu a určete, projaký podíl m/M zůstane puk po nárazu v klidu (Greiner, 2003).4.20 Po vodorovné ledové ploše klouže bez tření soustava tří malých koulí o hmotnosti m spojená dráty o zanedbatelnéhmotnosti do tvaru rovnostranného trojúhelníka o straně l (obr. 4.4). V určitém okamžiku se koule A pohybuje rychlostí vve směru AB a okamžitá rychlost koule B je rovnoběžná s úsečkou BC. Určete:a) okamžité rychlosti koulí B a C a těžiště soustavy T ,b) úhlovou rychlost soustavy,c) velikosti sil, jimiž jsou namáhány dráty spojující koule.4.21 Určete frekvenci malých kmitů homogenního půlválce ležícího na vodorovné rovině, pokud jej málo vychýlíme z rovno-vážné polohy. Návod viz (Horský et al., 2001), s. 124–125.4.22 Dokažte, že divergence vektoru se při ortogonální transformaci souřadnic nezmění, tj. je invariantní; návod viznapř. (Obetková et al., 1990).

4.1 Neinerciální vztažné soustavy4.23 Odvoďte pohybové rovnice pro pohyb v gravitačním poli rotující Země v soustavě spojené s jejím povrchem (Greiner,2003). Najděte přesné řešení těchto rovnic pro případ volného pádu z výšky h v blízkosti povrchu Země, kdy gravitační polev oblasti pohybu lze považovat za homogenní tíhové pole se zrychlením g.4.24 Najděte Lagrangeovu funkci pro pohyb částice v neinerciální vztažné soustavě a ověřte platnost zákona zachováníenergie v neinerciální vztažné soustavě (Brdička a Hladík, 1987; Ландaу, 1988; Landau, 1980).4.25 Řeka šířky D = 2 km teče v místě se severní zeměpisnou šířkou φ = 45° směrem k severu, přičemž rychlost vody v korytěje v0 = 5 km·h−1. Který břeh je vyšší a o kolik (Greiner, 2003)?4.26 Ukažte, že úhlová rychlost otáčení Foucaultova kyvadla v místě se zeměpisnou šířkou φ je rovna ω sinφ, kde ω je úhlovárychlost otáčení Země okolo své osy (Trkal, 1956; Ландaу, 1988; Landau, 1980; Bajer, 2006; Greiner, 2003).4.27 Odhadněte výšku přílivu v závislosti na zeměpisné šířce (Barger a Olsson, 1973).

5. Variační principy, Hamiltonovy a Hamiltonovy-Jacobiho rovnice5.1 Dokažte, že nejkratší spojnicí dvou bodů v rovině je přímka ((Elsgolc, 1965; Goldstein, 1980)).5.2 Najděte rovnici rovinné křivky spojující pevně dané body x1,y1, x2,y2, pro kterou bude povrch vzniklý rotací této křivkypodél osy y minimální. ((Elsgolc, 1965; Goldstein, 1980)).5.3 Najděte tvar křivky, kterou zaujme vlastní tíhou ohebný drát (řetěz) zavěšený ve dvou bodech (Brdička a Hladík, 1987).5.4 Úloha o brachistochroně: Najděte tvar křivky, podél níž se hmotný bod přemístí v homogenním tíhovém poli z boduA = [0,0] do bodu B = [x1,y1] v nejkratším možném čase.

5

5.5 Stíhací křivka: Najděte tvar křivky, podél níž se pohybuje pes, jestliže běží stále směrem k pánovi, tj, ve směru jejichokamžité spojnice (Trkal, 1956).5.6 Sestavte Hamiltonovy rovnice a Hamilton-Jacobiho rovnici pro pohyb matematického ky-

Obr. 5.1: K úloze 5.9

Obr. 5.2: K úloze 5.12

Obr. 5.3: K úloze 5.13

Obr. 5.4: K úloze 5.14

vadla a studujte malé kmity matematického kyvadla pomocí Hamilton-Jacobiho rovnice.5.7 Pomocí Hamilton-Jacobiho rovnice řešte volný pád částice v homogenním tíhovém poliz výšky h.5.8 Napište Hamiltonovy rovnice pro pohyb částice v soustavě, která se otáčí s úhlovou rychlostíω(t).5.9 Sestavte Hamiltonovy rovnice pro hmotný bod o hmotnosti m vázaný na plášť kužele vhomogenním tíhovém poli (viz obr. 5.1). Ukažte, že ezistují mezní hodnoty zmin a zmax propohyb částice. Ukažte také, že pro z > 0 existuje řešení Hamiltonových rovnic obsahující kruhovýpohyb v rovině z = konst. Taylor (2005)5.10 Napište Hamiltonovy rovnice pro pohyb sférického kyvadla (Obetková et al., 1990).5.11 Najděte Hamiltonovu funkci pro pohyb nabité částice v elektromagnetickém poli ((Horskýet al., 2001), s. 95).5.12 Ukažte, že hamiltonián pro systém dvou částic spojených pružinou o tuhosti k, která má vnenataženém stavu délku l0, padajících v homogenním tíhovém poli (obr. 5.2) má v souřadnicíchy1 a y3 tvar

H =(py1 + py3)

2

2m1+

p2y3

2m2+m1gy1 +m2g (y1 − y3) +

1

2k (y3 − l0)

2.

Napište Hamiltonovy rovnice (Wells, 1967).5.13 Ukažte, že hamiltonián pro kuličku sjíždějící po kuželové spirále na obr. 5.3 lze zapsat vetvaru

H =1

2m

[p2z

1 + a2 (1 + b2z2)

]+mgz.

Předpokládejte, že ϱ = az, ϕ = −bz. kde a a b jsou konstanty.5.14 Najděte hamiltonián a zapište Hamiltonovy rovnice pro kyvadlo na obr. 5.4. Závěs procházíotvorem v desce B, která kmitá ve svislém směru osy Y tak, že s = A sin(ωt) a součet r+ s = lke konstantní.5.15 Uvažujme prostor mezi dvěma souosými válci o poloměrech R0,R. Mezi válci je elektricképole E kolmé na osu válce, jehož velikost je nepřímo úměrná vzdálenosti od osy E = k/r. Navíc jeválem v homogenním magnetickém poli rovnoběžném s osou válce. Routhovou metodou najděterychlost, jakou musí částice s nábojem q vyletět z vnitřního válce kolmo na osu, aby dosáhnulvnějšího válce ((Horský et al., 2001), s. 95).5.16 Najděte vhodnou vytvořující funkci F3 (pk,Qk,t) kanonické transformace od kartézskýchke sférickým souřadnicím a pomocí ní najděte vztah mezi složkami hybnosti v těchto soustaváchsouřadnic; návod viz (Obetková et al., 1990).5.17 Dokažte, že transformace daná rovnicemi

Q =√

2qek cos p, P =√2qe−k sin p,

kde k je konstanta, je kanonická (Obetková et al., 1990).

6. Mechanika kontinua6.1 Pro rovinný případ daný (obr. 6.1) sestavte tenzor napětí v bodě O.1

F = (3, − 3)T N,2

F = (−2, − 2)T N, S1 = 3 m2, S2 = 2 m2, n = (3,2)T.a) Určete jeho hlavní napětí a hlavní směry napětí.b) Určete napětí v bodě P pro h→ 0.Návod viz (Kolář, 2003).6.2 Určete tenzor napětí v zavěšeném válci, u něhož nezanedbáváme vlastní hmotnost. Projednoduchost zvolme kruhový průřez a válec nechť je homogenní (ϱ=konst.) o výšce l a plošepodstavy S. Návod viz (Kolář, 2003).6.3 Je dán tenzor napětí v bodě P

τij =

7 −5 0−5 3 10 1 2

.

6

Určete vektor napětí působící na plochu procházející bodem P rovnoběžně s rovinou o rovnici 3x1 + 6x2 + 2x3 = 12 (Mase,1970).6.4 Je dán tenzor napětí

x

y

O

h

S2

S1

S

P

Ň

n

1

F

2

F

Obr. 6.1: K úloze 6.1.

r0v uv − u R−(v − u)−(v − u) uObr. 6.2: K úloze 6.17

P

O x

a

d

h

y

r

FObr. 6.3: K úloze 6.18

τij =

5 0 00 −6 −120 −12 1

.

Najděte hlavní směry napětí a soustavu, v níž budou tečná napětí maximál-ní (Mase, 1970).6.5 Najděte hlavní napětí a hlavní směry napětí pro tenzor napětí (Mase,1970)

Š =

τ τ ττ τ ττ τ τ

.6.6 Pro pohyb kontinua zadaný rovnicemi y1 = kx2t+x1, y2 = x2, y3 = x3,sestavte tenzor konečné deformace a tenzor malé deformace. Návod viz (Ko-lář, 2003).6.7 Pole rychlosti proudící tekutiny je popsáno rovnicemi

v1 = 0,v2 = A

(x1x2 − x23

)e−Bt,

v3 = A(x22 − x1x3

)e−Bt.

Najděte tenzory rychlosti deformace a tenzor rychlosti rotace a jemu odpo-vídající axiální vektor víru rychlosti (Mase, 1970).6.8 Vektor posunutí v látce je dán vztahemu = x21x2e 1 +

(x2 − x23

)e 2 + x22x3e 3. Najděte tenzor (malé) defor-

mace, tenzor rotace, jemu odpovídající vektor v bodě P = [1,2, − 1],relativní změnu jednotkového objemu a relativní změnu jednotkovéhovektoru ve směru a = (e x + e y) /

√2 (Mase, 1970).

6.9 Závaží je zavěšeno na gumovém vlákně, které má délku l v nezatíženémstavu. Závaží vychýlíme o 90 C (bez napínání vlákna) a pustíme. Při prů-chodu vlákna svislou polohou je jeho délka l1. Určete rychlost závaží v tomtookamžiku. Hmotnost vlákna zanedbejte. Návod viz (Kolář, 2003).6.10 Určete vlastní frekvenci ω0 kmitů kovové tyče obdélníkového průřezus rozměry a, b a délky l, která je jedním koncem vetknuta a k jejímu volnémukonci je upevněno závaží o hmotnosti m. Předpokládejte, že hmotnost tyčeM Ć m a rozměry závaží jsou zanedbatelné. Návod viz (Kolář, 2003).6.11 Ocelové pravítko délky l = 30 cm, šířky a = 1,5 cm a tloušťkyb = 0,08 cm se oběma konci opírá o dvě lišty přibité ke stolu ve vzdále-nosti L = 29 cma) Jakou křivku vytváří ohnuté pravítko?b) Jakou silou působí pravítko na lišty?Návod viz (Kolář, 2003).6.12 Projektovaná betonová přehradní zeď, o délce e = 50 m a výšcev = 20 m, má příčný průřez tvaru lichoběžníku, jehož svislá vnitřní stranaje v = 20 m, vodorovná základna spodní b = 12 m, horní c = 2 m. Hustotapoužitého betonu je ϱb = 2 400 kg·m−3.a) Vypočtěte hydrostatickou tlakovou sílu působící na zeď, jestliže hladina vody v přehradě dosahuje horní hrany zdi.b) Přesvědčte se, jestli při zatížení hydrostatickou tlakovou silou podle a), je zajištěna stabilita přehradní zdi proti překlopení.Návod viz (Kolář, 2003).6.13 Mějme dva nafukovací balónky stejného objemu, umístěné v autobuse. Jeden naplněný He (upevněný provázkemk podlaze) druhý plněný CO2 a upevněný ke stropu ve stejné výši jako první. Určete, jak se budou balónky pohybovat,jestliže se autobus začíná rozjíždět s konstantním zrychlením a a my přestřihneme provázky. Návod viz (Kolář, 2003).6.14 Určete, jaké množství vody vyteče za sekundu z nádoby obdélníkovým otvorem o základně b a výšce a, je-li nádoba takvelká, že hladina vody v nádobě prakticky neklesá, a je-li otvor tak vysoký, že rychlost výtoku nelze považovat za konstantní.Horní okraj otvoru je v hloubce h pod hladinou. Návod viz (Kolář, 2003).

7

6.15 Určete rozložení rychlosti pohybu nestlačitelné vazké tekutiny, mezi dvěma souosými válcovými plochami rotujícímiobvodovými rychlostmi kolem společné osy, jestliže va je rychlost na vnitřní ploše o poloměru a, vb je rychlost na vnější plošeo poloměru b. Návod viz (Kolář, 2003).6.16 Určete rozdělení rychlosti v průřezu viskózní nestlačitelné tekutiny proudící mezi dvěma rovnoběžnými stěnami. Návodviz (Kolář, 2003).6.17 Vypočtěte největší výkon a optimální otáčky Peltonovy turbíny, ke které přivádíme vodu z přehradní nádrže, jenž jeve výšce h = 300 m. Přiváděcí potrubí je zakončeno tryskou, jejíž ústí má poloměr r = 30 mm. Lopatkové kolo má střednípoloměr r0 = 355 mm a jeho lopatky nechť obracejí směr toku ideálně o 180° (obr. 6.2). (Ve skutečnosti je z konstrukčníchdůvodů odklon minimálně o asi 4° menší.) Předpokládejte, že turbína má dostatečný počet lopatek, aby bylo možné uvažovat,že účinek proudu je spojitý. Návod viz (Vybíral, 2005).6.18 Výtok z vodní nádrže je uzavřen segmentovým stavidlem, které je částí válcové plochy o poloměru r = 3,50 m vymezenérozměry a = 2,00 m, d = 2,50 m (obr. 6.3). Šířka stavidla je b = 3,00 m a výška hladiny h = 6,00 m. Vypočtěte výslednoutlakovou sílu působící na stavidlo a určete, kterým bodem prochází její nositelka. Návod viz (Vybíral, 2003).6.19 Je dán tenzor napětí

τij =

5 0 00 −6 −120 −12 −1

.

Najděte hlavní směry napětí a soustavu, v níž budou tečná napětí maximální (Mase, 1970).6.20 Určete deformaci duté válcové roury, na níž působí vnitřní tlak p, vnější tlak je nulový. Vnější poloměr roury je R2,vnitřní R1.6.21 Odvoďte rovnici pro vedení tepla v tuhém neohraničeném prostředí s rozdělením teploty, které vyhovuje pouze jednépodmínce – v nekonečnu se teplota blíží konstantní hodnotě T0 a nevyskytují se deformace (Obetková et al., 1990).6.22 Najděte vztah pro rychlost izotermického vytékání plynu z velké nádoby velmi malým otvorem v jejím dně a odvoďtetzv. Grahamův zákon (Obetková et al., 1990).6.23 Ověřte, že funkce ϕ = A

(x21 − x22

)může být rychlostním potenciálem tekutiny a najděte odpovídající proudové čá-

ry (Mase, 1970).6.24 Komplexní rychlostní potenciál má tvar f(z) = Azn, kde A, n jsou kladné konstanty. Najděte rychlostní potenciál ϕ,proudovou funkci ψ a určete typ proudění (Obetková et al., 1990).6.25 Odvoďte závislost tlaku ideálního plynu (vzduchu) na nadmořské výšce v homogenním tíhovém poli za předpokladu,že závislost tlaku a hustoty odpovídá adiabatickému ději. Ukažte, že teplotní gradient (pokles teploty s nadmořskou výškou)bude konstantní (Douglas et al., 1985).6.26 Proudové pole je popsáno vektorem rychlosti tekutiny v = (x− 7)e x + (a− y)e y. Najděte průběh proudových čar vpolorovině pro x < 7 pro a ∈ ⟨2; 5⟩. Předpokládejte, že pro a = 2 proudová čára prochází bodem M = [0; 1] (Macur, 2010).6.27 Proudové pole v rovině je popsáno potenciálem rychlosti φ = ax

(x2 − 3y2

), kde a je kladná konstanta. Najděte rovnice

proudových čar a komplexní potenciál proudového pole (Macur, 2010).6.28 Najděte proudové čáry a hladiny potenciálu proudového pole popsaného komplexním potenciálem w =

√z (Macur,

2010).

7. Nelineární dynamika7.1 Pohyb jednorozměrného oscilátoru je popsán rovnicí

x+ αx+ γx3 = 0.

Ukažte, že jde o disipativní systém, najděte rovnovážné body a posuďte jejich stabilitu (Greiner, 2003).7.2 Nelineární systém je popsán pohybovými rovnicemi

x = −y + x[ϱ−

(x2 + y2

)],

y = x+ y[ϱ−

(x2 + y2

)].

Najděte jejich stabilní řešení (Greiner, 2003).7.3 Van der Polův oscilátor sehrál významnou úlohu ve vývoji nelineární dynamiky. Z matematického hlediska je popsánvan der Polovou rovnicí

d2y

dt2 + µ(y2 − 1

) dydt + y = 0, (1)

kde µ ≧ 0 je konstantní parametr. Rovnice tohoto typu se objevila při studiu nelineárních elektrických obvodů v prvníchradiopřijímačích v roce 1926 holandským inženýrem B. van der Polem, podobnou rovnicí se zabýval už lord Rayleigh okoloroku 1880 v souvislosti s nelineárními vibracemi (Strogatz, 2000; Greiner, 2003). Prostudujte vlastnosti řešení (numerickéřešení viz (Lepil a Richterek, 2007)).

8

7.4 Známý Lorenzův atraktor je nazván po meteorologovi EdwarduNortonuLorenzovi (1917–2008), jenž v roce 1963 z hyd-rodynamických rovnic vynucené konvekce v atmosféře za silně zjednodušených předpokladů odvodil systém tří provázanýchnelineárních diferenciálních rovnic.Lorenzovy rovnice lze zapsat ve tvaru (Strogatz, 2000)

dxdt = σ (y − x) , (2a)dydt = x (r − z)− y, (2b)dzdt = xy − bz, (2c)

kde σ, r a b jsou nezáporné hydrodynamické parametry – σ tzv. Prandtlovo číslo, r tzv. Rayleighovo číslo (b pojmenovánínemá). Numericky studujte vlastnosti systému (viz např. (Lepil a Richterek, 2007)).7.5 Logistická funkce (mapa) je dána rovnicí f(x) = αx (1− x) na intervalu x ∈ ⟨0,1⟩. Prostudujte její závislost na parametruα při opakované aplikaci této funkce (Greiner, 2003).

8. Doporučený softwareAlgebraické výpočty si můžete usnadnit pomocí vhodného počítačového programu. Kromě komerčně distribuova-ného software jako Mathematica, Maple nebo Derive lze využít volně šiřitelné programy, např. systém Maxima(http://maxima.sourceforge.net/).Numerické řešení diferenciálních rovnic, s nímž se při výpočtech setkáte, lze opět modelovat pomocí řady komerčních pro-gramů, např. Matlab. Volně šiřitelnou alternativou jsou např. systémy Octave (s velmi podobnou syntaxí jako Matlab,http://www.gnu.org/software/octave/, popř. v češtině http://www.octave.cz; základy dynamického modelování s pro-gramem GNU Octave jsou na konkrétních příkladech popsány např. v (Holíková, 2006; Lepil a Richterek, 2007).) neboPython (https://www.python.org), popř. Scilab (http://www.scilab.org), na středních školách je známý i DOSovskýFamulus (http://vnuf.cz/sbornik/odkazy/). Stále populárnější jsou také volně dostupná prostředí Easy Java Simulations(http://www.um.es/fem/Ejs/) nebo Modellus (http://modellus.fct.unl.pt). Dodejme, že pro některé úlohy lze využítpouze tabulkový kalkulátor typu MS Excel. Náročnější řešitelé mohou sáhnout přímo po některém z programovacích jazyků(Java, C, apod.) – takové příspěvky budou na cvičení obvzláště vítány a budou započítány jako plusové body v celkovémhodnocení!

Použitá literaturaArfken, G. B., a Weber, H. J. (2005). Mathematical Methods for Physicists. Amsterdam, Boston: Elsevier Academic Press.Bajer, J. (2004a). Mechanika 1. PřF UP Olomouc.Bajer, J. (2004b). Mechanika 2. PřF UP Olomouc.Bajer, J. (2006). Mechanika 3. PřF UP Olomouc.Barger, V. D. a Olsson, M. G. (1973). Classical mechanics. A Modern Perspective. McGraw-Hill Book Company.Бaть, М. И.; Джaнeлидзe, Г. Ю.a Keльзoн, А. С. (1967). Теоретическaя механикa примерaх и задачах I. Москва:

Наука.Бaть, М. И.; Джaнeлидзe, Г. Ю. a Keльзoн, А. С. (1968). Теоретическaя механикa примерaх и задачах II. Москва:

Наука.Бaть, М. И.; Джaнeлидзe, Г. Ю. a Keльзoн, А. С. (1973). Теоретическaя механикa примерaх и задачах III. Москва:

Наука.Берeзкин, Е. Х. (1974). Курс теоретическoй механики. Москва: Издательство Москoвскoгo Университетa.Brdička, M. a Hladík, A. (1987). Teoretická mechanika. Praha: Academia.Douglas, J. F.; Gasiorek, J. M. a Swaffield, J. A. (1985). Fluid mechanics. Longman Scientific & Technical.Elsgolc, L. E. (1965). Variační počet. Praha: SNTL.Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc..Gregory, R. D. (2006). Classical mechanics. Cambridge University Press.Greiner, W. (2003). Classical mechanics. System of particles and Hamiltonoan mechanics. New York: Springer-Verlag.Greiner, W. (2004). Classical mechanics. Point particles and relativity. New York: Springer-Verlag, 2004.Holíková, L. (2006). Použití numerických metod v úlohách středoškolské fyziky. Diplomová práce, Univerzita Palackého

Olomouc. http://muj.optol.cz/~richterek/data/media/diplomky/06_holikova.pdfHorský, J. a Novotný, J. (1998). Teoretická mechanika. Brno: Masarykova univerzita.Horský, J.; Novotný, J. a Štefaník, M. (2001). Mechanika ve fyzice. Praha: Academia.Chorlton, F. (1963). Textbook of Dynamics. London: D. van Nostrand Company Ltd.Jírů, J. (2006). Diferenciální počet ve fyzice. Hradec Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/dif.pdfJuliš, K. a Brepta, R. (1987). Mechanika II. díl (Dynamika). Praha: SNTL.Kay, D. C. (1988). Schaum’s outlines: Tensor calculus. New York: McGraw-Hill.Kolář, M. (2003). Sbírka úloh z mechaniky kontinua. Dizertační práce, Univerzita Palackého Olomouc.

http://muj.optol.cz/~richterek/data/media/diplomky/03_kolar.pdf

9

Kvasnica, J. (1989). Matematický aparát fyziky. Praha: Academia.Kvasnica, J.; Havránek, A.; Lukáč, P. et al. (2004). Mechanika. Praha: Academia.Ландaу, Л. Д. a Лифшиц, E. M. (1988). Механика. Москва: Наука.Landau, L. D. a Lifšic, J. M. (1980) Úvod do teoretickej fyziky 1 (mechanika, elektrodynamika). Bratislava: Alfa.Lepil, O.; Richterek, L. (2007). Dynamické modelování. Ostrava: Repronis.

http://www.ufm.sgo.cz/ke_stazeni/Dynamicke_modelovani.pdfMacur, M. (2010). Úvod do analytické mechaniky a mechaniky kontinua. Brno: VUTIUM.Mase, G. E. (1970). Schaum’s outlines: Continuum mechanics. New York: McGraw-Hill.Meщчeрский, И. В. (1961). Сборник задач по теоретическoй механикe. Москва: Физмaтгиз.Obetková, V.; Mamrillová, A. a Košinárová, A. (1990). Teoretická mechanika. Bratislava: Alfa.Spurk, J. H. (1997). Fluid mechanics. Problems and Solutions. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag.Strogatz, S. H. (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering.

Westview Press.Šedivý, P. a Volf, I. (2000). Pohyb tělesa po eliptické trajektorii v radiálním gravitačním poli. Knihovnička FO č. 43„ Hradec

Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/druzice.pdfŠíma, V. a Podolský, J. (2006). Buquoyova úloha. PMFA, ročník 51, č. 3, s. 177–186.Taylor, J. R. (2005). Classical Mechanics. Susalito, California: University Science Books.Tillich, J. (1984). Teoretická mechanika. Olomouc: PřF UP Olomouc.Trkal, V. (1956). Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa. Praha: ČSAV.Ungermann, Z. a Volf, I. (1983). Hmotný střed tělesa. Praha: SPN.Vybíral, B. (1992). Základy teoretické mechaniky (1. a 2. díl). Pedagogická fakulta Hradec Králové: Gaudeamus.Vybíral, B. (1997). Kinematika a dynamika tuhého tělesa. Knihovnička FO č. 31, Hradec Králové: MAFY.

http://fo.cuni.cz/texty/dynamika.pdfVybíral, B. (1998). Setrvačníky a jejich aplikace. Knihovnička FO č. 34, Hradec Králové: MAFY.

http://fo.cuni.cz/texty/setrv.pdfVybíral, B. a Zdeborová, L. (2002). Pohyb těles s vlivem odporových sil. Knihovnička FO č. 55„ Hradec Králové: MAFY.

http://fo.cuni.cz/texty/odpory.pdfVybíral, B. (2003). Mechanika ideálních kapalin. Knihovnička FO č. 62, Hradec Králové: MAFY.

http://fo.cuni.cz/texty/kapaliny.pdfVybíral, B. (2005). Aplikovaná mechanika tekutin. Knihovnička FO č. 69„ Hradec Králové: MAFY.

http://fo.cuni.cz/texty/aplikace.pdfWells, Dare A. (1967). Schaum’s outline of theory and problems of Lagrangian dynamics with treatnebt of Euler’s equationsof motion, Hamilton’s equations and Hamilton’s principle. New York: McGraw-Hill.

Yung-Kuo, L. et al. (1994). Problems and Solutions on Mechanics. Major American Universities Ph.D. QualifyingQuestions and Solutions. Singapore: Wolrd Scientific.

Žídek, A. (1998). Sbírka úloh z teoretické mechaniky. Diplomová práce, UP Olomouc.

10