1. KOMBINATORIKA - mat.sc-nm.simat.sc-nm.si/files/kombinatorika.pdf · 1. Kombinatorika 2 razliˇcnih menijev ima na voljo poslovneˇz, ˇce se odloˇca med meniji prve ali druge

1. KOMBINATORIKA

1.1 Osnovni pojmi kombinatorike

1. Iz kraja A v kraj B vodi pet razlicnih poti, iz kraja B v kraj C pa tri. Pokoliko razlicnih poteh lahko pridemo iz kraja A v kraj C? Resitev prikazite skombinatoricnim drevesom.

2. V avtomobilski tovarni izdelujejo pet tipov avtomobilov, vsakega od njih palahko izberemo v stirih barvah. Koliko razlicnih avtomobilov glede na tip inbarvo nam ponuja tovarna? Narisite kombinatoricno drevo.

3. Koliko besed dolzine 4 lahko zapisemo s crkami A, B, C, D, E in F, ce:a) se crke lahko ponavljajo,b) se crke ne smejo ponavljati,c) se mora beseda koncati na BA in se crke ne smejo ponavljati,d) se mora beseda zaceti na FE in se crke lahko ponavljajo?

4. Koliko pravih petmestnih stevil, ki se ne zacnejo z 0, lahko zapisemo s stevkami0, 2, 3, 5, 7, 8 in 9, ce:a) se smejo stevke ponavljati,b) se stevke ne smejo ponavljati,c) naj bo stevilo vecje od 30.000 in se stevke ne smejo ponavljati,d) naj bo stevilo deljivo z dve in se stevke lahko ponavljajo?

5. Tina ima v omari 6 razlicnih kap in 3 razlicne rute. Na koliko razlicnih nacinovse lahko pokrije?

6. Na policijski postaji imajo 6 sluzbenih avtomobilov, 3 motorje in 4 kolesa. Nakoliko razlicnih nacinov se lahko policist pelje na kraj prometne nesrece, ki seje zgodila v blizini?

7. Poslovnez zeli obedovati. Izbira lahko med dvema restavracijama, ki ponujatarazlicne jedi. V prvi restavraciji imajo na voljo tri razlicne juhe, dve glavnijedi in tri sladice, v drugi pa dve juhi, stiri glavne jedi in tri sladice. Koliko

1. Kombinatorika 2

razlicnih menijev ima na voljo poslovnez, ce se odloca med meniji prve ali drugerestavracije?

8. Na mizi lezi sedem listkov s crkami A, B, C, D, E, F, G. Koliko razlicnih besedz dvema crkama ali s tremi crkami lahko sestavimo z njimi?

9. Koliko razlicnih nizov z dvema, tremi ali stirimi kroglicami lahko sestavimo, ceimamo na voljo 10 kroglic razlicnih barv?

1.2 Permutacije

10. V leksikografski ureditvi zapisite vse permutacije crk a, b, c in narisite kombi-natoricno drevo. Koliko je vseh permutacij?

11. Na koliko razlicnih nacinov lahko razporedimo v vrsto sest razlicnih vozil?

12. Delovodja mora razdeliti 5 razlicnih delovnih nalog petim delavcem tako, dadobi vsak od njih natanko eno nalogo. Na koliko razlicnih nacinov lahko tostori?

13. Geslo bancne kartice je sestavljeno iz stirih stevk. Nekdo je pozabil svoje geslo,ve pa, da vsebuje stevke 3, 5, 6 in 9. Koliko razlicnih gesel lahko zapise z njimi?

14. Izracunajte:

a)105!103!

b)102! + 101! + 100!

100!c)

33!− 32!34! + 33! + 32!

15. Na koliko razlicnih nacinov lahko zlozimo na polico 4 razlicne matematicne in3 leposlovne knjige ter 5 razlicnih leksikonov,a) ce so knjige lahko poljubno pomesane med seboj,b) ce naj knjige iste vrste stojijo skupaj,c) ce naj le matematicne knjige stojijo skupaj?

16. Na polico zelimo zloziti v vrsto m razlicnih CD-jev z rock glasbo, n CD-jev sklasicno in p CD-jev s pop glasbo. Koliko razlicnih moznosti imamo,a) ce so CD-ji lahko poljubno zlozeni,b) ce naj CD-ji z rock glasbo stojijo skupaj,c) ce naj CD-ji s klasicno glasbo stojijo skupaj in CD-ji s pop glasbo skupaj?

17.‡ Osem zakonskih parov sedi v dvorani na koncertu v isti vrsti, v kateri jesestnajst stolov. Koliko razlicnih sedeznih redov je mogocih, ce:a) lahko osebe poljubno sedijo,b) naj vsak par zakoncev sedi skupaj,

1. Kombinatorika 3

c) naj zenske sedijo skupaj,d) naj zenske sedijo skupaj in moski skupaj?

18. Koliko razlicnih permutacij crk besede KOMBINATORIKA lahko zapisemo?

19. Koliko razlicnih besed dolzine 10 lahko sestavimo iz crk besede STATISTIKA,ce naj se beseda vedno zacne s crko T?

20. Koliko razlicnih vzorcev lahko sestavimo, ce zlagamo v vrsto 4 modre, 3 bele,2 crni in 3 zelene kroglice in kroglic iste barve med seboj ne razlikujemo?

1.3 Variacije

21. Zapisite vse variacije brez ponavljanja reda 2 elementov mnozice {a, b, c}. Ko-liko variacij je? Narisite kombinatoricno drevo.

22. Zapisite vse variacije s ponavljanjem reda 2 elementov mnozice {a, b, c}. Kolikovariacij je? Narisite kombinatoricno drevo.

23. Geslo bancne kartice je sestavljeno iz stirih stevk. Nekdo je pozabil svoje geslo,ve pa, da vsebuje stevke 3, 5, 6, 7, 8 in 9. Koliko razlicnih gesel lahko zapise znjimi, ce se stevke v geslu ne smejo ponavljati, in koliko, ce se lahko ponavljajo?

24. Izracunajte:

a) V 412 b) V 5

20 c) V n−1n+2 d) V 2

n

25. Resite enacbe:

a) V 35 + V 2

n = 90 b) V 3n − V 2

n = 40

‡ c) V nn+2 − 2V n

n+1 = 0 ‡ d) V 2n+1 + V 1

n+2 = 23− V 1n+3

26. Koliko razlicnih petmestnih stevil lahko zapisemo s stevkami 2, 3, 5, 6, 7, 8in 9, ce:a) se stevke ne smejo ponavljati,b) se stevke lahko ponavljajo?

27. Koliko razlicnih stevil, ki so vecja od 10.000 in manjsa od 35.000, lahko zapisemos stevkami 1, 2, 3, 5, 6, 8, ce:a) se stevke ne smejo ponavljati,b) se stevke lahko ponavljajo?

28. V vreci je 8 raznobarvnih kroglic. Stirikrat zapored sezemo v vreco, vsakokratizvlecemo eno kroglico in zapisemo njeno barvo. V vrsto zapisane barve kroglictvorijo vzorec. Koliko razlicnih vzorcev lahko nastane, ce:

1. Kombinatorika 4

a) izvleceno kroglico vsakokrat vrnemo v vreco,b) izvlecenih kroglic ne vracamo v vreco?

29.‡ Na koliko razlicnih nacinov lahko zapakiramo stiri razlicne izdelke v pet skatel,ki so razlicnih barv, ce naj bo v vsaki skatli kvecjemu en izdelek?

30.‡ Na koliko razlicnih nacinov lahko v galeriji obesijo na steno v vrsto stiri slikeizmed desetih slik razlicnih vrednosti, ce je najdrazja slika vedno ena izmedstirih izbranih slik in jo obesijo na prvo mesto?

31. V tovarni zelijo izmed vseh delavcev izbrati 3 delavce za delo na 3 razlicnihdelovnih mestih. Ugotovili so, da lahko to storijo na 60 razlicnih nacinov. Medkoliko delavci izbirajo?

1.4 Kombinacije

32. Zapisite vse kombinacije reda 3 crk a, b, c, d. Koliko jih je?

33. Na koliko razlicnih nacinov lahko izmed osmih razlicnih izdelkov izberemo triizdelke?

34. Na koliko razlicnih nacinov lahko student na izpitu izbere 5 vprasanj izmed 50razlicnih vprasanj?

35. Koliko kombinacij je pri navadni igri Loto, pri kateri med 39 stevili prekrizamonatanko 7 stevil?

36. Izracunajte:

a) C412 b) C30

32 c) Cn−2n d) Cn

n+1

37. Resite enacbe:

a) C2n = 28 b) Cn−2

n+1 = 20 c) 2C2n + C3

n+1 = 22

38.‡ Dokazite, da velja(

n

4

)+ 2

(n

3

)+

(n

2

)=

(n + 2

4

).

39.‡ Dokazite, da velja(

2n

n + 1

)=

n

n + 1

(2n

n

).

40. Na koliko razlicnih nacinov lahko izmed sestih knjig izberemo stiri knjige, ce:a) lahko knjige poljubno izbiramo,b) se dvema knjigama ne zelimo odpovedati?

41. Na koliko razlicnih nacinov lahko otrok izbere v slascicarni med 10 vrstamisladoleda stiri, ce zagotovo izbere med njimi cokoladni in vanilijev sladoled?

1. Kombinatorika 5

42. Zapisite vse kombinacije s ponavljanjem reda 2 elementov a, b, c, d. Koliko jihje?

43. Pri telefonskem anketiranju mora racunalnik izmed 100 telefonskih stevilk naslucajen nacin izbrati 20 stevilk. Koliko razlicnih slucajnih telefonskih vzorcevje mogocih, cea) se telefonske stevilke v vzorcu ne smejo ponavljati,b) se lahko ista stevilka ponovi v vzorcu veckrat?

44. Na voljo imamo stiri barve kroglic, ki jih pakiramo v skatle po 10 kroglic. Kolikorazlicnih skatel lahko sestavimo glede na barvo kroglic, ki jih vsebujejo?

45. V podjetju je zaposlenih 12 zensk in 8 moskih. Na koliko razlicnih nacinov lahkoizberejo petclansko skupino za udelezbo na seminarju, ce naj bodo v skupinidve zenski in trije moski?

46. V posodi je 5 belih in 7 rdecih kroglic. Na koliko razlicnih nacinov lahko izbere-mo iz posode 4 kroglice tako, da bodo med njimi dve ali tri rdece?

47. Na koliko razlicnih nacinov lahko iz kupa 32 obicajnih igralnih kart na slepoizvelcemo tri karte tako, da bo med njimi vsaj en kralj?

48. Na institutu zelijo oblikovati delovno skupino petih strokovnjakov, v kateri najbosta kvecjemu dva biologa. Koliko razlicnih skupin lahko oblikujejo, ce lahkoizbirajo med petimi biologi in sestimi kemiki?

49. V posodi je 7 crnih, 3 bele in 5 rdecih kroglic. Na koliko razlicnih nacinov lahkoizberemo med njimi 2 crni, 2 beli in 4 rdece kroglice?

1.5 Formule in pravila

Osnovni pravili kombinatorike

Pravilo produkta ali osnovni izrek kombinatorike: Naj proces odlocanja potekav k zaporednih neodvisnih fazah, kjer je stevilo moznih odlocitev po posameznih fazahpo vrsti n1, n2, . . . , nk. Potem je stevilo vseh razlicnih moznih odlocitev v procesun = n1 · n2 · · · · · nk.Pravilo vsote: Ce se pri izbiranju lahko odlocamo med n1 elementi prve mnozice alimed n2 elmenti druge mnozice ali . . . ali nk elementi k-te mnozice, kjer so mnoziceparoma tuje, je stevilo vseh razlicnih izborov n = n1 + n2 + · · ·+ nk.

Permutacije

1. brez ponavljanja: Pn = n! = n · (n− 1) · . . . · 3 · 2 · 1

2. s ponavljanjem: Pn1,n2,...,nrn =

n!n1!n2! · . . . · nr!

, n1 + n2 + · · ·+ nr = n

1. Kombinatorika 6

Variacije

1. brez ponavljanja reda k: V kn =

n!(n− k)!

2. s ponavljanjem reda k: (p)V kn = nk

Kombinacije

1. brez ponavljanja reda k: Ckn =

(n

k

)=

n!k!(n− k)!

2. s ponavljanjem reda k: (p)Ckn = Ck

n+k−1 =(

n + k − 1k

)=

(n + k − 1)!k!(n− 1)!

3. vezane kombinacije: Ck1,k2,...,krn1,n2,...,nr

=(

n1

k1

)·(

n2

k2

)· · · · ·

(nr

kr

)Lastnosti binomskega simbola(

n

0

)= 1,

(n

1

)= n,

(n

n

)= 1,

(n

k

)=

(n

n− k

),

(n

k

)+

(n

k + 1

)=

(n + 1k + 1

)

RESITVE

1. Ker se v kraju A odlocamo med 5 potmi in nato v kraju B, neodvisno ododlocitve v kraju A, med 3 potmi, uporabimo osnovni izrek kombinatorike. Izkraja A pridemo v kraj C po n = n1 · n2 = 5 · 3 = 15 razlicnih poteh.

2. n = 5 · 4 = 20

3. a) Ker se crke lahko ponavljajo, se lahko na vsakem koraku odlocamo med 6moznostmi. Stevilo vseh razlicnih besed je n = 6 · 6 · 6 · 6 = 1.296.

b) Ker se crke ne smejo ponavljati, imamo na vsakem koraku eno moznost zaodlocanje manj. Stevilo vseh razlicnih besed je tako n = 6 · 5 · 4 · 3 = 360.

c) Ker se mora beseda koncati na BA in se crke ne smejo ponavljati, so takopri odlocitvi za prvo crko stiri moznosti in za drugo crko tri, zadnji dve crkista ze doloceni. Stevilo vseh razlicnih besed je tako n = 4 · 3.

d) Ker se crke lahko ponavljajo, imamo pri odlocanju za tretjo in cetrto crkopo 6 moznosti. Stevilo vseh razlicnih besed je potem n = 6 · 6 = 36.

4. a) n = 6 · 7 · 7 · 7 · 7 = 14.406 b) n = 6 · 6 · 5 · 4 · 3 = 2.160

c) n = 5 · 6 · 5 · 4 · 3 = 1.800 d) n = 6 · 7 · 7 · 7 · 3 = 6.174

5. Ker si bo Tina dala na glavo kapo ali ruto, bo torej izbirala iz mnozice kap aliiz mnozice rut, ki nimata skupnih elementov. Uporabimo pravilo vsote. Pokrijese lahko na n = n1 + n2 = 6 + 3 = 9 nacinov.

1. Kombinatorika 7

6. Po pravilu vsote ima za izbiro n = 6 + 3 + 4 = 13 moznosti.

7. Po osnovnem izreku kombinatorike izracunamo stevilo menijev za vsako odrestavracij. Ker bo celoten meni pojedel v izbrani restavraciji, bo torej jedel vprvi ali drugi restavraciji. Po pravilu vsote ima potem na voljon = 3 · 2 · 3 + 2 · 4 · 3 = 42 razlicnih moznosti.

8. Izmed 7 crk izberemo dve in zapisemo besedo ali pa tri in napisemo novo besedo.Stevilo razlicnih besed je n = 7 · 6 + 7 · 6 · 5 = 252.

9. n = 10 · 9 + 10 · 9 · 8 + 10 · 9 · 8 · 7 = 5.850

10. O permutacijah brez ponavljanja govorimo, kadar razporejamo n razlicnih ele-mentov v vrsto, kjer uporabimo vseh n elementov. Vrstni red elementov jepomemben. Za tri crke so vse mozne permutacije: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Stevilo vseh permutacij brez ponavljanja n razlicnih elementov jePn = n! = n · (n− 1) · · · 2 · 1. Za tri elemente je potem P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6.

11. Ker bomo razporedili vseh 6 razlicnih vozil v vrsto, gre za permutacije brezponavljanja. To lahko storimo na P6 = 6! = 720 razlicnih nacinov.

12. P5 = 5! = 120

13. P4 = 4! = 24

14. a) 10.920 b) 10.404 c) 8289

15. a) Stevilo permutacij za 12 razlicnih knjig je P12 = 12!.b) Med seboj lahko zamenjujemo knjige znotraj posameznih skupin, hkrati pa

se skupine med seboj. Tako je stevilo vseh razlicnih moznosti 4! · 3! · 5! · 3!.c) V skupini matematicnih knjig lahko knjige zamenjujemo med seboj na 4!

nacinov, hkrati pa lahko zamenjujemo med seboj se ostale knjige ter skupinomatematicnih knjig. Potem je stevilo vseh razlicnih razporeditev knjig napolici 4! · 9!.

16. a) (m + n + p)! b) m!(n + p + 1)! c) n! · p!(m + 2)!

17. a) 16!b) Osem parov zamenjujemo med seboj na 8! nacinov, hkrati pa se pri vsakem

paru na 2! nacinov zamenjamo med seboj zensko in moskega. Stevilo vsehrazlicnih sedeznih redov je 8! · 2!8.

c) Na 8! nacinov zamenjamo med seboj zenske, hkrati pa se 8 moskih inskupino zensk na 9! nacinov: 8! · 9!.

d) Na 8! nacinov zamenjujemo med seboj samo zenske, prav toliko moznosti jeza moske. Med seboj zamenjamo se skupino moskih in zensk na 2! nacinov.Razlicnih sedeznih redov je 8! · 8! · 2!.

1. Kombinatorika 8

18. Ker niso vse crke razlicne med seboj, gre za permutacije s ponavljanjem. Vsakaod crk A, K, O in I se ponovi dvakrat, ostale nastopijo enkrat.Stevilo vseh razlicnih permutacij s ponavljanjem izracunamo po formuliPn1,n2,...,nr

n = n!n1!·n2!···nr! , kjer je n1 + n2 + · · ·+ nr = n.

Za dani primer je potem P 2,2,2,213 = 13!

2!·2!·2!·2! = 389.188.800.

19. P 2,2,2,29 = 22.680

20. P 4,3,2,312 = 277.200

21. O variacijah brez ponavljanja reda k govorimo, kadar razporejamo v vrsto kelementov, ki jih izberemo iz mnozice z n razlicnimi elementi (k ≤ n), kjer lahkovsak element uporabimo le enkrat. Vrstni red izbranih elementov je pomemben.Za variacije brez ponavljanja reda 2 za crke v nalogi imamo naslednje moznosti:ab, ac, ba, bc, ca, cb.Stevilo variacij brez ponavljanja reda k izracunamo po formuli V k

n = n!(n−k)! .

Za dani primer je V 23 = 3!

(3−2)! = 6 variacij brez ponavljanja reda 2.

22. O variacijah s ponavljanjem reda k govorimo, kadar razporejamo v vrsto k ele-mentov, ki jih izberemo iz mnozice z n elementi (k ≤ n), kjer lahko izbranielement uporabimo veckrat. Vrstni red elementov je pomemben. Za variacije sponavljanjem reda 2 za crke v nalogi imamo naslednje moznosti:aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc. Stevilo variacij s ponavljanjem reda k

izracunamo po formuli (p)V kn = nk. V danem primeru je potem (p)V 2

3 = 32 = 9.

23. a) V 46 = 6!

(6−4)! = 360 b) (p)V 46 = 64 = 1.296

24. a) 11.880 b) 1.860.480 c) (n + 2)!/6 d) n(n− 1)

25. a) n1 = 6, (n2 = −5 ni resitev) b) n = 5c) n = 2 d) n1 = 3, (n2 = −6 ni resitev)

26. a) V 57 = 2.520 b) (p)V 5

7 = 16.807

27. a) 2V 45 + 2V 3

4 = 288 b) 2(p)V 46 + 3(p)V 3

6 = 3.240

28. a) (p)V 48 = 4.096 b) V 4

8 = 1.680

29. Nalogo raje preoblikujemo tako, da skatle prirejamo izdelkom. V 45 = 120.

30. V 39 = 504

31. V 3n = 60 ⇒ n = 5

1. Kombinatorika 9

32. O kombinacijah brez ponavljanja reda k govorimo, kadar izbiramo k elementoviz mnozice z n razlicnimi elementi (k ≤ n), kjer vrstni red izbora elemen-tov ni pomemben. Predstavljamo si lahko tudi, da k elementov hkrati izbere-mo iz mnozice z n elementi. Za tri crke iz naloge imamo naslednje moznosti:abc, abd, acd, bcd. Stevilo kombinacij brez ponavljanja izracunamo po formuliCk

n =(nk

)= n!

k!(n−k)! . Za dani primer je C34 =

(43

)= 4!

3!·(4−3)! = 4.

33. C38 =

(83

)= 56.

34. C550 =

(505

)35. C7

39 = 15.380.937

36. a) 495 b) 496 c) (n(n− 1))/2 d) n + 1

37. a) n1 = 8, (n2 = −7 ni resitev) b) n = 5

c) n = 4

38.(n4

)+ 2

(n3

)+

(n2

)= n!

4!(n−4)! + 2 · n!3!(n−3)! + n!

2!(n−2)! =

= n!2!(n−4)!

(1

4·3 + 2 · 13(n−3) + 1

(n−2)(n−3)

)= n!

2!(n−4)! ·(n+1)(n+2)

4·3·(n−3)(n−2) = (n+2)!4!(n−2)! =

=(n+2

4

)39. n

n+1 ·(2nn

)= n

n+1 ·(2n)!n!·n! = (2n)!

(n+1)!·(n−1)! =(

2nn+1

)40. a) C4

6 = 15 b) C24 = 6

41. C28 = 28

42. Kombinacije s ponavljanjem reda k imenujemo vzorce, ki nastanejo tako, da izmnozice danih elementov na slepo izberemo en element, si ga ogledamo in gavrnemo v mnozico, nato zopet izbiramo, dokler ne nastane vzorec velikosti k.Pri tem vrstni red izbranih elementov ni pomeben. V danem primeru lahko ob-likujemo naslednje vzorce: AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD.Njihovo stevilo je 10, kar lahko tudi izracunamo po obrazcu (p)Ck

n = Ckn+k−1,

ce vzamemo, da je n = 4 in k = 2: (p)Ckn = Ck

n+k−1 = C24+2−1 = C2

5 = 10.

43. a) Ker se telefonske stevilke ne morejo ponavljati, imamo kombinacije brez

ponavljanja. Stevilo vseh mogocih vzorcev je Ckn = C20

100 =(

10020

)b) Ker se telefonske stevilke v vzorcu lahko ponavljajo, imamo kombinacije s

ponavljanjem. Stevilo vseh mogocih vzorcev je(p)Ck

n = Ckn+k−1 = C20

100+20−1 = C20119 =

(11920

)

1. Kombinatorika 10

44. V skatli so lahko tudi kroglice iste barve, zato imamo kombinacije s ponavljan-

jem. Za dani primer je n = 4 in k = 10. Potem je (p)C104 = C10

13 =(

1310

)= 286.

45. Kadar hkrati izbiramo elemente iz vec tujih mnozic in vrstni red elementovni pomemben, imamo vezane kombinacije. Ce iz prve mnozice z n1 elementiizbiramo k1 elementov in hkrati iz druge mnozice z n2 elementi k2 elementovin tako naprej, je stevilo vseh moznih razlicnih izborovCk1,k2,...,kr

n1,n2,...,nr =(n1

k1

)·(n2

k2

)· . . . ·

(nr

kr

). Med 12 zenskami lahko izberejo dve zenski

na C212 razlicnih nacinov, hkrati pa med 8 moskimi tri moske na C3

8 razlicnihnacinov. Petclansko komisijo lahko izberejo torej na C2

12 · C38 = 3.696 razlicnih

nacinov.

46. Bele kroglice lahko izbiramo le iz mnozice belih in rdece iz mnozice rdecihkroglic. Med stirimi kroglicami zelimo dve ali tri rdece kroglice, zato je stevilovseh moznosti C2

5 · C27 + C1

5 · C37 = 385.

47. Vsaj en kralj med tremi kartami pomeni en, dva ali trije kralji med njimi.Nalogo resimo hitreje, ce od stevila vseh moznih kombinacij reda 4 izmed 32elementov odstejemo stevilo kombinacij, ko med tremi kartami ni nobenegakralja: C3

32 − C04 · C3

28 = 1.684.

48. C05 · C5

6 + C15 · C4

6 + C25 · C3

6 = 281

49. C27 · C2

3 · C45 = 315

2. VERJETNOSTNI RACUN

2.1 Osnovni pojmi verjetnostnega racuna

1. Katere od nastetih mnozic predstavljajo popoln sistem dogodkov pri metupostene igralne kocke? Ali je katera med njimi popoln sistem elementarnihdogodkov?a) A = {S, L}, kjer je S padec sodega stevila pik in L padec lihega stevila pik,b) B = {M3, V3}, kjer pomeni M3, da padejo manj kot tri pike in V3, da padejo

vec kot tri pike,c) C = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}, kjer pomeni Ei padec i pik,d) D = {M2, V2}, kjer pomeni M2, da padeta manj kot dve piki in V2, da

padeta vsaj dve piki.

2. Zapisite popoln sistem elementarnih dogodkov pri poskusu, kjer hkrati vrzemoposteno igralno kocko in posten kovanec. Oznacimo z Ei padec i pik na kockiter s C padec cifre in z G padec grba na kovancu.

3. V porodnisnici so pri rojstvu trojckov belezili vrstni red rojstva novorojenckovglede na spol. Zapisite popoln sistem dogodkov, ce oznacimo z D rojstvo deklicein z F rojstvo fantka.

4. Naj bo poskus met postene igralne kocke. Pri tem se lahko zgodijo naslednjidogodki:A = {pade sodo stevilo pik},B = {padejo manj kot tri pike},C = {pade stevilo, deljivo s tri},D = {pade liho stevilo pik}.Odgovorite na naslednja vprasanja:a) Kaj je vsota dogodkov A in B?b) Kaj je produkt dogodkov A in B?c) Ali sta dogodka A in B zdruzljiva?d) Kaj je nasprotni dogodek dogodka C?e) Ali sta dogodka A in D zdruzljiva?

2. Verjetnostni racun 12

5. Strelec trikrat zapored strelja proti tarci. Oznacimo z Z zadetek in z Z zgresenistrel. Zapisite popoln sistem elementarnih dogodkov in z njimi zapisite naslednjedogodke:A = {tarca je zadeta natanko enkrat},B = {tarca je zadeta vsaj dvakrat},C = {prvic je zadel v tretjem poskusu},D = {tarca je zadeta kvecjemu dvakrat}.

6. V posodi imamo listke s stevili od 1 do 50. Na slepo izvlecemo en listek. Najbosta dogodka A = {stevilo je deljivo s 5} in B = {stevilo je sodo}.a) Kaj je vsota dogodkov A in B?b) Kaj je produkt dogodkov A in B?c) Ali sta dogodka A in B zdruzljiva?d) Kaj je nasprotni dogodek dogodka B?

2.2 Verjetnost slucajnega dogodka

7. V posodi je 10 kroglic, od tega 6 modrih, ostale pa so rumene. Na slepoizvlecemo eno kroglico. Koliksna je verjetnost, da:a) je kroglica modre barve,b) je kroglica rumene barve?

8. Koliksna je verjetnost, da s crkami E, M, O, P, R, T na slepo zapisemo besedoPROMET?

9. Na mizi lezi sest listkov s crkami A, B, C, D, E, F. Na slepo vzamemo stiri listkein z njimi sestavimo besedo. Koliksna je verjetnost, da se bo beseda koncala nasamoglasnik?

10. Koliksna je verjetnost, da bo igralec pri navadni igri ˝Loto˝ zadel sedmico, ceje izpolnil eno kombinacijo sedmih stevil izmed 39 stevil?

11. V skatli je 60 kroglic, ki so ostevilcene s stevilkami od 1 do 60. Na slepoizvlecemo eno kroglico. Koliksna je verjetnost, da je stevilo na kroglici:

a) deljivo s 3, b) deljivo s 5, c) deljivo s 3 ali s 5?

12. Koliksna je verjetnost, da iz posode, v kateri je 5 belih, 6 rdecih in 3 modrekroglice na slepo izvlecemo kroglico, ki je bele ali modre barve?

13. Iz kupa 32 igralnih kart na slepo izvlecemo eno karto. Koliksna je verjetnost,da je karta dama ali pik?


14. Na vlaku je med 30 potniki 5 potnikov brez vozne karte. Sprevodnik na slepoizbere 6 potnikov. Koliksna je verjetnost, da bodo med njimi trije potniki brezvozne karte?

15. V skatli je 7 belih, 3 modre in 8 crnih kroglic. Kroglice iste barve med sebojrazlikujemo. Na slepo izvlecemo hkrati tri kroglice. Koliksna je verjetnost, da:a) so vse tri kroglice bele,b) je ena kroglica modra, dve pa crni,c) nobena kroglica ni modra,d) je vsaj ena kroglica crna,e) je ena kroglica bela in dve modri ali pa ena modra in dve beli?

16. V trgovino so prejeli posiljko 50 zarnic, med njimi pa je bilo 8 neuporabnih.Kupec je na slepo izbral 10 zarnic. Koliksna je verjetnost, da:a) so vse zarnice uporabne,b) je kvecjemu ena zarnica neuporabna?

17. Med 40 izdelki je 5 izdelkov z napako. Kontrolor kakovosti na slepo izbere vzorec4 izdelkov. Serijo izdelkov zavrne, ce je v vzorcu vec kot en izdelek z napako.Koliksna je verjetnost, da je serijo zavrnil?

18. Iz obicajnega kompleta 32 igralnih kart na slepo izvlecemo stiri karte. Izracunajteverjetnost, daa) so vse stiri karte rdece,b) sta dve karti dami in ena je as,c) je vsaj ena karta pik,d) je kvecjemu ena karta dama,e) so dve ali tri karte kralji.

2.3 Pogojna verjetnost in verjetnost produkta

19. Dogodka A in B sta neodvisna. Izracunajte verjetnosti dogodkov AB, AB,AB, A/B, B/A, ce je verjetnost dogodka P (A) = 0,3 in verjetnost dogodkaP (B) = 0,6.

20. Izracunajte pogojni verjetnosti P (A/B) in P (B/A), ce so verjetnostiP (A) = 0,8, P (B) = 0,5, P (AB) = 0,3.

21.‡ Izracunajte verjetnosti P (A/B) in P (B/A) nezdruzljivih dogodkov A in B, kjerje P (A) > 0 in P (B) > 0. Sta dogodka A in B odvisna ali neodvisna?

22.‡ Izracunajte verjetnosti P (A/B) in P (B/A), kjer je dogodek A nacin dogodkaB in dogodek B ni gotov dogodek. Sta dogodka A in B odvisna ali neodvisna?


23. Stirikrat zapored vrzemo posteno igralno kocko. Izracunajte verjetnost, da boprvic padla sestica, drugic liho stevilo, tretjic stirica in cetrtic dvojka ali trojka.

24. Dva lovca hkrati in neodvisno streljata na medveda. Verjetnost, da zadene prvistrelec, je 0,7 in verjetnost, da zadene drugi, je 0,6. Izracunajte verjetnost, daje medved zadet:a) natanko enkrat,b) natanko dvakrat,c) kvecjemu enkrat pri pogoju, da je zadel vsaj en strelec.

25. Trije strelci hkrati ustrelijo proti tarci in jo zadenejo z verjetnostmi 0,3, 0,5 in0,8. Koliksna je verjetnost, da:a) bo tarca zadeta natanko enkrat,b) bo zadeta vsaj dvakrat,c) bo zadeta natanko dvakrat pri pogoju, da vsaj en strelec zadene?

26. V obratu imajo tri stroje. Verjetnosti njihovih okvar v enem mesecu so zaprvi, drugi in tretji stroj po vrsti 0,2, 0,15 in 0,11. Okvare strojev so medseboj neodvisne. Izracunajte verjetnost, da je moral vzdrzevalec v enem mesecupopraviti vsaj en stroj.

27. V posodi je 12 modrih in 18 belih kroglic. Na slepo izberemo sestkrat po enokroglico. Koliksna je verjetnost, da bodo prve stiri izbrane kroglice bele, zadnjidve pa modri, ce:a) izbranih kroglic ne vracamo v posodo,b) izbrano kroglico vsakokrat vrnemo v posodo?

28. V posodi je 12 belih, 30 rdecih, 20 modrih in 15 zelenih kroglic. Petkrat zaporedna slepo izvlecemo po eno kroglico. Koliksna je verjetnost, da bosta prvi dveizvleceni kroglici rdeci, tretja bela, cetrta modra in peta zelena, ce:a) izvleceno kroglico vsakokrat vrnemo v posodo,b) izvlecenih kroglic ne vracamo v posodo?

29. Z anketo so zeleli ugotoviti, ali so gledalci iz Ljubljane, Maribora in Koprazadovoljni ali nezadovoljni s televizijskimi programi. Tabela podaja stevilo ljudiiz posameznih krajev, ki so zadovoljni oziroma nezadovoljni s programi:

zadovoljni nezadovoljni

Ljubljana 229 153Maribor 143 200Koper 220 195

Na slepo izberemo en izpolnjen anketni listic. Izracunajte verjetnost, da ga jeizpolnil gledalec, ki je:


a) iz Maribora,b) nezadovoljen s programom,c) iz Ljubljane in je s programom zadovoljen,d) zadovoljen s programom, pri pogoju, da je iz Kopra,e) iz Maribora, ce veste, da je s programom nezadovoljen,f) iz Maribora ali je s progamom zadovoljen.

30. V podjetju so zbrali podatke svojih zaposlenih o spolu in izobrazbi. Izobrazboso razdelili na osnovnosolsko (O), srednjesolsko (S) in visokosolsko (V ). Podatkiso zbrani v tabeli:

O S V

M 19 46 12Z 13 50 10

Kadrovnik je na slucajen nacin izbral eno osebo v podjetju. Izracunajte verjet-nost, da je izbral:a) moskega,b) osebo s srednjesolsko izobrazbo,c) zensko s srednjesolsko izobrazbo,d) med zenskami tisto, ki ima visokosolsko izobrazbo,e) moskega, ce veste, da ima oseba osnovnosolsko izobrazbo.

31. Hkrati vrzemo dve posteni igralni kocki. Izracunajte verjetnost dogodka, da:a) je vsota pik na obeh kockah 8,b) je na drugi kocki padla ena pika vec kot na prvi kocki,c) je vsota pik na obeh kockah 9, pri pogoju, da so na vsaki kocki padle vsaj

stiri pike,d) so na vsaki kocki padle vsaj tri pike, pri pogoju, da je razlika pik na obeh

kockah dve,e) je produkt pik na obeh kockah vsaj 20, pri pogoju, da je na prvi kocki padlo

liho stevilo pik.

32.‡ V posodi so 4 rdece in 2 modri kroglici. Dva otroka jemljeta kroglice iz posode.Najprej vzame kroglico prvi otrok in jo vrne nazaj, nato jo vzame drugi otrokin jo vrne nazaj. Igro ponavljata toliko casa, dokler eden izmed njiju ne izvlecemodre kroglice. Izracunajte verjetnost,a) da prvi otrok prvi izvlece modro kroglico,b) da drugi otrok prvi izvlece modro kroglico.


2.4 Popolna verjetnost in Bayesova formula

33. V prvi posodi so 4 bele in 5 zelenih kroglic, v drugi pa 3 bele in 6 zelenihkroglic. Na slepo izvlecemo eno kroglico iz prve posode in jo damo v drugoposodo. Nato pa iz druge posode na slepo izvlecemo eno kroglico.a) Koliksna je verjetnost, da iz druge posode izvlecemo belo kroglico?b) Iz druge posode smo izvlekli belo kroglico. Koliksna je verjetnost, da je bila

tudi iz prve posode izvlecena bela kroglica?

34. V prvi posodi je 5 modrih in 8 belih listicev, v drugi pa 7 modrih in 10 be-lih listicev. Vrzemo posteno igralno kocko. Ce padeta vsaj dve piki, na slepoizvlecemo dva listica iz prve posode, sicer pa iz druge.a) Koliksna je verjetnost, da sta izbrana listica enake barve?b) Izvlecena listica sta bila enake barve. Koliksna je verjetnost, da sta na kocki

padli manj kot dve piki?

35. Iz kraja A v kraj B vozi 20 vozil, iz kraja B v kraj A pa 40 vozil. Verjetnost,da bo vozilo, ki vozi iz kraja A v kraj B, zavilo na vmesno bencinsko postajo,je 0,2, in da bo zavilo vozilo, ki vozi iz kraja B v kraj A, je 0,3.a) Na slepo izberemo eno vozilo in ga opazujemo. Koliksna je verjetnost do-

godka D, da bo vozilo zavilo na vmesno bencinsko postajo?b) Vozilo je zavilo na vmesno bencinsko postajo. Koliksna je verjetnost, da je

to vozilo, ki vozi iz kraja A v kraj B?c) Vozilo je zavilo na vmesno bencinsko postajo. Koliksna je verjetnost, da je

to vozilo, ki vozi iz kraja B v kraj A?

36. Prevoznisko podjetje ima 10 starih in 5 novih tovornjakov. Verjetnost, da sepokvari star tovornjak, je 0,12, in verjetnost, da se pokvari nov tovornjak, je0,01. Voznik je za prevoz tovora na slepo izbral enega izmed tovornjakov.a) Koliksna je verjetnost dogodka A, da se bo izbrani tovornjak pokvaril?b) Izbrani tovornjak se je pokvaril. Koliksna je verjetnost, da je to eden izmed

starih tovornjakov?c) Izbrani tovornjak se je pokvaril. Koliksna je verjetnost, da je to eden izmed

novih tovornjakov?

37. Trije stroji izdelujejo enak izdelek. Prvi stroj izdela 35 % vseh izdelkov, drugi30 % in tretji 35 %. Vendar vsak od strojev izdela tudi nekaj izmeta. Prvi strojizdela 5 % neuporabnih izdelkov, drugi 3 % in tretji 2 %. V kontroli preverjajokvaliteto izdelkov. Na slepo izberejo en izdelek.a) Koliksna je verjetnost, da je izbrani izdelek neuporaben?b) Izbrani izdelek je neuporaben. Koliksna je verjetnost, da ga je izdelal drugi

stroj?


38. Na izpitu iz matematike je bilo med vsemi kandidati 35 % studentov, ki po-navljajo letnik. Izpit je uspesno opravilo 55 % ponavljalcev in 70 % ostalihkandidatov. Profesor je na slucajen nacin izbral en izpit.a) Koliksna je verjetnost, da je izbrani izpit ocenjen pozitivno?b) Izbrani izpit je ocenjen pozitivno. Koliksna je verjetnost, da ga je oddal

ponavljalec?

39.‡ Trije topovi streljajo na tank z verjetnostmi zadetkov 0,5, 0,4 in 0,7. Verjetnost,da bo tank unicen z enim zadetkom je 0,2, z dvema 0,5 in s tremi 0,8. Vsi trijetopovi streljajo hkrati in neodvisno drug od drugega.a) Koliksna je verjetnost, da bo tank unicen?b) Tank je unicen. Koliksna je verjetnost, da je bil zadet s tremi zadetki?c) Tank je unicen. Koliksna je verjetnost, da je bil zadet z vsaj dvema zadet-

koma?

2.5 Zaporedja neodvisnih poskusov

40. Verjetnost, da se v poskusu zgodi dogodek A, je 0,2. Poskus smo ponovili12-krat tako, da je izid posameznega poskusa neodvisen od izidov v predhodnjihposkusih. Koliksna je verjetnost, da se je dogodek A zgodil natanko 7-krat?

41. Sestkrat zapored vrzemo posteno igralno kocko. Koliksna je verjetnost,a) da pade sestica natanko trikrat,b) da pade sestica prvic pri zadnjem metu,c) da pade sestica kvecjemu dvakrat?

42. Med baterijskimi vlozki je 10 % neuporabnih. Izracunajte verjetnost, da so med15 izdelki najvec trije neuporabni.

43. Verjetnost, da postna posiljka prispe na pravi naslov, je 99 %. Izracunajteverjetnost, da sta med 40 posiljkami kvecjemu dve posiljki prispeli na napacninaslov.

44. Student mora na izpitu pri vsakem od dvajsetih vprasanj obkroziti pravilenodgovor izmed treh podanih odgovorov. Vsakokrat je pravilen natanko eden ododgovorov. Ker se student na izpit ni pripravil, je obkrozal na slepo. Koliksnaje verjetnost, da pravilno resil natanko deset nalog?

45. V racunovodstvu podjetja imajo 8 racunalnikov. Verjetnost, da se racunalnikpokvari v enem letu, je za vse racunalnike enaka 0,25. Izracunajte verjetnost,da se je v istem letu pokvarilo najvec 6 racunalnikov.

46. Kaj je bolj verjetno? Da padejo trije grbi pri desetih metih kovanca ali petgrbov pri petnajstih metih kovanca?


47.‡ Kolikokrat moramo vreci kocko, da bo padla enka prvic v zadnji ponovitviposkusa z verjetnostjo najmanj 0,05?

48. Peljemo se skozi pet semaforiziranih krizisc. Privzemimo, da med seboj nisosinhronizirana, kar pomeni, da delujejo neodvisno drug od drugega. V vsakemkriziscu naj bo verjetnost, da bo gorela zelena luc, ko pripeljemo v krizisce,enaka 0,4. Koliksna je verjetnost, da bo gorela zelena luca) v natanko treh kriziscih,b) v natanko stirih kriziscih,c) v najvec dveh kriziscih,d) v vsaj enem kriziscu?

2.6 Slucajne spremenljivke

49. Diskretna slucajna spremenljivka X ima naslednjo verjetnostno shemo:

X :(

1 2 3 4 50,4 p 0,1 0,15 p

)Dolocite p.

50. Diskretna slucajna spremenljivka X je enakomerno porazdeljena z zalogo vre-dnosti {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}. Zapisite njeno verjetnostno shemo.

51. Trikrat zapored vrzemo kovanec. Slucajna spremenljivka X naj bo stevilo gr-bov, ki pri tem padejo. Zapisite njeno verjetnostno shemo.

52. Kosarkar petkrat zapored vrze na kos. Verjetnost zadetka je v vseh metih 1/3.Slucajna spremenljivka X naj bo stevilo dosezenih kosev. Zapisite verjetnostnoshemo spremenljivke X.

53. V prvi skatli imamo dve kroglici, ki sta ostevilceni s stevilkama 1 in 2, v drugipa tri kroglice s stevilkami 1, 2 in 3. Slepo izberemo iz vsake od skatel poeno kroglico. Slucajna spremenljivka X naj bo vsota stevilk na obeh kroglicah.Zapisite njeno verjetnostno shemo.

54. Med 12 izdelki so 4 izdelki z napako. Na slepo izberemo med vsemi izdelkitri izdelke. Slucajna spremenljivka X naj bo stevilo izdelkov z napako medizbranimi izdelki. Zapisite njeno verjetnostno shemo.

55. Slucajna spremenljivka X ima naslednjo verjetnostno shemo:

X :(−1 0 1 2 30,1 0,1 0,4 0,1 0,3

)


Izracunajte matematicno upanje, varianco in standardni odklon spremenljivkeX. Razlozite pomen izracunanih vrednosti.

56. Diskretna slucajna spremenljivka X ima verjetnostno shemo(1 2 3 4 5

0,3 0,1 0,1 0,15 p

)a) Dolocite verjetnost p.b) Koliksna je verjetnost, da bo vrednost spremenljivke X enaka 3 ali 4?c) Koliksna je verjetnost, da vrednost spremenljivke X ni vecja od 2?d) Dolocite matematicno upanje, varianco in standardni odklon za X.

57. Celostevilska diskretna slucajna spremenljivka X ima verjetnostno shemo

X :(−2 −1 3 6 7 x6

0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 p

)Izracunajte x6 in p, ce je:a) njeno matematicno upanje enako 2,b) njeno matematicno upanje enako 1,5,c) njena varianca enaka 14,49.

58. Iz obicajnega kompleta 32 igralnih kart na slepo izvlecemo stiri karte hkrati.Slucajna spremenljivka X naj bo stevilo src med izvlecenimi kartami. Zapisitenjeno verjetnostno shemo in izracunajte matematicno upanje, varianco in stan-dardni odklon spremenljivke X.

59. Iz posode, v kateri je 8 belih in 4 rdece kroglice, trikrat zapored izvlecemo po enokroglico. Izvleceno kroglico vsakokrat vrnemo v posodo. Slucajna spremenljivkaX naj bo stevilo izvlecenih rdecih kroglic. Zapisite njeno verjetnostno shemoin izracunajte matematicno upanje, varianco in standardni odklon.

60. V posodi je 5 belih in 3 crne kroglice. Na slepo izvlecemo iz posode 2 kroglicihkrati. Vsaka izvlecena crna kroglica povzroci izgubo 1.000,00 d. e., vsakaizvlecena bela kroglica pa dobicek 2.000,00 d. e. Slucajna spremenljivka X najbo dobicek pri vsakem vlecenju kroglic. Dolocite verjetnostno shemo, matematicnoupanje in standardni odklon spremenljivke X.

61. Verjetnost, da je na vlaku slepi potnik brez vozne karte, je 0,1. Sprevodnikna vlaku na slepo izbere 3 potnike. Slucajna spremenljivka X naj bo stevilopotnikov brez vozne karte med izbranimi tremi potniki. Zapisite verjetnostnoshemo in izracunajte matematicno upanje ter standardni odklon slucajne spre-menljivke X.


62. Verjetnost, da se izdelek poskoduje pri prevozu, je 0,05. Za kontolo kvaliteteprevoza smo nakljucno izbrali 3 izdelke. Naj bo slucajna spremenljivka X steviloposkodovanih izdelkov med izbranimi izdelki. Zapisite verjetnostno shemo inizracunajte matematicno upanje ter standardni odklon slucajne spremenljivkeX.

63. Verjetnost, da se bo vozilo ustavilo na pocivaliscu ob avtocesti, je 0,4. Opazu-jemo tri nakljucno izbrana vozila na avtocesti. Naj bo slucajna spremenljivkaX stevilo avtomobilov med izbranimi tremi vozili, ki se ustavijo na pocivaliscu.Izracunajte matematicno upanje in standardni odklon slucajne spremenljivke.

64. Na opazovanem cestnem odseku se v enem letu zgodijo povprecno tri prometnenesrece. Izracunajte verjetnost, da se bo v naslednjem letu zgodilo 5 prometnihnesrec, in verjetnost, da se bo zgodila le ena prometna nesreca. Predpostavimo,da je stevilo prometnih nesrec, ki se zgodijo na opazovenem cestnem odseku,slucajna spremenljivka, ki ima Poissonovo porazdelitev.

65. Na zeleznici so opazili, da ima vlak na relaciji Novo mesto - Ljubljana povprecno8-krat na mesec zamudo. Izracunajte verjetnost, da bo imel vlak na tej relaciji vnaslednjem mesecu zamudo 10-krat. Predpostavimo, da je stevilo zamud vlakovna tej relaciji v enem mesecu slucajna spremenljivka, ki ima Poissonovo po-razdelitev.

66. Opazovali so doloceno krizisce in ugotovili, da prevozi krizisce povprecno 5 vozilna minuto. Izracunajte verjetnost, da bosta v naslednji minuti prevozila kriziscenajvec dve vozili. Predpostavimo, da je stevilo vozil, ki prevozi krizisce v eniminuti, slucajna spremenljivka, ki ima Poissonovo porazdelitev.

67. Funkcija

F (x) =

0, x ≤ 0

x3, 0 < x < 11, x ≥ 1

je porazdelitvena funkcija zvezne slucajne spremenljivke X.a) Izracunajte verjetnosti P (X < 0,7) in P (0,1 ≤ X < 0,5).b) Izracunajte verjetnosti P (−1 ≤ X < 2) in P (X ≥ 0,6).c) Narisite graf funkcije F (x).

68.‡ Dolocite a in b tako, da bo

F (x) =

0, x ≤ 1

ax2 + bx− 3, 1 < x < 21, x ≥ 2

porazdelitvena funkcija zvezne slucajne spremenljivke X. Za izracunana a in bnarisite graf funkcije F (x) in izracunajte verjetnost P (1 ≤ X ≤ 1,5).


69.‡ Dolocite a tako, da bo

F (x) =

0, x ≤ 0

axx−2 , 0 < x < 1

1, x ≥ 1

porazdelitvena funkcija zvezne slucajne spremenljivke X in izracunajte gostotoporazdelitve te slucajne spremenljivke.


p(x) ={

ax− ax2, 0 < x < 10, sicer

gostota zvezne slucajne spremenljivke X in izracunajte P (0,1 ≤ X < 0,5).


p(x) ={

a−xa , 0 < x < 20, sicer

gostota zvezne slucajne spremenljivke X. Izracunajte P (X < 1), E(X), σ2(X)in σ(X).

72. Slucajna spremenljivka X naj bo enakomerno porazdeljena na intervalu [2, 6].Zapisite gostoto porazdelitve spremenljivke X in izracunajte P (3 < X < 5).

73. Zvezna slucajna spremenljivka X naj bo enakomerno porazdeljena na inter-valu [2, 6]. Zapisite gostoto porazdelitve spremenljivke X ter izracunajte E(X),σ2(X) in σ(X).

74. Zvezna slucajna spremenljivka X naj bo enakomerno porazdeljena na inter-valu [1, 3]. Zapisite gostoto porazdelitve spremenljivke X ter izracunajte E(X),σ2(X), σ(X) in P (1,5 ≤ X ≤ 2).

75. Slucajna spremenljivka Z je porazdeljena standardizirano normalno, Z ∼ N(0, 1).S pomocjo tabele vrednosti funkcije Φ (priloga 1) izracunajte:a) P (0 ≤ Z < 1), P (0 ≤ Z < 1,2), P (0 ≤ Z < 2,36)b) P (−2 ≤ Z < 0), P (−1,53 ≤ Z < 0), P (−0,58 ≤ Z < 0)c) P (1 ≤ Z < 2), P (0,24 ≤ Z < 1,12), P (−1,55 ≤ Z < −0,5)d) P (−1,2 ≤ Z < 0,5), P (−0,25 ≤ Z < 2,15), P (−2,51 ≤ Z < 0,18)e) P (Z ≥ 1,42), P (Z ≥ 0,12), P (Z ≤ −3,02)f) P (Z ≥ −1,35), P (Z ≥ −0,42), P (Z ≤ 2,13)


76.‡ Slucajna spremenljivka Z je porazdeljena standardizirano normalno, Z ∼ N(0, 1).Dolocite z tako, da bo veljalo P (1 ≤ Z < z) = 0,0494.

77.‡ Slucajna spremenljivka Z je porazdeljena standardizirano normalno, Z ∼ N(0, 1).Dolocite z tako, da bo veljalo P (z ≤ Z < 1, 5) = 0,2244.

78. Slucajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N(3, 0,7). Izracunajteverjetnosti:a) P (3 ≤ X < 3,5), P (3 ≤ X < 4,2), P (2 ≤ X < 3)b) P (3,2 ≤ X < 4), P (3,6 ≤ X < 4,1), P (1 ≤ X < 2,2)c) P (2 ≤ X < 3,5), P (1,5 ≤ X < 3,2), P (2,5 ≤ X < 3,5)d) P (X ≥ 4), P (X ≥ 5), P (X < 1,8)e) P (X ≤ 4,5), P (X ≤ 3,8), P (X ≥ 1,2)

79. Cas v minutah, ki ga potrebujejo vozniki osebnih avtomobilov, da prepeljejopot od Novega mesta do Ljubljane, naj bo normalno porazdeljena slucajnaspremenljivka po zakonu N(40, 6). Izracunajte verjetnost, da slucajno izbranivoznika) prepelje pot v casu med 38 in 46 minut;b) potrebuje za pot vec kot 50 minut;c) potrebuje za pot manj kot 35 minut.

80. Naj bo poraba goriva osebnega avtomobila na 100 km normalno porazdeljenaslucajna spremenljivka X z matematicnim upanjem µ = 9 litrov in standard-nim odklonom σ = 0,8 litra. Izracunajte verjetnost, da bo poraba goriva tegaavtomobila za naslednjih 100 kma) med 8 in 10 litrov;b) manj kot 9,2 litra;c) vec kot 8 litrov.

81. Kolicina tekocine v litrih, ki jo elevator (pretovorna mehanizacija) transportirav eni uri dela, je normalno porazdeljena slucajna spremenljivka po zakonuN(60, 4). Izracunajte verjetnost, da je kolicina transportirane tekocine v nasled-nji uria) manj kot 58 litrov;b) vec kot 65 litrov tekocine;c) med 57 in 59 litri.

82. Dolocite matematicno upanje slucajne spremenljivke X, ki je porazdeljena nor-malno s standardnim odklonom σ = 1,2 in za katero velja P (X < 14) = 0,7642.Koliksna je verjetnost, da bo v nekem poskusu vrednost spremenljivke X med13 in 15?


83. Slucajna spremenljivka X se porazdeljuje normalno z matematicnim upanjem2. Izracunajte standardni odklon spremenljivke X, ce je P (X ≥ 1) = 0,8621.Koliksna je verjetnost, da bo vrednost spremenljivke X v nekem poskusu vecjaod 3?

84. Predpostavimo, da je visina odraslih ljudi slucajna spremenljivka, ki je po-razdeljna normalno z matematicnim upanjem µ = 176 cm in standardnimodklonom σ = 9 cm. Izracunajte, priblizno koliko ljudi bo med 850 odraslimiljudmi visjih od 188 cm.

85.‡ Naj bo za odrasle osebe stevilo ur gledanja TV na teden normalno porazdeljenaslucajna spremenljivka z matematicnim upanjem 20 ur in s standardnim od-klonom 3 ure. Najmanj koliko ur na teden gleda TV oseba, ki spada v skupino20 % odraslih oseb, ki gledajo TV najvec?

86. S pomocjo aproksimacije binomske porazdelitve z normalno porazdelitvijo izracunajteverjetnost, da je pri 1.500 metih kovanca padel grb vsaj 800 krat.

87. S pomocjo aproksimacije binomske porazdelitve z normalno porazdelitvijo izracunajteverjetnost, da je pri 8.000 metih postene igralne kocke padlo sodo stevilo veckot 3.950-krat.

2.7 Formule in pravila

Verjetnost

1. vsote dveh nezdruzljivih dogodkov: P (A + B) = P (A) + P (B)

2. vsote zdruzljivih dogodkov: P (A + B) = P (A) + P (B)− P (AB)

3. nasprotnega dogodka: P (A) = 1− P (A)

4. pogojna: P (A/B) = P (AB)/P (B)

5. produkta v celoti neodvisnih dogodkov:P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2) · · ·P (An)

6. produkta odvisnih dogodkov:P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2/A1) · · ·P (An/A1A2 . . . An−1)

7. popolna: P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) + · · ·+ P (Hn)P (A/Hn)

Bayesova formula

P (Hi/A) =P (Hi)P (A/Hi)

P (A)(i = 1, 2, . . . , n)


Bernoullijeva formula

Pn(k) =(

n

k

)pk(1− p)n−k (k = 0, 1, . . . , n)

Verjetnostna shema diskretne slucajne spremenljivke

X :(

x1 x2 x3 . . . xn

p1 p2 p3 . . . pn

)(p1 + p2 + · · ·+ pn = 1)

Matematicno upanje diskretne slucajne spremenljivke

E(X) = Σnk=1pkxk = p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn

Varianca in standardni odklon diskretne slucajne spremenljivke

σ2(X) = E(X2)− (E(X))2, σ(X) =√

σ2(X)

E(X2) = Σnk=1pkx

2k = p1x

21 + p2x

22 + · · ·+ pnx2

n

Poissonova porazdelitev

Pλ(k) = P (X = k) =λk e−λ

k!, E(X) = λ

Porazdelitvena funkcja zvezne slucnajne spremenljivke (z gostoto verjet-nosti p)

F (x) = P (X < x) =∫ x

−∞p(t) dt,

∫ ∞

−∞p(x) dx = 1

Matematicno upanje zvezne slucajne spremenljivke (z gostoto verjetnostip)

E(X) =∫ ∞

−∞x p(x) dx

Varianca in standardni odklon zvezne slucajne spremenljivke (z gostotoverjetnosti p)

σ2(X) = E(X2)− (E(X))2, σ(X) =√

σ2(X)

E(X2) =∫ ∞

−∞x2p(x) dx


Normalna porazdelitev

p(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2

P (a ≤ X < b) = Φ(

b− µ

σ

)− Φ

(a− µ

σ

), Φ(−x) = −Φ(x) , Φ(∞) = 0,5

Aproksimacija binomske porazdelitve z normalno porazdelitvijo

P (a ≤ k < b) = Φ(

b− np√

npq

)− Φ

(a− np√

npq

), np > 4, n(1− p) > 4

RESITVE

1. Mnozica dogodkov je popoln sistem dogodkov danega poskusa, ce vsebuje vsemogoce dogodke, ki so paroma nezdruzljivi, njihova vsota pa je gotov dogodek.Popoln sistem elementarnih dogodkov je popoln sistem dogodkov, ki je sestavl-jen iz elementarnih dogodkov (dogodki, ki jih ne moremo zapisati kot vsotonekih dogodkov). Popolne sisteme dogodkov predstavljajo mnozice A, C in D,popoln sistem elementarnih dogodkov pa je C.

2. Dogodek v tem poskusu je urejeni par (Ei, C) ali pa (Ei, G). Popoln sistemelementarnih dogodkov je mnozica vseh moznih urejenih parov v poskusu:{(E1, C), (E2, C), (E3, C), (E4, C), (E5, C), (E6, C), (E1, G), (E2, G),(E3, G), (E4, G), (E5, G), (E6, G)}

3. Dogodek v poskusu je urejena trojka rojstev otrok, kjer so belezili spol.{(F, F, F ), (D,F, F ), (F,D, F ), (F, F, D), (D,D,F ), (D,F,D),(F,D,D), (D,D,D)}

4. a) Vsota dveh (ali vec) dogodkov se zgodi, ko se zgodi vsaj eden od obeh (alivec) dogodkov. Vsota dogodkov A in B v obravnavanem primeru se zgodi,ce pade 1, 2, 4 ali 6 pik.

b) Produkt dveh dogodkov se zgodi, ko se zgodita oba dogodka hkrati. Produktdogodkov A in B se torej zgodi, ce padeta dve piki.

c) Dogodka sta nezdruzljiva, ce se nikoli ne moreta zgoditi hkrati. V nasprot-nem primeru sta zdruzljiva. Dogodka A in B sta zdruzljiva, ker se lahkozgodita hkrati - ce pade 2.

d) Nasprotni dogodek dogodka C se zgodi natanko takrat, ko se dogodek C nezgodi, torej ce padejo 1, 2, 4 ali 5 pik.

e) Dogodka nista zdruzljiva, ker stevilo ne more biti liho in sodo hkrati.


5.{ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ

}A = ZZZ + ZZZ + ZZZ, B = ZZZ + ZZZ + ZZZ + ZZZ,C = ZZZ, D = ZZZ + ZZZ + ZZZ + ZZZ + ZZZ + ZZZ + ZZZ

6. a) Vsoto dogodkov predstavljajo izvlecena stevila, ki so deljiva s 5 ali z 2.b) Produkt dogodkov predstavljajo izvlecena stevila, ki so deljiva z 10 (s 5 in

z 2 hkrati).c) Dogodka se zgodita hkrati, ce izvlecemo listek s stevilom, ki je deljivo z 10,

zato sta zdruzljiva.d) B = {stevilo je liho}.

7. Naj bo n stevilo vseh mogocih enako verjetnih izidov v poskusu in m stevilougodnih izidov za dogodek A. Po klasicni definiciji verjetnosti je verjetnostdogodka A: P (A) = m/n.

a) Ker je v posodi 6 modrih kroglic, je m = 6 in n = 10 stevilo vseh kroglic.Verjetnost dogodka A je potem P (A) = m/n = 3/5.

b) m = 4, n = 10, P (A) = 2/5

8. Vse crke so razlicne, zato lahko sestavimo besedo PROMET na en sam nacin(m = 1). Stevilo vseh izidov pri slepem zapisovanju besede pa je stevilo per-mutacij 6 crk, zato je n = 6! = 720 in P (A) = 1/6! = 0,00139.

9. m = 2V 35 = 120, n = V 4

6 = 360, P (A) = 1/3

10. m = 1, n = C739 = 15.380.937, P (A) = 1/15.380.937 = 6,5 · 10−8

11. a) m = 20 stevil, ki so deljiva s 3, n = 60 vseh stevil, zato je P (A) = 1/3.b) m = 12, n = 60, P (B) = 1/5c) Dogodka A in B sta zdruzljiva, verjetnost vsote dveh zdruzljivih dogodkov

pa izracunamo po formuli P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB). Produktdogodkov predstavlja stevilo, ki je deljivo s 3 in s 5 hkrati, torej je deljivos 15 in P (AB) = 1/15. Verjetnost dogodka, da je stevilo deljivo s 3 ali s 5,je P (A + B) = 7/15.

12. m = 5 + 3 = 8, n = 14, P (A) = 8/14 = 4/7

13. Oznacimo z A dogodek, da je karta dama in z B, da je pik. Vsota dogodkovA + B je dogodek, da je karta dama ali pik, produkt dogodkov AB pa pikovadama. Dogodka sta zdruzljiva, zato jeP (A + B) = P (A) + P (B)− P (AB) = 4/32 + 8/32− 1/32 = 11/32.

14. Elemente izbiramo iz mnozice potnikov, ki je razdeljena na dve tuji podmnozici:na potnike brez vozne karte in na potnike z vozno karto. Uporabimo vezanekombinacije: m = C3

5 · C325, n = C6

30, P (A) = 0,0387.

15. a) m = C37 · C0

3 · C08 , n = C3

18, P (A) = 0,043


b) m = C07 · C1

3 · C28 , n = C3

18, P (B) = 0,103

c) Kroglice razdelimo na modre in na preostale. Potem je m = C03 · C3

15,n = C3

18, P (C) = 0,558.

d) Ce je D dogodek, da je vsaj ena crna kroglica (ena ali vec), je njegovnasprotni dogodek D, da nobena kroglica ni crna. Med verjetnostma do-godkov velja zveza P (D) = 1− P (D),zato je P (D) = 1−

(C0

8 · C310

)/C3

18 = 0,853

e) m = C17 · C2

3 · C08 + C2

7 · C13 · C0

8 , n = C318, P (E) = 0,103

16. a) m = C08 · C10

42 , n = C1050 , P (A) = 0,143

b) Kvecjemu ena neuporabna zarnica pomeni, da je neuporabna najvec enazarnica (torej 0 ali 1), zato jem = C0

8 · C1042 + C1

8 · C942, n = C10

50 , P (B) = 0,491.

17. Zopet uporabimo nasprotni dogodek.P (A) = 1− P (A) = 1− (C0

5C435 + C1

5C335)/C4

40 = 0,069.

18. a) m = C416 · C0

16, n = C432, P (A) = 0,051

b) m = C24 · C1

4 · C124, n = C4

32, P (B) = 0,016c) P (C) = 1− P (C) = 1− (C0

8 · C424)/C4

32 = 0,705d) m = C0

4 · C428 + C1

4 · C328, n = C4

32, P (D) = 0,934e) m = C2

4 · C228 + C3

4 · C128, n = C4

32, P (E) = 0,0662

19. Pogojna verjetnost P (A/B) je verjetnost, da se je zgodil dogodek A, pri pogoju,da se je zgodil tudi dogodek B. Izracunamo jo po formuli P (A/B) = P (AB)/P (B).Opazujemo torej stevilo vseh ugodnih izidov za produkt AB in stevilo ugodnihizidov za dogodek B.Dogodka A in B sta neodvisna, ce velja P (A/B) = P (A) inP (B/A) = P (B). Od tod sledi, da je P (AB) = P (A)P (B). Za dani primer jeP (AB) = P (A)P (B) = 0,18, P (AB) = P (A)P (B) = 0,12,P (AB) = P (A)P (B) = 0,42, P (A/B) = P (A) = 0,3, P (B/A) = P (B) = 0,6.

20. P (A/B) = P (AB)/P (B) = 0,6, P (B/A) = P (AB)/P (A) = 0,375

21. Ker sta dogodka nezdruzljiva, je njun produkt nemogoc dogodek: P (AB) = 0.P (A/B) = P (AB)/P (B) = 0 6= P (A), P (B/A) = P (AB)/P (A) = 0 6= P (B).Dogodka sta odvisna, ker P (A/B) 6= P (A) in P (A/B) 6= P (A).

22. Ce je dogodek A nacin dogodka B, se vsakokrat, ko se zgodi dogodek A, zgoditudi dogodek B. Potem je AB = A.P (A/B) = P (AB)/P (B) = P (A)/P (B) 6= P (A),P (B/A) = P (AB)/P (A) = P (A)/P (A) = 1 6= P (B).Dogodka sta odvisna, ker P (A/B) 6= P (A) in P (B/A) 6= P (B).


23. Oznacimo omenjene dogodke po vrsti z A1, A2, A3, A4. Dogodki so med sebojneodvisni, zato je P (A1A2A3A4) = P (A1)P (A2)P (A3)P (A4) = 1

6 ·12 ·

16 ·

13 = 1

216 .

24. Oznacimo s S1 dogodek, da je prvi lovec zadel in s S2, da je zadel drugi. Potemje P (S1) = 0, 7 in P (S2) = 0,6. Verjetnosti dogodkov, da sta zgresila, pa staP (S1) = 1−P (S1) = 0,3 in P (S2) = 1−P (S2) = 0,4. Dogodek S1 je neodvisenod dogodkov S2 in S2, dogodek S2 pa od dogodkov S1 in S1.a) P (A) = P (S1S2 + S1S2) = P (S1)P (S2) + P (S1)P (S2) = 0,46b) P (B) = P (S1S2) = 0,42c) Dogodek, da je medved zadet kvecjemu enkrat, je A = S1S2 +S1S2 + S1S2,

in da je zadet vsaj enkrat, je B = S1S2 + S1S2 + S1S2. Produkt dogodkovAB je dogodek, ko se A in B zgodita hkrati. Torej je AB dogodek, da jemedved zadet natanko enkrat: AB = S1S2 + S1S2.P (A/B) = P (AB)/P (B) = 0,46/0,88 = 0,523.

25. a) P (A) = 0,38b) P (B) = 0,55c) Naj bo dogodek A, da je tarca natanko dvakrat zadeta in B dogodek, da je

vsaj en strelec zadel. P (A/B) = 0,46

26. P (A) = 1− 0,8 · 0,85 · 0,89 = 0,395

27. Oznacimo z Ai, da je bila pri i-tem izbiranju izbrana bela kroglica, in z Bi, daje bila pri i-tem izbiranju izbrana modra kroglica.a) Ker izbranih kroglic ne vracamo v posodo, so posamezni dogodki med seboj

odvisni.P (A1A2A3A4B5B6) =P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2)P (A4/A1A2A3)P (B5/A1A2A3A4) ··P (B6/A1A2A3A4B5) = 18

30 ·1729 ·

1628 ·

1527 ·

1226 ·

1125 = 0,023

b) Ker izbrano kroglico vsakokrat vrnemo v posodo, so posamezni dogodkimed seboj neodvisni.P (A1A2A3A4B5B6) = P (A1)P (A2)P (A3)P (A4)P (B5)P (B6) == 18

30 ·1830 ·

1830 ·

1830 ·

1230 ·

1230 = 0,021

28. a) P (R1R2B3M4Z5) = 0,0012 b) P (R1R2B3M4Z5) = 0,0013

29. Dopolnimo tabelo:

zadovoljni nezadovoljni skupaj

Ljubljana 229 153 382Maribor 143 200 343Koper 220 195 415skupaj 592 548 1140


Oznacimo po vrsti z L, M, K dogodke, da je oseba iz Ljubljane, Mariboraoziroma iz Kranja ter z Z in N , da je oseba zadovoljna oziroma nezadovoljnas programom.a) P (M) = 343/1.140 = 0,301b) P (N) = 548/1.140 = 0,481c) P (LZ) = 229/1.140 = 0,201d) P (Z/K) = P (ZK)/P (K) = 220/415 = 0,530e) P (M/N) = P (MN)/P (N) = 200/548 = 0,365f) P (M + Z) = P (M) + P (Z)− P (MZ) = 343

1140 + 5921140 −

1431140 = 792

1140

30. Naj bodo O, S, V po vrsti dogodki, da ima oseba osnovnosolsko, srednjesolskoali visokosolsko izobrazbo ter M in Z, da je oseba moskega oziroma zenskegaspola.a) P (M) = 77/150 = 0,513b) P (S) = 96/150 = 0,64c) P (ZS) = 50/150 = 0,333d) P (V/Z) = P (V Z)/P (Z) = 10/73 = 0,137e) P (M/O) = P (MO)/P (O) = 19/32 = 0,594

31. Met dveh igralnih kock lahko predstavimo z urejenim parom (i, j), kjer je istevilo padlih pik na prvi in j stevilo padlih pik na drugi kocki. Ker je na vsakikocki mogocih 6 izidov, je 6 · 6 = 36 vseh mogocih parov. Pri ugotavljanjuugodnih izidov za posamezen dogodek prestejemo ustrezne urejene pare.

a) P (A) = 5/36 b) P (A) = 5/36c) P (A/B) = P (AB)/P (B) = 2/9 d) P (A/B) = P (AB)/P (B) = 1/2e) P (A/B) = P (AB)/P (B) = 1/6

32. Naj bo Mi dogodek, da bila pri i-tem poskusu izvlecena modra, in Rj do-godek, da je bila pri j-tem poskusu izvlecena rdeca kroglica. Dogodki, oznaceni zlihimi indeksi, predstavljajo kroglice prvega otroka in dogodki, oznaceni s sodimiindeksi, kroglice drugega otroka.a) Dogodek, da je prvi otrok prvi izvlekel modro kroglico,

je A = M1 + R1R2M3 + R1R2R3R4M5 + R1R2R3R4R5R6M7 + · · · .Potem je P (A) = 1

3 +(

23

)2 · 13 +

(23

)4 · 13 +

(23

)6 · 13 + · · · =

= 13

(1 +

(23

)2 +(

23

)4 +(

23

)6 + · · ·)

= 35

b) B = R1M2 + R1R2R3M4 + R1R2R3R4R5M6 + · · · ,P (B) = 2

3 ·13 +

(23

)3 · 13 +

(23

)5 · 13 + · · · = 2

5

33. Dvofazni poskus:1. faza: Iz prve posode lahko izvlecemo belo kroglico (hipoteza H1) ali zeleno


kroglico (hipoteza H2). P (H1) = 4/9 in P (H2) = 5/9. Hipoteze sestavljajopopoln sistem dogodkov, zato je P (H1) + P (H2) = 1.2. faza: Kroglico iz prve posode smo dali v drugo posodo, zato se je stevilokroglic v drugi posodi spremenilo. Katero kroglico bomo izvlekli iz druge posode,je odvisno od tega, katero kroglico smo iz prve posode premestili v drugo. Najbo A dogodek, da smo iz druge posode izvlekli belo kroglico. Potem je:P (A/H1) = 4/10, ce smo iz prve posode dali v drugo posodo belo, inP (A/H2) = 3/10, ce smo iz prve posode v drugo dali zeleno kroglico.a) Po formuli za popolno verjetnost je

P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) = 49 ·

410 + 5

9 ·310 = 31

90 .b) Po Bayesovi formuli je P (H1/A) = P (H1)P (A/H1)/P (A) = 16/31.

34. 1. faza: Naj bo hipoteza H1, da sta na kocki padli vsaj dve piki, in H2, da stapadli manj kot 2 piki. P (H1) = 5/6, P (H2) = 1/6. 2. faza: Naj bo dogodek A,da sta listica enake barve. Potem je P (A/H1) = (C2

5C08 + C0

5C28 )/C2

13 = 0,487in P (A/H2) = (C2

7C010 + C0

7C210)/C2

17 = 0,485.a) P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) = 0,487b) P (H2/A) = P (H2)P (A/H2)/P (A) = 0,166

35. Naj bo v prvi fazi hipoteza H1, da vozilo vozi iz kraja A v kraj B, in H2, davozilo vozi iz kraja B v kraj A. Ker opazujemo n = 60 vozil, je P (H1) = m

n =2060 = 1

3 in P (H2) = mn = 40

60 = 23 .

V drugi fazi naj bo D dogodek, da je vozilo zavilo na vmesno bencinsko postajo.Potem je P (D/H1) = 0,2 = 2

10 in P (D/H2) = 0,3 = 310 .

a) P (D) = 13 ·

210 + 2

3 ·310 = 0,267

b) P (H1/D) = P (H1)P (D/H1)P (D) = 0,25

c) P (H2/D) = 1− P (H1/D) = 1− 0,25 = 0,75

36. P (H1) = 1015 , P (H2) = 5

15 , P (A/H1) = 0,12, P (A/H2) = 0,01a) P (A) = 0,0833 b) P (H1/A) = 0,96 c) P (H2/A) = 0,04

37. a) 0,0335 b) 0,269

38. a) 0,648 b) 0,297

39. Naj bo hipoteza H0, da tank ni bil zadet, ter hipoteze H1, H2, H3, da je bilzadet natanko enkrat, dvakrat, trikrat. Potem je P (H0) = P (S1S1S1) = 0,09,P (H1) = 0,36, P (H2) = 0,41, P (H3) = 0,14. Ce oznacimo z A dogodek, daje tank unicen, so verjetnosti P (A/H0) = 0, P (A/H1) = 0,2, P (A/H2) = 0,5,P (A/H3) = 0,8.

a) P (A) = 0,389 b) P (H3/A) = 0,288c) P (H2/A) + P (H3/A) = 0,815


40. Verjetnost, da se bo dogodek A zgodil v n zaporednih neodvisnih ponovitvahposkusa natanko k-krat, je Pn(k) =

(nk

)pkqn−k, kjer je p verjetnost dogodka A

v posamezni realizaciji poskusa in q = 1 − p. V tej nalogi je p = P (A) = 0,2,q = 1− p = 0,8, n = 12, k = 7 in P12(7) =

(127

)0,270,85 = 0,0033.

41. a) p = 16 , q = 1− p = 5

6 , n = 6, k = 3, P6(3) =(63

) (16

)3 (56

)3 = 0,054b) Sestica ne bo padla v prvih petih metih, v sestem metu pa bo padla. Zato

izracunamo P5(0) · 1/6 = 0,067.c) Da bo sestica v sestih poskusih padla kvecjemu dvakrat, pomeni, da bo

padla 0, 1 ali 2 krat. Izracunamo P6(0) + P6(1) + P6(2) = 0,938.

42. p = 0,1, q = 0,9, n = 15, k = 0, 1, 2, 3, P15(0)+P15(1)+P15(2)+P15(3) = 0,944

43. p = 0,01, q = 1−p = 0,99, n = 40, k = 0, 1, 2, P40(0)+P40(1)+P40(2) = 0,993

44. p = 1/3, q = 1− p = 2/3, n = 20, k = 10, P20(10) = 0,054

45. p = 0,25, q = 1− p = 0,75, n = 8, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nalogo resimo hitreje znasprotnim dogodkom: 1− P8(7)− P8(8) = 0,99962.

46. Trije grbi v desetih metih kovanca: p = 0,5, q = 1− p = 0,5, n = 10,k = 3, P10(3) = 0,117. Pet grbov v petnajstih metih kovanca: p = 0,5,q = 1− p = 0,5, n = 15, k = 5, P15(5) = 0,092.Z vecjo verjetnostjo bodo med desetimi meti padli trije grbi.

47. Pn−1(0) · 1/6 ≥ 0,05 ⇒(

56

)n−1 ≥ 0,3 ⇒ n ≤ 7,6. Kocko vrzemo najvecsedemkrat.

48. p = 0,4 in q = 1− p = 0,6a) n = 5 in k = 3: P5(3) =

(53

)· 0,43 · 0,62 = 0,2304 .= 0,230

b) P5(4) =(54

)· 0,44 · 0,61 = 0,0768 .= 0,077

c) P5(0) + P5(1) + P5(2) = 0,07776 + 0,2592 + 0,3456 = 0,68256 .= 0,683d) 1− P5(0) = 1− 0,07776 = 0,92224 .= 0,922

49. Verjetnostna shema diskretne slucajne spremenljivke X je

X :(

x1 x2 x3 . . . xn

p1 p2 p3 . . . pn

)kjer je pi = P (X = xi) in p1 + p2 + · · ·+ pn = 1.Za dani primer je torej p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 2p + 0,65 = 1 ⇒ p = 0,175.

50. Enakomerno porazdeljena diskretna slucajna spremenljivka X zavzame vsakovrednost iz zaloge vrednosti z enako verjetnostjo, zato je 7p = 1 ⇒ p = 1/7.

X :(

5 10 15 20 25 30 3517

17

17

17

17

17

17

)


51. Met kovanca predstavlja Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov, kjer jep = 1/2, q = 1− p = 1/2. Zaloga vrednosti spremenljivke X je {0, 1, 2, 3}, kerlahko padejo 0, 1, 2 ali 3 grbi.p1 = P (X = 0) = P3(0) = 1/8, p2 = P (X = 1) = P3(1) = 3/8,p3 = P (X = 2) = P3(2) = 3/8, p4 = P (X = 4) = P3(3) = 1/8Verjetnostna shema je potem:

X :(

0 1 2 318

38

38

18

)

52. p = 1/3, q = 1 − p = 2/3. Stevilo zadetkov je lahko 0, 1, . . . , 5 z verjetnostmip0 = P (X = 0) = P5(0) = 32/243, p1 = P (X = 1) = P5(1) = 80/243, . . .,p5 = P (X = 5) = P5(5) = 1/243. Verjetnostna shema je:

X :(

0 1 2 3 4 532243

80243

80243

40243

10243

1243

)

53. X :(

2 3 4 516

26

26

16

)

54. X :(

0 1 2 31455

2855

1255

155

)

55. Naj bo X :(

x1 x2 x3 . . . xn

p1 p2 p3 . . . pn

)verjetnostna shema diskretne slucajne

spremenljivke X.Matematicno upanje E(X) je vrednost, pri kateri se stabilizira povprecje vred-nosti slucajne spremenljivke X pri velikem stevilu ponovitev poskusa. Za diskretnosluc. sprem. ga izracunamo po formuli E(X) = x1p1 +x2p2 +x3p3 + . . .+xnpn.Varianca je mera za razprsenost vrednosti slucajne spremenljivke okoli matema-ticnega upanja (povprecja) v kvadratnih enotah. Izracunamo jo po formuliσ2(X) = E(X2)− (E(X))2, kjer je za diskretno sluc. sprem.:E(X2) = x2

1p1 + x22p2 + x2

3p3 + . . . + x2npn. Standardni odklon slucajne spre-

menljivke σ(X) je mera za razprsenost vrednosti slucajne spremenljivke okolimatematicnega upanja, izrazen v istih enotah kot spremenljivka. Izracunamoga po formuli σ(X) =

√σ2(X). Za dani primer je E(X) = 1,4, E(X2) = 3,6,

σ2(X) = 3,6− (1,4)2 = 1,64 in σ(X) =√

1,64 = 1,28.

56. a) p = 0,35b) P (X = 3) + P (X = 4) = 0,1 + 0,15 = 0,25c) P (X = 1) + P (X = 2) = 0,3 + 0,1 = 0,4d) E(X) = 3,15, σ2(X) = 2,83, σ(X) = 1,68

57. a) p = 0,1, x6 = 9


b) p = 0,1, x6 = 4c) p = 0,1, x6 = 8, (−50/9 ni celostevilska resitev)

58. X :(

0 1 2 3 40,295 0,45 0,215 0,037 0,002

)E(X) = 1 srce, σ2(X) = 0,68 (src)2, σ(X) = 0,82 src

59. X :(

0 1 2 3827

1227

627

127

)E(X) = 1, σ2(X) = 2

3 , σ(X) = 0,816

60. X :(−2.000 1.000 4.000

328

1528

1028

)E(X) = 1.750, σ2(X) = 3.616.071,4, σ(X) = 1.901,6

61. X :(

0 1 2 30,729 0,243 0,027 0,001

)E(X) = 0,3 potnikov, σ2(X) = 0,27 potnikov2, σ(X) = 0,52 potnikov

62. X :(

0 1 2 30,8574 0,1354 0,0071 0,0001

)E(X) = 0,1499, E(X2) = 0,1647, σ2 = 0,1422, σ = 0,3771

63. X :(

0 1 2 30,216 0,432 0,288 0,064

)E(X) = 1,2, E(X2) = 2,16, σ2 = 0,72, σ = 0,85

64. Slucajna spremenljivka je porazdeljena po Poissonovem zakonu z λ = 3.Verjetnost, da se bo zgodilo 5 nesrec je P (X = 5) = P3(5) = 35 e−3

5!.= 0,101.

Verjetnost, da bo zgodila le ena nesreca je P (X = 1) = P3(1) = 31 e−3

1!.= 0,149.

65. λ = 8, k = 10, P8(10) = 810e−8

10! = 0,0993

66. λ = 5, k = 0, 1, 2, P5(0) + P5(1) + P5(1) = 50e−5

0! + 51e−5

1! + 52e−5

2! = 0,125

67. Porazdelitvena funkcija F (x) zvezne slucajne spremenljivke X je definirana spredpisom F (x) = P (X < x) =

∫ x−∞ p(t) dt. Od tod sledi, da je verjetnost

dogodka, da se vrednost slucajne spremenljivke X nahaja na intervalu [a, b),enaka P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a). Porazdelitvena funkcija je nepadajoca inz leve zvezna funkcija ter F (−∞) = 0 in F (∞) = 1. Funkcija p(x) se imenujegostota porazdelitve. Ce je funkcija p(x) zvezna, je F (x) = p′(x).a) P (X < 0,7) = P (−∞ < X < 0,7) = P (0 < X < 0,7) = F (0,7)− F (0) =

= 0,73 − 03 = 0,343 in P (0,1 ≤ X < 0,5) = F (0,5)− F (0,1) = 0,124.b) P (−1 ≤ X < 2) = 1 in P (X ≥ 0,6) = 1− F (0,6) = 0,784.


c) Graf je na sliki 67.

Slika 67

68. Zapisemo lahko F (1) = 0 in F (2) = 1 ⇒ a + b − 3 = 0, 4a + 2b − 3 = 1in izracunamo a = −1, b = 4. Porazdelitvena funkcija na intervalu (1, 2)je F (x) = −x2 + 4x − 3, njen graf pa se nahaja na sliki 68. Izracunamo severjetnost P (1 ≤ X ≤ 1,5) = F (1,5)− F (1) = 0,75.

Slika 68 Slika ??

69. a = −1, p(x) = F ′(x), zato je p(x) =

{2

(x−2)2, 0 < x < 1

0, sicer

70.∫∞−∞ p(x) dx = 1 ⇒

∫ 10 (ax− ax2) dx = 1 ⇒ a = 6

P (0,1 ≤ X ≤ 0,5) =∫ 0,50,1 (6x− 6x2) dx = 0,472

71.∫ 20

a−xa dx = 1 ⇒ a = 2, P (0 ≤ X ≤ 1) =

∫ 10

2−x2 dx = 0,75

E(X) =∫∞−∞ xp(x) dx ⇒ E(X) =

∫ 20

x(2−x)2 dx = 1

2

∫ 20 (2x− x2) dx = 2

3

σ2(X) = E(X2)− (E(X))2, kjer je E(X2) =∫∞−∞ x2p(x) dx ⇒

E(X2) =∫ 20

x2(2−x)2 dx = 2

3 ⇒ σ2(X) = 23 −

(23

)2 = 29 , σ(X) =

√σ2(X) =

√2

3

72. Enakomerna zvezna porazdelitev na intervalu [a, b] je definirana z gostoto

p(x) ={

1b−a , a ≤ x ≤ b

0, sicer


Za dani primer je torej p(x) ={

14 , 2 ≤ x ≤ 60, sicer

. Graf funkcije je na sliki 72.

P (3 < x < 5) =∫ 53 p(x) dx =

∫ 53

14 dx = 1

2 .

Slika 72

73. p(x) ={

14 , 2 ≤ x ≤ 60, sicer

E(X) =∫ 62

x4 dx = 4, E(X2) =

∫ 62

x2

4 dx = 523 , σ2(X) = 4

3 , σ(X) = 2√

33

74. p(x) ={

12 , 1 ≤ x ≤ 30, sicer

P (1,5 ≤ X ≤ 2) = 0,25, E(X) = 2, E(X2) = 133 , σ2(X) = 1

3 , σ(X) =√

33

75. Slucajna spremenljivka Z se porazdeljuje standardizirano normalno, Z ∼ N(0, 1),ce ima porazdelitveno funkcijo

F (z) =1√2π

∫ z

−∞e−t2/2 dt

in gostoto

p(z) =1√2π

e−z2/2,

katere graf je na sliki 75. Standardizirana slucajna spremenljivka Z ima matematicnoupanje µ = E(Z) = 0 in standardni odklon σ = 1.Verjetnost P (0 ≤ Z < z) izracunamo s pomocjo funkcije Φ, ki je tabelirana vprilogi. Velja namrec P (0 ≤ Z < z) = Φ(z) in Φ(−z) = −Φ(z) ter Φ(∞) = 0,5.Vrednost Φ(z) je na sliki 75 prikazana z osencenim poljem.


Slika 75

a) P (0 ≤ Z < 1) = Φ(1) = 0,3413, P (0 ≤ Z < 1,2) = Φ(1,2) = 0,3849P (0 ≤ Z < 2,36) = Φ(2,36) = 0,4909

b) P (−2 ≤ Z < 0) = Φ(0)− Φ(−2) = 0 + Φ(2) = 0,4772,P (−1,53 ≤ Z < 0) = Φ(0)− Φ(−1,53) = 0,4370,P (−0,58 ≤ Z < 0) = Φ(0)− Φ(−0,58) = 0,2190

c) P (1 ≤ Z < 2) = Φ(2)− Φ(1) = 0,1359,P (0,24 ≤ Z < 1,12) = Φ(1,12)− Φ(0,24) = 0,2738,P (−1,55 ≤ Z < −0,5) = Φ(−0,5)−Φ(−1,55) = −Φ(0,5)+Φ(1,55) = 0,2479

d) P (−1,2 ≤ Z < 0,5) = Φ(0,5)− Φ(−1,2) = Φ(0,5) + Φ(1,2) = 0,5764,P (−0,25 ≤ Z < 2,15) = Φ(2,15)−Φ(−0,25) = Φ(2,15) + Φ(0,25) = 0,5829,P (−2,51 ≤ Z < 0,18) = Φ(0,18)− Φ(−2,51) = Φ(0,18) + Φ(2,51) = 0,5654

e) P (Z ≥ 1,42) = P (1,42 ≤ Z < ∞) = Φ(∞)− Φ(1,42) = 0,0778,P (Z ≥ 0,12) = P (0,12 ≤ Z < ∞) = Φ(∞)− Φ(0,12) = 0,4522,P (Z ≤ −3,02) = P (−∞ < Z ≤ −3,02) = Φ(−3,02)− Φ(−∞) = 0,0013

f) P (Z ≥ −1,35) = P (−1,35 ≤ Z < ∞) = Φ(∞)− Φ(−1,35) = 0,9115,P (Z ≥ −0,42) = P (−0,42 ≤ Z < ∞) = Φ(∞) + Φ(0,42) = 0,6628,P (Z ≤ 2,13) = P (−∞ < Z < 2,13) = Φ(2,13) + Φ(∞) = 0,9834

76. P (1 ≤ Z < z) = Φ(z)− Φ(1) = 0,0494 ⇒ Φ(z) = 0,3907 ⇒ z = 1,23

77. P (z ≤ Z < 1,5) = Φ(1,5)− Φ(z) = 0,2244 ⇒ Φ(z) = 0,2088 ⇒ z = 0,55

78. Naj bo slucajna spremenljivka X porazdeljena normalno z matematicnim upa-njem µ in standardnim odklonom σ, X ∼ N(µ, σ). Verjetnost, da je vrednostslucajne spremenljivke X na intervalu [a, b), izracunamo po obrazcu

P (a ≤ X < b) = Φ(

b−µσ

)− Φ

(a−µσ

).

a) P (3 ≤ X < 3,5) = Φ(

3,5−30,7

)− Φ

(3−30,7

)= Φ(0,71)− Φ(0) = 0,2611,

P (3 ≤ X < 4,2) = 0,4564, P (2 ≤ X < 3) = 0,4236b) P (3,2 ≤ X < 4) = 0,3095, P (3,6 ≤ X < 4,1) = 0,1367,

P (1 ≤ X < 2,2) = 0,1250c) P (2 ≤ X < 3,5) = 0,6847, P (1,5 ≤ X < 3,2) = 0,5979,

P (2,5 ≤ X < 3,5) = 0,5222d) P (X ≥ 4) = P (4 ≤ X < ∞) = 0,0764, P (X ≥ 5) = 0,0022,

P (X < 1,8) = 0,0436e) P (X ≤ 4,5) = 0,9838, P (X ≤ 3,8) = 0,8729, P (X ≥ 1,2) = 0,9949

79. a) 0,4706 b) 0,0475 c) 0,2033

80. a) 0,7888 b) 0,5987 c) 0,8944


81. a) 0,3085 b) 0,1056 c) 0,1747

82. P (X ≤ 14) = Φ(

14−µσ

)− Φ(−∞) = Φ

(14−µ

σ

)+ 0,5 ⇒ Φ

(14−µ

σ

)= 0,2642 ⇒

14−µσ = 0,72 ⇒ µ = 13,14, P (13 ≤ X ≤ 15) = 0,4872

83. σ = 0,917, P (X > 3) = 0,1379

84. P (X > 188) = 0,0918. Med 850 ljudmi bo 850 · 0,0918 = 78,03 .= 78 ljudi visjihod 188 cm.

85. P (X ≥ x0) = Φ(∞) − Φ(

x0−203

)= 0,2 ⇒ Φ

(x0−20

3

)= 0,3 ⇒ x0−20

3 = 0,84 ⇒x0 = 22,52 ur.

86. Binomsko porazdelitev lahko aproksimiramo z normalno, kadar je stevilo po-novitev poskusa n zelo veliko in np > 4 ter n(1 − p) > 4. Verjetnost, da bo vn neodvisnih ponovitvah poskusa stevilo realizacij (k) dogodka A med a in b,izracunamo po obrazcu

P (a ≤ k < b) = Φ(

b−np√npq

)− Φ

(a−np√

npq

).

Za dani primer je n = 1.500, p = 1/2, q = 1/2,P (800 ≤ k ≤ 1.500) = Φ

(1.500−1.500·0,5√

1.500·0,5·0,5

)− Φ

(800−1.500·0,5√

1.500·0,5·0,5

)=

= Φ(38,74)− Φ(2,58) = 0,5− 0,4951 = 0,0049

87. n = 8.000, p = 0,5, q = 0,5,P (3.950 ≤ k ≤ 8.000) = Φ(89,45)− Φ(1,12) = 0,8686


Priloga 3

Φ(z) = P (0 < Z ≤ z) =1√2π

Z z

0

e−x2/2 dx

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0.0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 03591 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 07532 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 11413 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 15174 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 18795 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 22246 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 25497 2580 2611 2642 2673 2704 2734 2764 2794 2823 28528 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 31339 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389

1.0 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 36211 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 38302 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 40153 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 41774 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 43195 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 44416 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 45457 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 46338 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 47069 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767

2.0 4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 48171 4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 48572 4861 4864 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 48903 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 49164 4918 4920 4922 4925 4927 4929 4931 4932 4934 49365 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 49526 4953 4955 4956 4957 4959 4960 4961 4962 4963 49647 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 49748 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4979 4980 49819 4981 4982 4982 4983 4984 4984 4985 4985 4986 4986

3.0 4987 4987 4987 4988 4988 4989 4989 4989 4990 49901 4990 4991 4991 4991 4992 4992 4992 4992 4993 49932 4993 4993 4994 4994 4994 4994 4994 4995 4995 49953 4995 4995 4995 4996 4996 4996 4996 4996 4996 49974 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 49985 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 49986 4998 4998 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 49997 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 49998 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 5000 5000

Tabela 1: Vrednosti funkcije Φ.

Documents

1. KOMBINATORIKA - mat.sc-nm.simat.sc-nm.si/files/kombinatorika.pdf · 1. Kombinatorika 2 razliˇcnih menijev ima na voljo poslovneˇz, ˇce se odloˇca med meniji prve ali druge