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Le théorème de Pythagore
savoir faire et applications
Bruno DELACOTE
AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.
2
Conseils et méthode de travailUne feuille s’ouvre sur une série d’exercices :
A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.
Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement
Prépare l’exercice avant de visionner la solution.Vérifie (sans tricher !)
Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.
Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessousou le clic droit de la souris.
Permet de revenirpage précédente
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Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer.
3
Som
mai
reEnoncé du Théorème de PYTHAGORE.
Calcul de l ’hypoténuse d ’un triangle rectangle.
Calcul d ’un petit côté d ’un triangle rectangle.
De nouveaux nombres : les racines carrées.
Montrer qu’un triangle n'est pas rectangle.
Théorème réciproque : montrer qu’un triangle est rectangle.
Les applications et exercices.
4
•Si les mesures de deux côtés d ’un triangle rectangle sont connues, le théorème de Pythagore permet de calculer la mesure du troisième côté.•Dans un triangle, si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée alors le triangle n'est pas rectangle.
Enoncé du théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle
Cet énoncé indique clairement que l ’hypoténuse est le côté le plus long. C’est aussi le côté opposé à l ’angle droit.
UTILISATIONS
b
c
a
alors la somme des carrés des mesures des deux petits côtés est égal au carré de la mesure de l ’hypoténuse.
b² + c² = a²
5
AB
C
Dans le triangle ABC rectangle en Ala relation de Pythagore s ’écrit :
BC² = AC² + AB²
N M
P
Ecris la relation de Pythagore dans le triangle MNP
PM² = PN² + NM²
6
On peut résoudre un premier type de problème :
Calculer la mesure de l ’hypoténuse d ’un triangle rectangle dont on connaît les
mesures des deux petits côtés.
A B
C
3 cm
4 cm
Le Triangle ABC est rectangle en A, la relation de Pythagore s ’écrit :
BC² = AC² + AB²
BC² = 4² + 3² On substitue puis
on calculeBC² = 16 + 9BC² = 25
BC = 5cm
7
On peut résoudre un deuxième type de problème :
Calculer la mesure d ’un petit côté du triangle rectangle dont on connaît les mesures de l ’hypoténuse et de l'autre
petit côté.
A B
C
5 cm
13 cm
Le Triangle ABC est rectangle en A, la relation de Pythagore s ’écrit :
BC² = AC² + AB²
13² = AC² + 5²
On substituepuis
on calcule
169 = AC² + 25169 - 25 = AC²144 = AC²AC = 12 cm
8
Nous avons besoin de nouveaux nombres !
NM
PPM² = PN² + NM²
NM
PPM² = PN² + NM²
2 cm
3 cm
3 cm
2 cm
Dans les deux cas suivants, la relation de Pythagore s ’écrit
PM² = 2² + 3²PM² = 13
Et la calculatrice donne une valeur proche de 3,6 cm
3² = 2² + NM²9 = 4 + NM²5 = NM²
Et la calculatrice donne une valeur proche de 2,2 cm.
ATTENTION
13PM
5NM
est le seul nombre positif dont le carré est égal à a !
aa 0 si
9
A B
C
7 cm
13 cm
15 cm
Exemple de rédaction
Le côté le plus long du triangle ABC est BC = 15 cm.
Je compare
BC² = 15²BC² = 225
AC² + AB² = 7² + 13²AC² + AB² = 49 +169AC² + AB² = 218
Si le triangle était rectangle en A, on aurait AC² + AB² = BC² d'après le
théorème de Pythagore. Or ce n'est pas le casdonc le triangle n'est pas rectangle.
Ce triangle est-il rectangle ?
10
Quelques applications du théorème directQuelques applications du théorème direct
Chaque ligne correspond à un triangle rectangle en A. Calcule la mesure manquante
AB en cm AC en cm BC en cmtriangle N°1 12 5triangle N°2 18 30triangle N°3 52 65triangle N°4 3,6 6,1triangle N°5 0,4 0,9
13
39
24
9,425,24 98,097,0
A B
C
11
Si les trois mesures des côtés d ’un triangle sont connues, le théorème réciproque du théorème de Pythagore permet
de démontrer que le triangle est rectangle.
Enoncé du théorème réciproque de Pythagore :
Dans un triangle, si le carré de la mesure du côté le plus long est égal à la somme des carrés des mesures des
deux petits côtés alors le triangle est rectangle.
12
A B
C
6 cm
8 cm
10 cm
Exemple de rédaction
Le côté le plus long du triangle ABC est BC = 10 cm.
Je compare
BC² = 10²BC² = 100
AC² + AB² = 8² + 6²AC² + AB² = 64 + 36AC² + AB² = 100
D’après le théorème réciproque de Pythagore ce triangle est rectangle en A.
Ce triangle est-il rectangle ?
13
Quelques applications du théorème et de sa réciproque.Quelques applications du théorème et de sa réciproque.
Chaque ligne correspond à un triangle.Ce triangle est-il rectangle ?
AB en cm AC en cm BC en cmtriangle N°1 12 5 11triangle N°2 24 18 30triangle N°3 83 52 65triangle N°4 35,6 32 15,6triangle N°5 0,4 0,9 0,8
?
NON
OUI
OUI
NON
NON
1) Chercher le côté le plus long.2) Le carré du coté le plus long est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ?
14
Sommaire
Enoncé exercice 1 : le triangle est-il rectangle ?
Enoncé exercice 3 : dans une sphère.
Enoncé exercice 2 : une équation est nécessaire.
Enoncé exercice 4 : dans une pyramide.
Enoncé exercice 5 : dans un cube.
Des problèmes pour réfléchir
15
M H N
P
10cm 8cm
12cm
Le triangle MNP est-il rectangle ?
Il faudrait calculer MP ou MP² pour comparer MP² + NP² avec MN².Utilise le théorème (direct) de Pythagore pour calculer PH² puis PM².Tu pourras chercher une valeur approchée de PH et MP pour vérifier ton travail et ton dessin. Mais attention : l'égalité de Pythagore doit être exactement vérifiée. L'emploi de valeurs approchées ne prouvera rien puisque deux nombres presque égaux peuvent être différents !
16
M H N
P
10cm8cm
12cmLe triangle MNP est-il rectangle ?
Dans le triangle PNH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :PN² = NH² + HP²12² = 8² + HP²144 = 64 + HP²80 = HP²
Dans le triangle PMH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :PM² = MH² + HP²PM² =10² + 80PM² = 100 + 80PM² = 180
Dans le triangle MNP, le côté le plus long est MN,
Je compareMN² = 18² MP² + PN² = 180 + 12²MN² = 324 MP² + PN² = 180 + 144
MP² + PN² = 324
Donc d ’après le théorème réciproque de Pythagore MNP est rectangle en P.
17
Un poteau électrique de 7,5 m de haut s ’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce
poteau s’est-il brisé ?
1,5 m
Appelons x la hauteur cherchée.
x
Si on suppose que le sol est horizontal et le poteau vertical alors le triangle ABC est rectangle en A.
A
B
C
BC s’exprime en fonction de x
BC = 7,5 - x Et l’égalité de Pythagore s’écrit
BC² = AC² + AB²(7,5 - x) ² = 1,5² + x²
Je ne sais plus développer
suite
18
1,5 m
x
A
B
C
BC² = AC² + AB²(7,5 - x) ² = 1,5² + x²
Le poteau s’est brisé à 3,6 m de haut.
Je ne sais plus résoudre cette
équation !
-15 x = - 54x =-54 / (-15)x = 3,6
(7,5 - x )(7,5 - x) = 2,25 + x²56,25 - 7,5 x - 7,5 x + x² = 2,25 + x²
19
Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.
OB
C
A
Utilise le texte pourdéterminer les valeurs de OA, AC et OC.
Il faut réaliser un croquis
20
Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.
OB
C
A
30cm
10cm
5 cm
Il reste à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OBC.
OB² = OC² + CB²15² = 5² + OC²225 = 25 + OC²200 = OC²OC = 200
Le diamètre cherché est proche de 28,3 cm.
21
S
A
BC
D
SABCD est une Pyramide régulière de base carrée.
SA = AB = BC = CD = AD = 50 cmOn demande de calculer la hauteur
puis le volume en litres de cette pyramide.
I
Voir une construction de la pyramide.
Voir la solution guidée.
22
S
A
BC
D
I
Trace la base ABCD :en réalité c'est un carré, mais en perspective il faut dessiner un parallélogramme.
Trace le centre I du parallélogramme.
Trace une hauteur IS.
Trace les arêtes.
Tu peux réaliser plusieurs dessins en faisant varier - l'angle BÂD - la longueur SI.
Compare ces différents croquis !
Tracé de la pyramide régulière.
23
S
A
BC
D
I
ABCD est un carré !Calcule AC puis AI.
ABC est un triangle rectangle et isocèle en B, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :AC² = AB² + BC²AC² = 50 ² + 50²AC² = 5000
cm71,705000AC
Donc cm36,3550002
1AI
50 cm
24
S
A
BC
D
I
50 cm
ABCD est un carré contenu dans un plan horizontal et SI est une droite verticale, donc :
SIB est un triangle rectangle en I, et l ’égalité de Pythagore s ’écrit :SB² = SI² + IB²
)²50002
1(²SI50²
Les diagonales d ’un carré sont isométriques et ont même milieu, donc AI = IB.
²SI4
5000-2500
cm3,431875SI
Finalement SIAB²3
1V 1875²50
3
1V
litres.3636084 3 cmV
25
S
A
BC
D
I
4 cm
Construire une pyramide régulière de base carrée 4 cm et de hauteur 5 cm !
5 cm
Indications :Calculer AI puis SA.
Il faudra prendre SA proche de 4,65cm
26
On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm.
A B
C
Le triangle ABC est (isocèle et ) rectangle en B, la relation de Pythagore s ’écrit :AC² = AB² + BC².... 50AC
D
Le triangle ACD est rectangle en C, la relation de Pythagore s’écrit :AD² = AC² + CD².....
cm7,875AD
27
Le balancier de l’horloge
L ’oiseau, la souris et les deux chatsactivités de synthèse : voir dans l’espace, théorèmes de Pyhagore,
Thalès, trigonométrie….
28
Le balancier de cette horloge intrigue le jeune Guillaume. Quelle longueur mesure cet objet ?Soudain guillaume a une idée, il marque un point A au bas du balancier et constate que ce point A se déplace sur un arc de cercle.
A
Il mesure l'amplitude des courses verticale puis horizontale de ce point. Il trouve respectivement 2cm et 12cm.Il construit un croquis et constate qu'il suffit de résoudre une petite équation...
29
x
A
6cm
2cm
BA'
OA partir de la position
médiane OA
Le balancier se déplace vers une position extrême OA'
l'énoncé donne les indications suivantes
Ce qui fait apparaître un triangle rectangle OA'B dont
les dimensions sont...12cm
30
x
A
6cm
2cm
BA'
O
x - 2
x
D'après l'égalité de PythagoreOA'² = OB² + A'B²x² = (x-2)² + 6²x² = (x - 2)(x - 2) + 36x² = x² -2x - 2x + 4 + 360 = -4x + 40x =10
Le balancier mesure 10 cm
31
Dans l'angle d'un entrepôt de forme parallélépipédique, deux chats observent un oiseau et une souris qui ont pris position sur un reposoir près du plafond proche de l'angle opposé.
- Ne t'en fait pas, dit l'oiseau à la souris, cet entrepôt mesure 30 mètres de long, 15 mètres de large et 6 mètres de haut. Le théorème de Pythagore permet de calculer la distance qui nous sépare des mathoux.
- Je sais, répond la souris, ils n'escaladent pas aussi facilement les murs que moi. De plus le théorème Thalès permet de trouver la longueur du plus court chemin qu'ils auraient à parcourir pour nous attraper.
Les chats trouvent ces proies bien savantes et se méfient, contentons-nous de nos croquettes se disent-ils en quittant les
lieux.
32
15m
30m
6m
33
15m
30m
6m
Calcule la distance qui sépare les chats de la souris et de l'oiseau
C
A B
S
34
15m
30m
6m
C
A B
S
Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagoreau triangle ABC Rectangle en A.
mBC 54,331125²15²30
mSB 07,341161²61125
Puis au triangle SBC rectangle en C.
35
15m
30m
6m
Il faut maintenant déterminer le plus court chemin que peuvent emprunter les chats. (Ils ne volent pas mais peuvent
escalader les murs)
36
Parmi les multiples chemins possibles lequel est le plus court ?Pour étudier ce problème, tu peux réaliser le patron du solide au 1/200.
Les dimensions réduites sont alors
Longueur
Largeur
Hauteur
15cm
7,5cm
3cm
Marque les positions des chats et de la souris (ou de l'oiseau)déplie ton patron.
37Chats
Oiseau et souris
C
S
O
ABM
N
Tu vois apparaître deux chemins en "ligne droite"
38
C
S
B
N
30m 6m
15m
Le théorème de Pythagore permet de calculer SC
mSC 391521²15²36
Et le théorème de Thalès permet de calculer AN
36
30
15
BN Donc BN = 12,5m
39C
AB
M
Le théorème de Pythagore permet de calculer OC
mOC 62,361341²21²30
Et le théorème de Thalès permet de
calculer BM
21
6
30
BM
Donc
O
30m
6m15
m
mBM
BM
57,87
6021
306
C'est le
plus court c
hemin
pour un an
imal
qui ne v
ole pas
!
40
Épilogue : calculer les angles indiqués sur le dessin
15m
30m
6m
M
C
B
O
A
A l'aide du cosinus et des travaux précédentson trouve
10ˆOCB
35ˆˆ90 OMBMCA
41
(3x - 2) x (4x-3)
Tu dois penser
= 3x x 4x + 3x x (-3) + (-2 ) x 4x + (-2) x (-3)
Pour écrire directement (sans écrire ce que tu penses)
(3x - 2)(4x-3) = 12x²
Et calculer mentalement 3x x 4x ; 3x x (-3) ; (- 2) x 4x ; (-2) x (-3)
Pour développer un produit du type (3x - 2)(4x-3)
= 12x² - 17 x +6
12x² -8x-9x +6
- 9x - 8 x + 6
Vous pourrez bientôt télécharger la présentation calclit.zip et recréer manuellement le lien vers cette page.
42
5x - 3 = 2 - 4x 5x -3 + 3 + 4x = 2 - 4x + 3 + 4x
9x = 55x - 3 = 2 - 4x
Réduis l'équation pour obtenir une forme simple du type
5x + 4x = 2 + 3
9x = 5
+4x +3 +4x+3 donc
En divisant par 99
5x
Pense ou
écris
Vous pourrez bientôt télécharger la présentation équa.zip et recréer manuellement le lien vers cette page.
43
MH
N
P
10cm 8cm
12cmLe triangle MNP est-il rectangle ?
Un poteau électrique de 7,5 m de haut s’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau s’est-il brisé ?
1,5 m
Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.
SABCD est une Pyramide régulière de base carrée.SA = AB = BC = CD = AD = 50 cmOn demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide.
On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm.
S
A
BC
D
I