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gioffreda-guarino
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Lezioni di fisicaPer TWM, 2008, Hans Grassmann,
La fisica e’ semplice, e sta diventando sempre più semplice: si spera di arrivare nel futuro alla formula di tutto – una unica formula semplice da cui segue tutto.
Basterebbe capire questa unica formula, per sapere tutta la fisica.
,...
,0
),ln(
,
mE
p
WS
hE
La fisica è complicata solo dove non la capiamo ancora bene.
Non ci siamo ancora, ma siamo abbastanza vicini:Oggigiorno la fisica può essere riassunta in ca. 10 o 20 formule semplici:
2
Essendo all’ inizio dell’ 21. secolo in 24 lezioni non si può fare tutta la fisica in modo completo.
Alternative: o 1) fare una parte piccola in modo completo o2) fare tanto, ma in modo incompleto
Scegliamo alternativa (2), perchè vedendo le connessioni fra i diversi campi della fisica, si capisce meglio la fisica e si vede meglio che é facile.
Per l’esame bastano questi lucidiNon sono permesso libri e appunti durante l’esame, chi copia verrà escluso
3
Alcune persone credono, che la fisica sia difficile
perché spesso vengono confuse fisica e matematica:
tanti problemi che le persone incontrano nella lezione di fisica non sono di fisica, ma di matematica. Ma visto che si incontra il problema in una lezione di fisica, si pensa sbagliatamente che sia un problema di fisica.
Se si identifica un problema in modo sbagliato, la sua soluzione é meno facile.
Perciò : quando incontrerete un problema, cercate sempre di capire di che tipo di problema si tratta.
Se si tratta di un problema di matematica è inutile cercare nel libro di fisica….
Libri consigliati:
• Ugo Amaldi, Fisica per Temi, Zanichelli, Bologna (molto di base)
• D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, Fondamenti di Fisica, Casa Editricie Ambrosiana, Milano (Fundamentals of Physics, John Wiley&Sons) (2 volumi)
• Paul A. Tipler, Corso di Fisica, Zanichelli, Bologna (Physics for Scientists and Engineers, Worth Publishers) (3 volumi)
• wikipedia
• Gli appunti di questa lezione, li trovate sulla mia pagina web http://www.fisica.uniud.it/~grassmann/lezioni.htm
4
Ormai computer e internet esistono,
E programmatori, system manager, designer web etc esistono in grande quantità
In particolare in India (etc.) dove gli stipendi sono bassi …
Io penso :
la prossima rivoluzione accadrà quando il computer incontrerà il mondo fisico –
oggi i computer sanno comunicare fra di loro, ma non con il mondo fisico, non capiscono cosa sentono e non capiscono cosa vedono.
Nei prossimi anni i computer e internet cominceranno a capire cosa vedono e sentono, e chi accompagnerà questa rivoluzione avrà buone prospettive di carriera.
E per questo serve un po’ di fisica …
Fisica e studio TWM
5
Un esempio dimostrativo (non scientifico), che aiuta ad immaginare cosa vuol dire “il computer capisce il mondo fisico” si trova nel film fantascientifico “Terminator 2” con A. Schwarzenegger, dove il regista fa finta di vedere il mondo fisico con gli occhi di un robot autonomo, che capisce cosa sta vedendo.
6
Il filmato mostrava effetti speciali, con la tecnologia attuale (senza fisica) un Terminator non sarebbe possibile.
Infatti, il film “terminator” prevedeva la nascita di questa tecnologia fantascientifica per l’anno 2029.
Con un po' di fisica, si può arrivare anche prima del 2029:
7
1) Requisiti di matematica
Integrazione e differenziazione, trigonometria, vettori, calcolo di errore
2) Spazio e tempo
Misura di spazio e tempo – che movimenti sono/non sono possibili
v= dx/dt, Fa=-Fr , F=m∙a, =d/dt, I=m∙r2 , leggi di conservazione
3) campi: Forza di gravità ,forza elettrica
4) Relatività: c=const
5) Elettromagnetismo: potenziale, capacità, corrente,campi magnetici
6) Onde: se cosa si muove non è un punto, interferenza, diffrazione
6) Termodinamica di base
7) “La Fisica di TWM”
Programma
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1) Requisiti di matematica
Integrazione e differenziazione, trigonometria, vettori, calcolo di errore
2) Spazio e tempo
Misura di spazio e tempo – che movimenti sono/non sono possibili
v= dx/dt, Fa=-Fr , F=m∙a, =d/dt, I=m∙r2 , leggi di conservazione
3) campi: Forza di gravità ,forza elettrica
4) Relatività: c=const
5) Elettromagnetismo: potenziale, capacità, corrente,campi magnetici
6) Onde: se cosa si muove non è un punto, interferenza, diffrazione
6) Termodinamica di base
7) “La Fisica di TWM” brevi cenni, non per l’esame
Tutto è connesso con tutto
=> Più facile
9
1) Prerequisiti matematici
Differenziazione e integrazione
f)(xf
x
Sviluppato da Newton e Leibniz (e Gregory): importante per la
• fisica fondamentale
• applicazioni di fisica
• TWM (filtro di differenza)
f
x
x
xf )( “pendenza” di f nel “punto” x
Che punto x ?? =>)(
)()(0 xd
xdf
x
xfx
differenziale
10
Esempi
xdx
xdf )()(xf
x2
12xnx
)sin(x )cos(x
1 nxn
)cos(x )sin(xxe xe
11
Per fare il differenziale di funzione composte, ci sono alcune regole
baba
fdx
df :
bababa
bbaba )()(
fdx
fd
)sin()sin( 2 tt
)cos()'sin( tt
12
Il “contrario” della differenziazione è l’integrazione
)(xf
x1x
f
2x
)()()()( 122
1
2
1
xFxFxFdxxf xx
x
x
con )()( xfxF
xdxdxxf )( 2
21)( xxF esempio:
13
Esempio pratico: la seconda derivata del “Udine Terminator”
(parte dell’ immagine rimossa usando trasformazioni vettoriali)
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
50
100
150
200
250
inte
nsi
ty
1 2 3 4 5 6 7
j
i
j
guardando lungo questa riga (quindi i = 5)
= 0
= 255
Estrarre i contorni di una figura: “difference filter”
15
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
firs
t d
eriv
ativ
e
1 2 3 4 5 6
j
first_der (i,j) =
abs (intensity(i,j-1) –
intensity(i,j+1))
i
j
0
50
100
150
200
250
inte
nsi
ty
1 2 3 4 5 6 7
j
255
0
La stessa cosa si fa anche per le righe!
1° derivata dell’intensità
Soglia
16
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
firs
t d
eriv
ativ
e
1 2 3 4 5 6
j
i
jMigliorare il risultato..Si cercano massimi locali nella prima derivata
IF ( first_der(i,j) > first_der(i,j-1) AND
first_der(i,j) > first_der(i,j+1)) THEN
result (i,j) = 255
ELSE
result (i,j) = 0
17
Funzioni trigonometriche
tanx
y
cosr
x
0 Asse x
Asse y
x
y
r
coty
x
sinr
y
Da Pitagora (570 a.C.):
222 ryx
1cossin 22
Un giro completo: 360 gradi o 2
18
Importanti per
• La fisica fondamentale,
• in particolare la fisica di TWM,
• per applicazioni, sia di fisica, sia di software.
Per studenti di TWM molto ambiziosi, uno studio più profondo della matematica degli vettori assolutamente si raccomanda.
Per noi e per adesso vettori sono “frecce” nello spazio:
Vettori
19
In due dimensioni:
),( yx aaa
Si riferisce nel nostro caso a un certo sistema di riferimento, da definire
xe
y
ye
a
xxa
ya
20
xe
y
ye
a
x
a
a
a
),( yx bbb
yy ba
),,( yx aaa
,xx ba
Due vettori
Sono uguali quando
21
a
c
b
),(),( yxyyxx ccbababac
22yx aaa
Somma di due vettori
modulo
ye
xe
22
• Definiamo i vettori spostamento
• Lo spostamento finale è la somma dei tre
• Per tornare alla casa, lo spostamento totale e’:
• Con modulo:
)0.4,0.0(1 s
)0.0,5.3(2 s
9.1,9.12
7.2,
2
7.23
s
1.2,4.5)9.10.00.4,9.15.30.0(321 ssss
)1.2,4.5( s
8.51.24.5 22 s (km)
E: Un robot parte da una base militare e cammina per 4.0 km a N, per 3.5 km a E, per 2.7 km a SE. In che direzione deve muoversi, e per che distanza
deve camminare per tornare alla stessa base?
23
Moltiplicazione con uno scalare ),( yx aaa
Prodotto scalare
yyxx babababa cos
b
a
b
a
cosbye
xe
24
E: Calcoliamo il prodotto scalare fra i vettori
E quindi i loro moduli e l’angolo compreso fra di essi.
• La definizione ci dà subito
• I moduli dei vettori si calcolano come prodotti scalari dei vettori per sé stessi. Dunque:
3.2,5.11 v 3.4,5.22 v
6.133.43.25.25.121 vv
75.23.25.1 2211 vv
97.43.45.2 2222 vv
cos2121 vvvv
998.097.475.2
6.13cos
21
21
vv
vv
06.3 063.0
25
E : Siano dati i vettori
Trovare la componente di a nella direzione di b.
• Effettuiamo il prodotto scalare
Il modulo di b è:
Infine:
0.0,0.4,0.3 a 0.2,0.3,0.1 b
a
b
a
b
0.1500.120.3 ba
74.30.40.90.1 b
0.474.3
0.15
b
baab
26
Prodotto vettoriale
a
b
sin bacba
Adesso anche c
e’ un vettore.
c
È normale su
ba
, cba
,, :indice, medio, pollice
zxyyxyzxxzxyzzy ebabaebabaebabacba
)()()(
ye
xe
))(),(),(( xyyxzxxzyzzy babababababacba
Formula solo per completezza, non serve per l’esame
27
a
sinb
b:sin baba
a
b
c
28
Il prodotto vettoriale è importante per discutere in modo più facile il moto rotatorio e per discutere forze che agiscono su una asse.
Esempio: un punto è in rotazione intorno ad un’asse.
Il tempo di cui ha bisogno per viaggiare
per un certo angolo
dipende solo dalla componente di
perpendicolare con
Una eventuale componente di
Parallelo a non importa
Si usa il prodotto vettoriale
per descrivere un moto rotatorio
rv
v
r
v
r
vr
29
rv
Simile ad una leva: il peso che si può
alzare dipende solo dalla forza
perpendicolare alla leva:
pesoforza
r
F
Fr
paralleloF
30
m11 , m12 , m13
m21 , m22 , m23
m31 , m32 , m33
M = v1
v2
v3
v =
Prodotto matrice-vettore
m11 v1 + m12 v2 + m13 v3
m21 v1 + m22 v2 + m23 v3
m31 v1 + m32 v2 + m33 v3
v’ = M * v =
31
v = 1 0 0
v’ = Rz(/4) * v = (0.711, 0.703, 0)
0.711, -0.703, 0 0.703, 0.711, 0 0, 0, 1
Rz(/4) =
cos(-), sin(- ), 0 -sin(- ), cos(- ), 0 0, 0, 1
Rz() =
32
33
La riflessione di onde elettromagnetiche (luce) è regolata da due leggi fondamentali:
- Il raggio incidente ed il raggio riflesso giacciono sullo stesso piano - L'angolo di incidenza e l'angolo riflesso sono equivalenti
34
35
VectorNormal to mirror
south
array plane
Axis “A”(normal to solar plane)
mirror
Focal area
Sun ray
Drawing plane = solar plane
Axis “A”
Axis A
36
37
Axis A
VectorNormal to mirror
south
array plane
Axis “A”(normal to solar plane)
mirror
Focal area
Sun ray
Drawing plane = solar plane
Axis “A”
axis “A”
Axis of rotation
mirror
2
38
39
n
nn
ffffxfxfxxx ...
...
21
2211Media degli
La variabile possa assumere un numero di valori
con frequenza
x n nxxx ,..., 21
nfff ,..., 21
Con numero totale di misure nfffN ...21
f
1x 2x 3x 5x4x
Misura della deviazione dal valore medio:
Varianza
da la “incertezza” o l’ “errore” o la “precisione” della misura
Calcolo di errore
40
La deviazione standard si riferisce a una certa misura, che viene ripetuta N volte per determinare un valore fisico.
Spesso il risultato di un esperimento non si ottiene da una sola misura, ma da alcune misure diverse, di cui ognuna ha una sua deviazione standard. Per ottenere il risultato complessivo di queste misure, si deve eseguire una propagazione degli errori.
Una teoria completa della propagazione degli errori si deriva dalla matematica differenziale.
Per noi e per tante applicazione pratiche bastano alcuni casi semplificati:
Varianza di x =
n
nn
fff
fxxfxxfxxx
...
)(...)()()var(
21
22
221
21
Deviazione standard di x = = )var(x
41
Incertezza su una somma di misure
Abbiamo misurato : aaa bbb
Vogliamo sapere valore e incertezza di bac bac bac
L’incertezza di una somma di grandezze e’ pari alla somma delle incertezze
Esempio: La testa cilindrica di una vite e risultata alta a=(1.85±0.01)mm. La vite viene fissata su una lamiera piana, interponendo una rondella spessa b=(0.95±0.05)mm. Di quanto sporgerà la testa della vite?
a+b=(1.85+0.95)mm = 2.80 mm
(a+b)=a+b=(0.01+0.05)mm = 0.06 mm
risulatato: c=(2.80±0.06) mm
42
Incertezza su una differenza di misure
aaa bbb Come sopra:
sia bac bac
bac <= non cambia!
Anche l’incertezza di una differenza di grandezze è pari alla somma delle incertezze
Esempio:Si vuol trovare la quantità netta di birra contenuat in una lattina. La lattina piena è risultata di massa a=(350±2)g e, quandoi è stata pesata vuota, ha dato il valore b=(15±1) g.
(a-b)=a+b=(2+1)g=3g
Risultato: c=(335±3)g
43
Incertezza su un prodotto di misure
sia bac ,bac b
b
a
a
c
c
L’incertezza relativa di un prodotto è pari alla somma delle incertezze relative
Incertezza su un quoziente di misure
b
ac
b
ac
b
b
a
a
c
c
L’incertezza relativa del quoziente e’ pari alla somma delle incertezze relative
44
Un esempio particolare per una media:
x1m 2m 3m
1x 2x 3x
Distribuzione di punti di massa su una asse
centro di massa:321
332211
mmm
xmxmxmxcdm
cdmx
In generale:
n
iiicdm xm
Mx
1
1nmmmM ...21con