1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoRecuerda (I)

Al hallar la raíz cuadrada de un número puede suceder que:• Tenga dos raíces si el número es positivo.• Tenga una raíz, si el número es 0.• No exista la raíz, si el número es negativo.

: 0a

Un número positivo tiene do as raícesa

0 : 0 00sólo tiene una ra aíz

: 0Un número negativo no tiene raíces a no es un número eaa r l

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoRecuerda (II)

Si el producto de dos números es 0, al menos uno de ellos es cero.

0b

ó

0a

0baSi

Propiedad distributiva y obtención de factor común

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Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoRecuerda (III)

Cuadrado de un binomio(a + b)2 = a2 +2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

b

a

b

a2 a . b

b . a b2

a

S = a2 + ab + ba + b2 == a2 + 2ab + b2

a + b

a + b (a + b)2

S = (a + b)2

Por tanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

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Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoDefinición de ecuación de segundo grado

• Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede expresarse de la forma general ax2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números y a 0.

• Las soluciones de una ecuación son los valores de x que al ser sustituidos verifican la ecuación.

EcuacionesPrueba parax = 5 y x = –9

Respuesta

x2 – 3x – 4 = 052 – 3 . 5 – 4 0(–9)2 – 3.(–9) – 4 0

x = 5 no es soluciónx = –9 no es solución

x2 – 6x + 5 = 052 – 6 . 5 + 5 = 0(–9)2 – 6.(–9) + 5 0

x = 5 sí es soluciónx = –9 no es solución

3x2 + 12x – 135 = 03 . 52 + 12 . 5 – 135 = 03(–9)2 + 12(–9) – 135 = 0

x = 5 sí es soluciónx = –9 sí es solución

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Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones incompletas de segundo grado (I)

• Si en una ecuación de segundo grado ax2 +x + c = 0, alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es incompleta.

• Las ecuaciones incompletas son de la forma:– ax2 = 0– ax2 + c = 0– ax2 + bx = 0

• Resolución de ecuaciones con b = 0: en este caso las ecuaciones se resuelven directamente, despejando x.

b = 0, c = 0 Resuelve 2x2 = 0• Se divide por 2: x2 = 0• Se extrae la raíz cuadrada: x = 0

b = 0 Resuelve 7x2 – 63 = 0• Se suma 63: 7x2 = 73• Se divide por 7: x2 = 9• Se extrae la raíx cuadrada: x = 3, x = – 3

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones incompletas de segundo grado (II)

• Resolución de ax2 + bx = 0: en este caso se descompone en factores sacando factor común x

Resuelve 4x2 – 9x = 0• Se saca factor común x: x(4x – 9) = 0 • Se iguala a 0 el primer factor: x = 0• Se iguala a 0 el segundo factor: 4x – 9 = 0

La ecuación ax2 + bx = 0 siempre tiene la solución x = 0, siendo su otra

solución ab

x

9x

4

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoFormando cuadrados

4a2x2 + 2(2ax) + b2 = (2ax + b)2

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Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoMétodo general para para ecuaciones de 2º grado

• Resolución de ax2 + bx + c = 0

• Se resta c en los dos miembros: ax2 + bx = – c • Se multiplica por 4a: 4a2x2 + 4abx = – 4ac • Se busca un cuadrado perfecto en el primer miembro, para lo cual hay que

sumar b2 a los dos miembros: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 –

4ac• Se expresa el primer miembro como cuadrado perfecto: (2ax + b)2 = b2 – 4ac• Se extrae la raíz cuadrada y se tienen dos ecuaciones de primer grado:

ac4bbax22

2

ac4bbax2

• Se despeja x en ambas ecuaciones:

a2ac4bb

x2

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo grado

Discriminante: DDetermina el número de soluciones

de la ecuación

a2ac4bb

x2

Número de soluciones

Hemos v isto que las soluciones de una ecuación de segundo grado vienen dadas por la relación

soluciónningunatienenoecuaciónLa0D

)doblesolución(igualessolucionesdostieneecuaciónLa0D

asintdistsolucionesdostieneecuaciónLa0D

esSi

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Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoFactorización

Ecuación:ax2 + bx + c = 0

Soluciones Factorización

Dos: r y s ax2 + bx + c = a(x – r)(x – s)

Una doble: r ax2 + bx + c = a(x – r)2

Ninguna No se puede factorizar

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoSuma y producto de las raíces

a2ac4bb

x2 A partir de podemos obtener la suma y el producto

de la raíces de una ecuación de 2º grado

21

xxSa2

ac4bba2

ac4bb 22 a2

bb ab

21

xxPa2

ac4bba2

ac4bb 22

2

22

)a2()ac4bb)(ac4bb(

2

222

)a2()ac4b()b(

2

22

a4)ac4b(b

2a4ac4

ac

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo grado

Son ecuaciones de cuarto grado de la forma ax4 + bx2 + c = 0

Ecuaciones bicuadradas

0cbxax 24 0c)x(b)x(a 222 0c)z(b)z(a 2 0cbzaz2

a2ac4bb

z2

a2ac4bb

x2

2 a2

ac4bbx

2

Despejando z obtenemos:

De aquí obtenemos las cuatro soluciones posibles de la ecuación bicuadrada:

a2ac4bb

x2

1

a2ac4bb

x2

2

a2ac4bb

x2

3

a2ac4bb

x2

4

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones incompletas de tercer grado sin témino independiente

0cxbxax 23 0)cbxax(x 2

0cbxax

0x2

Al resolver la ecuación de segundo grado obtenemos las tres soluciones

a2ac4bb

x2

2

0x1

a2ac4bb

x2

3

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoResolución de ecuaciones por factorización

• Si P(x) = 0 es una ecuación polinómica y el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado para resolver, dicha ecuación basta igualar cada uno de los factores a cero y resolver les ecuaciones de primer y segundo grado resultantes.

• Si P(x) = 0 no tiene ninguna solución entera no se puede usar este método ya que las raíces enteras, si existen, son divisores del término independiente.

0dcxbxax 23 0)pmxax)(xx( 2

1

0pmxax

xx2

1

Al resolver la ecuación de segundo grado obtenemos las tres soluciones

a2ap4mm

x2

2

1xx

a2

ap4mmx

2

3

1

Matemáticas3º de ESO

8 Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones radicales: pasos a dar

• Sea aisla un radical en uno de los miembros.• Se elevan al cuadrado los dos miembros.• Se resuelve la ecuación obtenida.• Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.

64x1x2

4x124x361x2

64x1x2 Ejemplo:

1

2 4x1241x

3 576x144x821681x 2 01105x226x 2

221x

5x

4 Comprobamos las raíces:645152

6422112212

Por tanto la ecuación tiene como única solución x = 5