1 Miary Położenia Wzory Studenci

8/19/2019 1 Miary Położenia Wzory Studenci

http://slidepdf.com/reader/full/1-miary-polozenia-wzory-studenci 1/7

Miary położenia:

Klasyczne: średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna

Pozycyjne: dominanta, kwantyle

Obliczanie średniej arytmetycznej:

potrzebne informacje o wartościach cechy dla wszystkich jednostek !!!!

Dane surowe:

∑=

= N

i

i x N

x1

1

zere rozdzielczy punktowy

i

r

i

ii

r

i

i w xn x N

x ∑∑==

==11

1

r " liczba klas

i x # wartoś$ cechy w i#tej klasie

in # liczebnoś$ i#tej klasy

N

nw i

i = # cz%stoś$ i#tej klasy

zere rozdzielczy przedzia&owy

i

r

i

ii

r

i

i w xn x N

x ∑∑==

==11

1

r " liczba przedzia&'w

i x # środek i#teo przedzia&u



Obliczanie średniej harmonicznej:

(ateria& surowy

zere rozdzielczy punktowy

zere rozdzielczy przedzia&owy



Obliczanie dominanty (mody):

)wartoś$ cechy najcz%ściej wyst%puj*ca+

zere rozdzielczy przedzia&owy o jednakowej rozpi%tości przedzia&'w

( ) ( ) ( ) ( ) D

D D D D

D D

D D

D D D D

D D

D h

wwww

ww xh

nnnn

nn x D

11

1

,

11

1

,

+−

−

+−

−

−+−

−+=

−+−

−+=

D x, # dolny koniec przedzia&u dominanty

Dn , Dw , # odpowiednio liczebnoś$ i cz%stoś$ przedzia&u dominanty

1− Dn , 1− Dw # odpowiednio liczebnoś$ i cz%stoś$ przedzia&u poprzedzaj*ceo przedzia&

dominanty

1+ Dn , 1+ Dw # odpowiednio liczebnoś$ i cz%stoś$ przedzia&u nast%pneo po przedziale

dominanty

Dh # rozpi%toś$ przedzia&u dominanty

zere rozdzielczy przedzia&owy o różnej rozpi%tości przedzia&'w

( ) ( ) D

D D D D

D D

D h

k k k k

k k x D

11

1

,

+−

−

−+−

−+=

dzie:

i

iih

hnk min=



Kwantyl rzęd p

!e"inicja

Kwantylem rz%du p ) ( )1,∈ p , oznaczanym poni-ej p K nazywamy tak* wartoś$ cechy, -e

co najmniej .1,,⋅ p jednostek populacji ma wartoś$ cechy nie wi%ksz* ni- p K i

jednocześnie co najmniej ( ) .1,,1 ⋅− p jednostek populacji ma wartoś$ cechy nie mniejsz* ni-

p K /

0ypy kwantyli

a+ (ediana " kwanty rz%du )oznaczana na wyk&adach i $wiczeniach (e+ dzieli populacj%

na dwie cz%ści

b+ kwartale " )kwantyle rz%du 2, 345 , 6+ dziel* populacj% na cztery cz%ści

5

1= p kwartyl dolny zwany r'wnie- kwartylem pierwszym)oznaczany na wyk&adach i

$wiczeniach 1Q +

3

1

5

3 == p kwartyl drui r'wny medianie

5

7= p kwartyl 'rny zwany r'wnie- kwartylem trzecim)oz naczany na wyk&adach i

$wiczeniach 7Q

c+ kwintyle " )kwantyle rz%du 148, 348 ,748, 548+ dziel* populacj% na pi%$ cz%ści

d+ decyle " )kwantyle rz%du 141, 341, 9 , 41,+ dziel* populacj% na dziesi%$ cz%ści

e+ centyle lub percentyle " )kwantyle rz%du 141, 341, 9 , 41,+ dziel* populacj%

na sto cz%ści; obliczane, dy populacji liczy co najmniej kilkaset jednostek



Obliczanie kwantyla rzęd p:

a+ !ane #rowe i #zere$ rozdzielczy pnktowy

(ediana:

Porz*dkujemy dane rosn*co/

<dy = nieparzyste, to mediana jest r'wna wartości stoj*cej na pozycji3

1+ N

<dy = parzyste, to mediana jest średni* arytmetyczn* wartości stoj*cych na pozycjach

3

N i 1

3+

N

kwartale pierwszy i trzeci

>rak jednej obowi*zuj*cej metody/ Poprawna jest ka-da metoda daj*ca wyniki zodne z

definicj* kwantyli rz%du 2 i 6/ /

a+ %zere$ rozdzielczy przedziałowy

kwantyl rz%du p

( )( ) ( )( ) p

p

pcum p

p

p

pcum p pw

h x xw p x

n

h x xn N p x K

,,,, <−+=<−⋅+=

p " rz*d kwantyla

D x, # dolny koniec przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwantyl

ph # rozpi%toś$ przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwantyl

pn , pw # odpowiednio liczebnoś$ i cz%stoś$ przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwantyl( pcum x xn

,< oraz ( pcum x xw

,< # suma odpowiednio liczebności i cz%stości w

przedzia&ach poprzedzaj*cych przedzia&, w kt'rym znajduje si% kwantyl



(ediana # kwantyl rz%du

( ) ( ) Me

Me

Mecum Me Me

Me

Mecum Me w

h x xw x

n

h x xn N x Me

<−+=

<−⋅+= ,,,,

3

1

3

1

Me x, # dolny koniec przedzia&u, w kt'rym znajduje si% mediana

Meh # rozpi%toś$ przedzia&u, w kt'rym znajduje si% mediana

Men , Mew # odpowiednio liczebnoś$ i cz%stoś$ przedzia&u, w kt'rym znajduje si% mediana

( ) Mecum x xn,

< oraz ( ) Mecum x xw,

< # suma odpowiednio liczebności i cz%stości w

przedzia&ach poprzedzaj*cych przedzia&, w kt'rym znajduje si% mediana

)liczebnoś$ lub cz%stoś$ w szereu skumulowanym dla przedzia&u poprzedzaj*ceo przedzia&

mediana+

Kwartyl pierwszy )dolny+ # kwantyl rz%du 145

( ) ( )1

1

1,1,

1

1

1,1,15

1

5

1

Q

Q

QcumQ

Q

Q

QcumQw

h x xw x

n

h x xn N xQ

<−+=

<−⋅+=

1,Q x # dolny koniec przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwartyl pierwszy

1Qh # rozpi%toś$ przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwartyl pierwszy

1Qn , 1Qw # odpowiednio liczebnoś$ i cz%stoś$ przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwartyl

pierwszy

( 1Qcum x xn < oraz (

1Qcum x xw < # suma odpowiednio liczebności i cz%stości w

przedzia&ach poprzedzaj*cych przedzia&, w kt'rym znajduje si% kwartyl pierwszy


kwartyl pierwszy+



Kwartyl trzeci )'rny+ # kwantyl rz%du 745

( ) ( )7

7

7,7,

7

7

7,7,75

7

5

7

Q

Q

QcumQ

Q

Q

QcumQw

h x xw x

n

h x xn N xQ

<−+=

<−⋅+=

7,Q x # dolny koniec przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwartyl trzeci

7Qh # rozpi%toś$ przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwartyl trzeci

7Qn , 7Qw # odpowiednio liczebnoś$ i cz%stoś$ przedzia&u, w kt'rym znajduje si% kwartyl

trzeci

7Qcum x xn < oraz 7Qcum

x xw < # suma odpowiednio liczebności i cz%stości w

przedzia&ach poprzedzaj*cych przedzia&, w kt'rym znajduje si% kwartyl trzeci


kwartyl trzeci+

Documents

1 Miary Położenia Wzory Studenci