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PFR: Métodos de Discretização
EQE038 – Simulação e Otimização de Processos Químicos
Argimiro R. SecchiPrograma de Engenharia Química – COPPE/UFRJ
Rio de Janeiro, RJ
EQ/UFRJmarço de 2014
2
Modelo Dinâmico de um Reator Tubular
Considerações:
•Propriedades físicas constantes (, , cp);
•Fluido Newtoniano;
•Simetria angular;
•vr = v = 0
3
Classificação dos modelos de acordo com os princípios físico-químicos
Modelo Microscópico
Modelo de Gradientes Múltiplos
Modelo de Máximo Gradiente
Modelo de Macroscópico
4
Modelo Microscópico:
( )( , ) ( ) ( D )li iz i i i
C Cv r t C v C Rt z
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( )l l l t tp p z p v v r
T Tc c v r t c v T k T St z
( ) 2[ ] lv v v v v P v gt
( ) ( )t ti i iv c J C D
( ) ( )t tpc v T q k T
( ) ( )t tv v v
Modelo de turbulência (exemplo simples):
( . ) 0v v v r tz z ( , )
Computational Fluid Dynamic (CFD)
5
Método de resolução recomendado
Volumes Finitos:Consiste na realização de balanços de propriedades em volumes elementares (volumes finitos), ou de forma equivalente na integração sobre o volume elementar da equação diferencial na forma conservativa (ou forma divergente, onde os fluxos aparecem dentro das derivadas).
Uso de softwares de CFD (dinâmica de fluido computacional)
6
Exemplo simples do uso do método dos volumes finitos:Equação da reação-difusão transiente em uma partícula catalítica esférica
2 22
0
0
1 ( , )
0 ; (1, ) 1
( ,0)
r
C Cr C r tt r r r
C C tr
C r C
2 2 2 2e e e
w w w
C Cr dr r r C drt r
reação de primeira ordem
24dV r dr
7
Exemplo simples do uso do método dos volumes finitos
2
22 2
2
3
e
ew
p ewe w
w
C r drC C r dr
r rr dr
2 2
3 3
3 ep
pwe w
dC Cr Cdt rr r
valor médio
e w
E p p W
e wr r r r
C C C CC Cr r r r
2pW W p p E E p
dCA C A C A C C
dt
2
3 33 w
We w w
rAr r r
2 2
3 33 e w
pe we w
r rAr rr r
2
3 33 e
Ee w e
rAr r r
p = 2, ..., N 1
8
Exemplo simples do uso do método dos volumes finitos
0wr
Cr
1
e
e p p
f fr
C C CCr r r
dC AC bdt
Sistema resultante: onde A é matriz tridiagonal
Condições de contorno
( )dC F Cdt
Ou um sistema não-linear para reações de ordem 1:
9
Modelo de Gradientes Múltiplos:
( , ) ( D )i iz i i
C Cv r t C Rt z
( , ) ( )p p z v rT Tc c v r t k T St z
( ) ( )t l D D D ( ) ( )t lk k k ( ) ( )t l
2zz
v P v gt
Condições de Contorno:
zona de reaçãovz, Ci0, T0
z = 0 z = Lz = 0¯ z = 0+ z = L¯ z = L+
10
2
2
1D ( , ) D ( , ) ( , )i i i iz R z i
C C C Cr t r r t v r t Rt z r r r z
0(0, , )( , ) ( ) ( , ) (0, , ) D ( , ) i
z i z i zC r tv r t C t v r t C r t r t
z
Cz
L r ti ( , , ) 0
Cr
z ti ( , , )0 0
Cr
z R ti ( , , ) 0
_( , ,0) ( , )i i inC z r C z r
Sem reação na saída
Simetria
Condição inicial
Parede impermeável
Balanço de massa por componente (removendo a notação de média temporal):
11
Balanço de energia (removendo a notação de média temporal):
( , , ) 0T L r tz
( ,0, ) 0T z tr
( , ,0) ( , )inT z r T z r
Sem reação na saída
Simetria
Condição inicial
Troca de calor pela parede
2
2
1( , ) ( , ) ( , )p z R p z r AT T T Tc k r t r k r t c v r t H Rt z r r r z
0( , ) (0, , )( , ) ( ) ( , ) (0, , ) z
z zp
k r t T r tv r t T t v r t T r tc z
( , ) ( , , ) ( , , )R wTk R t z R t U T T z R tr
12
Balanço de quantidade de movimento (removendo a notação de média temporal):
(0, ) 0zv tr
_( ,0) ( )z z inv r v r
Simetria
Condição inicial
Parede imóvel
1z zv P vrt z r r r
v R tz ( , ) 0
13
2
2
DDi i i iRL z i
C C C Cr v Rt z r r r z
2
2R
p L p z r AT T k T Tc k r c v H Rt z r r r z
Simplificação adicional:
- coeficientes difusivos efetivos constantes
- velocidade constante
( , , ) 0T L r tz
( ,0, ) 0T z tr
( , ,0) ( , )inT z r T z r
0(0, , )( ) (0, , ) L
z zp
k T r tv T t v T r tc z
( , , ) ( , , )R wTk z R t U T T z R tr
0(0, , )( ) (0, , ) D i
z i z i LC r tv C t v C r t
z
Cz
L r ti ( , , ) 0
Cr
z ti ( , , )0 0
Cr
z R ti ( , , ) 0
_( , ,0) ( , )i i inC z r C z r
2
2
DDi i i iRL z i
C C C Cr v Rt z r r r z
2
2R
p L p z r AT T k T Tc k r c v H Rt z r r r z
14
Métodos de resolução de S.E.D.P.
Para simulação dinâmica o mais indicado é o método das linhas:
- discretização espacial (diferenças finitas, volumes finitos, elementos finitos)
- integração temporal
Exemplo: diferenças finitas na direção axial e colocação ortogonal na radial
1
, , , 1, , , , 1, , 1, , 1,, , , , , ,2
0
2D 4D
2
ni j k i j k i j k i j k i j k i j k
L R k k m k m i j m z i j km
dC C C C C Cu B A C v R
dt z z
1
, 1, , 1, 1, 1,, , , , ,2
0
24
2
nj k j k j k j k j k j k
p L R k k m k m j m p z r A j km
dT T T T T Tc k k u B A T c v H R
dt z z
.( )m k
k mdl uA
du
2
, 2
( )m kk m
d l uBdu
1
0( )
np
mp m pp m
u ul u
u u
2u ronde:
j = 1,2,...,N k = 1,2,...,n1
( , )1
0
( ) ( ) ( )n
n m mm
y u P u l u y
15
,2, 00 ,1,
( )( ) D
2i k i
z i z i k L
C C tv C t v C
z
, 1, , , 0i N k i N kC C
1
0, , ,0
0n
m i j mm
A C
1
1, , ,0
0n
n m i j mm
A C
, , _ , ,i j k i in j kC C
Métodos de resolução de S.E.D.P.Condições de contorno
1, , 0N k N kT T
1
0, ,0
0n
m j mm
A T
, , ,j k in j kT T
2, 00 1,
( )( )
2kL
z z kp
T T tkv T t v Tc z
1
1, , , 10
n
R n m j m w j nm
k A T U T T
j = 1,2,...,N k = 1,2,...,n
Resulta em um sistema de equações algébrico-diferenciais, ou somente diferenciais se as condições de contorno (lineares) forem incorporadas nas equações diferenciais
16
Outro Modelo de Gradientes Múltiplos: (ignorando gradientes radiais)
PFR com dispersão axial2
2Di i iL z i
C C Cv Rt z z
2
2
2p L p z w r A
T T T Uc k c v T T H Rt z z R
0(0, )( ) (0, ) D i
z i z i LC tv C t v C t
z
( , ) 0iC L tz
_( ,0) ( )i i inC z C z
( , ) 0T L tz
( ,0) ( )inT z T z
0(0, )( ) (0, ) L
z zp
k T tv T t v T tc z
0
0
( , , )( , )
R
i
i R
C r z t r drC z t
r dr
0
0
( , , )( , )
R
R
T r z t r drT z t
r dr
17
Métodos de resolução do S.E.D.P.
Método das linhas:
- discretização espacial (D.F., V.F., colocação ortogonal em elementos finitos)
- integração temporal
Exemplo: diferenças finitas na direção axial
, , 1 , , 1 , 1 , 1,2
2D
2i j i j i j i j i j i j
L z i j
dC C C C C Cv R
dt z z
1 1 1 1,2
2 22
j j j j j jp L p z w j r A j
dT T T T T T Uc k c v T T H Rdt z z R
j = 1,2,...,N
,2 00 ,1
( )( ) D
2i i
z i z i L
C C tv C t v C
z
, 1 , 0i N i NC C
, _ ,i j i in jC C
1 0N NT T
,j in jT T
2 00 1
( )( )2
Lz z
p
T T tkv T t v Tc z
18
Modelo de Gradiente Máximo: (ignorando dispersão axial)
PFR sem dispersão axial
i iz i
C Cv Rt z
2p p z w r A
T T Uc c v T T H Rt z R
0(0, ) ( )i iC t C t
_( ,0) ( )i i inC z C z
( ,0) ( )inT z T z
0(0, ) ( )T t T t
Resulta em um sistema de equações diferenciais ordinárias ao aplicar o método das linhas
19
Modelo de Macroscópico:
0 ( )ii z i z i
dCV C t v S C v S R Vdt
0 ( ) ( )p p z p z t w r AdTc V c v S T t c v S T U A T T H R Vdt
_(0)i i inC C
(0) inT T
0
0
( , )( )
L
i
i L
C z t S dzC t
S dz
0
0
( , )( )
L
L
T z t S dzT t
S dz
Resulta em um sistema de equações diferenciais ordinárias
20
Esquema da aplicação do MCO ao EMSO
Simulador EMSO
Rotina de cálculo das raízes e matrizes
• Contornos• Pontos Internos
• Alfa e Beta
• Raízes de Jacobi• Matriz A e B
Plugin
DD as Plugin (Type=“OCFEM”, Boundary="BOTH”, InternalPoints=5 alfa=1, beta=1)
Plugin: ocfem_emso.dll
21
Reator de leito fixo com dispersão axial(reação de ordem m)
2
2
1 my y y Da yx Pe x
Condições de contorno:
0
1 1 ( ,0)x
y yPe x
1
0x
yx
( ,0) 1y ou
Condição inicial:
(0, ) 0y x
22
Exemplo: adicionar o Plugin ocfem_emso.dll e executar os flowsheets dos arquivos FDM_ss.mso, OCM_ss.mso e OCFEM_ss.mso e comparar os resultados das discretizações. Fazer o mesmo para o caso transiente nos arquivos FDM_din.mso e OCM_din.mso.
Sistema de Equações Diferenciais Parciais– Método das Linhas com D.F. e Colocação Ortogonal –
23
Comparando os Resultados
MCO pelo EMSONúmero de pontos internos: 5
y(x=1) = 0.151475 (erro de 0.038%)
1 1 Método das Diferenças FinitasNúmero de pontos internos: 6000
y(x=1) = 0.15155 (erro de 0.087%)
y(x=1) = 0.151418 (exato)
24
Estudo de Caso• Produção de anidrido acético em reator PFR adiabático
– O anidrido acético, em especial, é um dos mais importantes produtos químicos, e freqüentemente é preparado pela reação de um ácido acético com um composto chamado ceteno, obtido a partir do aquecimento da acetona a 700-770oC.
– Etapa importante é o craqueamento em fase vapor de acetona para ceteno e metano:
– A segunda etapa é a reação do ceteno com ácido acético.
Ref: G. V. Jeffreys, A Problem in Chemical Engineering Design: The Manufacture of Acetic Anhydride, 2nd ed. (London: Institution of Chemical Engineers, 1964)
3 3 2 4CH COCH CH CO CH
2 3 3CH CO CH COOH CH CO O
25
34222exp 34.34kT
• Definição do problema – A primeira etapa da produção é realizada através de uma reação
na fase vapor de acetona em um reator tubular (PFR) adiabático.
onde A = acetona; B = ceteno e C = metano
– A reação é de 1a ordem em relação à cetona na reação de craqueamento, com constante de Arrhenius dada por:
• k – segundos• T – Kelvin
CBA
Estudo de Caso
26
• Descrição do Processo – Geometria do reator
• um reator tubular adiabático contínuo;• contém um banco de 1000 tubos de 1 in sch. 40 correspondendo uma seção
transversal de 0,557 m2;• com comprimento total de 2,28 m;
– Condições de operação• temperatura da carga 762oC (1035 K);• pressão de operação de 1,6 atm• vazão de 8000 kg/h (137,9 kmol/h);
– Composição• Acetona (ACETONE), Ceteno (KETENE) e Metano (METHANE)• alimentação de acetona pura
– Cinética• ocorre uma reação de primeira ordem, • fator pré-exponencial (k0): 8,2 x 1014 s-1
• energia de ativação (E/R): 34222 K• calor da reação de -80,77 kJ/mol
Estudo de Caso
27
Exemplo: executar o FlowSheet do arquivo PFR_Adiabatico.mso e construir os perfis de temperatura e composição no estado estacionário. Mostrar também a evolução do perfil de temperatura da condição inicial até o estado estacionário. Discutir o tipo e a qualidade da discretização usada neste exemplo.
Estudo de Caso– Produção de anidrido acético –
28
Exercícios1) Resolver o problema da reação-difusão em uma partícula catalítica esférica, descrito por:
2) Apresentar os resultados do exemplo do slide 27.
2 2 1/ 22
1y y yr yt r r r
0
0r
yr
1( , ) 1
ry t r
0( , ) 0
ty t r
2 (módulo de Thiele)
29
Bibliografia• Himmelblau, D. M. & Bischoff, K. B., "Process Analysis and Simulation - Deterministic Systems", John Wiley & Sons, 1968.• Finlayson, B. A., "The Method of Weighted Residuals and Variational Principles with Application in Fluid Mechanics, Heat and Mass Transfer", Academic Press, 1972.• Villadsen, J. & Michelsen, M. L., "Solution of Differential Equation Models by Polynomial Approximation", Prentice-Hall, 1978.• Davis, M. E., "Numerical Methods and Modeling for Chemical Engineers", John Wiley & Sons, 1984.• Denn, M., "Process Modeling", Longman, New York, 1986.• Luyben, W. L., "Process Modeling, Simulation, and Control for Chemical Engineers", McGraw-Hill, 1990.• Silebi, C.A. & Schiesser, W.E., “Dynamic Modeling of Transport Process Systems”, Academic Press, Inc., 1992.• Biscaia Jr., E.C. “Método de Resíduos Ponderados com Aplicação em Simulação de Processos”, XV CNMAC, 1992• Ogunnaike, B.A. & Ray, W.H., “Process Dynamics, Modeling, and Control”, Oxford Univ. Press, New York, 1994.• Rice, R.G. & Do, D.D., “Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers”, John Wiley & Sons, 1995.• Maliska, C.R. “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, 1995.• Bequette, B.W., “Process Dynamics: Modeling, Analysis, and Simulation”, Prentice Hall, 1998.• Fogler, H.S., “Elementos de Engenharia de Reações Químicas”, Prentice Hall, 1999.