1. RUGALMASSÁGTANI ALAPFOGALMAK

7

1. RUGALMASSÁGTANI ALAPFOGALMAK

Szilárdságtan: a terhelés előtt és után is tartós nyugalomban lévő, alakváltozásra képes testek

kinematikája, dinamikája és anyagszerkezeti viselkedése.

Az értelmezésben előforduló kifejezések magyarázata:

Terhelés: az általunk vizsgált rendszerhez (testekhez) nem tartozó testekről származó ismert

nagyságú hatás. Ez a hatás szilárd halmazállapotú testeknél általában felületi érint-

kezéssel valósul meg.

Terhelés ismert külső erőrendszer (ER).

A tartós nyugalom feltételei:

- a testre ható erőrendszer egyensúlyi,

- a test megtámasztása nem enged meg merevtestszerű elmozdulást.

Alakváltozás:

- a test pontjai terhelés hatására egymáshoz képest elmozdulnak és ezért

- anyagi, geometriai alakzatai (hossz, szög, felület, térfogat) megváltoznak.

Kinematika a szilárdságtanban: leírja a terhelés hatására a testben bekövetkező elmozduláso-

kat és alakváltozásokat.

Dinamika a szilárdságtanban: megadja az alakváltozás és a belső erőrendszer közötti kapcso-

latot.

Anyagszerkezeti viselkedés a szilárdságtanban: megadja az alakváltozást jellemző mennyisé-

gek és a belső erőrendszer közötti kapcsolatot.

A valóságos testek helyett modelleket vizsgálunk.

Test modell: Olyan idealizált tulajdonságokkal rendelkező test, amely a valóságos test vizsgá-

lata szempontjából leglényegesebb tulajdonságait tükrözi. A valóságos test lé-

nyegesnek tartott tulajdonságait megtartjuk, a lényegtelennek ítélt tulajdonságo-

kat pedig elhanyagoljuk.

Például: merev test, szilárd test.

A

B

C

Merev test: Bármely két pontjának távolsága állandó, a távolság terhelés hatására nem válto-

zik meg. A test pontjai (részei) egymáshoz képest terhelés hatására sem mozdul-

nak el. Pl. az AB , AC , BC távolságok és az szög nem változnak.

Szilárd test: Alakváltozásra képes test. A test pontjainak távolsága, egyeneseinek egymással

bezárt szöge terhelés hatására megváltozik. A test felületeinek és térfogatainak

alakja és nagysága is megváltozik. Pl. az AB , AC , BC távolságok és az szög

is megváltozik.

A szilárdságtan szilárd testek terhelés hatására történő viselkedését vizsgálja.

A szilárdságtan több részterületre osztható:

8

Szilárdságtan

Rugalmasságtan Képlékenységtan

Lineárisrugalmasságtan rugalmasságtan

Nemlineáris

Rugalmas alakváltozás / rugalmas test: A terhelés hatására alakváltozott szilárd test a terhelés

megszüntetése (levétele) után visszanyeri eredeti

alakját.

Lineárisan rugalmas alakváltozás:

A terhelés és alakváltozás, a belső erőrendszer (fe-

szültségek) és az alakváltozás között lineáris kapcso-

lat van.

Nemlineárisan rugalmas alakváltozás:

A terhelés és alakváltozás, a belső erőrendszer (fe-

szültségek) és az alakváltozás közötti kapcsolat nem

lineáris.

Képlékeny alakváltozás / képlékeny test: Az alakváltozott test tehermentesítés után nem nyeri

vissza eredeti alakját.

A tantárgy lineárisan rugalmas testek kis elmozdulásaival és kis alakváltozásaival foglalkozik.

Kis elmozdulás: A test pontjainak elmozdulása nagyságrendekkel kisebb a test jellemző geo-

metriai méreteinél.

Kis alakváltozás: A test alakváltozását jellemző mennyiségek lényegesen kisebbek, mint 1.

1 , 1 . ( 3 5, 10 10 )

Erőrendszerek egyenértékűsége lehet: statikai, vagy szilárdságtani.

Statikai egyenértékűség: Két erőrendszer statikailag egyenértékű, ha azonos nyomatéki vek-

torteret hoznak létre.

Szilárdságtani egyenértékűség: Két, ugyanazon testre ható erőrendszer szilárdságtanilag

egyenértékű, ha azok – a test egy kis részétől eltekintve – a

testnek ugyanazt az alakváltozási állapotát hozzák létre.

Például:

FA

B F

A

B

Ez a két erőrendszer statikailag egyenértékű, szilárdságtanilag viszont nem.

Az F erő a nyomaték vonatkozásában hatásvonala mentén eltolható a két erőrendszer

statikailag egyenértékű.

9

A fenti szerkezet az F erő támadáspontjától függően egészen másképpen alakváltozik (az

ábrán szaggatott vonal) a két erőrendszer szilárdságtanilag nem egyenértékű.

A Saint–Venant1 (san vönan) - elv:

Szilárd test alakváltozásakor a test valamely ugyanazon kis felületén ható, nyomatéki terük

vonatkozásában egyenértékű erőrendszerek - a kis felület közvetlen környezetének kivételével

– jó közelítéssel ugyanazt az alakváltozási állapotot állítják elő.

Például:

G

gömbhasáb

GS

S

A tartóban, a terhelés környezetén kívül jó közelítéssel ugyanaz az alakváltozási állapot jön

létre. A fenti két terhelés azonos módon modellezhető:

G

Elemi környezet / elemi tömeg:

Minden test ∞ sok tömegpontból felépülő rendszernek is tekinthető.

A tömegpontokhoz úgy jutunk el, hogy a testet ∞ sok kis részre bontjuk.

elemi kocka

test

elemi tömegP

Pelemi gömb

Tömegpontnak / elemi tömegnek / elemi környezetnek a szilárdságtanban egy olyan kis test-

részt tekintünk, amelynek méretei a test méreteihez képest elhanyagolhatóan kicsik.

Az elemi környezet szilárdságtani állapotait az elemi környezet egy pontjához (a középpont-

jához) kötött mennyiségekkel írjuk le.

Elemi környezet szilárdságtani állapotai: - elmozdulási állapot,

- alakváltozási állapot,

- feszültségi állapot,

- energia állapot.

Test szilárdságtani állapotai:

Az elemi környezetek szilárdságtani állapotainak összessége (halmaza).

A test szilárdságtani állapotait mezőkkel (terekkel) írjuk le.

Mező / tér: Az adott mennyiségeket a hely függvényében ismerjük.

Pl.: ( ) ( , , )r x y z , ( ) ( , , )u u r u x y z , vagy ( ) ( , , )A A r A x y z .

1 Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886) francia mérnök.

10

2. SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAPOTOK

2.1. Elmozdulási állapot

P

xe

ye

ze

Pr

'Pr

Pu

z

x yO

P

V

V

A terhelés utáni geometriai alakzatokat vesszővel jelöljük.

Pu

- a test tetszőleges P pontjának elmozdulás vektora.

PPP urr

PPP uuu

.

Pont / elemi környezet elmozdulási állapotának jellemzése:

A P pont elmozdulásvektora: P P x P y P zu u e v e w e .

Test elmozdulási állapotának jellemzése:

A test elmozdulásmezője: zyx ezyxwezyxvezyxuzyxu

),,(),,(),,(),,( .

( ) ( , , ),

( ) ( , , ),

( ) ( , , ).

u r u x y z

v r v x y z

w r w x y z

az elmozdulásmező skaláris koordinátái.

2.2. Fajlagos relatív elmozdulási állapot

Elemi triéder: A P pontban felvett terhelés előtt egymásra merőleges zyx eee

,, egységvektor

hármas.

Feltételezzük, hogy az elemi triéder a P pont elemi környezetén belül helyezkedik el.

A P pont elemi környezetének elmozdulása felbontható: - párhuzamos eltolásra és

- fajlagos relatív elmozdulásra.

Párhuzamos eltolás : Pu .(Az elemi környezet minden pontja Pu -vel mozdul el)

A P pontra vonatkoztatott relatív elmozdulások:

x A P

y B P

z C P

u u u

u u u

u u u

az elemi triéder végpontjainak fajlagos relatív elmozdulás vektorai.

Relatív, mert a P ponthoz viszonyított.

Fajlagos, mert a P ponttól egységnyi távolságra lévő pontok elmozdulása.

11

Az elemi triéder mozgása:

x

P

C C

C

P

A

A

A B

BB

y

z

Au

Puxu

Bu

Pu

yu

Pu

Pu

Cuzu

xe

ye

ze

párhuzamoseltolásrelatívelmozdulásPABC PA B C P A B C .

Célkitűzés: meg akarjuk határozni a P elemi környezetében, a P-től egységnyi távolságra levő

tetszőleges N pont relatív fajlagos elmozdulását.

Az n

- a P-ből az N pontba mutató helyvektor (egységvektor).

n 1 az N pontok a P középpontú egységnyi sugarú gömbfelületen helyez-

kednek el.

hozzárendelés (leképezés)nn u .

Az elmozdulásmező derivált tenzora:

- Diadikus előállítás: .zzyyxxPeueueuD

- Mátrixos előállítás:

.

xx xy xz

yx yy yzP

zx zy zz

x y z

u u u

D u u u

u u u

u u u

- nem szimmetrikus tenzor.

A derivált tenzor egyértelműen jellemzi a P pont környezetének fajlagos, relatív elmozdulási

állapotát.

A D derivált tenzor fizikai tartalma: megadja a P pont elemi környezetében az elmozdulás

hely szerinti megváltozását.

Az N pont fajlagos relatív elmozdulásvektora: n Pu D n .

2.3. A fajlagos relatív elmozdulási állapot felbontása

Minden tenzor felbontható egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus részre.

A derivált tenzor felbontása: 1 1.

2 2

szimmetrikus rész ferdeszimmetrikus rész

T T

P P P P P

PP

D D D D D

A

12

Tetszőleges N pont fajlagos, relatív elmozdulásának felbontása:

.n n nP P P P Pu D n A n A n n

Az N a P pont elemi környezetében levő pont: 1PN n .

Az N pont alakváltozási vektora: n PA n , ahol

PA a P pont alakváltozási tenzora.

Az N pont merevtestszerű forgási vektora: n Pn , ahol

P a P pont merevtestszerű

forgási tenzora.

A fajlagos relatív elmozdulási állapot szemléltetése:

P

A

C

C

N

B

B

B

N

A

A

N

x

y

n

z

C

xu

yu

nu

zu

z

n

y

x

n

xeye

ze

1n ,

n n nu ,

,

,

.

x x x

y y y

z z z

u

u

u

Alakváltozás: , , ,x y z n .

Merevtestszerű mozgás: , , ,x y z n .

merevtestszerű forgásalakváltozásPABC PA B C PA B C .

2.4. Alakváltozási állapot

Az alakváltozási állapot során megváltozik a P pontra illeszkedő n egységvektorok hossza és

egymással bezárt szöge.

Az elemi triéder alakváltozása: PABC PA B C .

C

C

A B

B

A

11

1

2xz

2xy

2yz

1 x

1 y

1 z

x

y

z

P

Megváltozott Megváltozott

hosszak: szögek:

1 xPA ,

2xy

,

1 yPB ,

2xz

,

1 zPC ,

2yz

.

Az értelmezésből következik:

, , .xy yx yz zy xz zx

13

Alakváltozási jellemzők: - fajlagos nyúlások : , , .x y z

- fajlagos szögváltozások : , , .xy yz xz

Előjel: 0 megnyúlás, 0 megrövidülés,

0 ha az eredeti o90 -os szög csökken, 0 ha az eredeti o90 -os szög nő.

Mértékegység: : mm/mm=1, : rad=1.

Kis alakváltozás: 3 4 3 410 10 , 10 10 .

Az alakváltozási tenzor:

- Diadikus előállítás: .x x y y z zPA e e e

- Mátrixos előállítás:

1 1

2 2

1 1.

2 2

1 1

2 2

x xy xz

yx y yzP

zx zy z

x y z

A

szimmetrikus tenzor.

xy yx

yz zy

xz zx

Az alakváltozási tenzor a derivált tenzor szimmetrikus része – hat egymástól független skalá-

ris koordinátával adható meg.

Az alakváltozási tenzor oszlopaiban az alakváltozási vektorok koordinátái találhatók.

Az alakváltozási vektorok: 1 1

,2 2

x x x yx y zx ze e e

1 1,

2 2y xy x y y zy ze e e

1 1.

2 2z xz x yz y z ze e e

Az alakváltozási állapot szemléltetése: z

yx

xe ye

ze

1

2yx

1

2xy

1

2yz

1

2yz1

2xz

1

2zx

P

14

Az alakváltozási jellemzők számítása:

,

1.

2

n n

mn n m

n n A n

m n m A n n A m

A test alakváltozási állapota: , ,A A r A x y z .

A test alakváltozási állapota alakváltozási tenzormezővel jellemezhető.

2.5. Feszültségi állapot, belső erőrendszer

A belső erőrendszert úgy tudjuk vizsgálni, ha a testet gondolatban részekre bontjuk és az így

keletkezett testrészek egyensúlyát vizsgáljuk.

Feltételezés: Az egész testre egyensúlyi erőrendszer hat.

Egyensúlyi erőrendszer = terhelések + támasztó erőrendszer.

A testet a P pontra illeszkedő síkkal vágjuk ketté. A P ponton át végtelen sok sík vehető fel.

A

P

P

P

V

dAdA

1 2( ) ( ) ( )V V V

1 2( ) ( ) ( )A A A

1 2( ) ( )S S

1A

1V

1S

2S

2V

2A

n

n

V – a test térfogata,

A - a test külső felülete,

1S , 2S - a metszetfelület.

A szétvágás után az egyes részek egyensúlya akkor biztosított, ha az 1( )S és 2( )S felületen

belső erőrendszer lép fel.

Feszültségvektor: Az 1( )S és 2( )S metszetfelületen megoszló belső erőrendszer sűrűségvek-

tora.

,r n , ahol r a P pont helyvektora és n az 1( )S sík normális egységvektora.

Pontbeli feszültség állapot állandór : ,n n nn .

P

dA

n

m

l

n

mn

ln

nn

n - a dA elemi felület kifelé mutató normálisa,

,l m - az elemi felület síkjába eső egységvek-

torok.

15

A feszültségvektor összetevői, koordinátái:

Összetevők:

- Normál feszültségvektor:

- Csúsztató feszültségvektor:

.n n

n

n n

n n n nn n n

Koordináták: - Normál feszültségi koordináta: n n nn n .

- Csúsztató feszültségi koordináták: mn n nm m , ln n nl l .

Mértékegység: 2

N=

mPascal

2 (paszkál),

2 2

N MN= = MPa

mm m(megapaszkál).

Feszültségi tenzor:

A test P pontjában a n feszültségvektor az n lineáris homogén függvénye : n F n .

- Diadikus előállítás: .x x y y z zF e e e

- Mátrixos előállítás: x xy xz

yx y yz

zx zy z

x y z

F

szimmetrikus tenzor.

xy yx

yz zy

xz zx

Az F feszültségi tenzor mátrixa hat darab (három és három ) független skalár mennyi-

séggel adható meg.

A feszültségvektorok koordinátái:

,x x x x yx y zx zF e e e e

.z z xz x yz y z zF e e e e

Előírt irányokhoz tartozó feszültségkoordináták számítása:

,n F n ,n nn n F n

.mn nm n nm m m F n n F m

A P ponti feszültségi állapot szemléltetése:

P

z

x

y

x

y

z

yx xy

zxxz yz

zy

2 Blaise Pascal (1623-1662) francia természettudós.

,y y xy x y y zy zF e e e e

16

Feszültségi főtengelyek, főfeszültségek:

Ha az e egységvektorra merőleges elemi felületen 0 ése e e e , akkor az e

feszültségi főtengely (feszültségi főirány), e főfeszültség és az e -re merőleges elemi felü-

let síkja főfeszültségi sík.

Megjegyzések:

- e is lehet zérus 0.e

- Minden P pontban létezik legalább három főirány, melyek kölcsönösen merőlegesek egy-

másra.

A főtengelyek, főfeszültségek ismeretére a későbbiekben szükség lesz.

Feszültségi állapot a főtengelyek koordináta-rendszerében:

1

2

3

0 0

0 0 .

0 01,2,3

F

Megállapodás a főfeszültségek jelölésére:

1 2 3 . P

1e 1

2

3

2e

3e

2.6. Főtengely probléma sajátérték feladat

A főtengely probléma matematikai szempontból sajátérték feladatnak tekinthető.

A feladat kitűzése:

Feszültségi állapot esetén:

,

,

0.

e e

e

e

e

F e E e

F E e

Alakváltozási állapot esetén:

,

,

0.

e e

e

e

e

A e E e

A E e

Az egységtenzor:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

E

.

A főtengely probléma azonos módon írható fel a feszültségi és az alakváltozási állapot esetén.

Az e egységvektor koordinátáira nézve mindkét esetben homogén, lineáris algebrai egyenlet-

rendszert kapunk.

Kérdés: Van-e olyan e irány, mely kielégíti a fenti egyenleteket?

Válasz: Van, legalább három.

Elnevezés: e főirány/főtengely irány egységvektora, e főfeszültség, e főnyúlás.

A homogén lineáris algebrai egyenletrendszer nemtriviális megoldásának feltétele:

(Itt csak a feszültségi állapotra mutatjuk be a megoldást, az alakváltozási állapotra a megoldás

gondolatmenete azonos.)

det 0eF E .

17

A determináns részletesen felírva:

0.

x e xy xz

yx y e yz

zx zy z e

A determinánst kifejtve karakterisztikus egyenlet: 3 2 0e I e II e IIIF F F .

A karakterisztikus egyenlet megoldásai: 1 2 3 főfeszültségek.

A karakterisztikus egyenlet együtthatói, a feszültségi tenzor skalár invariánsai:

I x y zF - az első skalár invariáns,

y yz x xyx xz

IIzy z yx yzx z

F

- a második skalár invariáns,

x xy xz

III yx y yz

zx zy z

F

- a harmadik skalár invariáns.

Invariáns: Olyan mennyiség, amely a koordináta transzformáció során nem változik.

Főirányok meghatározása:

A 1 2 3, , főfeszültségeket visszahelyettesítjük a homogén, lineáris algebrai egyenletrend-

szerbe és megoldjuk az egyenletrendszert az irányvektor koordinátáira.

1 1 2 2 3 3, , .e e e

A három egyenlet nem független egymástól az egyenletrendszerből csak az ie irányvek-

tor koordinátáinak aránya határozható meg.

Az egyértelmű megoldáshoz szükséges a pótlólagos feltétel: 2 2 2 1 , ( 1,2,3)ix iy ize e e i .

A feltétel geometriai tartalma, hogy az ie legyen egységvektor, 2 2 2 1i ix iy ize e e e .

2.7. Deviátor és gömbi tenzorok

Értelmezés:

Feszültségi deviátor tenzor:

.kdF F E

Közepes feszültség:

.3 3

x y z Ik

F

Alakváltozási deviátor tenzor:

.kdA A E

Közepes nyúlás:

.3 3

x y z Ik

A

Átrendezve:

gömbideviátorosrész rész

kdF F E

tiszta tiszta térfogat-torzulás változás

kdA A E

18

A feszültségi és az alakváltozási tenzor is felbontható tiszta torzulási (deviátoros) és tiszta

térfogatváltozási (gömbi) részre.

A deviátor tenzorok tulajdonságai: 0, 0.I Id dF A (A deviátor tenzorok első skalár inva-

riánsa zérus.)

2.8. A Mohr-féle feszültségi kördiagram és alakváltozási kördiagram

a) A feszültségi kördiagram:

A Mohr3 (mór) -féle feszültségi kördiagram a P pontbeli feszültségi állapotot szemlélteti a

,n n síkon.

Legyen ismert az 1 2 3, ,e e e feszültségi főirány.

A P pontban felvett tetszőleges normális egységvektor:

1 2 3cos cos cosn e e e .

A szemléltetés alapja:

pont a , síkon.n n nN

P

1e2e

3e

n

Bizonyítható:

- A állandó normálisok n feszültségvektoraihoz tartozó N pontok a ,n n síkon

félkörívet alkotnak.

- Ez a megállapítás az állandó és állandó feltételek esetén is igaz.

- A főfeszültségi síkokba eső normálisok n feszültségvektoraihoz tartozó N pontok a

,n n síkon félkörívet alkotnak. Például: az 1 2e e sík normálisai: o90 .

A kördiagram:

2

állandó

állandó

123

2

2

n

n

N

3O1O 2O

A tetszőleges n irányhoz tartozó n feszültségvektornak megfelelő N pontok a folytonos

félkörívekkel határolt tartományon belül vannak.

3 Christian Otto Mohr (1835-1918) német építőmérnök.

19

Kördiagram szerkesztése, ha egy főfeszültség (például a z ) ismert:

P

xex

y

z

yx xy ye

ze

Az ze feszültségi főirány az xy sík feszültségi fősík

(nincs z csúsztató feszültség)

A kördiagramban az X,Y pontok egy félkörön (főkörön)

helyezkednek el.

Az X,Y pontokra fektetett félkör határozza meg az x,y

síkba eső 1 3, főfeszültségi pontokat / irányokat.

13

n

n

2O1O

3O

xy

xy

Y X

yx

yx2z

3 2 1

1x

12 x

A szerkesztés gondolatmenete:

- Felvesszük az X, Y pontokat. Koordinátáik: ,x xy , illetve ,y xy .

- Meghatározzuk a félkör 2O középpontját : 2 2

x y

O

.

- Megrajzoljuk az X, Y pontokon átmenő, 2O középpontú félkört 1 3, .

- A 1 2 3, , főfeszültségek ismeretében megrajzoljuk a másik két félkört.

A főfeszültségek meghatározása a kördiagramból:

2

21

2 2

x y x y

xy

, 2 z ,

2

23

2 2

x y x y

xy

.

A főirányok meghatározása a kördiagramból:

x 1e

3e

yyyyy

1x

1x

A kördiagramból: 1

22

xy

x

x y

tg

.

Szabály: A csúsztató feszültségek mindig a növekedésé-

nek irányában mutatnak.

Az 1x szög felmérésének iránya.

20

b) Az alakváltozási kördiagram:

A Mohr-féle alakváltozási kördiagram a P pontbeli alakváltozási állapotot szemlélteti az

1,

2n mn síkon.

A Mohr-féle alakváltozási kördiagramra minden ugyanúgy érvényes, mint a Mohr-féle fe-

szültségi kördiagramra.

2.9. Energia állapot

2.9.1. Alakváltozási energia

Alakváltozási energia: a vizsgált testben az alakváltozás során felhalmozódó energia.

a) Fajlagos alakváltozási energia (egységnyi térfogat alakváltozási energiája):

1 1

2 2x x y y z z x x y y z zu r F A e e e e e e

1 1

2 2x x y y z z x x y y z z xy xy yz yz xz xz .

0.u A fajlagos alakváltozási energia pozitív skaláris mennyiség.

Az alakváltozási energia felbontása: .

tiszta tisztatorzulás térfogatváltozás

T Vu u u

A fajlagos tiszta torzulási energia:

2 2 2 2 2 21( ) ( ) ( ) 6( )

12T x y y z z x xy yz xzu

G .

0.Tu A fajlagos torzulási energia pozitív skaláris mennyiség.

A tiszta torzulás esetén a vizsgált egységnyi térfogat úgy alakváltozik, hogy közben térfo-

gata nem változik meg.

A fajlagos tiszta térfogatváltozási energia:

21 1 1 2

6 12 1V I I Iu A F F

G

.

0.Vu A fajlagos térfogatváltozási energia pozitív skaláris mennyiség.

A tiszta térfogatváltozás esetén nem lépnek fel szögtotzulások.

Határeset: tökéletesen összenyomhatatlan anyag (nem képes térfogatváltozásra).

Például: kaucsuk, gumi, stb 0 1 2 0 0,5Vu .

A többi anyagra: 0Vu 0,5 .

b) Test alakváltozási energiája:

,U u dV

V

ahol V a test térfogata.

2.9.2. Mechanikai energia tétel

Csak a mechanikai hatásokból származó energiákat vesszük figyelembe.

2 1 K BE E W W

21

E kinetikai (mozgási) energia, 1 – terhelés előtti állapot, 2 - terhelés utáni állapot.

KW a külső erők munkája , BW a belső erők munkája .

Szilárdságtan/rugalmasságtan: test a terhelés előtt és után is tartós nyugalomban van.

1 2 0E E 0K BW W .

rugalmas disszipációsalakváltozási energia

energia (nem visszanyerhető(visszanyerhető rész)

rész)

K B DW W U W .

Rugalmas alakváltozás:

A külső munka teljes egészében visszanyerhető: .K BW W U

Fontos tulajdonság: az energia pozitív skaláris mennyiség.

2.10. Az általános Hooke4- törvény

mR

p0,2R

mR - szakítószilárdság,

0,2pR - folyáshatár.

Az általános Hooke (huk) törvény a lineárisan rugalmas, izotróp

anyagi viselkedést írja le.

Lineárisan rugalmas: az alakváltozások és a feszültségek között

lineáris függvénykapcsolat van.

Izotróp: az anyagi viselkedés iránytól független. (Például a fémek

esetében.)

Lineárisan rugalmas alakváltozás esetén az alakítható anyag sza-

kító diagramjának lineáris szakaszán vagyunk.

Alakítható anyagról beszélünk, ha az anyag képlékeny alakválto-

zásra képes.

Az általános Hooke törvény két, egymással egyenértékű alakja:

) 1

,2 1

IFA F E

G

) 2

1 2

IAF G A E

.

Az egyenletekben szereplő mennyiségek jelentése:

csúsztató rugalmassági modulusanyagjellemzők,

Poisson tényező

G

a feszültségi tenzorelső skalár invariánsa ,

az alakváltozási tenzor

I

I

F

A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

E

az egységtenzor.

4 Robert Hooke (1635-1703) angol természettudós.

22

Az ) alak skaláris egyenletei:

1, ,

2 1

1, ,

2 1

1, .

2 1

xy

x x x y z xy

yz

y y x y z yz

xzz z x y z xz

G G

G G

G v G

A ) alak skaláris egyenletei:

2 , ,1 2

2 , ,1 2

2 , .1 2

x x x y z xy xy

y y x y z yz yz

z z x y z xz xz

G G

G G

G G

2.11. Gyakorló feladatok szilárdságtani állapotokra

2.11.1. feladat: P pont elemi környezetének alakváltozási állapota

Adott: A P pont elemi környezetében az alakváltozási jellemzők és egy irány egységvektora: 3 3 35 10 4 10 10 10x y z

0xy yx yz zy 310 10xz zx 0 8 0 6n x ze e e .

Feladat:

a) Az P

A alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és a pontbeli alakváltozási állapot szem-

léltetése az elemi triéderen.

b) Az n fajlagos nyúlás és ny fajlagos szögtorzulás meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az P

A alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és a pontbeli alakváltozási állapot szem-

léltetése az elemi triéderen:


1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

x xy xz

yx y yzP

zx zy z

A

, 3

5 0 5

0 4 0 10

5 0 10P

A

.

Az alakváltozási állapot

szemléltetése:

xe

ye

ze 310A

10

45

5

5

P

23

b) Az n fajlagos nyúlás és ny fajlagos szögtorzulás meghatározása:

n PA n ,

n PA n

3

5 0 5 0 8

10 0 4 0 0

5 0 10 0 6

3

4 3

10 0

4 6

, 3

1

10 0

2

n

.

n n ne 3

1

0 8 0 0 6 0 10

2

3 3(0 8 1 2)10 2 10 ,

2 0ny y ne .

2.11.2. feladat: P pont elemi környezetének feszültségi állapota

Adott: A P pontban az PF feszültségi tenzor és három, egymásra kölcsönösen merőleges

irány.

50 20 40

20 80 30 MPa

40 30 20P

F

,

1 2 2

3 3 3x y zn e e e ,

2 1 2

3 3 3x y zm e e e

2 2 1

3 3 3x y zl e e e

1,n m l 0n m l m n l .

Feladat: a) A P pontban a , ,x y z feszültségvektorok meghatározása.

b) A pontbeli feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán.

c) A P pontban a n feszültségvektor és a n nm nl feszültség koordináták megha-

tározása.

Kidolgozás:

a) A P pontban a , ,x y z feszültségvektorok meghatározása:

[ ] [ ]x xPF e

50 20 40 1

20 80 30 0

40 30 20 0

50

20 MPa

40

,

x x x xy y xz ze e e (50 20 40 ) MPax y ze e e .

P

z

x y

5040

20

MPa

[ ] [ ]y yPF e

50 20 40 0

20 80 30 1

40 30 20 0

20

80 MPa

30

,

y yx x y y yz ze e e (20 80 30 )MPax y ze e e .

P

z

x

y

30

80

MPa

20

24

[ ] [ ]z zPF e

50 20 40 0

20 80 30 0

40 30 20 1

40

30 MPa

20

,

z zx x zy y z ze e e ( 40 30 20 )MPax y ze e e .

P

z

x

y4030

MPa

20

b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán:

Az elemi kocka xe normálisú lapjára a

x ko-

ordinátáit, az ye normálisú lapra a y koordi-

nátáit, a ze normálisú lapra pedig a

z koor-

dinátáit rajzoljuk fel.

z

P

x

y

50

80

20

20

3040

MPa

c) A P pontban a n feszültségvektor és a n mn ln feszültség koordináták meghatározása:

[ ] [ ][ ]n PF n

50 20 40 1/ 3

20 80 30 2 / 3

40 30 20 2 / 3

50 / 3 40 / 3 80 / 3

20 / 3 160 / 3 60 / 3

40 / 3 60 / 3 40 / 3

10 / 3

80 MPa

20 / 3

,

n n n

1/ 310 20

80 2 / 33 3

2 / 3

10 160 4050MPa

9 3 9 ,

ln nl n l

2 / 310 20

80 2 / 33 3

1/ 3

20 160 20 160MPa

9 3 9 3 ,

mn nm n m

2 / 310 20

80 1/ 33 3

2 / 3

20 80 40 100MPa

9 3 9 3 .


xe

ye

ze

P

ne

me

Adott:

60MPax , 60MPaz , 60MPaxz , 0yz

2 2,

2 2n x ye e e

2 2

2 2m x ye e e ,

85MPan , 15MPamn .

Feladat: a) A y normál feszültség és a xy csúsztató feszültség meghatározása.

25

b) A zn csúsztató feszültség meghatározása.

Kidolgozás:

a) A y normál feszültség és a xy csúsztató feszültség meghatározása:

A feszültségi tenzor az ismert és ismeretlen koordinátákkal:

60 60

0 MPa

60 0 60

xy

yx yPF

.

Az egyenletek, amiből az ismeretlenek meghatározhatók: n n ne ,

mn m ne .

Részletszámítások az első egyenlet felírásához:

2 2 260

2 2 260 60

2 2 20

2 2 260 0 60

260

0 2

xy

xy

n n xy xy yyPF e

,

n n ne 2 2 2 2x ye e 60 2 2 2 2 xy xe

2 2 2 2 60 2 2xy y y ze e

130

2xy y .

Részletszámítások a második egyenlet felírásához:

mn m ne 2 2 2 2x ye e 60 2 2 2 2 xy xe

2 2 2 2 60 2 2xy y y ze e

30 0 5 y .

A megoldandó egyenletrendszer és megoldása:

130 85

30 MPa2

40 MPa130 15

2

xy yy

xy

y

A feszültségi tenzor mátrixa:

60 40 60

40 30 0 MPa

60 0 60P

F

.

z

P

x

y

60

40

60

60

3040

60

MPa

b) A zn csúsztató feszültség meghatározása:

zn n ze 2 2

60 502 2

x y x ze e e e

30 2 42 3 MPa .

26


Adott:

A szilárd test P pontjában az F

feszültségi tenzor mátrixa.

40 0 30 2

0 40 30 2 MPa

30 2 30 2 40

x xy xz

yx y yz

zx zy z

F

.

Feladat:

a) Az IF ,

IIF és IIIF skalár invariánsok kiszámítása.

b) A 1 ,

2 és 3 főfeszültségek meghatározása.

Kidolgozás:

a) A skalár invariánsok kiszámítása:

40 40 40 120 MPaI x y zF ,

40 30 2 40 30 2 40 0

0 4030 2 40 30 2 40

y yz x xyx xz

II

zy z yx yzx z

F

,

21600 1800 1600 1800 1600 400 1600 1200 MPaIIF .

3

40 0 30 2

det 0 40 30 2 40 200 30 2 1200 2 80000MPa

30 2 30 2 40

IIIF

.

b) A főfeszültségek meghatározása:

A nemtriviális megoldás létezésének feltétele: det 0eF E .

A determináns meghatározása a kifejtési szabály alkalmazásával:

40 40 40 30 2 30 2 0 30 2 0 40 30 2 0e e e e

.

A minden tagban szereplő 40 e kiemelése után:

2 240 80 1600 1800 1800 40 80 2000 0e e e e e e ..

A második tényező gyöktényezős alakra hozása:

212

1,3

3

100,80 80 4 200080 2000 0

20.2e e

40 100 20 0e e e .

A főfeszültségek: 1 100MPa, 2 40MPa, 3 20MPa.

2.11.5. feladat: A P pont elemi környezetének feszültségi állapota

Adott:

A szilárd test P pontjában az F

feszültségi tenzor mátrixa.

60 20 50

20 40 0 MPa

50 0 130

x xy xz

yx y yz

zx zy z

F

.

Feladat:

a) Az d

F feszültségi deviátor tenzor mátrixának meghatározása.

27

b) A feszültségi deviátor tenzor IdF és

IIdF skalár invariánsainak meghatározása.

c) A karakterisztikus egyenlet felírása.

Kidolgozás:

a) Az d

F feszültségi deviátor tenzor mátrixa:

3

I

d

FF F E

, ahol IF az F feszültségi tenzor első skalár invariánsa:

60 40 130 150 MPaI x y zF .

11 12 13

21 22 23

31 32 33

60 20 50 50 0 0 10 20 50

20 40 0 0 50 0 20 90 0 MPa

50 0 130 0 0 50 50 0 80

d d d

d d dd

d d d

f f f

F f f f

f f f

.

b) A feszültségi deviátor tenzor IdF és

IIdF skalár invariánsainak meghatározása:

11 22 3310 90 80 0 MPa

Id d d dF f f f ,

22 23 11 13 11 12

32 33 31 33 21 22

II

d d d d d d

d

d d d d d d

f f f f f fF

f f f f f f = 2

90 0 10 50 10 2010200MPa

0 80 50 80 20 90

.

c) A karakterisztikus egyenlet felírása:

3 2 0e I e II e IIIF F F , ahol

60 40 130 150 MPaI x y zF ,

240 0 60 50 60 20

2700 MPa0 130 50 130 20 40

y yz x xyx xz

II

zy z yx yzx z

F

,

3

60 20 50

20 40 0 264000 MPa

50 0 130

IIIF .

A karakterisztikus egyenlet: 3 2150 2700 264000 0e e e .

2.11.6. feladat: A P pontban a főfeszültségek és a feszültségi főirányok meghatározása

Adott:

20 0 0

0 30 40

0 40 90P

F

MPa.

Feladat: A P pontbeli főfeszültségek és feszültségi főirányok meghatározása.

Kidolgozás:

Sajátérték feladat: ( ) 0e e e ee F e E e F E e .

Lineáris algebrai egyenletrendszer: ( 20 ) 0 0 0e xe ,

0 (30 ) 40 0e y ze e ,

0 40 (90 ) 0y e ze e .

28

A nemtriviális megoldás feltétele – karakterisztikus egyenlet: det 0eF E .

Részletezve: 2(20 ) (30 )(90 ) 40 0e e e .

A karakterisztikus egyenlet megoldása: 3 20 MPa .

Ehhez a gyökhöz tartozó feszültségi főirány: 3 xe e .

A karakterisztikus egyenlet további gyökei:

2 2(30 )(90 ) 40 0 120 1100 0.e e e e

1,2 1 2

120 14400 4400 120 100110 MPa, 10 MPa

2 2

.

A feszültségi főirányok meghatározása – a főfeszültségeket visszahelyettesítjük a lineáris

algebrai egyenletrendszerbe.

1. főirány:

1

1

1

130 0 0 0

0 80 40 0

0 40 20 0

x

y

z

e

e

e

Az egyenletrendszer megoldása: 1 0xe , 1 12z ye e .

2 2

1 1 1 1 1

11 5 .

5y z y ye e e e e

1

1( 2 )

5y ze e e .

2. főirány: 2 3 1

1 1( 2 ) (2 )

5 5x y z y ze e e e e e e e .

2.11.7. feladat: A főirányok azonossága alakváltozási-, illetve feszültségi tenzor esetén.

Adott: A szilárd test P pontjában az A alakváltozási tenzor mátrixa és ugyanabban a pontban

az F feszültségi tenzor mátrixa:

5

10 6 0

6 20 8 10

0 8 10

A

,

30 6 0

6 40 8 MPa

0 8 30

F

.

Feladat:

a) Annak igazolása, hogy a szilárd test P pontjában a Hooke-törvény érvényesül.

b) Az alakváltozási állapot 1 , 2 és 3 főnyúlásainak kiszámítása.

c) Az alakváltozási főirányok meghatározása.

d) A 1 , 2 és 3 főfeszültségek kiszámítása.

e) A feszültségi főirányok meghatározása.

Kidolgozás:

a) A Hooke-törvény érvényesülésének igazolása.

Az általános Hooke-törvény szerint az alakváltozási- és a feszültségi tenzor főátlón kívüli

elemeinek hányadosa azonos. Ez a hányados a G csúsztató rugalmassági modulus (anyag-

jellemző).

29

50,5 10 MPaxy zy zx

xy zy zx

G

.

A főátlóban lévő koordinátákra a Hooke-törvény szerint: 21 2

i i IG A

.

540 10I x y zA .

5 5 52 2 0,5 10 10 10 40 10 301 2 1 2

x x IG A

.

10 40 30 0,251 2

.

Ugyanezt kapjuk ,y z esetén is, vagyis a két tenzor megfelelő koordinátái közt valóban a

Hooke-törvény teremt kapcsolatot. Az anyagállandók: 50,5 10 MPaG , 0,25 .

b) A főnyúlások kiszámítása (az alakváltozási tenzor sajátértékeinek meghatározása):

A nem triviális megoldás létezésének feltétele: det 0eA E .


10 20 10 8 8 6 6 10 0 0 0e e e e .


2 210 30 200 64 36 10 30 100 0e e e e e e .


212

1,3

3

15 5 5,30 30 4 10030 100 0

2 15 5 5.e e

10 15 5 5 15 5 5 0e e e .

A főnyúlások: 5

1 15 5 5 10 , 5

2 10 10 , 5

3 15 5 5 10 .

c) Az alakváltozási főirányok meghatározása:

Az 1 -hez tartozó főirány meghatározása: 1 1 0A E e .

Mátrix-alakban:

1

1

1

(10 15 5 5) 6 0 0

6 (20 15 5 5) 8 0

00 8 (10 15 5 5)

x

y

z

e

e

e

.

Válasszuk 1xe -t egységnyinek ( 1xe =1)! Ezt azért tehetjük meg, mert a számítások végén

kapott vektort úgyis normáljuk, azaz irány egységvektort állítunk elő.

Első egyenletből:

1 1

5 1 510 15 5 5 1 6 0 2,6967

6y ye e

.

Harmadik egyenletből:

1 1 1 1

8 88 10 15 5 5 0

65 1 5y z z ye e e e

.

30

Az így kapott vektor nagysága: 2 2 2

1 1 1 3,1702x y ze e e .

Ezzel a számmal kell normálnunk, így az irány egységvektor:

1 0,3154 0,8506 0,4206x y ze e e e .

Az 2 -höz tartozó főirány meghatározása: 2 2 0A E e .

Mátrix-alakban:

2

2

2

(10 10) 6 0 0

6 (20 10) 8 0

0 8 (10 10) 0

x

y

z

e

e

e

Az első és a harmadik egyenletből látható, hogy 2 0ye . Válasszuk 2xe -t egységnyinek!

Ezt azért tehetjük meg, mert a számítások végén kapott vektort úgyis normáljuk, azaz

irány egységvektort állítunk elő.

A második egyenletből: 2 26 1 10 0 8 0 0,75z ze e .


2 2 2 1,25x y ze e e .

Ezzel a számmal kell normálnunk, így az irány egységvektor: 2 0,8 0,6x ze e e .

Az 3 -hoz tartozó főirány meghatározása: 3 1 2 0,5104 0,5257 0,6805x y ze e e e e e .

d) A főfeszültségek meghatározása:

A nemtriviális megoldás létezésének feltétele: det 0eF E .


30 40 30 8 8 6 6 30 0 0 0e e e e .


2 230 70 1200 64 36 30 70 1100 0e e e e e e .


212

1,3

3

35 5 5,70 70 4 110070 1100 0

2 35 5 5.e e

30 35 5 5 35 5 5 0e e e .

A főfeszültségek: 1 35 5 5 MPa, 2 30MPa, 3 35 5 5 MPa.

e) A feszültségi főirányok meghatározása:

A 1 -hez tartozó főirány meghatározása: 1 1 0A E e .

Mátrix-alakban:

1

1

1

30 35 5 5 6 0 0

6 40 35 5 5 8 0

00 8 30 35 5 5

x

y

z

e

e

e

.

31

Válasszuk 1xe -t egységnyinek! Ezt azért tehetjük meg, mert a számítások végén kapott

vektort úgyis normálnunk kell.

Első egyenletből:

1 1 1

5 1 510 15 5 5 6 0 2,6967

6x y ye e e

.

Harmadik egyenletből:

1 1 1 1

8 88 10 15 5 5 0

65 1 5y z z ye e e e

.


1 1 1 3,1702x y ze e e .

Ezzel a számmal normálva: 1 0,3154 0,8506 0,4206x y ze e e e .

A 2 -höz tartozó főirány meghatározása: 2 2 0A E e .

Mátrix-alakban:

2

2

2

30 30 6 0 0

6 40 30 8 0

0 8 30 30 0

x

y

z

e

e

e

.

Az első és a harmadik egyenletből látható, hogy 2 0ye . Válasszuk 2xe -t egységnyinek!

Ezt azért tehetjük meg, mert a számítások végén kapott vektort úgyis normálnunk kell.

A második egyenletből: 2 26 10 8 0 0,75x ye e z z .


2 2 2 1,25x y ze e e .

Ezzel a számmal normálva: 2 0,8 0,6x ze e e

A 3 -hoz tartozó főirány meghatározása: 3 1 2 0,5104 0,5257 0,6805x y ze e e e e e .

Megjegyzések:

a) A főirányok megegyeznek!

Belátható, hogy a sajátvektorok azonossága minden olyan A és F tenzorpárra teljesül,

amelyekre igaz, hogy F A E ( , tetszőleges együtthatók). A Hooke-törvény

ilyen összefüggést valósít meg egy pont alakváltozási állapotát leíró alakváltozási tenzor és

feszültségi állapotát leíró feszültségi tenzor között.

Ebből következik, hogy a nyúlási főirányok és a feszültségi főirányok mindig megegyez-

nek (egy adott pont esetén). A fenti két tenzor között a Hooke-törvény 51,25 10 MPa, 0,25E anyagállandók esetén teljesül.

b) A főfeszültségek és a főnyúlások közti összefüggés a következő:

1 2 32 , 1,2,31 2

i iG i

.

c) Fentiek bizonyítása a következő:

Tegyük fel, hogy ismerjük az i főnyúlásokat és az ie nyúlási főirányokat. Vizsgáljuk meg

az a)-ban meghatározott F A E tenzor hatását a nyúlási főirányok irány-

egységvektorára!

32

i i i i i i i iF e Ae Ee e e e

Láthatjuk, hogy ie az F A E tenzornak is sajátvektora, a hozzá tartozó sajátérték

pedig: i i .

Figyelembe véve a Hooke-törvény ismert 21 2

IF G A A E

alakját, továbbá fel-

idézve, hogy az első skalár invariáns a sajátértékek összegével egyenlő, kapjuk a

1 2 32 ; 1,2,31 2

i iG i

összefüggést.

2.11.8. feladat: A P pont elemi környezetének relatív elmozdulási állapota

Adott: A szilárd test P pontjában a derivált tenzor:

3

2 0 2

0 2 0 10

4 2 4P

D

, 2 2

2 2n y ze e e

,

2 2

2 2m y ze e e

, 1m ne e .

xeP

ye

zeC

A

B

N

M

me

ne

Feladat:

a) Az A, B és C pontok relatív elmozdulás vektorainak meghatározása.

b) Az ne egységvektor végpontjában levő N pont relatív elmozdulás vektorának meghatározá-

sa.

c) Az me egységvektor végpontjában levő M pont relatív elmozdulás vektorának meghatározá-

sa.

Kidolgozás:

a) Az A, B és C pontok relatív elmozdulás vektorainak meghatározása:

A relatív elmozdulás vektorok a derivált tenzor oszlopaiban álló elemek:

32 4 10A x zu e e , 32 4 10B y zu e e , 32 4 10C x zu e e .

b) Az ne egységvektor végpontjában levő N pont relatív elmozdulás vektorának meghatározá-

sa:

3 3

0 22 0 2

10 0 2 0 2 / 2 2 10

4 2 4 2 / 2 2

N nPu D e

.

32 2 2 10N x y zu e e e .

c) Az me egységvektor végpontjában levő M pont relatív elmozdulás vektorának meghatáro-

zása:

33

3 3

0 22 0 2

10 0 2 0 2 / 2 2 10

4 2 4 2 / 2 3 2

M mPu D e

,

32 2 3 2 10M x y zu e e e .

2.11.9. feladat: A P pont elemi környezetének relatív elmozdulási állapota

xeP

ye

ze

4

2 310

4

32 6

Adott: A P pont környezetének fajlagos relatív elmozdulás állapo-

tának szemléltetése az elemi triéderen.

Feladat:

a) A P

D derivált tenzor felírása szimbolikus és mátrixos alakban.

b) A P

forgató tenzor felírása szimbolikus és mátrixos alakban.

c) Az P

A alakváltozási tenzor felírása szimbolikus és mátrixos

alakban.

Kidolgozás:

a) A P

D derivált tenzor felírása szimbolikus és mátrixos alakban:

Szimbolikus alak: x x y y z zPD u e u e u e ,

33 2 4 6 2 4 10x y x x z y x z zPD e e e e e e e e e

.

Mátrixos alak: 3

3 4 2

2 0 0 10

0 6 4P

D

.

A derivált tenzor transzponáltja, szimbolikus alak: T

x x y y z zPD e u e u e u ,

33 2 4 6 2 4 10T

x x y y x z z x zPD e e e e e e e e e

.

Mátrixos alak: 3

3 2 0

4 0 6 10

2 0 4

T

PD

.

b) A P

forgató tenzor felírása szimbolikus és mátrixos alakban:

Szimbolikus alak: 1

2

T

P P PD D ,

33 3 3 3 10y z x x z y x y zPe e e e e e e e e

Mátrixos alak: 3

0 3 1

3 0 3 10

1 3 0P

.

xe

Pye

ze

1 310

3

1 3 3

3

34

c) Az P

A alakváltozási tenzor felírása szimbolikus és mátrixos alakban:

Szimbolikus alak: 1

2

T

P P PA D D ,

33 3 3 4 10x y z x y z y x y z zPA e e e e e e e e e e e

.

Mátrixos alak: 3

3 1 1

1 0 3 10

1 3 4P

A

.

xe

P

ye

ze1310

1

13

3

34

1

2.11.10. feladat: Feszültségi főirányok, főfeszültségek, Mohr-féle feszültségi kördiagram

Adott: A szilárd test P pontjában az F feszültségi tenzor mátrixának elemei: 20 MPax ,

30 MPay , 90 MPaz , 40 MPayz zy , 0 MPaxy xz .

Feladat:

a) A főfeszültségek és a feszültségi főirányok meghatározása sajátérték feladat megoldásával,

és Mohr-féle feszültségi kördiagram felhasználásával.

b) Az F feszültségi tenzor IF , IIF és IIIF skalár invariánsainak kiszámítása.

c) A feszültségi deviátor tenzor mátrixának meghatározása.

Kidolgozás:

a) A főfeszültségek és a feszültségi főirányok meghatározása sajátérték feladat megoldásával,

és Mohr-féle feszültségi kördiagram felhasználásával:

Az F feszültségi tenzor mátrixa:

20 0 0

0 30 40 MPa

0 40 90

x xy xz

yx y yz

zx zy z

F

.

- A sajátérték feladat megoldása:

20 0 0 0,

0 0 30 40 0,

0 40 90 0.

x

y z

y z

e

F E e e e

e e

A karakterisztikus egyenlet: det 0F E ,

220 30 90 40 0 20MPa.e

22700 90 30 1600 0 , 2 120 1100 0 ,

A karakterisztikus egyenlet megoldása: 1,2

110,120 14400 4400 120 100

10.2 2

35

A főfeszültségek: 1 110MPa,

2 10MPa, 3 20MPa.x

- Főirányok meghatározása:

Mivel 3 20MPax főfeszültség, ezért

3 xe e ,

A 1 főfeszültség visszahelyettesítése a lineáris algebrai egyenletrendszerbe:

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 11 1 1

20 0 0 0 20 110 0 0 0

0 0 30 40 0 0 30 110 40 0

0 40 90 110 00 40 90 0

x x

y z y z

y zy z

e e

F E e e e e e

e ee e

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

130 0 0 0 0

0 80 40 0 2

0 40 20 0 2

x x

y z z y

y z z y

e e

e e e e

e e e e

,

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 11 4 5x y z y y ye e e e e e e 1

.5

ye

Az első főirány irány egységvektora: 1

1 20 0,447 0,894 .

5 5x y z y ze e e e e e

A második főirány:

2 3 1

1 2 2 10,894 0,447 .

5 5 5 5x y z y z y ze e e e e e e e e e

- A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása:

n

n

3 x 2 1

ZY

90

12 z

6030

40

R

1z

X

A főfeszültségek meghatározása:

2

21

2 2

y z y z

yz

,

2

22

2 2

y z y z

yz

, 3 x .

2 230 40 50MPaR , 1 60 50 110 MPa ,

2 60 50 10 MPa .

3 20 MPax ,

36

A főirányok meghatározása:

z

y

2e

1e

1z

Az 1z szöget a feszültség növekedésének irá-

nyában kell felmérni!

o

1 1

2026,57

40z ztg .

1 1 1sin 0,447 0,894 .z y z z y ze e cos e e e

2 1 1sin 0,894 0,447 .z y z z y ze cos e e e e

b) A skalár invariánsok kiszámítása:

1 2 3 100 MPaI x y zF ,

2

2 3 1 3 1 2 1300MPay yz x xyx xz

II

zy z yx yzx z

F

,

1

3

2 1 2 3

3

0 0

0 0 22000MPa

0 0

x xy xz

III yx y yz

zx zy z

F

.

c) A feszültségi deviátor tenzor mátrixának meghatározása:

3

I

d

FF F E

, ahol 100MPaIF .

20 0 0 100 / 3 0 0 53,3 0 0

0 30 40 0 100 / 3 0 0 3,3 40 MPa

0 40 90 0 0 100 / 3 0 40 56,7d

F

.

2.11.11. feladat: Mohr-féle feszültségi kördiagram, általános Hooke törvény

Adott:

A szilárd test P pontjában az F feszültségi tenzor

mátrixa, továbbá 0,3 , 50,8 10 MPaG .

70 0 40

0 50 0 MPa

40 0 10

F

.

Feladat:

a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán.

b) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése Mohr-féle feszültségi kördiagrammal.

c) A főfeszültségek és a főirányok meghatározása a Mohr-féle feszültségi kördiagramból.

d) A P pont alakváltozási állapotának meghatározása és szemléltetése elemi triéderen.

Kidolgozás:

a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán:

37

70 0 40

0 50 0 MPa

40 0 10

x xy xz

yx y yz

zx zy z

F

z

y

x

70

50

10

40

MPa

40

b) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése Mohr-féle kördiagrammal:

n

n

2 y 3 1

Z

Y

7010

40

1x

X

c) A főfeszültségek és a főirányok meghatározása a Mohr-féle kördiagramból:

2

2 2 2

1 40 30 40 90MPa2 2

x z x zxz

, 2 50MPay ,

2

2 2 2

3 40 30 40 10MPa2 2

x z x zxz

.


1

200,5

40xtg o

1 26,57 .x

Az 1x szöget a feszültség növekedésének

irányában kell felmérni!

z

x

3e

1e1x

d) A P pont alakváltozási állapotának meghatározása és szemléltetése az elemi triéderen:

Az általános Hooke törvény: 1

2 1IA F F E

G

,

70 50 10 130MPaI x y zF , 0,3

130 30 MPa1 1 0,3

IF

.

5

41070 30 2,5 10

1,6x

, 0,

xy

xyG

5

41050 30 1,25 10

1,6y

, 0,

yz

yzG

38

5

41010 30 1,25 10

1,6z

, 4

5

405 10

0,8 10

xzxz

G

.


4

2,5 0 2,5

0 1,25 0 10

2,5 0 1,25P

A

.

xe

P

ye

ze

1,252,5 310

1,25

2,5

2,5

2.11.12. feladat: Mohr-féle feszültségi kördiagram

Adott: A szilárd test P pontjában az F feszültségi tenzor

mátrixa.

10 0 40

0 50 0 MPa

40 0 70

F

.

Feladat:

a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán.

b) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése Mohr-féle kördiagrammal.

c) A főfeszültségek és a főirányok meghatározása a Mohr-féle kördiagramból.

Kidolgozás:

a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése elemi kockán:

A feszültségi tenzor:

10 0 40

0 50 0 MPa

40 0 70

x xy xz

yx y yz

zx zy z

F

z

y

x

10

50

70

4040

MPa

b) A pont feszültségi állapotának szemléltetése Mohr-féle kördiagrammal:

n

n

2 y 3 1

Z

Y

7010

40

1z

X

c) A főfeszültségek és a főirányok meghatározása a Mohr-féle kördiagramból:

2

2 2 2

1 40 30 40 90MPa2 2

x z x zxz

, 2 50MPay ,

39

2

2 2 2

3 40 30 40 10MPa2 2

x z x zxz

.


1 20 / 40 0,5ztg o

1 26,57 .z

Az 1z szöget a feszültség növekedésének

irányában kell felmérni! z

x

3e

1e

1z

Documents

1. RUGALMASSÁGTANI ALAPFOGALMAK