Embed Size (px)
Citation preview
Nội dung ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 – Tích phân bất định.
2 – Tích phân xác định.
3 – Tích phân suy rộng.
4 – Ứng dụng của tích phân.
I. Tích phân bất định
Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số.
( ) ( )f x dx F x C
Định nghĩa
Hàm số y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm
hàm trong [a,b], nếu y = F(x) liên tục, có đạo ( )y f x
tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và . '( ) ( )F x f x
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f(x) được gọi là
tích phân bất định của hàm y = f(x), ký hiệu
I. Tích phân bất định
'
1. ( ) ( )f x dx f x
Tính chất
2. ( ) ( )d f x dx f x dx
3. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì '( ) ( )f x dx f x C
4. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì ( ) ( )df x f x C
5. ( ) ( ) f x dx f x dx
6. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx
1. sinh coshxdx x c
Tích phân của một số hàm cơ bản
22. tanh
cosh
dxx c
x
cosh sinhxdx x c
2coth
sinh
dxx c
x
2 2
13. arctan
dx xc
a ax a
2 24. arcsin arccos
dx x xc c
a aa x
2 2
2 25. ln
dxx x a C
x a
0a
Phương pháp đổi biến
'
( )( ( )) ( ) ( )
t xf x x dx f t dt
Nếu tồn tại hàm hợp và hàm liên tục ( ( ))f x ( )t x
trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b), thì
Nếu tồn tại hàm hợp của hàm , thì ( )t x1( )x t
1
'
( )( ) ( ( )) ( )
x tf t dt f x x dx
1
'
( )( ) ( ( )) ( )
t xf x dx f t t dt
Ví dụ Tính sin
dxI
x
sin
dxI
x 2
sin
sin
xdx
x
1
2 1 1
dt dt
t t
Ví dụ Tính 2
ln(arccos )
1 arccos
x dxI
x x
2
cos
1 cos
d x
x
21
dt
t
ln tan2
xC
1 1 cosln
2 1 cos
xC
x
ln(arccos )t x21 arccos
dxdt
x x
2
ln(arccos )
1 arccos
x dxI
x x
2
2
ttdt C 21
ln arccos2
x C
Phương pháp tích phân từng phần.
Giả sử hai hàm liên tục trên đoạn [a,b] ( ), ( )u u x v v x
và khả vi trong khoảng (a,b).
Nếu tồn tại , thì tồn tại . Ngoài ra: 'v u dx'u v dx
' 'u v dx u v v u dx
u dv u v v du
Phương pháp tích phân từng phần.
( )lnnP x ax dx đặt ln
dxu ax du
x
( ) ( )n ndv P x dx v P x dx
( ) axnP x e dx
( ) cosnP x ax dx
( ) sinnP x ax dx đặt ( )nu P x
dv phaàn coøn laïi.
( ) arcsinnP x ax dx
( ) arccosnP x ax dx ( ) arctannP x ax dx
( ) arccotnP x ax dx
Ví dụ Tính 2arccosI xdx
arccosu x21
dxdu
x
Đặt 2
2
2arccosarccos
1
xdxu x du
x
dv dx v x
2
2
2 arccosarccos
1
x xI x x dx
x
21arccosx x I
21 1 arccosI x x dx
21
xdxdv
x
2
21
1
xdxv x C
x
221 arccosx x x C
Tích phân của hàm hữu tỷ
( )
( )
n
m
P xdx
Q xcác đa thức bậc n và
m với hệ số thực.
,n mP Q
1. Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng.
2. (Đại số). Mẫu là đa thức với hệ số thực, phân tích ra
thừa số bậc nhất và bậc hai.
11 2 21 1 1( ) ...
vkt tss
m k v vQ x x a x a x p x q x p x q
Tích phân của hàm hữu tỷ.
3. Phân tích: 11 2
1 1 1
( ) ( )
( )
n n
tsm
P x P x
Q x x a x p x q
1
1
1 22
1 1 1
s
s
AA A
x a x a x a
1 1
1
1 1 2 222 2 2
1 1 1 1 1 1
t t
t
B x CB x C B x C
x p x q x p x q x p x q
4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số.
5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau.
Tích phân của hàm hữu tỷ.
1
1, 1
( )1.
1
n n
dxC n
x a n x a
2 2 2
2
22
2.
Mx n dx M x p Mp dxdx N
x px q x px q x px q
2 23. n n
dxI
x a
2 2
1n
ux a
12 2
2n
nxdxdu
x a
dv dx v x
2
12 2 2 2
2n n n
x x dxI n
x a x a
Tích phân của hàm hữu tỷ.
2 2 2
12 2 2 2
2n n n
x a a dxxI n
x a x a
2
12 2 2 2 2 2
2 2n n n n
x dx dxI n na
x a x a x a
2
12 2
2 2n n nn
xI nI na I
x a
Hệ thức truy hồi:
1 2
2 2
12 1
2n nn
xI n I
na x a
1 2 2
1arctan
dx xI C
a ax a
Ví dụ Tính 3( 2)
dxI
x
3
( 2)
( 2)
d xI
x
3( 2) ( 2)x d x
3 1
2
1 12
2 2( 2)x C C
x
2 2( 1) 2
dxI
x
2 2
1
( 1) 2
d x
x
Ví dụ Tính 2 2 5
dxI
x x
1 1arctan
2 2
xC
Ví dụ Tính ( 4)
( 2)( 1)
x dxI
x x
4
( 2)( 1) 2 1
x A B
x x x x
2
2 1
dx dxI
x x
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = -1.
2ln( 2) ln( 1)x x C 2( 2)
ln1
xC
x
Chú ý. Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
(*)
Để tìm A, nhân hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào.
Ví dụ Tính 3 2
2 2
2 5 1
( 3)( 1)
x x xI dx
x x x
3 2
2 2 2 2
2 5 1
( 3)( 1) 3 1
x x x Ax B Cx D
x x x x x x
Qui đồng, đồng nhất, tìm có: A = 0, B = 1, C = 2, D = 0.
2 2
2
3 1
dx xdxI
x x x
21 2 2 1arctan ln( 1) arctan
3 3 3 3
x xx x C
2 2
2 1 1
3 1
xdxdx
x x x
Ví dụ Tính 2
2 2 2
4 8
( 1) ( 1)
x xI dx
x x
2 2 2 2 2 2
2
( )
1( 1) ( 1) 11 1
P x A B Cx D Ex F
xx x xx x
Tìm được: A = 2, B = -1, C = -2, D = -1, E = -2, F = 4.
2 2 2
2 2 2
( 2 4) 2 4
1 1 1
x dx xdx dx
x x x
2 2
2
4
1
dxI
x
Dùng hệ thức truy hồi, tính qua 1.I
(*)
Thay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4.
Để tìm các hệ số A, B, C, … nhanh, có thể sử dụng khai
triển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử,
giảng viên Đặng Văn Vinh.
Từ , ta có: (*) 2 2 2 2 24 8 ( 1)( 1) ( 1)x x A x x B x
2 2 2( )( 1) ( 1) ( )( 1)Cx D x x Ex F x
Thay x = 1, tìm được B = -1.
Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i
Thay x = i, tìm được C= -2, D = -1.
Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P x P x P xdx dx
Q x Q x Q x
đa thức chỉ có nghiệm đơn là nghiệm của Q(x), 2( )Q x
1
2
( )( )
( )
Q xQ x
Q x
là hai đa thức với các hệ 1 2( ), ( )P x P x
số cần tìm, có bậc tương ứng nhỏ
1 2( ), ( ).Q x Q xhơn bậc của
Để tìm các hệ số của , đạo hàm hai vế (*), 1 2( ), ( )P x P x
(*)
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm các hệ số.
Ví dụ Tính 2
2 2 2
4 8
( 1) ( 1)
x xI dx
x x
Sử dụng phương pháp Ostrogradskii
21 2
2 2 21 2
4 8
( 1) ( 1)
x x P PI dx dx
Q Qx x
22 ( 1)( 1)Q x x
22P ax bx c bậc nhỏ hơn bậc Q2
21 2( 1)( 1) /Q x x Q Q 2
1P Ax Bx C
(*)
Đạo hàm hai vế (*)
'2
1 22 2 2
1 2
4 8
( 1) ( 1)
x x P P
Q Qx x
Đồng nhất hai vế, tìm A, B, C, a, b, c.
Tích phân của hàm vô tỷ
1 2
1 2, , ,
p p
q qax b ax bR x dx
cx d cx d
Cách giải: đổi biến ,n ax bt
cx d
n là Bội số chung nhỏ nhất của 1 2, ,...q q
Ví dụ Tính 42 1 2 1
dxI
x x
Đổi biến: 42 1x t 32 4dx t dt
3
2
2t dtI
t t
22
1
t dt
t
12 1
1t dt
t
2 2 ln | 1|t t t C
Ví dụ Tính
2 63
3
1 ( 1) 1
( 1)(1 1)
x x xI dx
x x
Đổi biến: 61x t 56dx t dt
6 4 5
6 2
( )6
(1 )
t t t t dtI
t t
3
26 6
1
dtt dt
t
3 2 636arctan
2x x C
Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler
2,R x ax bx c dx
Cách giải: Đổi biến Euler
20:a ax bx c ax t
20, 4 0a b ac
20:c ax bx c xt c
21( )ax bx c x x t
Trong đó x1 là một nghiệm thực của 2 0ax bx c
Ví dụ Tính 2
2
1 1
1
x xI dx
x x x
Tích phân Euler:
Đổi biến: 2 2 21 2 1x x t x tx
2
22
12
1
t tdx dt
t
2
2 1
1
tx
t
2
2
1
tI dt
t
2ln 1 t C
21 1x x tx
22
2
11
1
t tx x
t
21 1 x xt
x
221 1
ln 1x x
Cx
Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Trêbưsev
p
m nx ax b dxa, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất cả các số khác 0.
Trường hợp 1: là số nguyên. p
Đặt , với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n Nx t
Đặt , với s là mẫu của p. n sax b t
Trường hợp 2: là số nguyên. 1m
n
Đặt , với s là mẫu của p. n sa bx t
Trường hợp 3: là số nguyên. 1m
pn
Ví dụ Tính 2 3 53 ( 2)
dxI
x x
Tích phân Trêbưsev: 5/3
2 3 2I x x dx
2, 3, 5/3m n p 1 2 1 5
23 3
mp Z
n
Đổi biến: 3 31 2x t
4 26 3x dx t dt
5
3
5/33
2 4 42. .
xI x x
xx x x d
3
4
5/33
3 2.
xx dx
xx
2351
2 2
ttt dt
31
14
t dt
Ví dụ Tính 3 61
dxI
x x
Tích phân Trêbưsev: 1
1/3 1/ 61I x x dx
1/3, 1/6, 1m n p p Z
Đổi biến: 6x t56dx t dt
12 5. 1 6I t t t dt
3
61
tdt
t
BSCNN của mẫu m, n là 6
2 16 1 6
1t t dt dt
t
Ví dụ Tính 3 41 xI dx
x
Tích phân Trêbưsev: 1/3
1/ 2 1/ 41I x x dx
1/ 2, 1/ 4, 1/3m n p 1 1/ 2 1
21/ 4
mZ
n
Đổi biến: 1/ 4 31 x t 3/ 4 213
4x dx t dt
BSCNN của mẫu m, n là 4
1/3
1/ 2 13/ 4 3/4 4/1I x x x dxx
1/ 4 3 1x t
1/3
1/ 4 1/ 4 3/ 41 xx x dx
3 24 1 3I t t t dt 6 34 3 3t t dt
Tích phân của hàm lượng giác
sin ,cosR x x dx
Cách giải chung: đặt
2arctanx t
tan , ,2
x
t x
22
1
dtdx
t
2
2 2 2
2 1sin ,cos 2 ,
1 1 1
t t dtR x x dx R
t t t
2
2 2
2 1sin ,cos
1 1
t tx x
t t
Tích phân hàm
hữu tỷ
Trong nhiều trường hợp, cách giải trên rất cồng kềnh.
Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v.
Ví dụ Tính 3sin 4cos 5
dxI
x x
Đổi biến: tan( / 2), , t x x
2 22
6 4(1 ) 5(1 )
dtI
t t t
22
1
dtdx
t
2
2 2
2 1sin ,cos
1 1
t tx x
t t
22
6 9
dt
t t
22 ( 3) ( 3)t d t 2
3C
t
2
tan( / 2) 3C
x
Tích phân của hàm lượng giác
sin ,cosR x x dx1) sin ,cos sin ,cosR x x R x x đặt cos , ,
2 2t x x
2) sin , cos sin ,cosR x x R x x đặt sin , 0,t x x
3) sin , cos sin ,cosR x x R x x đặt tan , ,2 2
t x x
4) sin cosp qx x dx đặt hoặc sint x cost x
Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: coshx, sinhx
Ví dụ Tính 2 3
(2sin 3cos )
sin cos 9cos
x x dxI
x x x
Đổi biến: tan( ), / 2, / 2 t x x
2
(2 tan 3) (tan )
tan 9
x d xI
x
2ln( 9) arctan3
tt C
sin , cos sin ,cosR x x R x x
2cos
dxdt
x
Chia tử và mẫu cho 3cos x
2
2 3
9
tdt
t
2 2 2
2 3
9 3
tdt dt
t t
2 tanln(tan 9) arctan
3
xx C
Đổi biến:
Ví dụ Tính 3 8cos sinI x xdx
sint x cosdt xdx
2 8cos sin cosI x x xdx 2 81 sin sin cosx x xdx
2 8(1 )t t dt 9 11
9 11
t tC
9 11sin sin
9 11
x xC
Ví dụ Tính 2sin cos
dxI
x x
2 2
2
sin cos
sin cos
x x dxI
x x
2
sin
sincos
xdx dx
xx
2 2
(cos ) (cos )
cos 1 cos
d x d x
x x
1 1 1 cosln
cos 2 1 cos
xC
x x
Ví dụ Tính 2 3(sinh cosh )I x x dx
Đổi biến: sinh( )t x
2 2(sinh cosh )(cosh )I x x xdx
sinh , cosh sinh ,coshR x x R x x
coshdt xdx
2 2( 1)t t dt 6 3
6 3
t tC
2 2(sisinh (cosh )nh 1)xx xdx 6 3sinh sinh
6 3
x xC
Tích phân của hàm lượng giác
1 1sin cos
sin cos
a x b xI dx
a x b x
Phân tích
'
1 1sin cos sin cos sin cosa x b x A a x b x B a x b x
Đồng nhất hai vế:
( )cos ( )sinAa Bb x Ab aB x
1
1
Ab aB a
Aa Bb b
giải tìm A, B.
'( sin cos )
sin cos
A a x b x dxI Bdx
a x b x
ln( sin cos )A a x b x Bx C
Ví dụ Tính (2sin 3cos )
sin 4cos
x x dxI
x x
Phân tích: '2sin 3cos (sin 4cos ) (sin 4cos )x x A x x B x x
2sin 3cos ( 4 )sin (4 )cosx x A B x A B x
4 2
4 3
A B
A B
1
1/ 4
A
B
(sin 4cos ) (sin 4cos ) '
sin 4cos sin 4cos
A x x B x xI dx dx
x x x x
(sin 4c
sin 4c
o
o
s
s
)x xBdI A dx
x x
ln sin 4cosAx B x x C
Tích phân của hàm lượng giác
1 1 1sin cos
sin cos
a x b x cI dx
a x b x c
Phân tích
'
1 1 1sin cos sin cos sin cosa x b x c A a x b x c B a x b x c C
Đồng nhất hai vế:
( )cos ( )sinAa Bb x Ab aB x Bc C
1
1
1
Ab aB a
Aa Bb b
Bc C c
giải tìm A, B, C.
ln( sin cos )sin cos
CdxI A a x b x c Bx
a x b x c
Tích phân cuối tính bằng cách đổi biến chung: t = tan(x/2)
Ví dụ Tính (2sin cos 3)
3sin 4cos 5
x x dxI
x x
Phân tích: '2sin cos 3 (3sin 4cos 5) (3sin 4cos 5)x x A x x B x x C
2sin cos 3 (3 4 )sin (4 3 )cos (5 )x x A B x A B x A C
3 4 2
4 3 1
5 3
A B
A B
A C
2/5
1/5
1
A
B
C
(3sin 4cos 5)
3sin 4cos 5 3sin 4cos 5
d x x CdxI A dx B
x x x x
1ln(3sin 4cos 5)I Ax x x I với đã tính ở ví dụ trước 1I
Tích phân của hàm Hyperbolic
sinh ,coshR x x dx
Cách giải chung: đặt tanh2
xt
2
2 2 2
2 1sinh ,cosh 2 ,
1 1 1
t t dtR x x dx R
t t t
2
2 2
2 1sin ,cos
1 1
t tx x
t t
Tích phân hàm
hữu tỷ
Trong nhiều trường hợp, đặt t = sinhx, t = coshx, t = tanhx.
Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v.
