1. ÚMRTNOSTNÉ TABUĽKY

- základný nástroj pre výpočty v poistení osôb- obsahujú odhady pravdepodobnosti úmrtia mužov a žien jednotlivých vekov- obsahujú:

- vek osôb- pravdepodobnosť úmrtia vo veku x ... qx

- pravdepodobnosť dožitia sa veku x+1 vo veku x ... px=1-qx

- počet dožívajúcich sa veku x ... lx

- počet zomierajúcich práve vo veku x ... dx

- počet rokov prežitých osobami vo veku x ... Lx

- počet zostávajúcich rokov života vo veku x ... Tx

- stredná dĺžka života vo veku x ... ex

- pravdepodobnosť úmrtia do n rokov od veku x ... nqx

- pravdepodobnosť dožitia sa veku x+n vo veku x ... npx=1-qx

1 xxx lld

x

xx

x

xx l

ll

l

dq 1

x

xx l

lp 1

x

nxxxn l

llq

x

nxxn l

lp

21

xxx

llL

...1 xxx LLTx

xx l

Te

- úmrtnosť mužov a žien je rôzna - rôzne úmrtnostné tabuľky- iné riešenia: časové posunutie sadzieb- princípy pri výpočte poistného v poistení osôb:

princíp fiktívneho súborupredpokladáme, že počet osôb uzatvárajúcich poistenie vo veku x je lx

princíp ekvivalenciepríjmy a výdaje poisťovne musia byť v rovnováhe s prihliadnutím na časovú hodnotu peňazí

poistno - technická úroková miera i:- ak je nízka, zvyšujú sa poistné platby a poisťovňa ťažšie obstojí v konkurenčnom boji- ak je vysoká, platby sú nízke a inkasované poistné nemusí stačiť na vytvorenie dostatočnej poistnej rezervy

2. KOMUTAČNÉ ČÍSLA

- pomocné hodnoty, ktoré vznikajú diskontovaním hodnôt z úmrtnostných tabuliek- najdôležitejšie sú:

- diskontovaný počet dožívajúcich sa veku x ... Dx = lx vx

- diskontovaný počet zomrelých vo veku x ... Cx= dx vx+1

...1 xxx DDN

...1 xxx NNS

...1 xxx CCM

...1 xxx MMR

3. ZÁKLADNÉ POJMY V POISTENÍ OSÔB- poistiteľ - prevádzkovateľ poistenia- poistník - osoba, ktorá s poistiteľom uzavrela zmluvu a má povin- nosť platiť poistné- poistený - osoba, na ktorej život a zdravie sa poistka vzťahuje- oprávnená osoba - osoba, ktorá má právo na výplatu poistného plnenia podľa poistnej zmluvy

Najčastejšie druhy poistenia:p. pre prípad smrti - PU je smrť poistenéhop. pre prípad dožitia - PU je dožitie dohodnutého veku poistenýmzmiešané p. - PU je smrť alebo dožitie dohodnutého veku poistenýmdôchodkové p. - špec. prípad p. pre prípad dožitia s pravidelne sa opakujúcim poistným plnením vo forme dôchodku

Poistné plnenie:jednorazové (kapitálové poistenie)dôchodok (dôchodkové poistenie)

Poistné:jednorazové (pri uzavretí zmluvy)bežné (pravidelné splátky konštantnej výšky - zľavy pri menšej frekvencii platieb)nettopoistné - kryje poisťovni náklady na poistné plneniebruttopoistné - nettopoistné + správne náklady a bezp. prirážkyvalorizované - výška splátok rastie, najčastejšie podľa inflácie

Pri neplatení poistného:- pokračovanie s redukovanou poistnou čiastkou (nie nutne zánik)- niekedy odpustenie splátok (invalidita, ...)

Podiel na zisku:- rozdelovanie zisku, ktorý poisťovňa dosiahne investovaním rezerv nad rámec poistno-tech. úr. miery

Poistenie viacerých životov:poistné plnenie závisí na živote (smrti) viacerých osôb - napr. vdovský, sirotský dôchodok

Skupinové poistenie:dojednané hromadne pre skupinu osôbzľavy - jednoduchšia administratíva

Združené poistenie:kryje viac rizík v rámci jednej poistnej zmluvy- napr. + úrazové pripoistenie

Zaisťovanie:je poistenie poisťovne formou prenesenia časti rizík na zaisťovňu za cenu odstúpenia časti inkasovaného poistného- Műnchener Rűck, Swiss Re (insurance)

Súčasná hodnota poistenia:je súčasná hodnota očakávaných čiastok, ktoré bude musieť poisťovňa v rámci poistenia vyplatiť - určuje sa z prijatej úmrtnostnej tabuľky- diskontovanie pomocou prijatej poistno-technickej úr. miery v čase uzavretia poistnej zmluvy- je zároveň jednorázovým nettopoistným

Jednotková súčasná hodnota poistenia:je súčasná hodnota poistenia pre jednotkovú čiastku alebo jednotkový dôchodok

Poistenie pre prípad dožitia

- poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu, ak sa osoba vo veku x (pri uzatváraní poistenia) dožije konca dohodnutej doby n rokov- v prípade úmrtia poistenie zanikne bez náhrady- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

nxx

x

nxnx

x

nnx

xn D

D

vl

vl

l

vlE

Poistenie pre prípad smrti

- poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrie- poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

x

x

xxx

xx

xx

xx

xx

x

xxxx

D

M

D

CCC

vl

vdvdvd

l

vdvdvdA

...

...

...

21

32

21

1

32

21

Dočasné poistenie pre prípad smrti

- poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrie (počas dohodnutej doby n rokov)- poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia- pri dožití sa konca n. roku poistenie zaniká bez náhrady- napr. poistenie pre prípad úveru- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

nxx

x

nxxxxnx

D

MM

D

CCCCA

121|

1 ...

Odložené poistenie pre prípad smrti

- poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrie, povinnosť poistného plnenia je ale odložená o k rokov- ak poistená osoba zomrie počas odkladu, nemá nárok na plnenie- poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

kx

x

kxkxxk D

M

D

CCA

...1|

Odložené dočasné poistenie pre prípad smrti

- poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrie (počas dohodnutej doby n+k rokov), ale plnenie je odložené o k rokov- poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia- pri dožití sa konca n+k. roku poistenie zaniká bez náhrady- pri smrti počas doby odkladu poistenie zaniká bez náhrady- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

nkxkx

x

nkxkxkxnxk

D

MM

D

CCCA

... 11|

1|

Zmiešané poistenie

- poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci roku, v ktorom poistená osoba zomrela, alebo pri dožití sa konca n rokov- poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

nxnxx

x

nxnxxxnx

D

DMM

D

DCCCA

... 11|

- vyskytuje sa v rôznych obmenách

Poistenie s pevnou dobou výplaty

- poisťovňa vyplatí dohodnutú sumu na konci n. roku od uzavretia poistenia

- jeho jednotková súčasná hodnota je vn

Dôchodkové poistenie

- poisťovňa vypláca na začiatku každého obdobia dôchodok v dohodnutej výške- končí smrťou poisteného- poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

x

x

xxx

xx

xx

xx

xx

x

xxxx

D

N

D

DDD

vl

vlvlvl

l

vlvlla

...

...

...

21

22

11

221

..

Dočasné dôchodkové poistenie

- poisťovňa vypláca na začiatku každého obdobia dôchodok v dohodnutej výške po dobu najviac n rokov- končí aj smrťou poisteného- poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

nxx

x

nxxxnx D

NN

D

DDDa

11..

|

...

Odložené dôchodkové poistenie

- poisťovňa vypláca na začiatku každého obdobia dôchodok v dohodnutej výške po dobu najviac n rokov, pričom prvá splátka nastane až po k rokoch- končí smrťou poisteného- poistená osoba bola vo veku x pri uzatváraní poistenia- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

kx

x

kxkxkxxk D

N

D

DDDa

...21..

|

Polehotné dôchodky

x

kx

x

kxkxkxxk D

N

D

DDDa 1321

|

...

x

xxx D

Naa 1

..

1

x

nxxnxnx D

NNaa 11

..

|1|1

Aproximácie pre področné dôchodky- dôchodok vyplácaný m-krát ročne

m

maa x

x

m

2

1....

xnnxnx

m Em

maa

1

2

1|

..

|

..

xkxkx

mk E

m

maa

..

|

..

| 2

1

Aproximácie pre področné dôchodky- dôchodok vyplácaný m-krát ročne

m

maa x

x

m

2

1....

xnnxnx

m Em

maa

1

2

1|

..

|

..

xkxkx

mk E

m

maa

..

|

..

| 2

1

Poistenie s premenným poistným plnením

- dočasné poistenie na dobu n rokov pre prípad smrti s premennou rastúcou poistnou čiastkou typu 1, 2, 3, ..., n- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

nxnxx

x

nxnxxx

x

nxxxxnx

D

nMRR

D

nMMMM

D

nCCCCIA

11

121|

...

...32

Poistenie s premenným poistným plnením

- dočasné poistenie na dobu n rokov pre prípad smrti s premennou klesajúcou poistnou čiastkou typu n, n-1, n-2, ..., 1- pre jeho jednotkovú súčasnú hodnotu platí vzťah:

x

nxxx

x

nxxx

x

nxxxnx

D

RRnM

D

MMnM

D

CCnnCDA

11

1

11|

...

...1

4. BEŽNÉ NETTOPOISTNÉ

- v praxi sa stretávame často s prípadmi platenia poistného nie jednorazovo, ale v pravidelne sa opakujúcich splátkach konštantnej alebo premenlivej výšky- ročné nettopoistné so splátkami vo výške P na jednotkovú poistnú čiastku alebo dôchodok, ktoré platíme vždy začiatkom roka, možno považovať za dôchodok, ktorý platí poistený poistiteľovi

Poistenie pre prípad dožitia

- výšku pravidelných ročných platieb vždy začiatkom roka počas n rokov, ktoré začala platiť osoba vo veku x, aby pri dožití sa n+x rokov zinkasovala od poisťovne jednotkovú čiastku, vypočítame:

nxx

nx

x

nxx

x

nx

|nx

..xn

xn NN

D

DNN

DD

a

EP

Poistenie pre prípad smrti

- výšku pravidelných ročných platieb vždy začiatkom roka počas n rokov, ktoré začala platiť osoba vo veku x, aby pri jej smrti zinkasovali pozostalí od poisťovne jednotkovú čiastku, vypočítame:

nxx

nxx

|nx

..

|nx1

xn NN

MM

a

AP

Poistenie pre prípad smrti

- výšku pravidelných ročných platieb vždy začiatkom roka, ktoré začala platiť osoba vo veku x a ktoré bude platiť až do svojej smrti, aby pri jej smrti zinkasovali pozostalí od poisťovne jednotkovú čiastku, vypočítame:

x

x

x

..x

x N

M

a

AP

Zmiešané poistenie

- výšku pravidelných ročných platieb vždy začiatkom roka počas n rokov, ktoré začala platiť osoba vo veku x, aby pri jej smrti alebo pri dožití sa n+x rokov zinkasovala ona alebo jej pozostalí od poisťovne jednotkovú čiastku, vypočítame:

nxx

nxnxx

|nx

..

|nxxn NN

DMM

a

AP

Poistenie odloženého doživotného dôchodku

- poistenie uzavrie osoba vo veku x- počas nasledujúcich k rokov platí vždy začiatkom roka rovnakú sumu- po uplynutí k rokov prestane platiť a začne každoročne inkasovať jednotkovú sumu až do konca svojho života- výšku platieb vypočítame:

nxx

kx

|kx

..

x

..

|kxk NN

N

a

aP

Aproximácie pre področné platenie poistného

- poistné platíme m-krát ročne

x

x

xmx

ND

m21m

1m

PP

nxx

nxx

xnmxn

NNDD

m21m

1m

PP

5. BRUTTOPOISTNÉBruttopoistné je nettopoistné rozšírené o zložky, ktoré slúžia na pokrytie správnych nákladov poisťovne (prípadne o bezpečnostnú prirážku).

Typy správnych nákladov:1. jednorazové počiatočné náklady - označujeme - ide o náklady spojené s predajom poistného produktu (provízia poisťovacím agentom), vstupná lekárska prehliadka, a podobne- počítajú sa ako percentá z poistnej čiastky alebo z ročného dôchodku2. bežné správne náklady- označujeme - ide o každoročne sa opakujúce náklady počas trvania poistenia, ktoré sú spojené s jeho udržovaním (administratíva, prevádzka výpočtovej techniky, korešpondencia s klientom, ...)- počítajú sa ako percentá z poistnej čiastky alebo z ročného dôchodku

- rozlišujeme správne náklady počas celého trvania poistenia - 1

a správne náklady počas platenia poistného 2

3. inkasné náklady- označujeme - ide o náklady spojené s inkasovaním poistného (týkajú sa hlavne poistných produktov s bežným poistným)- počítajú sa ako percentá z ročného (jednorazového) bruttopoistného4. náklady spojené s vyplácaním dôchodku- označujeme - týkajú sa iba poistných produktov s výplatou dôchodku- počítajú sa ako percentá z ročného dôchodku5. jednotná správna prirážka- označujeme - zlučuje všetky predchádzajúce typy správnych nákladov- počíta sa ako percentá z bruttopoistného

Zmiešané bruttopoistnéJednorazové:- k nettopoistnému pre zmiešané poistenie pričítame jednorazové počiatočné náklady, ktoré sú pre jednotkovú poistnú čiastku a bežné správne náklady ako percentá z ročného dôchodku pre jednotkovú sumu

|nx

..

1|nxx aAB Bežné:

|nx

..

xn|nx

..

|nx|nx

..

xn a B aAa B

|nx

..

|nx

..

|nxxn

a 1

aA B

Bruttopoistné pre odložený doživotný dôchodok

Jednorazové:

1

1 |

....

| kxxkxk

aaB

Bežné:

|

..

|

....

|

1

1

kx

kxxkxk

a

aaB

Bruttopoistné - poistenie pre prípad smrti

Jednorazové:

xxx aAB..

1

Bežné:

xxxxxx aBaAaB......

x

xxx

a

aAB ..

..

1

Bruttopoistné - dočasné poistenie pre prípad smrti

Jednorazové:

|

..

1|1

|1

nxnxnx aAB Bežné:

|

..

|1

|

..

|1

|

..

|1 nxnxnxnxnxnx aBaAaB

|

..

|

..

|1

|1

1

nx

nxnxnx

a

aAB

Bruttopoistné - poistenie pre prípad smrti odložené o k rokov

Jednorazové:

xxkxk aAB..

1||

Bežné:

xxkxxkxxk aBaAaB..

|

..

|

..

|

x

xxkxk

a

aAB ..

..

||

1

Bruttopoistné - dočasné poistenie pre prípad smrti odložené o k rokov

Jednorazové:

|

..

1|1

||1

| nxnxknxk aAB

Bežné:

|

..

|1

||

..

|1

||

..

|1

| nxnxknxnxknxnxk aBaAaB

|

..

|

..

|1

||

1|

1

nx

nxnxknxk

a

aAB

Bruttopoistné - poistenie pre prípad dožitia

Jednorazové:

|

..

1| nxxnnxaEB

Bežné:

|

..

||

..

|

..

| nxnxnxxnnxnxaBaEaB

|

..

|

..

|

1

nx

nxxnnx

a

aEB

6. POISTNÁ REZERVA

- niektoré poistné produkty každoročne spotrebujú vybrané poistné presne, pri iných vzniká v prvých rokoch prebytok (urob príklad)- úmrtnosť rastie s vekom - rástli by poistné sumy klientov- aby sa zamedzilo rastu poistného, poisťovňa vytvára z vybraných nespotrebovaných peňazí rezervu- rôzna výška pre rôzne typy poistení

- je to teda suma, ktorú musí nazhromaždiť poisťovňa z prebyt- kov v prvých rokoch poistenia (a z úrokov z nich), aby bola v budúcnosti schopná plniť svoje záväzky voči klientom

- výpočet - retrospektívny alebo prospektívny

Výpočet netto rezervy

tx

n

tjjxxn

tx

n

tjjxjjxj

xt D

DP

D

CbDa

V

11

11

Vysvetlivky:x vstupný vek poistenej osobyn poistná doba

nPx ročné netto poistnét rok, na konci ktorého počítame rezervuat poistné plnenie pri dožití sa konca t-ho rokubt poistné plnenie pri smrti počas t-ho roku

Poistenie pre prípad dožitiaJednorazové:

Bežné:

nxx

txx

tx

nx

tntxxntxtnxt

NN

NN

D

D

aPEV

|,

..

txtnxt EV

Poistenie pre prípad smrtiJednorazové:

Bežné:

tx

tx

x

x

tx

tx

txxtxxt

D

N

N

M

D

M

aPAV

..

txxt AV

Dočasné poistenie pre prípad smrtiJednorazové:

Bežné:

tx

nxtx

nxx

nxx

tx

nxtx

tntxxntntxxt

D

NN

NN

MM

D

MM

aPAV

|,

..

|,1

|,1

tntxxt AV

Zmiešané poistenieJednorazové:

Bežné:

|,

..

|, tntxxntntxxt aPAV

|, tntxxt AV

Poistenie odloženého doživotného dôchodku

Jednorazové:

Bežné:

ktaV

ktaPaV

txxt

tktxxktxtkxt

ak

ak ..

|,

....

|

ktaVktaV txxttxtkxt ak ;ak ....

|

Brutto rezervaJednorazové:

- k nettorezerve pričítame člen typu

Bežné:

- od nettorezervy odčítame člen typu

|,

..

1

..

1 alebo tntxtx aa

|

..

|,

..

..

..

alebo nx

tntx

x

tx

a

a

a

a

Zmiešané poistenie - brutto rezervaJednorazové:

Bežné:

|

..

|,

..

nx

tntx

xtbrutto

xt

a

aVV

|,

..

1 tntxxtbrutto

xt aVV

Odložený doživotný dôchodokbrutto rezerva

Jednorazové:

Bežné:

kpre taV

kpre taaV

txbrutto

xt

tktxtxtkbrutto

xt

..

|,

....

|

1

1

kpre taV

kpre ta

aVV

txbrutto

xt

kx

tktx

xtbrutto

xt

..

|

..

|,

..

1

1

7. ODSTUPNÉ

- pri niektorých poistných produktoch sa v prípade zrušenia poistenia klientom vyplatí klientovi väčšina z vytvorenej poistnej rezervy formou odstupného- väčšinou závisí aj od dĺžky trvania poistenia- väčšinou sa počíta ako % z brutto rezervy

8. REDUKCIA

- pri niektorých poistných produktoch (zväčša rezervotvorných) sa v prípade neplatenia poistného klientom poistenie nezruší, ale zredu- kuje sa poistná suma- zväčša odstupné považujeme za jednorázové poistné pre zvyšok poistnej doby

Napr. pri zmiešanom poistení:

tRx redukovaná poistná čiastka po t rokoch

tOx odstupné, na ktoré má klient nárok po t rokoch

|,

..

1|, tntxtntx

xtxt

aA

OR

9. Zvýšenie poistnej sumy

- pri zvýšení poistnej sumy z S na S´ v čase t rokov po vzniku poistenia sa v okamihu zvýšenia jednorazovo doplatí rozdiel v brutto rezerve medzi novou a pôvodnou hodnotou poistnej sumy- zároveň sa zvýši hodnota bežného poistného z B na B´(zodpovedá hodnote platieb poistného pre novú poistnú sumu)

10. Podiel na zisku

- skutočné hospodárske výsledky poisťovne sú zväčša oveľa lepšie v prospech poisťovne ako kalkulované (úmrtnostné tabuľky, prevádzkové náklady, miera zisku, ...)- vzniká zisk- časť z neho môže poisťovňa vrátiť klientom vo forme podielu na zisku- formy distribúcie podielu na zisku klientom:

- priama každoročná výplata- zľava na bežnom poistnom- zvláštna prémia vyplatená spolu s poistným plnením- úročené sporenie v prospech klienta platené z podielov na zisku- skrátenie poistnej doby- ďalšie poistenie platené z podielov na zisku

Vzorec pre výšku podielu na zisku môže vyzerať napríklad takto:

2

´100

1brutto

xtbrutto

xt VVii

ppodiel

i poistno-tech. úroková mierai´ miera ziskup percentá, ktoré poisťovňa rozdelí zo svojho zisku vo forme

podielov na zisku