Sulle equa, zioni a de r iva t e parziMi, l inea , i del secondo ordiue in due var iabi l i , di t ipo parabol ico.

~ota di BRuno PINI (a Bologna) (*).

Sunto. - Come le prime righe dell'introduzione.

Nella presente nora viene t ra t ta to un problema ai l imit i general izzato per l ' equaz ione ~ u = f, essendo

(1) ~ - = - ~ . ~-v + ~(x, v).

Pree i samente , date un comune dominie normale a ~ y <~ b, X~{Y) ~ ~c ~ X~(Y) con w ---- X~(Y), i ~ 1, 2, due archi regolar i (X~(Y) ~ X~(Y)}, ~'sso consiste nel prescr ivere , qual i dat i al eontorno sugli archi anzidet t i , del le f 'unzioni somma- bili con u n a cer ta potenza e ne l l ' imporre al la soluzione di a ssumer l i in media, noneh~ di annu l l a r s i sul segmento y = b, x~(b)<_x_< x,(b).

P rob lemi ai l imit i di tipo generalizzato, per equazioni parabol iehe l ineari , sono stati p r e e e d e n t e m e n t e t ra t t a t i da F. G. DI~ESSEI~ (~) ed L. A:MEI~IO (2). I1 primo dei citati A&. si r i fer isce a l l ' equaz ione del ealore in due var iabi l i e assume, quMi dat i al eontorno, funzioni a var iazione l i m i i a t a ; il proeedi- mento ~ forgiato su quel lo classico di LEv~-HoLMc, I~E~ re la t ive al problema ordinario, facendo use di in tegral i di STIEI~WJES analoghi ai potenzial i di doppio strafe. I1 seeondo dei citati hA. si r i fer isce inveee a l l ' equaz ione del eatore in ~ variabil i e assume qual i dat i al contorno i valori del la funzione e del la sua der iva ta normale , che debbono essere assun t i da l la soluzione in un eerie sense e quas i -dappe r tu t t o ; il p roeedimento ~ quel lo del la t raduzione di uua equazione funzionale l ineare in sistemi di equaziolli di FISCttER-RIESZ.

I1 metodo seguito nel la t ra t taz ione del problema qui presenta to ~) invece quello elaborate da G. CIMMI2~0 (3) per il p roblema general izzato di DIRICI~ILET.

(*) Lavoro eseguito nel Seminario Matematico dell'Unlversitlt di Bologna. (i) F. G. DRESSEL, A boundary value problem for the heat equation, • Am. J. of Math..,

55, (193B), 641-653. (~) ]J. AMERIO, Sull'equazion~ di propagazione del ealore, l.ln. l:toma Ist. Naz. A.lta Mat.~

• Rend. Mat. e Appl. ,, (5), 5, (1946), 84-120. (~) @. CI~IMINO, Sulle equazioni lineari alle derivate parziati del sevondo ordine di ripe

ellittico sopra una superficie chiusa, ~ Annali Scuola Norm. Sup. Pisa ,~ (2), 7, (1938}, 73.96;

180 B. PtNI : Su l l e e q u a z i o n i c, der i vu te pavz ia l i , l ineavi del seco~tdo ordb , e, eec.

Ma esso viene con t emporane a me n t e usato per la t ra t taz ione del problem~ ordinario, da un punto di vis ta esistenziale.

Esempi notevoli di t ra t taz ione, col mezzi del l 'a l l~l is i funzionale~ del pro- b lema ordinar io di DIRIC~LE~ per le funzioni a rmoniche e del problem~ b ia rmonico fondamen ta l e in due var iabi l i sono dovut i a C. MIRANDA (*), il quale s tabil isce teoremi di es is tenza coll 'uso dei potenzial i espressi da in tegra l i di S~IEI~ES dopo essersi p r o c u r , t o oppor tune maggior~zioni a pr iori delle even~uali soluzioni.

Qui invece, come s'i~ de, to, a par te cer t i contat t i , si 8 imi ta to il procedi. mento di G. CIM~tI:~O; perb la n a t u r a d iversa del caso parabol ieo r ispet to a qael lo el l i t t ico ha presenta to difficoltfi a par te che non hanno r iscontro nel caso elli t t ico. Tale procedimento , q u a n t u n q u e daIl 'A, sin stato appl ica to de~er- m i n a t a m e n t e a problemi general izzat i , si pres ta bene anche a l la t ra t taz ione di problemi o r d i n a r i ; come r i su l t a da l la presente t ra t taz ione pura l le la del p rob lema specif icato a l l ' in iz io e del l ' analogo problema ordinario, anehe nel caso el l i t t ico un semplice oppor tuno eambiame~to di ipotesi permet te rebbe la t ra t taz ione deI p rob lema ordinar io di DII~IC~LE~.

L ' e q u a z i o n e cui noi ei s iamo r i fer i t i ~, que l la t ipica a i la qua le si pub sempre r i condur re un ' eqnaz ione parabol ica l ineare del secondo ordine in due var iabi l i se i coeff ic ient i sono oppor tunamen te regolar i e, in par t icolare , il coeff ic iente della der iva ta r ispet to a y ~ di segno costante.

Non deve p resen ta re Monna difficolti~ l' estensione, del p rob lema qui t ra t ta to , all ' equazione

~ ., + ~(a¢ I ~ ~. • ~ ~, , , I ~X~" ~ ' x'2 "'" X , y l U : = f ( X ~ ZC . . . . X,, y),

ment re lo s~esso lion si pub certo di re per | a piil genera le equazione parabolica

~ u ) ~ ~- ~--~ + a(x~ y ~-x + b(w, y) ~ + ,¢(~c, y)~ = f ( ~ , y)

Nuovo tipo di condizioni al contorno e nuovo metodo di trat tazione per il problema gene. ralizza~o di Dirich~et, ~ Rend. Cireolo Mat. Palermo ,,. ~1, (1937), 177.220; Sul problema generalizzato di Dirichlet per l'equazione di Poi,'son, ¢ Rend. Sem. Mat. Padova ,,, (1940L 28-29; Equazione di Poisson e problema generalizzato di Dirichlet, ,, Reale Ace. d'Italia 'L. (6~ 1. (1940)~ 322.3"29; per una breve esposizione d'insieme cfr. Inversione delle covrispondenze funz iona l i l ineari ed equazioni differenziali, ,, Rivista Mat. Uni:~ ~. Parma ,,, 1, (1950). 105-116.

(4) C. MIRANDA~ Sul principio di Dirichlet per le funz ioni armoniche, ~ Atti Ace. ~N-az. Lincei *~ (8i, 3~ (1947)~ 55-59; l~orraole di maggiorazione e teorema di esisten.za per h ~ funz ioni biarmoniche in due variabil i , ~, Giorn. Mat. Battaglini ~. (~t), 78~ (19~8-49), 97-118. Per una iaquadratura di problemi in analisi funzionale cfr. allche C. MIRA~DA~ Problemi di esistCnza in anal is i funzionale, Seuola Norm. Sup. Pisa, ~ Quaderni Matematiei ., 3, (194849}.

B. P~Nx : Sulle equazioni a, derivate parziali, lineari del secondo ordine, eve. 181_

in due variabili, qualora b(~v, y) non sia di segno eostante; c o m ~ note per essa non si eonosce un problema tipieo e neppure un teorema di esistenza ed unicith.

Va perb notato che il procedimento di G. C ~ o , a differenza di altri, non richiede affatto che i coefficienti siano costanti; con esso sembra percib possibile trattare anche il caso dell 'equazione parabolica a eoefficienti varia- bili anche in pifi di due variabili.

T e o r o m i d l c o m p l e t e z z a .

I. II potenziale u(P)--f U(P, M)d7. C

Sia C la curva x-=--X(Y), a < y < b, con X(Y) dotata di derivata continua; ~'(y) indichi una funzione a variazione l imitata su a < y < b; M(~, ~) un punto

indieare eon wr iab i le su C e P(x, y) un punto a piacere. Conveniamo di U(x, y; ~, ~) la soluzione fondamentale dell' equazione del calore

t ~ - - - e ~(y--o (2) y; I y

0

Poniamo

per y >

per y < ~ .

Y ~(P)-= u(x~, y)--- / U(~c, y; X(Y), ~)dy(~)-- / U(P, M)d•.

t

6

~u ~'~u 1) u(P) ~ continuo, in ogni punto P non di C, insieme a ~ e 3x ~ .

L'affevmazione ~ pressoch~ ovvia. Sia P u n punto non di C e I nn int-)rno di P, di raggio 9, tale che C abbia da I una distanza non nulla. Sia P' un pronto a piacere di I ; si ha, p. es. per y ' ~ y ,

y y t

a y

~ V~(a, y) • max I U(P', M ) - U(P, 3I) [ + V~(y, y'). max U(P', M),

indicando con Vr(y,, f2) la variazione totale di y(~) su y ~ ' ~ y . ~ . Per ra- gioni di continuit/~ si potr~ rendere I U(P', M ) - - U(P, M) [ piccolo a piacere non appena s i a p abb~stanT, a piccolo. D'altra parte, per 0 abbastanza piecoh), sar~t I x ' - - X(~)[ maggiore di un certo ~ > 0 , per y - - 9 _ < ~ y + . ~ , .~-- ? ~ x ' ~ x + ~, e, poich~ lim t-1/~e -+'tt == O, sar~ U(P', M) arbitraria-

t ~ 0 z r

monte piccolo; da cib si conclude la continuiti~ di u(P).

182 B. P;m : Sulge oquazioni c~ deri~ate parziali, l ineari del secondo ordine, etc.

~u O*u (la derivazione potendosi Analoghe considerazioni a proposito di ~ e ~ .

effet tuare so t to il s egno di integrale). 2) u(P) d continue sulla tetra ~ - - - y , anche attraverso C, qualora y(~)

sin derivabile per ~ = y. y

Intanto l'fU(x, y ; X(~), ~)dy(~), se (w, y) 6 un punto di C, ha sense a

qualora ~,(~) sin derivabite per ~ = y (~). Infatti , poieh6 una fnnzione n varia. zione l imitaia si pub esprimere come differenza di due funzioni non negative e non deereseenti , possiamo limitarci a considerate il case the y(~) sin una funzione non negativa e non deerescente. Allora, poich6 U(w, y ; X(~), ~) b

1 una funzione non negativa maggiorata dn _ , si ha evidentemente che

Y

1' I dy(~) se 6 convergente j ~ / - ~ , nltrettanto sark dell ' integrale ehe e'interessa.

Si trat ta dunque di p ro ra t e the, per un fissato z > 0, riesce

yi!

f dy( ) yr

per ogni coppia y', y" di punti di un certo interne sinistro di y di ampiezzn un certo 8.

Essendo per ipotesi ~'(~) derivnbile per ~----y, posto

si ha

y (~ )_~y(y )+ (~ - -y )y ' (y )+(~- -y )a(~) ,

ytt

f dy(~)

yt

< 4V (

yff ~f!

y~ yt

y'(y) l + H) --* 0

avendo posto I a(~) I < H per a ~ ~ ~ b , tenendo presente ehe ~(~7) converge a zero per ~ ~ y.

Orbene, per provare la nostra affermazione, baster/~ far vedere, in base a u n note ragionamento, c h e s e y(~) ~ derivabile per ~-----y, fissato un ~ > 0

{5) 1%flame espl ic i tamente ehe per i va lo r i di y pe r cui ,((y) non ~ derivabile~ y

l ' j U('~(y), y ; X(~), ~)dT(~) pub non con-cergere. Ci6 si ve r i f i ca p. es. se C ~ i l segmento a

x = a , 0 ~ y ~ l , e -~(~)__~l--~/ t ~ pe r y ~ l .

B. P]~ : 8ulle equaz4on~i a deHvate parziali, l ineari del secondo ordine, etc. 183

a piacere, ~ possibile t rovare un areo ~ "-:X(~), Y ~ ~ ~ ~ ~ Y, tale che riesca

Y

per ogni x di un eerto intervallo X(Y)--0 ~ ~ ~ X(Y) + ~" Servendosi della maggiorazione gi/~ usata preeedentemente, tale risultato

appare immediato.

II. L 'eqaazione u(P) -~ f f u(Q)a(Q)U(P, Q)dQ + ~(P). %

Sin D il dominic normale a ~ ~ ~ b, Xl(~) ~ ~ ~-- X~(T}) con X~(~) (Xt(~) X~(~)) i ~ 1, 2, due funzioni continue insieme alle loro derivate prime su

a ~ ~q ~ b ; D v sin il dominic a ~ ~ ~ y, Xi(~) ~ ~ ~ X~(~). 0'qo 23 Se ~(x, y) ~ u n a funz ione con t inua in D - - F D , ins ieme a ~ e Oy'

a(x, y) ~ con t inua in D e soddis fa rispetto ad y u n a condizione di H6lder (con esponente ~ 1), se u(x, y) ~ sommabi le su D ins ieme ad !u IP con p ~ 3/2 e verifica in ogni p u n t o (x, y) di D - FD la

(3) ]

D~ Ou ~ u

allora n(x, y) ~ cont inua in D - FD ins ieme a ~ e Ox---- ~ .

1) Cont inui t~ di u. Sin P0(x o , Y0) un punic di D ~ FD. Fissato uu ~ i> 0, si eonsideri un intorno I di P0 di raggio p con ~ ~ ~ (p. es. p ~---~/2); sin Pl(x~, y,) an punto a piacere di I : Si ha, supponendo p. es. y, ~ Y 0 :

(Po) l [l 1 t v(P,, o ) - (po, o) fdo + (4) .y t/

Dyo--~

Dyo--Dyo-~ Dy~--Dyo-~

Una volta fissato ~, il primo integrale a deStra si pub rendere arbitra- riamen~e piccolo, prendendo ~ sufficientemente piccolo, causa la continuit/~ uniforme di U(P, Q) in I, D~o_~. I1 seeondo integrale ~ in modulo maggiorato da

1 p p - - 1

ivdQ " (~J~Po , Q)) dQ) ,

D Dyo--Dyo-S

tenendo presente la diseguaglianza di SCHWA~z-HOLDER e osservando the U(Po, Q) ~ sommabile in Duo~ Dvo_~ ~0 ~ 8 ~ y 0 ) insieme a una sun qualun- que potenza di esponente (positivo) ~ 3.

184 B. PL\~I : Sulle eqaazio~d a derivate parz'~di, linear: del secondo ordine, eec.

E poich~ (come si r iconosce operando la sostituzione y 0 - y-----t, IXo-- I = 2 V s t )

f ! p f --1 f i~ ,--1 .p--3 (UIPo, Q))~-~dQ < 2 t ~ Vs dsdt < k~'2(~ -~) .~ , J . /

D y o ~ D y o _ ~ 0 o

(con k una certa costante positiva), si r iconosce che l 'anzidetto secondo intc- grale a destra nella (4) si pub rendere piccolo a piacere prendendo 8 suffi. c ientemente piccolo. Stesso ragionamento per il terzo integrale. Pe r t 'u l t imo addendo la eosa b poi ovvia. Da eib Fasser to .

Osserviamo, di pifi, che se P, ~ il punto (x,), Yo + Ay), prendendo nella (4) 8-----2lAy i, r icordando che U(x, y; ~, "~) ~ una funzione di (~, ~) regolare in ogni regione cui sia esterno il punto (x, y), per il primo integrale in (4} si avrh Ia maggiorazione

i AY t l uot I ~Y; d~d~ < - ~t

Dye-'2 t a y I

1 p p - I

1) Dye-2 I Ay I

essendo ~---~ y0 + 0Ay per un certo 0, 0 < 0 < 1. I1 secondo fattore a seoondo membro, con la sostituzione ~ -- ~ = t , 1~ - - x,, I = 2Vs/i ~ appare maggiorato da

onde

Y¢, ¢" I h y ] + ~

2 t -~p- l i =

IAyl o

sp p p--1

p- i t 1 P----~dsdt" p - )

Dye--2 1 hy I

dove H ~ una costante (positiva) indipendente da (xo, y~)° Tenendo presente 1' ipotesi che ¢p(x~, y) sia uua funzione dotata di derivata

~ continua in D - - F D , e le limitazioni gi'h trovate per it seeondo e terzo ?y integrale a destra nella (4), segue che u(~, y) soddisfa, nel l ' in terno di D, a una condizione di HOLDER, rispetto a y, di esponente an c e r t o r < 1.

2) Esistenza e continuit& ~y e ~-~. Per quanto ~ state or era prora te

e per le ipotesi su ~(x, y) si ha percib the us ~ una funzione continua in D - - F D , soddisfacente, rispetto a y, una condizione di HOLDER di esponente < 1 (il pifi piccolo tra r e 1' esponente relative ad :¢).

B. P~NI: Sulle equazioni a derivate parz~ali, lmeari del seeondo ordine, ece. 185

Giunti a questo punto r icordiamo the lVl. GEV~E¥ (~) ha provato che

..-1 f f U(~'y; ~ ' ~ ) f ( ~ ' ~ ) d ~ d ~ . (5) z(~, y ) - - - - 2 v ~ .

Dy

una soluzione regolare dell' equazione Ow ~ O y - - f ( x , y) se la f(x, y) ~ con-

t inua su D e soddis fa -una condizione di H(iLDER, rispetto ad y, di espo- nente ~ 1.

L ' in tegra le che f igura in (3) ~ del tipo (5) con u~ al posto di f, con la sola differenza che u:¢, continuo in D - - F D , verificante l 'anzidet ta condi- zione di I=[(}LDER, ~ soltanto sommabile con la sua potenza p - m a .in D. Cib, tuttavia, non costituisce una difficolt~ e si possono ripetere i ragionamenti fatti da GEVI~E¥, basati sull 'artificio di scindere D u in un inferno I di (x, y) e in D u - L

I ragionamenti su I sono i medesimi: per quanto r iguarda 1'

Dy--I

evidente la possibilit~ di derivare sotto il segno di integrale rispetto a a~

e y. Si pub concludere quindi e h e l a u(~, y) fornita dalla (3) ~ dotata delle derivate

(6~ ~ = [u(~, ,~)~(~, ~) - - u(~, y)~(~, y)] ~r(~, y, ~, r~) d~d~ +

Dy P

+ ]u(~, y)a(~, y)U(w, y; ~, ~)d~+ ~-~(-x' Y.__~) 6~ ~Y

ff ~'~U(w, y; ~, ~) (7) ~x-- ~ --- [u(~, ~):¢(~, ~ ) - u(~, y)~(~, y)] d~d~ ÷ . ~

Du

j u(~, y)a(~, y)U(x, y; ~, ~)d~ -- 2V~-u(x, y)a(x, y) + ~(~,y) - t -

C~

essendo C u quella parte della FD the si trova sul semipiano ~ } ~ y ; la con- tinuitk di queste derivate in ogni punto di D - - F D segue subito dalla rico. nosciuta hSlderiana di ua e dal fatto che l'

Du

(~) M. GEV~Er, S u r les dquat ions a u x ddrivdes par t i e l l e s d u type parabol ique , • Journal de 3Iathdmatiques pures et appliqudes ,, I X , (6), 305.471, (1913); in partieolare pp. 343-353.

An~ali dl Matematica 24

186 B. P~N~ : Sulle eq~tazioni o, derivate parziali, lineari del secondo ordine, eec.

se f (x , y) 6 una funzione in tegrab i le in senso ordinar io su D, ha senso per ogni eoppia di humer i r, s pe r eui r + l > 0 , r + 3 - - 2 s > 0 (~).

I I I . Un t e o r e m a di unic i tk . A f ianco del dominio D cons ide r i amo ora il dominio D ( t ) ' a < _ y < b ,

X~(y)+ t < _ ~ x < ~ X ~ ( y ) - t per t conven ien t emen te piccolo. P e r comodi tk in. d ieh iamo con C~ e Ci(t) le due cu rve regolar i x'--~ X~(Y), a < y < b , e x - - x ~ ( y ) - - ( - - i ) q , a S X y < b , ( i ~ 1 , 2).

S iano ora q~(y)~ i ~ - 1 , 2, due funzioni di p - m a potenza sommabi le su a < y.<_ b, con p a t t ua lmen te solo > 1, e g(y) una funzione misu rab i l e limi- tara non nega t iva su a < y < b.

U n a funzione u(x, y)~ def in i ta in D, si dir/~ che converge in med ia verso le opt(y) sul le Ci (i ~ 1, 2), d' ordine p, se le u(x~(y)'-- ( - - 1)~t, y)~ i ---- 1, 2, sono, p e r ogni t, funzioni di p - m a potenza sommabi le su a < y ~ b e r iesce

b

l im gly) E~ l u(Xi(Y) - - ('-- 1) ~t, Y) - - ~t(Y) [PdY -~- O. t--~ 0 i

Cib premesso , p rov iamo il s eguen te t eo rema : Esiste al pii~ u n a sola f unz ione u(x, y) che in D - F D g soluzione rego.

lare di £u "~-- O, (s) she si r iduce a zero su y ~ a, X,(a) < x < X.~(a), e converge in med ia at la coppia %(y)~ %(y), nel senso sopra specificato, rispelto a l ia funz ione peso g(y), helle ipotesi che g(y) s ia u n a funz ione posi t iva, con t inua ins ieme a l la

dg < 0 . sua derivata, e tale che in tutto D sia ~y ÷ pa(x, y ) g _

Allo scopo basra p r o r a t e che se u ~ una soluzione regolare , non identi- ca mente nulla , di ~ u : 0 in D - - F D , nu l la su y = a, X , ( a ) < w ~ x~(a), tale che

b

/ l im g(y) E~ I u(X~(Y) - - ( - - 11 ~t, Y)I~dY = O, t ~ O . i

al lora ~ u - - O. Si ha

b b

d g(y) ~ p ~ l U lc,(t~ dy - - p g(Y) u ~x ]c1(t) Y - -

b

. u ~-~tc.~(~t ay = - - p. g(Y) ~-~ dy. a FD~t)

(7) Cfr. E. E. LE~I, S u I F e q u a z i o n e del calore, ,, Annal i di Mat. P u r a e Appl . ~, (3), 14,

(1908). (s) ~ indica I' operatore aggiunto di ~'d.

B. PINI : Sulle equazioni a derivate parzlali, linear~ dcl .~econdo ordine, ecc. 187

D'al t ra parte, sotto oppor tune ipotesi di regolaritfi, si pub faci lmente pro- r a re ehe

P 2 u d x d y (8) v - - l u I P ( ~ v + (p - - 1)~v)dxdy - -

D D

\~x] u ~ p ~x) dy + ] u Ipvdx. D F D ' FD

onde, prendendo v--~g(y) ed u soluzione regolare di £ u - - 0 , si hu

.. . \ dy DF(t) Dit)

D(t) FD(t)

Si ha poi

g ju I,d- = g l , e(b) l u g T" f l(oX;(e)dY; FD(t) a El(b)+ t a

il pr imo e terzo integrale a secondo membro convergono mani fes tamente a zero per t - O, essendo

b b

l/ r g ] P ., _ _ u lq(t)X,(y)dy < max IXi'(Y) I • g] u IPc,~t)dY i - - i, 2.

a ~ y ~ b .] Q

dg Per~anto se in tutto D riesce d-y + p ~ g < 0 (al t h e basra prendere p. es.

g(y) - - e -p'~y con m >~ maxD ~¢(x, y)) si r iconosee che per t suff ic ientemente prossimo a zero

b

d f dt g(y) ~ ] u.I~a) dy < 0 1

b 2 ' P d - - e quindi 1 fg(y)~lu Ic,(,, y eresee per t 0, il che eontraddice l ' ipotes i es- a 1

sendo g(y) > O. Analogamente : Esiste at p i~ u n a sola funz ione u(x, y) the in D - FD ~ so luz ione rego.

tare di 91~u - - O, che si r iduce a zero per y = b, x,(b) _< x < x~(b) e converge in media al la coppia ¢~(y), ~(y) nel senso sopra detto, rispetto al la funz ione peso gly), se questa ~ pos i t iva e cont inua ins ieme alla sua derivata e tale che dg dy pa(x, y)g > 0.

188 B. Pi~I : Sulle equaz~oni ~ dcr~vate parz'al~, llnear~ dcl secondo ordine, ecc.

Tutto procede come prima salvo the in luogo della (8) si ha l 'eguagl ianza che da quella si deduce mutando ~u con ~ u e eambiando segno al l 'ul t imo integrale a d e s t r a ; i n luogo della, (9) si ha l 'eguagl ianza che da essa si

d g + p ~ g in luogo di ~ + p : t g e cambiando segno all 'ul- deduce ponendo - - ~ y

timo integrale a destra; ece.

IV. P r i m o teorema di eompletezza. Sin ~ lo spazio delle terne di funzioni If(x, y), f~(y), f~(Y) l la prima

di P q p----T-ran potenza sommabile in D e le altre due di 1 -ma potenza

sommabile in a . ~ y ~ b . E ~ il sottospazio di E delle terne t~'5v(x, y), v(Y.~(Y), Y), v(X~(Y), Y) I cssendo v(~c, y) una funzione continua in D insieme a ~v ~v

e ~ , tale the v(x, b)--O, x , (b )~x~x~(b) . Sin poi E' lo spazio, duale di E,

delle terne {u(x, y), ¢G(Y), ~.(Y) I di funzioni u(x, y) di p - m a potenza somma- bile in D, ~(y), i ~ 1, 2, di q -ma potenza sommabile s u a ~ y ~ b .

Sussiste il seguente teorema di completezza: Se p ~ 3/2 e q ~ 2, se I u, ~ , ~ t e un vettore di E' per cui

b

5

D a

qualunque sin il vettore di E~6, allora { u, %, ~ } --" 0 nel senso she u, %, ¢~ sono quasi-dappertutto eguali a zero.

Rimandiamo alla fine di IV' la prova di questo teorema.

I¥ ' . Secondo teorema di completezza.

Sin Z lo spazio delle terne I f(x, y), f~(y), f~(Y) l, la prima di P p - 1 -ma

potenza sommabile su D, le altre due continue in a ~ y ~ b . Z ~ il sotto. spazio di E delle terne ~ ~Lv(x, y), v(XL(Y), Y), v(X,.(Y), Y) I essendo v(x, y) una

5v ~v funzione continua in D insieme a ~ e ~ , tale che v(x, b) --~ O, x , (b)~x~x~(b)

e, di pifi, ~ v ( x , y) h()lderiana in y. Sin poi E ~ lo spazio, duale di Z~ delle terne t u(x, y), y,(y), y~(y~ }, la pr ima di p - m ~ potenza sommabile su D, le altre due a variazione l imitata su a ~ y ~ b.

Sassiste il seguente teorema di completezza: Se p ~ 3/2, se !n, ?~, ,[~} ~ un vettore di E' per eui

b

Off) u ~ v d x d y ÷ ~ v(x~(y ) y)d~(~(y) = 0 • .]

D c~

B. PINI : Sulle equaziot~i a derivate parziali, lineari del secondo ordine, etc. 189

qualm,que sia il vettore di ~ l ~ , allora {u, T,, T 2 / - - O nel senso che u quasi-dappertut to eguale a zero e T~, T~ sono delle quasi-coslanti .

Sia Po(xo, Y0) un pun to di D - - F D ; poniamo

- - - - per y < Yo (11) v , , ( x , y ) - - ~ b - - a ] J V ~ - - y , n - - - l , 2, ....

pe r y ~ Yo

Le funzioni (11) sono con t inue in tu t to il piano, ins ieme a - ~ e - -

di pifi

(12)

4n [ (yo- (b a) ' (Yo - - y)a 1 - - U(xo, Yo ; x, y)

- - ~ b - - a / J

anche do ta ta di de r iva ta pr ima, r i spet to ad y, cont inua , e qu ind i ~ hSlde- r i a n a , come si r ichiede .

L a (10') d iven ta

rf ';° u~f[~v,,dxdy + Y~ v,,(X~(y), Y)dT~(Y) = 0 n ~- 1, 2, ... j j 1 j

D y o a

da cui Y0

Dyo a

Tenendo p resen te che (xo, Y,) ~ inferno a D e che U(~o, Yo; x, y) sommabi le in D con una sua q u a l u n q u e potenza di e sponen te < 3, si rico- nosce sub i to t h e

~ ~o (14) lira Z~ v.('~(y), y)dTdy) 1 j - - Z~ I U(x. , Yo ; X~(Y), y)dT~(y)

",4 ~ o o 1 , )

(15) t ] 1 - - 1 [Y°--Y~al 'qa(x, y)u(x, y)U(xo, Yo; x, y ) d x d y - ~ lira ] t Dyo

Dyo

190 B. P~N~ : Sulle equazioni ~ derivate parziali, lineari det secondo ordine, etc.

P r o v i a m o ora che, a meno dei pun t i (xo, Yo) di D di un ins ieme di m i s u r a nul la , i~

(16) .,--.o~lim (b ---a)' (Yo - y)3 1 ~ - - u(x, y)U(xo, Yo; x, y ) d x d y - -

/)yo

= V ~ . u(x,, y o).

P o n i a m o Dyo - - Dyo_~ + I i ÷ I~ ÷ I a con I , ~ (y, - - e < y < Yo, Xt(Y) ~ x _~ 4 ~ a - - 4 / - -

x, - - ~/yo - - y) ,. I . ~ ( y o - - ~ y < y , , x o - - V y o - - Y ~ X ~ X o ÷ ~ Y 0 - - Y ) , 4 - -

13 ~ (Yo - - z < y < Yo, x , + YYo - - Y ~ x ~ X~(Y)). Po ichb in D,o_~ b y, - - y __~ e

I . - ~ [ Y ° - Y~I"- ' e qu ind i n 1 - - \ b - - a / | conve rge u n i f o r m e m e n t e ~ zero per n ~ c~, si

ha in tan to

4n f f( [ 4,,-, (17) ,,--~lim (b--arJj y ° - ~ )31 xo - ~ / ~ =

Dyo-~

Si ha a n c h e

(is) ~i_~ (b : ~ ) , J J yo - u)~ ~ - \b - ~] 1 u(~, v)v(~°, u°; ~, v)e~av = o; ia

Infa t f i , posto

y ~eo+ ~/YO--'TI

si ha, a meno degl i Y0 di a n ins i eme di m i s u r a nut la ,

X~tY)

(19) lira . _ - - M _ ... - - l im fu (~ , y )U(x , , Yo', ~, y )d~ -~ 0 ~--v° tYo y~4 ~--,joj 4,

Xo-i- ¥ Yo--Y essendo

u({, y) l e(x, , y,; {, y)a{ < Vy::--y t y) ta{. ;o+ V,~o---~ - ,

Or~ l ' i n t e g r a l e che f i g u r a in (18) si pub sc r ive re

N

(b -d~ 1 \ b - - a] ] ~ d y - - ( b - - a P M 1 ÷ - - \ b - - a / | i vo-~

yo--e Yo

+ (b a)* - - " ( y ° - y)~ 1 Yo--e

B. Pmi : Sulle equa~oni a derivate parziali, lineari ~ del seeondo ordine, see. 19t

la par t s in tegrata converge a zero per n--~ ~ e cosl pure l ' integrale a destra come si vede tenendo presents la (19) e osservando che

. f (b - - a)* (y* - - y)" - ~ 1 - - \ b - - a ] ] dy ~- 1 - -

Ii l e \~I "-~ [/ s \4 + 1] , , ~ 2 " -

Con eib tes ta provata la (18). Stesso r isultato se al posto di I s si pone I , . Proviamo ora she, a meno dei punt i (~co, Yo) di un ins ieme di misura

nulla,

4,~ f f( [ %-,,?]--, (20) l im ( b ~ - a ) k / j y o - - y )' 1 - - \ \ 1 ] u(x, y)U(xo, y , ; x, ~])dx&y--

&

= u(z, , yo). V ~ . Pon iamo

/ , [ *

N - - J ,2 4 Y o-"~Yo--~

yo ; ~, ~)did~ ;

s i ha, a meno dei punt i (x,, y,) di un insieme di misura nulla,

Xo+ ~ y ~ ¢ ,

lira __ lira l u l l , y)U(xo, Yo; ~, y ) d ~ = y - - so (Y* - - Y)~ y " * y o , - 4 - -

+~/~ ,,

= u(x , , y,) lira f e _ ~ ~--oJ, _V~ at = 2U(Xo, y°)V~;

d' altra parte 1' in tegrale in (20) si pub scrivere

Yo

_ n I - - a N >- ,v l - - ' \\/j N ay

e quindi , con un ragionamento per fe t tamente simile a quello gi~t fatto, si perviene alla (20).

192 B. PiINI : Sulle equazionl a derivate parziali, lineari del seoondo ordfne, ecc.

Pertanto in base alle (14), (15) e (16) si conclude che, fatta eselusione al piil dei punt i (x0, yo) di D di un insieme di misura nulla,

(21)

Yo Z~(Y)

n(xo, Yo) - - V ~ . , (ix, y)~(x, y)U(wo, yo; x, y)dxdy + a XtlY)

Yo

+ ~ U(xo, yo ; X~(Y), y)d'(~Iy • f~

Ma allora, per quanto si b provato he1 n. II, u(x, y) coincide quasi-dap- pertutto in D con una funzione continua insieme alla sua derivata prima rispetto a y e seconda rispetto a x e, di pifi, per le formole analoghe alle

2 Yo

(6t e (7) dedotte dalla (3) qualora al posto di ¢¢(x, y) ci ponga z ~ f U(Xo Yo; t a

Xi(Y)~ y)dy~(y) e si divida il secondo membro per V4~, osservando che net due integrali di STI]~L~JES b lecito derivare sotto il segno di integrale perchb (xo, Yo) ~ un punto inferno a D, si vede ehe quasi-pappertut to in D la u(x, y) coincide con una soluzione regolare del l 'equazione £ u - - 0 .

Per quanto r iguarda il comportamento di u(x~ y) su FD, si ha quanto segue : da l l ' esame della (21) si vede c h e s e (xo, Y0) tende a un punto di y - - a ,

)~,(a) < x < )~2(a), u(xo, Yo) tende a zero. Inoltre se il punto (xQ, y¢) si prende esterno a D, ragionando come sopra, anziehb giungere alla (21) si arriva alla

Yo

(21') 0 " - . u(x, y)a(x, y)U(x,, Yo; x, y)dxdy + E~I . U(xo, Yo; X~(Y), y)dy~(y);

D y ° a

consideriamo il punto Po(X~(Y,), Yo) di C~; se si fa tendere Po a ~'o sulla carat teris t ica y = Yo, supposto che T~(Y) sia derivabile per y = Yo, conforme-

Yo

mente al risultato del n. I, si ha la continuit'~ de l l ' fU(xo , Yo; X~(Y), y)dy~(y);

la continuit~ degli altri due integrali di (21') ~ gi~ stata provata, onde si ha

lim U(Xo , Yo) - - O. xo ~ 7,~(y0)

Con analoghe considerazioni relat ivamente ai punti delFarco C~ si pub concludere che

(22)

lira u(x, y)-=O per tutti gli ydi a~y<_~b per cut "(~ ~ derivabile, i ~ 1, 2,; w ~ Xi(Y~

lim u(x, y) ~ 0 per tutti gli • di ;(~(a) ~ x ~ X.2(a).

B. PINI : Sulle equazioni a derivate parziali , lineari del secondo ordine, etc. 193

G i u n t i a q u e s t o p u n t o p r o v i a m o ehe

b

l im ~ I u(X~(y) - - ( - - 1)~t, y) l~dY = t . - ~ 0

a

0 con p ~ 1.

L i m i t i a m o c i a p r o v a r e che

b

l im i I u(x~(y) - - t, y) ]Pdy - - O, t ~ 0 .

e s s e n d o a n a l o g a la p r o v a r e l a t i v a a l F a l t r o i n t e g r a l e . D a l l e (211 e (21') si t r a e

a ×d '~)

Y

°f I + Z~ [Uix~(y)- t, y ; X@), ~ ) - U(XJy)+ t, y ; ×@), ~)]d~,~(~l . 1 ,

L ' i n t e g r a l e d o p p i o e il p r i m o dei clue i n t e g r a l i di STIELTJES si m a n t e n . gono e v i d e n t e m e n t e l i m i t a t i e c o n y e r g o n o a zero p e r t ~ 0. D~a l t r a p a r l e

I U(x~(y) - - t, y ; x~(~), ~) - - U(x~(y) + t, y ; xJ~) , ~) ; =

1 esp. - - [ X d y ) - t - - X~(~)] 2 / esp. - - t[x~(y) - - X~(~)] _ 1 y y _ ~ 4(y - - ~) 1 Y - -

e q u e s t a e s p r e s s i o n e si m a n t i e n e l i m i t a t a p e r c h , , p e r [ ' i po t e s i che X,~JY) s ia d o t a t a di d e r i v a t a p r i m a c o n t i n u a ( s a r ebbe s u f f i c i e n t e la so la ipo tes i di l i p s c h i t z i a n i t h un i fo rme) ,

l esp. - - t [xJy) - - XJ~)] _ 1 I - - e-tx~'6) - - 1 ~ t . k. y - - ~

esp. - - [X~(Y) - - t - - X:(~)] 2 < e4(y_~), k~ 4(y - - ~) - - '

eve k l e k s sono due ce r t e c o s t a n t i pos i t i ve , e poi

P e r t a n t o 1' i n t e g r a l e

t e',y-,) <_ 11 e ! m

¥ y - - ~

Y f.

] [U(x._,(y)--t , y ; X.~(~), ~ ) - U(X~(y)÷ t, y ; X~(~), ~)]dTd~) 4'

A n n a l i di Matematicc~ 25

194 B. PINI : Sulle equazio~i a derivate parzial~;, t.:war] d¢'t .~eco~do ordine, eve.

si mant ieue limitato e converge a zero per t - - 0 , quasi -dapper tut to sa a ~ y ~ b ; segue quindi

b

lim / u(x~(y) - - t, y) l~dy = O f--.- 0 j

a

essendo lecito passare al limite sotto il segno d ' in tegrale per il relative teorema di LEBESQUE.

b

A n a l o g h e c o n s i d e r a z i o n i p e r 1'/1 u(X,(Y) ÷ t, y)IPdy. a

Per tanto la u(x, y) definita dalla (21) non solo soddisfa le (22) ma, di pifi. converge a zero in media d 'ord ine p su C~, Ca. 5Taturalmente vi sar~ convergenza in media a nero anche rispetto a una funzione peso continua e non negat iva g(y). Basra allOra toner presente il teorema di unicitk del n. I I I per coneludere c h e l a funzione definita dalla (21) ~ identicamente nulla in D o quindi e h e la u(x, y) di p - m a potenza sommabite soddisfaeente la (10') un quasi-zero.

Mlora nella (10') soompare, intanto, il primo integrale; poich~ per l'arbi- trariet'h della, v(~, y) si debbono poi annul lare separatamente i due integrali di STIELTJES ehe eol~t figuran% ~ facile eoneludere che y~ e y~ differiscono al pifi in una infinit'~ numerabi le di punti da due certe costanti (9).

b

(9) Se q~(x) ~ una funz ione a var iaz ione l imi ta ia sa a ¢:: x ~ b tale t he ff(~)d~(~)= o J

qua lunque sia ]a funzione cont inua fix). al lora ¢p(x) ~ una quas i - eos tan te c con .~(a) ~.~ ~(b) ---- c ; e v ieeversa . Cons ider iamo tra ]e funzioni f(x) quel le che si annul lano pe r x ~--- a e per x ~ b e sono dota te di deri~-ata p r ima in tegrabi le . ~.llora si ha (essendo teei ta l ' in tegraz ione per parti)

b b b

Ob

e quindi~ con lo stesso r ag ionamento del l emma fondamentaTe di Du Bors RE~'~IO~D del Oaleolo del le Variazioni~ si ha

b b

onde ¢~ ~-- c quas i -dappe r tu t to s u a ~ x ~ b. b

Di pifi, dovendo essere fdcp(x)----0, sar~ ?(a)~---~(b). I1 va lo re comune negl i e s t remi

_ 2 x - - a _ l dove poi eoineidere con c. Gib si vede i m m e d i a t a m e n t e ; infatti~ preso f(x)-- b - ~ e opera ta una decomposiz ione di a ~ x ~ b in par t i tu t te a rb i t r a r i amen le piccolo con punt i di sudd iv i s ione x per cui sia ¢~(x):c~ ]a eo r r i sponden te sommator ia di STIELTJ'E$ $i r iduce a [ c - - ¢~(a)]f(~) -I- [¢~(b) - - cJf(~n} essendo ~ e ~n un launto del pr imo e del l ' ultimo interval lo di sudd iv i s ione ; al l imite si ha 2[~(b) - - c], onde ¢~(a)~ ¢~(b)~---c. L a proposiz ione manifesta-

m e n t v si i nve r t e .

B. P~.~ : Sulle equazioni ~ dcrivate parziali, l,:neari del secondo ordine, eve. 195

La dimostrazione della proposizione del n. IV si conduce allo stesso mode di quella or era sviluppata. Sola variante, i due integrati di S~I~L~J~.S ehe f iguran9 nella i(10") sono era sostituiti da due integrali di L~:B~SQUE nella {10}, onde, t.enondo presente the 6 q .> 2, si trova, pifi semplicemente, che u(x, y) converge a zero in tutti i punti di Ci ( i - - 1 , 2) e su y : a , xda) < x < x,(a). Eoe.

T e o r e m i d i c o n v e r g e n z a .

V. U n a propriet~ di media.

Ferme restaudo le notazioni gi~ in~rodotte, indiehiamo era con ~Po,o il eircuito

(23) I x ---- a~, -+- ~/2 c sen ~o. Vlg (1 + ctg ~ q~) _ ~:/2 ~ q~ ~ ~/2, c costante > 0, Y --- Yo 4- C sen ~ T

e con ~)Po,O il dominic limitato che ha ~po, o per completa frontiera. Proviamo the : 1) Se :¢(x, y) e fix, y~ sono due funz ioni continue su D, condizione neces.

~u ~ u saria e sufficiente affinch~ u(x, y), continua in D insieme a 5~v e ~ _ , sia ivi

" d

so luz io~ (regolare) dell'equazione ~ u - - f ~ vhe, per ogni punto P,(x0, Y0) interne a D e per ogni c (> O) sufficientemente piccolo, sia

('24i u(P,) = 1 f r ig (1 + ct~ ~0)a~ +

¢ ~12

f f (u~ -- f,(~ _ 1 ) , sen' ~cos~ tied% 2 -4--

e Vlg (I + ctg * ~i V ~ 0 --u12

Dalla formola di GRE~.~T

J ' J[ l f(u£v--vgEu)dxdy:f[uvdx+/u V-- ~ ' \ 1 (25) .. v ~)dyJ

applicata al dominie ~po, o - - 6)Po, S (0 < ~i < v), qualora si ponga v = U(~, y ; 1

x~, y ~ ) - - ~ , se u ~ una soluzione regolare di ~ u - - f , si ha

t26)

-/l-(.-

196 B. Pnn~ : Sulle vquazioai a derivate parziali, tineari del secondo ordine, etc.

si ottiene

~/2 ~/2

• ~ Vig(1 + etg: ~)

÷ . / I - - V 2 ( 1 - c]$]~[Oet][~J sent? cosq~ ÷ (1--:)[u]+(cos~. Vlg(1 -+- etg' ~ ) - --~12

Passando dalle coordinate x, y alle coordinate ~, ~ mediante le

I ~ - - x ~ + V 2 9 s e n ~ . V l g ( l + ctg ~ )

y - - y. + t~ ~ set? ~o

cos ~ • Vlg(1 + ctg'- ¢~)d~ +

eos~ )ld% Vig(1 ÷ ctg-" 9)

Di qui passaudo al limite per a ~ 0 e tenendo presente ehe u, ~-~, ~, f sono continue e ehe

f o e s

si deduce la (24).

(i + ctg = [ _Jl¥ lg(f ~ ctg "~ ~) de? --~ ¥ 2%

Inversamente, se u, continua in D insieme a ~-y e ~x. 2, soddisfa la (241

in ogni punt0 Po interne a D e per tutti i c ( > 0) sufficientemente piecoli, essa ~ soluzione (regolare) di ~ u ~ f.

Infatti se in un punto Po fosse !~)IL~t:4:f, poniamo ~ S u - f > 0, allora per ovvie ragioni di continuith riuscirebbe ~ u - - f > 0 in tutto un interne di Po e quindi in tutto un ~)e0,o con c sufficientemente piccolo. Ora, se si parte dalla (26) con ~ u al posto di f, e si precede come sopra, si ottiene

P

~)d~ +

, J

- -h i 2

c ~/2

2 / f 1) 3 sen '2~e°s~ d~d¢? +V2--~ ( u ~ - - ~ L u ) ( ~ - ~ ¥ 1 g ( l + c t g ~ )

0 --=/2

e quindi , sottraendo ques t 'u l t ima dal la (24),

lt)2o, c

cib c h ~ assurdo peroh~ U - - 1 ~ positiva he l l ' in te rne di C

~,o,~, e per ipotesi ~ ~ u - - f > 0, Dalla formola di media 124), periferico-superficiale, si

con larga arbitrariet~ d,~ile formole di media puramente esempi% s~ nella (24) si sostituisee c con una variabile l,

~)Po,c, e nulla su

possono dedurre superficiale. Per

si moltiplicano

B. PINI : Sulle equazioni a, derivate parz,ali, lineari del secondo ordine, ecc. 1.97

ambo i m e m b r i per t e si in tegra r ispet to a t da 0 a c, con qua lche in tegra . zione pe r pat t i , si o t t iene

1 f f , [ ( x - - x , ) : , (c--~) ' ] (c - -P) ~ i t243 uix0, Yo)-- - - _ . . . . ~ - - - ~ + a ~ , 2c~ v r : J . / ( / 2 (y- -y0 y) - - - ~ ]u(x, y)-- - - ~ f(x, y)idxdy.

f~Po, c

VI. Pr imo teorema di eonvergenza. Sia u,(x, y), n-----1, 2 .... , una suecessione di fun~ioni continue insieme

~Un a - - e in D e nulle per y - - b, )q(b) ~ x ~ xjb) ; se esistono tre funzioni ~y f(x, y) cd fi(y), i - - 1 , 2, rispettivamente di r -ma potenza sommabile in D, con r :> 3/2, e di s -ma potenza sommabile su ~ a ~ y ~ b, con s > 1, per cui

b

,27) .l fflf-w "t'dxa'=°' .1Lm f i--1, D a

e se esiste una eostante (positiva) ~I per cui sia

(28, f f , un imdxdy ~ ' M D

qualunque sia n e per una certa m ~ r(s - - 1 ) aUora in ogni dominie interne r - - l '

a D la successione un(x, y), n ~ 1, 2 .... , converger& uniformemente a una funeione u(x, y) la quale assumera in media d'ordine s su Ci i valori fi(y), i - - -1, 2, e sara, in D - - F D , soluzione regolare dell'equazione ~ u - ~ - f se f(x, y) ed a(x, v) si suppongono continue ed h61deriane rispetto a y.

P e r quanto ~ state detto al n. I I I , se v(x, y) ~ una funzione oppor tuna . men te rego la re e nu l la per y-~-b, s i ha, q u a l u n q u e sia q ~ 1,

b

d ~ 2 'q j~v \~ . --dt.! Z'tvI~,i . I v lq ( - -g '+qag)dxdy- -q (q - -1 )~ . glvi-~x)aXay--"

a Dit) Dit)

-- / g [ v 'qdx -- q f / g , v , q -~v~vdxdy , FD(O D(t)

b t2

g ~ [ vl~t)dY (-- g' __ 1 t~ ~ + qag) I v Iqdxdy a tl D(t)

t2 t~

t f f L f f f t~ z~t) t~ D(ti

% Z~(a)--t b b

h Xl(a)+ $ a a

198 B. PINI : Sulle equ.azio~i a derivate parzialf , tineari del secondo ordine, eve.

osse rvando the , nell ' ipotes i t h e sia g ' - - q a g > 0, g > 0, il primo, secondo e qua r to in tegra le sono non posi t ivi , p o n e n d o u ~ - uv al posto di u, t al posto di t~ e passando al l imi te pe r t,--* 0~ si ha

b b

,.~ t 1 G

t

I ,ev -

o D~O t b t b

- - d t g l uF - - U~ Ic,¢)X.~ (y)dy + at g ] uF - - u~ c~(t)a, y y. 0 a 0 a

I1 p r imo in tegra le a secondo membro ~ ind ipenden te da t e tende a zero per ~, v ~ o % in base al la seconda delle (27)se , pe r il memento , si pensa q non super io re ad s. I1 secondo in tegra le converge a n c h ' e s s o a zero per t~, v--~oo, u n i f o r m e m e n t e r i spe t to a t, come si r i eonosce se si f iene p resen te la p r i m a del le (27) e la (28).

I n d i c h i s m o con ~F,v(t) il mass imo del ia somma di quest i due integral i . Pos to 2 ¢ = max 1Xt'[, I X(I t, la somma dei due u l t imi in tegra l i 8 magg io ra t a da

a~y<_b t b

3T dt g ~,~ l u~ - - u~ lo#)dy 1

0 a

onde, ind icando con ¢%,jt) il pr imo membro del la (29), si ha $

/ *

%, ~(0 ~ ~F, dt) + 2¢ ] (%, ~(t)dt ; . 3

0

i t e rando n vol te e passando al l imi te per n--~ cx~, si ha

(%, jr) < ~ , ~(t). e Nt

e qu ind i o~,~(t) tende a zero ins ieme ad ~,~(t) pe r ~, v ~ cx~, u n i f o r m e m e n t e r i spe t to a t. Del la s tessa proprieti~ godr~ pere ib l' in~egrale

b

[ ~ - - u~ Iq(ody i = 1, 2, c~

e quindi , detto D((t) il dominie l imi ta to dalle ca ra t te r i s t i che y-~--a, y---~ b e dal la copp ia di cu rve C~ e C((t), i - - 1 , 2, si ha che

t b

Dirt ) 0 a

c~)nverge a zero, per ~, v--~ 0% u n i f o r m e m e n t e r i spet to a t.

B. PrN~ : Sulle equazio~i a derivate parziali, lineari del secondo ordlne, eec. 199

Pub darsi che per nessun valore (ammissibile) di t sia D,(t)-~-D~(t)~ D ; tu t t av ia ~ chiaro che si pub t rovare un n u me r o f in i te di domini del ripe y ~ y ~ . ~ y ~ , X,(y)~x~_~X~(y) con y ~ a , y ~ b , tal l che i cor r i spondent i domini ana loghi a D f l ) ÷ D~(t), ognuno cor r i spondente a u n oppor tune valore di t, abbiamo per somma il dominie date.

Sarh percib

(30, lira fflu --u lqaxdy=O. D

Si noti bene che quest ' u l t ima, s tabi l i ta per una q non super iore ad s, r isul ta poi v a l i d a per u n a q p ra t i camente arbi t rar ia , se si tengono pre- senti le d iseguagl ianze di SOHWARZ-HOLDER e di ]~[INKOWSKI, nonch/~ la (28).

Sin era (~:~ y) un punto in te rne a D. Ind ich iamo con V(~, ~q; x, y) u n a funzione soddis facente le seguent i condizioni

V(~, ~; x, y ) - - U(~, ~; x, y) )

!31) ~ ~ I su C~ i - - l , 2 x, y ) = -o x, y)

V(~, ~; x, y ) - - 0 per ~ y ;

~V ~2V sin dota ta delle der ivate ~ e ~ cont inue in tut t i i punt i di un campo

contenente D e queste siano dotate delle der ivate pr ima r ispet to a y e seconda r ispet to ad x con t inue in ogni punto in te rne a D (i0).

Dal la formola di GREEN, (25), i solando il punto (x, y) con un in te rne I i x - - 8 ~ x ÷ ~ , y ~ y ~-8), ind ieando con D v' l ' i n s i e m e dei pun t i comuni a D e al semipiano ~ y , e ponendo un(x, y) al posto di u(x, y) e U - - V al posto di v, si ha

(i0) Causa la regolarit~ delle funzioni Xi(~) e l'ipotesi the in taste a ~: ~ ~ b ~ Xl(~) ~ X~(~), come funzione V si pub prendere la

a(~ ; x, y)~3 ~_ b(~ ; ~, y)~ + c(~ ; x, y)~ + d(.~ ; x, y)

eve i eoefficienti di ~ si determinino in base alle due prime eondizioni (31). La terza delle (31) e le ulteriori eondizioni di regolaritfi restano implieitamente soddisfatte.

200 B. PZN~ : Sulle equazioni a derivate parz~ali, lineari del .~econ.do ordine, ece.

tenendo presente le (3t) e r icordando che u,~(~, b ) = O, qualunque sic n. Da ques t ' u l t ima passando al limite per ~ ~ 0, si ottiene senza difficolth alcuna

(32) u,(z, y) = ~ . , ( ,~, ,~- vr~u.xu- v)~a,~ - j j , , , ~ ~ ~ a~a~ .

Prendendo ora q 2> 3/2, avendosi

Y ~ I u~<(x, y) - - u~(x, y) l < 1 q--I q q - - i

;[ f/ - (f - ] Dd od ,

1 ~" 1

D D d

tenendo presence ]a prima delle (27) e la (30), si pus affermare the la sue- cessione u,Jx, y), n - - l , 2 , . . . , converge uniformemente in ogni dominic

a ~ b , X,(~) ~ / -~ -~7 ,~ (~ ) - t. Derma allora u(x, y) la run, lone limite e supponendo, il che ~ leeito,

q >__ s, dalle

(;/ D

segue

b

lira ~i i u - - u . to,¢t)dy-- 0 u n i f o r m e m e n t e r ispetto a t, ~ o o ,j 1

t~

b

lim ~ t f~ - - (u . ) c , I"dy = 0 n ~ O o I

t$

b

l im v~i I (u,,)c~t~ - - fu.)o~ l"dy ---- 0 per ogni n t - - o . / 1

b

f, lim ~1 (u)c~(O - f t ladY = O. t ~ O , . 1

t~

D'a l t r a parte, passando al limige per n - ~ nella (32), si ha,

Dy' Dy'

onde, tenendo presente la regolarit'~ del seeondo integrale e osservando ehe il primo integrale ~ del tipo di quello eonsiderato al n. II (qualora si muti

B. PL'¢t : Sulle equazioni a derivate parziali, lineari det secondo ordine, ecc. 201

D~, in Dff e si scambi ~, ~ con x, y in U), si pub a f fe rmare l ' e s i s t enza e la Ou ~%

continuiti~ di ~y e ~ in ogni pun to in te rno a D.

D' a l t ra parte , dal la

1 y)

• P, c

passando al l imite pe r n ~ c~, si ha

~P, c

8u 8% onde, per la p rova t a continuit '~ di ~-~ e ~-~ e pe r la proposiz ione d e l n . V,

si conc lude che u(x, y) ~, nell ' in terno di D, soluzione regolare de l l ' equaz ione

~ u = f .

¥I'. Secondo teorema di convergenza. Sia u~(x, y), n ~ 1, 2, ..., una sucoessione di funzioni continue insieme a

~Un ~Un y f e ~ in D, nulle per y ~ b, ~(~(b) ~ x_~ x~(b), con Z~FCu~ h61deriana ri-

spetto a y; se esistono tre funzioni, f(x, y) continua in D ed ivi h61deriana rispetto a y, ed f~(y), i --~ 1, 2, continue su a ~_ y ~ b tali che, per un r ~ 3/2, sia

(27') lim f f i f -- l dxdy = O D

lira u.Jx~(y), y) ---~ f~(y) uniformemente su a ~ y ~ b, ~ ~ OQ

allora la successione Un(X, y), n - - t . 2 ..., converger~ uniformemente a una funzione u(x, y), nulla su y --- b, x~(b) ~ x ~ x~(b), convergente su C~ a fi(y), soluzione regotare in D - - F D dell' equa~ione ~ f iu --~ f, nell' ulteriore ipotesi che :¢(x, y) in D sia continua ed h6lderiana rispetto a y.

S u p p o n i a m o d a p p r i m a t he le u,(x, y) s iano soluzioni regolar i di ~ u ---- f ; si ha a l lora

m a x o I u~ -- u~ I ~ e'~(b-a)" maxc~+c~ I U~ - - Uv I (t~), m > maxDI ~(x, Y) I,

(~i~ ~[. P~eO~E in Maggiora~ione degli integrati delve equazioni totalmente parabolich~ alto de~'ivate parziali del secondo ordine, ~ .A_nnali di ]Kat. pura e appl. ~, (4), 7, {1980), 1~5-192, ha provato che, relativamente aH'equaziono ~u----~-f~ se ~ ~ una funzione sempre positiva

in D, continua insieme a ~ e ~-~ gale che ~¢o ~ 0, ed H u n numero non inferiore al

A n ~ a l l d i l ~ f a f e m a t i ~ 28

2 0 2 B . PrN~ : Sulle equazioni a derivate parziali , l:n.eco': del .~condo ordine, ecc.

onde, poich~ u~(X~(y) , y) converge uniformemente a f~(y) per n - c,: 5 ~ assicu- rata la eonvergenza uniforme di u,(x, y) in D per n ~ cx~. Dopo di cib, detta n(w, y) ]a funzione limite, si riconosce ehe questa ~ dotata delte derivate ~ ~'u ~--~- e ~-~ continue e quindi, per la formola di media, che essa ~, in D - - F D ,

s~)lu~,ione regolare di ~ u - - - - - f . Supponiamo ora t he le u~(x, y) non siauo soluzioni di ~ S u ~ f. Cousi-

deri~mo allora le fuuzioni

v~(x, y) - - uAx, y) - - - - 2 V ~ . , ( f - oT'@,,)u(~, ~; ~c, y)d~d~ D~ y

ottenute dalle u~ aggiungendo i poten~iali di area

soluzioni regolari di

Dy ~

D u' indica, come preeedentemente, il dominio y ~ ~ ~ b, X,(~) ~ ~ ~-~ X~(~) e una fuuzione che per ~----x, ~ - - y ha una singolaritk dello stesso tipo di

quella della soluzione fondamentale del l 'equazione del calore ed ~ altrove cont inua ('-~).

Alle funzioni v.(x, y) si pub allora applicare quanto sopra; cib, in con- segueaz.% sark valido anehe per le u.(x , y) dato che la U ~ sommabile in D insieme a u n a sua qualunque potenza di esponento ~ 3 e tenendo presente la prima delle (27). Ecc.

m a s s i m o i n D di u n a f u n z i o n e qv n o n n e g a t i v a p e r cu i r i s u l t i s e m p r e i n D

si ha

maxD¢o m a x D I u ! _~ H m a x D (o • m a x D I f l ÷ minc,+c:,) " m a x c , + c , l u }

se, c o m e a no i i n t e r e s s a , ~ u(x , b ) ~ - 0 . ~ e l n o s t r o easo ~ s u f f i c i e n t e p o r t e m ~--- e--mY, ~v ~-- (b - - y)e .~b con m ~ m a x / ) I ~(x, y) ] . (c~) Cfr . J . ttADA~IARD, Sur la solution fondamentale des dquations aux ddrivdes par.

tielles du type parabolique, ~ C. R. A.cad. Se. P a r i s , , 152, (19ll)~ 1148-1149; ]K. GEvr~EY, 1. e. i n (G), Cap. I I ; efr . a n e h e l ' a r t l e o l o d i @. ASCOL~ in Equazioni alle derivate parziali dei tipi eIlittico e parabotico, di G. ASCOLI, P . ]~URGATTI, (~. ~IRAUD) F i r e n z e ~ 1936, a pag . 123.

B. P~I : S ulle equazioni a dcrlvate parzlali, l lneari dcl secondo ordine, etc. 203

T e o r e m i d i e s l s t e n z a .

VII. P r i m o t eo r ema di esistenza. ' Data una funzione f(x, y) in D - - F D continua ed hOlderiana rispeUo a y, e

due funzioni fi(y), a ~ y ~ b, i ----- J, 2, ciascuna sommabile con una certa potenza di esponente > 1, se f(x, y) ~ inoltre sommabile in D con una sua lootenza di esponente > 3/2, allora esiste una (ed una sola) funzione u(x, y) assumente su C~, i - - 1, 2, i valori f~(y) in media di un certo ordine ~ 2, nulla per y - - b, x,(b) < x < x~(b), the in D - - FD ~ solu~ione regolare dell' equazione gll'Cu - - f, netl'ul~eriore ipotesi the a(x, v) sia in D continua ed h6lderiana rispetto a y.

Infatt i il teorema di completezza del n. IV assicura che lo spazio fun- zionale Z~r6 ~ completo in Z, cio~ coincide con Z lo spazio Z ~ ottenuto aggregando a Z~r6 i vettori limiti (secondo la metr ica relativa allo spazio Z, che resta determinata prendendo

b ( ; / . P t\P--1 -- ~ / 2 / f ~ -,\q--1

i! u), f,(v), f : (v ) l l - If( , u) [q-ldy) q D a

come norma di l f(x, Y), f,(Y), f~(Y) l)" Dunque, date le tre funzioni f(x, y) ed f~(y), i ~ - 1 , 2, soddisfacenti le condizioni dichiarate, b sempre possibile deter-

minare una successione di funzioni u,,(x, y), dotate dalle derivate ~ e ?x"

continue in D, e nuUe per y---~ b, x~(b)~ 0~ ~< x2(b), per le quali si abbia

b

; ; . . . _ f ' (33) lim I f - - g~15u, 17~--ldxdy O,

~ -"~ oo J.D,j t~

per un eerto p > 3/2 e un certo q > 2. Perci6 il teorema di esistenza senz'altro assicurato dal teorema di convergenza del n. g I qualora sia soddi- sfatta l 'u l ter iore condizione (28). Ma questa si pub senz'altro suplaorre verifi. cata perch6, in caso contrario, dalla successione u,,(x: y), n-----1, 2, ..., si potrebbe estrarre una sottosuccessione uv,~, n-~---1, 2, ..., per cut

lim f l ] I m d x d y = + ~ . n ~ o a j j ?~vn

D

Allora, posto

V n Uv n

D

204 B. PINI : Suite equazioni a derivate parziali, lineari del seco~do ordine, ecc.

si avrebbe b

ff f f " f (34) v , [~" dxdy - - 1, lira ! ~Sv , , ]~-ldxdy "-- O, lim I v , [qc~ldy = 0 D D a

n-----l, 2~... i = 1 , 2

e quindi, per il primo teorema di convergenza, la successione v,,, n ~ 1, 2, ..., convergerebbe a una soluzione di ~)YSv = 0 la quale poi, convergeudo in media a zero su C~, C~, dovrebbe essere ident icamente nutlu in base al teorema di unieit~t, il ehe eontraddiee la prima delle (34).

VH'. Secondo teorema di esistenza (~3). Data una funzione f(x, y) su D continua ed hClderiana rispetto a y, e due

funz ion i fi(y), i - - 1, 2, continue su a ~ y ~ b, esiste u n a (ed una sota) funzione u(x. y) ehe si annu l l a per y = b, x~(b)~ x ~ X,,(b), assume su Ci i valori fi(y), i - - 1 , 2, e che in D - FD ~ soluzione regolare di ~ u = f, sempre nell'ipotesi che ~(x, y) sia in D cont inua ed hClderiana rispetto a y.

Questo classico teorema si ottiene in modo perfet tamente analogo a quello precedente in eonseguenza dei teoremi dei nn. IV' e VI ' tenendo presente c h e l a metr ica relat iva a Z ~ quella che resta determinata prendendo

Z~ max lh(Y)] II y), f~(Y), f~(Y)it - - If( x, Y)I~-~dxdy + D

come norma di i f (x , y), f~(y), f~(Y) l .

(is) Quando il p resente l avoro era in corso di s tampa ~ apparso nel CGiornale di Mate- mat iche~ di BATTAGL1N][~ S. ~V~ YO1 80 (1950-51) pp. 1-13, un lavoro di C. CILIBSRTO: S~d problema di Holmgren-Levi per 5' equazione del calore~ o r e "~dene conseguito il teorema di esistenza~ ne l l ' ind i r i zzo di C. t'VIIRA~DA, per il p rob lema ordinar io di va lor i a[ contorno

r e l a t ivamen te all ' equazione ~2u ~u _ 0. ~y~ ~x