RELATIVISTI ČKA MEHANIKA

PRINCIP RELATIVNOSTI GIBANJA (GALILEIJEV PRINCIP RELATIVNOSTI):

Zakoni mehanike imaju isti oblik u svakom inercijskom referentnom sustavu. Svi su inercijski sustavi ekvivalentni i ne mogu se meñusobno razlikovati na osnovi oblika zakona mehanike.

'

'

'

zz

yy

sxx

vv

vv

vvv

=

=+=

t't

'

'

'

===

+=

zz

yy

tvxx s

tt'

'

'

'

===

−=

zz

yy

tvxx s

Nastanak specijalne teorije relativnosti Potkraj 19.stoljeća, neki novi rezultati nisu bili u skladu s Galileijevimtransformacijama, npr. jednadžbe elektrodinamike.

�Nešto nije u redu s G.T. ili čak Newtonovom mehanikom?

Rješenje (posve slučajno): Michelson i Morley

Brzina svjetlosti ne ovisi o brzini gibanja izvora svjetlosti.

�Nešto nije u redu s jednadžbama elektrodinamike?

�Pojave mehanike i elektrodinamike su nespojive?

Brzina širenja svjetlosti u vakuumu je stalna (3 .108 m/s).

Za svjetlost ne vrijedi klasično zbrajanje brzina.

Michelson-Morleyev eksperiment

S’ – sustav vezan za Zemlju → cS – sustav vezan za eter → c-v (PZ1), c+v (Z1P)

- svemir ispunjen eterom: gustoća nula, nevidljiv, ima elastična svojstva-“eterski vjetar” – izmjeriti apsolutnu brzinu Zemlje; različit iznos c za promatrače u različitim sustavima

PZ1

Z2

d

d

1

2

v

I

S’

2

1 22 2 2

2

22 2

11

dd d dc d vct

vc v c v c v c cc

= + = = ≈ + − + − −

1)

vt2

Z2

d

22 2

2 22

vtct d

= +

2)

S

2

2 22 2

2 21

2

d d vt

c cc v

= ≈ −

−

Michelson-Morleyev eksperiment

Razlika u vremenu dolaska zrake 1 i 2 na zastor:

2

1 2 2 22

2 2

2 1 1

1 1

d d vt t t

vc c cvc c

∆ = − = − ≈

− −

Rotiranje eksperimenta za 90°:

2

1 2 2 22

22

2 1 1' ' '

11

d d vt t t

vc c cvcc

∆ = − = − ≈ −

−−

Ukupna vremenska razlika:2

2

2' 0

d vt t

c c∆ − ∆ ≈ ≠ Razlika u interferencijskoj

slici zraka svjetlosti!

Na rezultatima MM pokusa, A. Einstein je razvio svoju Specijalnu teoriju relativnosti (1905.)

Izvod iz 2 postulata (principa).

1. Svi inercijski sustavi jednako su valjani, ili, svi prirodni zakoni imaju isti oblik u svim inercijskim sustavima. (Einsteinov princip relativnosti)

2. Brzina svjetlosti u vakuumu jednaka je u svim smjerovima i u svakom dijelu inercijskog sustava, te u svim inercijskim sustavima. (Invarijantnost brzine svjetlosti.)

Objašnjenje postulata:

1. Postulat proširuje G.T. na sve prirodne pojave (ne samo mehaniku). Ne postoji apsolutni prostor (svi inercijalni sustavi su ravnopravni). Ne postoji apsolutna istovremenost (dva dogañaja koja su istovremena u jednom sustavu, nisu istovremena u drugom sustavu). Svaki sustav ima svoje vlastito vrijeme, odnosno vrijeme u različitim sustavima teče različito.

2. Za svjetlost ne vrijedi zakon vektorskog zbrajanja brzina. Brzina svjetlosti je najveća moguća brzina u prirodi i jednaka je u svim inercijalnim sustavima.

Posljedica Einstenovih postulata:

U različitim sustavima više ne postoji istovremenost dogañaja.

Vlak se giba pravocrtno konstantnom brzinom v.

Einsteinov misaoni pokus.

Uzmimo točke A’, B’ na krajevima vagona, a M’ točno u sredini.

U jednom trenutku, točke A’, B’ i M’se podudaraju s točkama A, B i M koje su na tlu.

U tom trenutku, iz točaka A i B krenu istovremeno svjetlosni signali.

Da li će ti signali stići istodobno za opažača u točki M(Zemlja), odnosno M’(vlak)?

Rješenje:

⇒= )()( MBdAMdU točku M, signali stižu istovremeno.

( ') ( ' )d AM d M B> ⇒

Signal iz točke B stiže prije signala iz točke A.

Istodobnost dogañaja je relativan pojam.

Satovi idu različito, proces starenja je različit.

Lorentzove transformacije

S (x,y,z) - koordinatni sustav vezan za Zemlju

),(' ' ' ),(' 21 txftzzyytxfx ====

S' (x',y',z') je vezan npr. za neko vozilo (vagon, raketu, ili sl.).

Gibanje se odvija samo uzduž osi x i x' (y' = y , z' = z) .

Neka se u t=0 sustavi poklapaju, tj S=S’.

Kako naći vezu koordinata sustava S i S’?

Kakav je oblik funkcija f1 i f2?

Linearan (sustavi moraju biti ravnopravni-2.postulat).

nt mx t'

bt ax x'

+=+=

Koliki je pomak pri gibanju uzduž osi x‘?

?,,, =nmba

bt ax' x

bt ax' x

222

111

+=+= ) - t) + b(t - x' = a(x' - x∆x' = x 121212

t+ b∆x' = a∆x ∆

Slično se dobije za pomak vremena u sustavu S‘:

t+ n∆t' = m∆x ∆

nmv

bavv

++='

1 ←

2 ← ⇒2:1

ntx

m

btx

a

t

x

+∆∆

+∆∆

=∆∆

'

'

?,,, =nmba Promatramo specijalne slučajeve:

Tijelo miruje u sustavu S' (recimo u vagonu koji se giba brzinom V), tada je: v' = 0 i v = V (tijelo miruje u S' i stoga se giba s obzirom na S kao i sustav S' brzinom V).nmv

bavv

++='

nmV

baV

++=0 ⇒ aVb −=

Tijelo miruje u sustavu S (recimo, s obzirom na Zemlju) i onda je v = 0 , te v' = -V (jer se tijelo udaljuje od S' po apscisi brzinom V kao i sustav, ali protivnog smjera).

nm

baV

+⋅+⋅=−

0

0

n

aVV

−=− an =⇒

Gibanje svjetlosnog fotona, koji se, uvijek giba brzinom c , onda vrijede jednakosti v' = v = c.

nmc

bacc

++= ⇒

2c

aVm −=

nmv

bavv

++=' ⇒aVb −= an =

Relativistički zakon za zbrajanje brzina uzduž apscise.

2c

aVm −=

avcV

a

aVavv

+−

−=2

'

21

'

c

Vv

Vvv

−

−=⇒2

'1

'

c

Vv

Vvv

+

+=

⇒

U skladu s principom relativnosti – dva inercijska referentna sustava jednako su vrijedna – može se pretpostaviti kako je sustav S' u miru, a sustav S se giba s obzirom na S' brzinom –V. Tada tzv. reciprocitet Lorentzovihtransformacija daje:

aVb −= an = 2c

aVm −=

Kako odrediti konstantu a?

nt mx t'

bt ax x'

+=+=

( )

−=

−=

xc

Vtat'

Vtx ax'

2

( )

+=

+=

''

''

2 xc

Vtat

Vt x ax

+−+=

+−+=

)''()''(

)''()''(

22

2

Vtxac

Vx

c

Vtaat'

xc

VtVa Vtxa ax'

''''2

22222 x

c

aVVtaVtax ax' −−+= 011 2

22 =

−−

c

Vax'

⇒

Lorentzove transformacije:

2

2

1

1

cV

a

−=

011 2

22 =

−−

c

Vax'

zzyy

c

V

Vtxx ==

−

−= ' '

1

'

2

2

2

2

2

1

'

c

V

c

xVt

t

−

−=

' '

1

'

2

2zzyy

c

V

Vtxx ==

−

+=

2

2

2

1

''

cVcx

Vtt

−

+=

nt mx t'

bt ax x'

+=+= ⇒aVb −= an = 2c

aVm −=

Kontrakcija dužine

Neka se sustav S' giba brzinom V u smjeru osi x s obzirom na sustav S.

12 xxd −=

Štap je položen u koordinatnom sustavu usporedo s osi apscisa, njegova je duljina u sustavu S', u kojem štap miruje, d' = x2' – x1‘.

Kolika je duljina štapa za motritelja koji se nalazi u sustavu S?Istovremeno mjerimo koordinate x1 i x2, tj. u trenutku t = t1 = t2

2 2' '2 12 2

1 1V V

d x Vt x Vtc c

= − + − − − ( )2

' '2 1 2

1V

x xc

= − −

2

2

'

1

x Vtx

V

c

−=−

2

2' 1

Vx x Vt

c− = −

2

2' 1

Vx x Vt

c= − +

2

2' 1

Vd

c= −

Kontrakcija dužine 2

Kako štap miruje u sustavu S' , uobičajeno se duljina štapa (d') naziva vlastitom duljinom i označuje d0. Takoñer je i sustav u kojem tijelo miruje vlastiti sustav tijela, pa je tako S' vlastiti sustav štapa. Dakle, za motritelja u sustavu S, štap vlastite duljine d0 ( = d'), koji je položen po dužini usporedno s osi x i giba se uzduž te osi brzinom V, ima kraću duljinu d ; ta relativistička pojava naziva se kontrakcija dužine

2

2' 1

Vd d

c= −

2

0 21

Vd d

c= −

Dilatacija vremena

Neka se na mjestu x' u sustavu S', koji se giba brzinom V u odnosu na sustav S, odvija neki proces u vremenu t' = t2' – t1'.

Koliko je trajao isti proces u sustavu S ? t = t2 – t1=?

2

2

2

1

''

cVcx

Vtt

−

+= 12 ttt −=∆

2

2

2

'1'

1

2

2

2

'2'

2

11cVc

xVt

cVc

xVt

−

+−

−

+=

( )

2

2

'1

'22

2

2

'1

'2

11cV

xxc

V

cV

tt

−

−+

−

−=

2

2

'1

'2

1c

V

tt

−

−=

2

2

1

'

c

V

tt

−

∆=∆

Dilatacija vremena 2

� Interval vremena izmeñu dva

dogañaja veći je u sustavu S nego u vlastitom sustavu S'

2

2

1

'

cV

tt

−

∆=∆ 'tt ∆>∆

� Vlastito vrijeme t' je kraće u sustavu S', koji se giba brzinom V .

� Sat ide brže u sustavu S u kojemu miruje motritelj.

� Vrijeme je usporeno u sustavima koji se gibaju. Ta se relativistička pojava naziva dilatacijom vremena.

Primjer:

2

2

1

'

cV

tt

−

∆=∆

Koliki je srednji život µ-mezona u laboratoriju, ako se mezon giba brzinom 1,8.108 m/s, a njegov srednji život je t' = 2,2 µs ?

?

102,2 2,2'

/ 108,16

8

=∆⋅==∆

⋅=−

t

sst

smV

µ

2

6

38,1

1

102,2

−

⋅=∆−

t

st 108,2 8−⋅=∆

Problem blizanaca

2

2

1'c

Vtt −∆=∆

Ako od dva blizanca, primjerice, Antun (A) i Ivan (I), stari 20 godina, jedan blizanac (B) poduzme put do zvijezde Arkturusi natrag brzinom V= 0,99 c, koliko će biti stari blizanci kad se ponovno sretnu? Gledajući sa Zemlje zvijezda Arkturus je udaljena 40 svjetlosnih godina.

v

st

∆=∆ godc

c 808,80

99,0

402 =⋅=Gledano sa Zemlje (Antun):

Nakon Ivanovog povratka, Antun će imati 20+80,808= 100,808 godina.

Ivan?

2

2299,01808,80

c

c−⋅= god 4,11=

Nakon povratka, Ivan će imati 20+11,4 = 31,4 godina.

Nakon povratka, Ivan će biti mlañi 69,4 godine!!!!

Problem:

Je li taj zamišljeni pokus simetričan? Može li se uzeti da je relativno u istom pokusu B na miru, dok se A udaljava od njega zajedno sa Zemljom brzinom V?

Ako bi pokus bio simetričan, onda bi se moglo tvrditi da je pri ponovnom susretu Antun mlañi od Ivana, i to bi bio paradoks

Sustav S' duž cijelog puta nije inercijski.

Pri dolasku do zvijezde Arkturus, raketa će se usporiti, zaustaviti i promijeniti smjer gibanja, ili u blizini zvijezde napraviti kružnu putanju i onda se vraćati natrag.

Pri promjeni smjera, raketa više nije inercijski sustav (jer mijenja brzinu, odn. vektor brzine), pa relativistički princip o jednakovaljanostisustava više ne vrijedi.

Relativistička masa

Prema Newtonovoj mehanici, sila ubrzava tijelo, pa ako je na početku promatranja brzina tijela nula, a sila je stalna u vremenu, onda vrijedi:

Što je s brzinom v ako djelovanje sile traje jako dugo (beskonačno)?

Nakon nekog vremena, v bi mogao narasti i preko c!!! (što zabranjuje relativistička teorija).

Einstein uvodi pretpostavku da masa tijela nije konstantna nego je različita u različitim referentnim sustavima.

t

vmmaF == ⇒

m

Ftv =

Potrebno je korigirati osnovni zakon klasične dinamike.

Relativistička masa2

Einstein uvodi izraz za masu u kojem se masa tijela povećava s brzinom gibanja tijela.

mo - masa mirovanja (vlastita masa tijela u sustavu u kojem tijelo miruje m - relativistička masa istog tijela u sustavu u kojem se tijelo giba brzinom v

Izvod? Koristimo relativistički zakon za zbrajanje brzina.

2

2

0

1c

v

mm

−

=

2'1

'

cV

v

Vvv

+

+=

Relativistička masa- izvod

Promatramo sudar 2 čestice A i B jednakih masa, a suprotnih brzina. Poslije sudara dobije se čestica C, mase 2m koja miruje.

A B

m m

v -vy

x

C

2m

y

x

Prije sudara Poslije sudara

S

“Sjednemo” na točku B.

2

2

2

2'

1

2

1c

vv

c

vvv

vA

+=

+

+=

x’

C

M

Poslije sudaray’'Cv

01 2

2' =

+

−=

cvvv

vBv

cv

vvC =⋅+

+=2

'

01

0

A B

m’ m0

y’ Prije sudara

'Av

x’S’

Uvodimo:m0= masa čestice u mirovanjum = masa čestice brzine vm’ = masa čestice brzine v’M = ukupna masa spojenih čestica

'1

2

1 2

2

2

2' v

cvv

cvvv

vA ≡+

=+

+= 01 2

2' =

+

−=

cvvv

vBv

cv

vvC =⋅+

+=2

'

01

0

Zakon sačuvanja količine gibanja:

0'' += vmMvM

vmv

''=⇒

Zakon sačuvanja mase:

0' mmM +=

� 1

� 2

1� 20'

''

mm

vmv

+=⇒

� 3

3

2

2

1

2'

cvv

v+

=

( )20

2

220

'

''1

'''

2

mmc

mvmmvm

++

+=( ) 0

20

2

22

'

''2

'

''1'

mm

vm

mmc

mvv

+=

++

( ) ( )022222

0 ''2''' mmcmmvcmm +=++

Masa čestice m’ koja se giba s brzinom v’.

( ) ( )022222

0 ''2''' mmcmmvcmm +=++

( ) ( )[ ] 0'''2'' 222200 =+−++ mvcmcmmmm

( ) ( )[ ] 0'''' 22200 =+−+ mvcmmmm

( ) 0''' 22220

2 =+− vmmmc

( ) 0'' 220

222 =+− cmcvm

22

22

02

''

vc

cmm

−=

2

2

202

'1

'

cv

mm

−=

2

2

0

'1

'

cv

mm

−=

Općenito:

2

2

0

1cv

mm

−=

2

20 1

1

cvm

m

−=

Grafički prikaz:

Primjer:

2

2

11c

v−−=

Kod koje se vrijednosti brzine v relativistička masa m razlikuje od mase mirovanja za milijuntni dio?

610−=∆m

m

m

mm

m

m 0−=∆m

m01−=610−=

( )262

2

1011 −−=−c

v 126 101021 −− +⋅−=

610211 −⋅+−≈c

v 6102 −⋅=310414,1 −⋅≈ ⇒

( )3 8 31,414 10 1,414 3 10 10v c − −≈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

skmsmv / 424/ 1024,4 5 =⋅=

Relativistička ekvivalencija mase i energije

...4

3

2

111

4

4

2

2

2

2

−+−≈−c

v

c

v

c

vRazvijamo u red nazivnik (v<<c):

⇒

Za slučaj v < c/10, zadržavamo samo prva dva člana:2

2

2

2

2

111

c

v

c

v −≈−

2

2

0

1cv

mm

−=

2

20

21

1cv

mm

−= ⇒ 02

2

2

11 m

c

vm =

−

20

22 22 cmmvmc =− 20

22

2

1cmmvmc =− 2

022

2

1cmmcmv −=

20

2 cmmcEk −= Relativistički izraz za kinetičku energiju

2mcE ∆=∆

Primjer:

Koliko se energije dobije pretvorbom mase od 1 grama u energiju?

Za istu energiju, bilo bi potrebno 2 milijuna tona eksploziva TNT!!!

2mcE ∆=∆∆m = 1 g = 10-3 kgc = 3. 108 m/s

( )283 10310 ⋅= − J 109 13⋅=

Primjer pretvorbe energije (Sunce).

Odnos količine gibanja i relativističke energije

Za čestice koje se gibaju brzinom c, kao što su čestice svjetlosti ili fotoni, gornje jednadžbe pokazuju kako te čestice nemaju masu mirovanja, odnosno mo = 0. Tako je za foton energija E = pc, količina gibanja p = mc, a to vodi na polaznu jednadžbu E = mc2.

2

2

0

1cv

mm

−= 2 2

2

22 )1( om

c

vm =−

4222242 cmcvmcm o=−

4c

2222 cpEE o +=⇒

4222 cmcpE o+=