1.-Vectores en El Espacio

7/24/2019 1.-Vectores en El Espacio

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Vectores en el espacio

1 Teora

1. Vectores en el espacio

2. Operaciones con vectores 3. Dependencia e independencia lineal. Base

4. Producto escalar5. Producto vectorial

6. Producto mixto

Otros bloques del tema:

2 Ejercicios de vectores en el espacio2.1 Ejercicios de vectores

2.2 Ejercicios del producto escalar y vectorial2.3 Ejercicios del producto vectorial y mixto
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1.- Vectores en el espacio

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen d

coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenado

dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes , en el primer octante las tres coordenadas son positiva

2.- Operaciones con vectores

Vector en el espacio

Un vector en el espacioes cualquier segmento orientadoque tiene su origenen un punto y su extremo

el otro.

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes d

vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
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Ejemplo:

Determinar la componentes de los vectoresque se pueden trazar en el tringulo de vrtices A(3, 4, 0), B(

6, 3) y C(1, 2, 1).

Mdulo de un vector

El mdulo de un vectores la longitud del segmentoorientado que lo define.

El mdulo de un vectores un nmero siempre positivoy solamente el vector nulo tiene mdulo cero.

Clculo del mdulo conociendo sus componentes

Ejemplo:

Dados los vectores y , hallar los mdulos de y


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Clculo del mdulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al mdulo del vectorque tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(1, 2, 0).

Vector unitario

Un vector unitario tiene de mdulo la unidad.

La normalizacin de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la mism

direccin y sentidoque el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su mdulo.

Suma de vec tores

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos

1.Dados = (2, 1, 3), = (1, 1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = 2u + 3v w.

= (4, 2, 6) + (3, 3, 0) (1, 2, 3) =(6, 3, 3)


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2. Dados los vectores y , hallar el mdulo del vector .

Propiedades de la suma de vectores

1.Asociativa

+ ( + ) = ( + ) +

2.Conmutativa

+ = +

3.Elemento neutro

+ =

4.Elemento opuesto

+ ( ) =

Producto de un nmero real por un vector

El producto de un nmero real k por un vector es otrovector:

De igual direccin que el vector .

Del mismo sentidoque el vector si k es positivo.

De sentido contrario del vector si k es negativo.

De mdulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.


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Propiedades del producto de un nmero por un vector

1.Asociativa

k (k' ) = (k k')

2.Distributiva respecto a la suma de vectores

k ( + ) = k + k

3.Distributiva respecto a los escalares

(k + k') = k + k'

4.Elemento neutro

1 =

Ejemplo:

Dado = (6, 2, 0) determinar de modo que sea 3 = .

3.- Dependencia e independencia lineal. Base

Combinac in l inea l

Una combinacin lineal de dos o ms vectores es el vector que se obtien

al sumar esos vectoresmultiplicados por sendosescalares.

Cualquier vectorse puede poner como combinacin linealde otros que tengan distinta direccin.

Esta combinacin lineales nica.
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Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinaci

linealde ellos que es igual al vector cero, sin que sean cerotodos los coeficientesde la combinacin linea

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expres

como combinacin linealde los dems.

Tambin se cumple el reciproco: si un vector es combinacin lineal de otros, entonces tod

los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientessi, y slo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si s

componentes son proporcionales.


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Ejemplo:

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores

, y . escribir como combinacin lineal de y , siendo k el va

calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinantede la matriz que forman es nulo, es decir qu

el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinac

lineal de los restantes.

a1= a2= = an= 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta direccin y sus componentes n

son proporcionales .


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Ejemplo:

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

= (2, 3, 1), = (1, 0, 1), = (0, 3, 1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, 1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3Sistema compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Base

Tres vectores , y con distinta direccin forman una base, porque cualquier vectordel espacio sepuede poner comocombinacin lineal de ellos.

Las coordenadas del vectorrespecto a la baseson:

Base ortogonal

Una basees ortogonalsi los vectores de la base son perpendiculares entre s.

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre s, y adems tienen mdu

1.

Esta base formada por los vectores , y se denomina base cannica.
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Ejemplo:

Para qu valores de alos vectores , y forman unabase?

Para a 1, losvectoresforman una base.

4.- Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un nmero real que resulta al multiplicar el producto de su

mdulos por el coseno del ngulo que forman.

Expresin analtica del producto escalar

Ejemplo:

Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (

4, 1).

(1, 1/2, 3) (4, 4, 1) = 1 4 + (1/2) (4) + 3 1 = 4 2 + 3 = 5

Expresin analtica del mdulo de un vector

Ejemplo:

Hallar el valor delmdulo de un vectorde coordenadas = (3, 2, 5) en una base ortonormal.
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Expresin analtica del ngulo de dos vectores

Ejemplo:

Determinar el ngulo que forman los vectores = (1, 2, 3) y = (2, 4, 1).

Vectores ortogonales

Dos vectoresson ortogonalessi su producto escalar es 0.

Ejemplo:

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, 1).

Propiedades del producto escalar

1 Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva


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4 El producto escalar de un vector no nulo por s mismo siempre es positivo

Interpretacin geomtrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al mdulo de uno de ellos por la proyeccin del otr

sobre l.

OA' es la proyeccin del vector sobre v, que lo denotamos como: .

Ejercicio:

Dados los vectores y hallar:

1 Los mdulos de y

2 El producto escalar de y


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3 El ngulo que forman.

4 La proyeccin del vector sobre .

5 La proyeccin del vector sobre .

6 El valor de m para que los vectores y sean ortogonales.

Cosenos directores

En una base ortonormal, se llaman cosenos directoresdel vector = (x, y, z), a los cosenos de los ngul

que forma el vector con los vectores de la base.


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5.- Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyadireccin es perpendicular a los dos vectores

su sentido sera igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su mdulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante undeterminante :

Ejemplos:

Calcular el producto vectorial de los vectores = (1, 2, 3) y = (1, 1, 2).

Dados los vectores y , hallar el producto vectorial de dichos vector

Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y .
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El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y .

rea del paralelogramo

Geomtricamente, el mdulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el rea d

paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo:

Dados los vectores y , hallar el rea del paralelogramo que tiene por lados

vectores y

rea de un tringulo

La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos tringulos iguales, por tanto el rea del tringulo ser

mitad del rea del paralelogramo.


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Ejemplo

Determinar el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y C(3, 3, 1).

Propiedades del producto vectorial

1.Anticonmutativa

x = x

2.Homognea

( x ) = ( ) x = x ( )

3.Distributiva

x ( + ) = x + x

4.El producto vectorialde dos vectores paralelosen igual al vector nulo.

x =

5.El producto vectorial x es perpendicular a y a .


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6.- Producto mixto

El producto mixto de los vectores , y es igual al producto escalar del primer vector por

producto vectorial de los otros dos.

El producto mixto se representa por [ , , ].

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dicho

vectores respecto a una base ortonormal.

Ejemplos:

Calcular el producto mixtode los vectores:

Volumen del paraleleppedo

El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son tr

vectores que concurren en un mismo vrtice.

Ejemplo

Hallar el volumen del paraleleppedo formado por los vectores:
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Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Ejemplo

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vrtices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7

Propiedades del producto mixto

1. El producto mixto no vara si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si stos

trasponen.

2. Si tres vectoresson linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0.

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Puntos, rectas y planos

1 Teora

1. Ecuaciones recta

2. Ecuaciones del plano

3. Puntos en el espacio

2 Ejercicios de la ecuacin de la recta y del plano

2.1 Ejercicios de puntos

2.2 Problemas de rectas

2.3 Problemas del plano
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1. Ecuaciones rect a

Ecuacin vectorial de la recta

Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y su vector director, el vector tiene igual direccin que , lueg

es igual a multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramtricas de l a recta

Operando en la ecuacin vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando en lasecuaciones paramtricas se tiene:
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Ecuaciones implcitas de la recta

Una rectapuede venir determinada por la interseccin de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembr

obtenemos tambin las ecuaciones implcitas.

Ejemplos

1 Hallar las ecuaciones paramtricas, en forma continua e implcitasde la recta que pasa por el punto A

(1, 2, 1) y cuyo vector director es .

2 Hallar las ecuaciones paramtricas, en forma continua e implcita de la recta que pasa por los puntos A(

0, 1) y B(0, 1, 1).


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3 Sea r la recta de ecuacin:

Pertenecen a r los puntos A(0, 2, 2)y B(3, 2, 6)?

4 Dada la recta r:

Hallar las ecuaciones en forma continua y paramtrica.


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2. Ecuaciones del plano

Ecuacin vectorial

Un plano queda determinado por un punto Py un par de vectorescon distinta direccin.

Para que el punto P pertenezca al plano el vector tiene que ser coplanario con y .

Ecuaciones paramtricas del plano

Operando en la ecuacin vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:
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Ecuacin general o implcita del plano

Un punto est en el plano si tiene solucin el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incgnitas y Por tanto el de terminante de

matriz ampliada del sistema con la columna de los trminos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuacin general de plano:


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Vector normal

El vector es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, el vector es perpendicular al vector

, y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo tambin podemos determinar la ecuacin general del plano, a partir de un puntoy un vect

normal.

Ecuacin cannica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuacin cannicaviene dada por:


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Ejercicios

1 Hallar las ecuaciones paramtricas e implcitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene com

vectores directores a y .

2 Hallar las ecuaciones paramtricase implcitasdel plano que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y B(3, 1,

y contiene al vector .

3Hallar las ecuaciones paramtricase implcitasdel plano que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(0, 1,

y C(4, 3, 2).


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4 Sea el plano deecuaciones paramtricas:

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, 1) pertenecen al plano.

5 Hallar la ecuacin segmentariadel plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

Dividiendo por 2 obtenemos laecuacin segmentaria:

6 Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano x y z + 2 =

Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano, , ser el vector direct

de la recta que pasa por el punto (1, 0, 0).


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7 Hallar la ecuacin del planoque pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuacin:

De la ecuacin de la recta obtenemos el punto B y el vector .

3. Puntos en el espacio

Coordenadas del punto medio de un segmento

Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) los extremos de un segmento, el punto mediodel segmento viene dado po

Ejemplo

Dados los puntos A(3, 2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determin

Coordenadas del baricentro de un tringulo

Sean A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2) y C (x3, y3, z3) los vrtices de un tringulo, las coordenadas d

baricentro son:
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Ejemplo

Sean A = (1, 1, 3), B = (3, 2, -2) y C = (1, 4, 1) los vrtices deun tringulo. Determinar las coordenadas d

baricentro.

Puntos alineados

Tres o ms puntos esn alineados si estn en una misma recta, y por tanto el rango de l

vectoresdeterminados por ellos es 1.

Ejemplo

Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) estnalineados.

Los puntos no estn alineados.

Puntos coplanarios

Dos o ms vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tan

sus componentes son proporcionales y surango es2.

Dos o ms puntos son coplanarios, si los vectoresdeterminados por ellos tambin son coplanarios.
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Ejemplo

Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(1, 2, 3) y E(2, 2, 2) soncoplanarios.

Los puntosA, B, C, D y E son coplanarios si:

Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.


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Posiciones relativas

1 Teora

1. Posiciones relativas de dos rectas

2. Posiciones relativas de un plano y una recta

3. Posiciones relativas de dos planos

4. Posiciones relativas de tres planos

5. Haz de planos

2 Ejercicios de posiciones relativas

2.1 Problemas de posiciones relativas I

2.2 Problemas de posiciones relativas II
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1. Posiciones relativas de dos rectas

Rectas de f in idas por sus ecuac iones impl i c i tas

Si:

r= rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos rectasvienen dada por la siguiente tabla:

Posicin r r'

Cruzadas 3 4

Secantes 3 3

Paralelos 2 3

Coincidentes 2 2

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por y y la recta

por y , la posicin relativa de r y s viene dada por la posici

de .

Si hay dos posibilidades:
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1. Rectas coincidentes si .

2. Rectas paralelassi .

Si hay otras dos posibilidades:

3. Rectas secantessi .


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4. Rectas que se cruzan si .

Ejemplos

Hallar la posicin relativa de las rectas r y s.

1

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implcitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Comparamos los rangos
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Las dos rectas se cruzan.

2

Las dos rectas son secantes.

2. Posiciones relativas de un plano y una recta

Caso 1: La re c ta v iene de f in ida por dos p lanos secantes

Sea la recta:

Y el plano .

Para estudiar la posicin relativa de la recta y el planodiscutimos el sistema:

Si:



Las posicones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:
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Posicin r r'

Recta contenida en el plano 2 2

Recta y plano paralelos 2 3

Recta y plano secantes 3 3

Caso 2: La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto A y el vector . y un plano cuyo rector normal es . Las posicion

relativas de la recta y el plano son:

Posicin A

Recta contenida en el plano = 0

Recta y plano paralelos = 0

Recta y plano secantes 0

Recta contenida en el plano

Recta y plano paralelos


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Recta y plano secantes

Ejemplos

Hallar la posicin relativa de la recta y el plano :

1.

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implcitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Comparamos los rangos
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.html


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La recta y el plano se cortan en un punto .

2.

La recta est contenida en el plano .

3. Posiciones re lativas de dos planos

Dados los planos:

Y sean:



Lasposicones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

Posicin r r'

Secantes 2 2
http://www.vitutor.com/analitica/recta/posicones_planos.htmlhttp://www.vitutor.com/analitica/recta/posicones_planos.html


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Paralelos 1 2

Coincidentes 1 1

Ejemplos

1 Estudiar la posicin de los siguientes planos:

Como l sistema es compatible indeterminado, los dos planos son secantes , es decir, se cortan en la recta


40/91


Los dos planos son paralelos.


Los dos planos son coincidentes .

4. Posiciones rel ativas de tres planos

Dados los planos:

Y sean:



Lasposicones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

r r' Posicin
http://www.vitutor.com/analitica/recta/posicones_planos2.htmlhttp://www.vitutor.com/analitica/recta/posicones_planos2.html


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3 3 1. Planos secantes en un punto

2 3

2.1 Planos secantes dos a dos.

2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.

2 2

3.1 Planos secantes y distintos.

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.

1 2

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.

1 1 5. Planos coincidentes.

Caso 1: Planos secantes en un punto

r=3, r'=3


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Caso 2 1: Planos secantes dos a dos

r = 2, r' = 3

Los tres planos forman una superficie prismtica.

Caso 2 2: Dos planos paralelos y el tercero secante

r = 2, r' = 3

Dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.

Caso 3 1: Planos secantes y distintos

r = 2, r' = 2


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Caso 3 2: Dos planos coincidentes y uno secante

r = 2, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

Caso 4 1: Planos paralelos y distintos dos a dos

r = 1, r' = 2

Caso 4 2: Planos paralelos y dos coincidentes

r = 1, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.


44/91

Caso 5: Planos coincidentes

r = 1, r' = 1

Ejemplos

Hallar la posicin relativa de los planos:

1

Los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismtica.

2


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Los tres planos se cortan en un punto.

3

Elsegundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos , por tanto los tres plan

se cortan en una recta.

4


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El primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos.

5. Haz de planos

Dos planos son paralelos si los coeficientes x, y, z de sus ecuaciones son proporcionales; pero no lo son su

trminos independientes.

Todos los planos paralelos a uno dado admiten una ecuacin de la forma:

Ejemplo

Hallar el plano que pasa por el punto (3, 1, 2) y es paralelo a .
http://www.vitutor.com/analitica/recta/haces_planos.htmlhttp://www.vitutor.com/analitica/recta/haces_planos.htmlhttp://www.vitutor.com/analitica/recta/haces_planos.html


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Haz de planos de eje r

Si r viene definida por sus ecuaciones implcitas:

la ecuacin del haz de planos de eje rviene dada por la igualdad:

Si dividimos por y hacemos , la ecuacin del haz resulta:

Ejemplo

Hallar en la ecuacin del plano que pasa por el punto (3, 2, 3) y pertenece alhaz de planosde eje en la rec


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Problemas mtricos

1Teora

1ngulo entre rectas y planos

2Distancia entre rectas y planos

3reas y volmenes

Otros bloques del tema:

2 Ejercicios:

2.1Problemas mtricos
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1.- ngulo entre re ctas y planos

ngulo entre dos rectas

El ngulo que forman dos rectas es igual al ngulo agudo determinado por los vectores directores de l

rectas.

Dos rectasson perpendiculares si vectores directores sonortogonales.

Ejemplos:

Hallar el ngulo que forman las rectas:

1

2
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3

ngulo entre dos planos

El ngulo formado por dos planos es igual al ngulo agudo determinado por los vectores normales de dicho

planos.

Dos planosson perpendiculares si vectores normales son ortogonales.

Ejemplo:

Hallar el ngulo que forman los planos:


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ngulo entre recta y plano

El ngulo que forman una recta, r, y un plano, , es el ngulo formado por r con su proyeccin ortogon

sobre , r'.

El ngulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ngulo agudo que form

el vector director de la recta y elvector normal del plano.

Si la recta r y el plano son perpendiculares, el vector director de la rectay el vector normal del plano tiene

la misma direccin y, por tanto, sus componentes son proporcionales.

Ejemplos:

1 Determinar el ngulo que forman la recta y el plano .


52/91

2 Hallar el ngulo que forman la recta y el plano .

3 Obtener el ngulo formado por el planoy la rectasiguientes:


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2.- Distancia entre re ctas y planos

D

istancia entre un punto y una recta

La distancia de un punto, P, a una recta, r, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos punt

de la recta.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

Ejemplos:

1 Hallar la distanciadesde el punto P(1, 3, 2) a larecta .
http://www.vitutor.com/analitica/distancias/distancias.htmlhttp://www.vitutor.com/analitica/distancias/distancias.html


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2 Hallar la distanciadesde el punto P(1, 2, 3) a la recta .

Distancia entre rectas paralelas

La distancia de una recta, r, a otra paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.

Distancia entre rectas que se cruzan

La distancia entre dos sectas que se cruzanse mide sobre la perpendicular comn.

Sean y las determinaciones lineales de las rectas r y s.


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Los vectores determinan paraleleppedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas .

El volumen de un paraleleppedo es .

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el rea de l

base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre lo

dos puntos es igual a:

Ejemplo:

Hallar la mnima distancia entre las rectas:

Distancia de un punto a un plano

La distanciade un punto, P, a un plano, , es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos punt

del plano.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.


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Ejemplo:

1 Hallar la distancia del punto P(3, 1, 2) a los planos y .

2 Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al plano

.

Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos , se halla la distancia de un punto cualquiera de uno d

ellos al otro.

Tambin se puede calcular de esta otra forma:


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Ejemplo:

Calcular la distancia entre los planos y .


Transformamos la ecuacin del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

3.- re as y volmenes

rea de un tringulo

Ejemplo:

Determinar el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y C(3, 3,1).
http://www.vitutor.com/analitica/distancias/areas_volumenes.htmlhttp://www.vitutor.com/analitica/distancias/areas_volumenes.html


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rea del paralelogramo

Geomtricamente, el mdulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el rea d

paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo:

Dados los vectores y , hallar el rea del paralelogramo que tiene por lados l

vectores y


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Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Ejemplo:

Obtener el volumen del tetraedrocuyos vrtices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7

Volumen del paraleleppedo

Geomtricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paraleleppedo cuy

aristas son tres vectores que concurren en un mismo vrtice.

Ejemplo:

Hallar el volumen del paraleleppedo formado por los vectores:


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Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos , se halla la distancia de un punto cualquiera de uno d

ellos al otro.

Tambin se puede calcular de esta otra forma:

Ejemplo:

Calcular la distancia entre los planos y .


Transformamos la ecuacin del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.


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TEMA 7. PROBLEMAS MTRICOS.

Direcciones de rectas y planos. Medidas de ngulos entre rectas y planos. Distancia entre puntos, recy planos. Medidas de reas y volmenes. Lugares geomtricos en el espacio.

7.1. DIRECCIONES DE RECTAS Y PLANOS.Los problemas afines tratan de incidencias (comprobar si unpunto est contenido en una recta o en un plano y comprobar si una recta est contenida en un plano). Laperpendicular es un problema mtrico. En el tema anterior utilizamos el vector normal a un plano, o losproductos escalares y vectoriales para hallar vectores perpendiculares a otros (utilizamos procedimientosmtricos para resolver problemas afines). Repasemos estos procedimientos.

Direccin de una recta dada en paramtricas o continua.

Si la recta viene dada mediante ecuaciones paramtricas el vector director es evidente

(son los coeficientes de t: ).

Si la recta viene dada en forma continua su vector director es evidente (son lo

denominadores de las fracciones: ).

Por ejemplo: en las rectas y el vector director de ambas

rectas es .

Direccin de un plano dado en forma implcita.

La direccin de un plano est determinada por un vector normal (perpendicular) a l. Si el plano viene dado psu ecuacin implcita : ax+by+cz+d=0, el vector cuyas coordenadas son los coeficientes de x, y,

z, , es un vector normal al plano .

Para hallar la ecuacin de un plano del que conocemos un punto P(x0,y0,z0) y un vector

normal , procedemos as: : a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0. Por ejemplo, el plano que pasa por

punto P(5,-2,3) y es perpendicular al vector tiene de ecuacin: : 7(x-5)+1(y-(-2))+(-4)(z-3)=0 7x+y-4z-21=0.


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Plano paralelo a dos rectas.

Si el plano es paralelo a las rectas r y r', cuyos vectores directores son , entonces un vector no

a es .

Por ejemplo: el plano que pasa por P(3,-7,4) y es paralelo a las rectas

y se obtiene siguiendo el procedimientosiguiente: vector normal a es

, por tanto, la ecuacin de es 1(x-3)-11(y+7)-8(z-4)=0 x-18z-48=0.

Recta definida por dos planos.

Si la ecuacin de la recta viene en forma implcita (como interseccin de dos planos):

los vectores normales de los dos planos,

y , son perpendiculares a r, por lo que el vector director de r viene dado como el produc

vectorial de los vectores normales de los planos: .

Por ejemplo: si queremos hallar las ecuaciones paramtricas de la recta , tomamlos vectores normales de los planos y calculamos su producto

vectorial: es paralelo a ambos planos y, por tanto, paralelo a la


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recta. El punto P(2,0,3) est en los dos planos y, por tanto, tambin est en la recta. Las ecuaciones

paramtricas de la recta son: .

Ejercicios propuestos:

1. Halla las ecuaciones paramtricas de la recta que:a. Pasa por el punto P(1,0,7) y es perpendicular al plano : 5x-3z+4=0.

b. Pasa por el punto P(0,-1,-3) y es paralela a .

2. Halla la ecuacin implcita del plano que:

a. Pasa por el punto P(1,-3,5) y es perpendicular a la recta .b. Es paralelo a 5x-y+4=0 y pasa por el punto P(1,0,-3).

c. Pasa por P(5,-7,-2) y es perpendicular a .

d. Contiene a y es paralelo a

7.2. MEDIDAS DE NGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS.Para el estudio de ngulos entre rectas, entreplanos y entre rectas y planos, necesitamos disponer para cada figura de un vector que caracterice su direccEn la recta ese papel lo cumple su vector director; en el plano, su vector normal.

Para la medida de ngulos utilizaremos la frmula: que nos da el coseno del menor ngulo q

forman los vectores .

ngulo entre dos rectas.

El ngulo entre las rectas r y r', cuyos vectores directores son , respectivamente, viene dado

por .


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ngulo entre dos planos.

El ngulo que forman dos planos y ' cuyos vectores normales son, respectivamente, , es igual

ngulo que forman los vectores normales a ellos: .

ngulo entre una recta y un plano.

El ngulo entre una recta y un plano es igual al complementario del ngulo que forma el vector director de

recta, , con el vector normal al plano, : .

Ejercicios resueltos:

1. Calcula el ngulo que forman las rectas siguientes: y

. El vector director de r tenemos que calcularlo como el producto vectorilos vectores normales de los planos que determinan la

recta: . El vector director de r' es. Por

tanto,con ayuda de la calculadora determinamos el ngulo = 4159'35''.

2. Halla el ngulo formado por los planos : x-2y+4z=0y ': 2x-y+3=0. Los vectores normales

son y , por tanto, el ngulo se calcula as:

con ayuda de la calculadodeterminamos el ngulo = 671'23''.

3. Calcula el ngulo que forma la recta con el plano : 2x-5y+7z=11. El

vector director de r es y el vector normal del plano es , aplicamos


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frmula: y obtenemos

con ayudde la calculadora determinamos el ngulo 90-= 55, luego = 90 - 55 = 35.


1. Halla el ngulo que forman las rectas y2. Calcula el ngulo que forman los planos: : x-2y+4z=0y ': x+3y-z+1=0.

3. Halla el ngulo que forman la recta y el plano : x+3y-z+1=0.4. Determina la ecuacin de la recta r que pasa por el punto P(3,0,-1) y es perpendicular al plano : 2x-3

z=-1.

7.3. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS.

Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos A(x1,x2,x3) y B(y1,y2,y3) es el mdulo del vector de

origen A y cuyo extremo es B. Es decir,

Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(5,-1,7) y B(4,5,-11) es:

Distancia entre un punto y una recta. Se llama distancia de un punto P a una recta r a la longitud del segmperpendicular del punto P a la recta, es decir, ladistancia de P a su proyeccin, P', sobre la recta r. Es decir, l

siendo P' la proyeccin de P sobre r.

Veremos dos mtodos para hallar la distancia de P a r:

PRIMER MTODO.o Hallamos el plano, , perpendicular a r que pasa por P.o La interseccin de y r nos da el punto P'.o Ahora calculamos la distancia entre P y P'.

SEGUNDO MTODO (basado en el producto vectorial). Nos permite calcular directamente la distancientre P y r sin calcular previamente el punto P'.

o De la recta r conocemos un punto A y su vector director .


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o Con el punto A, el segmento y el punto P formamos un paralelogramo cuya rea es el m

del producto vectorial de los vectores y , . Si el rea del paralelogramo lo

dividimos por su base, , obtenemos su altura: , donde A es un

punto de r y es su vector director.

Si adems de la distancia entre P y r, queremos calcular la recta perpendicular a r que pasa por P, este mtono es recomendable, pues con l no se obtiene la recta que nos piden, que debemos calcular por el primermtodo, calculando P' y despus la recta que pasa por P y P'.

Ejercicio resuelto: Calcula la distancia del punto P(5,-1,6) a la recta

a) PRIMER MTODO (calculando previamente el punto P').

Hallamos el plano, , perpendicular a r que pasa por P. El vector director de r esperpendicular a , luego -2(x-5)-1(y+1)+1(z-6)=0, operando: -2x-y+z+3=0.

La interseccin de y r nos da el punto P'. Sustituimos las coordenadas de un punto genrico de r eplano: -2(1-2t)-(-t)+(5+t)+3=0 -2+4t+t+5+t+3=0 6t+6=0 t=-1, sustituimos en r: x=1-2(-1)=3; y=-1)=1; z= 5+(-1)=4, luego el punto P' tiene de coordenadas (3,1,4)

Ahora calculamos la distancia entre P y

P'.

b) SEGUNDO MTODO (a partir del producto vectorial). El punto A(1,0,5) de la recta, el punto P(5,-1,6) dado

luego el vector y .

Calculamos

Distancia de un punto a un plano. La distancia de un punto P a un plano es la distancia entre P y P', sienP' la proyeccin de P sobre el plano . La obtencin del punto P' se puede realizar de forma similar al casoanterior:

Hallamos la recta, r, que pasa por P y es perpendicular a . P' es el punto de interseccin de y r.

Otro mtodo: Dado el plano :ax+by+cz+d=0y el punto P(x0,y0,z0) tomamos un punto Q(x1,y1,z1) del plano

Calculamos el mdulo de mediante la siguiente igualdad:


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=proyeccin de sobre = =

= =

pues el punto Q(x1,y1,z1) est en el py, por tanto, cumple su ecuacin. Luego la distancia de un punto P a un plano puede calcularse aplicando siguiente frmula:

, siendo P(x0,y0,z0) y :ax+by+cz+d=0.

Ejercicio resuelto:

Calcula la distancia del punto P(3,1,7) y el plano :x-3y+5z=1.

Aplicamos la frmula anterior: Aplicamos el procedimiento largo:

o

recta r perpendicular a :x-3y+5z=1y que pasa por P: r(3+t,1-3t,7+5t)o P' es el punto de interseccin de la recta r y el plano . Para calcularlo, sustituimos lascoordenadas del punto genrico de la recta r en el plano : (3+t)-3(1-3t)+5(7+5t)=13+t-3+9t+35+25t=135t=-34, el punto P' lo obtenemos al sustituir t en r: P'(3-34/35, 1+102/35, 7-170/35)

o obtenemos =

Distancia entre dos rectas.

Si las dos rectas, r y r', coinciden o se cortan en un puntola distancia entre las dos rectas es 0. Si las rectas, r y r', son paralelas, tomamos un punto P de la recta r y calculamos la distancia del pu

P a la otra recta r'. Si las dos rectas, r y r', se cruzan,

o PRIMER MTODO: hallamos el plano paralelo a r' que contiene a r y aplicamos la frmula:dist(r,r') = dist(r',) = dist(Q,), donde es un plano paralelo a r' que contiene a r y Q es un pude r'.

o SEGUNDO MTODO: tomamos un punto P genrico de r y un punto Q genrico de r'; buscam

el vector ; calculamos P y Q con la condicin de que el vector sea perpendicular al


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vector director de r y al vector director de r'; por ltimo, calculamos la distancia entre PQ. Este mtodo es til cuando, adems de la distancia entre las dos rectas, nos piden la ecuacde la recta perpendicular a dos rectas r y r' que se cruzan.

o TERCER MTODO: dist(r,r') = dist(Q,) = altura del paraleleppedo definido por los vectoresdirectores de las rectas r y s y el vector de origen P (un punto cualquiera de r) y cuyo extremo (un punto cualquiera de r') = volumen del paraleleppedo dividido entre el rea de la

base: , donde son los vectores directores de las rectas r y s, P e

punto de la recta r y Q es un punto de la recta r'.


Calcula la distancia entre los dos pares de rectas siguientes:

a) y .

PRIMER MTODO: Calculamos el plano , que contiene a r y es paralelo a r' el vector es

perpendicular al plano , , tomamos un punto P(5,-1,8) de la rec(contenida en ) y, por tanto, de . La ecuacin del plano es 2(x-5)+2(y+1)-1(z-8)=0 :2x+2y-z=0, ahorpodemos calcular la distancia entre las dos rectas: dist(r,r') =

dist(r',)= dist[(4,3,5),]=

SEGUNDO MTODO: a) Punto genrico de r: P(5+t,-1,8+2t) y punto genrico de r': Q(4+3s,3-s,5+4s); b)

calculamos el vector =(-1+3s-t,4-s,-3+4s-2t); c)obligamos a que el vector sea perpendicular

a vector director de r: 1(-1+3s-t)+0(4-s)+2(-3+4s-2t)=0 -7-5t+11s=0; y

perpendicular a vector director de r': 3(-1+3s-t)-1(4-s)+4(-3+4s-2t)=0

19-11t+26s=0; d) Resolvemos el sistema: cuya solucin es t=3, s=2; e) sustituimos t=r y obtenemos P(8,-1,14); sustituimos ahora s=2 en r' y obtenemos Q(10,1,13); f)

TERCER MTODO: tomamos P(5,-1,8) un punto de r, y Q(4,3,5) un punto de la recta r'

hallamos el vector


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,

y , luego la dist(r,r')= 9/3 = 3.

Distancia de una recta a un plano.

Si la recta y el plano se cortan, la distancia de la recta al plano es 0. Si la recta no corta al plano, es porque la recta es paralela al plano o porque la recta est en el planen estos dos casos la distancia buscada es la distancia de cualquiera de los puntos de r al plano.

Ejercicio resuelto:

Calcula la distancia de la recta y el plano : x-3y-z=-6. El vector director de

recta r es y el vector normal al plano es , comprobamos el producto

escalar de ambos vectores: , luego ambos vectores soperpendiculares. Por tanto, la recta r es paralela al plano.

Hallamos la distancia de un punto cualquiera de la recta r al plano; P(3,1,-2):

Distancia entre dos planos.

Si los dos planos se cortan, la distancia entre ellos es 0. Si no se cortan es porque son paralelos y, por tanto, la distancia entre los dos planos es la distancia e

un punto de uno de los planos al otro plano.

Ejercicio resuelto:

Calcula la distancia del plano : x-5y+2z=19al plano ': 2x-10y+4z=0. Los dos planos son paralelos pues su

vectores normales y son proporcionales. Por tanto, la distancia entre lodos planos es la distancia de un punto de uno de ellos al otro plano: el punto P(2,-1,6) es un punto de , portanto:

.

Ejercicios propuestos.

1) Halla la distancia del punto P(5,6,6) a la recta r:(5t,2-t,t), usando los dos mtodos aprendidos.

2) Calcula la distancia del punto P(3,1,7) al plano : x-3y+5z=1.

3) Calcula la distancia entre los pares de rectas siguientes, mediante cada uno de los mtodos que has

aprendido:


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a) y ; b) y

4) Calcula la distancia entre la recta r:(1-3t,2+t,1-t)y el plano : x+3y=0.

5) Calcula la distancia entre los planos : y-5z+4=0y ': 2y-10z=0.

7.4. MEDIDAS DE REAS Y VOLMENES.Recordemos que el rea del paralelogramo determinado por do

vectores, , es el mdulo de su producto vectorial: rea del paralelogramo = .

El rea de un tringulo del que conocemos tres vrtices, A, B y C, es la mitad del rea del paralelogramo

formado por los vectores , es decir:

rea del tringulo ABC =

Ejercicio resuelto:

Halla el rea del tringulo de vrtices A(-5,2,1), B(1,7,5) y C(-1,0,4). Para ello escribimos las coordenadas de

vectores y ,calculamos el producto

vectorial:

rea del tringulo ABC = =

Ejercicio propuesto:

Calcula el rea del tringulo que tiene sus vrtices en estos puntos: A(1,3,5), B(2,5,8) y C(5,1,-11).

Relacin entre el volumen de un tetraedro de un paraleleppedo. Recordemos que el volumen del

paraleleppedo formado por tres vectores, , es el valor absoluto del producto mixto de esos trvectores:

Volumen del paraleleppedo =


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El volumen del tetraedro formado por los tres vectores = , pues el paraleleppedo contiene tetraedros iguales.

Volumen de un tetraedro de un tetraedro del que se conocen cuatro vrtices. El volumen de un tetraedrvrtices A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3) y D(x4,y4,z4), se calcula como el volumen del tetraedro formado por

vectores

Vol ABCD= = =

= = nos hemos basado en las propiedadeslos determinantes. La ltima expresin, muy fcil de recordar, nos permite calcular el volumen de un tetraedrofuncin de las coordenadas de sus cuatro vrtices.

Ejercicio resuelto:

Calcular el volumen del tetraedro cuyos vrtices son A(3,5,7), B(1,0,-1), C(7,-1,4) y D(11,4,-6). Para ello,

calculamos las coordenadas de los vectores =(-2,-5,-8),

= (4,-6,-3), =(8,-1,-13).

El volumen del tetraedro = = 642/6 = =107 u.

Ejercicio propuesto:

Calcula el volumen del tetraedro cuyos vrtices son A(2,1,4), B(1,0,2), C(4,3,2) y D(1,5,6).

7.5. LUGARES GEOMTRICOS EN EL ESPACIO.

Plano mediador. Se llama plano mediador de un segmento al plano perpendicular al segmento en su puntomedio. Tambin se define como el lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremosegmento: dist(X,A) = dist.(X,B), siendo X(x,y,z) un punto cualquiera del espacio, A y B los puntos del segme

Plano bisector. Se llama plano bisector al plano que divide a un ngulo diedro (ngulo formado por dos planen dos ngulos diedros iguales. Tambin se define como el lugar geomtrico de los puntos del espacio queequidistan de los semiplanos que forman el ngulo diedro: dist(X,) = dist(X,').



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1) Calcula el lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos A(1,-3,4) y B(5,1,-2).Aplicamos la frmula de la distancia entre dos puntos, s iendo X(x,y,z), dist(X,A) = dist(X,b), obtenemos:

, igualamos ambos resultados:

, elevamos al cuadra

para eliminar las races cuadradas:

, desarrollamos cada miembro,desarrollando los parntesis:

despejando, obtenemos:

o bien, simplificando por 4, . Podemos comprobar fcilm

que este plano, cuyo vector normal es =(2,2,-3) es proporcional al vector =(5-1,1-(-3),-2-4)=(4,4,-6), ptanto el plano obtenido es perpendicular al segmento AB. El plano contiene al punto medio del segmento AB,M(3,-1,1), pues 23+2(-1)-31-1=6-2-3-1=0. Es, por tanto, el plano mediador del segmento AB.

2) Halla el lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan del los planos

: x+y-1=0 y ': y-z-1=0. Llamamos X(x,y,z) a un punto cualquiera del espacio, planteamos

que . Resolvemos:

primer miembro: ;

segundo miembro

igualamos los resultados obtenidos: , al suprimir los valores absolutos, aparece doble signo +,-:

x+y-1=y-z-1 x+z=0 plano

x+y-1=-(y-z-1) x+2y-z-2=0 plano '

El lugar geomtrico que nos piden est formado por dos planos (perpendiculares entre s, pues el productoescalar de los vectores normales es 0), que se cortan en una recta r que es la misma que la determinada porplanos y '.


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1) Calcula el lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos A(4,-1,7) y B(-2,5,1).

2) Halla el lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan del los planos: a) : x+y+z-2=0 y ': x-y2=0; b) : x-3y+2z-8=0 y ': x-3y+2z=0;

Esfera. La superficie esfrica es el lugar geomtrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro,Q(x0,y0,z0), es constante (r=radio). La similitud con la circunferencia es muy grande. La ecuacin de la superfesfrica es la siguiente:

(x-x0)+ (y-y0)+ (z-x0 )=r, desarrollamos y obtenemos: x+y+z+Ax+By+Cz+D=0

Recprocamente, si tenemos una ecuacin del tipo x+y+z+Ax+By+Cz+D=0, se corresponde a una superficesfrica de centro (-A/2,-B/2,-C/2) y cuyo radio es

, siempre que el radicando sea positivo.


1) Averigua si la ecuacin x+y+z-4x+6z-12=0 corresponde a una esfera y, en caso afirmativo, dar su centrosu radio.

Para comprobar que la ecuacin dada corresponde a una esfera debemos probar que el radicando de laexpresin siguiente es positivo, en cuyo caso, la raz nos dar el radio de la

esfera:

= por tanto la ecuacin dada corresponde a esfera de radio 5. Su centro es Q(2,0,-3)

2) La esfera (x-3)+(y+2)+(z-1)25 = 0 y el plano : 2x-2y+z-2 = 0 se cortan en una circunferencia. Calcularadio r.

La esfera tiene su centro en el punto Q(3,-2,1) y su radio es R=5. La distancia del centro de la esfera al

plano es: , por tanto, el radio de la circunferencia r =


1) Averigua si x+y+z+2x-10y+25=0 corresponde a la ecuacin de una esfera y halla su centro y su radio.

2) Halla el radio de la circunferencia en la que el plano : 4x-3z-33 = 0, corta a la esfera (x-2)+(y+5)+z = 16

3) Halla el lugar geomtrico de los puntos del espacio cuya suma de cuadrados de distancias a O(0,0,0) y aQ(10,0,0) es 68. Comprueba que resulta una esfera de centro (5,0,0) y radio 3.


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Elipsoides, hiperboloides y paraboloides. En el espacio, el lugar geomtrico de los puntos cuya suma dedistancias a dos puntos fijos, F y F', es constante, se llama elipsoide . Un baln de rugby es un ejemplode elipsoide.

En el espacio, el lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F', esconstante, se llama hiperboloide . Un dibolo es un ejemplo de hiperboloide.

El lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo, F, y un plano fijo , sellama paraboloide. Una antena parablica es un ejemplo deparaboloide.


1) Hallar el lugar geomtrico de los puntos del espacio cuya suma de distancias a F(3,0,0) y F'(-3,0,0) es 10.Llamamos X(x,y,z) a un punto cualquiera del espacio, que debe cumplir que dist(X,F) + dist(X,F') = 10, es dec

despejamos una raz:

elevamos al cuadrado:

, desarrollamos:

o bien:

elevamos al cuadrado:

;

256x+400y+400z = 6.400; simplificando por 16, obtenemos

16x+25y+25z = 400 y dividiendo entre 400, obtenemos una ecuacin muy parecida a la de la elipse:

2) Halla el lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan del plano :z+1=0 y el puntoF(0,0,1). Llamamos X(x,y,z) a un punto cualquiera del espacio, que debe cumplir que dist(X,F) = dist(X,), esdecir:

elevando al cuadrado, obtenemos:

x + y + z2z +1 = z + 2z + 1; simplificando nos queda: x + y 2z2z = 0, despejando la

z: ecuacin muy similar a la de una parbola.


1) Halla el lugar geomtrico de los puntos del espacio cuya suma de distancias a los puntos F(0,0,5) y F'(0,0,

es 26.


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2) Halla el lugar geomtrico de los puntos del espacio cuya diferencia de distancias a los puntos F(0,0,5) yF'(0,0,-5) es 6.

3) Halla el lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan del plano :4x+1=0 y el punto F(1/4,0,0

EJERCICIOS PROPUESTOS.

A) APLICACIONES DE LOS VECTORES A PROBLEMAS GEOMTRICOS.

1. Halla la ecuacin del plano que contiene a los puntos A(-4,0-2) y B(0,3,-1) y es perpendicular al planox+3z-5=0.

2. Halla el punto simtrico de P(1,0,1) respecto del plano : x-y+z-1=0.

3. Halla el punto simtrico de P(1,0,1) respecto de la recta .4. Halla los puntos simtricos de P(1,2,3): a) respecto del plano : x-3y-2z+4=0; b)respecto de la

recta .

B) ECUACIONES DE LA RECTA Y POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS.

1. Halla el punto de la recta cuya distancia al punto P(1,0,2) sea .2. Determina la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1,2,2) y es perpendicular a las

rectas y

3. Halla la distancia entre las rectas y .4. Halla la ecuacin de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta perpendicularmente a la

recta

5. Comprueba que las rectas y se cruzan y halla laecuacin de la perpendicular comn a ambas.


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6. Estudia la posicin relativa de las rectas r y s y halla el ngulo que forman:

y

7. Halla el ngulo que forma la recta y el plano:

a. y : x-2y-z+1=0.

b. y : 2x-y+z=0.

c. y : x+z=17.

8. Halla la perpendicular comn a las rectas y

9. a) Halla p para que las rectas y seanperpendiculares. b) Calcula su punto de interseccin y la ecuacin del plano que las contiene.

10.Determina, razonadamente, si las rectas y secortan o se cruzan. Halla tambin el coseno del ngulo que forman sus direcciones.

11.Determina la ecuacin continua de la recta r que es perpendicular y corta a las rectas

y .

12.Estudia la posicin relativa de las rectas y y calcula el nguque forman.


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13.Dadas las rectas y determina la posicinrelativa de ambas rectas y el rea de uno de los cuadrados, dos de cuyos lados estn sobre las r y s.

14.Dadas las rectas y halla los puntos que dan la mnima dista

y determina la ecuacin de la perpendicular comn a r y s.

C) ECUACIONES DEL PLANO Y POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y PLANOS Y RECTAS.

1. Halla la ecuacin del plano cuyo punto ms prximo al origen es P(1,2,3).2. Calcula el ngulo que forman los planos : z=3 y ': x-y+2z+4=0.

3. Halla la ecuacin del plano que contiene a la recta y es ortogonal al plan2x-y+3z+1=0. Obtn tambin las ecuaciones paramtricas de la recta determinada por y '.

4. Dados la recta y el plano : x+3y3z+4=0, halla el plano que contiene a r y perpendicular a .

5. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1,2,1) y corta perpendicularmente a la

recta .6. Los vrtices del tringulo ABC son los puntos de corte del plano :2x+y3z=6 con los ejes coordenad

Halla la ecuacin de la altura que parte del vrtice B que est en el eje OY.

7. Sea , determina el valor de a para que:a. los dos planos que forman la recta r sean paralelos.

b. los dos planos que forman la recta r seanperpendiculares.

c. la recta r corte al plano OXY en un punto cuya distancia al origen de coordenadas sea .

8. Halla la ecuacin del plano que contiene a la recta de ecuaciones paramtricas y eperpendicular al plano : 2x+y3z+4=0. Determina tambin el ngulo formado por la recta y el planodados.

9. Determina las condiciones que deben cunmplir a y b para que estos tres planos: ax+z-1=0; ':

x+bz+2=0; '': x+3y+2z-3=0, se corten en un punto. Haciendo a=2 y b=1, obtn las ecuaciones drecta determinada por los dos primeros, as como el ngulo que sta forma con el tercero.

10.Sean los puntos P(3,1,5) y Q(-1,7,3). Por el punto medio del segmento PQ trazamos unplano perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B a) Escribe la ecuacin de . b) Calcula el rea del tringulo ABC.

11.Determina la ecuacin del plano paralelo al plano ': x-2y+3z+6=0 y que dista 12 unidades del orige


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12.Halla la ecuacin del plano determinado por los puntos A(1,1,1), B(-2,0,-1) y C(1,-2,0) y calcula elvolumen del tetraedro que limita con los planos cartesianos.

13.Sean los puntos P(5,1,3) y Q(3,7,-1). Por el punto medio del segmento PQ trazamos unplano perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B a) Escribe la ecuacin del plano . b) Calcula el volumen del tetraedro de vrtices O, A, B y C.

D) DISTANCIAS.

1. Calcula la distancia del punto dado a la recta, en los siguientes casos:

a. P(0,7,0) y ; c) P(1,2,3) y

b. P(1,0,0) y2. Halla la distancia entre las rectas, estudiando antes su posicin relativa:

a. y ;

b. y

c. y

d. y dividiendo el volumen de un paraleleppedo entre erea de su base.

e. Sea r la recta que pasa por los puntos A(2,4,0) y B(6,2,0) y s la recta que pasa por los puntosC(0,0,7) y D(3,2,0), calcula la distancia entre r y s.

3. Dados la recta y el plano : x+2y+3z-1=0, halla la ecuacin de una recta situen el plano , que pase por el punto P(2,1,-1) y sea perpendicular a r.

4. Halla el punto P de la recta que equidiste de los planos : x+y+z=-3

y .


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5. a) Determina los puntos de la recta que disten 1/3 del plano :2x-y+2z+1=0. b) Obtlos puntos de que distan 1/3 de los puntos hallados en el apartado anterior.

6. Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta y otro lado sobre la

recta . a) Calcula el rea del cuadrado. b) Encuentra cuatro puntos (dosr y otros dos en s)que puedan ser los vrtices de un cuadrado, si uno de ellos es (0,0,0).

7. Calcula la distancia entre las rectas y .

E) MEDIDAS DE REAS Y VOLMENES.

1. Halla el rea de cada uno de los tringulos:a. A(2,7,3), B(1,-5,4) y C(7,0,11).

b. A(3,-7,4), B(-1,2,5) y C(-5,11,6).2. Dados los puntos A(1,5,-2), B(4,0,1) y C(-3,2,0). a) Prueba que son los vrtices de un tringulo. b) Halongitud del segmento que determina el punto B y su proyeccin sobre el segmento AC.

3. Calcula, en cada caso, el volumen del tetraedro con vrtices:a. A(2,1,4), B(1,0,2), C(4,3,2) y D(1,5,6).

b. A(4,1,2), B(2,0,1), C(2,3,4) y D(6,5,1).c. A(2,3,1), B(4,1,-2), C(6,3,7) y D(-5,-4,8). Halla su rea total.

4. Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes coordenados y el plano : 6x-5y+3z-1=0(V=rea de la base x altura / 3, la tres aristas son perpendiculares entre s; utiliza tambin el productomixto para obtener el mismo resultado).

5. Halla la ecuacin del plano perpendicular a la recta y que pasa por el punto1,1,0), y calcula el volumen de la figura limitada por el plano anterior y los tres planos coordenados.

6. Un tetraedro tiene por vrtices A(2,1,0), B(3,4,0) y C(5,1,0). El cuarto vrtice, D, est sobre la

recta . Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6 unidadescbicas.

7. a) Calcula el punto R de la recta que equidiste de los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1,1)Calcula el rea del tringulo determinado por los puntos P, Q y R.

8. Sean la recta y el plano : 2x-3y+z+1=0. Calcula: a) el seno del ngulo que formay ; b) la ecuacin de la proyeccin ortogonal de r sobre .


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9. Calcula el volumen de un cubo que tiene aristas sobre cada una de las rectas

y .10.Se consideran los puntos P(2,1,-1), Q(1,4,1) y R(1,3,1). a) Comprueba que no estn alineados y halla

rea del tringulo que determinan. b) Desde el punto V(1,1,-1) se trazan rectas a cada uno de los vrtP, Q y R, se obtiene una pirmide. Halla la altura de dicha pirmide y su volumen.11.Halla el volumen de un paraleleppedo de bases ABCD y EFGH, conociendo los vrtices A(1,0,0),

B(2,3,0), C(4,0,5) y E(7,6,3). Halla las coordenadas de los restantes vrtices del paraleleppedo.

F) ESFERA.

1. Di cules de las siguientes ecuaciones corresponden a esferas y di su centro y su radio:a. x+y2x+4y8=0; 2x2y +2z+4x16=0;

b. 2x + 2y + 2z + 4x16=0; x + 3y + z2xz4=0;c. 3x + 3y + 3z +6x12z3=0; 3x + 3y + 3z +6x12z30=0.

2. Halla la ecuacin de las siguientes esferas:

a. Centro (1,0,-5) y radio 1.b. Los extremos de un dimetro A(4,-2,3) y B(5,2,0).c. Centro C(4,-2,3) y tangente al plano : x-z=0.d. Centro C(3,-1,2) y tangente al plano YZ.

3. Halla el lugar geomtrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto P(2,-1,4) es igual a 7.

12. a) Halla la ecuacin de esfera que pasa por los puntos A(1,-3,4), B(1,-5,2), C(1,-3,0) y tiene su centroel plano : x+y+z=0. b) Cul es la ecuacin del plano tangente a dicha esfera en el punto A?

13.Halla la posicin relativa de las siguientes esferas: C 1: x+y+z-4x+6y-10z+13=0 y C2: x+y+z+2x-8y12z+44=0

14.Halla el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a A(-2,3,4) sea doble que la distancia a B(3,-1,215.Halla el lugar geomtrico de los puntos que equidistan del punto P(0,0,3) y del plano : z+3=0.

16.Halla el lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos A(2,3,4) y B(2,3,-4) es iga 8.


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Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios

Supongamos que tenemos dos vectores diferentes, A y B, y que estos vectores parten del mismo punto, ya qu

podemos trasladar vectores sin problema alguno, lo hacemos para obtener un paralelogramo, cuyos lados

son A y B y sabemos que es un paralelogramo porque el vector A siempre conserva su direccin, hacemos lo

mismo con B.

Una diagonal, es una linea (o tambin un vector) que va de un punto a otro en una figura, estos puntos tienen

que ser vrtices de la figura y no tienen que ser consecutivos o adyacentes. En un paralelogramo de 4 lados,

tenemos 2 vrtices, trazndolos en el paralelogramo podemos observar que las diagonales son la suma de los

vectores.


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En la imagen anterior se puede observar que estoy desplazando el vector B, para sumarlo con A, despus, el

vector que representa la suma es A+B, a sta diagonal la llamar F.

Para la otra diagonal, necesito sumar a A con -B, a sta la llamar G.

De las ecuacines 1 y 2, despejar al vector B para obtener las ecuaciones 3 y 4 respectivamente, nota que en

tenemos -B, si multiplicamos por -1 toda la ecuacin, podemos reescribirla sin afectarla.

En las ecuaciones 3 y 4 tenemos a B despejado, y como B=B, podemos igualar las ecuaciones 3 y 4, o dicho de

otra manera, sustituimos el valor de cualquier B en la otra ecuacin, que queda expresado en la ecuacin 5.

La ecuacin 5.3 nos dice que A es la suma de las mitades de los vectores F y G, que son precisamente, nuestra

diagonales y ya est, hemos resuelto el problema.


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Si no lo entendiste an, te contino explicando: A la mitad del vector F le llamar Cy a la mitad de G, le llama

Sustituyendo (o cambiando simplemente los nombres), tenemos que A=C+ D.

C es la mitad de F y D es la mitad de G, el punto donde se cruzan las diagonales es el punto donde se cruzan F

ese punto lo podemos notar como el punto donde termina C y empieza D, ese punto M es donde se intersect

las diagonales y el lgebra lo dice, se cortan en us puntos medios o se bisecan.


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Otra forma de entender el problema es pensar en el punto M, M es el punto que existe en F y en G, F corta a

el punto M y viceversa, el punto M se obtiene en la ecuacin 5.3, es donde se tocan o cruzan los vectores y esel punto medio de cada diagonal.

Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios

Supongamos que tenemos dos vectores diferentes, A y B, y que estos vectores parten del mismo punto, ya quepodemos trasladar vectores sin problema alguno, lo hacemos para obtener un paralelogramo, cuyos ladosson A y B y sabemos que es un paralelogramo porque el vector A siempre conserva su direccin, hacemos lo

mismo con B.


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Tringulo

Un tringulo es un polgono d e tres lados .

Un tringuloest determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tre

puntos no alineados l lamadosvrt ices .

Los vrt ices de un tringulo se escriben co

letras maysculas.


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Los lados de un tringulo se escriben en minscula , co

las mismas letras de los vrtices opuestos.

Los ngulos de un tringulo se escriben igual qu

los vrt ices .

Propiedades del tringulo

1Un lado de un tringuloes menor que la suma de los otros dos y mayor que sudiferencia

a < b + c

a > b - c

2La suma de los ngulos interiores de un tringuloes igual a 180.

A + B + C =180

3El valor de un ngulo exterior de un tringuloe

igual a la suma de los dos interiores no adya centes .

= A + B

= 180 - C


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4En un tringulo a mayor lado se opone mayo

ngulo .

5 Si un tringulo tiene dos lados iguale

sus ngulos opuestos tambin son iguales .

Tipos de tringulos segn sus lados

Tringulo equiltero

Tres lados iguales.

Tringulo issceles

Dos lados iguales.


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Tringulo escaleno

Tres lados desiguales.

Tipos de tringulos segn sus ngulos

Tringulo acutngulo

Tres ngulos agudos

Tringulo rectngulo

Un ngulo rec

El lado mayor es la hipotenus

Los lados menores son los catetos.


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Tringulo obtusngulo

Un ngulo obtuso.

Tringulos iguales

1Dos tringulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ngulos adyacentes

2Dos tringulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ngulo comprendido .

3Dos tringulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales .

Permetro del triangulo

El permetro del triangulo es igual a la suma de las longitudes de sus tres lados .

Permetro del triangulo equiltero

Permetro del triangulo issceles


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Permetro del triangulo escaleno

rea de un tringulo

El rea de un tringuloes igual a base por altura partido por 2 .

La altura es la recta perpendicular trazada desde un vrtice al lado opuesto (o s

prolongacin).

rea de un tringulo equiltero


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rea de un tringulo rectngulo

El rea de un tringulo rectngulo es igual al producto de los catetos partido por 2 .

Semipermetro

El semiperme tro de un tringuloes igual a la suma de sus lados partido por 2 .

Se nombra con la letra p .

Frmula de Hern

La frmula de Hern se uti l iza para hallar el rea de un tringulo conociendo sus tres lado

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1.-Vectores en El Espacio