5º Año

ELABORADO POR: LIZ SUÁREZ TOMASGLI AMARO SORANGEL FLORES ERICK CORTEZ YLDEMAR RODRIGUEZ ANDRES DELGADO RICHARD SUÁREZ. 5º AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA GENERAL LICEO BOLIVARIANO “LISANDRO ALVARADO”

Vectores en el Espacio

DATOS DE IDENTIFICACIÓN:

Título de la Unidad: Vectores, Algebra de Vectores.

Nivel Educativo: 5to año

Institución Educativa: Liceo Bolivariano. “Lisandro Alvarado”

OBJETIVO GENERAL:

Estudiar los vectores en el espacio tridimensional como contenido fundamental

para la deducción de vectores algebraicamente y geométricamente con sus respectivas

propiedades

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Ofrecer orientaciones y estrategias pedagógicas y metodológicas que apoyen

el estudio de los Vectores.

2. Desarrollar habilidades cognoscitivas para la deducción y el análisis de

situaciones y problemas.

3. Difundir de manera clara, especifica y completa el estudio de los vectores.

4. Concientizar a los estudiantes la importancia de la aplicabilidad del estudio de

la vectores en la vida cotidiana.

5. Contribuir de forma didáctica en el manejo de métodos y formas de

soluciones para desarrollar el interés al estudio de los vectores.

6. Impulsar la comprensión y entendimientos a estudiantes y/o docentes para

confrontar resoluciones de problemas y demostraciones.

FUNDAMENTACIÓN:

Esta guía didáctica considera aspectos pedagógicos para la enseñanza y el

aprendizaje de los vectores debido al grado de importancia que tiene este contenido y

al grado de abstracción que presenta para los estudiantes de quinto año de

bachillerato. Contiene actividades con ejemplos y ejercicios propuestos para la

ejercitación del estudiante. Es de gran utilidad para la futura enseñanza de los

vectores. A continuación se presentan los contenidos desarrollados en la misma:

Contenidos:

Que es un vector en

elementos de un vector en

Adición de vectores en

propiedades de la adición de vectores en

Sustracción de vectores en

propiedades de la sustracción de vectores en

Multiplicación de un vector por un escalar en

propiedades de la multiplicación de un vector por un escalar en

Aplicabilidad en la vida cotidiana e importancia

Estrategias:

Conocer el uso de los vectores.

Presentación de figuras ilustrativas para atraes y orientar el procesa de la

enseñanza y aprendizaje.

Resolución de problemas como estrategia para el proceso de enseñanza y

aprendizaje.

Demostración como estrategia para el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Pruebas escritas, talleres grupales y discusiones socializadas acerca de cada

definición.

Actividades que son alusivas para el entendimiento y comprensión del

contenido.

Aplicación de actividades participativas de inicio y cierre de cada clase para

un mejor desarrollo de este contenido.

Recursos:

Pizarras acrílicas y/o de tizas.

Borrador.

Marcador.

Guía Didáctica / Libros.

Juego geométrico

Compas

Cuaderno.

Lápiz o portaminas.

Borra.

Sacapuntas.

Introducción.-

El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y

componer magnitudes con dirección y sentido, como son la Fuerza o la Velocidad. Es a

finales del XVIII cuando LaGrange introduce las coordenadas, con lo que se aritmética el

cálculo con magnitudes vectoriales. Gauss los utilizó para representar los números complejos.

En el siglo XIX, Möbius se sirve de los vectores para resolver problemas geométricos,

dándole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en este siglo, la palabra vector es

Hamilton. Finalmente Grassmann amplió la teoría de vectores generalizándola a espacios de

dimensión(n).

Vectores en

Definición de un vector en : Es una terna ordenada de números reales. Denotada de la

siguiente manera = donde cada una de las componentes pertenece a una eje del

plano cartesiano en

Observaciones: Geométricamente a un vector de se lo representa en el Espacio como un

segmento de recta dirigido.

Suponga que se tienen los puntos = y = punto de

partida y punto extremo. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde (partida) hacia

(Extremo) tenemos una representación gráfica del vector

= =

Ejemplos de vectores en

= =

, = =

Elementos de un vector: todo vector está caracterizado por tener modulo, dirección y

sentido

Módulo de un vector en

Es la distancia entre el punto de partida y extremo = y como la

distancia entre dos puntos está definida de la siguiente manera:

=

Dirección de un vector en

La dirección de = está definida por la medida de los ángulos que forma la línea

de acción del segmento de recta con los ejes (x, y, z) respectivamente.

Sentido de un vector en

El sentido de lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta

Igualdades de vectores en

Dos vectores son iguales si poseen la mismo modulo, dirección y sentido o bien poseen las

mismas componentes ósea: = y = si ,

entonces diremos que los vectores = son iguales.

Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma

dirección y el mismo sentido.

Los vectores:

PQ y

RS cumplen las tres condiciones de

igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector

podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él.

Todos ellos son representantes de un único vector.

Análogamente a , en todo punto tiene asociado un vector posición:

cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo es el punto P.

Definamos analíticamente al vector posición

del punto P como: = =

A partir de la expresión analítica de un vector en : = , podemos definir la

Adición y sustracción de vectores en y la multiplicación de un vector por un escalar en

de la siguiente forma:

Adición de vectores en

1) Sean = y = dos vectores cualesquiera pertenecientes

al conjunto entonces: + .

Observa que la adición de vectores o elementos de se basa en la adición de

números reales

Observa que a la adición de vectores la denotamos con el símbolo +, igual que a

la adición de números reales.

Nótese también que el resultado de sumar dos elementos de es otro

elemento de .

Veamos el siguiente ejemplo:

Sean los vectores = y =

de Hallemos +

+

=

Observa que el resultado de la adición es otro vector de

Geométricamente:

Ejercicios:

Sean los vectores = , = = =

calcular la suma de los siguientes vectores:

a) b) c)

d) e) f)

Nota: es importante saber que la adición de vectores en

cumple con las siguientes propiedades útiles para el

desarrollo de futuros contenidos.

A raíz de las propiedades de la adición de vectores, podemos definir la diferencia entre

vectores de la siguiente forma:

2) Sean = y = dos vectores cualesquiera pertenecientes

al conjunto entonces: - + (-

.

Observa que la resta de vectores se define a partir de la adición.

Observa que la sustracción de vectores o elementos de se basa en la

sustracción de números reales

Observa que a la sustracción de vectores la denotamos con el símbolo (-), igual

que a la sustracción de números reales.

Nótese también que el resultado de resta dos elementos de es otro

elemento de .

Veamos el siguiente ejemplo:

Sean los vectores = y =

de Hallemos -

-

=

Observa que el resultado de la sustracción es otro vector de

Ejercicios:

Sean los vectores = , = = =

calcular la resta de los siguientes vectores:

a) b) c)

d) e) f)

Recuerda que al igual que la adición, la sustracción

también cuenta con las mismas propiedades que te

servirán para futuros contenidos.

3) Sean = un vector cualquiera perteneciente a y α un escalar

perteneciente a los números reales entonces diremos que:

α α α α α . Y cuya dirección es la misma si α y

opuesta si α .

Nótese que las operaciones α α α .son productos de números reales, es

decir, el producto de un número real por un vector de se apoya en el producto de

números reales.

También que el producto de un número real por un vector es un vector.

En general utilizaremos la notación

α α α α

Veamos el siguiente ejemplo:

Dado el vector =

, hallar el vector .

= = 3

Observemos algunos casos geométricamente

Ejercicios:

Sean los vectores = =

y los escales (5, -3, 9)

calcular el productos de un vector por un escalar:

a) 5 b) -3 c) 9

d) 5 e) f) 9

Nota: al igual que la adición y la sustracción, la multiplicación de un vector por un escalar

tiene sus propiedades que son útiles para el desarrollo de futuros contenidos.

Propiedades de la multiplicación de un vector de por un escalar cualesquiera

Ejercicio de aplicación

Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos

A (3,-1, 2) y B (-2, 2, 4) en tres partes iguales.

Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados:

A (2, a, 0), B (6, 5, 2), C (8, 7, 3)

Dados los puntos A (-2,0,1), B (1,-3,2), C (-1, 4, 5) y D (3, 1, -2), calcula:

a) El área del triángulo de vértices A, B y C.

b) El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.

Respuestas de los ejercicios propuestos en la adición de vectores:

a) (32,22,

b) (9,-6,

) c) (27,29,4)

d) (9,-15,

) e) (4,1,22) f) (27,38,4)

Respuestas de los ejercicios propuestos en la Sustracción de vectores:

a) (17,37,-18 b) (18,44,

) c) (1,-15,

)

d) (-5,16,

) e) (6,-9,0) f) (18,44,

)

Respuestas de los ejercicios propuestos en la multiplicación de un vector por un

escalar:

a) (40,-20,55 b) (-24,12,-33) c) (72,-36,99)

d) (35,-55,

) e) (21,-33,

) f) (63,-99,

)

BIBLIOGRAFIA

Analii, R. (2003). Matemática 2 ciclo diversificado. Editorial Salesiana. Caracas –

Venezuela.

Figueroa, J. (1996). Matemática segundo de diversificado. Ediciones CO-BO. Cumaná –

Edo. Sucre – Venezuela.

Sáenz, J. (2005). Calculo Diferencial. Editorial hipotenusa. Barquisimeto – Edo. Lara -

Venezuela.

Navarro, C. (2008). Matemática 2 educación media, diversificada y profesional. Editorial

Santillana. Caracas – Venezuela.

Colección Bicentenaria, matemática de 5º año y el vivir bien minedu.gob.com.me

2012 caracas Venezuela

Fuentes Electrónicas Consultadas:

http://cipri.info/resources/2BCT-05-Vectores_en_el_espacio-

Ejercicios_resueltos.pdf