Puntos –Vectores en el Espacio

Profesor: Pedro Beltrán

Bachiller:Rafael Brito

C.I: 25.286.285

Barcelona, Mayo/2016

La ubicación en el espacio es un concepto que nos sirve paraaprender si las cosas están arriba, abajo, a la derecha, a laizquierda. Reconocer estas ubicaciones nos ayudara en muchascosas de la vida diaria como por ejemplo si estamos arriba odebajo del tobogán, o si escribimos con la mano derecha oizquierda. Esto es una rama de la matemática que se aplica en lavida diaria y eso es lo que estudiaremos ahora.

Introducción

Puntos en el espacio:

Para entender la ubicación de un punto en el espacio, matemáticamentehablando, es necesario saber que hay puntos y detalles a examinar parahallar un punto especifico en el espacio. Por ejemplo saber que es unvector; segmento de la recta, contado a partir de un punto del espacio…Este se compone de un punto a otro.

El punto tiene posición en el espacio. Su representación mas cercana es elorificio que deja un alfiler en una hoja de papel o un granito de arena, perodebemos tener en cuenta que no tiene grosor, en el espacio hay infinitospuntos.

El espacio es el conjunto universo de la geometría. En el se encuentran todoslos demás elementos. Dentro de el determinamos cuerpos geométricoscomo cajas, planetas, esferas, entre otros.. Su símbolo es:

Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas,rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguendistintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclanambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.

La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.

La identificaremos con el dibujo:

Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo.

Por ejemplo:

También se usa una L ó una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias rectas.

Veamos:

L es una recta vertical.

El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguenuna misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidasen ella.

Lo mas parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lodiferencia con esta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor.

El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado de, por lo menos, tres puntos.

Veamos este ejemplo:

Este dibujo será una representación del plano ART y lo simbolizaremos

Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna, son representaciones de planos.

Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener figuras geométricas.

Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.

Cuando en una superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es curva. Una representación de esto sería una bandera flameando.

Puntos alineadosTres o más puntos están alineados si están en una misma recta, y por tanto

el rango de los vectores determinados por ellos es 1.

Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están alineados.

Puntos coplanariosDos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por

tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

• Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3) y E(2, 2, 2) son coplanarios.

Representación Grafica

• Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.

• Las gráficas describen relaciones entre dos variables.

• La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.

• La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.

• La variable y está en función de la variable x.

• Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.

• Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.

Ejemplos:

Ejemplo:2

Distancia entre puntos en el espacioDistancia entre dos puntos es la longitud de un segmento que une estos

puntos.

Ejemplo de como hallar la distancia entre dos puntos en espacioHallar la distancia entre los puntos A(-1, 3, 3) y B(6, 2, -2).Solución.

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2 =

= √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 + (-2 - 3)2 = √72 + 12 + 52 = √75 = 5√3Resultado: AB = 5√3.

Punto medio en el espacioPunto medio de un espacio es un punto que está sobre el segmento y se

ubica a la distancia igual de los puntos extremos.

En los problemas geométricas son frecuentes los casos cuando es necesario hallar el punto medio de un segmento dado expresado con dos puntos de sus extremos, por ejemplo, en los problemas sobre la mediana, la línea media, ...

Cada una de las coordenadas del punto medio de un segmento es igual a la semisuma de las coordenadas respectivas de sus extremos.

Ejemplo:

Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados puntos A(-1, 3, 1) y B(6, 5, -3).

Ecuación de la esfera en el espacio. Los puntos A (0,0,4) y A´(2,4,0) son los extremos de un diámetro de una

esfera

Calcular las coordenadas del centro y el radio de la esfera.

Obtener su ecuación cartesiana.

Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(2,4,4).

•Definición de VectoresUn vector es la representación gráfica de una magnitud física llamadamagnitud vectorial, inscrito dentro de un formato de plano cartesiano. Lasmagnitudes vectoriales tienen tres componentes: la cantidad, la dirección yel sentido. Algunas de estas magnitudes, son el desplazamiento (recorrido odistancia), la velocidad y la fuerza.

Con vectores también se representa la interacción de dos o más magnitudesvectoriales, para obtener y representar el resultado final de esainteracción.

Los vectores son usados en distintos ámbitos, como la ingeniería, la físicateórica y práctica, la arquitectura, en las mediciones astronómicas o en eldiseño de aparatos, así como en las matemáticas, siendo claves en temascomo el álgebra vectorial y la cinemática.

Características Magnitud: La magnitud es el fenómeno físico medible que se representa

con el vector.

Dirección: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene alvector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido. Como en la recta numérica, el sentido es determinado desde elpunto de origen indicando en qué dirección se está aplicando la magnitudde que se trate. Cuando actúa en una sola dirección, (Eje X) el sentido seexpresa en sentido positivo o negativo. Cuando actúa en dos planos (ejes Xy Y), su sentido puede expresarse en forma de coordenadas de un planocartesiano (XY), o bien, como movimientos en un sistema de coordenadasde puntos cardinales (norte, sur, nororiente), o bien, una combinación deambos.

Bibliografías http://www.ditutor.com/vectores/elementos_vector.html

http://www.vitutor.com/analitica/recta/planos_rectas.html

http://es.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/points_center/

LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Calculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.

Swokowski, Earl, “Calculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097