Розв’язання завдань ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики у місті Києві 2013-2014 рік

„Замало опанувати премудрість,треба також уміти користуватися нею”.

Цицерон

6 клас

1. Два автомобілі знаходяться на одній дорозі на відстані 200 км, один рухається зі швидкістю 60 км/год, а інший – 40 км/год. Через який час відстань між ними може знову стати 200 км? Вкажіть усі можливі відповіді.

Відповідь: через години або через годин.Розв’язання. Якщо більш швидкий автомобіль буде віддалятися від менш швидкого, то відстань між ними буде тільки збільшуватись. Тому він повинен рухатись на зустріч більш повільному. Тоді можливі два варіанти.Якщо більш повільний автомобіль рухається на зустріч більш швидкому, то вони наближаються одне до іншого зі швидкістю  км/год, тоді вони зустрінуть через  год, а тому знову відстань між ними стане  км ще через  год.Аналогічно, якщо повільний автомобіль рухається у тому самому напрямі, що й більш швидкий, то вони наближаються одне до іншого зі швидкістю  км/год, тоді вони зустрінуть через

 год, а тому знову відстань між ними стане  км ще через  год.

2. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром можна вирізати з квадрату

?

Відповідь: .Розв’язання. Оскільки площа квадрату

, то розглянемо ділення з остачею: , тому максимум можна вирізати 33

прямокутника , покажемо, що цей результат досягається. Достатньо, наприклад, зробити розрізання таким чином, як це показане на рис. 1. Неважко зрозуміти, що будь-який прямокутник зі сторонами легко розрізається на відповідну кількість прямокутників .

3. Чи існують натуральні числа , які задовольняють рівність:

?

Розв’язання. Припустимо, що це можливо, тоді маємо, що – парні. Якщо обидва або рівно одне з них непарне, то ліва частина рівності – непарна, а права – парна, тому рівність неможлива. Але, якщо – парні, то ліва частина кратна , а права не кратна . Одержана суперечність завершує доведення.

4. Є 10 спортсменів різного зросту, а також інші 10 спортсменів різної ваги. Яку найбільшу за кількістю групу спортсменів гарантовано можна вибрати з цих 20 спортсменів таким чином, щоб у цій групі усі спортсмени мали водночас різну вагу

1

3 5

5

8

5

13

Рис. 1

та зріст?

Відповідь: .Розв’язання. Спочатку покажемо, що 3-х вибрати не завжди можна. Виберемо 10 спортсменів однакового зросту та різної ваги, а також інших 10 однакової ваги та різного зросту. Зрозуміло, що така сукупність з 20 спортсменів умови задачі задовольняє – там є 10 різного зросту та 10 різної ваги. Якщо вибрати будь-яких 3-х спортсменів, то за принципом Діріхле принаймні два з них попадуть в одну з двох груп – там де 10 рівного зросту чи рівної ваги. Тепер покажемо, що двох вибрати завжди зможемо. Дійсно, беремо довільного учасника, тих, що можуть з ним мати рівну вагу – максимум 9, так само тих, хто з ним має рівний зріст – максимум 9. Таким чином принаймні 1 з 20 спортсменів має відмінну від обраного вагу та зріст. Таким чином двох вибрати можна завжди.

7 клас

1. Розв’яжіть рівняння: .

Відповідь: . Розв’язання. Розкриємо задану пропорцію:

або .Тут можна просто розкрити дужки. або простіше скористатися формулою різниці квадратів:

звідки .

2. Магазин придбав олівці у коробках у виробника за певну ціну. Тепер він їх продає або по 10 гривень за одну коробку, або по 20 гривень за 3 коробки. Виявилось, що прибуток при продажі однієї коробки олівців та при продажі трьох коробок олівців – однаковий. За якою ціною магазин придбав олівці у виробника?

Відповідь: гривень за коробку.Розв’язання. Нехай ціна за 1 коробку у виробника дорівнює . Тоді прибуток від продажу однієї коробки за гривень дорівнює . При продажі трьох коробок за гривень їх прибуток складає . Тому маємо рівність: , звідки .

3. На діагоналі квадрату вибрані точки та таким чином, що пряма перетинає сторону у

точці , а пряма перетинає сторону у точці . Відомо, що , та . Знайдіть довжину діагоналі .

Відповідь: .Розв’язання. За двома сторонами та прямим кутом між ними маємо, що . Тоді (рис. 2). Оскільки та , то . Тому і .

4. Є 9 гир вагою 1г, 2г, ..., 9г. Андрій та Олеся по черзі беруть гирі і кладуть їх на ваги зі стрілкою, не знімаючи попередні. Якщо після чергової гирі стрілка покаже вагу більше 25г, то той, хто поклав цю гирю, програв. Хто може перемогти в цій грі, якщо кожний намагається перемогти та першій хід робить Андрій?

2

Рис. 2

CB

A D

M

NF

Відповідь: перемагає Андрій.Розв’язання. Першим ходом Андрій кладе гирю вагою  г. А далі просто якщо Олеся вибирає гирю вагою  г, то він вибирає гирю, вагою  г. Так після його третього ходу на шальках буде рівно  г і Олеся програє наступним ходом.

5. Відомо, що натуральні числа такі, що число ділиться націло на . Чи обов’язково ділиться націло на ?

5. Відповідь: обов’язково. Розв’язання. Нехай справджується рівність: , де – натуральне. Тоді

. Оскільки права частина є натуральним числом, то ліва також, а тому ,

При маємо, що , звідки . При маємо, що , звідки . При маємо, що , тобто . При маємо, що , тобто .

8 клас

1. Чи існують натуральні числа , для яких виконується рівність:?

Відповідь: не існують.Розв’язання. Оскільки та – числа однакової парності, то їх добуток або непарний, або кратний . Оскільки парне, але не кратне , то наведена рівність неможлива.

2. Ненульові числа задовольняють умови:.

Чому може дорівнювати значення виразу ?

Відповідь: .

Розв’язання. З умови задачі маємо, що . Оскільки

, то . Враховуючі, що , маємо, що

.

3. Заданий ромб, у якого усі сторони та одна з діагоналей рівні 6 см. Всередині або на сторонах цього ромба вибирають довільним чином 9 точок. Доведіть, що принаймні дві з них знаходяться на відстані не більший від 3 см.

Розв’язання. Розіб’ємо цей ромб спочатку на два правильних трикутники (рис. 3). А тепер кожний з них розіб’ємо на 4 рівних рівносторонні трикутники зі стороною 3 см. Усього маємо 8 трикутників, а точок 9, то за принципом Діріхле принаймні дві з них попадуть у один трикутник. Але найбільша відстань між точками в цьому трикутнику не перевищує 3 см, що й треба було довести.

4. Нехай – натуральні числа. На яке найбільше натуральне число обов’язково ділиться націло вираз ?

3

Рис. 3

Відповідь: .Розв’язання. Спочатку покажемо, що на число більше від воно може й не ділитися. , , та , тоді

.Тепер покажемо, що на ділиться завжди. З цих трьох чисел принаймні два мають однакову остачу при діленні на , тому їх різниця кратна . Якщо там усі парні чи непарні, то , якщо 3 однієї парності і одне іншої, то , якщо там два парних і два непарних, то воно ділиться на . Таким чином у будь-якому випадку воно ділиться на .

5. У паралелограмі відомо, що . На відрізку відмічаємо точку , відмінну від точки , і таку, що . На промені відклали відрізок

, а на промені відклали відрізок (вважаємо, що вказані точки розташовані так, як це показане на рис. 4).

Розв’язання. За умовою – рівнобедрений, тому (рис. 5)

, та , тому . Тому . Оскільки за умовою

, , то , звідки , звідки й маємо, що .

9 клас

1. Числа задовольняють рівність:

.

Які значення може приймати відношення ?

Відповідь: . Розв’язання. З умов задачі випливає, що та . Тепер якщо звести все до спільного знаменника та виписати рівність чисельників одержимо, що

. Звідси або . Оскільки , то .

2. У паралелограмі проведені висоти і на сторони і відповідно, які ділять цей паралелограм на три частини рівної площі. На

4

Рис. 5

CD

A E K B

M

N

Рис. 4

CD

A K B

M

N

Рис. 6C B

AD E

F

G

H

промені за вершину відкладається відрізок . Пряма перетинає відрізок у точці . Знайдіть відношення .

Відповідь: . Розв’язання. З формул площі трикутника та паралелограма очевидно, що (рис. 6). Оскільки – медіана , тому – точка перетину медіан , а тому також медіана цього трикутника, звідки . відповіді.

3. Лампи розташовані у вигляді квадрату , як це показане на рис. 7. Лампи можуть бути у стані «горить» чи «не горить». Є 9 перемикачів, які відповідають кожній лампі. При цьому при натисканні відповідного перемикача змінюють свій стан на протилежний («горить» на «не горить» та навпаки) усі лампи, що розташовані в одному рядку та одному стовпчику з відповідною лампою. На початку усі лампи «не горять». Яку найменшу кількість натискань перемикачів треба зробити, щоб усі лампи стали у стані «горить»?

Відповідь: .Розв’язання. Якщо натиснути у будь-якому порядку усі перемикачі ламп одного рядка чи стовпчика, то все буде виконане. Дійсно, наприклад, ми натиснули перемикачі для ламп верхнього ряду. Тоді лампи цього ряду тричі змінюють свій стан, тобто стають у стані горить. а решта – рівно по 1 раз і також стають у стані горить.Покажемо, що меншою кількістю обійтися не можна. Дійсно, наприклад, було натиснуто рівно 2 перемикачі. Тоді принаймні в одному рядку не була натиснута лампа, так само існує стовпчик, в якому також не була натиснута лампа. На перетині цього рядка та стовпчика лампа – не змінює свій стан.

4. Знайдіть, яке найменше натуральне значення може приймати вираз при довільних натуральних значеннях ?

Відповідь: .Розв’язання. Щоб показати, що відповідь дорівнює , треба показати, що значення не досягається, а значення – набувається при деяких можливих .При маємо, що .Доведемо, що рівняння не має розв’язків у натуральних числах . Дійсно, якщо має місце рівність , то – непарне, а – парне. Тоді за модулем права частина рівна , а ліва рівна – одержана суперечність завершує доведення.

5. Чи завжди справджується рівність , де – ціла частина числа :

а) для довільних натуральних чисел ;б) для довільних дійсних додатних чисел ?

Відповідь: а) справджується, б) не обов’язково.Розв’язання. б) Спочатку покажемо, що ця рівність може не справджуватися. Дійсно, при ,

, . Тоді звідки ліва частина дорівнює нулеві, а права: .

а) Доведемо, що в такому випадку рівність справджується. Поділимо натуральне число з остачею на : , . Так само поділимо з остачею на : . Зрозуміло, що

. Тоді права частина дорівнює:

5

Рис. 7

.

Для лівої частини має

,

оскільки та .

10 клас

1. Два автомобілі одночасно виїхали назустріч один одному з міст А та Б. Через який час після старту вони зустрілися, якщо перший автомобіль досяг міста Б через 9 годин після зустрічі, а другий досяг міста А через 4 години після зустрічі?

Відповідь: годин. Розв’язання. Позначимо їх швидкості та . Тоді час зустрічі відбувся через після

старту. Тоді першому залишилось проїхати шлях . Тому він витратив такий час:

. Аналогічно .

Звідси та . Перемножимо ці рівності і одержимо, що, звідки остаточно знаходимо, що та .

2. Є таблиця, що має два рядки та 1007 стовпчиків. У перший ряд розставлені зліва направо у порядку зростання натуральні числа від 1 до 1007, а у другий ряд так само у порядку зростання натуральні числа від 1008 до 2014. Для якої кількості стовпчиків має місце властивість – число у другому рядку ділиться на число у першому рядку?

Відповідь: .Розв’язання. Позначимо число у першому рядку через , тоді число під ним дорівнює . Питання задачі – для скількох : число . Тоді або

. Зрозуміло, що це виконується тоді і тільки тоді, коли – дільник . Оскільки число має рівно дільники – . Тому для цих чотирьох стовпчиків це

виконується.

3. На нараду в міністерство для обговорення питань олімпіад запросили 30 Заслужених вчителів України з математики, фізики, хімії та біології. Серед запрошених фізиків та біологів разом виявилось удвічі менше ніж математиків, а фізиків та хіміків разом удвічі більше ніж біологів. Скільки на зустріч запросили математиків, якщо вчителів з кожного предмету була різна кількість?

Відповідь: .Розв’язання. Позначимо кількість вчителів математиків, фізиків, хіміків та біологів через

відповідно. Тоді маємо такі умови:

6

З другого та третього рівняння маємо: та . Якщо це підставити у

перше рівняння, то матимемо, що . Оскільки – цілі невід’ємні числа, то зрозуміло, що повинно бути парним числом від до . Залишилося розглянути ці варіанти.

. . . .

З умов задачі, очевидно, що шуканим є варіант, де .

4. – найбільша сторона у трикутнику . На цій стороні відмітили точки таким чином, що та . Позначимо через та середини відрізків та відповідно. Вписане коло дотикається його сторін та у точках та відповідно. Доведіть, що точки лежать на одному колі.

Розв’язання. Позначимо через – інцентр . Оскільки рівнобедрений з вершиною в точці , тому медіана співпадає з бісектрисою та висотою, звідси , аналогічно . Крім того (рис. 8). Аналогічно , тому усі чотири зазначені точки лежать на колі з діаметром .

5. Нехай – сторони трикутника з периметром 1. Доведіть, що справджується нерівність:

.

Розв’язання. Без обмеження загальності будемо вважати, що . З нерівності трикутника маємо, що , тому .

, , .Далі просто

,що й треба було довести.

11 клас

1. Знайдіть найменше ціле число , що задовольняє нерівність: .

Відповідь: . Розв’язання. Зрозуміло, що відповідь слід шукати серед від’ємних чисел. Тому вказана нерівність переписується для від’ємних чисел таким чином: , звідки .

2. Доведіть, що ні при яких натуральних значення виразу не є точним квадратом натурального числа.

Розв’язання. Методом від супротивного, припустимо, що для деякого натурального . Тоді – непарне, і розглянемо останню рівність у такому вигляді:

.

7

Рис. 8A B

I

N M

R P

ED

C

У правій частині добуток двох послідовних парних чисел, а тому вона кратна . Для лівої частини по модулю маємо: , тоді ліва частина не кратна . Одержана суперечність завершує доведення.

3. У гострокутному трикутнику провели бісектрису . Описане коло перетинає сторону у точках та . Пряма, що паралельна прямій та проходить через точку , перетинає пряму у точці . Доведіть, що – рівнобедрений.

3. Розв’язання. Позначимо , тоді . Оскільки –

циклічні, то . Оскільки

, то , тому точки – циклічні (рис. 9), але тоді

, що й треба довести. – рівнобедрений з вершиною .

4. Знайдіть усі такі функції , що визначені на множині дійсних чисел, які для довільних дійсних задовольняють рівність:

.

Відповідь: . Розв’язання. Якщо підставити , то отримаємо, що . Далі покладемо і будемо мати, що , звідки

. Перевіркою переконуємось, що ця функція задовольняє умови.

5. Є три купки камінців, у першій з них , у другій – і у третій – камінців, при цьому . Андрій та Олеся грають у таку гру. Той чий хід вибирає дві довільні купки і перекладає принаймні 1 камінець з меншої за кількості камінців купки до більшої (якщо у купках однакова кількість камінців, то можна перекладати з будь-якої). Перемагає той, після ходу якого залишиться дві порожні купки. Першим розпочинає Андрій. При яких початкових значення у цій грі перемагає Андрій, а при яких – Олеся, якщо кожен намагається виграти?

Відповідь: при перемагає Олеся, інакше – Андрій. Розв’язання. Розглянемо випадок . При будь-якому ході Андрія, Олеся зможе повернути гру у аналогічну позицію, де розподіл камінців у порядку спадання по купках буде , при цьому . Дійсно, своїм ходом Олеся однією к купок обов’язково обере купку, що містить камінців. І при перекладанні камінців буде забирати камінці (тобто зменшувати їх кількість) саме з цієї купки. Нехай новий розподіл камінців після ходу Андрія стане . Тоді Олеся вибирає для ходу найбільші дві купки і робить в них розподіл , що й треба було показати. Як бачимо кількість камінців у найменшій купці монотонно спадає, якщо після чергового ходу Андрія одна з купок стане порожньою, то наступним своїм ходом Олеся зробить другу купку порожньою і переможе у грі.

Якщо на початку гри , то перемагає Андрій. Він своїм ходом вибирає дві найбільші купки і переводить гру у позицію . Далі стратегія гри вже описана.

8

Рис. 9

C

A BD

F

E

9