PROGRAMACIÓN

MATEMÁTICAS II

2º DE BACHILLERATO

PRIMERA EVALUACIÓNÁLGEBRA

1 Matrices

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Utilizar las matrices como forma de representar y transmitir información.

Conocer y utilizar eficazmente las matrices, sus operaciones y propiedades.

Conocer el significado del rango de una matriz o de una familia de vectores, saber calcularlo y aplicarlo.

Saber determinar si una matriz es invertible y, en caso de que lo sea, saber calcular su inversa aplicando la definición o utilizando el método de Gauss-Jordan.

Utilizar las matrices en la resolución de problemas geométricos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Utilizar las matrices en la representación e interpretación de situaciones que conllevan datos estructurados en

forma de tablas o grafos.

B. Realizar sumas y productos de matrices entre sí y por números reales.

C. Realizar operaciones combinadas con matrices. Resolver ecuaciones matriciales sencillas.

D. Entender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo por el método de Gauss.

E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro.

F. Determinar si un conjunto de vectores fila o columna son linealmente dependientes o independientes.

G. Determinar si una matriz cuadrada es o no invertible mediante el cálculo de su rango.

H. Calcular la matriz inversa de una matriz dada a partir de la definición o por el método de Gauss-Jordan.

I. Calcular el transformado de un punto por uno o varios movimientos.

CONTENIDOSCONCEPTOS

Matrices. Conceptos básicos.

Tipos de matrices: fila, columna, rectangular, cuadrada, diagonal, triangular, nula, identidad, traspuesta, simétrica, etc.

Operaciones con matrices: suma y producto por un número. Propiedades.

Producto de matrices. Propiedades.

Matrices invertibles. Cálculo de la matriz inversa.

Dependencia lineal de filas y columnas. Rango de una matriz.

El método de Gauss en el cálculo del rango de una matriz.

Grafos y matrices.

Matrices asociadas a los movimientos del plano.

PROCEDIMIENTOS

Utilizar las matrices en la representación, interpretación y manipulación de datos numéricos estructurados.

Conocer y utilizar la nomenclatura básica de las matrices y su clasificación.

Calcular la suma de dos matrices, del producto de un número por una matriz y del producto de dos matrices.

Determinar la regularidad de matrices cuadradas de orden menor o igual a 3 y calcular la inversa a partir de la definición o por el método de Gauss-Jordan.

Utilizar el método de Gauss en el cálculo del rango de una matriz.

Utilizar el cálculo matricial en el estudio de los movimientos del plano y la teoría de grafos.

ACTITUDES

Aprecio por los métodos de representación tabulada de datos numéricos.

Valoración positiva de las matrices y el álgebra matricial para resolver situaciones problemáticas relacionadas con las matemáticas o con otras ciencias.

Gusto por facilitar de forma clara y precisa la información mediante la utilización de tablas, grafos y matrices.

Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en el tratamiento y manipulación de grandes cantidades de información.

COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico en general y el matricial en particular para describir y resolver situaciones

problemáticas en distintos contextos (C1, C2, C3, C4).

Desarrollar habilidades para procesar y comunicar información a través de tablas numéricas, grafos y matrices siendo capaces de pasar de unos métodos a los otros (C2, C4, C7, C8).

Utilizar aplicaciones informáticas para operar con grandes cantidades de datos estructurados, utilizando para ello los comandos de cálculo matricial que dichas aplicaciones incorporan (C2, C4, C7, C8).

Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en la resolución de problemas de las propias matemáticas o de otras ciencias (C2, C3, C5, C7, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Aplicaciones informáticas como Derive o Wiris, que incluyen comandos directos para realizar las operaciones

típicas del álgebra matricial.

Calculadoras científicas y gráficas que permiten introducir matrices de grandes dimensiones y realizar operaciones con ellas, así como calcular rangos, inversas, etc.

Hojas de cálculo, como Excel, que también incorporan comandos propios del cálculo matricial.

2 Determinantes

OBJETIVOS DIDÁCTICOSConocer la definición de determinante de una matriz cuadrada y saber calcular su valor para matrices cuadradas de orden menor o igual a 3.

Conocer la regla de Sarrus y aplicarla en el cálculo de determinantes de orden 3.

Conocer las propiedades de los determinantes y utilizarlas en la simplificación del cálculo de determinantes de matrices de orden mayor o igual a 3.

Utilizar los determinantes en el cálculo matricial.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Calcular determinantes de orden 2.

B. Calcular, mediante la regla de Sarrus, determinantes de orden 3.

C. Utilizar las propiedades de los determinantes en el cálculo de determinantes de orden mayor o igual a 3.

D. Calcular el rango de una matriz mediante el uso de determinantes.

E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro.

F. Comprobar mediante determinantes si una matriz cuadrada es invertible.

G. Utilizar los determinantes para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular.

H. Resolver ecuaciones matriciales en cuyo planteamiento intervienen matrices regulares de orden menor o igual a 3.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Determinantes de segundo y tercer orden.

Determinantes de matrices de orden superior.

Propiedades de los determinantes.

Adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada.

Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna.

Matriz adjunta.

Caracterización de la regularidad de una matriz mediante determinantes.

Cálculo de la matriz inversa de una matriz regular mediante determinantes.

Calculo del rango de una matriz mediante determinantes.

Ecuaciones matriciales.

PROCEDIMIENTOS

Calcular determinantes de orden dos y tres (regla de Sarrus).

Utilizar las propiedades de los determinantes en la simplificación de su cálculo.

Calcular determinantes desarrollando por los elementos de una fila o columna.

Usar transformaciones lineales para hacer cero varios elementos de una fila o columna de una matriz.

Calcular determinantes por triangulación. Método de Gauss.

Obtener la matriz adjunta de una dada.

Determinar la regularidad o singularidad de una matriz cuadrada.

Obtener la inversa de una matriz regular mediante determinantes.

Calcular el rango de una matriz mediante determinantes.

Determinar el rango de una matriz dependiente de un parámetro.

Resolver ecuaciones matriciales usando matrices inversas.

ACTITUDES

Valoración de los determinantes por su utilidad en la resolución de problemas del álgebra lineal y de la geometría.

Interés por los procedimientos que permiten simplificar cálculos laboriosos utilizando las propiedades inherentes a determinados objetos matemáticos.

Gusto por la presentación ordenada y explicada de las técnicas aplicadas para la obtención del valor de un determinante.

Interés por la utilización de distintos métodos en la resolución de un mismo problema valorando las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos.

Gusto por la investigación de relaciones y pautas que pueden seguir ciertos determinantes.

Valoración de las nuevas tecnologías por su precisión y rapidez en los cálculos matriciales y de determinantes.

COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico en general, y el relativo a matrices y determinantes en particular, para describir y

resolver situaciones problemáticas en distintos contextos (C1, C2, C3, C4).

Diseñar, a partir de la definición y propiedades de los determinantes, nuevas estrategias que faciliten el cálculo de los mismos y puedan utilizarse en la resolución de otras situaciones propias del álgebra, la geometría, etc. (C2, C3, C7, C8).

Utilizar los medios tecnológicos para simplificar los largos y tediosos cálculos que en ocasiones conlleva la resolución de los problemas de álgebra lineal, y, en concreto, el cálculo de determinantes de matrices de órdenes elevados (C2, C4, C7, C8).

Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de elegir el método más apropiado en la resolución de problemas propios del álgebra lineal y del cálculo de determinantes en particular (C3, C5, C7, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Aplicaciones informáticas como Derive o Wiris, que incluyen comandos directos para realizar las operaciones

típicas del álgebra matricial y en concreto calculan determinantes, rangos, matrices, inversas, etc.

Calculadoras científicas y gráficas que tienen implementada la opción de calcular el determinante de una matriz cuadrada.

Hojas de cálculo, como Excel, que también incorporan comandos propios del cálculo matricial.

3 Sistemas de ecuaciones lineales

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

Conocer la regla de Cramer y utilizarla, cuando sea posible, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.Conocer el teorema de Rouché y utilizarlo en la determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Comprender la interpretación geométrica de los sistemas de dos ecuaciones lineales.

Determinar la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro y resolverlos en los casos en que sea compatible.

Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales para plantear y resolver problemas en diversos contextos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

B. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales y, si es posible, resolverlo utilizando la matriz inversa de la matriz de coeficientes.

C. Resolver, mediante la regla de Cramer, sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.

D. Determinar, tanto por Gauss como aplicando el teorema de Rouché, la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales, y resolverlos en el caso de ser compatibles.

E. Resolver sistemas homogéneos.

F. Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.

G. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.

H. Plantear y resolver problemas que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas equivalentes. Criterios de equivalencia.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.

Teorema de Rouché.

Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas lineales homogéneos.

Interpretación geométrica de sistemas lineales con dos incógnitas.

PROCEDIMIENTOS

Sistemas dependientes de un parámetro. Discusión y resolución.

Plantear matricialmente un sistema de ecuaciones lineales dado en su forma clásica y viceversa.

Obtener sistemas equivalentes a uno dado mediante transformaciones lineales.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

Resolver sistemas de ecuaciones de Cramer mediante la matriz inversa de la matriz de coeficientes.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer.

Aplicar el teorema de Rouché en la determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Discutir sistemas que dependen de un parámetro.

Resolver sistemas homogéneos.

Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.

ACTITUDES

Interés en la búsqueda de nuevas estrategias de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Curiosidad por los procesos que conducen a la generalización de situaciones y métodos.

Confianza en la capacidad para describir situaciones relacionadas con lo cotidiano o con otras disciplinas a través del lenguaje algebraico de los sistemas de ecuaciones.

Valoración positiva de las técnicas relativas a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales como herramientas eficaces, que se pueden aplicar a numerosos problemas en diversos contextos y relacionados con las ciencias o con la tecnología.

Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con un elevado número de variables y condiciones.

COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico para describir y resolver situaciones problemáticas en distintos contextos (C1, C2,

C3, C4).

Interpretar y analizar la validez de los resultados obtenidos al resolver los sistemas de ecuaciones lineales utilizados para describir problemas en diversas situaciones (C2, C3, C8).

Utilizar los medios tecnológicos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (C2, C4).

Conocer la evolución histórica del álgebra lineal y de los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones (C5, C6).

Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en la resolución de problemas reales en cualquier contexto (C3, C5, C7, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Aplicaciones informáticas como Derive o Wiris, que resuelven sistemas de ecuaciones y tienen la posibilidad de

representar (en el plano y en el espacio) las gráficas correspondientes a cada ecuación y visualizar sus soluciones.

Calculadoras científicas y gráficas.

Hojas de cálculo, como Excel, que también incorporan comandos de resolución de sistemas de ecuaciones.

GEOMETRÍA

4 Vectores en el espacio

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Comprender y manejar adecuadamente los conceptos de combinación lineal y de independencia lineal para

poder expresar un vector en función de los vectores de una base y determinar sus coordenadas.

Efectuar correctamente el producto escalar de vectores y aplicar esta operación para resolver problemas de ortogonalidad, y para calcular el módulo de un vector y el ángulo que determinan dos vectores

Efectuar correctamente el producto vectorial y el mixto con vectores de V3 y comprender su interpretación geométrica para aplicarlos a la resolución de problemas métricos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados.

B. Determinar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores.

C. Multiplicar escalarmente dos vectores tanto en la forma geométrica como en la analítica.

D. Determinar condiciones de ortogonalidad de dos vectores dependientes de un parámetro.

E. Saber hallar el ángulo de dos vectores y determinar vectores ortogonales a uno dado.

F. Calcular correctamente productos vectoriales y productos mixtos con unos vectores conocidos.

G. Aplicar el producto vectorial para determinar una dirección ortogonal al plano vectorial V2 determinado por dos vectores.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Los conjuntos R2 y R3.

Vectores fijos y libres en el espacio. Equipolencia.

Operaciones con vectores libres. Propiedades.

Combinación lineal de vectores y dependencia lineal.

Base de V3. Coordenadas de un vector.

Producto escalar de vectores. Expresión analítica.

Vectores ortogonales.

Ángulo de dos vectores.

Producto vectorial.

Producto mixto de tres vectores.

PROCEDIMIENTOS

Efectuar operaciones en R2 y en R3.

Determinar los elementos de un vector fijo (origen, extremo, dirección, sentido y módulo).

Resolver problemas de paralelogramos con la equipolencia de vectores.

Efectuar operaciones con vectores, tanto analítica como gráficamente.

Expresar un vector como combinación lineal de otros dos.

Determinar si dos vectores son linealmente dependientes o independientes.

Hallar coordenadas de vectores respecto de la base canónica y respecto de otras bases.

Multiplicar escalarmente dos vectores.

Hallar el ángulo que determinan dos vectores.

Determinar vectores ortogonales y unitarios.

Efectuar productos vectoriales de dos o más vectores.

Hallar el producto mixto de tres vectores a partir del producto vectorial.

Realizar el producto mixto en forma analítica y comparar con el otro procedimiento.

ACTITUDES

Disposición favorable para el estudio y conocimiento del cálculo vectorial y reconocer la necesidad y la utilidad de los vectores y sus operaciones.

Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en las que aparezcan los vectores o sean imprescindibles para su resolución o representación.

Predisposición para aprender conceptos, relaciones, y técnicas nuevas para resolver problemas.

Gusto por la representación gráfica clara y precisa de vectores y puntos en el espacio.

Valoración positiva del uso de los productos de vectores para la resolución de problemas de geometría, como determinación de ángulos y de ortogonalidad, y cálculo de distancias, áreas y volúmenes.

Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en el cálculo vectorial y su representación gráfica.

COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar los vectores para expresar magnitudes físicas vectoriales del mundo cotidiano, como la fuerza, la

aceleración o la velocidad (C1, C2, C3).

Reconocer la utilidad de las representaciones vectoriales y saber interpretarlas en múltiples aspectos de la vida diaria: señales de tráfico, mapas meteorológicos, diagramas de flujo, etc. (C1, C2, C3, C4, C5).

Resolver de manera clara, rigurosa y exacta, utilizando vectores y representaciones gráficas, problemas cercanos tanto de Geometría como de Física (C2, C3, C5, C6, C8).

Utilizar las nuevas tecnologías para efectuar representaciones precisas de puntos y vectores (C2, C4, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Calculadora científica o gráfica, en especial para determinar el ángulo de dos vectores.

Instrumentos y materiales de dibujo como regla, escuadra y cartabón, compás y papel con tramas ortonormales (cuadriculado corriente) y tramas no ortonormales.

Libros de otras asignaturas científicas, como los de Física, para ver la importancia del uso de vectores y el cálculo vectorial.

Aplicaciones informáticas como Derive o Wiris, donde se pueden representar fácilmente puntos y vectores tanto en el plano como en el espacio, e incluso utilizar la retícula para apreciar mejor las coordenadas.

5 Planos y rectas en el espacio

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Determinar las coordenadas del punto que verifica ciertas condiciones según su posición en el espacio.

Aprender a determinar de distintas formas la ecuación de la recta y el plano y, recíprocamente, a reconocer los puntos y las direcciones de las rectas y los planos mediante su ecuación.

Conocer y comprender la determinación normal del plano y sus aplicaciones a los problemas de perpendicularidad y proyecciones ortogonales.

Reconocer la posición relativa de rectas y planos en el espacio y manejar correctamente los conceptos de incidencia, paralelismo e intersección.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Dividir un segmento en partes iguales.

B. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo.

C. Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos de la recta y su vector director.

D. Saber determinar un plano de distintas formas y saber hallar en cada caso su ecuación.

E. Hallar la ecuación de un plano del que se conoce un punto y la dirección del vector normal.

F. Saber hallar proyecciones de puntos sobre rectas y de puntos y rectas sobre planos.

G. Resolver problemas de paralelismo, perpendicularidad e intersección de rectas y planos.

H. Efectuar el estudio de la posición relativa entre dos rectas, entre una recta y un plano, y entre dos o tres planos.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Sistemas de referencia.

Punto medio de un segmento.

Elementos geométricos, dimensión y grados de libertad.

Ecuaciones de la recta. Vector director.

Ecuaciones del plano.

Planos coordenados.

Plano que pasa por tres puntos.

Vector normal a un plano y ecuación normal.

Posiciones relativas de una recta y un plano.

Posiciones relativas de dos y de tres planos.

Posiciones relativas de dos rectas.

Haces de planos.

Problemas de incidencia y paralelismo.

PROCEDIMIENTOS

Determinar las coordenadas de un punto en un sistema de referencia dado.

Hallar las coordenadas del punto medio de un segmento.

Dividir un segmento en partes iguales o en partes proporcionales a ciertas cantidades.

Determinar de distintas formas la ecuación de una recta cuando se conoce un punto y el vector director o dos puntos.

Obtener puntos de una recta y su vector director cuando se conoce su ecuación.

Hallar la ecuación del plano en sus distintas expresiones.

Calcular en forma paramétrica la ecuación de la recta definida por dos planos.

Estudiar la posición relativa de dos rectas, de dos planos, y de recta y plano.

Hallar la proyección de un punto sobre una recta y sobre un plano.

Hallar intersecciones de rectas, de planos y de recta y plano.

Resolver problemas de incidencia mediante haces de planos.

ACTITUDES

Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la geometría analítica.

Reconocimiento de la necesidad y la utilidad de conocer y poder determinar la ecuación de la recta y el plano.

Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en los que sean precisas las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver problemas.

Gusto por la representación gráfica clara y precisa de puntos, rectas y planos en el espacio.

Valoración positiva del uso de la geometría analítica para la resolución de problemas de simetría y de lugares geométricos.

Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en la Geometría, especialmente la representación gráfica.

COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar de forma rigurosa y en lenguaje matemático (algebraico), de diferentes formas, la relación que

verifican los puntos de una recta o de un plano (C1, C2, C7).

Reconocer la utilidad de las distintas expresiones de la ecuación de una recta o de un plano, y usar en cada caso la más adecuada (C1, C2, C3, C8).

Potenciar la creatividad de los alumnos permitiéndoles y sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver un problema geométrico (C7, C8).

Resolver de manera clara, precisa y exacta, utilizando elementos geométricos y representaciones gráficas adecuadas, problemas geométricos en el plano y en el espacio mediante las nuevas tecnologías (C2, C4, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Calculadora científica programable, que resulta muy útil para calcular rápidamente determinantes.

Instrumentos y materiales de dibujo como regla, escuadra y cartabón, compás y papel con tramas ortonormales (cuadriculado corriente) y tramas no ortonormales.

Cabri, el programa interactivo de Geometría, que resulta muy útil y que se recomienda para efectuar representaciones gráficas en el plano y en el espacio e interactuar con ellas.

Otras aplicaciones informáticas, como Wiris o Derive, no dedicadas en exclusiva a la Geometría, pero con las que resulta fácil y didáctico representar rectas en el plano, y planos en el espacio.

SEGUNDA EVALUACIÓN

6 Propiedades métricas

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Aprender a calcular ángulos entre dos rectas, dos planos o una recta y un plano.

Determinar condiciones de perpendicularidad para obtener las proyecciones ortogonales de rectas y puntos sobre un plano, o de puntos sobre una recta.

Saber calcular la distancia entre los diferentes elementos geométricos (puntos, rectas y planos).

Saber calcular el área y el volumen de las figuras más elementales (triángulo, paralelogramo, tetraedro y paralelepípedo).

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Hallar el ángulo que determinan dos vectores y el ángulo entre dos rectas.

B. Hallar el ángulo que determinan dos planos secantes y el ángulo entre recta y plano.

C. Efectuar proyecciones de puntos sobre rectas y planos.

D. Calcular la proyección de una recta dada sobre un plano determinado.

E. Hallar la distancia entre dos puntos, entre punto y recta, punto y plano, rectas y planos paralelos, y rectas que se cruzan.

F. Calcular el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro cuando se conocen las coordenadas de sus vértices.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Ángulo entre dos rectas.

Ángulo entre dos planos.

Ángulo entre recta y plano.

Proyecciones ortogonales sobre recta y plano.

Distancia entre dos puntos.

Distancia de un punto a un plano.

Distancia entre planos paralelos.

Distancia de un punto a una recta.

Distancia entre rectas paralelas.

Distancia entre rectas que se cruzan. Perpendicular común.

Áreas de paralelogramos y de triángulos.

Volúmenes de paralelepípedos y tetraedros.

PROCEDIMIENTOS

Determinar los vectores directores de rectas y normales de planos.

Calcular el ángulo de dos rectas.

Calcular el ángulo entre recta y plano utilizando la recta proyectada sobre el plano.

Calcular directamente el ángulo entre recta y plano.

Determinar la distancia entre dos puntos.

Calcular la distancia entre un punto y un plano mediante la proyección ortogonal del punto.

Hallar la distancia entre rectas paralelas, entre planos paralelos y entre recta y plano paralelos.

Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan y la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.

Calcular productos vectoriales, hallar sus módulos e interpretar el resultado.

Calcular las áreas de paralelogramos y triángulos, conocidas las coordenadas de sus vértices.

Obtener el volumen de un tetraedro en función de las coordenadas de sus vértices.

Contrastar el resultado obtenido en el cálculo del volumen del tetraedro, mediante el producto mixto, con el cálculo clásico del volumen de una pirámide.

ACTITUDES

Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la geometría analítica y de las herramientas vectoriales en la resolución de problemas métricos.

Interés por la búsqueda de distintos métodos para afrontar la resolución de problemas en Geometría.

Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver problemas geométricos.

Gusto por la representación gráfica clara y precisa de los elementos en el espacio.

Valoración positiva del rigor científico en la obtención de resultados y en la resolución de problemas geométricos.

Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en facilitar los cálculos métricos y representar gráficamente los resultados.

COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar de forma rigurosa y en lenguaje matemático (algebraico), de diferentes formas, las fórmulas que

permiten calcular ángulos, distancias y condiciones de perpendicularidad en el espacio (C1, C2, C7).

Efectuar representaciones gráficas precisas, utilizando el material adecuado, de cada uno de los elementos geométricos en el espacio tridimensional (C2, C3, C6, C8).

Potenciar la creatividad de los alumnos, permitiéndoles y sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver problemas métricos de geometría en el espacio (C7, C8).

Resolver los problemas de manera clara, precisa y exacta, utilizando elementos geométricos y representaciones gráficas adecuadas, mediante las nuevas tecnologías (C2, C4, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Calculadora científica programable, en especial para el cálculo de los determinantes involucrados en los

problemas métricos.

Instrumentos y materiales de dibujo como regla, escuadra y cartabón, compás y papel cuadriculado.

Cabri, el programa interactivo de Geometría, que resulta muy útil y se recomienda para efectuar representaciones gráficas en el plano y en el espacio e interactuar con ellas.

Otras aplicaciones informáticas, como Wiris o Derive, no dedicadas en exclusiva a la Geometría pero con las que resulta fácil y didáctico calcular determinantes y hacer representaciones geométricas en el espacio.

ANÁLISIS DE FUNCIONES

7 Límites de sucesiones y de funciones

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Relacionar la acotación y la monotonía de una sucesión con la existencia de límite.

Calcular el límite de las sucesiones convergentes y distinguir entre sucesiones divergentes y oscilantes.

Adquirir de forma intuitiva y definir de manera formal los conceptos de límites laterales y límite de una función en un punto.

Resolver indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones, tanto por métodos algebraicos como por equivalencias de infinitésimos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Saber estudiar la monotonía de una sucesión y determinar sus cotas si las tuviera.

B. Conocer y aplicar correctamente los métodos para resolver las indeterminaciones que surgen en las sucesiones.

C. Clasificar correctamente las sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes.

D. Obtener los límites laterales de una función en un punto y determinar la existencia o no existencia del límite.

E. Demostrar en casos sencillos, mediante la definición métrica de límite, que el límite hallado por métodos algebraicos verifica la definición.

F. Resolver indeterminaciones del tipo utilizando métodos algebraicos.

G. Resolver indeterminaciones por infinitésimos equivalentes.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Sucesiones de números reales: monotonía y acotación.

Límite y convergencia de una sucesión.

Propiedades de los límites.

Cálculo de límites de sucesiones.

Límite de una función en un punto. Límites laterales.

Límites infinitos y límites en el infinito.

Cálculo de límites.

Indeterminaciones.

Infinitésimos equivalentes.

Definición formal de límite.

PROCEDIMIENTOS

Estudiar la monotonía de una sucesión.

Determinar si tiene o no cotas y hallarlas en su caso.

Calcular límites de sucesiones, incluyendo la indeterminación 1.

Tomar sucesiones adecuadas y hallar con ellas, de manera intuitiva, el límite de una función en un punto.

Calcular límites laterales en funciones definidas a trozos.

Calcular límites en un punto y en el infinito en los que haya distintas indeterminaciones.

Resolver indeterminaciones del tipo 1 a partir de la sucesión (o función) que sirve para definir el número e.

Hallar límites con infinitésimos equivalentes.

Determinar el () que verifica la definición de límite.

ACTITUDES

Disposición favorable para buscar y reconocer la tendencia de los términos de una sucesión.

Interés por la búsqueda de soluciones en casos de indeterminación.

Valoración positiva de las técnicas para calcular límites y resolver indeterminaciones.

Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver problemas.

Gusto por la utilización de técnicas rigurosas en el cálculo de límites.

Valoración positiva por el uso de las nuevas tecnologías para la determinación de límites.

COMPETENCIAS BÁSICAS Relacionar el cálculo de límites con otras ciencias, como la Física o la Economía, para comprender y expresar

mejor ciertos conceptos, como la velocidad instantánea o las tendencias a largo plazo (C1, C2, C5, C7).

Conocer la aritmética del infinito, las indeterminaciones y los procesos para resolverlas (C2, C7, C8).

A través del cálculo de límites, aprender, entender e investigar otros conceptos matemáticos más complejos (C2, C7).

Reforzar el uso de la calculadora y de los programas informáticos, al obtener expresiones decimales para estimar el valor de un límite y para estudiar las discontinuidades y las asíntotas de una función (C2, C4, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Calculadoras científicas y gráficas que permiten hallar de forma precisa el valor de una función en un punto o en

las proximidades del mismo así como analizar la tendencia de la misma y poder “acercarse al límite”.

Aplicaciones informáticas con cálculo simbólico como Wiris o Derive que permiten introducir funciones mediante sus expresiones algebraicas, operar con ellas y calcular límites, tanto en un punto como en el infinito, así como realizar la representación gráfica de la misma.

8 Continuidad

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Adquirir el concepto intuitivo y formal de la continuidad de una función en un punto y en un intervalo, tanto abierto

como cerrado.

Identificar las funciones continuas y las discontinuas, clasificando en estas las discontinuidades que presenten y determinando los intervalos en los que son continuas.

Aprender a distinguir las ecuaciones que no pueden tener solución de las que seguro que tienen al menos una solución por simple aplicación del teorema de Bolzano, determinando intervalos en donde se hallen las soluciones.

Adquirir los conceptos de acotación, cotas, supremo, ínfimo y extremos absolutos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Estudiar la continuidad de una función en un punto.

B. Saber hallar el dominio de continuidad de una función y su relación con el dominio de la misma.

C. Hallar los valores de ciertos parámetros en las funciones definidas a trozos para que sean continuas en un punto concreto o en un intervalo.

D. Clasificar las discontinuidades de una función discontinua en varios puntos y efectuar una representación aproximada de la función en un entorno de esos puntos.

E. Analizar si una función cumple, o no, las hipótesis del teorema de Bolzano.

F. Determinar intervalos de la amplitud deseada en los que se encuentren las soluciones de una ecuación.

G. Determinar si una función definida en un intervalo está acotada y, en caso afirmativo, encontrar el supremo y el ínfimo.

H. Aplicar e interpretar los teoremas de los valores intermedios y de Weierstrass.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Funciones definidas a trozos.

Continuidad de una función en un punto.

Continuidad de una función en un intervalo.

Propiedades de las funciones continuas en un punto.

Clasificación de los diferentes tipos de discontinuidad.

Continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones.

Continuidad de la función compuesta.

Teorema de Bolzano. Aplicaciones.

Teoremas de los valores intermedios.

Teorema de Weierstrass.

Hallar dominios de funciones.

PROCEDIMIENTOS

Representar funciones polinómicas de hasta segundo grado definidas a trozos.

Calcular parámetros para que una función, dependiendo de uno o dos parámetros y definida a trozos, sea continua.

Determinar los intervalos de continuidad de una función.

Clasificar las discontinuidades y efectuar representaciones aproximadas de las funciones en las proximidades de los puntos de discontinuidad.

Interpretar la gráfica de una función indicando los intervalos de continuidad y clasificando las discontinuidades.

Buscar funciones que presenten un tipo concreto de discontinuidad.

Aplicar el teorema de Bolzano para resolver de forma aproximada alguna ecuación en la que no se pueda despejar x por métodos algebraicos.

Comprobar gráficamente el teorema de los valores intermedios.

Buscar cotas superiores e inferiores así como los máximos y mínimos absolutos de funciones continuas en intervalos cerrados.

ACTITUDES

Interés por el conocimiento de funciones elementales y de su representación.

Valoración del conocimiento de las funciones elementales y de sus gráficas como medio de estudiar el comportamiento de muchos fenómenos sociales y naturales.

Valoración de las aplicaciones del teorema de Bolzano en la resolución de ecuaciones.

Gusto por la precisión, la limpieza y el orden a la hora de representar la gráfica de una función para observar su continuidad o tipos de discontinuidad.

Interés en la búsqueda de problemas de la vida ordinaria en los que aparezcan funciones discontinuas.

Curiosidad por conocer la evolución de los diferentes conceptos matemáticos y de la forma de resolución de ecuaciones a lo largo de la historia de las Matemáticas.

COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar tablas, el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico para transmitir informaciones referentes a la

dependencia, evolución y tendencia de una magnitud física o social respecto de otra (C1, C2, C3, C5).

Interpretar de manera racional la información difundida por los medios de comunicación relativa a funciones de carácter social o económico que pueden presentar discontinuidades en función del tiempo, como el pago de parquímetros, llamadas telefónicas, o de otros parámetros, como los tramos de cotización a Hacienda dependiendo de los ingresos (C1, C2, C5, C8).

Trasladar a otras materias los conceptos de continuidad y discontinuidad, como por ejemplo en el mundo de la Física en donde las discontinuidades aparecen de forma natural, como ocurre en la cuantización de la energía (C2, C3, C6, C8).

Utilizar las nuevas tecnologías para obtener, analizar y difundir informaciones, relativas a temas científicos o sociales que contengan tablas de datos relacionados, o representaciones gráficas de los mismos (C4, C5, C6, C7, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Calculadoras científicas y gráficas que permiten calcular de forma precisa el valor de una función en un

punto o en las proximidades del mismo así como analizar la tendencia de la misma y poder “acercarse al límite”.

Aplicaciones informáticas como Wiris o Derive dotadas de cálculo simbólico que permiten introducir funciones mediante sus expresiones algebraicas, operar con ellas (operaciones algebraicas, composición, inversa, etc.), calcular límites, analizar discontinuidades y, por último, representar la gráfica de la función.

Hojas de cálculo, como Excel, que permiten elaborar tablas de valores de una función y utilizando la posibilidad de escribir los números negativos en rojo detectar los cambios de signos, en funciones continuas, que permiten mediante la aplicación del teorema de Bolzano acercarse al valor de las raíces de la función.

TERCERA EVALUACIÓN

9 Derivadas

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Conocer la interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en un punto y saber calcular la

ecuación de la recta tangente y la recta normal a una curva en un punto.

Saber calcular la función derivada de las funciones elementales y de las obtenidas mediante operaciones algebraicas de las elementales.

Saber aplicar correctamente la regla de la cadena para calcular la función derivada de funciones obtenidas por composición de funciones elementales.

Aprender a calcular diferenciales, comprender su significado geométrico y saber hacer uso de esta herramienta matemática para realizar ciertos cálculos numéricos de forma aproximada.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Calcular la derivada de una función en un punto mediante su definición como límite.

B. Determinar la pendiente de la tangente a una curva en un punto y calcular su ecuación y la de la recta normal a la función en dicho punto.

C. Determinar, mediante la aplicación de las reglas de derivar, la derivada de funciones que se obtienen operando con funciones elementales.

D. Derivar funciones que sean composición de varias funciones elementales mediante la regla de la cadena.

E. Aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada de la función inversa.

F. Aplicar la derivación logarítmica y la implícita.

G. Hallar el valor de la diferencial de una función en un punto para un incremento conocido de la variable.

H. Obtener diferenciales de funciones y en especial de funciones que expresen magnitudes físicas.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Derivada de una función en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada.

Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.

Función derivada. Derivadas sucesivas.

Derivadas laterales.

Derivada de las operaciones con funciones.

Derivada de la función compuesta.

Derivada de la función inversa.

Derivada de las funciones exponencial y logarítmica.

Derivada de las funciones trigonométricas y sus inversas.

Derivación logarítmica e implícita.

Aproximación lineal de una función en un punto.

Diferencial de una función.

PROCEDIMIENTOS

Determinar la derivada de una función sencilla en un punto utilizando la definición.

Determinar la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función en un punto dado.

Obtener puntos de tangencia.

Obtener derivadas laterales en puntos “conflictivos”.

Obtener la derivada de la función suma-resta, producto-cociente y composición de otras funciones con derivadas conocidas.

Aplicar la regla de la cadena.

Obtener la derivada de la función inversa en un punto, cuando no exista una expresión algebraica de dicha función.

Hallar la derivada de funciones exponenciales y logarítmicas.

Obtener mediante derivación logarítmica la derivada de funciones como cocientes, radicales, potencial-exponencial, etc.

Derivar en general cualquier función.

Hallar la diferencial de una función y hacer uso de ella para determinar valores aproximados de la función dada en puntos próximos a uno conocido.

ACTITUDES

Reconocimiento de la utilidad de los distintos lenguajes (verbal, gráfico y simbólico) para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y de otras ciencias.

Valoración positiva de la utilidad y eficacia de los procedimientos que permiten el cálculo de derivadas de funciones elementales para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras ciencias.

Valoración del lenguaje simbólico como instrumento útil para describir la variación de una magnitud, respecto de otra, en un punto o en un intervalo.

Valoración de las reglas de derivación y la regla de la cadena por su utilidad a la hora de calcular derivadas de funciones complejas.

Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad que proporciona el lenguaje matemático de funciones en el tratamiento de la información.

COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico y gráfico para describir la relación que existe entre las variaciones que se

producen en una magnitud y las variaciones que, como consecuencia de estas, aparecen en otra (C1, C2, C3, C5).

Conocer el desarrollo histórico de los conceptos de diferencial y de derivada y valorar la aportación de algunos científicos a este tema y su posterior influencia en el desarrollo científico y tecnológico (C5, C6, C7, C8).

Utilizar las nuevas tecnologías para obtener funciones derivadas y efectuar representaciones gráficas de funciones definidas mediante una expresión algebraica y de su derivada (C2, C4, C7, C8).

Reconocer cómo históricamente las matemáticas y sus aplicaciones tecnológicas han permitido progresar a la humanidad en el conocimiento de las distintas ciencias para conseguir una mejora en sus condiciones de vida (C5).

MATERIALES DIDÁCTICOS Además de las calculadoras científicas ordinarias, que siempre son de una gran utilidad para agilizar los

cálculos, las calculadoras con posibilidad de efectuar representaciones gráficas de funciones y la resolución de ecuaciones son una gran ayuda en esta unidad.

Los programas informáticos dotados de herramientas matemáticas en general, tales como la aplicación Derive, Wiris, etc. favorecen el cálculo y facilitan la obtención de la derivada de una función y pueden ser un instrumento fundamental para la comprobación de los resultados obtenidos en el cálculo de derivadas y para visualizar la relación entre las gráficas de una función y de sus derivadas.

10 FUNCIONES DERIVABLES

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Comprender y saber determinar las derivadas laterales de una función en un punto.

Aprender a resolver límites indeterminados por aplicación de la regla de L’Hôpital.

Utilizar las derivadas primera y segunda de una función para determinar con ellas los intervalos de monotonía, de curvatura y los extremos relativos.

Plantear y resolver problemas de optimización con la herramienta de la función derivada y la determinación de los intervalos de monotonía.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Obtener correctamente las derivadas laterales de una función en un punto, en especial en las funciones con valor

absoluto o definidas a trozos.

B. Determinar el valor de ciertos parámetros para que se verifiquen las condiciones de continuidad y derivabilidad de una función en un punto.

C. Conocer los teoremas de Rolle y del valor medio y aplicarlos a ejemplos concretos de funciones.

D. Resolver límites de funciones en los que aparezca cualquiera de las indeterminaciones.

E. Determinar los extremos relativos de una función y los intervalos de monotonía.

F. Determinar los puntos de inflexión de una función y los intervalos de curvatura.

G. Resolver problemas de optimización relacionados con la geometría.

H. Plantear y resolver problemas de optimización relacionados con las ciencias experimentales y sociales.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Derivadas laterales.

Continuidad de las funciones derivables.

El teorema de Rolle.

El teorema del valor medio de Lagrange.

La regla de L’Hôpital y su aplicación al cálculo de límites.

Indeterminaciones.

Extremos relativos. Crecimiento y decrecimiento.

Problemas de optimización.

Curvatura y puntos de inflexión.

Aplicaciones de la derivada a otras ciencias.

PROCEDIMIENTOS

Obtener las derivadas laterales de una función continua en un punto para determinar si es derivable o no lo es.

Derivar funciones a trozos o con valores absolutos en los puntos de conflictividad.

Analizar en cada caso las hipótesis del teorema de Rolle y calcular, cuando sea posible, el punto o puntos en los que se verifica la tesis del problema.

Aplicar el teorema de Rolle para separar las raíces de una función.

Aplicar el teorema del valor medio para determinar la pendiente de la tangente a un arco de curva que sea paralela a la cuerda que une los extremos del arco.

Resolver indeterminaciones del tipo por aplicación directa de la regla de L’Hôpital.

Resolver otras indeterminaciones después de transformarlas en cocientes del tipo .

Determinar los extremos relativos de una función y los intervalos de monotonía.

Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de curvatura de una función.

Resolver problemas de optimización.

Plantear y resolver problemas de otras disciplinas en las que sea preciso determinar tasas de variación instantánea u optimizar alguna magnitud. Reconocimiento de la utilidad de los distintos lenguajes (verbal, gráfico y simbólico) para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y de otras ciencias.

ACTITUDES

Valoración positiva de la utilidad y eficacia de los procedimientos de cálculo de derivadas de funciones elementales para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras ciencias.

Valoración de las aplicaciones informáticas a la hora de representar de manera precisa la gráfica de una función dada por su expresión algebraica.

Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad que proporciona el lenguaje matemático de funciones en el tratamiento de la información.

Curiosidad por buscar casos que manifiesten cómo actúa la naturaleza para optimizar ciertas magnitudes: cantidad de luz, resistencia al viento, etc.

COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar las funciones y en especial sus gráficas para describir, analizar y determinar el comportamiento de un

fenómeno dado por una expresión algebraica (C1, C2, C3, C5).

Interpretar de manera racional la información gráfica difundida por los medios de comunicación o científicos relativa a la evolución, en función del tiempo, de algunas variables de carácter social o económico (C1, C2, C5, C8).

Acometer, utilizando la terminología adecuada, la resolución de problemas de optimización de carácter científico e incluso funcional o laboral (C2, C3, C5, C6, C8).

Utilizar las nuevas tecnologías para obtener límites y funciones derivadas que nos permitan la resolución de problemas sacados del mundo que nos rodea y cooperar con las ciencias que estudian estos fenómenos (C2, C4, C7, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Calculadoras científicas ordinarias, que siempre es de una gran utilidad para agilizar los cálculos.

Calculadoras con posibilidad de efectuar representaciones gráficas de funciones.

Los programas informáticos dotados de herramientas matemáticas en general, tales como la aplicación Derive, Wiris, etc.

El programa Funciones para Windows que, al igual que los anteriormente citados, permite ver simultáneamente la gráfica de una función y la de sus derivadas, lo que hace posible apreciar gráficamente la relación que existe entre el signo de f ’(x) y el crecimiento de la función y el signo de f ’’(x) y la curvatura de f (x).

11 Representación de funciones

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Conocer y utilizar el procedimiento general para estudiar y representar gráficamente funciones.

Deducir la forma de la gráfica de una función cuando a la función se le aplican transformaciones de diferentes tipos: traslaciones, contracciones, dilataciones, cambio de signo, etc. I. Representar las gráficas de las funciones: –f (x), f (x) + k, f (x+c), a·f (x), f (k·x), |f (x)|, f (|x|) cuando se conoce la gráfica de la función f (x).

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Calcular el dominio de una función dada por su expresión algebraica, su gráfica o mediante un enunciado, así como su continuidad.

B. Calcular los puntos de corte con los ejes y el signo de una función.

C Estudiar las simetrías y la posible periodicidad de una función.

D. Calcular la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos aislados en los que no está definida

E. Calcular las asíntotas de una función.

F. Determinar la monotonía y extremos relativos de una función.

G. Determinar la curvatura y los puntos de inflexión.

H. Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, tras hacer un estudio completo de sus características.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Dominio y recorrido de una función.

Puntos de discontinuidad. Puntos singulares. Puntos críticos.

Puntos de corte con los ejes. Signo de la función.

Simetrías y periodicidad.

Ramas infinitas. Comportamiento asintótico. Asíntotas.

Esquema general para el estudio de una función.

Estudio general y representación gráfica de funciones y familias de funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Construcción de funciones por traslación y por dilatación. Determinar el dominio y recorrido de funciones dadas por su expresión algebraica o por su gráfica.

PROCEDIMIENTOS

Determinar los puntos de corte con los ejes coordenados y los intervalos en los que la función es positiva o negativa.

Determinar la paridad de una función y su período, caso de ser periódica.

Estudiar la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos en los que no está definida, y calcular sus asíntotas.

Calcular y estudiar el signo de las derivadas primera y segunda de la función.

Realizar un estudio completo de diferentes tipos de funciones, en especial polinómicas y racionales, y trazar su gráfica.

Esbozar la gráfica de una función de la que se conocen suficientes características.

Dada la gráfica de una función f (x) representar las de las funciones: f (x) + k, – f (x), f (x+c), a·f (x), f (k·x), |f (x)|, f (|x|).

ACTITUDES

Gusto por el rigor y el orden a la hora de estudiar y representar funciones dadas por sus expresiones algebraicas.

Valoración de la representación gráfica de una función a la hora de interpretar el comportamiento del fenómeno al que dicha gráfica está asociada.

Valoración crítica de la información recibida en forma gráfica.

Valoración de la calculadora y los recursos informáticos a la hora de representar de manera precisa la gráfica de una función dada por su expresión algebraica.

Interés por las nuevas tecnologías para aplicarlas al estudio y representación gráfica de funciones.

COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar las funciones y en especial sus gráficas para describir, analizar y determinar el comportamiento de un

fenómeno dado por una expresión algebraica (C1, C2, C3, C5).

Interpretar de manera racional y crítica la información gráfica difundida por los medios de comunicación relativa a la evolución, en función del tiempo, de algunas variables de carácter social o económico (C1, C2, C5, C8).

Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y global de las funciones (C2, C4, C7, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Aplicaciones informáticas como Wiris o Derive que permiten representar funciones dadas por su expresión

algebraica y en el caso de Wiris señalar y dar las coordenadas de sus puntos de corte con los ejes, máximos y mínimos; y dibujar y dar las ecuaciones de las asíntotas

Calculadoras científicas y gráficas.

12 Cálculo de primitivas

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Calcular primitivas de funciones elementales que cumplan unas determinadas condiciones.

Aplicar correctamente y en los casos apropiados el método de integración por partes.

Descomponer las funciones racionales de la forma en fracciones simples para después hallar una

primitiva de las mismas.

Encontrar las transformaciones necesarias, y los cambios de variable oportunos para convertir una integral en inmediata y poder así resolverla.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Hallar una función de la que se conoce su derivada y un punto de su gráfica.

B. Resolver problemas elementales de cinemática por la aplicación del cálculo integral.

C. Resolver por partes las integrales de funciones del tipo: , , etc.

D. Resolver, por reiteración del método de integración por partes, integrales de funciones como .

E. Calcular integrales de funciones racionales con raíces reales, simples y múltiples, en el denominador.

F. Efectuar la descomposición y las integrales de funciones racionales con raíces complejas simples en el denominador.

G. Efectuar transformaciones sencillas en la función integrando para transformar las integrales en inmediatas.

H. Resolver integrales, especialmente trigonométricas, por cambio de variable.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Primitivas de una función.

Relación entre todas las primitivas de una función.

La integral indefinida.

Propiedades de la integral indefinida.

Integrales inmediatas.

Integración por partes.

Integración de funciones racionales.

Integración por cambio de variable.

Integración de algunas funciones trigonométricas.

Integrales no elementales.

PROCEDIMIENTOS

Buscar primitivas de una función con una condición dada.

Aplicar a los problemas de cinemática los conceptos de primitiva de una función y determinar las constantes de integración mediante las condiciones iniciales.

Calcular primitivas de funciones polinómicas.

Buscar funciones primitivas de otras que precisen de una sencilla transformación para que se perciban como inmediatas.

Aplicar a distintas funciones el método de integración por partes para distinguir cuándo el método es conveniente.

Descomponer funciones racionales en fracciones simples.

Integrar funciones racionales con raíces reales, simples y múltiples.

Integrar funciones racionales de la forma con .

Resolver integrales “cuasi-inmediatas” tratando de evitar el cambio de variable.

Aplicar el cambio de variable para resolver algunas integrales de funciones trigonométricas o radicales.

ACTITUDES

Valoración positiva de la utilidad y eficacia de los procedimientos que permiten el cálculo de primitivas de funciones sencillas, para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras ciencias.

Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la integración y sus aplicaciones.

Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en los que sea preciso el cálculo integral.

Gusto por la aplicación clara precisa y ordenada del método, a veces muy largo, de la descomposición en fracciones simples.

Curiosidad por conocer cómo ha ido evolucionando el problema del cálculo diferencial e integral.

COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar de forma rigurosa y en lenguaje matemático adecuado la relación que existe entre primitiva y derivada

de una función, e incluso relacionando la primitiva con el área del recinto que limita la función (C1, C2).

El cálculo integral está íntimamente relacionado con otras ciencias, como la Física, lo que permitirá comprender y expresar mejor y expresar mejor ciertos conceptos, como, por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una trayectoria (C1, C2, C3, C8).

Potenciar la creatividad de los alumnos sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver el problema del cálculo de primitivas de una función (C7, C8).

Utilizar las nuevas tecnologías para encontrar de manera rápida una primitiva de una función cuando para ello sea preciso hacer cálculos largos y tediosos (C2, C4, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS Los programas informáticos como Derive, dotados de diversos tipos de herramientas matemáticas, no

solamente realizan integrales definidas mediante métodos numéricos, sino que además admiten el cálculo simbólico y determinan primitivas de una función.

Con Wiris también se dispone de cálculo simbólico y de la posibilidad de hacer integrales indefinidas y definidas.

13 Integral definida

OBJETIVOS DIDÁCTICOS Obtener sumas de Riemann de una función continua cualquiera en un intervalo [a, b].

Aplicar la regla de Barrow para obtener el resultado de integrales definidas de funciones continuas de las que se conoce una primitiva.

Derivar funciones dadas bajo el signo integral por aplicación del teorema fundamental del cálculo.

Aplicar el concepto de integral definida a la resolución de problemas geométricos o de otras ciencias.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNA. Hallar la suma de Riemann en un intervalo [a, b] de una función lineal.

B. Obtener sumas de Riemann de otras funciones y calcular su límite cuando n .

C. Resolver integrales definidas de funciones de las que se obtenga una primitiva de forma inmediata.

D. Resolver integrales definidas en las que haya que utilizar la propiedad de aditividad del intervalo.

E. Derivar funciones integrales de la forma

F. Calcular el área del recinto limitado por una curva y el eje de abscisas, o por dos curvas.

G. Resolver mediante integral definida problemas relacionados con otras ciencias y en especial con la Física.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

Área bajo una curva.

Sumas de Riemann.

La integral definida. Propiedades.

Teorema del valor medio del cálculo integral.

La regla de Barrow.

La función integral.

Teorema fundamental del cálculo.

Áreas de recintos planos.

Aplicaciones de la integral definida a otras ciencias.

PROCEDIMIENTOS

Calcular áreas bajo funciones rectilíneas.

Calcular áreas mediante particiones del intervalo.

Calcular sumas de Riemann.

Aplicar la regla de Barrow a integrales definidas polinómicas.

Aplicar la regla de Barrow a funciones definidas a trozos o con valores absolutos.

Determinar el valor medio, cuando sea posible, cuya existencia asegura el teorema del valor medio del cálculo integral.

Derivar funciones integrales y calcular los extremos relativos de estas.

Hallar el área del recinto limitado por una función y el eje de abscisas y el limitado por dos funciones.

Resolver problemas de cinemática y de dinámica utilizando la integral definida.

ACTITUDES

Valoración positiva de la utilidad y eficacia de los procedimientos que permiten el cálculo de primitivas de funciones sencillas, para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras ciencias.

Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la integración y sus aplicaciones.

Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en los que sea preciso el cálculo integral.

Gusto por la representación gráfica clara y precisa de las curvas que limitan los recintos cuyas áreas se pretende calcular.

Curiosidad por conocer cómo ha ido evolucionando el problema del cálculo de áreas a lo largo de la historia de las matemáticas y cómo se ha resuelto con el teorema fundamental del cálculo.

COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar de forma rigurosa y en lenguaje matemático adecuado la relación que existe entre una función y el

área del recinto que limita (C1, C2).

El cálculo integral está íntimamente relacionado con otras ciencias, como la Física, lo que permitirá comprender mejor y expresar mejor ciertos conceptos, como por ejemplo el trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una trayectoria (C1, C2, C3, C8).

Potenciar la creatividad de los alumnos sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver el problema del cálculo de área limitada por una curva (C7, C8).

Utilizar las nuevas tecnologías para representar de manera precisa y resolver problemas de áreas de recintos limitados por funciones conocidas (C2, C4, C8).

MATERIALES DIDÁCTICOS El uso de calculadoras con posibilidades gráficas es una gran ayuda para “ver” rápidamente los recintos

limitados por las funciones que queremos integrar.

Los programas informáticos como Derive, dotados de diversos tipos de herramientas matemáticas, no solamente realizan integrales definidas mediante métodos numéricos, sino que además admiten el cálculo simbólico y determinan primitivas de una función.

Con Wiris también se dispone de cálculo simbólico y de la posibilidad de hacer integrales indefinidas y definidas.