Funciones,Derivadas, Integrales Aplicadas en La Economia (1)2j

FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

ESCUELA PROFESIONAL DE

INGENIERIA ELECTRICA

CURSO: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA: FUNCIONES, DERIVADAS E INTEGRALES APLICADAS A LA ECONOMIA

PROFESOR: WILFREDO MORALES VARGAS

INTENGRANTES:

ALVA PAREDES MIGUEL ANGEL 1123110193

AREVALO VALLE KEVIN ARNOLD 1123120315

BERROA MATOS BRIAN ANDRE 1123110618

JAUREQUI ALFARO RODRIGO SEBASTEAN 1123120137

SORIANO MEJIA GIAN FRANCO 1123110201

14 DE NOVIEMBRE DEL 2012.

1


INDICE

INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………. 3

FUNCIONES APLICADAS ALA ECONOMIA………………………………………………………………… 4

PROBLEMAS PROPUESTOS …………………………………………………………………………………… 8

DERIVADAS APLICADAS A LA ECONOMIA……………………………………………………………… 15

PROBLEMAS PROPUESTOS…………………………………………………………………………………… 18

INTEGRALES APLICADAS A LA ECONOMIA………………………………………………………….... 31

PROBLEMAS PROPUESTOS………………………………………………………………………………….. 34

CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………………... 40

2


INTRODUCCIÓN

Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma

naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio

cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se

esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por

acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica

De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las

derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones

multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio

de una variable independiente de una f (x , y ) son las derivadas parciales respecto a x o y,

manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas

especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.

FUNCIONES APLICADAS A LA ECONOMIA

3


1. Funciones Costo. Ahora se considera distintos tipos de costo, que son funciones del siguiente tipo:Función costo total.Esta función representa el dinero que sale de una organización y se encuentra definida en términos de dos componentes: costo variable y costo fijo. Donde los costos variables representan los costos de las materias primas y los costos relacionados con la mano de obra, entre otros; los costos fijos representan los costos en los que se incurre, por ejemplo, por concepto de renta del edificio y manutención de la organización. Ambas componentes deben sumarse para obtener el costo total, así:

Costo total = Costo variable + Costo fijo

Función costo promedio.Anteriormente se definió la función costo total Q(x ) .Ahora se define una función q (x)que se llama función costo promedio, la cual se re…ere al costo por producir una sola unidad, es decir:

q (x)=Q(x )x

2. FUNCION INGRESO

Los ingresos totales son el efectivo que el fabricante o el productor recibe por la venta de su producción. Relaciona a las cantidades vendidas por el precio de cada una de ellas, es decir:

Ingreso total = (precio por unidad). (Número de unidades vendidas)

I (x)=p .q

El precio algunas veces lo rige el mercado, por lo cual se pude determinar que la variable “p” estará determinada por la función de demanda en el mercado, es decir:

Ingreso total = (función de demanda). (Número de unidades vendidas)

I (x)=f (x ). q

INGRESO PROMEDIO

4


Rp=r (x)/ x

3. FUNCIONES OFERTA Y DEMANDA

Si xes el número de Unidades de un bien; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:

Y=f (x )

Dónde: en la práctica x se toma siempre positivo.

Si: f ’>0; la función es de oferta

Si: f <0; La función es de Demanda.

El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

Cuando

Ed> 1 Demanda elásticaEd= 1 Demanda unitaria

Ed< 1 Demanda inelástica

UTILIDAD O GANANCIA :

5

Oferta y demanda

0

10

20

30

40

50

60

70

0 100 200 300 400 500 600

cantidades

pre

cio

s

demanda

oferta


Si x es el número de Unidades; siendo R(x ) el Ingreso Total; c (x ), el costo total; la ganancia

entonces es:

G(x )=R(x )– C(x )

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto

significa :

G’(x )=R ’ (x) –C ’ (x )=0

r ’ (x)=C ’(x )

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal.

A continuación los problemas desarrollados:

Problemas 6

Para el libro “La casa de los espíritus” en su última edición, se determinó que la función de oferta es O (p )=p2−9 p+470 y la función demanda está dada por D (p )=500−2 p , donde p es el precio en dólares. Tenemos que O y D representan el número de libros ofrecidos y demandados, respectivamente:

a) ¿Cuál es el precio de equilibrio (O( p)=D( p))?

b) Determine la cantidad de libros ofrecidos y demandados en el precio de equilibrio.

Solución:

6


a) Para encontrar el precio de equilibrio entre la oferta y la demanda igualamos las ecuaciones:

p2−9 p+470=500−2 p

p2−7 p−30=0

p=10

Entonces el precio de equilibrio es 10 dólares.

b) Para encontrar la cantidad de libros ofrecidos y demandados basta con reemplazar el precio de equilibrio en una de las ecuaciones:

Reemplazando en la ecuación de la oferta:

O (p )=p2−9 p+470

O (10 )=(10)2−9(10)+470

O (10 )=480

Reemplazando en la ecuación de la demanda:

D (p )=500−2 p

D (10 )=500−2(10)

D (10 )=480

Entonces la cantidad de libros ofrecidos y demandados es 480 libros.

Problema7:

7


Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar, determina que la cantidad de kilogramos embalados por día,u (n ) es una función del número de trabajadores (n), donde:

u(n)=20n3+5n+33

El ingreso total I (u ), que se recibe por la exportación de u kilogramos de fruta embalados está dado por:

I (u )=570.u

a) ¿Cuál es el Ingreso total si el embalaje de 120 trabajadores es vendido?

b) En invierno se reduce la cantidad de trabajadores de la parte a) en un 40%, ¿Cuántos kilogramos se embalan por día?

c) ¿Cuál es el ingreso total para el exportador si el embalaje de n trabajadores es vendido?

Solución:

a) Como el ingreso total I (u ) está en función de la cantidad en kilogramos de frutas embalados u(n) primero hallamos u(120) y luego I (u ):

u(n)=20n3+5n+33

u(120)=20(120)3+5(120)+3

3

u (120 )=11520201

I (u )=570.u

I (11520201 )=570 (11520201)

I (11520201 )=6566514 570

8


Entonces el ingreso total es 6566514570 u.m. (unidad monetaria)

b) Como se reducen los trabajadores en un 40% entonces 120 x40100

=48, entonces los

trabajadores restantes eran 120−48=72, reemplazando en la ecuación u(n):

u(n)=20n3+5n+33

u(72)=20(72)3+5(72)+3

3

u (72 )=2488 441

Entonces se embalan 2 488 441 kilogramos de fruta por día cuando hay 72 trabajadores.

c) Hallando el ingreso total haciendo I (u ) en función de u(n) entonces I (u (n))

u(n)=20n3+5n+33

I (u )=570.u

I (u (n))=570( 20n3+5n+33

)

I (u (n))=190(20n3+5n+3)

I (u (n))=3800n3+950 n+570.

Problema 8:

Un fabricante puede vender q unidades de un producto al precio p por unidad, en donde 20 p+3q=600 . Como una función de la cantidad q demandada en el mercado, además se sabe que el ingreso semanal está dado por R=30q−0,15q2. ¿En qué forma depende Rdel precio p?

9


Solución:

Despejando q:

20 p+3q=600

q=600−20 p3

q=200−203

R en función dep:

R(q (p ))=30(200−203

)−0,15 (200−203

)2

R (q ( p ))=6000−200 p−0,15(40000−80003

p+ 4009p¿¿2)¿

R (q ( p ))=200 p−203p2

Problema 9:

El número de viviendas construidas por año,N , depende de la tasa de interés hipotecaria r de acuerdo con la fórmula:

N (r )= 50

100+r 2

Donde N está en millones de viviendas. La tasa de interés actualmente está en 12% y se predice que disminuirá a 8% en los dos siguientes años de acuerdo con la fórmula:

r ( t )=12− 8 tt+24

Donde t es el tiempo medido en meses, a partir de ahora.

10


a) Exprese el número de viviendas en función del tiempo.

b) ¿Cuál es el número de viviendas en este instante?

c) ¿Cuál es el número de viviendas transcurrido un año y 6 meses?

Solución:

a) número de viviendas en función del tiempo:

r ( t )=12− 8 tt+24

r (t )=4 t+288t+24

N (r )= 50

100+r 2

N (r (t))= 50

100+(4 t+288t+24

).2

Así que expresado el número de viviendas en función del tiempo

N (r (t))= 50 t 2+2400 t+28800116 t2+7104 t+140544

b) Para calcular el número de viviendas en este instante basta con reemplazar el tiempo t=0 en la función N (r (t)):

11


N (r (t))= 50

100+(4 t+288t+24

).2

N (r (0))= 50

100+(4 (0)+288(0)+24

) .2

N (r (0 ) )=0.204918

Entonces el número de viviendas en este instante es aproximadamente 204 918 viviendas.

c) Para calcular el número de viviendas en un año y 6 meses ahí que reemplazar en tiempo en la función N (r (t)) teniendo en cuenta que en tiempo está en meses entonces t=18

N (r (t))= 50

100+(4 t+288t+24

).2

N (r (t))= 50

100+(4 (18)+288(18)+24

) .2

N (r (t ))=0.288235

Entonces el número de viviendas en un año y 6 meses es aproximadamente 288 235 viviendas.

DERIVADAS APLICADA EN LA ECONOMIA

Las funciones que hemos estudiado y que se usan frecuentemente en Economía tales como funciones de costos, ofertas, etc.

12


Ahora con la ayuda de la derivada estudiaremos algunos problemas de interés; para esto se sabe que las razones de cambio en el campo de la economía, no se miden con respecto al tiempo; por ejemplo los economistas se refieren al beneficio marginal, ingreso marginal y costo marginal respecto al número de unidades producidas o vendidas.

1. COSTOS MARGINALSi C(x) representa el costo total de producir x unidades de cierta mercancía, entonces el costo marginal cuando se producen a unidades está dado por C'(a) , si ésta existe. La función C '(x) se llama la función de Costo Marginal.

Cm=C‘ (x)=dy /dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL:

Cpm=dy /dx=xC ’(X )– C(x )/ x2d /dx∗Cp

2. INGRESOS MARGINAL:Si I (x) representa la función de ingreso total obtenido cuando se demandan x unidades de cierta mercancía, entonces el ingreso marginal cuando se producen a unidades está dado por I '(a) , si ésta existe. La función I '(x) se llama la función de Ingreso Marginal.


Actividad 1:

1. Sea c=400

ln (q+4) , el costo promedio de producir q unidades.

a) encuentre la función de costo marginal. b) calcule el costo marginal para q=30.c) interprete sus resultados

Desarrollando

a) Encontrar la función del costo marginal

El costo promedio

13


C= 400 ln eln (q+4)

Derivando el corto promedio para hallar el costo marginal queda:

C '=400¿¿

C '=400( (q+4 ) ln (q+4 )−q)

(q+4) ln (q+4)2

b) calcular el costo marginal para q=30

C '=400( (30+4 ) ln (30+4 )−30)

(30+4) ln (30+4)2

C '=85.04

c) e l costo para 30 unidades será de 85.04 por unidad2. Sea 25 ln (q2+1 )+12 el costo total de producir q unidades de un producto.

a) encuentre la función de costo marginal. b) encuentre el costo marginal para q=3.c) interprete el resultadoDesarrollando

a) encontrando las función de costo marginalC=25 ln (q2+1 )+12

C '=(25 ln (q2+1 )+12) '25 ln (q2+1 )+12

C '= 50q

q2+1

b) encontrando el costo marginal para q=3

C '=50 (3)(3)2+1

C '=15

c) el costo de producir 3 unidades será de 15

14


3. suponga c=25

ln (q+2) representando la ecuación de la demanda de un

determinado producto. Determine a) la función de ingreso marginal. b) la función ingreso marginal para q=2. c) interprete sus resultadosDesarrollando

a) la función de ingreso marginal

. la función de la demanda seria

D= 25ln (q+2)

El ingreso

I=(25 ln (e)ln (q+2 )

)

El ingreso marginal

I '=25¿¿

I '=25((q+2 ) ln (q+2 )−q)

(q+2) ln (q+2)2

b) la función ingreso marginal para q= 2I '=11.52

c) el ingreso aumentara en 11.52 de un determinado producto por la demanda 2 unidades

4. sea c=400e(3q+200)/300 el costo promedio de producir q unidades. a) Encuentre la función de costo marginal y el costo para q=98. b) Interprete resultados

Desarrollando

a) El costo promedio esc=400e(3q+200)/300

El costo margina se halla derivando el costo promedio

C '=400e3q+200300 ( 3q+200

300)'

c=4e(3q+200)/300

15


el costo marginal cuando q=98

c=4e3 (98 )+200300

c=20.75b) El costo de producción por unidad es de 20.75 de 98 unidades

5. Sea p=25e−0.02q la ecuación de la demanda de un determinado artículo. a) determine la función de ingreso marginal b) la función ingreso marginal para q=98c) interprete sus resultados

Desarrollandoa) determine la función de ingreso margina

. Para hallar el ingreso promedio I=Q∗D

I=q (25e−0.02q)

Hallando el ingreso marginalI=q (25e−0.02q )'+q ' (25e−0.02q)

I=25(e−0.02q(1−0.02q))

b) la función ingreso marginal para q =98I=25(e−0.02(98)(1−0.02 (98)))

I=−3.38

c) la cantidad de ingreso por articulo disminuirá 3.38 por la cantidad de 98 unidades

6. (precio marginal) la ecuación de demanda de cierto artículo es p=25e−0.02q

a) determine la función de precio marginalb) evalué el precio marginal para un nivel de producción de 100 unidadesc) interprete sus resultados (recuerde que el precio marginal es dp /dq)

16


Desarrollando

a) determine la función de precio marginal. Para encontrar el precio marginal debemos derivar

p=25e−0.02q

p'=25e−0.02q∗(−0.02)

p=−0.5e−0.02q

b) evalué el precio marginal para un nivel de producción de 100unidadesp=−0.5e−0.02∗100

p=−0.068

c) el precio de cierto articula disminuirá 0.068 por cada por 100 unidades

7. Una maquina se desprecia años después de su compra a un valor dado por D(t )=5000e−0.03 t

a) calcule la razón de cambio b) la razón de cambio porcentual con respecto al tiempo

Desarrollandoa) Primero es hallar la razón de cambio

D '(t )=(5000 e−0.03 t)

D (t )=−150e−0.03 t

b) Hallando el razón de cambio porcentual

R%=R 'R

∗100

R%=¿−150e−0.03 t

5000e−0.03 t∗100

R%=−3%

c) la máquina para un intervalo de tiempo se devaluara 3%

8. Sea S ( I )=0.3 I−0.5e−0.2 I la función de ahorro de cierto país

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a) Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I=5 miles de millones

b) interprete Desarrollandoa) Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I=5

. Hallaremos la función del consumo y del ahorro

AhorroS ( I )=0.3 I−0.5e−0.2 I

. Consumo

C ( I )=0.3 I+0.5e−0.2 I

. Hallando propensión de ahorro y consumo

AhorroS' (I )=0.3+0.1e−0.2 I

Para I=5

S' (I )=0.3+0.1e−0.2(5)

S' (I )=0.337

Consumo

C ' ( I )=0.3−0.1e−0.2 I

Para un I=5

C ' ( I )=0.3−0.1e−0.2(5)

C ' ( I )=0.253

b) El país dedica 0.337 miles de millones al ahorro, y dedica país dedica 0.253 miles de millones al consumo adicional a la renta

9. Un capital de 6000UM se deposita en un banco a una tasa anual de 8% capitalizable continuamentea) Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al

tiempoDesarrollando

a) Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo

18


La ecuación para una taza capitalizable continúa M=I e%∗t

Por lo dado M=6000e0.08∗t

M '=480e0.08∗t

. Para hallar la tasa de cambio porcentual

T %=M 'M

∗100

T %= 480e0.08∗t '

6000e0.08∗t∗100

T %=8%

10.Un capital de 6000UM se deposita en un banco a una tasa anual de 8% capitalizable continuamenteDesarrollando

a) Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo

Por lo dado M=5000e0.08∗t

M '=400e0.08∗t

. para hallar la tasa de cambio porcentual

T %=M 'M

∗100

T %= 400e0.08∗t '

5000e0.08∗t∗100

T %=8%

Actividad 2:

1. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es

R ( x )=150 x− x2

4

Determine:

a) La función ingreso marginal (R' (x ))b) Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades.

19


Solución:

R ( x )=150 x− x2

4

a) R' (x )=150− x2

b) R ( x+300 )=150( x+300)−¿¿

R' (x+300 )=−x2

2. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular esta dado como una función del tiempo t por la fórmula :

S (t )=10000+2000 t−200 t2

, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana. Determine la tasa de cambio cuando:

a) t=4y ¿Qué significa?b) t=8 y ¿Qué significa?c) Compare los resultados. ¿Qué encuentra?

Solución:

Calculando la función Ingreso marginal:

S ' ( t )=2000−400 t

a) t=4S' (4 )=2000−400 (4 )

S' (4 )=400

Esto significa que la cantidad de discos vendidos ira creciendo a razón de 400 discos por semana.

b) t=8S' (4 )=2000−400 (4 )

20


S' (4 )=−1200

Esto significa que la cantidad de discos vendidos ira decreciendo a razón de 1200 discos por semana.

c) Analizando los resultados en a y b, nos damos cuenta que si el tiempo dado en semanas no sobrepasa en t=5, la cantidad de discos vendidos incrementaran, dándose caso contrario si sobrepasan los t=5 semanas.

3. El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora de discos, está dado por :

C ( x )=1500−3 x+ x3

a) Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad. b) Calcule C’ (100). ¿Qué significa?

Solución:

a) C ' ( x )=3 x2−3

b) C '(100)=3(100)2−3

C ' (100 )=2997

Esto significa que la cantidad del costo irá creciendo a razón de 2997 miles de pesos por 100 mil CDs.

4. Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores pequeños sea:

R ( x )=100 x−0.1 x2 , 0≤ x≤800

, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300,500 y 600.

Solución:R ' ( x )=100−0.2x

a) Cuando x=300

21


R ' ( x )=100−0.2x

R' (300)=100−0.2(300)

R ' ( x )=40

El ingreso marginal para las 300 unidades vendidas será 40 mil dólares.

b) Cuando x=500R ' (500 )=100−0.2(500)

R ' (500 )=0

El ingreso marginal para las 500 unidades vendidas será 0 dólares. No hay ingresos.

c) Cuandox=600

R ' (600 )=100−0.2(600)

R' (600)=−20

El ingreso marginal para las 600 unidades vendidas será 20 (negativo). Esto traerá un descenso en el ingreso total.

5. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la ecuación:

R ( x )=100 x−x2 , x≥0

, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20000 barriles (es decir x=20)

Solución:

Calculando la función ingreso marginal:

R ' ( x )=100−2x

a) Cuando x=20

R ' (20 )=100−2(20)

22


R ' (20 )=60

El ingreso marginal para los 20mil barriles de petróleo será 60mil dólares.

6. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este producto, su ingreso está dado por :

R ( x )=1500 x−0.02 x2 , 0≤ x≤1000

, donde x es el número de unidades vendidas y R(x ) está en dólares. Encuentre el ingreso marginal enx=500, interprete el resultado.

Solución:

Calculando la función ingreso marginal:

R ' ( x )=1500−0.04 x

a) Cuando x=500R ' ( x )=1500−0.04 x

R' (500)=1500−0.04 (500)

R ' (500 )=1480

El ingreso marginal para la cantidad de 500 personas será 1480 dólares.

7. La producción semanal de cierto producto es Q ( x )=200 x+6 x2 , donde x es el número de trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre Q’(x ) y calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado.

Solución:

a) Q ' ( x )=200+12 x

Q ' (60 )=200+12(60)

23


Q ' (60 )=920

El tiempo de producción para la cantidad de 60 trabajadores es la de 920 semanas.

b) Q ' ( x+1 )=200+12(x+1)

Q ' (60+1 )=200+12(60+1)

Q ' (61 )=932

El tiempo de producción por la suma de un trabajador será la de 932 semanas.

Por lo tanto, la llegada de un nuevo trabajador en la línea de ensamblaje traerá consigo la diferencia de 12 semanas de trabajo en la producción.

Actividad 3:1. Halla la derivada de Y en la siguiente ejercicio

Y=ln (e x+1)5

5 ln(e x+1)

5(e x+1)−1 (e x )

5(1−(e x+1))

2. Hallar la derivada deY en el ejercicio presentado

Y=[ ln(1−x)]/2 x

[−(1−x)−1(2 x )−ln (1−x) x (2x−1)] /22 x

−[(2x / (1−x ))−ln(1−x )x (2 x−1)]/22x

−2 x [(1−x )−1 ln (1− x)(2 x−2)]/22 x

3. Hallar la derivada de Y en el ejercicio mostrado

(e x+1−x)/(e x+2)

[(e x+1−1)(e x+2)−(e x+1−x)(e x+2)]/ (e x+2)2

24


[(e 2x+1+2e x+1−e x−2)−(e2x+3−xe x+2)] /e(2x+4)

4. Hallar la derivada de Y

y=log(e 3x )}

y=3 log(e x )

3(e x)−1e x log (e)

3 log(e)

5. Hallar la derivada de Yy=[ log(x 2)] /x 2

[2 log(x)]( x2)

2[(xln 10)−1(x2)−log(x)2 x] /x 4

2[1−log(x)2x ] / ln(x2)

6. Hallar la derivada de Y

y=(1+log( x))1/2

½ (xln(10))1 /2

7. Calcular la ecuación de la recta tangente en la curva y=x 2e(3x−3) ,cuando X=1y=x 2e(3x−3)-----deviramos

2 xe(3x−3)+x 2(e3 x−3)(3)……… ahora reemplazando para x=1

Y=5entonces…….

y− y0=5(x−x 0)la ecuación de la recta tangente

Y=5 x−4

25


INTEGRALES APLICADAS A LA ECONOMIA

APLICACIONES A LA ECONOMIA Y LOS SEGUROS.

Los economistas sostienen que algunas veces es más fácil obtener los datos que reflejan los incrementos ocasionados en los costos e ingresos, obtenidos con la producción y venta adicional de un determinado artículo, es por esta razón que no es posible determinar directamente las funciones costo e ingreso total a las que corresponden dichos datos, pero se pueden conocerla funciones costo e ingreso marginal a las que corresponden, de esta manera se pueden determinar las funciones costo e ingreso total de la siguiente manera.

1. Costo marginal.

Si la función costo marginal está dada por

Q 0(x )=dQ(x )/dx

Entonces, el costo total será la integral con respecto a x de la función costo marginal, es decir,

Q 0(x )dx=Q(x)+c :

Para obtener una única función costo total, al integrar dicha función, debe especificarse una condición inicial, la cual es el costo.

2. Ingreso marginal.

El ingreso marginal que depende de la cantidad demandada, es la derivada del ingreso total con respecto a x; es decir,

dR (x)/dx=R 0(x);

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por tanto, la función ingreso total es la integral, con respecto a x; de la función ingreso margina ,es decir,

R(x )=R0(x )dx;

y dado que,

R0(x )dx=R(x )+c ;

se tiene que especificar una condición inicial para obtener una única función ingreso total. Para evaluar la constante de integración puede usarse la condición inicial de que el ingreso es nulo cuando la cantidad de demanda es nula

3. Beneficio (Ingresos contra costos).

La integración se utiliza en administración y economía para determinar el bene…cio total o las ganancias netas totales. En general, se maximiza el bene…cio (suponiendo libre competencia) cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. El bene…cio total se determina integrando la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal, desde cero hasta la cantidad x¤ para la cual el beneficio es máximo, es decir:

G(x )=0(R0 (x)¡Q0 (x))dx :

1. EXEDENTE (O SUPERÁVIT) DEL CONSUMIDOR

Las cantidades de un artículo que podría comprarse a diversos precios, se representan mediante la función demanda. Cuando el precio en el mercado es y0y la correspondiente cantidad demandada es x0 , entonces los consumidores que estuviesen dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado, se benefician por el hecho de que el precio es solamente y0 .

De acuerdo a ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del consumidor está representada por el área bajo la línea de demanda y=f ( x ) y sobre la recta y= y0y que se conoce como excedente (o superávit) del consumidor y que es calculado así:

27


∫0

x0

F (x )dx−x0 y0

La otra forma de calcular es así:

∫y0

m0

F ( y )dy

Excedente del consumidor:

∫0

x0

F (x )dx−x0 y0=∫y0

m0

F ( y )dy

2. EXDENTE (O SUPERÁVIT) DEL PRODUCTOR

Las cantidades de un artículo que se ofrecen en el mercado a diversos precios, se representan mediante la función oferta Cuando el precio en el mercado es y0 y la correspondiente cantidad ofrecida es x0 , entonces los productores que estuviesen dispuestos a pagar un precio inferior al del mercado, se benefician por el hecho de que el precio es y0 .

De acuerdo a ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del productor está representada por el área bajo la curva de oferta y=f ( x ) y bajo la recta y= y0y que se conoce como excedente (o superávit) del productor y que es calculado así:

x0 y0−∫0

x0

F ( x )dx

La otra forma de calcular es así:

∫m0

y0

F ( y )dy

Excedente del consumidor:

28


x0 y0−∫0

x0

F ( x )dx=∫m0

y0

F ( y )dy

INGRESOS FRENTE A COSTOS

En administración y economía para determinar la utilidad total o las ganancias netas se utiliza la integración y para esto se maximiza la utilidad que ocurre cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal de donde la utilidad total se determina integrando la diferencia entre el ingreso marginal (IM) y el costo marginal (CM) desde cero hasta la cantidad en la cual la ganancia es máxima. Esto es:

∫0

x0

( ℑ−CM )dx


1.- Sea la función demanda D ( x )=2 x4−5 x2+4, determinar el excedente del consumidor empleando dos métodos distintos.

a) Si x0=1 ,

b) Si y0=3.

Resolución utilizando el primer método

Sea la ecuación de la demanda D ( x ) entonces el excedente del consumidor será:

∫0

x0

D ( x )dx−x0 y 0

a) x0=1→ y0=1

∫0

x0

(2x4−5x2+4 )dx−1.4=( 25 x5−53 x3+4 x )01

−1=2615

Sea la ecuación demanda D ( y ) entonces el excedente del consumidor será:

∫y0

m0

D ( y )dy

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Para hallar D ( y ) debemos despejar x de D ( x )esto es:D ( y )=x=√√ y2− 716

+ 54

b) y0=3→m0

∫3

4

(√√ y2− 716

+ 54¿)dy≫μ=√ y2− 7

16+ 54

≫ dμdy

= 1

4 √ y2− 716

≫dy=4 dμ(u−54)¿

4∫3

4

μ1/2(μ¿−54

)dμ≫( 85(√ y2− 7

16+ 54)5 /2

−103

(√ y2− 716

+ 54)3/2

)3

4

≫≫EC≈1.547¿

2.- Sea la función demanda D ( x )=12

(x−3)

, determinar el excedente del consumidor

empleando dos métodos distintos.

a) Si x0=1 ,

b) Si y0=4.

Primer método

a) Si x0=1→ y0=4

∫0

112

(x−3)

dx−1.4≫(

12

( x−3 )

ln( 12 ))

0

1

−1.7≫ EC≈1,770

D ( x )=12

( x−3)

→D ( y )= ln ( y )

ln( 12 )+3

Para hallar D ( y ) debemos despejar x de D ( x )esto es:D ( y )=x= ln ( y )

ln( 12 )+3

Segundo método

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c) Si y0=4→m0=8

∫4

8

(ln ( y )

ln( 12 )+3

¿)dy≫ 1

ln( 12 )( y ln ( y )− y )4

8+3 y48≫ EC≈1.770¿

3.- Sea la función demanda D ( x )=36−4 x−x2, determinar el excedente del consumidor empleando dos métodos distintos.

a) Si x0=2 ,

b) Si y0=25.

Primer método

a) Si x0=2→ y0=24

∫0

2

(36−4 x−x2 )dx−2.24≫(36 x−2x2− x3

3 )0

2

−48≫ EC≈403

=17.133

Para hallar D ( y ) debemos despejar x de D ( x )esto es:D ( y )=x=√40− y−2

Segundo método

b) Si y0=25→m0=36

∫25

36

(¿√40− y−2)dy≫¿¿¿

4.- si la función de demanda es D ( x )=√16−x , x0=4, evaluar el excedente del consumidor mediante dos métodos distintos.

Primer método

a) x0=4→ y0=2√3

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∫0

4

(¿√16−x )dx−4.2√3≫−23(√16−x)30

4−8√3≫ EC≈1.097¿

Para hallar D ( y ) debemos despejar x de D ( x )esto es:D ( y )=x=16− y2

Segundo método

b) Si y0=2√3→m0=4

∫2√3

4

(16− y2 )dy≫(16 y− y3

3)2√3

4

≫EC≈1.097

5.- la cantidad vendida y el correspondiente precio de en un mercado monopólico, se determina por la función de demanda D ( x )=16−x2 , y por la función casto marginal

C ' ( x )=6+x , de manera q se maximice la ganancia. Determinar el correspondiente excedente de consumidor.

Resolución

Sea la función demanda D ( x )=16−x2 entonces el ingreso total es R ( x )=xy=16 x−x3

Ingreso marginal es: R' (x )=16−3 x2

Costo marginal es: C ' ( x )=6+x

La ganancia máxima se obtiene igualando ambas funciones:

16−3 x2=6+x→ x=53, y=119

9

Luego el excedente del consumidor es:

∫0

53

(16−x2 )dx−53.1199

≫(16 x− x3

3)0

5 /3

−53.1199

≫ EC≈25081

=3.084

6.- si la función oferta es O ( x )=(x+1)2 , y se fija el precio en y0=24, obtener el excedente del productor.

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Resolución:

Si y0=24→x0=2√6−1

El excedente del productor se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

x0 y0−∫0

x0

O (X )dx

Entonces el excedente del productor en el problema es:

2√6.24−∫0

2√6

( x+1 )2≫ 48√6−( x33 +x2+x)0

2√6≫EP≈49.485

7.- La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado delibre competencia, están determinados por las funciones de demanda y oferta D ( x )=16−x2 y O ( x )=4+x , respectivamente. Obtener el correspondiente excedente de producción.

Resolución:

Se necesita tener el precio de equilibrio para obtener el excedente de producción y esto se logra igualando ambas funciones estos es: 16−x2=4+x→ x=3 , y=7.

Luego en el excedente de producción será:

3.7−∫0

3

(4+x )dx≫21−(4 x+ x2

2)0

3

≫EP≈92=4.500

8.- La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado delibre competencia,

están determinados por las funciones de demanda y oferta D ( x )=49−x2 y O ( x )=4+ x4

2

,

respectivamente. Determinar los correspondientes excedentes del consumidor y del productor.

Resolución:

33


Se necesita tener el precio de equilibrio para obtener el excedente de producción y esto

se logra igualando ambas funciones estos es: 49−x2=4+ x4

2

→x=6 , y=13.

Luego en el excedente de producción será:

6.13−∫0

6

(4+ x42)dx≫78−(4 x+ x

3

12)0

6

≫EP≈36.0

Luego el excedente del consumidor será:

∫0

6

(49−x2 )dx−78≫(49 x− x3

3)0

6

−78≫ EC≈144.0

9.- Evaluar la cantidad producida que maximice la utilidad, y determinar la utilidad total en dicho punto, si las funciones de ingreso marginal IM y costo marginal CM están dados por:

ℑ=25−5x−2x2

CM=15−2x−x2

Resolución:

La utilidad total producida se encuentra evaluando en el punto donde se maximice la utiliza y se calcula de la siguiente manera:

∫0

x0

( ℑ−CM )dx

Encontrando el punto que maximice utilidades:

CM=ℑ=25−5x−2x2=15−2x−x2≫x=2→ y=7

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Luego hallando la utilidad total:

∫0

5

( (25−5 x−2 x2 )−(15−2 x−x2)) dx≫(10 x−32x2− x3

3)0

2

≫UT ≈343

=11.333

CONCLUSIONES

De la presente monografía podemos concluir que el uso del cálculo diferencial e integral

no solo tiene aplicaciones a la matemática sino también a la economía ya sea por el

ingreso marginal o costo marginal además del superávit del consumidor superávit del

productor la utilidad máxima total la maximización de la ganancia maximización de la

producción evaluar la razón de cambio de la producción además nos brinda una gran

ayuda frente a la necesidad de poder expresar matemáticamente estos conceptos ya

mencionados; como se puede ver el cálculo diferencial e integral se puede aplicar también

a otras aéreas q no sea la matemática o la ingeniería.

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Documents

Funciones,Derivadas, Integrales Aplicadas en La Economia (1)2j