10 Distribucion de Poisson 6775

7/24/2019 10 Distribucion de Poisson 6775

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Distribucin de Poisson

Ing. Julio Carreto


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Ing. Julio Carreto 2

Para entender la Distribucin de Poisson,

vamos analizar un ejemplo detenidamente.

La Distribucin de Poisson


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Supongamos que se tiene una tabla rectangular de

madera, de 1 metro por 1 metro, pintada con un

recubrimiento sobre cuya superficie se presentanaleatoriamente pequeos defectos.



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!stos defectos podr"an ser por ejemplo part"culas

muy pequeas de pigmento que no fueron bien

molidas al fabricar la pintura. Se desea calcular laprobabilidad de que aparezcan estos defectos.



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Defectos


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Podr"amos subdividir la superficie en zonas

rectangulares mas pequeas y de igual tamao#



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$%ora tenemos la superficie dividida en &

zonas rectangulares de igual tamao.

'bservamos que en algunas zonas aparece undefecto superficial y en otras no.



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(amos a %acer las siguientes suposiciones#

1) !n cada zona slo puede aparecer 1 defecto.

*) Si la probabilidad de que aparezca un defecto

en todo el +rea esp, la probabilidad de que

aparezca un defecto en una zona esp&.



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!ntonces, utilizando la Distribucin -inomial

podemos calcular la probabilidad de que en

nuestra superficie aparezcan , 1, *, /, & defectos#



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!l promedio de defectos en la superficie total

ser+#



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Pero sabemos que en realidad en cada zona

podr"an aparecer m+s de 1 defecto. !sto %aceine0acto nuestro c+lculo.



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Podr"amos %acer el c+lculo m+s e0acto si

subdividimos las zonas#



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Dividimos cada zona en & y a%ora tenemos 1

zonas. La probabilidad de tener 1 defecto en una

zona es#



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Podemos entonces calcular la probabilidad de

tener , 1, *, /, ...., 1 defectos en el +rea total#



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$3n as" podr"an aparecer m+s defectos por zona#



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Si dividimos nuevamente cada zona en &

tendr"amos & zonas y a%ora la probabilidad de

tener 1 defecto en una zona ser"a#



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La probabilidad de tener , 1, *, /, ....., &

defectos en la superficie total ser"a#


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2 nuevamente el promedio de defectos en la

superficie resulta#



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Lo que estamos %aciendo es ir aumentando nal

mismo tiempo que disminuye pen igual

proporcin. Por lo tanto el promedio dedefectos en la superficie total n.pse mantiene

constante.



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4omo vimos, al suponer que en cada subzona

slo puede %aber 1 defecto o ning3n defecto

estamos cometiendo un error. !ste error se %ace

cada vez menor, porque a medida quesubdividimos el area total se %ace menos

probable que en una subzona aparezca mas de un

defecto.



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Si continuamos subdividiendo el +rea

indefinidamente, la frmula binomial nos dar+

la probabilidad de obtener , 1, *, /, ... n

defectos, con ntendiendo a infinito.



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!n el l"mite, la frmula binomial tiende a la

frmula de Poisson#

0 variable aleatoria

par+metro de la Dist. de Poisson



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!l producto de nporp, en el l"mite, es igual al

par+metro de la distribucin#



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El nmero de defectosxen lasuperfcie total es una variable

aleatoria discretaque puede tomarvalores 0, 1, 2, 3, 4, ... y cuyadistribucin de probabilidades se

conoce como Distribucin dePoisson.



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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0.00

0.03

0.05

0.08

0.10

0.13

0.15

0.18

0.20

Distribucin de Poisson

x

P(x)


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Se puede observar que la curva de la funcin de

Poisson es asim5trica, como la binomial. !l

promedio de esta variable aleatoria es igual alpar+metro de la distribucin#



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2 la varianza tambi5n es igual al par+metro de la

distribucin#



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Por lo tanto, la desviacin standard es#



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La distribucin de Poisson tiene una propiedadcuyas consecuencias son muy importantes para

el 4ontrol !stad"stico de Procesos.



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Supongamos que se tienen mvariables aleatorias

de Poisson#


(ariable Par+metro

01

1

0*

*

0/

/

...

0m

m


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Si wes una combinacin lineal de tales

variables#



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!ntonces wes una variable aleatoria de Poisson

con par+metro#



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!sto es muy importante porque podemos

imaginar el producto fabricado por un proceso

67na licuadora, una computadora, un televisor,etc.) como una superficie en la que se pueden

producir m3ltiples defectos, y donde el n3mero

de cada tipo de defecto es una variable aleatoria

de Poisson.



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!ntonces, la propiedad mencionada nos permite

tratar la suma de todos los tipos de defectos como

una variable aleatoria de Poisson. !sto se utiliza

para el control del 83mero de Defectos en un

producto 69r+ficos 4).



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Supongamos a%ora que tenemos un gran lote de

artefactos, por ejemplo licuadoras. :omamos una

muestra de m; < unidades y medimos el n3mero

total de defectos en las < unidades.



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Si obtuvimos 01, 0*, 0/, ... 0mdefectos en cada

unidad, el n3mero total de defectos ser+#



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!l n3mero promedio de defectos por unidad

ser+#



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yes una variable aleatoria discretaque puede

tomar valores , 1m, *m, /m, ..., etc. =4u+l es

la varianza de y>



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La varianza de 0ies cualquiera que sea el

subindice i, porque todas las 0itienen la misma

distribucin#


i ib i d i


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Por lo tanto#


i ib i d i


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!ste es un importante resultado que se utilizar+

para calcular la varianza en los 9raficos 7.



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Fin de la

seccin

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