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inferir de lo vacío
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Estimación de
parámetros
Estimación de parámetros
Definimos la población que nos interesa
Identificamos los parámetros desconocidos que interesa estimar
De la población se selecciona una muestra aleatoria
A partir de la muestra, obtenemos información acerca de los parámetros desconocidos
Muestra aleatoria
Una muestra aleatoria de tamaño n de la
variable aleatoria X, es un conjunto de n
variables aleatorias: X1, X2,…, Xn independientes
y con la misma distribución que la variable
aleatoria X
E(Xi) = μ, V(Xi) = σ2 (i = 1, 2,…, n)
Métodos de estimación de parámetros Estimación puntual
Parámetro desconocido = NúmeroSe estima que el tiempo medio de un viaje al centro de trabajo en Lima es de 40.4 minutos
Estimación por intervalos Parámetro desconocido [a, b]
Se estima que el tiempo medio de un viaje al centro de trabajo en Lima está entre 43.6 y 47.2 minutos, con una confianza del 95%
Estimación puntual
El estadístico muestral usado para
aproximar un parámetro desconocido de
la población se llama estimador puntual
Con los datos observados en la muestra
se evalúa el estimador puntual y se
obtiene un número que es la estimación
puntual del parámetro de interés.
Algunos estimadores puntuales
.
.3
.
.2
.
2
2 lpoblaciona varianza la
de puntual estimador es muestral varianza La
l)poblaciona n(proporció
población la en éxito de adprobabilid la
de puntual estimador es muestral proporción La
lpoblaciona media la
de puntual estimador es muestral media La 1.
S
p
P
X
1
)( 2
12
n
XX
S
n
i
i
Ejemplos de estimaciones puntuales
La velocidad media de viaje en Lima se
estima en 16.8 km/h
Se estima que el 67.1% de los pasajeros
de buses opinan que la tarifa es justa
La desviación estándar estimada de la
antigüedad de los ómnibus de transporte
público es de 8.2 años
Estimación por intervalos
de confianza
Intervalo de confianza
Proporciona información acerca de qué
tan cerca se encuentra la estimación
puntual - calculada con los datos de la
muestra - del verdadero valor del
parámetro de interés
La forma general de la estimación por
intervalo es: Estimación puntual ±
margen de error
Interpretación del nivel de confianza
Estimación de la media con un nivel de confianza del 95% Se seleccionan 1000 muestras de tamaño n Con cada muestra se calcula la media muestral. Así
se obtiene 1000 estimaciones puntuales de la media
poblacional desconocida Con cada media muestral se construye un intervalo
de confianza al 95% para la media poblacional Se espera o confía que aproximadamente 950 de los
1000 intervalos de confianza hallados contengan a la
media desconocida y los restantes no la
contengan.
Interpretación del nivel de confianza
Intervalos a 95% de confianza para μ, generados con once muestras de tamaño n. Sólo nueve de estos IC contienen a μ
Figura: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/ap1/estadistica06.gif
μ
Intervalo de confianza para μ
Sean x1, x2,…, xn los valores experimentales
de una muestra aleatoria X1, X2,…, Xn de una
población con media μ y varianza 2
Se requiere estimar la media usando esta
muestra y con un nivel de confianza de (1-
100%
Intervalo de confianza para μ con n≥30
Si el tamaño de la muestra es n ≥ 30, entonces
el intervalo para estimar μ con un nivel de
confianza de (1-)*100% es:
21)()1,0(~
21
1
zZPNZSi
n
x
x
n
i
i
:Notación
)disponible previa estimación (una población la de est. desv.
nzx
nzxI
2
12
1:)(
Ejemplo
Para estimar el puntaje medio en una prueba de Pensamiento Crítico se aplica la prueba a una muestra aleatoria de 100 estudiantes de EEGGLL.
El manual de instrucciones de la prueba reporta que la desviación estándar de los puntajes es 8 puntos.
El puntaje medio de los estudiantes evaluados es 68 puntos (sobre un máximo de 80 puntos).
Con esta información se estima que el puntaje medio en la prueba de Pensamiento Crítico para la población de estudiantes de EEGGLL está entre 66.53 y 69.47 con una confianza del 90%
Microsoft Excel Worksheet
Intervalo de confianza para μ con n≥30
Si el tamaño de la muestra es n ≥ 30, entonces
el intervalo para estimar μ con un nivel de
confianza de (1-)*100% es:
21)()1,0(~
1
)(
21
2
11
zZPNZSi
n
xx
sn
x
x
n
i
i
n
i
i
:Notación
n
szx
n
szxI
21
21
:)(
Ejemplo
Para estimar la antigüedad media de los ómnibus de transporte público en una ciudad se toma una muestra aleatoria de 60 ómnibus.
Con los datos de la muestra se calcula que la antigüedad media es de 16.8 años y la desviación estándar muestral es de 7.2 años
Con esta información se estima que la antigüedad media de los ómnibus de transporte público en esta ciudad está entre 14.98 y 18.62 años con una confianza del 95%
Microsoft Excel Worksheet
Factores que afectan el margen de error en la estimación por intervalo
El margen de error determina qué tan
precisa es la estimación realizada y este
valor depende de:
Tamaño de la muestra: n
Nivel de confianza: (1- )
Desviación estándar de la población:
Tamaño de muestra para estimar la media μ
Dados el margen de error máximo admisible (e) y el nivel de confianza requerido para la estimación, el tamaño de la muestra aleatoria necesaria es:
es la desviación estándar de la población ( una estimación previa disponible)
Si la población no es normal, el tamaño de muestra n debe ser ≥ 30.
2)21(
e
zn
Ejemplo
El tiempo que tarda un trabajador en realizar cierta tarea se modela con una variable aleatoria con desviación estándar de 3.2 minutos
Se requiere estimar el tiempo medio real para realizar esta tarea, con una confianza del 95% y con un error máximo de 1 minuto.
Para cumplir los requerimientos anteriores se determina que es necesario realizar 40 mediciones.
Microsoft Excel Worksheet
Intervalo de confianza para p
n
ppzpp
n
ppzppI
)1()1(:)(
21
21
Tamaño de muestra para estimar p
Ejemplo
En una muestra aleatoria de 120 usuarios del tren eléctrico, 98 opinaron que la tarifa es adecuada. Con estos datos se estimó con un 95% de confianza, que el porcentaje real de usuarios del tren eléctrico que opinan que la tarifa es adecuada es 81.67% con un margen de error de ± 6.9% Para poder hacer la estimación al mismo nivel de confianza pero con un margen de error máximo de 2% se requeriría una muestra de 601 usuarios
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Recomendaciones
Tener en cuenta que los procedimientos de
estimación presentados presuponen que los datos
son una muestra aleatoria de la población de
interés.
El intervalo de confianza debería ser siempre
reportado con la estimación puntual del parámetro
(refleja el error de estimación)
El proceso de colecta de datos, el tamaño de la
muestra y el nivel de confianza usados deben ser
documentados.
