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Guia de Estadistica Avanzada
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CURRÍCULO BASE DE LOS
PROGRAMAS NACIONALES DE FORMACIÓN
MATERIAL DIDÁCTICO DE LA UNIDAD CURRICULAR
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Forma de estudio: Presencial
Trayecto: III
Duración: 75 Horas.
Caracas, septiembre 2012
Diseñadores(as) curriculares:
Marcos Vásquez
Expertos(as) de contenidos:
Marcos Vásquez
Migdalys Marcano
ÍNDICE
PRESENTACIÓN .................................................................................................................................... 4
Propósito ......................................................................................................................................... 5
Objetivos Específicos ....................................................................................................................... 5
Relación de Temas de la Unidad Curricular .................................................................................... 5
ENCUENTRO 1: NOCIONES DE PROBABILIDAD ................................................................................... 6
Orientaciones generales para el desarrollo del encuentro: ............................................................ 6
Actividad 1. Las probabilidades en nuestro quehacer diario. ......................................................... 7
Actividad 2. Lectura: Introducción a la probabilidad ...................................................................... 8
Actividad 3. Calculando probabilidad............................................................................................ 30
Actividad 4. Resolviendo problemas de probabilidad................................................................... 32
Actividad final del encuentro ........................................................................................................ 34
ENCUENTRO DIDÁCTICO 2: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ............................................................. 37
Orientaciones generales para el desarrollo del encuentro: .......................................................... 37
Actividad 1. Lectura: Estimando Parámetros en la Función de los órganos de seguridad
ciudadana ...................................................................................................................................... 38
Actividad 2. Construyendo problemas de estimación de parámetros. ......................................... 49
Actividad 3. Estimando parámetros en la práctica. ...................................................................... 51
Actividad final del encuentro ........................................................................................................ 51
ENCUENTRO DIDÁCTICO 3: PRUEBAS DE HIPÓTESIS ........................................................................ 54
Orientaciones generales para el desarrollo del encuentro: .......................................................... 54
Actividad 1. Planteando hipótesis y los órganos de seguridad ciudadana. .................................. 55
Actividad 2. Lectura: Pruebas de Hipótesis ................................................................................... 56
Actividad 3. Realizando pruebas de hipótesis. .............................................................................. 64
Actividad final del encuentro ........................................................................................................ 65
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 68
PRESENTACIÓN
Estimado y estimada estudiante, a continuación se te presenta un material
didáctico, en el cual se desarrollan una serie de actividades con las que puedes
profundizar los saberes referidos a Estadística Inferencial. El objetivo principal de
este material es reforzar los conocimientos aprendidos de una forma didáctica y
amena. Es recomendable apoyarse en este material a fin de lograr los objetivos
dispuestos en la unidad curricular.
La Estadística inferencial consiste en los procedimientos con los cuales se
deducen o se infieren propiedades en una población, a partir de una pequeña
muestra de la misma. Esto permite “predecir” sucesos con cierto grado de
precisión, que ayuda al funcionario y funcionaria a resolver distintos problemas en
materia de seguridad ciudadana. En esta unidad curricular se abordan contenidos
de probabilidad que le permiten al estudiante conocer el nivel de predicción de sus
deducciones.
Este material se desglosa en tres encuentros didácticos donde encontrarás
diversos problemas y actividades prácticas que te permitirán ejercitar los saberes
estudiados en el ambiente de aprendizaje. La unidad curricular Estadística
Inferencial tiene un importante contenido práctico, es por ello que se recomienda
la realización de todos los problemas planteados, a fin de garantizar la
comprensión de los temas propuestos.
Durante el desarrollo de este material surgirán dudas y preguntas, por lo cual
debes consultar a tu educador o educadora, quienes te darán las respuestas y
consejos pertinentes, igualmente, se recomienda consultar otras bibliografías
aparte de este material, esto con la intención de profundizar en las temáticas y
desarrollar tu capacidad para la investigación.
Debes realizar todas las lecturas y actividades propuestas en este material en el
orden que han sido dispuestas ya que esto garantizará la comprensión total de las
mimas.
Para el desarrollo del material didáctico de la unidad curricular Estadística
Inferencial se presentan las siguientes actividades:
Problemas estadísticos aplicados a la seguridad ciudadana.
Ejercicios estético-lúdicos referidos a la temática.
Lecturas en donde se describen las temáticas a estudiar.
Estudio de casos vinculados a la temática.
Es importante mantener una actitud favorable para realizar todas las
actividades; recordando que ello implica tener una buena disposición y estado de
ánimo para emprenderlas.
Propósito
La unidad curricular tiene como propósito la aproximación de las y los
estudiantes a la exploración de diversas representaciones matemáticas que le
permitirán inferir sobre los problemas de seguridad ciudadana y así planificar
acciones que permitan resolverlos.
Objetivos Específicos
Las y los estudiantes:
Comprenderán y aplicarán las nociones generales de la probabilidad a fin
de contribuir a la garantía de la seguridad ciudadana.
Realizarán estimaciones de parámetros que le permitan inferir sobre la
realidad en relación al problema de inseguridad en nuestro país.
Ejecutarán pruebas de hipótesis que le permitan comprender sucesos
vinculados a la seguridad ciudadana.
Relación de Temas de la Unidad Curricular
Tema 1: Nociones de Probabilidad.
Tema 2: Estimación de parámetros.
Tema 3: Pruebas de hipótesis.
ENCUENTRO 1: NOCIONES DE PROBABILIDAD
Saber: Las y los estudiantes comprenderán las nociones generales de la
probabilidad y sus herramientas para la descripción de un suceso, a fin de
aplicarlas en el análisis de problemas vinculados a la seguridad ciudadana.
Orientaciones generales para el desarrollo del encuentro:
Estimados y estimadas estudiantes, el encuentro didáctico denominado
“Nociones de probabilidad” pretende que nos apropiemos de los conceptos
básicos de la probabilidad enmarcados en su aplicación dentro de las funciones de
los órganos de seguridad ciudadana. En este sentido, se abordarán los siguientes
saberes: Definición de probabilidad, espacio muestral, evento, conjunto,
probabilidad condicional, probabilidad en conjuntos, teorema de Bayes, variables
aleatorias, combinatoria, variables aleatorias discretas y continuas y distribución
de probabilidad.
Para desarrollar los saberes mencionados anteriormente presentamos unas
actividades que consisten en:
1. Preguntas generadoras, a partir de las cuales, activarás tus saberes previos
con respecto a la temática que se va a desarrollar, con el fin de partir de la
realidad, condición histórica, y de la toma de conciencia crítica en torno a ella.
2. Lectura las nociones de probabilidad y su aplicación en beneficio de la
seguridad ciudadana.
3. Problemas de probabilidad que permiten ejercitar y comprender las nociones
de probabilidad que más adelante profundizarán y aplicarán en la estadística.
4. Una encuesta que permitirá posteriormente calcular diversas probabilidades
en base a la misma. Con estos cálculos podemos describir la población a la cual
entrevistamos.
Para culminar el encuentro encontrarás una actividad final donde deberás
utilizar todo lo aprendido, consta de ejercicios con distintos niveles de complejidad.
Al finalizar encontraras una clave de respuestas que te permitirá evaluar tus
avances.
Actividad 1. Las probabilidades en nuestro quehacer diario.
En nuestro quehacer cotidiano se presentan situaciones en las cuales los
resultados parecen no tener un patrón, se podría decir que los resultados son una
cuestión de “azar”. Por ejemplo, al lanzar un dado al aire, este puede caer en
cualquier número del 1 al 6, y no podemos saber con exactitud cuando sale uno u
otro. Estas situaciones podrían llamarse aleatorias.
Las probabilidades son una herramienta que nos permite modelar estas
situaciones, y así poder tener una noción de los posibles resultados.
Conociendo esto, te invitamos a reflexionar en función de las siguientes
preguntas generadoras, partiendo de tus saberes y de los saberes estudiados en
este encuentro:
1. ¿Qué entiendes por probabilidad? Descríbelo con tus propias palabras.
________________________________________________________________
__________________________________________________________________
_______________________________________________________________
2. ¿Cómo usas o podrías usar la probabilidad en tu vida diaria?
________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. ¿Cómo las probabilidades podrían ser una herramienta útil en tu rol como
funcionario o funcionaria de seguridad ciudadana?
________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Actividad 2. Lectura: Introducción a la probabilidad
¡Leamos con atención!
En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados
observados son diferentes, aunque las condiciones iniciales en las que se produce
la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces
resultará cara y otras veces sello. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se
ven afectados por la incertidumbre.
En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable
que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta
incertidumbre.
La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y
tratar con situaciones de este tipo; por otra parte, cuando aplicamos las técnicas
estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la
probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones
alcanzadas y las inferencias realizadas.
Probabilidad
La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La
probabilidad de un evento es medida por valores comprendidos entre 0 y 1. Entre
mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad asigna estará
más próxima a 1. La probabilidad de certeza es 1. La probabilidad de una
imposibilidad es 0. Esto se podría expresar así:
( )
( )
Por tanto, ( )
Recordando:
este símbolo
representa
menor o igual
que.
En donde es algún evento.
La probabilidad de que el sol salga mañana es muy alta – muy cercana a 1. La
probabilidad de que se aumente el sueldo en un 50% o más, estando en el otro
extremo, está muy cerca de cero.
El proceso que produce un evento se denomina experimento. Un experimento
es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido.
Lanzar un dado (mitad de un par de dados) es un experimento. Un resultado bien
definido en un número de 1 a 6. Un experimento puede consistir en revisar un
producto para determinar si cumple con ciertas especificaciones de fabricación. El
resultado es o (1) defectuoso o (2) no defectuoso.
El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados para un
experimento. El espacio muestral para lanzar un dado es:
( )
Mientras que el espacio muestral para el experimento de lanzar una moneda al
aire es:
( )
La probabilidad de que al menos uno de los eventos que están en el espacio
muestral ocurra es igual a 1. Si se lanza un dado, el resultado debe ser un número
entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que:
∑ ( )
De manera informal o clásica, podemos calcular la probabilidad de un
experimento A de la siguiente:
∑
Recordemos: este
símbolo representa la
sumatoria de diversos
elementos
forma: ( )
Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor a 3 al
lanzar un dado?; que caiga un número menor a 3 significa un 1 o un 2 y como la
cantidad de resultados posibles es 6 (El número de lados de un dado), entonces el
nuestra probabilidad seria:
( )
No siempre se conoce la cantidad total de resultados posibles de un
experimento o la cantidad de resultados contenidos del mismo, es por ello que
podemos definir la probabilidad a partir de un número de experimentos seguidos
realizados de la siguiente forma (llamada empírica o por frecuencias relativas):
( )
Por ejemplo: Si se quiere tener una idea de cuál es la probabilidad de que
eligiendo un o una discente de la universidad al azar, éste o ésta tenga ojos
claros, se puede tomar a 50 estudiantes al azar y contar cuántos o cuántas tienen
ojos claros. Luego si 13 de esos 50 tienen ojos claros, estimaremos que:
( )
Si en vez de examinar a 50 estudiantes hubiéramos examinado a 200, la
exactitud esperable sería mayor. Por ejemplo quizás entre los 200 estudiantes
habría 53 con ojos claros, y entonces:
( )
Espacio muestral
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el
nombre de espacio muestral.
Algunos ejemplos de espacio muestral son:
1. Si el experimento consiste en arrojar un dado y observar el número que
sale, el espacio muestral es:
Vemos que el espacio muestral se denota con la letra E.
2. Si el experimento consiste en tomar un lapicero y medirlo, el espacio
muestral es:
Vemos que el espacio muestral no tiene por qué ser un conjunto finito. Como en
este caso el resultado puede ser cualquier número real positivo, E tiene infinitos
elementos.
3. Si el experimento consiste en tomar un libro al azar de la biblioteca y ver
con qué letra empieza el título, el espacio muestral es:
Vemos que los resultados posibles del experimento, es decir, los elementos del
espacio muestral, no tienen necesariamente por qué ser números. En este caso
son letras.
4. Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el espacio
muestral es:
Recordemos que los
elementos o números
colocados dentro de llaves y
separados por comas
pertenecen a un conjunto.
Aunque también podríamos haber respondido si
consideráramos como un resultado posible el caso en que la moneda caiga de
canto.
Vemos que el conjunto de resultados posibles para un experimento es
subjetivo. Generalmente adecuamos el espacio muestral a lo que consideramos
posible o no posible, y a los fines del experimento. Por ejemplo, en este caso una
solución posible es definir y determinar que si cae de canto, se
tira nuevamente.
Evento
Un evento (también llamado suceso) del espacio muestral es un subconjunto
de éste. Algunos ejemplos pueden ser:
1. En el experimento de arrojar un dado y ver qué sale, el espacio muestral es:
Cualquier subconjunto de E es un evento, por lo tanto ejemplos de eventos de
este experimento pueden ser:
1. {1}
2. {6}
3. {3, 4}
4. {4, 5, 6}
5. {1, 3, 5}
6. {2, 4, 6}
También podemos expresar estos subconjuntos por comprensión:
1. "que salga un número par"
2. "que salga un número impar"
3. "que salga un número mayor que 3"
Y no olvidemos los siguientes subconjuntos:
1. {}
Dicho evento es conocido como "evento nulo", " evento falso" o " evento
imposible". Además de la notación {} se puede usar la alternativa .
1. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Este subconjunto del espacio muestral es exactamente el espacio muestral
(recordemos que un conjunto siempre es subconjunto de sí mismo). Dicho suceso
es conocido como " evento verdadero", " evento forzoso" o " evento cierto".
4. En el experimento de tomar un lapicero y medir su longitud en cm.:
Ejemplos de eventos (es decir, subconjuntos de E) pueden ser:
1. {15}
2. {14.2}
3. {17.3333333...}
4.
5. Si el suceso A consiste en obtener cara al tirar una moneda, entonces
podríamos definir:
1. El experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale.
2. El espacio muestral es
No olvides
que simboliza
el conjunto de
los números
reales.
3. El evento A es Vemos que . Como dijimos antes, un
suceso es un subconjunto del espacio muestral.
Conjuntos
Como los eventos son conjuntos, operar con eventos es operar con conjuntos.
1. Intersección de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, es el conjunto que ocurre cuando suceden
simultáneamente A y B. Se puede llamar "A intersección B" o bien "A y B".
Ejemplo:
Se tira un dado, y se definen los eventos:
A: que salga menos de 4
B: que salga más de 2
Con lo cual queda:
2. Conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes
Son los conjuntos cuya intersección es nula. Dados los conjuntos A y B, son
disjuntos
Ejemplo:
Se tira un dado, y se definen los sucesos:
A: que salga 1 ó 2
B: que salga más de 4
Con lo cual queda:
Como A y B tienen intersección nula, no pueden suceder simultáneamente.
3. Unión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, es el conjunto que resulta cuando ocurre A,
B, o los dos simultáneamente. Se puede llamar "A unión B" o bien "A ó B".
Ejemplo:
Se tira un dado, y se definen los sucesos:
A: que salga menos de 4
B: que salga 2 ó 6
Con lo cual queda:
4. Complemento de los conjuntos
Dado un conjunto A, su "complemento" es el conjunto que contiene los
elementos que no están en A. El complemento de A se escribe o bien y se
llama "complemento de A", "A negado" o bien "no A".
Recordemos:
éste símbolo
significa vacio .
Ejemplo:
Si arrojo un dado, y el conjunto A es que salga un 4, entonces el conjunto es
que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 ó 6.
Expresados como conjuntos quedan:
Observamos que:
1. Así como A es un subconjunto de E, también es un subconjunto de E.
2. , es decir, la unión de A y forma E. Esto es lógico: llueve o
no llueve. No hay ninguna otra posibilidad.
3. . Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden
ocurrir al mismo tiempo. No puede "llover" y "no llover" al mismo tiempo.
Probabilidad condicional
Con frecuencia se desea determinar la probabilidad de algún evento, dado que
antes otro evento ya hay ocurrido. Lógicamente, esta es llamada probabilidad
condicional. Se denota como ( ) y se lee la “probabilidad de A dado B”.
Esta es la fórmula general para la probabilidad condicional del evento A, dado
que se conoce que el evento B ya ha ocurrido:
( ) ( )
( )
Probabilidad en conjuntos
Antes de ver algunas probabilidades para conjuntos, definamos de forma
axiomática la función de probabilidad. Sea E un espacio muestral, y A un evento
cualquiera, se llama función de probabilidad sobre el espacio muestral E a P(A)
si satisface los siguientes axiomas:
1. ( )
2. ( )
3. Si A y B son subconjuntos de E y (Los eventos son disjuntos)
entonces ( ) ( ) ( )
Ahora veamos algunas propiedades de la probabilidad en conjuntos:
1. Probabilidad de la unión de conjuntos:
Dados dos conjuntos A y B contenidos en el espacio E, entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
Véase que si los conjuntos son disjuntos ( ) entonces la
expresión queda como el tercer axioma.
2. Probabilidad de la intersección de conjuntos:
Para esta probabilidad vamos a usar la definición de probabilidad condicional:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Teorema de Bayes
Thomas
Bayes,
Matemático
británico, quien
estudió
problemas sobre
la determinación
de la probabilidad
En el año 1763, dos años después de la muerte del reverendo Thomas Bayes
(1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la
determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han
podido ser observados (Probabilidad condicional). El cálculo de dichas
probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. El teorema dice lo
siguiente: Si B1, B2,…, Bn son eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno
debe ocurrir, es decir ∑ , entonces
( | ) ( ) ( )
∑ ( ) ( )
Veamos un ejemplo: Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la
posible relación entre el fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro
médico, de todos los fumadores de quienes se sospecha que tenían cáncer
pulmonar, el 90% (P=0.9) lo tenía mientras que únicamente el 5% (P=0.05) de los
no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0.45, ¿Cuál es la
probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea
fumador?
Sean B1 y B2 los eventos “el paciente es fumador” y “el paciente no es
fumador”. Se suponen que las probabilidades para estas dos alternativas son 0.45
y 0.55 respectivamente. Si un paciente tiene, o no, cáncer pulmonar puede estar
afectado por cualquiera de las dos alternativas que constituyen la evidencia
experimental. Se sabe que ( ) y ( ) . Se desea determinar
la probabilidad de seleccionar un fumador, puesto que el paciente tiene cáncer, o
( ).
Así por el teorema de Bayes tenemos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
Así, la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado
aleatoriamente sea fumador, es de 0.9364.
Variables aleatorias
Vamos a llamar variable aleatoria a una variable cuyo valor sería el resultado de
un determinado experimento, si lo hiciéramos. Por ejemplo, si el experimento
consiste en arrojar un dado, podemos definir la variable aleatoria X cuyo valor será
el número que salga en el dado. El conjunto de valores posibles de X es el espacio
muestral. Y en general nos interesará cuál es la probabilidad de que X asuma
cada valor.
Usaremos variables porque nos permiten operar y mostrar determinadas
conclusiones.
Para el caso del dado, podemos escribir "la probabilidad de que al tirar el dado
salga un número mayor que 3" simplemente como P(X > 3), habiendo antes
definido X como el número que saldría si tiráramos el dado.
Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas. Para
designar a uno de sus valores posibles, se usan las letras minúsculas. Por
ejemplo, si X es la variable aleatoria asociada a lo que sale al tirar un dado,
podemos decir que:
( )
Combinatoria
El cálculo combinatorio es una herramienta matemática que, dada una
determinada cantidad de elementos, permite calcular de cuántas formas posibles
podemos tomar una parte de ellos y/u ordenarlos.
Por ejemplo, si tenemos un mazo de 52 cartas, y un jugador recibe 5 cartas de
ese mazo, nos puede interesar calcular cuántas manos distintas podría recibir. Es
decir, cuántas "combinaciones" se pueden formar con 5 cartas tomadas de entre
52.
Veamos cada modelo de calcular las combinatorias:
Permutación
Se tienen n elementos, y se desea ver de cuántas formas se los puede ordenar.
Es decir, los elementos son siempre los mismos, y cada forma posible sólo difiere
de las demás en el orden en que se toman los elementos.
Fórmula:
Donde n es la cantidad de elementos a ordenar
Ejemplo:
¿De cuántas formas se pueden ordenar los elementos {a,b,c}?
Recordemos
que este
símbolo se lee
“para todo”
abc, acb, bac, bca, cab, cba (6 formas)
Variación
Es como la permutación, pero no se usan los n elementos sino que se usan
solamente k de ellos. Entonces habrá que tener en cuenta no solamente el orden,
sino cuáles de los n elementos se eligen (naturaleza).
Fórmula:
( )
Donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad de elementos
que se eligen. Se lee: "variaciones de n elementos tomados de a k".
Ejemplo:
Se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿De cuántas formas se puede tomar 2 de
ellos, sin repetir ninguno, y teniendo en cuenta el orden?
Comencemos por aclarar que:
1) tener en cuenta el orden significa que "ab" ¹ "ba"
2) tener en cuenta la naturaleza significa que elegir al a y al b no es lo mismo
que elegir al a y al c.
Entonces las variaciones en este caso son:
ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc
Combinación
El símbolo de
exclamación hacia
abajo (!) representa
factorial.
Consiste en tomar k elementos entre n que hay en total, sin importar en qué
orden. Es decir, importa la naturaleza ("cuáles") pero no importa el orden.
Observamos que esto es como las variaciones, pero olvidándonos del orden; las
variaciones distinguen "ab" de "ba", en cambio para las combinaciones "ab" = "ba",
y sólo importa el hecho de que fueron "a" y "b" los elementos elegidos.
Fórmula:
(
)
( )
Donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad que se toman.
Ejemplo:
Se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿Cuántas formas posibles hay de elegir 2?
Comencemos por aclarar que como son combinaciones, no tenemos en cuenta
el orden, con lo cual "ab" = "ba". Además recordamos que por tratarse de
combinación simple, no se puede elegir 2 veces el mismo elemento. Entonces en
este caso las combinaciones son:
ab, ac, ad, bc, bd, cd.
(
)
Variables aleatorias discretas y continuas
Comparemos ahora el ejemplo del dado con este otro: haremos el experimento
de elegir una naranja al azar en una verdulería, y llamaremos Y al peso de la
naranja elegida. Si pensamos en los valores posibles que puede tomar la variable
aleatoria Y, veremos que no solamente son infinitos, sino que además, dado un
valor posible no hay un "siguiente" porque entre cualquier valor y aquel al que
consideráramos su "siguiente" hay infinitos valores posibles. La variable aleatoria
X es discreta. La variable aleatoria Y es continua.
Antes de continuar comenta
con una palabra que te parece la
lectura:
________________
En principio definiremos las variables aleatorias discretas y continuas así:
1. Variable aleatoria discreta: aquella tal que la cantidad de valores posibles
que puede tomar es finita, o infinita pero numerable. En otras palabras,
aquella cuyos valores posibles son todos puntos aislados del conjunto de
valores posibles. Dicho incluso de una tercera forma: aquella tal que si
tomamos dos, cualesquiera de sus valores posibles, hay entre ellos una
cantidad finita de valores posibles.
2. Variable aleatoria continua: aquella que no es discreta, es decir, aquella
tal que la cantidad de valores posibles es infinita y no numerable.
¿A qué nos referimos con infinito numerable y no numerable?
Por ejemplo, el conjunto de los números naturales tiene una cantidad finita pero
numerable de elementos, porque sus elementos se pueden enumerar. En cambio,
el conjunto de los números reales tiene una cantidad infinita no numerable de
elementos, porque sus elementos no se pueden enumerar.
Veamos un problema:
1) Indique para cada una de las siguientes variables aleatorias si son discretas
o continuas. Haga las aclaraciones que considere necesarias.
a) El número que sale al tirar un dado.
b) La cantidad de caras que salen al tirar 5 monedas.
c) La cantidad de accidentes por mes.
d) Peso de una naranja.
e) Diámetro de una arandela.
f) El país donde nació una persona.
g) La edad de una persona.
Resolución:
a) Discreta. La cantidad de resultados es finita.
b) Discreta. La cantidad de resultados es finita.
c) Discreta. Aunque la cantidad de resultados es infinita, porque no hay un valor
máximo posible, es numerable, porque los resultados se pueden enumerar. Otra
forma de ver que es discreta: todos los resultados son puntos aislados.
d) Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no podemos
enumerar todos los resultados). Otra forma de ver que es continua: los resultados
no son puntos aislados, sino que forman un continuo (por ejemplo, un segmento
de recta).
e) Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no podemos
enumerar todos los resultados).
f) Discreta. La cantidad de resultados es finita. Observemos que las variables
que no son numéricas por lo general son discretas.
g) Puede ser discreta o continua. Si tomamos la edad como la cantidad entera
de años que ha vivido la persona, entonces es discreta. Si tomamos la edad como
un número real de años que ha vivido la persona (ejemplo: 5,37 años) entonces es
continua.
Distribución de probabilidad
Una variable aleatoria tal que todos sus valores posibles son equiprobables es
un caso muy particular. En general, cada uno de los valores posibles puede tener
distinta probabilidad. Por eso nos interesa estudiar cómo se distribuyen las
probabilidades en los distintos valores posibles de la variable.
Al conjunto de valores posibles, y la relación entre ellos y sus respectivas
probabilidades, se lo conoce como distribución de probabilidad.
Notemos que:
1) La probabilidad de un determinado valor no puede ser menor que cero.
2) La suma de las probabilidades de todos los valores da 1, porque al hacer el
experimento siempre sale uno de los resultados posibles.
La distribución de probabilidad se puede expresar de diversas formas.
Generalmente se usa la función de densidad de probabilidad.
Función de densidad de probabilidad
Esta función le asigna a cada valor posible de la variable aleatoria un número
real que consiste en la probabilidad de que ocurra, y por supuesto debe cumplir
con las 2 condiciones que enunciamos antes:
a) no puede ser negativa en ningún punto
b) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1.
Puede pensarse que la condición "a" es insuficiente, porque la probabilidad no
solamente no puede ser menor que cero, sino tampoco mayor que uno. Pero
agregar esa condición sería redundante, porque la condición "b" garantiza que eso
no puede ocurrir, ya que si la probabilidad para un valor fuera mayor que 1, como
ninguna probabilidad puede ser negativa, entonces la suma daría necesariamente
mayor a 1.
En variables aleatorias discretas, la función de densidad se define así:
( ) Es una función que a cada valor posible le asigna su probabilidad.
( ) Es una función de densidad de probabilidad discreta si y solo si cumple
con:
1) ( )
2) ∑ ( )
Veamos algunas funciones de distribución comunes:
Bernoulli
Es un experimento que puede arrojar 2 resultados posibles. A uno de los
resultados se le denomina arbitrariamente "éxito" y al otro "fracaso". El
experimento de Bernoulli lleva asociada una probabilidad (la probabilidad de
"éxito").
Distribución:
"¿Cuál es la probabilidad de obtener x éxitos en n intentos?"
Si ( )
Es decir: X es una variable binomial con parámetros n y p
Es decir: X es la variable que representa la cantidad de éxitos obtenidos en n
experimentos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito p.
( ) {(
) ( )
Poisson
Daniel
Bernoulli,
matemático,
físico,
estadístico y
médico
holandés-
suizo.
Siméon Denis
Poisson, físico y
matemático
francés, al que se
le conoce por sus
trabajos en el
campo de la
electricidad y
estadística.
"¿Cuál es la probabilidad de obtener x eventos en el intervalo estudiado?"
Si bien el proceso de Poisson trabaja con los parámetros (longitud del
intervalo) y (intensidad), la distribución de Poisson usa solamente el parámetro
Como es la longitud del intervalo, y es la cantidad esperada de
eventos por unidad de tiempo, entonces m resulta ser la media. Es decir que esta
distribución tiene la característica de que su media resulta valer directamente lo
mismo que valga el parámetro .
Si ( )
Es decir: X es una variable Poisson con media .
Es decir: X es la variable que representa la cantidad de eventos obtenidos en
un intervalo de longitud e intensidad . Entonces:
( ) {
Normal
Cuando la función de densidad es la siguiente:
( )
(
)
√
La distribución se llama "Normal" (o de "Gauss").
La gráfica de esta función de densidad se conoce con el nombre de "campana
de Gauss"
A primera vista podemos observar:
1. A diferencia de todas las distribuciones que vimos anteriormente, es no-
nula para todos los números reales.
2. Tiene 2 parámetros, y .
El parámetro puede ser cualquier número real, y es, directamente, la media
de la distribución.
El parámetro puede ser cualquier número real positivo, y es, directamente, el
desvío estándar de la distribución.
La notación ( ) significa que la variable aleatoria tiene una
distribución normal con parámetros y . O dicho de otra forma, que la variable
aleatoria tiene una distribución normal, cuya media es , y cuya varianza es .
Carl Friederich Gauss
matemático, astrónomo y
físico alemán que contribuyo
a la teoría de números,
análisis matemático,
estadística, entre otros.
Cuando y , la distribución se llama normal estándar. Se puede
demostrar que si es cualquier variable aleatoria normal, y tomamos la variable
aleatoria
, entonces, resulta ser una variable aleatoria normal estándar.
Es decir: ( )
( ) Lo cual puede ser demostrado
mediante un simple cambio de variables. Esto nos permite, dada cualquier variable
aleatoria normal, encontrar una variable aleatoria normal estándar, que es la que
encontraremos en las tablas.
Teorema central del límite
Si es el promedio de una muestra de tamaño n de una población con media
y desviación estándar , entonces la variable aleatoria
√ ⁄ tiene una
distribución aproximadamente normal estándar, bajo las siguientes condiciones:
1. Si , la distribución de es aproximadamente normal estándar sin
importar la distribución de las .
2. Si , la distribución de es aproximadamente normal solamente si la
distribución de las no difiere mucho de la distribución normal (por ejemplo:
si es simétrica).
3. Si la distribución de las es normal, la distribución de es normal sin
importar el valor de n.
Actividad 3. Calculando probabilidad.
Las probabilidades permiten modelar situaciones aleatorias de nuestra vida.
Éstas reflejan un número que indica la posibilidad de que suceda o no un evento.
Con esto se puede comprender mejor lo que está sucediendo y hasta predecir
posibles sucesos futuros. Por ello, te invitamos a realizar la siguiente actividad en
la cual es necesario calcular la probabilidad de eventos de nuestro quehacer.
Resolvamos los siguientes planteamientos:
1. Calculemos la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salga:
a. Dos caras.
b. Una cara y un sello.
c. Dos sellos o una cara y un sello
2. En la unidad motorizada de una estación policial recibió una dotación de 12
motos, de las cuales 5 son de cilindraje 250cc y 7 el resto de 650cc. Si se
encuentran 3 funcionarias y 8 funcionarios activos en este servicio. Responda:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que a una funcionaria le toque una moto con
cilindraje 250cc?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que a un funcionario le toque una moto con
cilindraje 250cc?
¿Cuál es la probabilidad de que a una funcionaria le toque una moto con
cilindraje 650cc?
3. En una estación de bomberos, integrada por 32 funcionarios y 18
funcionarias bomberiles, de los cuales, la mitad de ambos grupos de oficiales
están adscritos al servicio de operaciones contra incendio y administración.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea funcionario
y que este en el servicio de operaciones contra incendio y administración?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea funcionaria y no esté en el servicio
operaciones contra incendio y administración?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que ejerza en el servicio de operaciones contra
incendio y administración dado que sea funcionaria?
Actividad 4. Resolviendo problemas de probabilidad.
¡Estimadas y estimados estudiantes!
En la actividad número 3, titulada “Calculando probabilidad”, resolvimos
problemas de probabilidad; en este apartado proponemos que determines algunas
probabilidades relacionados a nuestro quehacer. Los problemas son:
1. Realiza una encuesta en tu comunidad de una muestra mayor a 30 personas,
la encuesta recogerá datos como:
a. Nombre.
b. Mes de nacimiento.
c. Edad.
d. Sexo.
e. Estado civil.
f. Problema de la comunidad que más le afecta.
Elabora una tabla de frecuencias con los datos recogidos. Esta encuesta nos
permite caracterizar la población de una determinada región. Calcula los
porcentajes de los renglones: mes de nacimiento, edad, sexo, estado civil y
problema de la comunidad que más le afecta, y determina las siguientes
probabilidades:
a) Al seleccionar una encuesta al azar ésta tenga una edad menor a 25 años.
b) Al seleccionar una encuesta al azar ésta sea soltera o soltero.
c) Selecciona uno de los problemas de las comunidades y calcula la
probabilidad de que se escoja ese problema al seleccionar dos encuestas al azar.
d) Al seleccionar una encuesta al azar ésta tenga una edad entre 20 y 30 años
y sea mujer.
e) Al seleccionar tres encuestas al azar la probabilidad de que alguna tenga
mes de nacimiento enero
f) Al seleccionar una encuesta al azar ésta esté casada, dado que tiene una
edad mayor a 25 años.
Redacta tus conclusiones sobre la población estudiada basándote en las
probabilidades y porcentajes calculados. Haz énfasis en la problemática de la
comunidad.
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Actividad final del encuentro
Con el fin de sistematizar los saberes abordados a través de las actividades
planteadas en el encuentro didáctico, cerraremos con una actividad donde podrás
valorar tu proceso de aprendizaje. En esta sección, encontrarás una serie de
planteamientos referidos a problemas de la probabilidad y su aplicabilidad en la
función de los órganos de seguridad ciudadana, a los cuales darás respuesta clara
y coherente. Para ello:
Responde todas las preguntas planteadas en el orden que se te presentan.
Socializa tus reflexiones y comentarios con tus demás compañeras y
compañeros de ambiente en los encuentros presenciales.
Sistematiza la experiencia para establecer relaciones entre los saberes
abordados y nuestro contexto laboral.
Al finalizar todos los ejercicios, puedes comparar tus respuestas con la
clave de corrección ubicada al final del encuentro didáctico.
Actividades
1. Sean A y B dos sucesos y , sus complementarios. Si se verifica
que ( ) , ( ) y ( ) , hallar:
a. ( )
b. ( )
c. ( )
2. En un polígono de tiro se realiza una práctica por parte de dos funcionarios
de seguridad. El primero da en el blanco (disco metálico) con un promedio de 2
aciertos cada 5 disparos y el segundo un acierto cada 2 disparos. Si los dos
disparan al mismo tiempo a hacia el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que den
en blanco?
3. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 10 oficiales de seguridad en una fila
de 4 oficiales?
Clave de corrección:
1.
a. Calculamos ( ). Si ( ) , entonces ( ) ( ) , por tanto
( ) ( ),
Entonces, ( ) .
b. Calculamos ( ). Aplicamos ( ) ( ) ( ) ( ).
Conocemos todo menos ( ), despejamos y nos queda:
( ) ( ) – ( ) ( ), sustituimos p(A)=
.
c. Calculemos ( ). Apliquemos p(A/B)= ( )
( )
.
2. La probabilidad del primer funcionario es p(A)= 2/5 y del segundo funcionario
es de p(B)= ½ .
Luego la ( )
,
Finalmente, ( )
3. Nótese que no importa el orden en que se sienten las personas, ya que los
cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a
la vez. Por lo tanto, hay
( )
Maneras.
ENCUENTRO DIDÁCTICO 2. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Saber: Las y los estudiantes desarrollarán habilidades para la construcción de
estudios estadísticos de estimación de parámetros que permitan contribuir a la
ejecución de acciones por parte de los órganos de seguridad ciudadana en
beneficio de la ciudadanía.
Orientaciones generales para el desarrollo del encuentro:
Estimados y estimadas estudiantes, en el encuentro didáctico Estimación de
parámetros abordaremos los siguientes saberes: muestreo, intervalos de
confianza y estimación de errores. Cada una vista desde la perspectiva de mirada
policial, los cuales contribuyen como herramientas importantes que fortalecen el
ejercicio de las funcionarias y funcionarios en aras de garantizar la seguridad
ciudadana.
Para desarrollar los saberes mencionados anteriormente, presentamos varias
actividades que deberás realizar con el fin de sintetizar tu teoría y tu práctica
desde la función policial, dentro de las cuales tenemos:
1. Lectura sobre “Estimando Parámetros en la Función de los órganos de
seguridad ciudadana”, lo que nos permitirá profundizar sobre la teoría de
muestreo, que puede emplearse para obtener información acerca de muestras
obtenidas aleatoriamente de una población conocida.
2. Seguidamente, algunos planteamientos vinculados al ejercicio de tus
funciones donde se utilice la estimación de parámetros para describir una
población y en el que debas plantear las soluciones, para luego hacer un escrito
reflexivo que nos hable de las ventajas de la estimación.
3. Luego, la actividad 1 será la oportunidad de practicar para aprender a
reconocer como llevar a cabo todo el proceso de análisis de los datos o
información recogida a través de un estudio. El propósito de la misma es
brindarnos herramientas que nos permitan elaborar un informe completo sobre las
situaciones de una determinada población.
Para culminar el encuentro, presentamos una actividad final donde deberás
utilizar todo lo aprendido, consta de ejercicios con distintos niveles de complejidad.
Al final, encontraras una clave de respuestas que te permitirá evaluar tus avances.
Iniciemos nuestro recorrido con la mejor disposición para aprender y así
enriquecer nuestra función policial.
Actividad 1. Lectura: Estimando Parámetros en la Función de los órganos
de seguridad ciudadana
Por lo general las poblaciones a estudiar son muy grandes como para ser
estudiadas en su totalidad. Su tamaño requiere que se seleccionen muestras, las
cuales se pueden utilizar más tarde para hacer inferencias sobre las poblaciones.
Si un oficial quiere estudiar la edad promedio de las personas que cometieron un
delito en los últimos 3 años, la población puede ser muy grande y por lo tanto muy
complicado calcular el promedio. Sería mucho más fácil estimar la media
poblacional con la media de una muestra representativa.
Hay por lo menos dos tipos de estimadores que se utilizan más comúnmente
para este propósito: un estimador puntual y un estimador por intervalo. Un
estimador puntual utiliza un estadístico (cantidad obtenida de una muestra con el
propósito de estimar un parámetro de la población) para estimar el parámetro en
un solo valor o punto. Por ejemplo, el oficial puede tomar una muestra de tamaño
100 y calcular el promedio de las edades.
Una estimación por intervalo especifica el rango dentro del cual está el
parámetro desconocido. El oficial puede decir que la media poblacional está entre
24,3 y 27,8. Tal intervalo, con frecuencia va acompañado de una afirmación sobre
el nivel de confianza que se da en su exactitud. Por tanto se llama intervalo de
confianza.
Repasemos un poco el muestreo estadístico:
Muestreo
Habitualmente, el investigador no trabaja con todos los elementos de la
población que estudia sino sólo con una parte o fracción de ella; a veces, porque
es muy grande y no es fácil abarcarla en su totalidad. Por ello, se elige una
muestra representativa y los datos obtenidos en ella se utilizan para realizar
pronósticos en poblaciones futuras de las mismas características.
Se conoce con el nombre de muestreo al proceso de extracción de una muestra
a partir de la población. El proceso esencial del muestreo consiste en identificar la
población que estará representada en el estudio.
La importancia del muestreo radica en que no es necesario trabajar con la
totalidad de los elementos de una población (N) para comprender con un nivel
“razonable” de exactitud la naturaleza del fenómeno estudiado. Este conocimiento
se puede obtener a partir de una muestra que se considere representativa de
aquella población.
Tipos de muestreo
Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no
aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad.
Muestreo probabilístico
Conocido también como muestreo de selección aleatoria, utiliza el azar como
instrumento de selección, pudiéndose calcular de antemano la probabilidad de que
cada elemento sea incluido en la muestra. Para Marín Ibañez (1985) este tipo de
muestreo es el que alcanza mayor rigor científico, y se caracteriza porque se
cumple el principio de la equiprobabilidad, según el cual todos los elementos de la
población tienen la misma probabilidad de salir elegidos en una muestra.
Es la modalidad de muestreo más conocida y que alcanza mayor rigor
científico. Garantiza la equiprobabilidad de elección de cualquier elemento y la
independencia de selección de cualquier otro. En este procedimiento se extraen al
azar un número determinado de elementos, ‘n’, del conjunto mayor ‘N’ o población,
procediendo según la siguiente secuencia: a) definir la población, confeccionar
una lista de todos los elementos, asignándoles números consecutivos desde 1
hasta ‘n’; b) la unidad de base de la muestra debe ser la misma; c) definir el
tamaño de la muestra, y d) extraer al azar los elementos.
La muestra quedará formada por los ‘n’ elementos obtenidos mediante sorteo
de la población. Los procedimientos más comunes de extracción de los elementos
en este tipo de muestreo son: las tablas de números aleatorios, incluidas en los
manuales de estadística; los clásicos sistemas de lotería y otros procedimientos
de extracción al azar, incluidos las aplicaciones informáticas.
Muestreo Estratificado
Este muestreo se utiliza cuando la población está constituida en estratos o
conjuntos de la población homogéneos con respecto a la característica que se
estudia. Dentro de cada estrato se puede aplicar el muestreo aleatorio o
sistemático. Consiste en subdividir la población en subgrupos o estratos con
arreglo a la/s característica/s que se consideren y en elegir la muestra de modo
que estén representados los diferentes estratos.
Para la obtención de la muestra estratificada se siguen los siguientes pasos:
a) Se divide la población en estratos; b) de cada estrato se extrae una muestra
por algún procedimiento de muestreo; c) el número de individuos de cada estrato
se puede decidir por paridad o proporcionalidad; y d) la suma de las muestras de
cada estrato forman la muestra total ‘n’. (Latorre, Rincón y Arnal, 2003)
Muestreo no probabilístico
En estas técnicas no se utiliza el muestreo al azar, sino que la muestra se
obtiene atendiendo al criterio o criterios del investigador o bien por razones de
economía, comodidad, etc. Consecuentemente, estas técnicas no utilizan el
criterio de equiprobabilidad, sino que siguen otros criterios, procurando que la
muestra obtenida sea lo más representativa posible. Estas muestras, al no utilizar
el muestreo al azar, no tienen la garantía de las muestras probabilísticas, pero en
la práctica son a menudo necesarias e inevitables, en opinión de Kerlinger (1975).
Dentro de este tipo de muestreo se suele distinguir entre muestreo accidental e
intencional o deliberado.
Muestreo Accidental o No Casual
Este tipo de muestreo se caracteriza por utilizar las muestras que tiene a su
alcance. Se denominan accidentales porque no responden a una planificación
previa en cuanto a los sujetos a elegir. De hecho, toma las muestras disponibles
sin introducir selección o modificación alguna. Por ejemplo, empresas, centros
completos, cursos o grupos dentro de un nivel, etc.
Muestreo intencional
En esta técnica, el investigador selecciona de modo directo los elementos de la
muestra que desea participen en su estudio. Se eligen los individuos o elementos
que se estima que son representativos o típicos de la población. Se sigue un
criterio establecido por el experto o investigador. Se suelen seleccionar los sujetos
que se estima que pueden facilitar la información necesaria.
Intervalos de confianza
Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, con un
nivel de confianza específico.
Nivel de confianza (NC)
Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de
confianza.
Veamos las ecuaciones para los intervalos de confianza de la media en
variables aleatorias que se distribuyen de manera normal y no normal.
Población Desviación
poblacional conocida
Desviación
poblacional desconocido
Normal
(
)
√
(
)
√
No normal
(
)
√
Debemos pedir
(
)
√
Debemos pedir
Donde:
1. es el promedio muestral.
2. es el tamaño de la muestra.
Recordemos
que el símbolo
quiere decir que se
deben calcular dos
resultados uno con
el más y otro con el
3. es el desvío poblacional.
4. es el desvío muestral (calculado a partir de la muestra).
5. . Es decir, si nos piden 95% de confianza,
.
6.
es un valor de la distribución normal estándar.
7.
es un valor de la distribución t-Student.
Los valores y se obtienen de las correspondientes tablas.
Ejemplos:
1) La cantidad de horas que diversos oficiales patrullan en una determinada
zona es una variable aleatoria normal, cuya media se desea estimar, para lo cual
se toma una muestra de 9 días, con las siguientes duraciones en horas, resultan:
6.3, 6.8, 7.3, 5.4, 8.1, 7.9, 6.9, 6.2, 8.3.
Se pide, calcular el intervalo del 95% de confianza para estimar la media.
Solución:
Como no conocemos el desvío poblacional, usaremos (
)
√
El tamaño de la muestra es n = 9.
Vamos a necesitar calcular y .
√∑ ( )
Buscamos el valor de la t-Student en la tabla (esta tabla se encuentra al final del
capítulo), y obtenemos .
Ya estamos en condiciones de obtener los límites del intervalo:
√
De esta forma el intervalo nos queda: ( ).
Errores de estimación
El error de la estimación viene dado por las siguientes formulas:
Población Desviación poblacional
conocida
Desviación poblacional
desconocido
Normal
(
)
√
(
)
√
No normal
(
)
√
Debemos pedir
(
)
√
Debemos pedir
Ejemplo:
En nuestro problema anterior el error viene dado por:
(
)
√
√
Tamaño de la muestra
El tamaño de la muestra está dado por el número de sujetos que componen
la muestra extraída de una población.
El tamaño de la muestra se calcula de la siguiente forma:
Población Desviación poblacional
conocida
Desviación poblacional
desconocido
Normal
((
)
)
((
)
)
No normal
((
)
)
Debemos pedir
((
)
)
Debemos pedir
Tablas de la normal ( )
normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0,5 0,50
399 0,50
798 0,51
197 0,51
595 0,51
994 0,52
392 0,52
79 0,53
188 0,53
586
0,1 0,53
983 0,54
38 0,54
776 0,55
172 0,55
567 0,55
962 0,56
356 0,56
749 0,57
142 0,57
535
0,2 0,57
926 0,58
317 0,58
706 0,59
095 0,59
483 0,59
871 0,60
257 0,60
642 0,61
026 0,61
409
0,3 0,61
791 0,62
172 0,62
552 0,62
93 0,63
307 0,63
683 0,64
058 0,64
431 0,64
803 0,65
173
0,4 0,65
542 0,65
91 0,66
276 0,66
64 0,67
003 0,67
364 0,67
724 0,68
082 0,68
439 0,68
793
0,5 0,69
146 0,69
497 0,69
847 0,70
194 0,70
54 0,70
884 0,71
226 0,71
566 0,71
904 0,72
24
0,6 0,72
575 0,72
907 0,73
237 0,73
565 0,73
891 0,74
215 0,74
537 0,74
857 0,75
175 0,75
49
0,7 0,75
804 0,76
115 0,76
424 0,76
73 0,77
035 0,77
337 0,77
637 0,77
935 0,78
23 0,78
524
0,8 0,78
814 0,79
103 0,79
389 0,79
673 0,79
955 0,80
234 0,80
511 0,80
785 0,81
057 0,81
327
0,9 0,81
594 0,81
859 0,82
121 0,82
381 0,82
639 0,82
894 0,83
147 0,83
398 0,83
646 0,83
891
1 0,84
134 0,84
375 0,84
614 0,84
849 0,85
083 0,85
314 0,85
543 0,85
769 0,85
993 0,86
214
1,1 0,86
433 0,86
65 0,86
864 0,87
076 0,87
286 0,87
493 0,87
698 0,879
0,881
0,88298
1,2 0,88 0,88 0,88 0,89 0,89 0,89 0,89 0,89 0,89 0,90
493 686 877 065 251 435 617 796 973 147
1,3 0,90
32 0,90
49 0,90
658 0,90
824 0,90
988 0,91
149 0,91
308 0,91
466 0,91
621 0,91
774
1,4 0,91
924 0,92
073 0,92
22 0,92
364 0,92
507 0,92
647 0,92
785 0,92
922 0,93
056 0,93
189
1,5 0,93
319 0,93
448 0,93
574 0,93
699 0,93
822 0,93
943 0,94
062 0,94
179 0,94
295 0,94
408
1,6 0,94
52 0,94
63 0,94
738 0,94
845 0,94
95 0,95
053 0,95
154 0,95
254 0,95
352 0,95
449
1,7 0,95
543 0,95
637 0,95
728 0,95
818 0,95
907 0,95
994 0,96
08 0,96
164 0,96
246 0,96
327
1,8 0,96
407 0,96
485 0,96
562 0,96
638 0,96
712 0,96
784 0,96
856 0,96
926 0,96
995 0,97
062
1,9 0,97
128 0,97
193 0,97
257 0,97
32 0,97
381 0,97
441 0,975
0,97558
0,97615
0,9767
2 0,97
725 0,97
778 0,97
831 0,97
882 0,97
932 0,97
982 0,98
03 0,98
077 0,98
124 0,98
169
2,1 0,98
214 0,98
257 0,983
0,98341
0,98382
0,98422
0,98461
0,985
0,98537
0,98574
2,2 0,98
61 0,98
645 0,98
679 0,98
713 0,98
745 0,98
778 0,98
809 0,98
84 0,98
87 0,98
899
2,3 0,98
928 0,98
956 0,98
983 0,99
01 0,99
036 0,99
061 0,99
086 0,99
111 0,99
134 0,99
158
2,4 0,99
18 0,99
202 0,99
224 0,99
245 0,99
266 0,99
286 0,99
305 0,99
324 0,99
343 0,99
361
2,5 0,99
379 0,99
396 0,99
413 0,99
43 0,99
446 0,99
461 0,99
477 0,99
492 0,99
506 0,99
52
2,6 0,99
534 0,99
547 0,99
56 0,99
573 0,99
585 0,99
598 0,99
609 0,99
621 0,99
632 0,99
643
2,7 0,99
653 0,99
664 0,99
674 0,99
683 0,99
693 0,99
702 0,99
711 0,99
72 0,99
728 0,99
736
2,8 0,99
744 0,99
752 0,99
76 0,99
767 0,99
774 0,99
781 0,99
788 0,99
795 0,99
801 0,99
807
2,9 0,99
813 0,99
819 0,99
825 0,99
831 0,99
836 0,99
841 0,99
846 0,99
851 0,99
856 0,99
861
3 0,99
865 0,99
869 0,99
874 0,99
878 0,99
882 0,99
886 0,99
889 0,99
893 0,99
896 0,999
3,1 0,99
903 0,99
906 0,99
91 0,99
913 0,99
916 0,99
918 0,99
921 0,99
924 0,99
926 0,99
929
3,2 0,99
931 0,99
934 0,99
936 0,99
938 0,99
94 0,99
942 0,99
944 0,99
946 0,99
948 0,99
95
3,3 0,99
952 0,99
953 0,99
955 0,99
957 0,99
958 0,99
96 0,99
961 0,99
962 0,99
964 0,99
965
3,4 0,99
966 0,99
968 0,99
969 0,99
97 0,99
971 0,99
972 0,99
973 0,99
974 0,99
975 0,99
976
3,5 0,99
977 0,99
978 0,99
978 0,99
979 0,99
98 0,99
981 0,99
981 0,99
982 0,99
983 0,99
983
3,6 0,99
984 0,99
985 0,99
985 0,99
986 0,99
986 0,99
987 0,99
987 0,99
988 0,99
988 0,99
989
3,7 0,99
989 0,99
99 0,99
99 0,99
99 0,99
991 0,99
991 0,99
992 0,99
992 0,99
992 0,99
992
3,8 0,99
993 0,99
993 0,99
993 0,99
994 0,99
994 0,99
994 0,99
994 0,99
995 0,99
995 0,99
995
3,9 0,99
995 0,99
995 0,99
996 0,99
996 0,99
996 0,99
996 0,99
996 0,99
996 0,99
997 0,99
997
4 0,99
997 0,99
997 0,99
997 0,99
997 0,99
997 0,99
997 0,99
998 0,99
998 0,99
998 0,99
998
Por ejemplo:
Entonces buscamos en la tabla un valor aproximado a este, que es:
0.95053, en ese valor a indica en la primera columna 1.6 y en la primera fila 0. 05,
así el valor de la normal es la suma de ambos, es decir 1.65:
Tablas de la t-Student
0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.97
5
0.99 0.99
5
1 1.000 1.37
6
1.96
3
3.07
8
6.31
4
12.70
6
31.82
1
63.65
7
2 0.816 1.06
1
1.38
6
1.88
6
2.92
0
4.30
3
6.96
5
9.92
5
3 0.765 0.97
8
1.25
0
1.63
8
2.35
3
3.18
2
4.54
1
5.84
1
4 0.741 0.94
1
1.19
0
1.53
3
2.13
2
2.77
6
3.74
7
4.60
4
5 0.727 0.92
0
1.15
6
1.47
6
2.01
5
2.57
1
3.36
5
4.03
2
6 0.718 0.90
6
1.13
4
1.44
0
1.94
3
2.44
7
3.14
3
3.70
7
7 0.711 0.89
6
1.11
9
1.41
5
1.89
5
2.36
5
2.99
8
3.49
9
8 0.706 0.88
9
1.10
8
1.39
7
1.86
0
2.30
6
2.89
6
3.35
5
9 0.703 0.88
3
1.10
0
1.38
3
1.83
3
2.26
2
2.82
1
3.25
0
10 0.700 0.87 1.09 1.37 1.81 2.22 2.76 3.16
9 3 2 2 8 4 9
11 0.697 0.87
6
1.08
8
1.36
3
1.79
6
2.20
1
2.71
8
3.10
6
12 0.695 0.87
3
1.08
3
1.35
6
1.78
2
2.17
9
2.68
1
3.05
5
13 0.694 0.87
0
1.07
9
1.35
0
1.77
1
2.16
0
2.65
0
3.01
2
14 0.692 0.86
8
1.07
6
1.34
5
1.76
1
2.14
5
2.62
4
2.97
7
15 0.691 0.86
6
1.07
4
1.34
1
1.75
3
2.13
1
2.60
2
2.94
7
16 0.690 0.86
5
1.07
1
1.33
7
1.74
6
2.12
0
2.58
3
2.92
1
17 0.689 0.86
3
1.06
9
1.33
3
1.74
0
2.11
0
2.56
7
2.89
8
18 0.688 0.86
2
1.06
7
1.33
0
1.73
4
2.10
1
2.55
2
2.87
8
19 0.688 0.86
1
1.06
6
1.32
8
1.72
9
2.09
3
2.53
9
2.86
1
20 0.687 0.86
0
1.06
4
1.32
5
1.72
5
2.08
6
2.52
8
2.84
5
21 0.686 0.85
9
1.06
3
1.32
3
1.72
1
2.08
0
2.51
8
2.83
1
22 0.686 0.85
8
1.06
1
1.32
1
1.71
7
2.07
4
2.50
8
2.81
9
23 0.685 0.85
8
1.06
0
1.31
9
1.71
4
2.06
9
2.50
0
2.80
7
24 0.685 0.85
7
1.05
9
1.31
8
1.71
1
2.06
4
2.49
2
2.79
7
25 0.684 0.85
6
1.05
8
1.31
6
1.70
8
2.06
0
2.48
5
2.78
7
26 0.684 0.85
6
1.05
8
1.31
5
1.70
6
2.05
6
2.47
9
2.77
9
27 0.684 0.85
5
1.05
7
1.31
4
1.70
3
2.05
2
2.47
3
2.77
1
28 0.683 0.85 1.05 1.31 1.70 2.04 2.46 2.76
5 6 3 1 8 7 3
29 0.683 0.85
4
1.05
5
1.31
1
1.69
9
2.04
5
2.46
2
2.75
6
30 0.683 0.85
4
1.05
5
1.31
0
1.69
7
2.04
2
2.45
7
2.75
0
40 0.681 0.85
1
1.05
0
1.30
3
1.68
4
2.02
1
2.42
3
2.70
4
60 0.679 0.84
8
1.04
6
1.29
6
1.67
1
2.00
0
2.39
0
2.66
0
120 0.677 0.84
5
1.04
1
1.28
9
1.65
8
1.98
0
2.35
8
2.61
7
0.674 0.84
2
1.03
6
1.28
2
1.64
5
1.96
0
2.32
6
2.57
6
Por ejemplo:
Buscamos el valor 0.95 en la primera fila y el valor de 25 en la primera columna,
así el valor de .
Actividad 2. Construyendo problemas de estimación de parámetros.
¡Apreciados y apreciadas estudiantes!
La estimación de parámetros es una herramienta muy útil dentro de las
estadísticas, ya que nos permite caracterizar o describir de forma aproximada una
población que desconocemos en su mayoría. En la función de los órganos de
seguridad ciudadana, ésta permite comprender diversas situaciones a partir de
una pequeña muestra. Por ello, te invitamos a realizar la siguiente actividad que
¡Muy bien!
Ya avanzamos en el
empoderamiento de saberes sobre la
estimación de parámetros. Ahora
practiquemos lo aprendido…
tiene como propósito desarrollar un pensamiento analítico con el cual las y los
estudiantes lleven a cabo estudios estadísticos vinculados al ejercicio de sus
funciones.
La actividad a realizar es la siguiente:
1. Construye 3 planteamientos (problemas) vinculados al ejercicio de tus
funciones en la cual se utilice la estimación de parámetros para describir
una población. Los planteamientos deben incluir el estudio de una
población específica y la realización de los cálculos estadísticos necesarios
para poder estimar parámetros. (Los planteamientos no necesitan tener
datos reales)
2. Realiza las soluciones a los planteamientos propuestos en el ítem anterior.
3. Realiza un escrito en el cual reflexiones sobre las ventajas de la estimación
de parámetros en los órganos de seguridad ciudadana.
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Actividad 3. Estimando parámetros en la práctica.
¡Sigamos avanzando estimados y estimadas estudiantes! En esta oportunidad
te proponemos una actividad en la cual podemos llevar a cabo todo el proceso de
análisis de los datos o información recogida a través de un estudio. El propósito de
la misma es brindarnos herramientas que nos permitan elaborar un informe
completo sobre las situaciones de una determinada población. Por ello, la
actividad que te proponemos es la siguiente:
1. Recolecta información referente al número de situaciones delictivas que
han vivido los vecinos de las comunidades en las cuales te desempeñes.
Recolecta una muestra de tamaño 20. La encuesta debe tener, nombre,
edad, sexo y el número de situaciones adversas referidas a la seguridad
ciudadana.
2. Elabora una tabla de frecuencia y un gráfico de barras en la cual se reflejen
los resultados de tus encuestas.
3. Estima la media poblacional a partir de la muestra con un nivel de confianza
de 95% y calcula el error.
4. Refleja tus conclusiones en un texto de máximo 7 líneas.
Actividad final del encuentro
Con el fin de sistematizar los saberes abordados a través de las actividades
planteadas en el encuentro didáctico, cerraremos con una actividad final donde
podrás valorar el proceso de aprendizaje. En esta sección, encontrarás una serie
de problemas referidos al muestreo, intervalos de confianza y estimación de
errores, cada una vista desde una mirada de los órganos de seguridad ciudadana,
cuyas respuestas deben ser claras y coherentes en función de los aprendizajes
adquiridos. Para ello:
Responde todas las preguntas planteadas en el orden que se te presentan.
Socializa tus reflexiones y comentarios con tus demás compañeras y
compañeros de ambiente en los encuentros presenciales.
Sistematiza la experiencia para establecer relaciones entre los saberes
abordados y nuestro contexto laboral.
Al finalizar todos los ejercicios, puedes comparar tus respuestas con la
clave de corrección ubicada al final del encuentro didáctico.
Actividades.
1. Sea la población de elementos: {22, 24, 26}. Suponga que esta población
representa el número de armas incautadas en los últimos tres meses en un recinto
carcelario.
a. Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas
mediante muestreo aleatorio simple.
b. Calcule la varianza de la población.
2. Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio
en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado
los siguientes precios:
95 108 97 112 99 106 105 100 99 98 104 110 107 111 103 110
Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley
normal de varianza 25 y media desconocida:
4. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
b. Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.
Clave de corrección
1.
a.
b. La varianza de la población es:
.
2.
a.
= 104 es la distribución de la media muestral.
b. (
√ ) = (
) = ( ).
Como debemos calcular el intervalo de confianza al 95 %
Luego
Buscamos el valor 0.975 en la tabla de la normal nos encontramos con 0,97615
que es su mayor aproximación, la cual se encuentra en la casilla 1,9 y 0.06. Por lo
tanto: = 1.96+0.06= 1.96.
Finalmente, nos queda que:
(104 - 1.96 * 1.25, 104 + 1.9 * 1.25) = (101.55; 106.45) es el nivel de confianza
para la media muestra al 95%.
ENCUENTRO DIDÁCTICO 3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Saber: Las y los estudiantes desarrollaran habilidades para la formulación de
pruebas de hipótesis en el estudio y análisis de sucesos referidos a la seguridad
ciudadana de forma de poder plantear acciones que impacten en los problemas
que afectan a esta.
Orientaciones generales para el desarrollo del encuentro:
Apreciados y apreciadas estudiantes, en el encuentro didáctico denominado
“Pruebas de hipótesis” abordaremos los siguientes saberes: tipos de hipótesis,
pruebas bilaterales y unilaterales y tipos de errores, será visto desde la
perspectiva de la función de los órganos de seguridad ciudadana con el fin de
contribuir con la prevención y detección del delito.
Para desarrollar los saberes mencionados anteriormente presentamos unas
actividades que consisten en:
1. Preguntas generadoras, a partir de las cuales, activarás tus saberes previos
con respecto a la temática que se va a desarrollar, esto con el fin de partir de
tu realidad, condición histórica, y de la toma de conciencia crítica en torno a
ella.
2. Lecturas sobre la prueba de hipótesis, pues es una herramienta que permite
caracterizar una población sin necesidad de manejar los datos completos, es
decir, a partir de una muestra se puede inferir la población mediante la
realización de una prueba de hipótesis.
3. Prueba de hipótesis a través de diversos ejercicios planteados y,
posteriormente, calcular diversas probabilidades en base a encuestas
elaboradas bajo unos estándares con los que podemos describir la población
a la cual entrevistamos.
Para culminar el encuentro, presentamos una actividad final donde deberás
utilizar todo lo aprendido. Éste consta de ejercicios con distintos niveles de
complejidad. Por último, encontraras una clave de respuestas que permitirá
evaluar los avances.
Actividad 1. Planteando hipótesis y los órganos de seguridad ciudadana.
El nuevo modelo policial, el CICPC, El servicio penitenciario, los bomberos y
protección civil buscan hacer énfasis en la prevención de sucesos que afecten la
seguridad ciudadana, es por ello que las pruebas de hipótesis son una
herramienta valiosa no solo para estos sino para todos los órganos de seguridad
ciudadana. Estas pruebas nos permiten plantear hipótesis y evaluarlas a partir de
datos recogidos de la población.
Conociendo esto, te invitamos a compartir, en este espacio, tus saberes en
referencia a las hipótesis, a partir de las siguientes preguntas generadoras:
¿Qué entiendes por hipótesis? ¿Cómo realizar una hipótesis puede ayudar a la
prevención de situaciones que afecten a la seguridad ciudadana?
Posterior a esto, compartamos con las compañeras y compañeros nuestras
reflexiones en el encuentro presencial.
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Actividad 2. Lectura: Pruebas de Hipótesis
El objetivo al tomar una muestra es extraer alguna conclusión o inferencia sobre
una población. Nuestro interés es conocer acerca de los parámetros que
caracterizan la población en estudio. El único motivo para examinar muestras es
que las poblaciones suelen ser demasiado grandes y costosas de estudiar.
La prueba de hipótesis es un procedimiento estadístico que comienza con una
suposición que se hace con respecto a un parámetro de población, luego se
recolectan datos de muestra, se producen estadísticas de muestra y se usa esta
información para decidir qué tan probable es que sean correctas nuestras
suposiciones acerca del parámetro de población en estudio.
Ejemplos de hipótesis pueden ser: Se desea
a) Probar si la media de robos en el municipio durante un fin de semana ha
disminuido con respecto al anterior.
b) Probar si el promedio de denuncias por alteraciones de orden público ha
disminuido en los últimos fines de semana.
Objetivo de la prueba de hipótesis
Decidir, basado en una muestra de una población, cuál de dos hipótesis
complementarias es cierta.
Las dos hipótesis complementarias se denominan hipótesis nula e hipótesis
alternativa.
Conceptos Básicos
Hipótesis Nula (H0)
Representa la hipótesis que mantendremos cierta, a no ser que los datos
indiquen su falsedad. Esta hipótesis nunca se considera aceptada, en realidad lo
que se quiere decir es que no hay suficiente evidencia estadística para rechazarla
por lo que aceptar H0 no garantiza que H0 sea cierta.
Hipótesis Alternativa (H1)
Hipótesis que se acepta cuando los datos no respaldan la hipótesis nula.
Tipos de pruebas
a) Pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales. Estas pruebas son del tipo:
b) Pruebas de hipótesis de un extremo o unilateral.
b.1)
b.2)
Metodología:
La lógica de una prueba de hipótesis es similar a la de un juicio penal, donde
debe decidirse si el acusado es inocente o culpable y el juicio consiste en aportar
evidencia para rechazar la hipótesis de inocencia más allá de cualquier duda
razonable. Por su parte una prueba de hipótesis analiza si los datos observados
permiten rechazar la hipótesis nula, comprobando si éstos tienen una probabilidad
de aparecer lo suficientemente pequeña cuando es cierta la hipótesis nula.
Las etapas de una prueba de hipótesis son:
a) Definir la hipótesis nula a contrastar.
b) Definir una medida de discrepancia entre los datos muestrales y la hipótesis
Ho. Supongamos que el parámetro de interés es la media de una población y
que a partir de una muestra hemos obtenido su estimador , entonces debemos
medir de alguna manera la discrepancia entre ambos, que denotaremos como
( ) .
c) Decidir qué discrepancia consideramos inadmisibles con , es decir, a partir
de qué valor de , la discrepancia es muy grande como para atribuirse al azar y
considerar que pueda ser cierta. Para ello debemos entonces:
5. Tomar la muestra.
6. Calcular el estimador del parámetro, en nuestro ejemplo .
7. Calcular la medida de discrepancia .
8. Tomar la decisión: Si es “pequeña”, aceptar , si es lo “suficientemente”
grande, rechazarla y aceptar .
Es por ello que necesitamos establecer una Regla de Decisión mediante la cual
sea especificada:
a) La medida de discrepancia.
b) Un criterio que nos permita juzgar qué discrepancias son “demasiado
grandes”
Veamos entonces:
a) Medidas de discrepancias:
Es natural considerar medidas de discrepancias del tipo:
|
| Recordemos
que el símbolo ||
representa al
valor absoluto
De las que será posible conocer su distribución de probabilidad.
Si las hipótesis son bilaterales, el signo de la desviación entre no es
importante, sin embargo cuando la hipótesis es unilateral el signo de la
discrepancia sí lo es.
b) Calculo de un valor mínimo para la discrepancia para la aceptación de .
Para ello definamos:
Nivel de Significancia.
Para realizar una prueba de hipótesis, dividiremos el rango de discrepancias
que puede observarse cuando es cierta en dos regiones: una región de
aceptación de y otra de rechazo.
Se consideran discrepancias “demasiado grandes”, las que tienen una
probabilidad pequeña de ocurrir si es cierta. A este valor lo llamamos nivel de
significación: generalmente tomamos valores de 0.1, 0.05, 0.01 o 0,005.
El nivel de significación puede interpretarse también, como la probabilidad que
estamos dispuestos a asumir para rechazar cuando ésta es cierta. Cabe
destacar que mientras más alto sea el nivel de significancia que se utiliza para
robar una hipótesis, mayor será la probabilidad de rechazar una hipótesis nula
cuando es cierta.
Región de Rechazo:
Una vez fijado , la región de rechazo se determina a partir de la distribución
de probabilidad de ( ) cuando es cierta. Como esta distribución es
conocida elegiremos de manera que discrepancias mayores de tengan
probabilidad de ocurrir menor de ,si es cierta.
La región de rechazo será y la de no rechazo será por consiguiente:
Si la discrepancia observada cae en la región de rechazo se dice que se ha
producido una diferencia significativa y se rechaza la hipótesis nula .
Tipos de errores
Cuando se decide sobre el rechazo de una hipótesis se pueden cometer dos
equivocaciones.
9. Error tipo I ( ): es el rechazo de una hipótesis nula cuando es cierta.
P(Error tipo I) = (su probabilidad es el nivel de significancia).
10. Error tipo II ( ): es la aceptación de una hipótesis nula cuando es falsa. Una
vez especificado el valor de , el de queda fijado para cualquier tamaño
de muestra determinada. El valor de depende del valor verdadero de ,
por lo tanto existe un número infinito de valores de , ya que hay un valor
de diferente para cada valor verdadero que pueda tomar . Ahora bien,
dado un valor fijo de , la probabilidad de cometer un error de tipo II
disminuirá a medida que aumente el tamaño muestral.
Existe un equilibrio entre los dos tipos de errores, la probabilidad de cometer un
tipo de error puede reducirse sólo si deseamos incrementar la probabilidad de
cometer el otro.
Tipos de pruebas
a) Pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales.
Es una prueba en la que se rechaza si el valor de la muestra es
significativamente mayor o menor que el valor hipotetizado del parámetro de
población. Esta prueba involucra dos regiones de rechazo.
b) Pruebas de hipótesis de 1 extremo o unilaterales
Es una prueba en la que sólo hay una región de rechazo, es decir, sólo nos
interesa si el valor observado se desvía del valor hipotetizado en una dirección.
Pueden ser:
b.1) Prueba de extremo inferior: Es una prueba en la que si hay un valor
de muestra que se encuentra significativamente por debajo del valor de la
población hipotetizado, nos llevará a rechazar la hipótesis nula.
Gráficamente:
b.2) Prueba de extremo superior: Es una prueba en la que si hay un valor
de muestra que se encuentra significativamente por encima del valor de la
población hipotetizado, nos llevará a rechazar la hipótesis nula.
Gráficamente:
Pasos Generales
1) Identificar si el parámetro de interés es o
2) Establecer las hipótesis correspondientes y el nivel de significancia.
3) Calcular la medida de discrepancia o estadístico de muestra.
4) Buscar el valor del percentil, en dependencia de la distribución encontrada en
3.
5) Comparar los valores, tomar la decisión e interpretar los resultados.
Fórmulas
a) Pruebas de hipótesis para medias:
conocida
√ ⁄
desconocida
(muestras pequeñas, n<30, y
aproximadamente normal la población, t)
(muestras grandes, n≥30, z)
√ ⁄
√ ⁄
b) Pruebas de hipótesis para proporciones (muestras grandes, y
( ) ):
√ ( )
Veamos un ejemplo:
En el transcurso de una investigación antidrogas, se ha identificado el estilo de
pesaje de la droga de un laboratorio en aproximadamente 1000 grs. por panela de
restos y semillas vegetales, con una desviación de 20 grs.; el laboratorio
aparentemente se ha percatado del seguimiento que se hace a través de la
investigación policial y a objeto de evadir las pesquisas ha modificado su pesaje
en 100 grs. El peso de las 200 últimas panelas decomisadas ha resultado ser
aproximadamente de 1083 grs. Con un nivel de confianza del 95%, pruebe que las
panelas siguen siendo producción del mismo laboratorio y efectivamente
incrementaron en 100 grs. su peso a objeto de desvirtuar posibles seguimientos
en la investigación policial.
Solución:
1. Datos:
En este caso conocemos la varianza de la población, , además
grs., grs., y .
2. Hipótesis:
grs. 1000 grs.
3. Estadístico de Prueba:
√ ⁄
√
4 .Percentil:
o como n > 30
5. Justificación y decisión:
58.68>1.96 por lo tanto se rechaza y se concluye con un nivel de
significancia del 0.05 que el peso promedio de panelas ha sido modificado y
proviene de el mismo laboratorio.
Actividad 3. Realizando pruebas de hipótesis.
Apreciados y apreciadas estudiantes, como vimos en la actividad 1, las pruebas
de hipótesis son un elemento que nos permite evaluar hipótesis realizadas con lo
cual podemos mejorar nuestra accionar. Por ello, en este espacio te invitamos a
realizar pruebas de hipótesis a los siguientes planteamientos:
1. Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la
población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En un
centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad
una muestra de 30 estudiantes ha proporcionado las siguientes puntuaciones:
11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8, 23, 8, 6, 14, 16, 6,
7, 15, 20, 14, 15.
A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo?
2. En el transcurso de una investigación antidrogas, se ha identificado el estilo
de pesaje de la droga de un laboratorio en aproximadamente 1005 grs. por panela
de restos y semillas vegetales, con una desviación de 19 grs.; el laboratorio
aparentemente se ha percatado del seguimiento que se hace a través de la
investigación policial y a objeto de evadir las pesquisas ha modificado su pesaje
en 100 grs. El peso de las 800 últimas panelas decomisadas ha resultado ser
aproximadamente de 1032 grs. Con un nivel de confianza del 95%, pruebe que las
panelas siguen siendo producción del mismo laboratorio y efectivamente
incrementaron en 100 grs. su peso a objeto de desvirtuar posibles seguimientos
en la investigación policial.
Actividad final del encuentro
Con el fin de sistematizar los saberes abordados a través de las actividades
planteadas en el encuentro didáctico, cerraremos con una actividad final donde
podrás valorar el proceso de aprendizaje. En esta sección encontrarás una serie
de problemas referidos a la hipótesis, pruebas bilaterales y unilaterales y tipos de
errores que serán vistos desde la mirada de la seguridad ciudadana, cuyas
respuestas deben ser claras y coherentes en función de los aprendizajes
adquiridos. Para ello:
Responde todas las preguntas planteadas en el orden que se te presentan.
Socializa tus reflexiones y comentarios con tus demás compañeras y
compañeros de ambiente en los encuentros presenciales.
Sistematiza la experiencia para establecer relaciones entre los saberes
abordados y nuestro contexto laboral.
Al finalizar todos los ejercicios, puedes comparar tus respuestas con la
clave de corrección ubicada al final del encuentro didáctico.
Actividades.
1. El director general de policía en una región del país, al rendir cuentas ante
su superior, afirma que la media por zonas de delitos por robo a mano armada,
que se cometen en esa región, ha disminuido con respecto al año anterior. Se
quiere estudiar la veracidad de las declaraciones del Director analizando una
muestra de diversos municipios de la región. Se conoce que la media del año
anterior fue de 839.5, los datos de los municipios para este año son:
853 754 345 980 834 456 672 1056
Con un nivel de confianza del 5%, verifique si lo descrito por el comandante es
cierto.
2. Un informe establece que los funcionarios y funcionarias de una estación de
bomberos del país están trabajando alrededor de 22 horas cada dos días, con una
desviación estándar de 6 horas. Este informe parece haber sido manipulado y los
funcionarios y funcionarias trabajan más, por lo que se decide realizar una
investigación a fondo para conocer la realidad de esa estación. La investigación
arroja que de una muestra de 64 bomberos estos tienen una media de 25 horas
trabajadas cada dos días. Si se utiliza un nivel de confianza del 95%. Verifique si
la afirmación del informe es realmente cierta, a fin de planificar el trabajo
considerando lo establecido en los estándares bomberiles.
Clave de corrección
1. Establezcamos nuestra hipótesis:
Nuestra prueba es de una cola:
Como no tenemos la desviación típica debemos calcularla:
Recordemos que la forma de calcular esta la podemos ver en la unidad
curricular estadística básica aplicada a la función policial.
Como la muestra es menor a 30 y la desviación típica de la población no
está dada, entonces la ecuación a usar es:
√ ⁄
El tamaño de la muestra es n=8 y nos falta solo calcular la media de la
muestra:
Ahora apliquemos la ecuación:
√ ⁄
√
⁄
Veamos ahora el percentil de la t de student para el nivel de confianza del 5%
(Consultamos la tabla):
Conclusión: como entonces se rechaza la hipótesis
nula y se acepta la hipótesis alternativa, es decir el Director General tenía razón y
los delitos por robos han disminuido.
2. Los datos que tenemos son los siguientes:
Establezcamos nuestra hipótesis:
Calculemos el estimador:
√ ⁄
⁄
Veamos el estimador dado el nivel de confianza:
Así como el estadístico de prueba es mayor que el de la tabla (4>1.96)
se rechaza el estadístico de prueba y se aprueba la hipótesis alternativa, es
decir el informe era erróneo y los funcionarios y funcionarias bomberiles
trabajan más horas.
BIBLIOGRAFÍA
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