10 Poissonovo a exponenciální rozdělení pravděpodobnosti

10 Poissonovo a exponenciální rozdělenípravděpodobnosti10 Poissonovo a exponenciální rozdělení

pravděpodobnosti

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno

Této přednášce odpovídá část kapitoly 12 ze skript[1] a vše, co se nachází v kapitole 6 sbírky úloh [2] –tuto kapitolu 6 sbírky úloh je vhodné vzít jako cvičenítohoto tématu.

�bEd b@d OBSAH 1/35

10 Poissonovo a exponenciální rozdělenípravděpodobnostiPokračujeme v přehledu pravděpodobnostních po-

pisů veličin, které jsou natolik důležité, že mají svéjméno. Dvě rozdělení v této přednášce popisují dvěrůzné veličiny, které ovšem obě lze měřit v jedné kon-krétní situaci. Jedna z nich je

• diskrétní veličina (matematický popis: Poisso-novo rozdělení)

• a druhá je spojitá (matematický popis: exponen-ciální rozdělení)


10 Poissonovo a exponenciální rozdělenípravděpodobnosti10.1 Předpoklady tzv. „náhodné událostiÿ

10.1 Předpoklady tzv. „náhodné událostiÿ

Nejprve přistupme k popisu situace, ve které obatypy veličin, o kterých bude řeč, lze měřit. Jednáse o náhodný výskyt události, kde jsou splněny jistépředpoklady:

a) Náhodná událost nenastává příliš často – přes-něji řečeno, musí být možné rozdělit časovou osuna drobné intervaly stejné délky, že pravděpo-dobnost, že v jednom konkrétním časovém inter-válku nastanou více než dva výskyty dané udá-losti, je rovna nule.

Například se jedná o – narození dítěte v jistéporodnici; příchod emailu na jistou adresu;



příchod zákazníka do fronty v supermarketu. Utěchto událostí se může stát, že dojde ke dvěmavýskytům této události blízko za sebou; ALEprůměrně musí docházet k tomu, že v intervalukrátké délky nastane nanejvýš jeden (nebospíše žádný) výskyt daného typu události. Jinakmatematické popisy, o kterých budeme dnesmluvit, nebudou odpovídat reálným hodnotámdané veličiny.

b) Náhodná událost má vlastnost „zapomnět-livostiÿ – výskyt této události nezávisí naminulých výskytech.

To znamená, že výskyt náhodné události je stejně



pravděpodobný (zjednodušeně řečeno) dnes, zí-tra i pozítří – zkrátka kdykoli začneme měřit,pravděpodobnost, že do padesáti minut od za-čátku měření dojde k výskytu náhodné události,je stejná, ať už začnu měřit dnes ráno v 8.00 hod,nebo zítra ve 12.00 hod.

(v reálu někdy se matematický popis dokáže vy-pořádat i s rozdíly měření veličin v průběhu dne,ale veličiny musí být dobře popsány, a také mu-síme pak „srovnávat srovnatelnéÿ: například po-čet aut, která projedou jistou křižovatkou mezipůlnocí a jednou hodinou, se liší od počtu aut,která projedou stejnou křižovatkou mezi osmou



a devátou ráno – ovšem pokud upřesníme, že ná-sledující veličina popisuje situaci na dané křižo-vatce ve špičce pracovního dne, matematický po-pis této situace dopravní špičky může být docelapřesný).

c) Náhodný výskyt událostí je generován na základěvelkého počtu (v ideálním případě až nekonečněvelkého počtu – zkrátka dostatečně velkého po-čtu) zdrojů.

Například příchod zákazníka do supermarketu vBrně lze dobře popsat pomocí veličin, které bu-dou za chvíli uvedeny – potenciální zdroj lidí,kteří by totiž mohli každý den do supermarketu



přijít, je v řádu desetittisíců, možná statisíců. Nadruhé straně, příchod zákazníka do samoobsluhyve vesmírné orbitální stanici, kde je všehovšudydeset lidí, lze také matematicky popsat – ovšemjinými prostředky, než bude uvedeno dále. Pří-chod studenta do menzy, do které může potenci-álně přijít i několik set studentů, zatímco teore-ticky jich tam může během dne zamířit i něko-lik tisíc, je ještě snesitelným příkladem události,které se budeme v dalším věnovat. Ovšem účaststudenta na přednášce své skupiny je už spíše ne-přijatelnou událostí pro model, který bude uve-den dnes – jedná se o omezenou skupinu zpra-vidla méně než 250 studentů, a sice o jedinou



skupinu, která je potenciálním zdrojem přícho-zích studentů.

V následujícím tedy bude představen model po-pisující chování dvou veličin v situaci výskytu ná-hodné události, ke které dochází nepravidelně, a nepříliš často; potenciální zdroj výskytů události je do-statečně velký (minimálně několik set potenciálníchvýskytů, ovšem nikoli z jedné skupiny, ale z různýchnezávislých zdrojů). A konečně, jednotlivé výskytyudálosti jsou jeden na druhém nezávislé (a nebo lzevzájemné ovlivňování výskytů zanedbat vzhledem kjejich celkovému počtu).



K popisu takto zhruba definované náhodné udá-losti potřebuje matematika jediný parametr (získanýnapř. z měření) – průměrný počet λ výskytů danénáhodné události za jednotku času.


10 Poissonovo a exponenciální rozdělenípravděpodobnosti10.2 Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti

10.2 Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti

V situaci uvedené v předchozím oddílku nyní chcemematematicky popsat veličinu X = počet výskytůdané náhodné události za jednotku času.

Jakých hodnot může veličina X nabývat a s jakoupravděpodobností (= jaké je její rozdělení pravděpo-dobnosti)?



Nejprve je dobré si všimnout, že se jedná odiskrétní veličinu. Odtud lze dobře usoudit, že zaurčitý časový úsek může být výskytů jisté události0, 1, 2, . . ., a teoreticky to (kromě nuly) může být jaké-koli PŘIROZENÉ číslo, záleží na povaze veličiny, nadélce časové jednotky – při pevně stanovené časovéjednotce bude asi pravděpodobnost výskytu vyššíhoa vyššího počtu událostí v dané době klesat, alematematika tuto pravděpodobnost dokáže vyčíslit, ikdyž bude velmi malá.



0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

5 10 15 20 25 30

Obrázek 1: Graf pravděpodobnostní funkce p(k) rozdělení Po(12).

Lze odvodit (skripta str. 187-191), že veličinu X

lze popsat pravděpodobnostní funkcí

P (X = k) =λk

k!· e−λ pro k = 0, 1, 2, . . . (1)



Dále lze odvodit dosazením těchto pravděpodob-nostních hodnot p(k) do příslušných vzorců, že

EX = λ, DX = λ

(a to je na tomto Poissonově rozdělení pravděpo-dobnosti zajímavé – ze všech známých rozdělení jejediné, u kterého střední hodnota a rozptyl jsoustejné).



Pro distribuční funkcí F (x) veličiny X platí F (x) =∑k<x p(k).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

5 10 15 20 25x

Obrázek 2: Graf distribuční funkce F (x) rozdělení Po(12): funkce s ne-konečně mnoha schody, která vyjadřuje kumulativní pravděpodobnostiF (t) = P (Y < t).


10 Poissonovo a exponenciální rozdělenípravděpodobnosti10.3 Exponenciální rozdělení pravděpodobnosti

10.3 Exponenciální rozdělení pravděpodobnosti

Ve stejné situaci jako v předchozím oddílku měřmenyní jinou veličinu, a sice Y = doba mezi dvěma ná-slednými výskyty dané náhodné události.

Je asi rozumné si hned zkraje všimnout, že sejedná o spojitou veličinu. Odtud lze dobře usoudit(ještě za pomoci faktu, že se jedná o měření času po-čítané od nuly), že teoreticky hodnotou veličiny Y

může být jakékoli KLADNÉ číslo. Možnost vyšší avyšší naměřené hodnoty bude asi klesat, což se pro-jeví na klesajícím charakteru hustoty f (x).



Lze odvodit (viz stejné – výše uvedené – strany veskriptech), že hustota f (x) veličiny Y má tvar

f (x) =

0 pro x ≤ 0;

λ · e−λx pro x > 0.(2)

Integrací od minus nekonečna po x z hustoty lzeodvodit vztah pro distribuční funkcí F (x) veličiny X:

F (x) =

0 pro x ≤ 0;

1− e−λx pro x > 0.(3)

Použitím příslušných vzorců (pro spojitou ve-ličinu) lze pomocí integrace per partes dospět k



2

4

6

8

10

12

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Obrázek 3: Graf hustoty f(x) rozdělení Exp(12).

výpočtu střední hodnoty a rozptylu exponenciálněrozdělené veličiny:

EY =1λ, DX =

1λ2



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Obrázek 4: Graf distribuční funkce F (x) rozdělení Exp(12).

(znovu opakuji, že parametr λ má tentýž významjako u Poissonova rozdělení: λ = průměrný početvýskytů náhodné události za jednotku času).


10 Poissonovo a exponenciální rozdělenípravděpodobnosti 10.4 Konkrétní příklady

10.4 Konkrétní příklady

Příklad 10.1. Zdravotnický úřad shromažďuje údajeo nově narozených dětech. Průměrně každé dvě ho-diny se narodí další dítě. Určete

a) Průměrný počet narozených dětí za rok.

b) Pravděpodobnost, že v daném dnu se nenarodížádné dítě.

c) Pravděpodobnost, že v jednom dnu se narodí 20dětí.

d) Pravděpodobnost, že za 4 hodiny se narodí aspoň5 dětí.



Řešení:

ad a) Z tohoto úkolu nebudeme dělat vědu. Průměrně jednodítě za dvě hodiny dává dvanáct dětí za den a 365 · 12 =4380 dětí za rok.

ad b) Základem dobrého využití exponenciálního nebo Po-issonova popisu je zvolit si vhodnou časovou jednotku.Pokud hledáme určitý údaj za den, zvolme časovou jed-notku jeden den. Druhým krokem po volbě časové jed-notky je vypočtení parametru λ. V našem případě λ =12 dětí za den (jedná se o průměrný údaj za časovoujednotku).

V některých příkladech, máme možnost použítbuď exponenciální, nebo Poissonovo rozdělení -



ukážeme si nyní obě možnosti.Nejprve tedy označme Y dobu mezi dvěma po sobě jdoucímivýskyty narození dítěte. Podle podrobného odvození vpředchozím oddílu má veličina Y exponenciální rozdělení sparametrem λ = 12. Pak pravděpodobnost, že daný den senenarodí nikdo, je rovna

P (Y ≥ 1) = 1−P (Y < 1) = 1−F (1) = 1−(1−e−12·1) = e−12.

(využili jsme raději distribuční funkce F (x) nežhustoty f (x) exponenciálního rozdělení, protože vefunkci F (x) máme vlastně hotovou integraci).



Druhá možná cesta je užít veličiny X, která udává početnarození za jeden den. X má Poissonovo rozdělení s para-metrem λ = 12, čili hledaná pravděpodobnost je rovna

P (X = 0) =120

0!· e−12 = 0,00000614.

ad c) Využijeme veličiny X zavedené v b) a dosadíme:

P (X = 20) =1220

20!· e−12 = 0,00968

Pro ilustraci - graf pravděpodobnostní funkce Po-issonova rozdělení je uveden na obrázku 1, graf pří-slušné distribuční funkce na obr. 2.



ad d) Poslední úkol tohoto příkladu je analogický, ovšemotázka je položena tak, že nás zajímá údaj dosažený za4 hodiny. Musíme tedy změnit časovou jednotku na 4hodiny. Tím pádem se mění průměrný počet narozeníza časovou jednotku na λ = 2. Označíme-li nyní Y =počet dětí narozených za 4 hodiny, platí Y ∼ Po(λ = 2).A tedy

P (Y ≥ 5) = p(5) + p(6) + p(7) + · · · == 1− (p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4)) =

= 1− e−2 · (20

0!+21

1!+22

2!+23

3!+24

4!) = 0,05265

(místo sečítání nekonečné řady jsme opět odečetlipravděpodobnost opačného jevu od jedničky). Jak je



uvedeno na posledním řádku výpočtu, pokud sečí-táme několik pravděpodobností Poissonova rozdělení(zejména při písemce na kalkulačce), je vhodné člene−λ vytknout, místo abychom jím násobili každý členv závorce zvlášť - ušetříme si práci.



Příklad 10.2. a poště mají být instalovány automatyna prodej známek, které po vhození mince vydajípřesně za deset sekund žádanou známku. Předpoklá-dáme, že průměrně bude chtít použít automatu šestosob za minutu. Kolik automatů bychom měli insta-lovat, aby s pravděpodobností 0,95 byl i v době nej-větší frekvence obsloužen každý zájemce bez čekání?

Řešení: V dnešní hektické době jsou i ekonomické poža-davky neúprosné: čekat deset sekund je nepřijatelné, na 95%musí být automat k dispozici okamžitě. Klíčem k tomuto pří-kladu je zjistit, s jakou pravděpodobností přijde jistý početlidí za deset sekund - to je totiž doba, kdy automat eventuelněněkoho obsluhuje a každý další příchozí musí čekat. Zvolme



tedy v prvé řadě časovou jednotku rovnu deseti sekundám.Dále jestliže průměrně přijde šest za minutu, za deset

sekund přijde jeden, čili λ = 1. Označme X = početpříchozích zákazníků během deseti sekund. Bystrý čtenář jižtuší, že na následujícím řádku prohlásím, že podle přechozíhopodrobného odvození má veličina X rozdělení Poissonovo sparametrem λ = 1.

Položme si nyní následující otázku: Jaká je pravděpo-dobnost, že během deseti sekund nepřijde více než jedenzákazník (a tedy k okamžitému obsloužení stačí jedenautomat)?

p = P (X ≤ 1) = P (X = 0)+P (X = 1) = e−1·(10

0!+11

1!) = e−1·(1+1) = 0,73.



Tedy jediný automat je dostatečný v 73% času. Ovšem vostatních 27% příchozí zákazník musí čekat, a to je nepři-jatelné. Podívejme se, co říká teorie pro dva nainstalovanéautomaty: Pravděpodobnost, že během deseti sekund přijdoumaximálně dva zákazníci, je rovna

P (X ≤ 2) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = 0,73+P (X = 2) = 0,92.

Tedy v 92% času nový příchozí nemusí čekat. To je ovšempodle našeho zadání stále málo. Spočtěme dále pravděpodob-nost, že během deseti sekund přijdou maximálně tři:

P (X ≤ 3) = 0,92 + P (X = 3) > 0,95,

a tedy k naplnění požadavku ze zadání stačí tři automaty.



Příklad 10.3. Výrobní zařízení má poruchu v prů-měru jednou za 2000 hodin. Veličina Y představujícídobu čekání na poruchu má exponenciální rozdělení.Určete dobu T0 tak, aby pravděpodobnost, že přístrojbude pracovat delší dobu než T0, byla 0,99.

Řešení. Pravděpodobnost 0,99 je dost vysoká- proto doba T0 bezporuchového provozu s toutopravděpodobností bude mnohem nižší než 2000hodin. Určeme nyní T0 přesně.V prvé řadě stanovíme časovou jednotku. Nabízí

se jednotka 2000 hodin, tj. budeme teď počítat s čísly,kdy 1 = 2000 hod. Za druhé stanovíme λ, tj. průměrnýpočet poruch za časovou jednotku: v našem případě



λ = 1. A tak Y ∼ Exp(λ = 1). Hledejme teď takovoudobu T0, aby P (Y ≥ T0) = 0,99. Využijeme opět dis-tribuční funkce F (t), protože její hodnoty jsou přímorovny jistým kumulativním pravděpodobnostem - ajednu z nich můžeme do posledního vztahu dosadit:

P (Y ≥ T0) = 0,99

1− P (Y < T0) = 0,99

1− F (T0) = 0,99

F (T0) = 0,01

1− e−λ·T0 = 1− e−T0 = 0,01

T0 = 0,01005034

Musíme tento údaj prezentovat v rozumnějších jed-



notkách: Pokud 1 = 2000 hodin, tak

T0 = 0,01005034 = 2000 · 0,01005034 hodin = 20,1 hodin.

Příklad 10.4. Tento příklad si klade za cíl dosvědčit,že Poissonovsky rozdělená veličina může mít i jinýcharakter než jen počet náhodných událostí za jed-notku času.Další situace, které Poissonovský model může po-

psat, jsou ty, kde měříme počet náhodných událostína jednotku délky!!! Například:



Počet znečišťujících částeček při výrobě optickýchdisků má Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti.Průměrný počet částeček na jeden centimetr čtve-reční je 0,1 (tj. průměrně je znečištěn každý desátýčtvereční centimetr). Plocha kontrolovaného diskuje 100 cm2. Určete pravděpodobnost, že více než 5cm2 tohoto disku bude znečištěno.

Řešení: v tomto příkladu nemáme zadánujednotku času, ale jednotku plochy, a sice 1 cm2.



Je také zadán průměrný počet výskytů znečištěnína tuto jednotku, a sice 0,1 znečištěných centimetrů.Tuto hodnotu si můžeme přepočítat na rozumnou:pokud jednotka plochy je 100 cm2, tak průměrný po-čet znečištěných centimetrů čtverečních na tuto jed-notku je λ = 10. Pak

P (X > 5) = p(6) + p(7) + p(8) + · · · == 1− p(0)− p(1)− p(2)− p(3)− p(4)− p(5) =

= 1− e−10(100

0!+101

1!+102

2!+103

3!+

+104

4!+105

5!) .= 0,932914.



O dalších dvou význačných spojitých rozděleníchpravděpodobnosti kromě exponenciálního rozdělení(o jednom triviálním a o jednom velmi často používa-ném pro pravděpodobnostní popis) bude informovatnásledující přednáška.



Otázky k opakování

Z dnešní přednášky vyvstávají dvě otázky k opako-vání pro studenty, jejichž odpovědi je záhodno mít ssebou na písemky a znát zpaměti:

otázka č. 17. Poissonovo rozdělení – význačné dis-krétní rozdělení číslo 5: V jaké situaci jej lzepoužít? Co měříme v proměnné X? Jakých hod-not veličina nabývá a s jakou pravděpodobností?Jaká je EX a DX?

otázka č. 18. Exponenciální rozdělení – význačnéspojité rozdělení číslo 1: podotázky viz ot. 17.


Literatura

Literatura

[1] Fajmon, B., Růžičková, I.: Matematika 3.Skriptum FEKT 2003 (identifikační číslo vinformačním systému VUT: MAT103).http://www.rozhovor.cz/souvislosti/matematika3.pdf.

[2] Hlavičková, I., Hliněná, D.: Sbírka úloh z prav-děpodobnosti. Skriptum FEKT 2008.


Documents

10 Poissonovo a exponenciální rozdělení pravděpodobnosti