ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI A MATEMATICKÉ …home.ef.jcu.cz/~mrkvicka/vyuka/TPMSA.pdf · jihoČeskÁuniverzita,ekonomickÁfakulta zÁklady teorie pravdĚpodobnosti a matematickÉ

JIHOČESKÁ UNIVERZITA, EKONOMICKÁ FAKULTA

ZÁKLADY TEORIE

PRAVDĚPODOBNOSTI A

MATEMATICKÉ STATISTIKY

Tomáš MRKVIČKA, Michael ROST

ČESKÉ BUDĚJOVICE 2016

Recenzenti:prof. RNDr. Pavel Tlustý, Ph.D.,RNDr. Jana Klicnarová, Ph.D.

c© Tomáš Mrkvička, Michael Rost, 2016

ISBN ???????????

Contents

1 Úvod 8

I Teorie pravděpodobnosti 10

2 Náhodný jev 11

2.1 Axiomatická definice pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Klasický pravděpodobnostní prostor . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Geometrická pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Další příklady pravděpodobnostních prostorů . . . . . . . . . . 25

2.5 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Podmíněná pravděpodobnost 30

3.1 Podmíněná pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Nezávislost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Bernoulliho schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Celková pravděpodobnost 46

2

CONTENTS 3

4.1 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Fyzikální statistiky 54

5.1 Maxwell-Boltzmannova statistika . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Bose-Einsteinova statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Náhodná veličina 62

6.1 Definice náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2 Distribuční funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Diskrétní náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4 Absolutně spojité náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5 Zobecnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.6 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7 Charakteristiky náhodných veličin 80

7.1 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8 Diskrétní náhodné veličiny 92

8.1 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9 Spojité náhodné veličiny 106

9.1 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10 Náhodný vektor 119

10.1 Distribuční funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.2 Charakteristiky náhodného vektoru . . . . . . . . . . . . . . . 123

10.3 Některá mnohorozměrná rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4 CONTENTS

10.4 Nezávislé náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10.5 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

11 Funkce náhodných veličin 140

11.1 Konvoluce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

11.2 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

12 Zákon velkých čísel, CLV 153

12.1 Zákon velkých čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

12.2 Centrální limitní věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

12.3 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

II Matematická statistika 167

13 Zpracování statistického materiálu 168

13.1 Rozložení četností a jejich znázornění . . . . . . . . . . . . . . 170

13.2 Charakteristiky polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

13.3 Charakteristiky variability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

14 Náhodný výběr 179

14.1 Kritické hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

15 Odhady parametrů 185

15.1 Intervalové odhady pro parametry normálního rozdělení . . . . 186

15.2 Intervalový odhad střední hodnoty pomocí CLV . . . . . . . . 189

CONTENTS 5

16 Parametrické testy 191

16.1 Jednovýběrový t test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

16.2 Test o rozptylu normálního rozdělení . . . . . . . . . . . . . . 194

16.3 Párový t test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

16.4 Dvouvýběrový t test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

16.5 Test shodnosti dvou rozptylů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

16.6 Porovnávání středních hodnot při nestejných rozptylech . . . . 199

16.7 Test o střední hodnotě pomocí CLV . . . . . . . . . . . . . . . 200

17 Neparametrické testy 202

17.1 Znaménkový test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

17.2 Jednovýběrový Wilcoxonův test . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

17.3 Dvouvýběrový Wilcoxonův test . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

18 Porovnání více výběrů 208

18.1 Analýza rozptylu jednoduchého třídění . . . . . . . . . . . . . 208

18.2 Kruskalův-Wallisův test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

18.3 Analýza rozptylu dvojného třídění . . . . . . . . . . . . . . . . 215

18.4 Friedmanův test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

19 Lineární regrese 223

19.1 Lineární regrese s jednou vysvětlující proměnnou . . . . . . . . 223

19.2 Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými . . . . . . . 228

19.3 Polynomiální regrese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

19.4 Nelineární regrese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6 CONTENTS

20 Korelační analýza 238

20.1 Výběrový korelační koeficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

20.2 Spearmanův korelační koeficient . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

21 Testy dobré shody 242

21.1 Pearsonův χ2 test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

21.2 Test normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

21.3 Test Poissonova rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

21.4 Kolmogorovův-Smirnovův jednovýběrový test . . . . . . . . . 246

22 Kontingenční tabulky 249

22.1 Test nezávislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

22.2 Test homogenity multinomických rozdělení . . . . . . . . . . . 253

22.3 Test χ2 ve čtyřpolních tabulkách . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

22.4 Fisherův faktoriálový test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

22.5 McNemarův test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

22.6 Test symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

23 Statistické tabulky 263

Předmluva

Pravděpodobnostní úsudky, modely a předpovědi jsou dnes již běžnou součá-

stí výzkumné práce, v řadě vědních oblastí nalézají i široké uplatnění v praxi.

Pravděpodobnostní metody se používají při zkoumání procesů ovlivněných

náhodou. V situacích, kdy umíme s vlivem náhody počítat, je často možné

pomocí těchto metod dojít k optimálním řešením, k racionálnímu rozhodování

apod. S počtem pravděpodobnosti je velice úzce spojena matematická statis-

tika, které se užívá při vyhodnocování různých testů a experimentů.

Učebnice je psána pokud možno tak, aby byla přístupná širšímu okruhu zá-

jemců, což někdy vede k menší matematické obecnosti. Hlubší poučení lze

nalézt v učebnicích a monografiích uvedených v seznamu literatury.

Jednotlivé kapitoly obsahují vždy definice pojmů, výklad příslušné prob-

lematiky a důkazy některých tvrzení. Na konci každé kapitoly následují

řešené úlohy a příklady. Některé kapitoli navíc obsahují postupy zpracov-

ání metod v programu Statistika. Domníváme se, že tato forma dovoluje

seznámit se s možnostmi použití počtu pravděpodobnosti a usnadní pochopení

teorie.

Autoři

7

Chapter 1

Úvod

Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika jsou matematické disci-

plíny spadající do vědního oboru, který se nazývá stochastika. První zmínku

o stochastice nacházíme již v díle Platona ”Philebos”. Obě uvedené disciplíny

však dosáhly obrovského rozmachu až ve 20. století.

Základy teorie pravděpodobnosti byly položeny Pascalem a Fermatem v 17.

století. V této době byla velmi rozšířena hra v kostky. Při ní jistý hráč vy-

pozoroval, že hází-li jednou kostkou alespoň 4-krát, je pro něj výhodné sázet

na to, že číslo šest padne alespoň jednou. Podobně při hodu dvěma kostkami

bylo pro něj výhodné, házel-li alespoň 25-krát, sázet na to, že padne ale-

spoň jednou součet 12. Domníval se, že poměr počtu všech možných případů

u hodů jednou kostkou a u hodu dvěma kostkami je 4:25, což není. Požádal

tedy Pascala o vysvětlení. Tím byla na světě první úloha pravděpodobnosti,

která byla řešena.

Čtenáři je snad již zřejmé, že předmětem zkoumání teorie pravděpodobnosti

a matematické statistiky jsou náhodné pokusy. Náhodný pokus lze defi-

novat jako pokus, kdy při zachování stejných experimentálních podmínek

nedosáhneme stejných výsledků. Typickým příkladem těchto pokusů je již

8

9

výše zmíněný hod kostkou (hod mincí, míchání karet, tah sportky, apod.,

tzv. ”hazardní hry”). Teorie pravděpodobnosti se však nezaměřuje pouze

na náhodné pokusy typu hazardních her, neboť jejich význam není příliš

velký. Vedle nich jsou důležitější pokusy, např. podání léku pacientovi, pěs-

tování zemědělských rostlin, výroba určité součástky,. . . Kromě náhodných

pokusů máme ještě pokusy, kdy při zachování stejných experimentálních pod-

mínek dosáhneme vždy jednoho a téhož výsledku. Tyto pokusy nazýváme

deterministické. Typickými deterministickými pokusy jsou pokusy, které se

konají při hodinách fyziky, nebo chemie. Učitel demonstruje několikrát určitý

pokus, který vždy směřuje ke stejnému výsledku (tření ebonitové tyče). Jimi

se v tomto textu nebudeme zabývat.

Part I

Teorie pravděpodobnosti

10

Chapter 2

Jev, náhodný jev,pravděpodobnosti náhodnéhojevu

2.1 Axiomatická definice pravděpodobnosti

V úvodní části jsme si definovali náhodný pokus. Každému náhodnému

pokusu můžeme přiřadit množinu Ω, tj. množinu všech možných výsledků

pokusu. Při hodu kostkou je Ω =1,2,3,4,5,6, při hodu mincí je Ω=rub,líc,při hodu dvěma mincemi je Ω=rub,rub,líc,líc,líc,rub,rub,líc.

Množina Ω může být konečná nebo nekonečná. Má však smysl uvažovat

pouze neprázdné množiny. Náhodný pokus má být množinou Ω jednoznačně

popsán, tzn. že množina Ω musí být vyčerpávající (musí nastat vždy právě

jeden z výsledků) a výsledky se musí navzájem vylučovat (nemůže se stát,

aby dva výsledky nastaly současně).

Prvky ω ∈ Ω nazýváme elementárními jevy a podmnožiny množiny Ω jevy.

Jelikož se jedná o množinové pojmy, platí zde množinové relace a operace,

11

12 CHAPTER 2. NÁHODNÝ JEV

ale interpretace je odlišná. Uveďme si ji v následujícím přehledu.

zápis pravděpodobnostní interpretaceω ∈ A jev A nastal, výsledek ω náhodného

pokusu je příznivý jevu AA je podjev jevu B (jev A nastane,

A ⊂ B kdykoliv nastane jev B)rozdíl jevu B a A (jev, který nastane

B − A právě tehdy, když nastane jev B azároveň nenastane jev A)doplněk jevu A (jev, který nastane

A = Ω− A právě tehdy, když nenastane jev A)sjednocení jevů A, B (jev, který na-

A ∪ B stane právě tehdy, nastane-li aspoňjeden z jevů A, B)průnik jevů A, B (jev, který nastane

A ∩ B právě tehdy, nastanou-li oba dva jevysoučasně)jevy A, B nazveme disjunktní (ne-

A ∩ B = ∅ mohou nastat současně)Ai ∩ Aj = ∅

∀i 6= j jevy A1 . . . An tvoří rozklad jevu C∪n

i=1Ai = C

Table 2.1: Zápis základních pravděpodobnostních relací a operací.

Průnik a sjednocení se dá rozšířit i na víc jevů (na konečnou i nekonečnou

posloupnost). Zvláštní místo v pravděpodobnosti a matematické statistice

zaujímá jev jistý a jev nemožný. Jev jistý je takový jev, který nastane při

každé realizaci pokusu. Značíme ho Ω, neboť je ekvivalentní množině všech

možných výsledků. Jev nemožný je takový jev, který nenastane při žádné

realizaci pokusu. Značíme ho ∅, protože je ekvivalentní prázdné množině.

Podmnožiny množiny Ω jsme nazvali jevy. Nás však nebudou zajímat všechny

2.1. AXIOMATICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI 13

podmnožiny Ω, ale pouze skupina jevů, která má určité vlastnosti. Definujme

si nejdříve σ-algebru A.

Definice 2.1 Nechť A je neprázdný systém podmnožin množiny Ω 6= ∅takový, že

a) ∅ ∈ A

b) je-li A ∈ A, pak A ∈ A

c) jsou-li Ai ∈ A, i = 1,2,. . ., pak ∪∞i=1Ai ∈ A.

Pak A nazýváme σ-algebrou.

σ-algebra A je tedy množinový systém uzavřený vzhledem k doplňku aspočetnému sjednocení. Prvky σ-algebry nazýváme náhodné jevy. Uveďme

si nyní některé další vlastnosti náhodných jevů:

1) Jev jistý je náhodný jev Ω ∈ A.

2) Rozdíl dvou náhodných jevů je náhodný jev

A,B ∈ A ⇒ B − A ∈ A.

3) Průnik spočetně mnoha náhodných jevů je náhodný jev

A1, A2, ... ∈ A ⇒ ∩∞i=1Ai ∈ A.

Dvojici (Ω,A) nazýváme jevové pole.


Příklad 2.1 Nechť Ω = 1, . . . , n . Pak potenční množina P(Ω) (tj.množina všech podmnožin Ω) je σ-algebra a neexistuje menší σ-algebra ob-

sahující všechny elementární jevy ω, ω ∈ Ω.

Příklad 2.2 Nechť Ω = R. Pak potenční množina je také σ-algebra, ale

existuje i menší σ-algebra, které dáváme přednost. Např. Borelovská σ-

algebra (tj. nejmenší σ-algebra obsahující všechny otevřené podmnožiny R).

Borelovská σ-algebra obsahuje všechna spočetná sjednocení otevřených množin,

ale také i všechny uzavřené podmnožiny R.

Každému náhodnému jevu můžeme přiřadit číslo, které nazýváme pravděpo-

dobností. S tímto pojmem se jistě každý v běžném životě setkal. Vezměme

si například za náhodný pokus hod kostkou. Při něm je pro každé z čísel

1,2,. . .,6 pravděpodobnost padnutí rovna 16. Při hodu mincí je pravděpodob-

nost padnutí rubu stejná jako pravděpodobnost padnutí líce, tj. 12. Činíme

tato prohlášení, aniž bychom znali, co vlastně pravděpodobnost je. Tato

tvrzení plynou ze zkušeností. Házíme-li kostkou a vyšetřujeme-li relativní

četnosti fn = mn(n je počet hodů, m je počet hodů, ve kterých padla 1,

popř. 2 atd.), zjistíme při větším počtu hodů, že relativní četnosti budou

kolísat kolem 16(u hodů mincí kolem 1

2). Relativní četnosti mají následující

vlastnosti:

a) fn(∅) = 0, fn(Ω) = 1,

b) ∀A ∈ A : 0 ≤ fn(A) ≤ 1,

c) A1, A2, . . . je posloupnost náhodných jevů taková, že

Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j, i, j = 1, 2, . . . ⇒ fn(∪∞i=1Ai) =

∞∑

i=1

fn(Ai).

2.1. AXIOMATICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI 15

Z těchto vlastností vychází i následující axiomatické definice pravděpodob-

nosti.

Definice 2.2 Nechť Ω 6= ∅, A je σ-algebra definovaná na Ω. Pak pravděpodob-ností libovolného náhodného jevu A nazveme libovolnou reálnou funkci P

definovanou na A, která splňuje

a) P (Ω) = 1, P (∅) = 0,

b) P (A) ≥ 0 ∀A ∈ A,

c) pro každou posloupnost disjunktních jevů An∞n=1 platí

P (∪∞i=1Ai) =

∞∑

i=1

P (Ai).

Trojice (Ω, A, P ) se nazývá pravděpodobnostní prostor.

Poznámka 2.1 Čtenář obeznámený s teorií míry vidí, že pravděpodobnost

je konečná míra.

Nyní budou následovat některé vlastnosti pravděpodobnosti. Důkaz necháme

čtenáři jako cvičení.

1) P (∅) = 0,

2) P je konečně aditivní, tzn., jestližeA1, . . . , An ∈ A, Ai∩Aj = ∅ ∀i6=j, i,j=1, . . . ,n⇒ P (∪n

i=1Ai) =∑n

i=1(Ai),

3) P je monotónní: A,B ∈ A, A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B),

4) A,B ∈ A, A ⊂ B ⇒ P (B − A) = P (B)− P (A),


5) P (A) = 1− P (A), ∀A ∈ A,

6) P (A ∪ B) = P (A) + P (B)− P (A ∩ B) pro libovolné A,B ∈ A,

7) P (∪∞i=1Ai) ≤

∑P (Ai), pro libovolnou posloupnost Ai v A,

8) An ∈ A, A1 ⊂ A2 ⊂ A3 . . . , A = ∪∞n=1An ⇒ P (A) = limn→∞ P (An),

9) An ∈ A, A1 ⊃ A2 ⊃ A3 . . . , A = ∩∞n=1An ⇒ P (A) = limn→∞ P (An),

Vlastnost 6) lze indukcí rozšířit na libovolný konečný počet jevů, a to násle-

dovně:

P (∪ni=1Ai) =

n∑

i=1

P (Ai)−n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

P (Ai ∩ Aj) + (2.1)

+n−2∑

i=1

n−1∑

j=i+1

n∑

k=j+1

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + . . .+ (−1)n−1P (∩ni=1Ai).

2.2 Klasický pravděpodobnostní prostor

Definice 2.3 Pravděpodobnostní prostor (Ω,A, P ) nazveme klasickým pravdě-

podobnostním prostorem, jestliže

a) množina Ω je konečná o m prvcích a všechny možné výsledky jsou stejně

pravděpodobné, tzn. označíme-li postupně p1, . . . ,pm pravděpodobob-

nosti jednotlivých výsledků elementárních jevů, pak p1 = p2 = . . . = pm= 1

m(je-li možných výsledků m),

b) za σ-algebru A vezmeme systém všech podmnožin množiny Ω,

2.2. KLASICKÝ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ PROSTOR 17

c) pravděpodobnost P náhodného jevu A je rovna

P (A) =mA

m,

kde mA je počet výsledků příznivých jevů A a m je počet všech možných

výsledků náhodného pokusu. Pravděpodobnost takto definovaná se nazývá

klasická pravděpodobnost.

Čtenář si sám ověří, že klasická pravděpodobnost je pravděpodobností ve smyslu

definice 2.2, tzn. ověří všechny tři axiomy.

V úlohách, které se počítají pomocí klasické pravděpodobnosti, jde o to najít

množinu možných výsledků tak, aby výsledky byly stejně pravděpodobné.

Jakmile tak učiníme, pak výpočet je pouhou kombinatorickou záležitostí.

Nyní si uvedeme několik příkladů na výpočet klasické pravděpodobnosti.

Příklad 2.3 Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu A

”na kostkách padne součet menší než 5”.

Řešení:

Výsledky pokusu jsou uspořádáné dvojice. První člen dvojice odpovídá hodu

1. kostkou a druhý člen odpovídá hodu 2. kostkou.

Všechny možné výsledky jsou:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6),

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6),

(3,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3,6),

(4,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4,6),

(5,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5,6),

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6),


tzn. počet všech možných výsledků je 36. Počet výsledků příznivých jevů

A je 6 [(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)]. Hledaná pravděpodobnost je tedy

rovna 636

= 16.

Příklad 2.4 V urně máme 32 karet, z toho 4 esa. Dvakrát za sebou vytáh-

neme náhodně jednu kartu s tím, že po prvním tahu ji a) vrátíme zpět

do urny, b) nevrátíme. Stanovte pravděpodobnost jevu A ”alespoň jedna

z vytažených karet je eso”.

Řešení:

a) Výsledky pokusu jsou opět uspořádané dvojice. První člen dvojice odpovídá

kartě vytažené v 1.tahu a druhý člen kartě vytažené v druhém tahu. V prvním

tahu můžeme kartu vytáhnout 32 způsoby. Protože vytaženou kartu vracíme

zpět do urny, i v druhém tahu máme 32 možností. Počet všech možných pří-

padů je tedy 322. Příznivým případům odpovídají tahy (libovolná karta

- eso), (eso - libovolná karta), (eso - eso). Počet příznivých případů je

28 · 4 + 4 · 28 + 4 · 4. Hledaná pravděpodobnost je rovna

P (A) =8 · 28 + 4 · 4

322=

16 + 224

1024=

240

1024=

15

64.

b) Počet možných případů je vzhledem k tomu, že po prvním tahu kartu

nevrátíme, 32 · 31. Příznivým případům odpovídají opět tahy (libovolnákarta - eso), (eso - libovolná karta), (eso - eso). Počet příznivých případů je

nyní 28 · 4 + 4 · 28 + 4 · 3. Hledaná pravděpodobnost je rovna

P (A) =2 · 4 · 28 + 4 · 3

32 · 31 =224 + 12

992=

59

248.

V tomto případě můžeme zvolit jinou reprezentaci. Výsledky pokusu jsou

všechny neuspořádané dvojice možných tahů, kterých je(322

). Počet případů,

kdy vytáhneme alespoň jedno eso, můžeme vypočítat použitím doplňkového


jevu, tj. pomocí počtu případů, kdy nevytáhneme ani jedno eso. Těchto

případů je(282

). Celkem tedy

P (A) =

(322

)−(282

)(322

) = 1−28·272

32·312

=59

248.

Příklad 2.5 Házíme jednou šesti kostkami, přičemž každou kostku si očís-

lujeme jedním z čísel 1, . . . , 6 (každá kostka bude očíslovaná jiným číslem).

Jaká je pravděpodobnost, že alespoň na jedné kostce bude počet ok souhlasit

s číslem, jímž jsme kostku označili?

Řešení:

Nechť Ai je takový jev, že na i-té kostce souhlasí počet ok s číslem, jímž

je kostka označena, a nechť jev A je jev ”alespoň na jedné kostce počet ok

souhlasí s číslem, jímž je kostka označena”. Potom A = ∪6i=1Ai. Protože

jevy A1, . . . , A6 nejsou disjunktní, je podle rovnice 2.1

P (∪6i=1Ai) =

6∑

i=1

P (Ai)−5∑

i=1

6∑

j=i+1

P (Ai ∩ Aj) + (2.2)

+4∑

i=1

5∑

j=i+1

6∑

k=j+1

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + . . .+ (−1)5P (∩6i=1Ai).

Hledejme pravděpodobnosti vyskytující se v 2.2. Hodu šesti kostkami odpoví-

dá uspořádaná šestice, jejíž prvky se mohou opakovat. Počet možných výsledků

je tedy 66. Jevu Ai, i = 1, 2, . . . , 6 jsou příznivé ty výsledky, u kterých

souhlasí u i-té kostky počet ok s jejím číslem, na ostatních kostkách může

padnout cokoliv. Takových výsledků je 65. Z toho plyne, že

P (Ai) =65

66=

1

6, i = 1, 2, . . . , 6.

Nyní budeme počítat pravděpodobnosti P (Ai∩Aj), kde i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , 6.

Počet možných výsledků je opět 66. Příznivé výsledky jsou ty, u kterých na i-

té a j-té kostce souhlasí počet ok s jejich číslem, na ostatních kostkách může


padnout cokoliv. Počet příznivých výsledků je tedy 64 a

P (Ai ∩ Aj) =64

66=

1

62, i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , 6.

Analogicky

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) =63

66=

1

63, i < j < k

...

P (∩6i=1Ai) =

1

66.

Hledaná pravděpodobnost jevu A je

P (A) = 6 · 16−(6

2

)· 1

62+ . . .+ (−1)5 · 1

66= 0, 66.

Zde je ovšem možné také využít doplňkového jevu A (na žádné kostce nebude

souhlasit počet ok s číslem). Počet příznivých jevů A je 56, tedy

P (A) = 1− P (A) = 1− 56

66= 0, 66.

Příklad 2.6 V osudí je n lístků očíslovaných čísly 1 až n; r-krát po sobě

vytáhneme po jednom lístku, přičemž každý lístek po tahu vracíme zpět. Jaká

je pravděpodobnost, že v r tazích vyjde každé z n čísel aspoň jednou? (Před-

pokládejme, že n < r).

Řešení:

Označíme si Ai jev ”v r tazích nevytáhneme lístek označený číslem i”. Potom

jev A = ∪ni=1Ai znamená ”v r tazích alespoň jedno číslo nevytáhneme”.

Hledáme pravděpodobnost jevu opačného k jevu A, tj. P (A) = 1 − P (A).

Protože jevy A1, . . . , An nejsou disjunktní, pravděpodobnost jevu A budeme

řešit podle 2.1:

P (∪ni=1Ai) =

n∑

i=1

P (Ai)−n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

P (Ai ∩ Aj) +

+n−2∑

i=1

n−1∑

j=i+1

n∑

k=j+1

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + . . .+ (−1)n−1 · P (∩ni=1Ai).


Počítejme P (Ai). Jelikož číslo i nikdy nevytáhneme, taháme pouze z (n− 1)

čísel. Vytváříme uspořádané r-tice z (n − 1) prvků. Protože lístky po tahu

vracíme zpět do urny, mohou se prvky v r-tici opakovat. Těchto r-tic je

(n−1)r. Počet výsledků příznivých jevů Ai je tedy (n−1)r a počet možných

výsledků je nr. Z toho plyne, že

P (Ai) =

(n− 1

n

)r

.

Nyní určíme P (Ai ∩Aj), ∀i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n. Jev Ai ∩Aj znamená, že

v r tazích nebudou tažena čísla i a j, tzn., že taháme z (n− 2) čísel, přičemž

čísla se mohou opakovat. Vytváříme r-tice z (n− 2) prvků. Počet výsledků

příznivých jevů Ai ∩ Aj je (n− 2)r a

P (Ai ∩ Aj) =

(n− 2

n

)r

∀i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n.

Analogicky

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) = (n−3n)r ∀i < j < k, i, j, k = 1, 2, . . . , n.

...P (∩n

i=1Ai) = 0

Pravděpodobnost jevu A je rovna

P (A) = 1− n

(n−1n

)r

+(n2

)(n−2n

)r

−(n3

)(n−3n

)r

+ . . .+

+(−1)n−1(

nn−1

)(1n

)r .

Poznámka 2.2 Situace popsaná v předchozím příkladu se řídí podle Maxwell-

Boltzmannovy fyzikální statistiky, kterou si uvedeme v kapitole 5.

Příklad 2.7 Student si při zkoušce z matematiky tahá jednu otázku z celkové-

ho množství (a + b) otázek (a otázek je z matematické analýzy, b otázek je


z lineární algebry). Nedopatřením vytáhne místo jedné otázky r otázek. Pan

profesor je vezme a rozloží na stole. Student si z nich má vybrat jednu. Jaká

je pravděpodobnost, že otázka bude z matematické analýzy?

Řešení:

Nejdříve vypočteme počet všech možných výsledků. Student si r otázek

z (a + b) může vytáhnout(a+br

)způsoby. Při druhém tahu si vybírá z r

otázek jednu, a tu si může vybrat r způsoby, takže počet všech možných

výsledků je(a+br

)· r.

Označíme-li si jev Ai ”student si v prvním tahu vytáhl i otázek z matematické

analýzy a (r − i) otázek z lineární algebry”, i = 0, . . . , r, jev A ”student si

ve druhém tahu vytáhl otázku z matematické analýzy”, pak

A =r⋃

i=1

(Ai ∩ A).

Protože jevy A1, A2, . . . , Ar jsou disjunktní, jevy Ai ∩ A jsou též disjunktní,

i = 1, . . . , r. Podle axiomatické definice pravděpodobnosti platí

P (A) =r∑

i=1

P (Ai ∩ A).

Nyní stačí vypočítat P (Ai ∩ A). Jev (Ai ∩ A) znamená, že v prvním tahu

si student vybral i otázek z matematické analýzy a (r − i) otázek z lineární

algebry a ve druhém tahu si vybral otázku z matematické analýzy. V prvním

tahu i otázek z matematické analýzy a (r − i) otázek z lineární algebry si

může vytáhnout(ai

)(b

r−i

)způsoby. Ve druhém tahu si může vytáhnout otázku

z matematické analýzy i způsoby. Z toho plyne, že počet všech příznivých

případů jevu (Ai ∩ A) je(ai

)(b

r−i

)· i, a tedy

P (Ai ∩ A) =

(ai

)(b

r−i

)· i

(a+br

)· r

, i = 1, 2, . . . , r.

2.3. GEOMETRICKÁ PRAVDĚPODOBNOST 23

Hledaná pravděpodobnost je rovna

P (A) =r∑

i=1

(ai

)(b

r−i

)· i

(a+br

)· r

=a(

a+br

)· r

·r∑

i=1

(a− 1

i− 1

)(b

r − i

).

Součetr∑

i=1

(a− 1

i− 1

)(b

r − i

)=

(a+ b− 1

r − 1

).

Z toho plyne, že

P (A) =a(

a+br

)r·(a+ b− 1

r − 1

)=

a

a+ b. (2.3)

Z rovnice 2.3 je vidět, že je jedno, zda student nejdříve vytáhne r otázek a

z nich pak jednu, nebo si rovnou vytáhne jednu otázku, protože pravděpodob-

nost vytažení otázky z matematické analýzy je u obou případů stejná.

2.3 Geometrická pravděpodobnost

O geometrické pravděpodobnosti mluvíme v případě, že

a) Ω ⊂ Rd.

b) A = B(Ω) je Borelovská σ-algebra na Ω (tj. nejmenší σ-algebra ob-

sahující všechny otevřené podmnožiny Ω).

c) P (A) = µd(A)µd(Ω), kde µd je d-rozměrná Lebesqueova míra. Pro naše účely

postačí, pokud si pod µ1(A) představíme délku množiny A, pod µ2(A)

obsah A a pod µ3(A) objem A.

Geometrická pravděpodobnost je vhodným modelem tam, kde výsledkům

pokusu lze jednoznačně přiřadit body ω ∈ Ω ⊂ Rd a kde žádným výsledkům

nelze dát přednost před ostatními.


Příklad 2.8 Autobusy přijíždějí na zastávku pravidelně v 10 minutových in-

tervalech. Student přijde na zastávku v náhodném čase. Jaká je pravděpodob-

nost, že bude čekat déle než 5 minut?

Řešení:

Výsledkem pokusu je doba čekání studenta na autobus. Student může čekat

0 až 10 minut, stavový prostor je tedy Ω = [0, 10]. Jev A (doba čekání delší

než 5 minut) je polouzavřený interval (5, 10]. Hledaná pravděpodobnost je

tedy:

P (A) =µ1((5, 10])

µ1([0, 10])=

5

10=

1

2.

Příklad 2.9 Dvě osoby (I, II) přijdou na místo schůzky mezi 12. a 13.

hodinou. Doby příchodu osob jsou náhodné a nezávislé. Ten, kdo přijde

na místo schůzky, čeká 20 minut a nedočká-li se druhého, odchází. Jaká je

pravděpodobnost, že se osoby setkají?

Řešení:

Elementární jev je zde ω = (x, y), kde x značí dobu příchodu osoby I a y dobu

příchodu osoby II. Stavový prostor je tedy Ω = [0, 60]× [0, 60]. Označme A

jev, že se osoby setkají, pak máme A = (x, y) ∈ Ω; |x − y| ≤ 20 (vizobrázek 2.1).

Jev doplňkový AC = (x, y) ∈ Ω; y ≤ x − 20 nebo y ≥ x + 20. Obsahmnožiny AC skládající se ze dvou trojúhelníků je µ2(AC) = 40× 40 = 1600.

Obsah Ω je µ2(Ω) = 3600, což dohromady dává:

P (A) = 1− P (AC) = 1− µ2(AC)

µ2(Ω)= 1− 4

9=

5

9.

2.4. DALŠÍ PŘÍKLADY PRAVDĚPODOBNOSTNÍCH PROSTORŮ 25

A

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

Figure 2.1: Množina A.

2.4 Další příklady pravděpodobnostních pros-torů

Následující pravděpodobnostní prostory budeme podrobněji studovat v kapi-

tole o náhodných veličinách, zde si je uvedeme pro srovnání s klasickým

pravděpodobnostním prostorem a geometrickou pravděpodobností. Diskrétní

pravděpodobnostní prostor je zobecněním klasické pravděpodobnosti, kde

se pravděpodobnosti jednotlivých elementárních jevů mohou lišit. Podobně

spojitý případ je zobecněním jednorozměrné geometrické pravděpodobnosti.

V kapitole o náhodných vektorech zobecníme vícerozměrnou geometrickou

pravděpodobnost.

Diskrétní

a) Ω = ω1, ω2, . . ..

b) A je množina všech podmnožin Ω.

c) Jsou dány pravděpodobnosti elementárních jevů P (ωi), které splňují:∑∞i=1 P (ωi) = 1. Pak pravděpodobnost libovolného jevu je dána

jednoznačně vztahem P (A) =∑

ωi∈A P (ωi).


Spojitý

a) Ω = R.

b) A = B(R) je Borelovská σ-algebra nad R.

c) Je dána funkce f: R → [0,∞] taková, že∫Rf(x)dx = 1. Pak

pravděpodobnost libovolného jevu A ∈ A je dána jednoznačněvztahem

P (A) =

∫

A

f(x)dx.

2.5 Úlohy

1. Dokažte vlastnosti pravděpodobnosti.

2. V urně jsou kuličky tří barev. Nechť jevy A, B, C postupně znamenají,

že náhodně vybraná kulička je černá, červená, bílá. Určete význam

následujících jevů:

(a) A ∩ B,

(b) (A ∪ C) ∩ B,

(c) (A ∩ C) ∪ B,

(d) A ∪ B ∪ C

3. Házíme jednou kostkou. Jev A znamená, že při hodu padne číslo menší

než 4 a jev B, že při hodu kostkou padne číslo menší než 5. Pomocí

jevů A, B, A, B vyjádřete následující jevy:

(a) při hodu kostkou padne číslo 4,

(b) při hodu kostkou padne číslo větší než 3,

(c) při hodu kostkou padne číslo menší nebo rovno 6.

2.5. ÚLOHY 27

4. Při zkoušce z biologie dostane student tři otázky. Nechť jev A znamená,

že náhodně vybraný student zodpoví správně první otázku, jev B, že

zodpoví správně druhou otázku a jev C, že zodpoví správně třetí otázku.

Vyjádřete pomocí jevů A, B, C, A, B, C, že náhodně vybraný student:

(a) zodpoví správně jen první otázku,

(b) zodpoví správně alespoň dvě otázky,

(c) zodpoví správně právě jednu otázku,

(d) zodpoví správně maximálně dvě otázky.

5. Házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bodů,

které padnou na těchto třech kostkách, je roven 5? (0,0277)

6. V urně je 10 lístků. Na šesti lístcích jsou dvojciferná čísla a na čtyřech

jednociferná čísla. Vytáhneme 2-krát po jednom lístku a lístky už

nevracíme zpět do urny. Vytažené lístky uložíme vedle sebe v pořadí,

v jakém jsme je vytáhli. Jaká je pravděpodobnost, že takto vzniklé

číslo je čtyřciferné? (0,333)

7. Mezi čtrnácti lidmi je osm s vysokoškolským vzděláním a šest se stře-

doškolským. Náhodně vybereme čtyři lidi. Jaká je pravděpodobnost,

že

(a) všichni čtyři mají středoškolské vzdělání,

(b) právě jeden má vysokoškolské vzdělání,

(c) aspoň jeden má vysokoškolské vzdělání.

( a) 0,01498, b) 0,1598, c) 0,98502)

8. Manželé Novákovi chtějí mít čtyři děti. Tchýně pana Nováka tvrdí,

že s největší pravděpodobností budou mít Novákovi stejně synů a dcer.

Tvrdí, že důvodem je stejná pravděpodobnost narození syna nebo dcery.

Rozhodněte, zda-li má tchýně pravdu, zdůvodněte.


9. Hráč 1 vyhraje, jestliže hodí alespoň jednu šestku ze šesti hodů kostkou.

Hráč 2 vyhraje, jestliže hodí alespoň dvě šestky z dvanácti hodů kostkou.

Který hráč má větší pravděpodobnost výhry? Tento problém formulo-

val jako první Samuel Pepys a byl vyřešen Sirem Isaacem Newtonem

v roce 1693.

10. Čtyři jeleni byli chyceni z populace N jelenů, byli označeni a vypuštěni

zpět. Abychom ověřili, že označení jeleni jsou náhodně rozmístěni v po-

pulaci, odchytili jsme pět jelenů po dostatečně dlouhé době ze stejné

populace. Jaká je pravděpodobnost, že právě jeden označený jelen bude

znovu odchycen, jestliže

N = 8 N = 10 N = 15 N = 20 N = 25 N = 30

Výsledky zakreslete do grafu vzhledem k velikosti populace. Odhad-

něte, jaký tvar má asi vykreslená křivka.

11. Házíme n-krát po sobě dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že

alespoň při jednom hodu padne součet 12? (1− (3536)n)

12. Student si při zkoušce z matematiky tahá 3 otázky ze 30. Ve 30

otázkách je 10 otázek z algebry, 15 z matematické analýzy a 5 z ge-

ometrie. Jaká je pravděpodobnost, že si vytáhne alespoň dvě otázky

ze stejné disciplíny? (0,815)

13. Z urny, která obsahuje n kuliček, vytáhneme najednou několik kuliček.

Určete, jaká je pravděpodobnost, že jsme vytáhli sudý počet. (2n−1−12n−1

)

14. V osudí je a lístků se sudými čísly a b lístků s lichými čísly. Jedním

tahem vytáhneme k lístků. Vytažené lístky vložíme do druhého prázd-

ného osudí a z něho pak vytáhneme jeden lístek. Jaká je pravděpodob-

nost, že tento lístek je se sudým číslem? ( aa+b

)

15. Jaká je pravděpodobnost, že se ve třídě, kde je n žáků, najde dvojice,

která má narozeniny stejný den v roce? Jaká je pravděpodobnost, že

2.5. ÚLOHY 29

ve třídě, kde je n žáků, existuje spolužák, který má narozeniny stejný

den jako třídní profesor? Jaké je nejmenší n takové, aby pravděpodob-

nost, že dva žáci mají narozeniny ve stejný den, byla větší než 1/2?

(Neuvažujte přestupné roky; předpokládejte, že se během celého roku

děti rodí rovnoměrně.)

16. Dva parníky, které používají jediné stejné přístaviště, mohou připlout

kdykoliv během 24 hodin. Jejich příjezdy jsou nezávislé. První parník

obsadí přístaviště na jednu hodinu, druhý na dvě hodiny. Jaká je

pravděpodobnost, že ani jeden parník nebude muset čekat na uvolnění

přístaviště?

17. Nechť x, y ∈ (0, 1) jsou náhodně zvolená čísla. Jaká je pravděpodob-

nost, že jejich součet je menší než 1 a součin menší než 0,09?

18. Na úsečce délky l jsou náhodně umístěny dva body, kterými je náhodně

rozdělena na tři části. S jakou pravděpodobností lze z takto vzniklých

tří úseček sestrojit trojúhelník?

Chapter 3

Podmíněná pravděpodobnost,nezávislost

3.1 Podmíněná pravděpodobnost

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω,A, P ) a na něm náhodný jev

A. V předešlé kapitole jsme se zabývali pravděpodobností náhodného jevu,

který nastal za určitých podmínek. Nyní k těmto podmínkám přistupuje

další podmínka v podobě jevu B, přičemž P (B) > 0 a jevy A a B nej-

sou disjunktní. V tomto případě nemluvíme již o pravděpodobnosti jevu A,

nýbrž o pravděpodobnosti jevu A podmíněné jevem B nebo též o podmíněné

pravděpodobnosti.

Definice 3.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω,A, P ) a náhodné

jevy A, B, kde P (B) > 0. Podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky,

že nastal jev B, definujeme vztahem

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B). (3.1)

30

3.1. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 31

Věta 3.1 Nechť je dán pravděpododnostní prostor (Ω,A, P ) a náhodný jev

B, kde P (B) > 0. Potom pro libovolný jev A ∈ A platí:

a) P (A|B) ≥ 0,

b) P (Ω|B) = 1,

c) P (∪∞n=1An|B) =

∑∞n=1 P (An|B) pro každou posloupnost An disjunk-

tních jevů.

Důkaz.

a) zřejmé,

b) z definice 3.1 plyne, že

P (Ω|B) =P (Ω ∩ B)

P (B)=

P (B)

P (B)= 1,

c) protože A1, A2, . . . jsou disjunktní, tak i A1 ∩ B,A2 ∩ B, . . . jsou dis-

junktní. Z axiomu c) definice 2.2 a z definice 3.1 plyne

P (∪∞n=1An|B) =

P (∪∞n=1An ∩B)

P (B)=

∑∞n=1 P (An ∩ B)

P (B)=

=∑∞

n=1 P (An|B).

Poznámka 3.1 Věta 3.1 říká, že podmíněná pravděpodobnost má všechny

základní vlastnosti pravděpodobnosti nepodmíněné (definice 2.2), a tudíž je

to také pravděpodobnost.

32 CHAPTER 3. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST

Věta 3.2 (o násobení pravděpodobnosti):

Pro libovolnou posloupnost náhodných jevů A1, A2, . . . , An, takových, že P (A1∩A2 ∩ . . . ∩ An−1) > 0, platí

P (∩ni=1Ai) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2) . . . (3.2)

. . . P (An|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1).

Důkaz. Vzhledem k monotonii pravděpodobnosti a předpokladu věty máme

P (A1) ≥ P (A1 ∩ A2) ≥ . . . ≥ P (A1 ∩ . . . ∩ An−1) > 0,

a tedy všechny podmíněné pravděpodobnosti v tvrzení věty jsou dobře defi-

novány.

Opakovaným použitím definice 3.1 podmíněné pravděpodobnosti dostáváme:

P (∩n−1i=1 Ai ∩ An) = P (∩n−1

i=1 Ai)P (An| ∩n−1i=1 Ai) =

= P (∩n−2i=1 Ai)P (An−1| ∩n−2

i=1 Ai)P (An| ∩n−1i=1 Ai) . . .

= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2) . . . P (An| ∩n−1i=1 Ai).

Příklad 3.1 Z urny, ve které je n bílých a n černých kuliček, náhodně vy-

bereme n-krát po dvou kuličkách bez vrácení vytažených kuliček. Určete, jaká

je pravděpodobnost, že vždy vytáhneme jednu bílou a jednu černou kuličku.

Řešení:

Označme Ai jev ”v i-tém tahu vytáhneme jednu kuličku bílou a jednu kuličku

černou”, i = 1, . . . , n. Hledáme pravděpodobnost náhodného jevu (A1∩A2∩

3.2. NEZÁVISLOST 33

A3 ∩ . . . ∩ An). Podle věty 3.1 je

P (∩ni=1Ai) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2) . . . (3.3)

. . . P (An|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1).

Hledejme pravděpodobnosti vyskytující se v rovnici 3.3. Hledáme P (A1).

Počet možných případů je(2n2

)a počet příznivých případů jevu A1 je n · n.

Z toho plyne, že

P (A1) =n · n(2n2

) .

Při hledání pravděpodobnosti P (A2|A1) vycházíme z toho, že v urně je již

pouze n− 1 bílých a n− 1 černých kuliček, takže

P (A2|A1) =(n− 1)(n− 1)(

2n−22

) .

Analogicky

P (A3|A1 ∩ A2) =(n− 2)(n− 2)(

2n−42

)

...

P (An| ∩n−1i=1 Ai) = 1.

Hledaná pravděpodobnost je tedy rovna

P (∩ni=1Ai) =

n · n(2n2

) · (n− 1)(n− 1)(2n−2

2

) · (n− 2)(n− 2)(2n−4

2

) · . . . · 1 =

=n!n!2n

(2n)!.

3.2 Nezávislost

Uvažujme nyní dva náhodné jevy A a B. Jestliže pro ně platí

P (A|B) = P (A) a P (B|A) = P (B), (3.4)


pak mluvíme o jejich vzájemné nezávislosti. Z (3.4) vidíme, že pravděpodob-

nost jevu A podmíněná jevem B nezávisí na jevu B a naopak. Z (3.4) a

z definice podmíněné pravděpodobnosti pak dostáváme následující definici

nezávislosti dvou náhodných jevů.

Definice 3.2 Náhodné jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí

P (A ∩B) = P (A) · P (B). (3.5)

Pojem nazávislosti můžeme rozšířit i na skupinu náhodných jevů.

Definice 3.3 Nechť A1, A2, . . . , An jsou náhodné jevy. Řekneme, že jsou

skupinově (totálně) nezávislé, jestliže pro libovolnou posloupnost indexů

k1, k2, . . . , kr ⊂ 1, . . . , n, r = 2, . . . , n platí

(Ak1 ∩ Ak2 ∩ . . . ∩ Akr) = P (Ak1) · P (Ak2) · . . . · P (Akn). (3.6)

Definice 3.4 Nechť A1, . . . , An jsou náhodné jevy. Řekneme, že jsou po

dvou nezávislé, jestliže jevy Ai, Aj jsou nezávislé pro všechna i, j = 1, . . . , n, i 6=j.

Příklad 3.2 Při hodu dvěma mincemi uvažujeme tyto náhodné jevy:

A1 . . . jev spočívající v tom, že na 1. minci padne rub,

A2 . . . jev spočívající v tom, že na 2. minci padne líc,

A3 . . . jev spočívající v tom, že na obou mincích padne rub, nebo líc.

Zjistěte, zda dané jevy jsou skupinově nezávislé.


Řešení:

P (A1) =1

2, P (A2) =

1

2, P (A3) =

1

2,

P (A1 ∩ A2) =1

4, P (A1 ∩ A3) =

1

4, P (A2 ∩ A3) =

1

4,

P (A1) · P (A2) =1

4, P (A1) · P (A3) =

1

4, P (A2) · P (A3) =

1

4,

P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0, neboť A1 ∩ A2 ∩ A3 je jev nemožný. Protože P (A1) ·P (A2) · P (A3) 6= 0, nejsou jevy A1, A2, A3 skupinově nezávislé. O jevech

A1, A2, A3 v souvislosti s nezávislostí můžeme říci jen to, že jsou nezávislé po

dvou.

Nyní budou následovat některá tvrzení zabývající se nezávislostí náhodných

jevů.

Věta 3.3 a) Jev nemožný a libovolný náhodný jev A jsou nezávislé.

b) Jev jistý a libovolný náhodný jev A jsou nezávislé.

c) Nechť jevy A,B jsou disjunktní. Pak jsou nezávislé⇔ P (A)·P (B) = 0.

Důkaz.

a)P (∅ ∩ A) = P (∅) = 0P (∅) · P (A) = 0 · P (A) = 0

⇒ P (∅ ∩ A) = P (∅) · P (A)

b) P (Ω ∩ A) = P (A) = P (A) · 1 = P (A) · P (Ω)

c) ”⇒”Pro disjunktní jevy platí A ∩ B = ∅. Jelikož předpokládáme, že jsou


nezávislé, P (A) · P (B) = P (A ∩ B) = P (∅) = 0.

”⇐”Nechť platí P (A) ·P (B) = 0, pak A = ∅ nebo B = ∅ a tedy P (A∩B) =

P (∅) = 0 = P (A) · P (B).

Věta 3.4 Nechť A,B jsou nezávislé náhodné jevy. Pak dvojice jevů (A, B),

(A, B), (A, B) jsou nezávislé.

Důkaz.

P (A ∩ B) = P (B − A) = P (B − [A ∩ B]) = P (B)− P (A ∩ B) =

= P (B)− P (B) · P (A) = P (B) · (1− P (A)) = P (B) · P (A).

Nezávislost jevů A, B se dokáže analogicky.

Jsou-li nezávislé jevy A,B, pak podle předchozího jsou nezávislé jevy A, B,

ale odtud opět podle předchozího jsou nezávislé i jevy A, B.

Věta 3.5 Nechť A1, . . . , An jsou skupinově (totálně) nezávislé jevy. Potom

platí následující

P (∪ni=1Ai) = 1−

n∏

i=1

[1− P (Ai)]. (3.7)

Důkaz.

Z de Morganových vzorců plyne

∪ni=1Ai = Ω− ∩n

i=1Ai,

tedy

P (∪ni=1Ai) = P (Ω)− P (∩n

i=1Ai) = 1− P (∩ni=1Ai).


Protože A1, . . . , An jsou nezávislé, jsou i A1, . . . , An nezávislé, takže

P (∩ni=1Ai) =

n∏

i=1

P (Ai) =n∏

i=1

(1− P (Ai)).

Příklad 3.3 Během dne se v porodnici narodilo 10 dětí. Pravděpodobnost

narození chlapce je p = 0, 514. Jaká je pravděpodobnost, že během tohoto

dne se narodil v porodnici alespoň jeden chlapec?

Řešení:

Nechť Ai, i = 1, . . . , 10, značí jev ”i-té narozené dítě je chlapec”. Jev ∪10i=1Ai

znamená ”alespoň jedno narozené dítě je chlapec”. Jelikož A1, . . . , A10 jsou

skupinově nezávislé, je podle věty 3.5

P (∪10i=1Ai) = 1−∏10

i=1(1− P (Ai)) =

= 1− (0, 486)10 = 1− 0, 000735 = 0, 9993.

Pravděpodobnost, že se během dne narodí v porodnici alespoň jeden chlapec,

je 0,9993.

Věta 3.6 Náhodné jevy A,B, kde 0 < P (B) < 1, jsou nezávislé právě tehdy,

když

P (A|B) = P (A|B). (3.8)

Důkaz. RovnostP (A ∩ B)

P (B)=

P (A ∩ B)

P (B)


platí právě tehdy, když

P (B) · P (A ∩B) = P (A ∩ B) · P (B).

Po dosazení za P (B) = 1− P (B) dostáváme

P (A ∩ B)− P (B) · P (A ∩ B) = P (B) · P (A ∩ B).

Po úpravě máme

P (A ∩ B) = P (B) · (P (A ∩ B) + P (A ∩ B)) = P (B) · P (A).

3.3 Bernoulliho schéma

Na závěr kapitoly se budeme zabývat opakovanými pokusy. To jsou takové

pokusy, kdy jeden pokus opakujeme vícekrát za sebou. O jejich nezávis-

losti mluvíme tehdy, jestliže pravděpodobnost zkoumaného jevu v každém

pokusu nezávisí na výsledku předchozího pokusu. Speciálním typem těchto

opakovaných pokusů jsou tzv. pokusy alternativní, jejichž základní rys je

ten, že výsledky pokusu jsou charakterizovány pouze dvěma navzájem se

vylučujícími znaky.

Opakované alternativní pokusy se dají znázornit např. Bernoulliho sché-

matem, které si nyní uvedeme:

Příklad 3.4 V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. n-krát po sobě

vytáhneme vždy po jedné kouli, přičemž tuto kouli vrátíme po tahu vždy zpět.

Jaká je pravděpodobnost, že mezi vytaženými koulemi je právě m koulí bílých

a (n−m) koulí černých?

3.3. BERNOULLIHO SCHÉMA 39

Řešení:

V osudí máme při každém opakovaném tahu neustále a koulí bílých a b koulí

černých. V každém z n tahů máme tedy (a + b) možností, jak vytáhnout

jednu kouli. Protože každá možnost prvního tahu může být zkombinována

s každou možností druhého tahu a tyto možnosti se dají zkombinovat s kaž-

dou možností tahu třetího, . . . , je počet možných případů konaného pokusu

(a+ b)n.

Nyní budeme řešit počet příznivých případů. V n tazích máme vytáhnout

m koulí bílých, tzn. rozmisťujeme m koulí na n míst. Takovýchto rozmístění

je(nm

). Budeme-li uvažovat jedno pevné rozmístění, např. nejprve vytaženo

m bílých koulí a pak (n−m) černých, vidíme, že takové rozmístění můžeme

vytáhnout am · bn−m způsoby. Tedy počet příznivých případů je(nm

)ambn−m.

Hledaná pravděpodobnost Pm,n je tedy rovna

Pm,n =

(n

m

)am · bn−m

(a+ b)n,

což není nic jiného než

Pm,n =

(n

m

)(a

a+ b

)m(b

a+ b

)n−m

. (3.9)

Označme si p = aa+b, q = b

a+b; p značí pravděpodobnost toho, že v každém

tahu vytáhneme bílou kouli, q značí pravděpodobnost toho, že v každém tahu

vytáhneme černou kouli. Pak (3.9) můžeme psát ve tvaru

Pm,n =

(n

m

)pm qn−m, kde q = 1− p, p ∈ (0, 1). (3.10)

U mnohonásobného nezávisle opakovaného alternativního pokusu pravděpo-

dobnost toho, že v n nezávislých pokusech náhodný jev A nastane m-krát,

počítáme podle (3.10), přičemž v každém pokusu náhodný jev A nastane

s pravděpodobností p. Pravděpodobnost, že v n nezávislých pokusech náhodný


jev A nastane alespoň m-krát, počítáme podle vzorce

Sm,n =n∑

i=m

Pi,n. (3.11)

Z (3.11) pro m = 1 dostáváme

S1,n =n∑

i=1

Pi,n = 1− P0,n = 1− qn, (3.12)

což je pravděpodobnost, že v n nezávislých pokusech náhodný jev A nastane

alespoň jednou.

Vraťme se nyní k příkladu 3.3, který jsme řešili pomocí věty 3.5. Tento

příklad můžeme vyřešit i pomocí výše uvedeného Bernouliho schématu, a to

následovně: Považujme porod za náhodný pokus. Máme tedy 10 nezávislých

pokusů. Výsledek každého takového pokusu je buď narození chlapce nebo

děvčete. Pravděpodobnost narození chlapce při každém porodu je 0,514.

Podle (3.12) tedy dostáváme

S1,n = 1− (0, 486)10 = 0, 9993.

Vidíme, že použitím Bernouliho schématu docházíme rychleji k témuž výsled-

ku.

Příklad 3.5 Házíme n-krát po sobě jednou kostkou. Vypočtěte pravděpodob-

nost toho, že v těchto n hodech padne alespoň jednou šestka.

Řešení:

Mámě opět n nezávislých pokusů. Výsledek každého pokusu je buď šestka

nebo jednička, dvojka, . . . , pětka. Pravděpodobnost padnutí šestky v každém

hodu je 16. Podle (3.12) dostáváme

S1,n = 1− (5

6)n.

3.4. ÚLOHY 41

Pravděpodobnost toho, že v n hodech hrací kostkou padne alespoň jednou

šestka, je 1 - (56)n.

Často nás spíše než pravděpodobnost zajímá počet pokusů n, které musíme

vykonat, abychom s pravděpodobností rovnou nejméně P mohli tvrdit, že

náhodný jev A nastal alespoň jednou, přičemž pravděpodobnost, že náhodný

jev A nastane v každém jednotlivém pokusu, je rovna p. Neboli požadujme,

abyP ≥ S1,n

P ≥ 1− (1− p)n

ln(1− P ) ≤ n ln(1− p)

ln(1−P )ln(1−p)

≤ n. (3.13)

Příklad 3.6 Hráč podává v sázkové kanceláři 30 tiketů sportky. Pravděpodob-

nost, že vyhraje 5. cenu (uhodne 3 čísla ze 49, vyplňuje pouze jeden sloupec),

je p = 0, 01765. Určete počet tiketů, které musí podat, aby mezi nimi byl ale-

spoň jeden vyhrávající 5. cenu s pravděpodobností rovnající se alespoň 0,75.

Řešení:

Výpočet provedeme podle (3.13), kde p = 0, 01765, P = 0, 75 :

n ≥ ln(1− 0, 75)

ln(1− 0, 01765)=

ln 0, 25

ln 0, 98235= 77, 8

Hráč musí podat 78 tiketů sportky, aby s pravděpodobností alespoň 0,75

vyhrál alespoň jednu 5. cenu.

3.4 Úlohy

1. V urně je 6 kuliček. Každá kulička má jinou barvu (červená, bílá, černá,

žlutá, modrá, zelená). Budeme nezávisle 5-krát po sobě tahat po jedné


kuličce, přičemž po každém tahu kuličku vracíme zpět do urny. Jaká

je pravděpodobnost, že

(a) při 1. a 5. tahu vytáhneme kuličku žluté barvy,

(b) kuličku žluté barvy vytáhneme právě 2x.

(a) 0,016, b) 0,160)

2. Dva sportovci hází oštěpem nezávisle jeden na druhém. Každý má

pouze jeden pokus. Pravděpodobnost, že první hodí 80 metrů, je 0,8;

pravděpodobnost, že druhý hodí 80 metrů, je 0,75. Jaká je pravděpodob-

nost, že 80 metrů nehodí ani jeden z nich? (0,05)

3. Uvažujeme dvě osudí. V každém jsou obsaženy 4 lístky. Na dvou

lístcích jsou čísla dělitelná dvěma a na druhých dvou jsou čísla dělitelná

třemi. Nechť A je takový jev, že z prvního osudí vytáhneme lístek,

na němž je číslo dělitelné dvěma; nechť B je takový jev, že z druhého

osudí vytáhneme lístek s číslem dělitelným třemi a C je takový jev, že

v obou dvou tazích vytáhneme lístky s čísly dělitelnými týmž číslem.

Zjistěte, zda jevy A, B, C jsou nezávislé po dvou a po třech.

(Jevy A, B, C jsou nezávislé po dvou, nejsou nezávislé po třech.)

4. Dětská obrázková skládačka obsahuje 12 kostek, které mají na každé

stěně část jednoho ze 6 obrázků. Nechť jev A znamená, že každou

kostku uložíme do krabičky na její místo, jev B, že bude správnou

stranou vzhůru a jev C, že správnou stranu otočíme do správné polohy.

Vypočítejte P(A ∩ B ∩ C), tj. že složíme správně jeden z obrázků.( 112!

· 6612

· 1412

)

5. Zahradnictví dodává obchodu s květinami zásilku 100 květin v kvě-

tináčích. Prodavačka při přejímání zásilky dělá namátkovou kontrolu.

Vybere náhodně 5 květin. Jestliže aspoň jedna je napadená škůdcem,

zásilku nepřijme. Určete pravděpodobnost zamítnutí zásilky, jestliže

3.4. ÚLOHY 43

v celkovém dodaném množství květin jsou 2% květin napadených škůd-

cem. (0,0979)

6. Bydlíte ve městě, ve kterém žije n+1 lidí, a zajímá vás dynamika šíření

pomluvy. Začnete tím, že sdělíte pomluvu jedné osobě a ta náhodně

vybere další osobu a pošle pomluvu dál. A tak to pokračuje dále. Jaká

je pravděpodobnost, že pomluva je sdělena k-krát, než se zacyklí a je

opět sdělena vám? Jaká je pravděpodobnost, že pomluva je sdělena

k-krát, než ji všichni znají. Jak se problém změní, jestliže je v každém

kroku pomluva zopakována N náhodně vybraným lidem?

7. Z 32 karet (4 esa) taháme jednu kartu po druhé, přičemž vytažené karty

zpět nevracíme. Vypočtěte pravděpodobnost, že se eso vyskytne jako

2. a 7. karta. (0,00834)

8. V maturitních otázkách z chemie je z 60 otázek 30% otázek z anor-

ganické chemie. Doposud bylo z chemie zkoušeno 10 studentů. Určete

pravděpodobnost toho, že

(a) právě 4 z vytažených otázek byly z anorganické chemie,

(b) nejvýše 3 byly z anorganické chemie,

(c) aspoň 2 otázky byly z anorganické chemie,

jestliže vytáhnuté otázky se už zpět nevrací.

( a) 0,213, b) 0,6575, c) 0,874)

9. Na hřišti se sešly dvě skupinky hochů. V první skupince bylo 12 hochů

a ve druhé 10. Hoši si chtějí zahrát fotbal. Jelikož na každé straně

by mělo být 11 hráčů, je z první skupiny náhodně vybrán jeden a je

převeden do druhé. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný

hoch z doplněné druhé skupinky je dobrým fotbalistou, jestliže první


skupinka před odchodem jednoho z hochů měla 8 dobrých a 4 pod-

průměrné fotbalisty a druhá 6 dobrých a 4 podprůměrné fotbalisty?

(0,606)

10. Banachova úloha:

Prodavačka má na pultě rozdělené pulovry na dvě stejně početné hro-

mádky. V každé hromádce je jich n. Při jejich prodeji vybírá náhodně

pulovry z jedné hromádky. Časem dojde k tomu, že pulovry z jedné

hromádky jsou vyprodané. Vypočítejte pravděpodobnost, že v druhé

hromádce jich zůstane k. ((2n−kn ) · (1

2)n · (1

2)n−k)

11. Jsou dána 4 osudí. Nechť pravděpodobnost volby kteréhokoliv z nich

je stejná, tj. 14. V každém z prvních tří osudí jsou obsaženy 3 lístky

se sudými čísly a 2 lístky s lichými čísly. Ve čtvrtém osudí jsou 4

lístky se sudými čísly a 1 lístek s lichým číslem. Náhodně zvolíme

osudí, vytáhneme z něj jeden lístek a vložíme ho do jiného osudí (opět

náhodně zvoleného). Z tohoto osudí pak vytáhneme 1 lístek. Jaká

je pravděpodobnost, že poslední vytažený lístek je se sudým číslem?

(0,6496)

12. Máme n různých dopisů a n různých obálek. Dopisy byly do obálek

umístěny náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že se alespoň jeden dopis

dostane do správné obálky?

13. Profesor zapomene deštník při každé návštěvě obchodu s pravděpodob-

ností 14. Jestliže navštívil čtyři obchody a přišel domů bez deštníku,

jaká je pravděpodobnost, že jej zapomněl v posledním obchodě?

14. Hráči A,B,C střídavě házejí mincí; A hází první, B hází druhý, C

hází třetí. Hra končí, jakmile jednomu hráči padne líc a ten se stává

výhercem. Spočtěte pravděpodobnosti:

(a) výhry hráče A,

3.4. ÚLOHY 45

(b) výhry hráče B.

15. Urna obsahuje 6 koulí, z nichž 4 jsou bílé. Náhodným způsobem vy-

bereme bez vracení 4 koule. Označme jevy:

A = právě jedna z prvních dvou tažených koulí je bílá,

B = čtvrtá tažená koule je bílá,

C = ve výběru jsou právě dvě koule bílé.

Určete pravděpodobnost P (A), P (B), P (C). Jsou jevyA,B,C nezávislé?

16. Házíme dvěma hracími kostkami. Jev A znamená, že na modré kostce

padlo liché číslo, jev B znamená, že na zelené kostce padlo sudé číslo,

jev C znamená, že součet obou čísel je lichý. Jsou náhodné jevy A,B,C

nezávislé? Jsou náhodné jevy A,B,C po dvou nezávislé?

17. Ve vězení jsou tři lotři, Alcapone, Babinský a Cimrman. Losem jsou

určeni dva z nich, kteří budou popraveni. Alcapone se chce dovědět,

zda je mezi vylosovanými. Ví, že dozorce by mu na přímou otázku

neodpověděl, proto ho žádá, aby mu jmenoval jednoho z jeho spolu-

vězňů, který bude popraven. Dozorce je pravdomluvný, a má-li dvě

možnosti, volí mezi nimi náhodně. Jmenuje Babinského. Představuje

tato odpověď pro Alcapona nějakou informaci o jeho osudu? (Před

rozhovorem s dozorcem byla Alcaponova pravděpodobnost, že bude

popraven, rovna 23; je podmíněná pravděpodobnost po dozorcově odpo-

vědi jiná?)

Chapter 4

Celková pravděpodobnost,Bayesův vzorec

V této kapitole se zaměříme na odvození vzorce k výpočtu celkové pravděpo-

dobnosti a na odvození 1. a 2. Bayesova vzorce. Doposud jsme se zabý-

vali pouze přímým výpočtem pravděpodobnosti a podmíněnou pravděpodob-

ností. Obojí je nutné ke zvládnutí látky v této kapitole.

Uveďme si nejdříve příklad, v němž bude popsána situace příznačná pro

celkovou pravděpodobnost.

Příklad 4.1 Ve skupině sportovců je 20 lyžařů, 6 cyklistů a 4 běžci. Pravděpo-

dobnost splnění normy pro lyžaře je 0,9, pro cyklistu 0,8 a pro běžce 0,75.

Určete pravděpodobnost toho, že náhodně vybraný sportovec splní normu.

Řešení:

Označme si

A1 náhodně vybraný sportovec je lyžař,

A2 náhodně vybraný sportovec je cyklista,

A3 náhodně vybraný sportovec je běžec,

46

47

B náhodně vybraný sportovec, který splnil normu.

PotomP (A1) = 20

30= 2

3,

P (A2) = 630

= 15,

P (A3) = 430

= 215.

Dále platí, žeP (B|A1) = 0, 9,

P (B|A2) = 0, 8,

P (B|A3) = 0, 75.

(4.1)

Máme určit pravděpodobnost jevu B:

P (B) = P (A1 ∩B) + P (A2 ∩ B) + P (A3 ∩ B)

= P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2) + P (B|A3) · P (A3).

(4.2)

V poslední rovnosti jsme užili vzorec pro podmíněnou pravděpodobnost.

Po dosazení (4.1) do (4.2) dostáváme

P (B) = 0, 9 · 23+ 0, 8 · 1

5+ 0, 75 · 2

15= 0, 86.

Náhodně vybraný sportovec tedy splní normu s pravděpodobností 0,86.

Zformulujeme poznatky z příkladu 4.1 do věty:

Věta 4.1 (O celkové pravděpodobnosti) Nechť A1, A2, . . . jsou náhodné

jevy tvořící rozklad jevu jistého, tzn.

Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j a ∪∞i=1 Ai = Ω.

48 CHAPTER 4. CELKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST

Nechť tyto náhodné jevy mají postupně pravděpodobnosti P (A1), P (A2), . . .,

přičemž P (Ai) > 0, ∀i = 1, 2, . . . Uvažujme libovolný náhodný jev B, u něhož

známe podmíněné pravděpodobnosti

P (B|Ai), ∀i = 1, 2, . . .

Potom

P (B) =∞∑

i=1

P (Ai) · P (B|Ai). (4.3)

Důkaz. Jevy A1, . . . , An tvoří disjunktní rozklad ⇒ (Ai ∩ B) ∩ (Aj ∩ B) =

∅ ∀i 6= j, ∪∞i=1(Ai ∩ B) = B. Potom

P (B) = P (∪∞i=1(Ai ∩ B)) =

∞∑

i=1

P (Ai ∩ B) =∞∑

i=1

P (Ai) · P (B|Ai).

V důkazu jsme využili vlastnosti 2 pravděpodobnosti a definice 3.1 pod-

míněné pravděpodobnosti.

Příklad 4.2 Nyní obměníme zadání příkladu 1, a to následovně:

Ve skupině sportovců je 20 lyžařů, 6 cyklistů a 4 běžci. Pravděpodobnost

splnění normy pro lyžaře je 0,9, pro cyklistu 0,8 a pro běžce 0,75. Náhodně

vybraný sportovec splnil normu. Jaká je pravděpodobnost, že je to cyklista?

Řešení:

Nechť jevy A1, A2, A3, B znamenají totéž, co v řešení původní verze příkladu.

Pak je naším úkolem najít P (A2|B). Tuto pravděpodobnost najdeme podle

Bayesova vzorce, který uvedeme v následující větě.

Věta 4.2 (Bayesova věta) Nechť jsou splněny předpoklady věty 4.1. Pak

P (Ai|B) =P (B|Ai) · P (Ai)∑∞j=1 P (Aj) · P (B|Aj)

, i = 1, 2, . . . (4.4)

49

Důkaz. Podle vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost je

P (Ai|B) =P (Ai ∩ B)

P (B). (4.5)

Po dosazení (4.3) do (4.5) dostáváme

P (Ai|B) =P (Ai ∩ B)∑∞

j=1 P (Aj) · P (B|Aj). (4.6)

Opět použijeme definici 3.1 a dostáváme (4.4), což jsme měli dokázat.

Podle Bayesova vzorce nyní zjistíme pravděpodobnost, na kterou jsme se

ptali v nové verzi příkladu 4.2. S využitím již známých pravděpodobností

(4.1) vypočteme P (A2|B). Po dosazení (4.1) do (4.4) obdržíme

P (A2|B) =P (B|A2) · P (A2)∑3j=1 P (Aj) · P (B|Aj)

=0, 8 · 1

5

0, 86= 0, 1376.

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný sportovec splňující normu je cyklista,

je rovna 0,1376.

Příklad 4.3 Při vyšetřování pacienta je podezření na 3 navzájem se vyluču-

jící nemoci. Pravděpodobnost výskytu první nemoci je 0,3, druhé 0,5 a třetí

nemoci 0,2. Laboratorní zkouška dává pozitivní výsledek u 15% nemocných

na první nemoc, u 30% nemocných na druhou nemoc a u 30% na třetí

nemoc. Jaká je pravděpodobnost výskytu druhé nemoci, jestliže po vykonání

laboratorní zkoušky je výsledek pozitivní?

Řešení:

Označme si

A1 . . . pacient má 1. nemoc,




B . . . laboratorní zkouška dává pozitivní výsledek.

Jevy A1, A2, A3 tvoří rozklad jevu jistého, neboť Ai ∩Aj = ∅, ∀i 6= j, i, j =

1, 2, 3 a ∪3i=1Ai = Ω.

Víme, žeP (A1) = 0, 3,

P (A2) = 0, 5,

P (A3) = 0, 2.

Známe i podmíněné pravděpodobnosti:

P (B|A1) = 0, 15,

P (B|A2) = 0, 30,

P (B|A3) = 0, 30.

Chceme zjistit P (A2|B). Opět použijeme Bayesův vzorec. Po dosazení

známých pravděpodobností do (4.4) dostáváme

P (A2|B) =P (B|A2) · P (A2)∑3j=1 P (Aj) · P (B|Aj)

=

=0, 5 · 0, 3

0, 3 · 0, 15 + 0, 5 · 0, 3 + 0, 2 · 0, 3 = 0, 588.

Jestliže po vykonání laboratorní zkoušky je výsledek pozitivní, pravděpodob-

nost výskytu druhé nemoci je 0,588.

Poznámka 4.1 Pravděpodobnosti P (A1), P (A2), . . . v (4.4) se nazývají apri-

orní a jevy A1, A2, . . . se nazývají hypotézami. Pravděpodobnosti P (Ai|B)

nazýváme aposteriorní.

51

Z uvedených příkladů je vidět, že v úlohách řešitelných podle Bayesova vzorce

postupujeme následovně:

a) stanovíme náhodné jevy A1, . . . , An, které tvoří rozklad jevu jistého,

tzn., že jsou disjunktní a vyčerpávají všechny možnosti,

b) stanovíme jev B,

c) vypočítáme P (A1), . . . , P (An), P (B|A1), . . . , P (B|An),

d) dosadíme do vzorce (4.4).

Příklad 4.4 (AIDS).

Krevní test na pozitivní virus HIV nemusí vždy správně identifikovat chorobu.

Mohou nastat dva druhy chyb.

1. Test špatně indikuje pozitivitu,

2. test špatně indikuje negativitu.

Statistickým pozorováním bylo zjištěno, že tento test je velmi spolehlivý, pře-

sněji, je-li objekt infikován, bude test pozitivní s pravděpodobností 0,995.

Neboli P (Poz|Inf) = 0, 995, odtud dostáváme, že pravděpodobnost chyby

1. druhu je P (Neg|Inf) = 0, 005. Podobně P (Neg|NeInf) = 0, 995 a

pravděpodobnost 2. chyby je P (Poz|NeInf) = 0, 005.

Předpokládejme, že bude vydán zákon, který nařídí všem lidem provést tento

”přesný” test, aby mohli být identifikováni všichni infikovaní lidé. Jestliže pak

náhodně vybereme jednoho člověka s pozitivním výsledkem testu, ptáme se,

jaká je pravděpodobnost, že skutečně má HIV. Neboli zajímá nás pravděpodob-

nost P (Inf |Poz), kterou určíme podle Bayesova vzorce:

P (Inf |Poz) =P (Poz|Inf) · P (Inf)

P (Poz|Inf) · P (Inf) + P (Poz|NeInf) · P (NeInf).


Zbývá nám určit apriorní pravděpodobnosti P (Inf), P (NeInf). Např. v USA

v roce 1996 bylo 293.433 infikovaných lidí, což vede k odhadům

P (Inf) = 0, 001 a P (NeInf) = 0, 999.

Po dosazení dostáváme

P (Inf |Poz) =0, 995 · 0, 001

0, 995 · 0, 001 + 0, 005 · 0, 999 = 0, 16.

Můžeme tedy mluvit o štěstí, že takový zákon nebyl nikdy vytvořen, protože

pouze 16% pozitivních lidí by bylo skutečně infikovaných HIV.

4.1 Úlohy

1. Ve městě jsou tři obchodní společnosti. Pod první obchodní společnost

spadá 20 obchodů, pod druhou 15 obchodů a pod třetí 10 obchodů. Při

návštěvě obchodu první společnosti budete ošizen s pravděpodobností

0,15, v obchodě druhé společnosti 0,08 a u třetí společností s pravděpodob-

ností 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že při nákupu v tomto městě

budete ošizen? (0,1044)

2. Přijímací zkoušky na určitou školu se konají ve čtyřech třídách. V první

třídě (50 studentů) zkoušky udělalo 75%, ve druhé třídě (35 studentů)

prospělo 50%, ve třetí třídě (40 studentů) je udělalo 65% a ve čtvrté

(30 studentů) 60%. Ze všech studentů, kteří absolvovali přijímací

zkoušky, vybereme náhodně jednoho. Jaká je pravděpodobnost, že

zkoušky udělal? (0,6387)

3. V autobusu je n cestujících. Na následující zastávce každý z nich vy-

stupuje s pravděpodobností p. Kromě toho do autobusu nenastoupí

ani jeden cestující s pravděpodobností p0 a s pravděpodobností 1− p0

4.1. ÚLOHY 53

nastoupí jeden nový cestující. Jaká je pravděpodobnost toho, že když se

autobus znovu rozjede, bude v něm po následující zastávce n cestujících

jako na začátku?(p0 · (1− p)n + (1− p0) · n · p · (1− p)n−1

)

4. Ve třídě je 36 žáků, z toho je 15 chlapců a 21 děvčat. Z chlapců je 5

obézních a z dívek je obézních 7. Jaká je pravděpodobnost, že vybrané

obézní dítě bude chlapec? (0,416)

5. Studenti oboru M-F, M-Bi, M-VT umí řešit příklad na Bayesovy vzorce

s pravděpodobností 0,80, 0,65 a 0,95. S jakou pravděpodobností je

Pavel posluchač oboru (a) M-F (12 studentů) nebo (b) M-Bi (14 stu-

dentů) nebo (c) oboru M-VT (12 studentů), jestliže neumí řešit příklady

na Bayesovy vzorce? (0,3, 0,6125, 0,0875)

6. Zprávy vysílané Morseovou abecedou mají tyto statistické údaje: z vy-

slaných signálů ”tečka” přijde ve 25případů jako ”čárka” a z vyslaných

signálů ”čárka” přijde v 13případů jako ”tečka”. Signály tečka a čárka

jsou v poměru 5:3. Zjistěte, jaká je pravděpodobnost toho, že byl

vyslaný signál:

(a) tečka za podmínky, že jsme přijali signál čárka,

(b) tečka za podmínky, že jsme přijali signál tečka.

(0,5, 0,75)

7. Máme tři skupiny běžců na 100 m. První skupina (10 běžců) uběhne

trasu v limitu s pravděpodobností 0,90, druhá skupina (6 běžců) s pravdě-

podobností 0,85 a třetí skupina (6 běžců)s pravděpodobností 0,75.

Náhodně jsme vybrali ze všech běžců jednoho, o kterém jsme zjistili, že

uběhne 100 m v limitu. Jaká je pravděpodobnost, že pochází z druhé

skupiny? (0,268)

Chapter 5

Fyzikální statistiky

5.1 Maxwell-Boltzmannova statistika

Uvažujme r rozlišitelných předmětů a n rozlišitelných přihrádek. Rozděluj-

me předměty do přihrádek, přičemž dvě rozdělení budeme považovat za

různá, jestliže alespoň jeden předmět nebude umístěn u obou dvou rozdělení

ve stejné přihrádce. Předpokládejme, že všechna rozmístění jsou stejně

pravděpodobná. Takto popsaný model tzv. Maxwell-Boltzmannovy statis-

tiky pochází z klasické mechaniky. V rámci tohoto pokusu budeme řešit

následující úlohy:

a) Jaká je pravděpodobnost, že daná přihrádka bude prázdná?

b) Jaká je pravděpodobnost, že daná přihrádka bude obsahovat k před-

mětů? (0 ≤ k ≤ r)

c) Jaká je pravděpodobnost, že žádná přihrádka nebude prázdná?

d) Předpokládáme, že počet předmětů r závisí na počtu přihrádek (tzn.

54

5.1. MAXWELL-BOLTZMANNOVA STATISTIKA 55

r = rn) a nechť

limn→∞

rnn

= λ > 0.

Za těchto předpokladů budeme hledat limitu pravděpodobnosti z b).

Řešení:

a) Jelikož předpokládáme, že všechna rozmístění jsou stejně pravděpodob-

ná, jedná se o klasickou pravděpodobnost. Označme si A jev, že daná

přihrádka je prázdná. Pak podle definice klasické pravděpodobnosti

P (A) =mA

nA

,

kde nA je počet všech možných rozmístění v rámci M.-B. statistiky a

mA je počet příznivých možností. Každé rozmístění r předmětů do n

přihrádek charakterizuje r-členný vektor, jehož každý člen je číslo od 1

do n. Počet všech možných r-členných vektorů, jehož členy vybíráme

z n-prvkové množiny, je nr (což jsou variace s opakováním r-té třídy z n

prvků). Protože počet všech r-členných vektorů, jehož členy vybíráme

z n-prvkové množiny, odpovídá počtu všech rozmístění v rámci M.-B.

statistiky, je nA = nr.

Počet příznivých možností, tzn. počet všech rozmístění, v nichž daná

přihrádka je prázdná, je roven počtu všech r-členných vektorů, jehož

členy vybíráme z (n− 1)-prvkové množiny, tzn. mA = (n− 1)r. Opět

se jedná o variace s opakováním r-té třídy, ale nyní pouze z (n − 1)

prvků. Hledaná pravděpodobnost je rovna

P (A) =(n− 1

n

)r.

b) Označme si A jev, že daná přihrádka obsahuje k předmětů, kde 0 ≤ k ≤r. Z a) víme, že počet všech možných rozmístění je nr, takže nám zbývá

určit počet všech rozmístění příznivých jevu A. Ten určíme následovně.

56 CHAPTER 5. FYZIKÁLNÍ STATISTIKY

Víme, že k předmětů je fixováno v jedné přihrádce. V této přihrádce

může být jakákoliv kombinace k předmětů z r předmětů, tj.(rk

). Zbývá

nám (r−k) předmětů, které máme nyní rozmístit do (n−1) přihrádek.

Počet rozmístění (r− k) předmětů do (n− 1) přihrádek odpovídá nyní

počtu (r−k)-členných vektorů, jejichž členy vybíráme z (n−1)-prvkové

množiny. Počet všech takovýchto vektorů je (n − 1)r−k. Počet všech

příznivých rozmístění je tedy(rk

)· (n− 1)r−k. Z toho plyne, že

P (A) =

(rk

)· (n− 1)r−k

nr, k = 0, . . . , r.

Pro k = 0 dostáváme a).

c) Označme jev A ”alespoň jedna přihrádka je prázdná”. Potom

A = ∪ni=1Ai,

kde Ai je jev ”i-tá přihrádka je prázdná”. Hledáme pravděpodobnost

jevu A, tzn. pravděpodobnost jevu ”žádná přihrádka není prázdná”.

Tuto pravděpodobnost vypočteme podle vlastnosti 7 pravděpodobnosti,

tj.

P (A) = 1− P (A).

Protože jevy A1, . . . , An nejsou disjunktní, platí podle (2.1)

P (A) = P (∪ni=1Ai) =

∑ni=1 P (Ai)−

∑n−1i=1

∑nj=i+1 P (Ai ∩ Aj)+

+∑n−2

i=1

∑n−1j=i+1

∑nk=j+1 P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + . . .

. . . + (−1)n−1 · P (∩ni=1Ai).

(5.1)

Z a) víme, že

P (Ai) =

(n− 1

n

)r

, i = 1, . . . , n.

5.1. MAXWELL-BOLTZMANNOVA STATISTIKA 57

Podobným způsobem jako v a) zjistíme, že

P (Ai ∩ Aj) =(n−2)r

nr , i, j = 1, . . . , n, i < j,

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) =(n−3)r

nr , i, j, k = 1, . . . , n, i < j < k,

...

P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An) = 0.

Po dosazení do (5.1) dostáváme

1− P (A) = 1−(n1

)· (n−1

n)r +

(n2

)· (n−2

n)r−

−(n3

)· (n−3

n)r + . . .+ (−1)n−1

(n

n−1

)· ( 1

n)r.

d) Za předpokladu r = rn a limn→∞rnn= λ > 0 budeme počítat

limn→∞

(rnk

)· (n− 1)rn−k

nrn.

Po rozpisu kombinačního čísla dostáváme

limn→∞rn!

k!(rn−k)!· (1− 1

n)rn−k 1

nk =

= 1k!limn→∞

rn(rn−1)(rn−2)...(rn−k+1)nk · (1− 1

n)rn · (1− 1

n)−k =

= 1k!limn→∞

rnn· ( rn

n− 1

n) · ( rn

n− 2

n) . . . ( rn

n− k−1

n)·

·(1− 1n)rn · (1− 1

n)−k =

= λk

k!limn→∞(1− 1

n)rn = λk

k!limn→∞(1−

rnn

rn)rn =

= λk

k!· e−λ = pk, k = 0, . . . , r.

Pravděpodobnost, že v dané přihrádce je k předmětů, se při vzrůsta-

jícím n blíží

pk =λk

k!· e−λ.


Snadno zjistíme, že

∞∑

k=0

λk

k!· e−λ = e−λ ·

∞∑

k=0

λk

k!= e−λ · eλ = 1.

Posloupnost pk představuje Poissonovo pravděpodobnostní rozdělení

s parametrem λ, se kterým se setkáme v kapitole 8.

5.2 Bose-Einsteinova statistika

Uvažujme r nerozlišitelných předmětů a n rozlišitelných přihrádek. Rozdě-

lujme opět předměty do přihrádek, přičemž dvě rozdělení budeme považovat

za různá, jestliže počet předmětů alespoň v jedné přihrádce se bude u obou

rozdělení lišit. Předpokládejme, že všechna rozdělení jsou stejně možná.

Takto popsaný model se chová podle Bose-Einsteinovy statistiky. Podobně

jako u Maxwell-Boltzmannovy statistiky řešíme i tady úlohy a), b), c), d).

Řešení:

a) Protože všechna rozmístění jsou stejně možná, jedná se opět o klasickou

pravděpodobnost. Musíme tedy zjistit počet všech možných rozmístění

a počet příznivých jevu A, kde A je jev ”daná přihrádka je prázdná”.

Počet všech rozmístění odpovídá počtu všech r-tic, které vytváříme

z n-prvkové množiny. U r-tic nezáleží na počtu členů, neboť rozdělení

jsou charakterizována počtem předmětů v přihrádce. Počet takovýchto

r-tic je(n+r−1

r

), což jsou kombinace s opakováním r-té třídy z n prvků.

Nyní přejdeme na výpočet příznivých rozmístění. Jelikož víme, že daná

přihrádka je prázdná, rozmisťujeme r předmětů do (n − 1) přihrádek.

Vytváříme tedy neuspořádané r-tice z (n − 1) prvků. Takovýchto r-

tic (tudíž i příznivých rozmístění) je(n+r−2

r

)(kombinace s opakováním

5.2. BOSE-EINSTEINOVA STATISTIKA 59

r-té třídy z (n− 1) prvků. Hledaná pravděpodobnost je rovna

P (A) =

(n+r−2

r

)(n+r−1

r

) =(n− 1)

(n+ r − 1).

b) Z a) víme, že počet všech možných rozmístění je(n+r−1

r

), takže nyní

určíme počet všech příznivých rozmístění jevu Bk, kde Bk je jev ”daná

přihrádka obsahuje k předmětů”. U Bose-Einsteinovy statistiky jsou

předměty nerozlišitelné, tudíž k předmětů do dané přihrádky lze rozmís-

tit pouze jedním způsobem. Zbývajících (r − k) předmětů rozdělíme

do zbývajících (n − 1) přihrádek. Počet všech příznivých rozmístění

je tedy tolik, kolik je neuspořádaných (r− k)-tic, jejichž členy pochází

z (n− 1)-prvkové množiny. Těchto (r − l)-tic je(n+r−k−2

r−k

)(kombinace

s opakováním (r− k)-té třídy z (n− 1) prvků). Pravděpodobnost jevu

Bk je rovna

P (Bk) =

(n+r−k−2

r−k

)(n+r−1

r

) , k = 0, . . . , r.

Pro k = 0 dostáváme výsledek a).

c) Označme B jev ”žádná přihrádka není prázdná”.

Jestliže r < n, pak P (B) = 0.

Jestliže r ≥ n = 1, pak P (B) = 1.

Uvažujme případ r ≥ n, kde n = 2, 3, . . .. Uveďme si nejdříve na přík-

ladu grafické znázornění rozdělení předmětů do přihrádek v rámci Bose-

Einsteinovy statistiky. Zvolme r = 5 a n = 3. Jestliže bude značit

předmět a | přepážku v přihrádce, pak jedno možné rozdělení před-mětů je následující: | | . Z grafického znázornění je vidět, že žádnápřihrádka není prázdná právě tehdy, jestliže mezi dvěma předměty je

nejvýše jedna přepážka. Budeme tudíž rozdělovat přepážky do mezer

mezi předměty. Jelikož u n přihrádek máme (n−1) přepážek a u r před-

mětů máme (r−1) mezer, budeme vytvářet (n−1)-tice z (r−1) prvků.

Počet všech n-tic z (r − 1) prvků je(r−1n−1

). Hledaná pravděpodobnost


je potom rovna

P (B) =

(r−1n−1

)(r+n−1

r

) =

(r−1n−1

)(r+n−1n−1

) .

d) Za předpokladu r = rn a limn→∞rnn= λ > 0 hledáme

limn→∞

(rn+n−k−2

rn−k

)(rn+n−1

rn

) .

Po rozepsání kombinačních čísel dostáváme

limn→∞(rn+n−k−2)!(n−2)!(rn−k)!

· rn!(n−1)!(rn+n−1)!

=

= limn→∞(n−1)rn(rn−1)(rn−2)...(rn−k+1)(rn+n−1)(rn+n−2)...(rn+n−k−1)

· nk

nk =

= λk

(λ+1)k+1 .

Protože∞∑

k=0

λk

(λ+ 1)k+1=

1

λ+ 1

∞∑

k=0

( λ

λ+ 1

)k

a řada∞∑

k=0

( λ

λ+ 1

)k

je řada geometrická s kvocientem λλ+1

∈ (0;1), je tedy

∞∑

k=0

λk

(λ+ 1)k+1=

1

λ+ 1· 1

1− λλ+1

= 1.

Posloupnost pk představuje tzv. geometrické pravděpodobnostní roz-dělení.

Uvažujme stejnou modelovou situaci jako u Bose-Einsteinovy statistiky. Před-

poklad, že v dané přihrádce může být jakýkoliv počet předmětů, nahraďme

5.2. BOSE-EINSTEINOVA STATISTIKA 61

následujícím: v dané přihrádce může být umístěn nejvýše jeden předmět.

V tomto případě říkáme, že systém se chová podle Fermi-Diracovy statistiky.

Vzhledem k omezení počtu předmětů v přihrádce musí být u Fermi-Diracovy

statistiky n ≤ r. Počet všech možných rozmístění je zde roven(nr

). V a) a b)

počet příznivých možností budeme počítat pomocí kombinací bez opakování,

v b) bude k = 0; 1.

Chapter 6

Náhodná veličina

6.1 Definice náhodné veličiny

Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω,A, P ); Ω je neprázdná množina

všech možných výsledků náhodného pokusu,A je σ-algebra sestrojená na mno-žině Ω a P : A → [0, 1] je pravděpodobnost. Na tomto pravděpodobnostním

prostoru budeme nyní definovat náhodnou veličinu, což je důležitý pojem

teorie pravděpodobnosti.

Často se stává, že nám nejde přímo o výsledek náhodného pokusu, ale za-

jímá nás reálná funkce X, která přiřazuje výsledku pokusu ω hodnotu X(ω).

Tuto funkci, která je definovaná na Ω, nazýváme náhodnou veličinou. Např.

u narození dítěte máme dva možné výsledky, a to chlapec a děvče (tzn.

Ω = ω1 = chlapec, ω2 = děvče). Náhodnou veličinu X můžeme definovattakto: X(ω1) = 1, X(ω2) = 0. V tomto případě výsledky náhodného pokusu

mají kvalitativní charakter (chlapec, děvče) a my jsme je ohodnotili určitým

reálným číslem. V jiném případě může být výsledkem náhodného pokusu

reálné číslo (výsledky mají kvantitativní charakter), to znamená přímo hod-

noty náhodné veličiny (např. měření tělesné výšky u žáků).

62

6.1. DEFINICE NÁHODNÉ VELIČINY 63

Definujme si nyní přesně pojem náhodná veličina.

Definice 6.1 Nechť (Ω,A, P ) je pravděpodobnostní prostor. Reálnou funkci

X definovanou na Ω nazýváme náhodnou veličinou, jestliže X je měřitelné

zobrazení X : (Ω,A) → (R,B), tj.

ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B ∈ A (6.1)

pro libovolnou borelovskou množinu B ∈ B (B je σ-algebra borelovských

podmnožin, tj. nejmenší σ-algebra obsahující systém všech otevřených pod-

množin R).

Poznámka 6.1 Náhodné veličiny budeme značit velkými písmeny: X, Y, Z . . .

Hodnoty, kterých mohou náhodné veličiny nabývat, budeme značit malými

písmeny x, y, z.

Místo ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B budeme zjednodušeně psát X ∈ B a místoω ∈ Ω : X(ω) < x budeme zjednodušeně psát X < x.

Poznámka 6.2 Součty, součiny a podíly náhodných veličin jsou náhodné

veličiny; umocnění náhodné veličiny přirozeným číslem, násobení náhodné

veličiny skalárem jsou opět náhodné veličiny. Důkaz [3].

Definice 6.2 σ-algebra indukovaná náhodnou veličinou X je definovaná jako

σX = σX ≤ x, −∞ < x < ∞,

tj. σX je σ-algebra generovaná množinami ω ∈ Ω;X(ω) ≤ x, −∞ <

x < ∞.

64 CHAPTER 6. NÁHODNÁ VELIČINA

Platí

σX = X ∈ B;B ∈ B. (6.2)

Z předchozí formule plyne, že nemusíme ověřovat měřitelnost zobrazení X

pro všechna B ∈ B, ale že stačí ověřit měřitelnost pro množiny (−∞, x] (tj.

stačí ověřit ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x = X ≤ x ∈ A ∀x ∈ R).

Příklad 6.1 Hodíme jednou kostkou. Množina elementárních jevů je Ω =

ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6; σ-algebru definujeme následovně:

A = ∅, (ω1, ω2), (ω3, ω4, ω5, ω6),Ω.

Pak funkce X daná předpisem

a) X(ω1) = 1, X(ω2) = 2, X(ω3) = 3, X(ω4) = 4, X(ω5) = 5, X(ω6) = 6

není náhodná veličina vzhledem k σ-algebře A,

b) X(ω1) = X(ω2) = -2; X(ω3) = X(ω4) = X(ω5) = X(ω6) = 3

je náhodná veličina vzhledem k σ-algebře A.

6.2 Distribuční funkce

Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny plně charakterizuje její dis-

tribuční funkce, jejíž definici si nyní uvedeme.

Definice 6.3 Nechť X je náhodná veličina. Její distribuční funkcí nazýváme

reálnou funkci FX reálné proměnné x definovanou

FX(x) = P (X ≤ x) = P (ω : X(ω) ≤ x). (6.3)

6.2. DISTRIBUČNÍ FUNKCE 65

Definice distribuční funkce má smysl, neboť z definice náhodné veličiny X

víme, že ω : X(ω) ≤ x ∈ A, tzn. ω : X(ω) ≤ x je náhodný jev akaždému náhodnému jevu můžeme přiřadit pravděpodobnost. Distribuční

funkce je definovaná pro všechna x ∈ R.

Příklad 6.2 Nechť Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 představuje prostor všech výsledkůnáhodného hodu kostkou. Za σ-algebru A vezmeme systém všech podm-nožin Ω. Pravděpodobnost P (A) náhodného jevu A ∈ A je rovna poměrupříznivých jevů ke všem jevům. Toto odpovídá klasickému pravděpodobnost-

nímu prostoru. Nyní na tomto prostoru (Ω,A, P ) zkonstruujeme náhodnou

veličinu X, která má hodnotu 1, padne-li 6, a hodnotu 0, padne-li něco jiného.

Neboli X(6) = 1 a X(i) = 0; i = 1, . . . , 5. Distribuční funkce F je pak defi-

nována takto:

F (x) = 0, pokud x < 0,

F (x) = 5/6, pokud 0 ≤ x < 1 a

F (x) = 1, pokud x ≥ 1.

Distribuční funkce mají určité společné vlastnosti.

Věta 6.1 (vlastnosti distribuční funkce) Distribuční funkce FX(x) ná-

hodné veličiny X je

a) neklesající, tj. pro libovolné a, b ∈ R, a ≤ b, platí FX(a) ≤ FX(b),

b) zprava spojitá v libovolném bodě x ∈ R,

c) limx→−∞ FX(x) = 0, limx→∞ FX(x) = 1,

d) má nejvýše spočetně bodů nespojitosti; tyto body nespojistosti jsou

1. druhu (tj. skoky) a velikost skoku v bodě x0 je

FX(x0)− FX(x−0 ) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = x0),


kde FX(x−0 ) = limx→x−

0FX(x).

Důkaz.

a) Podle definice 6.3 je

FX(a) = P (ω : X(ω) ≤ a)

FX(b) = P (ω : X(ω) <≤).

Jelikož ω : X(ω) ≤ a ⊂ ω : X(ω) ≤ b, je podle vlastnosti 3pravděpodobnosti

P (ω : X(ω) ≤ a) ≤ P (ω : X(ω) ≤ b),

tj. FX(a) ≤ FX(b).

b) Zvolme si libovolný bod x0 ∈ R. Máme dokázat, že funkce FX je v bodě

x0 zprava spojitá. Uvažujme libovolnou posloupnost xn reálných číseltakovou, že xnցx0. Jestliže si označíme

An = ω ∈ Ω : X(ω) ≤ xn, n = 0, 1, 2, . . . ,

pak

FX(xn) = P (An), n = 0, 1, 2, . . . ,

An ⊂ An+1, n = 1, 2, . . .

a

A0 = ∪∞n=1An.

Chceme dokázat, že limn→∞ FX(xn) = FX(x0). To dokážeme s využitím

vlastnosti 8) pravděpodobnosti:

limn→∞ FX(xn) = limn→∞ P (ω : X(ω) ≤ xn) = P (∪∞n=1An) =

= P (A0) = FX(x0).


c)

limx→−∞

FX(x) = limn→∞

FX(−n) = limn→∞

P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ −n).

Podle vlastnosti 9) pravděpodobnosti platí

limn→∞

P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ −n) = P (∩∞n=1ω ∈ Ω : X(ω) ≤ −n) =

= P (∅) = 0.

limx→∞

FX(x) = limn→∞

FX(n) = limn→∞

P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ n).

Z vlastnosti 8) pravděpodobnosti plyne

limn→∞ P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ n) = P (∪∞n=1ω ∈ Ω : X(ω) ≤ n) =

= P (Ω) = 1.

d) Označme si:

C . . . množina bodů nespojitosti dané distribuční funkce,

Cn . . . množina bodů nespojitosti se skokem větším než 1n, n = 2, 3, . . .

Potom C = ∪∞n=2Cn. Protože distribuční funkce FX(x) je pro libovolné

x ∈ R mezi nulou a jedničkou a je to funkce neklesající, obsahuje

Cn nejvýše (n− 1) bodů nespojitosti. Množina C je tedy sjednocením

spočetně mnoha konečných množin, přičemž takovéto sjednocení je nej-

výše spočetná množina.

Nyní si ukážeme, že velikost skoku v bodě x0 je

FX(x0)− FX(x−0 ) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = x0).

P (ω ∈ Ω : X(ω) = x0) =

= P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x0)− P (ω ∈ Ω : X(ω) < x0) =

= FX(x0)− P (ω ∈ Ω : X(ω) < x0) =

= FX(x0)− P (∪∞n=1ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x0 − 1

n).


Z vlastnosti 9) pravděpodobnosti plyne

P (∪∞n=1ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x0 − 1

n) =

= limn→∞ P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x0 − 1n) = FX(x

−0 ).

Poznámka 6.3 Je-li distribuční funkce FX(x) spojitá v bodě x0, pak velikost

skoku v bodě x0 je rovna nule tzn. P (ω : X(ω) = x = 0.

Tyto úvahy nás vedou k rozdělení náhodných veličin na dva základní typy,

na diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny. Distribuční funkce diskrétní

náhodné veličiny je konstantní až na spočetně mnoho bodů, ve kterých má

skok. Distribuční funkce absolutně spojité náhodné veličiny je spojitá, a tudíž

neobsahuje žádné skoky. Mohou se vyskytovat i jejich kombinace, kterými

se budeme zabývat na závěr této kapitoly.

6.3 Diskrétní náhodné veličiny

Definice 6.4 Náhodná veličina X se nazývá diskrétní, jestliže existuje po-

sloupnost reálných čísel xn a odpovídající posloupnost nezáporných číselpn taková, že

∞∑

n=1

pn = 1, kde pn = P (X = xn). (6.4)

Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny X má tvar

FX(x) = P (X ≤ x) =∑

n:xn≤xP (X = xn) =

∑

n:xn≤xpn (6.5)

6.3. DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 69

a

P (a < X ≤ b) = FX(b)− FX(a) =∑

n:a<xn≤bP (X = xn) =

∑

n:a<xn≤bpn

pro libovolná reálná čísla a, b, kde a ≤ b.

Poznámka 6.4 Distribuční funkce je schodovitá funkce se skoky v bodech

x1, x2, . . . a je konstantní na intervalech (xn, xn+1]. Velikost skoku v bodě xn

je pn = P (X = xn).

Příklad 6.3 Uvažujme náhodnou veličinu X, jejíž hodnota udává počet tele-

fonních výzev za 1 minutu. Distribuční funkce F ani pravděpodobnosti pnnejsou známy. Sledovali jsme 60 realizací této náhodné veličiny a zazname-

nali výsledky.

3, 2, 2, 3, 1, 1, 0, 4, 2, 11, 4, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 23, 0, 2, 4, 1, 2, 3, 0, 1, 21, 3, 1, 2, 0, 7, 3, 2, 1, 14, 0, 0, 1, 4, 2, 3, 2, 1, 32, 2, 3, 1, 4, 0, 2, 1, 1, 5.

Jednotlivé realizace náhodné veličiny X jsou nezávislé, máme tedy k dispozici

náhodný výběr (tj. X1, . . . , X60 jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veliči-

ny s distribuční funkcí F ).

Vytvořme si tabulku absolutních a relativních četností výskytů jednotlivých

výsledků.

Počet telefonníchvýzev za 1 min Absolutní četnost Relativní četnost

0 8 0,1331 17 0,2832 16 0,2663 10 0,1664 6 0,15 2 0,0337 1 0,016

Celkem 60 1


Relativní četnosti nám odhadují pravděpodobnosti pn. Vzhledem k zákonu

velkých čísel (viz věta 12.4) je tento odhad vhodný. Vezměme tedy tyto pn

jako skutečné pravděpodobnosti pn = P (X = n). Můžeme pak zakreslit dis-

tribuční funkci F .

2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figure 6.1: Distribuční funkce FX(x).

Někdy se místo zobrazení distribuční funkce používá zobrazení relativních čet-

ností neboli histogram.

2 4 6 8

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figure 6.2: Histogram X.

6.4. ABSOLUTNĚ SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 71

6.4 Absolutně spojité náhodné veličiny

Definice 6.5 Náhodná veličina X se nazývá absolutně spojitá, jestliže exis-

tuje nezáporná integrovatelná funkce fX taková, že platí

FX(x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞fX(t)dt, x ∈ (−∞,∞). (6.6)

Funkce fX se nazývá hustotou rozdělení pravděpodobnosti.

Poznámka 6.5 Místo ”P [X má vlastnost V ] = 1” budeme říkat ”X má

vlastnost V skoro jistě.” Často budeme užívat zkratku s.j.

Věta 6.2 (Vlastnosti hustoty) Nechť fX(x) je hustota rozdělení pravděpo-

dobnosti náhodné veličiny X. Pak platí:

a) fX(x) =ddxFX(x) s. j.

b)∫∞−∞ fX(x)dx = 1

c) P (a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a) =∫ b

afX(x)dx pro libovolná reálná

čísla a, b, kde a ≤ b.

Důkaz. Všechny uvedené vlastnosti plynou z definice 6.5 a z vlastností dis-

tribuční funkce.

Příklad 6.4 Uvažujeme hypotetickou populaci ryb. Je známo, že funkce

umírání ryb závisí na kvadrátu délky života a že žádná ryba se nedožije více


než 10 let. Neboli F (x) je dána vztahem

F (x) =

0 x ≤ 0

(c · x)2 0 < x ≤ 10

1 x > 10

a) určeme konstantu c tak, aby F (x) byla distribuční funkce,

b) spočtěme hustotu umírání v rybí populaci,

c) spočtěme pravděpodobnost, že ryba zemře mezi 3. a 4. rokem života.

Řešení:

a)

F (10) = 1

(c · 10)2 = 1

c =1

10.

b)

f(x) =d( 1

10x)2

dx=

2

100x.

c) Pravděpodobnost můžeme spočítat buď z hustoty

P =

∫ 4

3

f(x)dx =

∫ 4

3

2

100xdx =

2

100

[x2

2

]4

3

=1

100[16− 9] =

7

100

nebo přímo z distribuční funkce

P = F [4]− F [3] = (1

104)2 − (

1

103)2 =

1

100[16− 9] =

7

100.

6.5. ZOBECNĚNÍ 73

Příklad 6.5 Určete koeficient c tak, aby funkce

f(x) = c · x2 · ex 0 ≤ x ≤ 1

0 jinde

byla hustotou nějaké náhodné veličiny.

Řešení:

Musíme najít c tak, aby ∫ ∞

−∞f(x)dx = 1.

Ze zadání funkce f(x) dostáváme, že

∫ ∞

−∞f(x)dx =

∫ 1

0

c · x2 · exdx.

Opakovaným užitím metody per partes dostaneme

∫ 1

0

c · x2 · exdx = c · (e− 2).

Aby daná funkce f(x) byla hustotou, musí platit

c(e− 2) = 1.

Z toho plyne

c =1

e− 2.

6.5 Zobecnění

Připomeňme nejprve, že míra je nějaká σ-aditivní množinová fce na (Ω,A),

tj.

(i) µ : A → [0,∞]


(ii) µ(∅) = 0

(iii) jsou-liAn ∈ A, n ≥ 1, po dvou disjunktní, pak µ(∪∞n=1An) =

∑∞n=1 µ(An).

Je-li µ(Ω) = 1, říkáme, že µ je pravděpodobnostní míra.

Každé borelovské množiněB ∈ B lze připsat pravděpodobnostní míru na (R,B)

µX(B) = P (X−1(B)) = P (ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B),

kterou nazýváme rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Položíme-

li speciálně B = (−∞, x], dostáváme distribuční funkci

P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x) = FX(x).

Vidíme, že mezi distribuční funkcí a rozdělením pravděpodobností existuje

vzájemně jednoznačný vztah.

Položíme-li B = (a, b];−∞ < a ≤ b < ∞, dostáváme

P (X ∈ (a, b]) = FX(b)− FX(a) = µF ([a, b)).

Tímto vztahem je jednoznačně definována Lebesquova-Stieltjesova míra

indukovaná distribuční funkcí F (resp. náhodnou veličinou X). Výše

uvedený vztah je definován pouze pro intervaly, ovšem to nám stačí pro

jednoznačné definování míry pro všechny Borelovské množiny. Neboli platí

P (X ∈ B) = µFX(B) =

∫

B

dµFX, ∀B ∈ B

a ∫

Ω

φ(X(ω))dP (ω) =

∫

R

φ(x)dµFX(x)

pro libovolnou měřitelnou fci φ, pro kterou existuje alespoň jeden z integrálů.

Poznámka 6.6 Integrál podle Lebesquovy-Stieltjesovy míry se někdy zkrá-

ceně zapisuje ∫

R

φ(x)dFX(x).

6.5. ZOBECNĚNÍ 75

Poznámka 6.7 Jelikož není naším záměrem vykládat teorii míry v tomto

textu, spokojíme se s intuitivním objasněním výše uvedených definic.

Je-li míra λ definována vztahem

λ([a, b]) = b− a, −∞ < a ≤ b < ∞,

pak se míře λ říká Lebesquova míra. Tato míra není konečná, a tudíž není

pravděpodobnostní. Integrál podle Lebesquovy míry∫φ(x)dλ(x) je zobec-

něním Riemanova integrálu∫φ(x)dx. Můžeme tedy s ním i tak pracovat.

Definujeme-li míru µ na omezeném intervalu [A,B] vztahem

µ([a, b]) =b− a

B − A, A ≤ a ≤ b ≤ B,

pak µ je již pravděpodobnostní míra.

Integrál podle míry µ pak vypočteme jako∫

φ(x)dµ(x) =

∫φ(x)

1

B − AI[A,B]xdx.

V obou těchto případech mají všechna x stejnou váhu. Lebesque - Stieltjesův

integrál nám navíc umožňuje dát různým x různou váhu, která je určena

přírůstkem distribuční funkce FX .

Je-li například X náhodná veličina definována v příkladě 6.3, pak distribuční

funkce FX má pouze dva skoky a žádné jiné přírůstky. Integrál podle µFXje

vlastně ∫φ(x)µFX

(x) =5

6φ(0) +

1

6φ(1).

Nemá-li naopak FX žádné skoky a je spojitá v každém bodě, má pak FX

derivaci f v každém bodě, a ta ukazuje přírůstek FX . Integrál podle µFXje

pak pouze ∫φ(x)µFX

(x) =

∫φ(x)f(x)dx.


Lebesque-Stieltjesův integrál je tedy zobecněním integrálu, kde x mají růz-

nou váhu, a sumy, kde jednotlivé sčítance mají také různou váhu.

Tyto úvahy nás vedou k rozdělení náhodných veličin na dva základní typy,

na diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny. Mohou se však vyskytovat

i jejich kombinace.

Příklad 6.6 Raketa se zaměřovacím systémem mine přesně určený cíl o Y

metrů, kde Y je náhodná vzdálenost od cíle mezi 0 a 30 metry. Zaměřujeme

střed budovy o průměru 10 metrů. Raketa způsobí poškození 1, pokud zasáhne

budovu, poškození se kontinuálně sníží o 10% za každý metr od budovy. Jaká

je pravděpodobnost, že budova dostane poškození alespoň 1/2.

Řešení:

Náhodná veličina X bude způsobené poškození. Distribuční funkce X má

dva skoky p1 = P (X = 1) = 5/30 = 1/6, p0 = P (X = 0) = 15/30 = 1/2,

v ostatních bodech je distribuční funkce spojitá, a tudíž:

F (x) =

0 x < 0

1/2 + x/3 0 ≤ x < 1

1 x ≥ 1

P (X ≥ 1/2) = µF ([1/2, 1]) =

∫ 1+

1/2−dµF =

∫ 1

1/2

1/3dx+1/6 = 1/6+1/6 = 1/3.

Nyní si ještě uveďme existenční větu pro distribuční funkci, tj. větu, která

nám bude říkat, pro jakou funkci reálné proměnné existuje pravděpodob-

nostní prostor a na něm náhodná veličina tak, aby daná funkce byla její

distribuční funkcí.

6.6. ÚLOHY 77

Věta 6.3 Nechť funkce F : R → R má vlastnosti a), b), c) z věty 6.1. Pak

existuje pravděpodobnostní prostor (Ω,A, P ) a na něm definovaná náhodná

veličina X taková, že

FX(x) = F (x).

Důkaz. PoložmeΩ = R,

A = B,

P = µF ,

kde µF je Lebesque-Stieltjesova míra indukovaná funkcí F . Ještě položme

X(ω) = ω. Nyní máme

FX(x) = P (X ≤ x) = µF ((−∞, x]) = lima→−∞ µF ((a, x])= lima→−∞(F (x)− F (a)) = F (x), x ∈ R,

kde jsme použili spojitost konečné míry µF a vlastnost (b) distribuční funkce.

6.6 Úlohy

1. Nechť množina elementárních jevů je Ω = ω1, ω2, σ-algebru A defi-nujeme na množině Ω takto:

A = ∅, ω1, ω2,Ω.

Zjistěte, zda funkce X daná předpisem X(ω1) = 1, X(ω2) = 0 je

náhodná veličina. (Ano)

2. Hoďme jedenkrát kostkou. Množina elementárních jevů je Ω = ω1,

ω2, . . . , ω6, σ-algebru podmnožin množiny Ω definujeme takto:

A = ∅, ω2, ω1, ω3, ω4, ω5, ω6,Ω.


Najděte funkci, která bude náhodnou veličinou vzhledem k A.

(Např. X(ω2) = b,X(ω1) = X(ω3) = X(ω4) = X(ω5) = X(ω6) = c,

kde b, c jsou libovolné reálné konstanty takové, že b < c)

3. Někdy je distribuční funkce G náhodné veličiny X definovaná násle-

dovně:

G(x) = Pω ∈ Ω : X(ω) ≤ x.

Dokažte, že funkce G(x) je zprava spojitá.

4. Házíme pěti mincemi. Nechť náhodná veličina X znamená počet padlých

rubů.

(a) Najděte rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny.

(b) Sestrojte graf distribuční funkce.(P (X = x) =

(5x

)·(12

)x ·(12

)5−x, x = 0, 1, . . . , 5

)

5. Náhodná veličina X má distribuční funkci

FX(x) =

0 x ≤ 1(x− 1)2 1 < x ≤ 2

1 x > 2.

(a) Určete hustotu náhodné veličiny.

(b) Znázorněte graficky distribuční funkci.

(c) Určete P (1, 5 < X < 1, 75). (0,5)

6. Je dána funkce F :

F (x) = a+ b · arctanx2pro−∞ < x < ∞.

Určete:

(a) pro jaké hodnoty a, b je F distribuční funkce,

(b) hustotu pravděpodobnosti f ,

6.6. ÚLOHY 79

(c) P (α < X < β).(a = 1

2, b = 1

π, fX(x) =

2π·(

14+x2

), P (α < X < β) = 1

π·(arctan β

2−

arctan α2

))

7. Náhodná veličina X má hustotu

f(x) =

0 x ≤ −41π· 1√

42−x2 −4 < x < 4

0 x ≥ 4.

Určete distribuční funkci FX .

8. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar

f(x) =

0 x ≤ −1a√

1−x2 −1 < x < 1

0 x ≥ 1.

Určete:

(a) koeficient a,

(b) P (−12< X < 1

2).

( a) a = 1π, b) 1

3)

9. Zjistěte, pro jaká a, b je funkce

F (x) =1

1 + e−(a+bx), x ∈ R

distribuční funkcí. (a ∈ R, b > 0)

Chapter 7

Charakteristiky náhodnýchveličin

Z předešlé kapitoly víme, že pravděpodobnostní chování náhodné veličiny je

charakterizováno distribuční funkcí. Tato informace o náhodné veličině je sice

úplná, ale často značně nepřehledná. Pro řešení pravděpodobnostních úloh

je proto výhodné shrnout informaci o rozdělení náhodné veličiny do něko-

lika vhodných číselných charakteristik, které dostatečně výstižně popisují zá-

kladní vlastnosti tohoto rozdělení. V této kapitole se budeme zabývat pouze

nejběžněji používanými druhy charakteristik a způsoby jejich výpočtu.

Definice 7.1 Nechť X je náhodná veličina definovaná na pravděpodobnost-

ním prostoru (Ω,A, P ). Střední hodnotou EX náhodné veličiny X nazveme

integrál

EX =

∫ ∞

−∞xdFX(x), (7.1)

pokud tento integrál existuje.

Poznámka 7.1 Uvedeme speciální tvar definice 7.1 v případě, že náhodná

veličina je diskrétního, resp. absolutně spojitého typu.

80

81

a) Nechť X je diskrétní náhodná veličina nabývající reálných hodnot x1,

x2, x3, . . . , tzn. taková, že P (X = xi) = pi. Pak střední hodnota EX

náhodné veličiny X je tvaru

EX =∞∑

i=1

xi · pi, (7.2)

pokud řada v (7.2) konverguje.

b) Nechť X je absolutně spojitá náhodná veličina s hustotou fX . Pak

střední hodnota náhodné veličiny X je

EX =

∫ ∞

−∞xfX(x)dx, (7.3)

pokud integrál existuje.

Nyní ukážeme některé vlastnosti střední hodnoty. Nechť X, Y,Xn, n =

1, 2, . . . jsou náhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru (Ω,A, P ),

a, b jsou reálné konstanty. Z definice 7.1 je patrné, že střední hodnota má

všechny vlastnosti (Lebesqueova-Stieltjesova) integrálu, proto platí:

1) střední hodnota konstanty je konstanta

Ea = a

2) absolutní integrovatelnost

EX < ∞ ⇔ E|X| < ∞

3) linearita

E(aX + bY ) = aEX + bEY

4)

X ≥ 0 s.j. ⇒ EX ≥ 0

82 CHAPTER 7. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN

5) monotonie

X1 ≤ X ≤ X2 s.j. ⇒ EX1 ≤ EX ≤ EX2

6)

|EX| ≤ E|X|

7)

|X| ≤ Y s.j., EY < ∞ ⇒ EX < ∞

8) integrace člen po členu

∞∑

n=1

E|Xn| < ∞ ⇒ E(∞∑

n=1

Xn) =∞∑

n=1

EXn

9) Fatouovo lemma

Xn ≥ 0 s.j. ⇒ E(lim infn→∞

X) ≤ lim infn→∞

EX

I když vlastnosti 1) - 9) vyplývají z obecných vlastností (L-S) integrálu, lze

je dokázat i přímo. V případě, že X je diskrétní náhodná veličina, využijeme

vlastností sumy. V případě, že X je absolutně spojitá náhodná veličina,

využijeme vlastností Riemanova či Lebesqueova integrálu.

Věta 7.1 Nechť X je náhodná veličina a nechť φ : R → R. Pak platí

Eφ(X) =

∫ ∞

−∞φ(x)dFX(x), (7.4)

pokud jeden z integrálů existuje.

Má-li náhodná veličina X diskrétní rozdělení xn, pnn∈N0, pak

Eφ(X) =∑

n∈N0

φ(xn)pn, (7.5)

83

pokud jedna ze stran rovnosti existuje.

Má-li náhodná veličina X absolutně spojité rozdělení s hustotou f , potom

Eφ(X) =

∫ ∞

−∞φ(x)f(x)dx, (7.6)

pokud jeden z integrálů existuje.

Definice 7.2 Nechť n je přirozené číslo, n-tý moment náhodné veličiny X

je definován jako E(Xn); n-tý absolutní moment jako E(|X|n); n-tý centrálnímoment jako E[(X − EX)n].

Právě definované momenty můžeme vyjádřit pomocí Lebesque-Stieltjesových

integrálů:

E(Xn) =

∫ ∞

−∞xndFX(x), E(|X|n) =

∫ ∞

−∞|x|ndFX(x),

E[(X − EX)n] =

∫ ∞

−∞(x− EX)ndFX(x)

Vzorce pro speciální případy opět získáme nahrazením dFX(x) pomocí f(x)dx

v absolutně spojitém případě a nahrazením integrálu pomocí vážené sumy

s váhami pn v diskrétním případě.

Poznámka 7.2

a) Z předešlé definice vidíme, že střední hodnota je první moment.

b) První centrální moment je vždy roven nule, neboť

E(X − EX) = EX − E(EX) = EX − EX = 0.


Definice 7.3 Druhý centrální moment náhodné veličiny X se nazývá rozptyl,

označuje se obvykle var X (z anglického ”variance”)

var X = E(X − EX)2.

Rozptyl je druhou nejdůležitější charakteristikou náhodné veličiny. Z jeho

definice vidíme, že existence střední hodnoty je nutnou podmínkou k existenci

rozptylu. Číslo var X je vždy nezáporné a rovná se nule právě tehdy, když

P (X = c) = 1, c je konstanta. Vzhledem k tomu, že rozptyl udává variabilitu

náhodné veličiny ve čtvercích jejích jednotek, používá se také často druhé

odmocniny z rozptylu, tzv. směrodatné odchylky

s =√var X,

která měří variabilitu v původních jednotkách náhodné veličiny.

Nyní si odvodíme nejdůležitější vlastnosti rozptylu náhodné veličiny X.

1) Nechť X je náhodná veličina, pak var X počítáme nejčastěji pomocí

vzorce:

var X = E(X2)− (EX)2.

Důkaz:

var X = E(X − EX)2 = E[X2 − 2XEX + (EX)2] =

= EX2 − 2(EX)2 + (EX)2 = EX2 − (EX)2.

2) Nechť c je konstanta. Pak var c = 0.

Důkaz: Ec = c,

var (c− Ec)2 = var (c− c)2 = 0.

85

3) Nechť X je náhodná veličina, a a je reálné číslo. Pak

var (aX) = a2var X.

Důkaz:

var (aX) = E(aX − EaX)2 = E[a(X − EX)]2 =

= a2E(X − EX)2 = a2var X.

4) Nechť X je náhodná veličina a c je konstanta. Pak

var (X + c) = var X.

5) Nechť X je náhodná veličina, která má konečnou střední hodnotu a

konečný nenulový rozptyl. Nechť

Y =X − EX√var X

.

Pak EY = 0 a var Y = 1.

Lemma 7.2 Nechť existuje n-tý moment náhodné veličiny X, n > 0. Pak

pro libovolné ε > 0 platí:

P [|X| ≥ ε] ≤ E|X|nεn

.

Důkaz.E|X|n =

∫∞−∞ |x|ndFX(x) ≥

∫|x|≥ε

|x|ndFX(x) ≥

≥ εn∫|x|≥ε

dFX(x) = εnP [|X| ≥ ε].

Věta 7.3 (Čebyševova nerovnost) Nechť X je náhodná veličina s konečným

rozptylem. Pak pro libovolné ε > 0 platí

P [|X − EX| ≥ ε] ≤ var Xε2

.


Důkaz. V předchozím lemmatu položíme n = 2 a uvažujeme místo náhodné

veličiny X náhodnou veličinu X − EX.

Příklad 7.1 Uvažujeme absolutně spojitou náhodnou veličinu X, která má

hustotu f(x) =1

π(1 + x2)(Cauchyho rozdělení). Vypočtěte EX.

Řešení:

Nejprve je nutné ověřit, zda funkce f je hustota, tj. zda platí∫ ∞

−∞f(x)dx = 1.

∫ ∞

−∞

1

π

1

1 + x2dx =

1

π[arctan x]∞−∞ = 1.

Vidíme tedy, že f je hustota. Spočteme EX.

EX =

∫ ∞

−∞

1

π

x

1 + x2dx.

Z předchozího vztahu je zřejmé, že střední hodnota neexistuje. Odtud plyne,

že neexistuje ani rozptyl var X.

V některých situacích, jako například v předchozím příkladu je vhodné použí-

vat k popisu rozdělení další charakteristiky, kterých je celá řada. Jednou

z nich je tzv. medián x. Je to číslo, pro které platí

P (X ≤ x) ≥ 1

2a P (X ≥ x) ≥ 1

2.

Je nutné poznamenat, že medián není těmito podmínkami určen jednoznačně.

Pro již zmíněné Cauchyho rozdělení má medián hodnotu x = 0. Další charak-

teristikou rozdělení může být modus, který se obvykle značí x. Je-li diskrétní

rozdělení soustředěno v bodech x1, x2, . . . , je x ta hodnota, pro kterou platí

P (X = x) ≥ P (X = xi), ∀i = 1, 2, . . .

87

Je-li rozdělení absolutně spojité, za modus bereme takovou hodnotu x, pro

kterou platí

f(x) ≥ f(x), ∀x ∈ (−∞,∞).

Také modus nemusí být určen jednoznačně (najděte příklad).

Je-li F distribuční funkce, zaveďme funkci F−1 předpisem

F−1(u) = infx : F (x) ≥ u, 0 < u < 1.

Pak se F−1 nazývá kvantilová funkce odpovídající distribuční funkci F . Hod-

notám funkce F−1(u) se říká kvantily. Tedy α-kvantilem budeme nazývat

hodnotu F−1(α). Pokud F je rostoucí a spojitá, pak kvantilová funkce je in-

verzní funkcí k F . Odtud pochází i označení F−1. Kvantil F−1(0, 25), resp.

F−1(0, 75) bývá zvykem nazývat dolním, resp. horním kvartilem. Kvantilové

charakteristiky se používají zřídka a jsou užitečné zejména tehdy, kdy nelze

užít momentů.

Příklad 7.2 Podle úmrtnostních tabulek USA (1978 až 1979) je pravděpodob-

nost úmrtí 32 leté ženy během jednoho roku rovna 0,001819. Pojišťovna

nabízí ženám tohoto věku, že při ročním pojistném 100 USD vyplatí pozůstalým

v případě úmrtí pojištěnce 25 000 USD. Jaký zisk může pojišťovna očekávat,

jestliže takovou pojistku uzavře 5 000 žen uvedeného věku?

Řešení:

Zisk (či ztrátu) pojišťovny v případě uzavření jedné pojistky označíme jako

náhodnou veličinu Xi, i = 1, . . . , 5000. Její střední hodnota je

EXi = 100 · 0, 998181− 24900 · 0, 001819 = 99, 8181− 45, 2931 = 54, 525.

Uzavře-li pojišťovna 5 000 takových pojistek, je její očekávaný zisk roven

střední hodnotě náhodné veličiny

Y =5000∑

i=1

Xi,


a tedy vzhledem k nezávislosti Xi

EY = E( 5000∑

n=1

Xi

)= 5000 EX i = 272625.

Očekávaný zisk pojišťovny je pak 272625 USD.

Příklad 7.3 Označme dobu čekání rybáře na úlovek (v minutách) jako náhod-

nou veličinu X. Předpokládejme, že tato náhodná veličina má hustotu pravdě-

podobnosti

f(x) = e−x pro 0 < x < ∞

0 jinak.

Určete střední hodnotu a rozptyl doby čekání rybáře na úlovek.

Řešení:

Nejdříve určíme střední hodnotu X.

EX =

∫ ∞

0

x · e−xdx = [x · (−e−x)]∞0 −∫ ∞

0

−e−xdx = 0 + [−e−x]∞0 = 1.

Rozptyl vypočítáme podle vzorce

var X = EX2 − (EX)2.

Nejdříve určíme EX2.

EX2 =∫∞0

x2 · e−xdx = [x2 · (−e−x)]∞0 −∫∞0

−2xe−xdx =

= 0 + 2 ·∫∞0

xe−xdx = 2 · EX = 2.

Odtud

var X = 2− 12 = 1.

Příklad 7.4 Určete modus x následujících náhodných veličin:

7.1. ÚLOHY 89

1. diskrétní veličiny X s rozložením pravděpodobnosti

pn = (1

2)n pro n = 1, 2, . . .

0 jinak

2. spojité náhodné veličiny s hustotou

f(x) =x2e−x

2, x ∈ (0,∞), f(x) = 0 jinde.

Řešení:

1. Je zřejmé, že∞∑

n=1

pn =∞∑

n=1

(1

2)n = 1,

a proto pn je rozdělení pravděpodobnosti. Dále vidíme, že

pn =1

2, p2 =

1

4, . . .

Jelikož pro rostoucí n pravděpodobnost pn geometricky klesá, je modus

x = 1.

2. Ke stanovení x v případě spojitého rozdělení je nutné najít maximum

hustoty. Vyřešíme tedy průběh funkce hustoty f(x). Jelikož v krajních

bodech intervalu (0,∞) je limita f(x) rovna nule, vyšetříme body, kdef ′(x) = 0.

f ′(x) = xe−x − x2e−x

2= 0.

Odtud x = 2. Jelikož f ′′(2) = −e−2 < 0, dostáváme, že modus x = 2.

7.1 Úlohy

1. Nechť t > 0. Dokažte, že z podmínky E|X|t < ∞ plyne E|X|s < ∞pro 0 ≤ s ≤ t.


2. Najděte takové diskrétní a spojité rozdělení, kde není medián určen

jednoznačně.

3. Vyšetřete, pro které hodnoty µ má hustota

f(x) =1

2√2π

(e−

(x−µ)2

2 e−(x+µ)2

2

)

dvě maxima.

4. Zkoušený přístroj je složen z pěti prvků. n-tý prvek se porouchá

s pravděpodobností

pn = 0, 2 + 0, 1(n− 1).

Poruchy jednotlivých prvků jsou nezávislé. Určete střední hodnotu a

rozptyl počtu porouchaných prvků.

5. Zkouší se n přístrojů. Pravděpodobnost poruchy je u všech přístrojů

stejná a rovná se p. Určete střední hodnotu počtu přístrojů, které se

během zkoušky porouchají.

6. V loterii je m1 výher o hodnotě k1, m2 výher o hodnotě k2, . . . , mn

výher o hodnotě kn. Celkem je N losů. Určete cenu losu tak, aby

střední hodnota výhry na jeden los byla rovna polovině jeho ceny.

7. V urně je m bílých a n černých koulí. Koule se vytahují tak dlouho,

dokud se neobjeví bílá koule. Koule se po vytažení vrací zpět. Určete

střední hodnotu a rozptyl počtu vytažených koulí.

8. Mějme náhodnou veličinu X s hustotou

f(x) =x

a2e

−x2

2a2 (x ≥ 0)

(Rayleighovo rozdělení).

Určete střední hodnotu, rozptyl, centrální momenty třetího a čtvrtého

řádu.

7.1. ÚLOHY 91

9. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X s hustotou

f(x) =1

π√a2 − x2

(−a ≤ x ≤ a).

10. Ukradený automobil se za dobu t najde s pravděpodobností

p(t) = 1− e−γt (γ > 0).

Určete střední hodnotu doby hledání, potřebné k nalezení automobilu.

11. Dokažte, že za předpokladu

limx→−∞

(xF (x)

)= 0 a lim

x→∞

(x(1− F (x)

))= 0

platí pro střední hodnotu náhodné veličiny rovnost

EX =

∫ ∞

0

(1− F (x)

)dx−

∫ ∞

0

F (x)dx.

*13. Pokud EX2 = 1 a E|X| ≥ a > 0, pak

P (|X| ≥ λa) ≥ (1− λ)2a2 pro všechna 0 ≤ λ ≤ 1.

Dokažte.

*14. Nechť c je konstanta, c > 0. Pak E|X| < ∞ právě tehdy, když∞∑

n=1

P (|X| ≥ cn) < ∞.

Navíc, pokud řada konverguje pro nějakou hodnotu c, konverguje pro

všechny hodnoty c.

*15. Najděte náhodné veličiny Xn, pro které je ve Fatouově lemmatu ostrá

nerovnost.

Chapter 8

Příklady diskrétních náhodnýchveličin

1. Nula - jedničkové (alternativní) rozdělení.

Tak budeme nazývat rozdělení náhodné veličiny X, která nabývá jen

hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi 1−p a p. Číslo p se nazývá parametr

alternativního rozdělení, 0 < p < 1. Příkladem alternativně rozdělené

náhodné veličiny je např. počet jedniček, které padnou při jednom hodu

kostkou, počet vadných kusů při náhodném výběru jednoho výrobku,

vybavení či nevybavení náhodně vybrané domácnosti internetem atd.

Distribuční funkce alternativního rozdělení je dána výrazem

F (x) =

0 pro x < 01− p pro 0 ≤ x < 11 pro x ≥ 1.

Střední hodnota EX = p. Rozptyl var X = p(1− p) (dokažte). Alter-

nativní rozdělení s parametrem p budeme zkráceně označovat A(p).

2. Binomické rozdělení.

Je to rozdělení náhodné veličinyX, která nabývá hodnot k = 0, 1, 2, . . . , n.

Binomické rozdělení je jednoznačně určeno dvěma parametry: přiro-

92

93

zeným číslem n a číslem p ∈ (0, 1). Pro binomické rozdělení s parame-

try n, p budeme užívat zkráceného značení Bi(n; p). Binomickým

rozdělením se řídí např. náhodná veličina X, která je rovna počtu

úspěchů v posloupnosti n nezávislých alternativních pokusů, kde pravděpodob-

nost úspěchu v každém pokusu je p, 0 < p < 1.

Tedy

X =n∑

i=1

Xi,

kde

Xi = 1 pokud v i-tém pokuse nastal úspěch,

0 pokud úspěch nenastal.

X je součtem n alternativních náhodných veličin. Vzhledem k nezávis-

losti Xi je hledaná pravděpodobnost pk tvaru

pk =(nk

)pk(1− p)n−k pro k = 0, 1, . . . , n.

æ æ ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ æ æà à à à à à à à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

5 10 15

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Figure 8.1: Pravděpodobnosti pk binomického rozdělení. Bi(16; 0, 5) - kruhy,Bi(16; 0, 8) - čtverce.

Pravděpodobnosti pk splňují podmínky pro pravděpodobnostní rozdělení,

neboť platí:

a) pk ≥ 0, ∀k,b)∑n

k=0 pk =∑n

k=0(nk)p

k(1− p)n−k = [(1− p) + p]n = 1.

94 CHAPTER 8. DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

Název binomické rozdělení vyplývá ze skutečnosti, že pravděpodobnost

pk je členem binomického rozvoje. Distribuční funkce F (x) je tvaru

F (x) =

0 x < 0∑0≤k≤x

(nk

)pk(1− p)n−k 0 ≤ x ≤ n

1 x > n.

Rozdělení Bi(n; p) má střední hodnotu np a rozptyl np(1− p).

EX =n∑

k=0

k

(n

k

)pk(1− p)n−k =

= npn∑

k=1

(n− 1)!

(k − 1)!(n− k)!pk−1(1− p)n−k =

= npn−1∑

j=0

(n− 1

j

)pj(1− p)n−1−j = np(p+ (1− p)n−1

= np.

Pro výpočet rozptylu užijeme vztahu

var X = EX(X − 1) + EX − (EX)2,

EX(X − 1) =n∑

k=0

k(k − 1)

(n

k

)pk(1− p)n−k =

= n(n− 1)p2n∑

k=2

(n− 2)!

(k − 2)!(n− k)!pk−2(1− p)n−k =

= n(n− 1)p2n−2∑

j=0

(n− 2

j

)pj(1− p)n−2−j

= n(n− 1)p2.

var X = n(n− 1)p2 + np− n2p2 = np(1− p).

95

3. Hypergeometrické rozdělení HGeom(n,M,N)

se používá místo binomického rozdělení v experimentech, ve kterých

n představuje počet tahů bez vracení (u binomického je n počet tahů

s vracením) z osudí majícího N prvků, z nichž M prvků představuje

při vytažení úspěch (u binomického by M/N = p) Hypergeometrické

rozdělení pak představuje počet úspěchů v tomto experimentu.

P (X = k) =

(Mk

)(N−Mn−k

)(Nn

) , k = 0, 1, . . . , n.

EX = nM

N, Var(X) = n

M

N

(1− M

N

)N − n

N − 1.

4. Poissonovo rozdělení

je rozdělení náhodné veličiny X, která nabývá hodnot k = 0, 1, 2, . . .

s pravděpodobnostmi

pk = e−λλk

k!.

Číslo λ > 0 je parametr Poissonova rozdělení. Vidíme, že pro takto

definované pravděpodobnosti pk jsou splněny podmínky

a) pk ≥ 0, ∀k = 0, 1, 2, . . . ,

b)∑∞

k=0 pk =∑∞

k=0λke−λ

k!= e−λ

∑∞k=0

λk

k!= 1,

a tedy pk je rozdělení pravděpodobnosti.

Distribuční funkce je tvaru

F (x) =

0 pro x < 0∑

0≤j≤x e−λ λj

j!pro 0 ≤ x < ∞.

Střední hodnota Poissonova rozdělení je rovna parametru λ, tj. EX =

λ, neboť

EX =∑∞

k=1 ke−λ λk

k!= λ

∑∞k=1 e

−λ λk−1

k−1!=

= λe−λ

∞∑

j=0

λj

j!= λ.


æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ æ æ æ æà à à

à

à

à

à

à

à

à à

à

à

à

à

à

à

5 10 15

0.05

0.10

0.15

Figure 8.2: Pravděpodobnosti pk Poissonova rozdělení. Po(5) - kruhy, Po(10)- čtverce.

Pro výpočet rozptylu užijeme vztahu

var X = EX(X − 1) + EX − (EX)2,

EX(X − 1) =∞∑

k=0

k · (k − 1)λk

k!e−λ = e−λ · λ2 ·

∞∑

k=2

λk−2

k − 2!=

= e−λλ2

∞∑

j=0

λj

j!= λ2,

var X = λ2 + λ− λ2 = λ.

Vidíme tedy, že u Poissonova rozdělení je také rozptyl roven λ.

Poissonovo rozdělení je limitním případem binomického rozdělení pro

n → ∞, p → 0, np → λ (=konstanta). Vyšetřeme k-tý člen binomic-

kého rozdělení pro speciální případ n → ∞, a p → 0 tak, že np = λ:

limn→∞

(n

k

)(λ

n)k(1− λ

n)n−k =

= limn→∞

n(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!(λ

n)k(1− λ

n)n(1− λ

n)−k

=λk

k!limn→∞

(1− 1

n)(1− 2

n) . . . (1− k − 1

n)(1− λ

n)−k lim

n→∞(1− λ

n)n,

97

první limita je rovna 1, druhá limita je e−λ, čímž dostáváme přímo tvar

pk Poissonova rozdělení.

Jelikož je Poissonovo rozdělení jednoznačně určeno parametrem λ > 0,

budeme pro něj užívat zkráceného značení Po(λ). Tímto rozdělením

se řídí náhodná veličina, kterou je počet výskytů sledovaného jevu

v určitém časovém intervalu délky t (předpokládejme, že jev může nas-

tat v kterémkoliv okamžiku a počet výskytů během časového intervalu

závisí jen na jeho délce a ne na jeho počátku ani na tom, kolikrát jev

nastoupil před jeho počátkem). Náhodnou veličinou, která má Pois-

sonovo rozdělení, je tedy např. počet vadných výrobků ve velké sérii,

je-li pravděpodobnost vadného výrobku velmi malá, počet zákazníků,

kteří přišli do prodejny v časovém intervalu t, počet telefonních zavolání

během nějakého časového intervalu atd.

4. Geometrické rozdělení

je rozdělení náhodné veličiny X, která nabývá hodnot k = 0, 1, 2, . . .

s pravděpodobnostmi pk = p(1 − p)k. Parametr p je z intervalu (0,1).

Je zřejmé, že všechna pk ≥ 0 a∑∞

k=0 pk = 1, neboť∞∑

k=0

pk =∞∑

k=0

p(1− p)k = p∞∑

k=0

(1− p)k = p1

1− (1− p)= 1.

Distribuční funkce geometrického rozdělení je tvaru

F (x) = 0 pro x < 0∑

0≤k≤x p(1− p)k pro x ≥ 0.

Vypočítáme střední hodnotu a rozptyl. Nejprve si však připomeneme

vzorce pro součet řad∞∑

k=1

kqk−1 =1

(1− q)2a

∞∑

k=2

k(k − 1)qk−2 =2

(1− q)3,

které se odvodí derivováním podle q vzorce pro součet geometrické řady∞∑

k=0

qk =1

1− q.


æ

æ

æ

ææ

æ æ æ æ

à

à

àà à à à à à

2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

Figure 8.3: Pravděpodobnosti pk geometrického rozdělení. Geom(0, 5) -kruhy, Geom(0, 8) - čtverce.

EX =∞∑

k=0

kp(1− p)k = p(1− p)∞∑

k=0

k(1− p)k−1 =

= p(1− p)1

(1− (1− p))2=

1− p

p.

EX(X − 1) =∞∑

k=2

k(k − 1)p(1− p)k =

= p(1− p)2∞∑

k=2

k(k − 1)(1− p)k−2 =

= p(1− p)2 · 2

(1− (1− p))3=

2(1− p)2

p2.

Odtud plyne, že

var X = EX(X−1)+EX−(EX)2 =2(1− p)2

p2+1− p

p−(1− p)2

p2=

1− p

p2.

Předpokládejme, že provádíme nezávislé pokusy a že pravděpodobnost

úspěchu v jednom pokuse je pro všechny pokusy stejná a je rovna p.

Pak vidíme, že náhodná veličina (počet pokusů do prvního úspěchu) se

řídí geometrickým rozdělením. Název tohoto rozdělení vyplývá ze skutečnosti,

že s rostoucími hodnotami k pravděpodobnosti pk geometricky klesají.

99

Příklad 8.1 Jaká je pravděpodobnost, že mezi čtyřmi po sobě narozenými

dětmi budou

a) první dva chlapci, další dvě dívky

b) právě dva chlapci, víme-li, že pravděpodobnost narození chlapce je 0,515?

c) Zjistěte, kolik se musí narodit dětí, aby pravděpodobnost, že mezi nimi

bude alespoň jeden chlapec, byla větší nebo rovna 0,99.

Řešení:

a) Náhodná veličina X, tj. počet narozených chlapců, má Bi(4; 0, 515).

Jelikož je pořadí narození chlapců a dívek určeno pevně, je hledaná

pravděpodobnost

(0, 515)2 · (0, 485)2 = 0, 062388.

b) V této situaci na pořadí narození nezáleží, musíme uvažovat všechny

možnosti, kterých je(42

). Výsledná pravděpodobnost je

p2 =

(4

2

)(0, 515)2(0, 485)2 = 0, 37425.

c) Počet dětí, mezi kterými bude s pravděpodobností větší nebo rovnou

0,99 alespoň jeden chlapec, určíme následovně:

1− P (narození n dívek) ≥ 0, 99

p(0) = P (narození n dívek) = (0, 485)n

1− (0, 485)n ≥ 0, 99

n ≥ log 0,01log 0,485

n ≥ 7.


Příklad 8.2 Víme, že pravděpodobnost vypěstování zdravé sazenice ze se-

mena je 0,62. Za náhodnou veličinu X budeme považovat počet zdravých

sazenic vypěstovaných z 27 semen. Určete

a) jaký je nejpravděpodobnější počet zdravých rostlin a jaká je jeho pravdě-

podobnost,

b) střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X.

Řešení:

Předpokládejme, že semena klíčí a rostliny rostou nezávisle na sobě. Potom

je ze zadání příkladu zřejmé, že náhodná veličina X má Bi(27; 0, 62).

a) Máme nalézt nejpravděpodobnější hodnotu náhodné veličiny X, tzn.

modus x. Z definice x plyne, že

P (x− 1)

P (x)≤ 1,

P (x+ 1)

P (x)≤ 1.

Protože X má Bi(27; 0, 62), dostáváme odtud, že

(27x−1)(0, 62)x−1(1− 0, 62)27−x+1

(27x )(0, 62)x(1− 0, 62)27−x≤ 1,

(27x+1)(0, 62)x+1(1− 0, 62)27−x−1

(27x )(0, 62)x(1− 0, 62)27−x≤ 1,

nebolix

27− x+ 1

1− 0, 62

0, 62≤ 1,

27− x

x+ 1

0, 62

1− 0, 62≤ 1.

101

Z obou rovnic vyjádříme x a dostáváme

x ≤ 17, 36,

x ≥ 16, 36.

Nejpravděpodobnější počet sazenic, které vypěstujeme z 27 semen, je

17.

Pravděpodobnost, že vypěstujeme právě 17 sazenic, je

p17 = (2717)(0, 62)17(0, 38)10 = 0, 1566.

b) Dle vzorců pro výpočet střední hodnoty a rozptylu binomického rozdělení

dostávámeEX = 27 · 0, 62 = 16, 74,

var X = 27 · 0, 62 · 0, 38 = 6, 3612.

Příklad 8.3 Předpokládejme, že mladá dravá ryba přežije, pokud uloví rybu

alespoň jednou za dva dny. Během dvou dnů podnikne 8 zápasů s pravděpo-

dobností ulovení p = 0, 25. Jaká je pravděpodobnost, že dravá ryba nezemře?

Řešení:

Naše dravá ryba přežije, jestliže poprvé zvítězí během 8 zápasů. Neboli

hledaná pravděpodobnost je součet

8∑

k=1

P (poprvé zvítězí v k-tém zápase).

Tyto pravděpodobnosti se řídí geometrickým rozdělením s parametrem p,

dostáváme tedy∑7

k=0 pk =∑7

k=0 p(1− p)k =∑7

k=0 0, 25 · 0, 75k.=

= 14+ 3

16+ 9

64+ 27

256+ 81

1024+ 243

4096+ 729

16384+ 2187

65536

.= 0, 90.


To znamená, že naše ryba má 10% šanci, že zemře, než se jí podaří se znovu

najíst.

Porovnejme nyní střední počet neúspěšných soubojů, neboli EX, kde X ∼Geom(0, 25) s nejpravděpodobnějším počtem neúspěšných soubojů, neboli

modusem x.

EX =1− p

p=

0, 75

0, 25= 3.

x = 0, protože p0 = 14> pk =

14· (3

4)k, k = 1, 2, . . .

Příklad 8.4 Na nádraží mají být instalovány automaty na prodej jízdenek,

které po vhození příslušné mince vydají během 10 sekund žádanou jízdenku.

Předpokládejme, že v době největší frekvence bude chtít použít automat v prů-

měru 6 osob za minutu. Kolik automatů je nutné instalovat, aby s pravděpodob-

ností větší než 0,95 byl v době největší frekvence obsloužen každý zájemce

okamžitě?

Řešení:

Náhodnou veličinou X bude počet zákazníků během 10 sekund v době nej-

větší frekvence. Jestliže střední počet zájemců během minuty je λ = 6,

má veličina X zřejmě Poissonovo rozdělení s parametrem tλ = 16· 6 = 1.

Hledáme nyní nejmenší hodnotu x, pro kterou platí, že ji náhodná veličina

X nepřekročí s pravděpodobností větší než 0,95, tzn. nejmenší hodnotu, pro

kterou platí

P (X ≤ x) > 0, 95.

Protože

P (X ≤ 0) = e−1 = 0, 367879

P (X ≤ 1) = e−1 + e−1 = 0,735759

8.1. ÚLOHY 103

P (X ≤ 2) = e−1 + e−1 + e−1

2= 0,919698

P (X ≤ 3) = e−1 + e−1 + e−1

2+ e−1

6= 0,981011,

musíme tedy instalovat nejméně 3 automaty, aby s pravděpodobností větší

než 0,95 byl každý zájemce obsloužen okamžitě.

8.1 Úlohy

1. Výrobce dodává výrobky balené po 15 kusech. Předpokládá, že každý

balíček, v němž je alespoň jeden výrobek vadný, bude reklamován, a

zaručil se, že při reklamaci vrátí peníze. Je známo, že pravděpodobnost

vyrobení kvalitního výrobku je 0,95 a že náklady na 1 balíček jsou 2

dolary. Jakou cenu musí výrobce stanovit, aby mohl očekávat zisk 23%?

(5.31 dolaru)

2. Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je

pravděpodobnost, že během 4 minut zapojí ústředna

(a) právě jeden hovor,

(b) alespoň dva hovory,

(c) alespoň dva hovory a nejvýše pět hovorů?

(a) 0,3678, b) 0,2642, c) 0,2636)

3. Účastník volá telefonní ústřednu v době největšího zatížení linky, kdy

pravděpodobnost, že linka nebude obsazena, je 0,25. Jednotlivé pokusy

o spojení opakuje po několika minutách tak dlouho, dokud není spojen.

Určete

(a) pravděpodobnost toho, že dosáhne spojení až při pátém pokusu,


(b) střední hodnotu a rozptyl počtu neúspěšných pokusů do okamžiku,

kdy je navázáno spojení.

(a) 0,0791, b) 3, 12)

4. Hráč hází hrací kostkou tak dlouho, dokud nepadnou tři šestky. Jaká je

pravděpodobnost, že hráč bude muset hodit kostkou desetkrát? (0,0465)

5. Střední hodnota počtu poruch vysílače za 10 000 hodin jeho činnosti

je rovna 10. Určete pravděpodobnost poruchy zařízení za 100 hodin

činnosti. (0,095)

6. Na telefonní ústřednu je napojeno 326 účastníků. Každý z nich bude

ústřednu volat během hodiny s pravděpodobností 0,01. Jaká je pravdě-

podobnost, že během hodiny zavolají

(a) 4 účastníci,

(b) alespoň 6 účastníků,

(c) nejvýše 2 účastníci?

7. Korektura 500 stránek knihy obsahuje 500 tiskových chyb. Určete prav-

děpodobnost toho, že na namátkou vybrané stránce jsou

(a) alespoň 3 chyby,

(b) právě 1 chyba,

(c) nejvýše 2 chyby.

8. Během hodiny přijde do výčepu průměrně 60 hostů. Jaká je pravděpo-

dobnost toho, že během půl minuty, ve které nikdo neobsluhuje, nepři-

jde žádný zákazník? (0,61)

9. Určete pravděpodobnost toho, že mezi 136 výrobky jsou

(a) alespoň 3 vadné výrobky,

8.1. ÚLOHY 105

(b) nejvýše 10 vadných výrobků,

jestliže víme, že vadné výrobky tvoří průměrně 2,6% produkce.

10. Z důvodu ušetření peněz na drahých krevních testech během druhé svě-

tové války přišla armáda s následujícím plánem. Místo testování krve

každého vojáka smíchali krev skupiny vojáků a otestovali směs. Jestliže

byl test negativní, věděli, že všichni vojáci ve skupině jsou negativní.

Jestliže byl test pozitivní, museli otestovat každého vojáka samostatně.

Za jakých podmínek ušetří tento test peníze oproti testování každého

vojáka samostatně?

11. Restaurace dává ke každému jídlu kartičku s obrázkem jednoho hráče

místního týmu. Pokaždé, když jdete do restaurace, obdržíte náhodně

jednu kartičku.

(a) Jestliže karty zobrazují basketbalisty (5 hráčů základní sestavy),

kolikrát musíte jít v průměru do restaurace, abyste získali od všech

hráčů alespoň jednu kartičku?

(b) Jestliže karty zobrazují baseballisty (9 hráčů základní sestavy),

kolikrát musíte jít v průměru do restaurace, abyste získali od všech

hráčů alespoň jednu kartičku?

Chapter 9

Příklady spojitých náhodnýchveličin

1. Rovnoměrné rozdělení na intervalu [a, b]

je dáno hustotou

f(x) = 1

b−aa ≤ x ≤ b,

0 x < a, x > b.

Distribuční funkce je

F (x) =

0 x < a,x−ab−a

a ≤ x ≤ b

1 x ≥ b.

Střední hodnota a rozptyl jsou:

EX =a+ b

2, var X =

1

12(b− a)2,

dokažte. Toto rozdělení budeme označovat U(a, b) (z angl. ”uniform”).

S rovnoměrným rozdělením se setkáváme např. při vyšetřování chyb

ze zaokrouhlování v numerických výpočtech. Jsou-li čísla vstupující

do výpočtů nekonečné desetinné zlomky, jež se zaokrouhlují na k de-

setinných míst, pak lze chybu ze zaokrouhlení považovat za náhodnou

veličinu s rovnoměrným rozdělením na intervalu [−5·10−k−1, 5·10−k−1].

106

107

2. Exponenciální rozdělení.

Hustota pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení je

f(x) = 1

λe−

xλ x > 0

0 jinak.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure 9.1: Graf hustoty exponenciálního rozdělení - plná čára Exp(1), čárko-vaná Exp(1/2), čerchovaná Exp(2).

Distribuční funkce je

F (x) = 0 pro x ≤ 0

1− e−xλ x > 0,

kde λ je parametrem rozdělení. Ověřme nejprve, zda f(x) je hustota.

Vidíme, že f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.∫ ∞

−∞f(x)dx =

∫ ∞

0

1

λe−

xλdx = 1.

Střední hodnota EX = λ a rozptyl var X = λ2. Exponenciální rozdělení

Exp(λ) je vhodným modelem ”doby čekání” do nastoupení určitého

jevu, např. doby životnosti určitého zařízení, a to tehdy, jestliže rozdělení

zbývající doby čekání nezávisí na tom, jak dlouho již čekáme. Říká se

tomu, že exponenciální rozdělení nemá paměť. Přesně je tato vlastnost

popsána tvrzením:

108 CHAPTER 9. SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY

Věta 9.1 Má-li náhodná veličina X exponenciální rozdělení, pak

P (X > x+ y|X > y) = P (X > x), ∀x > 0, y > 0.

Důkaz. Nechť X ∼ Exp(λ), pak P (X > x) = e−xλ a P (X > x+ y|X >

y) můžeme podle definice podmíněné pravděpodobnosti přepsat na

P (X > x+ y)

P (X > y)=

e−(x+y)

λ

e−yλ

= e−xλ .

2. Normované normální rozdělení

je definováno hustotou

f(x) =1√2π

e−x2

, −∞ < x < ∞.

Jeho distribuční funkce se tradičně značí písmenem Φ.

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt, −∞ < x < ∞.

Na obrázku 9.2 je znázorněn graf hustoty pravděpodobnosti f(x) (plná

čára), tzv. Gaussova křivka, která je symetrická kolem nuly a v nule

také dosahuje svého maxima 1√2π.

Střední hodnota EX = 0 je zároveň mediánem i modusem tohoto

rozdělení. Při výpočtech budeme užívat vzorce∫ ∞

−∞e−y2dy =

√π. (9.1)

Ověřme nejprve, že f(x) je hustota. Vidíme, že f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.

∫∞−∞ f(x) =

∫∞−∞

1√2πe−

x2

2 dx =

= 1√2π

∫∞−∞

√2 e−y2dy = 1,

a tedy f(x) je hustota.

109

Střední hodnota a všechny liché momenty jsou rovny nule, tj.

EX = EX2k−1 = 0, k = 1, 2, 3, . . . ,

neboť funkce1√2π

x2k−1e−x2

2

je lichá a integrovatelná v R. Jelikož EX = 0, je var X = EX2.

Ukažme, že var X = 1 a že obecně sudé momenty jsou rovny

EX2k = 1 · 3 · 5 · . . . · (2k − 1) =(2k)!

2kk!, k = 1, 2, 3, . . . (9.2)

Proveďme v (9.1) substituci y = x√

t2a dostáváme

∫ ∞

−∞e−

tx2

2 dx =

√2π

t. (9.3)

Pro vztah (9.3) lze užít větu o derivaci podle parametru. Postupným

derivováním (9.3) podle t dostáváme

1√2π

∫ ∞

−∞x2e−

tx2

2 dx = t−32 ,

obecně po k derivacích dostáváme

1√2π

∫ ∞

−∞x2ke−

tx2

2 dx = 1 · 3 · . . . · (2k − 1) · t− 2k+12 , (9.4)

výsledek (9.2) pak plyne z (9.4) položením t = 1.

3. (Obecné) normální rozdělení.

Toto rozdělení je definováno hustotou

f(x) =1√

2π σ2e−

(x−µ)2

2σ2 , −∞ < x < ∞,

kde µ reálné a σ2 kladné jsou parametry.


-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

Figure 9.2: Graf hustoty normálního rozdělení - plná čára N(0, 1), čárkovanáN(0, 2), tečkovaná N(0, 1/2).

Distribuční funkci

F (x) =1√2π σ

∫ x

−∞e−

(t−µ)2

2σ2 dt, −∞ < x < ∞ (9.5)

lze vyjádřit pomocí funkce Φ jako Φ(x−µσ

), provedeme-li v integrálu

(9.5) substituci t−µσ

= v. Dokažte, že střední hodnota EX = µ a rozptyl

var X = σ2 a že všechny liché centrální momenty (kromě prvního) jsou

nulové, tj.

E(X − EX)2k−1 = 0, k = 2, 3, . . . ,

a sudé centrální momenty jsou

E(X − EX)2k = 1 · 3 · 5 · . . . · (2k − 1)σ2k, k = 1, 2, . . .

Normální rozdělení je jednoznačně určeno střední hodnotou µ a rozpty-

lem σ2, je zvykem ho označovat jakoN(µ, σ2) (dle této úmluvy pak nor-

mované normální rozdělení označíme N(0, 1)). Normální rozdělení má

mimořádný význam v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice,

přestože se tímto rozdělením řídí přesně jen málo náhodných veličin.

V následujících paragrafech bude dokázáno, že součet velkého počtu

nezávislých náhodných veličin (o jejichž rozdělení se činí jen velmi

obecné předpoklady) má přibližně normální rozdělení, tím lze vysvětlit

111

klíčovou roli tohoto rozdělení v teorii pravděpodobnosti a matematické

statistice. Náhodné veličiny, s nimiž se v reálném světě setkáváme,

lze velmi často považovat za výslednice působení velkého počtu drob-

ných náhodných vlivů. Pak lze očekávat, že normální rozdělení bude

vhodným modelem pro takové náhodné veličiny. Nejběžnějším typem

takových veličin jsou náhodné chyby (chyby měření, způsobené velkým

počtem neznámých a vzájemně nezávislých příčin). Normální rozdělení

je vhodným modelem pro řadu fyzikálních, technických a biologických

veličin jako například tělesná výška jedinců homogenní populace, roční

částka, kterou pojišťovna vyplatí za pojistné příhody atd. Jelikož

se s normálním rozdělením velmi často pracuje a výpočet distribuční

funkce je zdlouhavý, jsou hodnoty distribuční funkceN(0, 1) tabelovány

(viz Kapitola 13). Vzhledem k symetrii funkce Φ (Φ(x) = 1− Φ(−x))

se tabelují hodnoty Φ pouze pro nezáporné x.

Pro vyjádření dalších rozdělení si zopakujme definice Gama a Beta

funkce.

Γ(a) =

∫ ∞

0

xa−1 · e−xdx, a > 0

Vlastnosti: Γ(a+ 1) = a · Γ(a), Γ(12) =

√π

B(a, b) =Γ(a) · Γ(b)Γ(a+ b)

4. Pearsonovo rozdělení

Nechť náhodné veličiny U1, U2,. . ., Uk jsou nezávislé a mají normované

normální rozdělením N(0,1). Pak

χ2k =

k∑

i=1

U2i

má tzv. rozdělení χ2 (čtěte chi kvadrát) s k stupni volnosti a s hustotou

(pro u > 0) tvaru

fk(u) =1

Γ(k/2) · 2k/2 · u(k/2)−1 · e−u/2, u > 0.


Eχ2k = k, Var χ2

k = 2k.

10 20 30 40

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

Figure 9.3: Graf hustoty Pearsonova rozdělení - plná čára χ210, čárkovaná χ

220,

tečkovaná χ25.

5. Studentovo rozdělení

Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny, a to náhodnou veličinu U s

normovaným normálním rozdělením N(0,1) a náhodnou veličinu V s

rozdělením χ2 s k stupni volnosti. Pak veličina

Tk =U√V

·√k

má Studentovo rozdělení t s hustotou tvaru

fk(t) =1

B(12, k2) ·

√k· (1 + t2

k)−(k+1)/2, t ∈ R

s k stupni volnosti.

ETk = 0, Var Tk =k

k − 2, tk →k→∞ Φ.

6. Fisherovo-Snedecorovo rozdělení

Nechť dvě nezávislé náhodné veličiny mají rozdělení χ2, a to U s k

113

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

Figure 9.4: Graf hustoty Studentova rozdělení - plná čára N(0,1), čárkovanát10, tečkovaná t5.

stupni volnosti, kdežto náhodná veličina V s n stupni volnosti. Pak

náhodná veličina

Fk,n =U/k

V/n

má Fisherovo-Snedecorovo rozdělení s k a n stupni volnosti a hustotou

fk,n(z) =1

B(k2, n2)·(k

n

)k/2

· z(k−2)/2

(1 + z · kn)(k+n)/2

, z > 0.

EFk,n =n

n− 2, Var Fk,n =

2n2(n+ k − 2)

(n− 2)2(n− 4)k.

Příklad 9.1 Prodejna očekává dodávku zboží v určitý den v době od 12 do

16 hodin. Podle sdělení dodavatele je uskutečnění dodávky stejně možné

kdykoliv během tohoto časového intervalu. Jaká je pravděpodobnost, že zboží

bude dodáno v době od jedné hodiny do půl druhé?

Řešení:

Náhodná veličina - doba dodání zboží - X ∼ U(12, 16). Odtud

P (13 ≤ X ≤ 13, 5) =

∫ 13,5

13

1

4dx =

13, 5− 13

4= 0, 125.


0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

Figure 9.5: Graf hustoty Fisherova-Snedecorova rozdělení - plná čára F10,10,čárkovaná F20,10, tečkovaná F5,10.

Příklad 9.2 Autobusy městské dopravy odjíždějí ze stanice v sedmiminu-

tových intervalech. Cestující může přijít na stanici v libovolném okamžiku.

Jaká je střední hodnota a rozptyl doby jeho čekání na odjezd autobusu ze sta-

nice?

Řešení:

Doba čekání na odjezd autobusu je náhodná veličina s rovnoměrným rozdělením

v intervalu (0,7). Z vlastností rovnoměrného rozdělení plyne, že

EX = 0+72

= 3, 5,

var X = (7−0)2

12= 49

12= 4, 08.

Příklad 9.3 Z dlouhodobých měření je známo, že radiomagnetofon Sony má

poruchu v průměru jednou za 10 000 hodin. Předpokládejme, že ”doba čekání

na poruchu” je náhodná veličina X s exponenciálním rozdělením. Stanovme

hodnotu t tak, aby pravděpodobnost, že radiomagnetofon bude pracovat delší

dobu než t, byla 0,99.

Řešení:

P (X > t) = 1− P (X ≤ t) = 1− F (t) = 0, 99,

115

neboli

F (t) = 0, 01.

Z definice distribuční funkce exponenciálního rozdělení je patrné, že X ∼Exp(10000), a tedy

0, 01 = 1− e−t

10000 .

Odtud po úpravět = −10000 · ln 0, 99t = 100, 5.

Příklad 9.4 Do obchodu přijde průměrně 60 zákazníků za 1 hodinu. Jaká

je pravděpodobnost, že do obchodu nepřijde žádný zákazník během 12min.,

ve které je prodavač nepřítomen.

Řešení: Tuto úlohu můžeme řešit s využitím jak Poissonova rozdělení, tak

exponenciálního rozdělení.

a) Náhodná veličina X čekání na příchod dalšího zákazníka má exponen-

ciální rozdělení. Parametr λ = 1, protože EX = λ a ze zadání víme, že

v průměru přijde 60 zákazníků za 1 hodinu. Hledaná pravděpodobnost

je pak

P (X >1

2) = 1− P (X ≤ 1

2) = 1− (1− e−

121 ) = e−

12 .

b) Náhodná veličina Y počet zákazníků, kteří přijdou do obchodu během12min., má Poissonovo rozdělení. Parametr λ = 1

2, protože EY = λ

a ze zadání víme, že během 12min. přijde v průměru 1

2zákazníka.

Hledaná pravděpodobnost je pak

P (Y = 0) = e−12 · (

12)0

0!= e−

12 .


Příklad 9.5 Víme, že populace určitého druhu květin dorůstá výšky X s nor-

málním rozdělením N(20, 16). Spočtěte pravděpodobnost, že náhodně vy-

braná květina má výšku

a) menší než 16,

b) větší než 20,

c) v mezích od 12 do 28,

d) menší než 12 nebo větší než 28,

e) rovnu 22.

Řešení:

Provedeme transformaci veličiny X na normovanou veličinu U = x−204a

stejně upravíme i druhou stranu nerovnosti.

a)P (X < 16) = P (U < 16−20

4) = P (U < −1) = Φ(−1) =

= 1− Φ(1) = 1− 0, 84134 = 0, 15866

b)P (X > 20) = P (U > 20−20

4) = P (U > 0) =

= 1− Φ(0) = 0, 5

c)P (12 ≤ X ≤ 28) = P (12−20

4≤ U ≤ 28−20

4) =

= P (−2 ≤ U ≤ 2) = Φ(2)− Φ(−2) =

= Φ(2)− [1− Φ(2)] = 2Φ(2)− 1 =

= 2 · 0, 97725− 1 = 0, 95450

9.1. ÚLOHY 117

d)P (X < 12) + P (X > 28) = 1− P (12 ≤ X ≤ 28) =

= 1− 0, 95450 = 0, 04550

e)

P (X = 22) = 0.

9.1 Úlohy

1. Náhodná veličinaX představující chybu měření má rozděleníN(0, 2; 0, 64).

Určete

(a) pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličinyX bude menší než

1,

(b) horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodob-

ností 0,95.

( a) 0,77453; b) 1,516)

2. Dokažte, že pro každé reálné x platí

Φ(x) =1

2+

1√2π

e−x2

2 (x

1+

x3

1 · 3 +x5

1 · 3 · 5 + . . .).

3. Náhodná veličina X s normálním rozdělením má nulovou střední hod-

notu. Určete rozptyl X tak, aby P (a < X < b) byla maximální

(0 < a < b).

4. Životnost určitého výrobku se řídí exponenciálním rozdělením se střední

hodnotou 3 roky. Jak dlouhou záruční dobu poskytne výrobce zákazníkům,

jestliže žádá, aby relativní četnost výrobků, které během záruční doby

přestanou plnit svou funkci, byla v průměru 0,1? (0,32 roku)


5. Stanovte střední dobu obsluhy v prodejně, víte-li, že pravděpodobnost

obsloužení v době kratší než 4 minuty je 0,2592. Předpokládejte, že

doba obsluhy má exponenciální rozdělení. (10 minut)

6. Při kontrole se přijímají všechny výrobky, jejichž délka přesahuje 77

cm. Bylo zjištěno, že střední hodnota délky výrobku (náhodné veličiny

X) µ je 75 cm a směrodatná odchylka (odmocnina z rozptylu) σ je

5 cm. Za předpokladu, že sledovaná náhodná veličina má přibližně

normální rozdělení, určete

(a) pravděpodobnost, že výrobek, který prošel kontrolou, je delší než

80 cm,

(b) kolik výrobků delších než 80 cm můžeme očekávat, jestliže kon-

trolou je přijato 2 261 kusů.

7. Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina U s rozdělením N(0, 1)

nabude hodnoty

(a) menší než 1,64,

(b) větší než -1,64,

(c) v mezích od -1,96 do 1,96,

(d) větší než 2,33,

(e) menší než -2,33?

( a) 0,9495; b) 0,9495; c) 0,9500; d) 0,0099; e) 0,0099)

8. Jestliže náhodná veličina X má rozdělení N(µ, σ2) takové, že P (X <

85) = 0, 9 a P (X < 95) = 0, 95, jaké jsou hodnoty µ a σ2? (49.7, 758.9)

Chapter 10

Náhodný vektor, nezávislostnáhodných veličin

10.1 Distribuční funkce

Definice 10.1 Nechť (Ω,A, P ) je pravděpodobnostní prostor a nechť na tomto

prostoru jsou definovány náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn. Pak vektor X =

(X1, . . . , Xn) nazýváme náhodný vektor.

Poznámka 10.1 Náhodný vektor je tedy zobrazení z Ω do Rn. Hodnoty

náhodného vektoru je možno geometricky interpretovat jako bod v n-rozměrném

prostoru.

Podobně jako u náhodné veličiny je chování náhodného vektoru

X = (X1, . . . , Xn)T popsáno distribuční funkcí, kterou též nazýváme sdruže-

nou distribuční funkcí náhodných veličin X1, . . . , Xn.

Definice 10.2 Nechť X = (X1, . . . , Xn)T je náhodný vektor definovaný na pra-

vděpodobnostním prostoru (Ω,A, P ). Distribuční funkcí FX náhodného vek-

119

120 CHAPTER 10. NÁHODNÝ VEKTOR

toru X nazveme reálnou funkci n proměnných definovanou na Rn vztahem

FX(x1, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn) =

= P (∩ni=1ω : Xi(ω) ≤ xi), −∞ < xi < ∞, i = 1, . . . , n.

(10.1)

Definujme n-rozměrný interval (a, b], a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn).

jako

(a, b] = ×ni=1(ai, bi].

Dále ∆k,n bude značit množinu(nk

)n-tic (z1, . . . , zn) takových, že každé zi

je rovno ai nebo bi, přičemž první možnost nastává právě k-krát (a druhá

tedy (n− k)-krát), ∆ = Unk=0∆k,n značí množinu všech 2n vrcholů intervalu

(a, b], δ značí libovolný z těchto vrcholů.

Věta 10.1 (Vlastnosti distribuční funkce) Nechť FX je distribuční funkce

náhodného vektoru X = (X1, . . . , Xn)T . Potom FX má tyto vlastnosti:

a) FX(x1, . . . , xn) je neklesající funkce v každé ze svých proměnných při

pevných hodnotách ostatních proměnných.

b) FX(x1, . . . , xn) je zprava spojitá v každé proměnné.

c) limxi→−∞ FX(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . , n, hodnoty xj jsou pevné ∀j 6=i, j = 1, . . . , n.

d) limx1→∞ FX(x1, . . . , xn) = 1.

x2→∞...

xn→∞


e) pro (a, b] jen∑

k=0

(−1)k∑

δ∈∆n,k

FX(δ) ≥ 0.

Vlastnosti a), b), c), d) se dokazují stejně jako ve větě 6.1, vlastnost e) je

dokázána např. v [4]. Každá reálná funkce n proměnných definovaná na Rn

s vlastnostmi a) - e) je distribuční funkcí nějakého náhodného vektoru.

Nyní se budeme zabývat náhodnými vektory diskrétního a spojitého typu.

Definice 10.3 Náhodný vektor X má diskrétní rozdělení, jestliže existuje

posloupnost xk∞k=1, xk ∈ Rn a odpovídající posloupnost kladných čísel

pk∞k=1 taková, že ∞∑

k=1

pk = 1, (10.2)

kde

pk = P [X = xk] = P (ω ∈ Ω : X(ω) = xk).

Distribuční funkce náhodného vektoru X diskrétního typu má následující

tvar:

FX(x) =∑

k:xk≤xpk, ∀x ∈ Rn, (10.3)

kde xk ≤ x znamená xk ∈ (−∞, x].

Definice 10.4 Náhodný vektor X = (X1, . . . , Xn)T má absolutně spojité

rozdělení, jestliže existuje nezáporná funkce fX n reálných proměnných taková,

že

FX(x1, . . . , xn) =

∫ x1

−∞. . .

∫ xn

−∞fX(t1, . . . , tn)dt1, . . . , dtn, (10.4)

kde funkci fX nazýváme hustotou rozdělení pravděpodobnosti náhodného vek-

toru X, nebo též sdruženou hustotou náhodných veličin X1, . . . , Xn.


Pro hustotu f(x) platí, že

fX(x1, . . . , xn) =∂nFX(X1, . . . , Xn)

∂ x1 ∂ x2 . . . ∂ xn

(10.5)

ve všech bodech (x1, . . . , xn), ve kterých derivace existuje a∫

Rn

fX(x)dx =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞. . .

∫ ∞

−∞fX(x1, . . . , xn)dx1, . . . , dxn = 1. (10.6)

Distribuční funkci (resp. hustotu) části náhodného vektoruX nazveme margi-

nální distribuční funkcí (resp. hustotou). Uveďme si marginální distribuční

funkci vektoru (x1, . . . , xk), k = 1, . . . , n− 1.

F(X1,...,Xk)(x1, . . . , xk) = limxk+1→∞ FX(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn)

xk+2→∞...

n → ∞

Marginální distribuční funkce vektoru (X1, . . . , Xk), který je částí náhodného

vektoru X = (X1, . . . , Xn)T s absolutně spojitým rozdělením, je definována

F(X1,X2,...,Xk)(x1, x2 . . . , xk) =

∫ x1

−∞∫ x2

−∞ . . .∫ xk

−∞∫∞−∞ . . .

∫∞−∞∫∞−∞ fX(t1, . . . , tn)dtndtn−1 . . . dt1,

kde

fX(x1, . . . , xk) =∫∞−∞ . . .

∫∞−∞ fX(x1, . . . , xn)dxk+1dxk+2 . . . dxn

je marginální hustota vektoru (X1, . . . , Xk).

Existuje-li sdružená distribuční funkce (resp. sdružená hustota), existují vše-

chny marginální distribuční funkce (resp. marginální hustoty). Obrácené

10.2. CHARAKTERISTIKY NÁHODNÉHO VEKTORU 123

tvrzení obecně neplatí.

Podobně jako v jednorozměrném případě definujeme Lebesqueovu-Stieltje-

sovu míru µF indukovanou distribuční funkcí F předpisem

µF ((a,b]) =n∑

k=0

(−1)k∑

δ∈∆n,k

F (δ)

na polouzavřených intervalech (a, b] = Xni=1(ai, bi]; definici lze snadno jednoz-

načně rozšířit na všechny borelovské množiny Bn. Integrál podle Lebesquovy-

Stieltjesovy míry z funkce φ(x) budeme stejně jako v jednorozměrném případě

zapisovat ∫

Rn

φ(x)dFX(x).

10.2 Charakteristiky náhodného vektoru

Věta 10.2 Nechť X je náhodný vektor a nechť φ : Rn → R je reálná funkce.

Pak platí

Eφ(X) =

∫

Rn

φ(x)dFX(x),

pokud jeden z integrálů existuje. Speciálně

Eφ(X) =∞∑

m=1

φ(ωm)pm

pro diskrétní rozdělení a

Eφ(X) =

∫

R

φ(ω)f(ω)dx

pro absolutně spojité rozdělení.

Důkaz. Plyne z předchozích definic.


Předchozí věta nám umožňuje definovat kovarianci a korelaci náhodných

veličin.

Definice 10.5 Nechť X a Y jsou náhodné veličiny a EX2 < ∞, EY 2 < ∞.Kovariance cov(X, Y ) náhodných veličin X a Y je definována vztahem

cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ).

Koeficient korelace corr(X, Y ) je definován vztahem

corr(X, Y ) =cov(X, Y )√var X

√var Y

pro (var Xvar Y ) > 0.

Definice 10.6 Nechť X = (X1, . . . , Xn)T je náhodný vektor, jehož složky

mají konečný druhý moment. Varianční matice var X tohoto náhodného vek-

toru je definována jako matice typu n× n s prvky

cov(Xi, Xj) = E(Xi − EXi)(Xj − EXj), 1 ≤ i, j ≤ n,

Korelační matice corrX je matice s prvky

corr(Xi, Xj) =cov(Xi, Xj)√varXi

√varXj

, 1 ≤ i, j ≤ n.

Je zřejmé, že

cov(Xi, Xi) = var Xi, 1 ≤ i ≤ n

a

corr(Xi, Xi) = 1, 1 ≤ i ≤ n.

Nejčastěji používané číselné charakteristiky náhodného vektoru jsou střední

hodnota

EX = (EX1, . . . ,EXn)T

a varianční matice var X.

10.3. NĚKTERÁ MNOHOROZMĚRNÁ ROZDĚLENÍ 125

10.3 Některá mnohorozměrná rozdělení

1. Multinomické rozdělení

Multinomické rozdělení je zobecněním binomického rozdělení a je pa-

trně nejdůležitějším diskrétním mnohorozměrným rozdělením. Mějme

urnu a v ní kuličky k různých barev. Nechť pravděpodobnost vytažení

kuličky i-té barvy je rovna pi, i = 1, 2, . . . , k, přičemž

0 < pi < 1, p1 + p2 + . . .+ pk = 1.

Z této urny vybereme n-krát nezávisle po jedné kuličce (kuličky vracíme).

Označme Xi počet kuliček i-té barvy, které byly vybrány. Je zřejmé,

že náhodný vektor X = (X1, X2, . . . , Xk)T má sdruženou pravděpodob-

nostní funkci

P (X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xk = xk) =n!

x1!x2! . . . xk!px11 px2

2 . . . pxk

k

pro xi = 0, 1, . . . , n; i = 1, 2, . . . , k a x1 + x2 + . . .+ xk = n.

Parametry multinomického rozdělení jsou (n, p1, p2, . . . , pk). Multino-

mické rozdělení hraje významnou roli v matematické statistice.

Marginální rozdělení Xi je binomické rozdělení s parametry n, pi, i =

1, 2, . . . , k.

Střední hodnota je EXi = npi, i = 1, 2, . . . , k.

Prvky varianční matice jsou

var Xi = npi(1− pi), i = 1, 2, . . . , k, cov(Xi, Xj) = −npipj, i 6= j.

2. Obecné dvourozměrné normální rozdělení

Normální rozdělení může být i vícerozměrné, pro jednoduchost uvedeme

pouze dvourozměrný případ.


N2

((µ1, µ2)

T ,

(σ21 ρσ1σ2

ρσ1σ2 σ22

))je rozdělení náhodného vektoru (X, Y )T

s hustotou

f(x, y) =1

2π√

σ21σ

22(1− ρ2)

×

× exp− 1

2(1− ρ2)(x− µ1)

2

σ21

− 2ρx− µ1

ρ1

y − µ2

σ2

+

+(y − µ2)

2

σ22

, (x, y) ∈ R2,

kde µi ∈ R, σ2i > 0, i = 1, 2, ρ ∈ (−1, 1) jsou parametry. Výraz

v exponentu lze také psát jako

−1

2

(x− µ1

y − µ2

)T (σ21 ρσ1σ2

ρσ1σ2 σ22

)−1(x− µ1

y − µ2

).

-4

-2

0

2

4-2

-1

0

1

2

0.00

0.05

0.10

0.15

Figure 10.1: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozděleníN((0, 0)T ,

(2 11 1

)).

10.4. NEZÁVISLÉ NÁHODNÉ VELIČINY 127

Marginální rozdělení X a Y jsou N(µ1, σ21) a N(µ2, σ

22) a

(σ21 ρσ1σ2

ρσ1σ2 σ22

)

je varianční matice vektoru (X, Y )T ; ρ je koeficient korelace corr(X, Y ).

Normujeme-li X a Y , pak dvojice veličin W = (X−µ1)σ1

a Z = (Y−µ2)σ2

má normované dvourozměrné normální rozdělení N2((0, 0)T ,

(1 ρρ 1

)).

10.4 Nezávislé náhodné veličiny

Závěr kapitoly věnujeme nezávislosti náhodných veličin X1, . . . , Xn.

Definice 10.7 Náhodné veličiny X1, X2 . . . , Xn jsou vzájemně nezávislé,

jestliže

P (∩rj=1ω : Xij < xij) = Πr

j=1P (ω : Xij < xij) (10.7)

∀i1, i2, . . . , ir ⊂ 1, 2, . . . , n, 1 ≤ r ≤ n, ∀x ∈ Rn.

Poznámka 10.2 Podobně jako u náhodných jevů můžeme zde definovat nezá-

vislost náhodných veličin X1, X2 . . . , Xn po dvou. Definici nezávislosti po

dvou bychom dostali z definice 10.7 pro r = 2.

Ověřovat nezávislost náhodných veličin podle výše uvedené definice by bylo

dosti náročné, proto si uvedeme kritéria, podle nichž se ověřuje nezávislost

náhodných veličin v praxi.

Věta 10.3 Nechť náhodný vektor X = (X1, X2 . . . , Xn)T má sdruženou dis-

tribuční funkci FX(x1, x2 . . . , xn). Nechť FXi(xi) je marginální distribuční


funkce náhodné veličiny Xi, i = 1, 2, . . . , n. Pak náhodné veličiny X1, X2 . . . , Xn

jsou nezávislé právě tehdy, když platí

FX(x1, x2 . . . , xn) = FX1(x1) · FX2(x2) . . . FXn(xn) (10.8)

∀(x1, x2 . . . , xn) ∈ Rn.

Důkaz. Jsou-li X1, X2 . . . , Xn nezávislé, pak podle definice 10.7 platí (10.7)

pro všechny podmnožiny i1, i2, . . . , ir ⊂ 1, 2, . . . , n, 1 ≤ r ≤ n, ∀x ∈Rn, tudíž podle definice distribuční funkce platí i (10.8).

Předpokládejme nyní, že platí (10.8). Vezměme si libovolnou podmnožinu

i1, i2, . . . , ir množiny 1, 2, . . . , n. Pak tvrzení věty plyne z definice margi-nální distribuční funkce.

Budeme-li uvažovat náhodný vektor X = (X1, X2 . . . , Xn)T absolutně spo-

jitého typu, pak nezávislost jeho složek budeme ověřovat podle následujícího

kritéria.

Věta 10.4 Nechť X = (X1, X2 . . . , Xn)T je náhodný vektor absolutně spo-

jitého typu. Náhodné veličiny X1, X2 . . . , Xn jsou vzájemně nezávislé právě

tehdy, platí-li

fX(x1, x2 . . . , xn) = fX1(x1) · fX2(x2) . . . fXn(xn) (10.9)

∀(x1, x2 . . . , xn) ∈ Rn.

Důkaz. Plyne z předchozí věty.

Pro ověření nezávislosti složek náhodného vektoru X diskrétního typu platí

toto kritérium:


Věta 10.5 Nechť X = (X1, X2 . . . , Xn)T je náhodný vektor diskrétního typu.

Náhodné veličiny X1, X2 . . . , Xn jsou vzájemně nezávislé právě tehdy, když

platí

P (X1 = x(i)1 , . . . , Xn = x(i)

n ) = Πnj=1P (Xj = x

(i)j ), (10.10)

kde x(i) = (x(i)1 , x

(i)2 , . . . , x

(i)n ), i = 1, 2, . . . jsou všechny výsledky náhodného

vektoru X = (X1, X2 . . . , Xn)T .

Důkaz. Plyne z věty 10.3.

Věta 10.6 Nechť X, Y jsou nezávislé náhodné veličiny s distribučními funk-

cemi FX , FY a Lebesque-Stieltjesovými měrami µFX, µFY

. Nechť φ : R2 → R

je reálná funkce, pak pro náhodnou veličinu Z = φ(X, Y ) platí

EZ =

∫

R

(

∫

R

φ(x, y)dµFY(y))dµFX

(x) =

∫

R

(

∫

R

φ(x, y)dFY (y))dFX(x),

je-li E|Z| < ∞.

Důkaz. Z věty 10.3 plyne, že pro Lebesque-Stieltjesovy míry nezávislých

náhodných veličin platí:

µFX,Y= µFX

· µFY.

Odtud dostáváme

EZ =∫R2 φ(x, y)dµFX,Y

(x, y) =

=∫R2 φ(x, y)dµFY

(y)dµFX(x)

a podle Fubiniovy věty dostaneme tvrzení věty.

Důsledek 10.7 Distribuční funkce náhodné veličiny Z je

G(z) =

∫ ∞

−∞(

∫

y:φ(x,y)≤zdµFY

(y))dµFX(x).


Důkaz. Nahradíme-li ve větě funkci φ(x, y) indikátorem I(x, y) ∈ R2;φ(x, y) ≤z), plyne tvrzení ihned.

Důsledek 10.8 Jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny s konečnými střed-

ními hodnotami, pak

a)

EXY = (EX)(EY ).

Jsou-li navíc EX2 < ∞ a EY 2 < ∞, pak

b)

cov(X, Y ) = 0

c)

var (aX + bY ) = a2var X + b2var Y

pro libovolná a, b ∈ R.

Důkaz.

a) Uvažujeme-li |x|I[|x|≤n]|y|I[|y|≤n], dostaneme pomocí Lévyho věty

E|XY | = E|X|E|Y | < ∞.

Můžeme tedy použít větu 10.3, ve které dosadíme za φ(x, y) = x · y.

b) (X−EX), (Y −EY ) jsou také nezávislé náhodné veličiny. Tudíž podle

a) dostáváme

cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) = E(X − EX)E(Y − EY ) = 0.


c) Podle b) dostáváme

var (aX + bY ) = E(a(X − EX) + b(Y − EY ))2 =

= a2E(X − EX)2 + b2E(Y − EY )+

+2abE(X − EX)(Y − EY ) =

= a2var X + b2var Y + 0.

Platí-li cov(X, Y ) = 0, pak říkáme, že náhodné veličiny jsou nekorelované.

Z nekorelovanosti ještě neplyne nezávislost! Výjimku tvoří normální rozdělení,

pro nějž platí ekvivalence mezi nekorelovaností a nezávislostí.

Příklad 10.1 Dvojice součástek má dobu života popsánu hustotou

fX,Y (x, y) =

12e−x− y

2 pro x > 0, y > 0,

0 jinak.

(i) Jaká je pravděpodobnost toho, že druhá součástka přežije první?

(ii) Jaká je pravděpodobnost toho, že druhá součástka bude žít alespoň

dvakrát déle, než první?

(iii) Spočtěte marginální hustoty.

(iv) Určete, zda jsou složky X a Y nezávislé.

(v) Určete E(X, Y ) a variační matici


Řešení:

(i) Pravděpodobnost je dána integrálem∫∞0

∫∞x

12e−x− y

2 dy dx =

=∫∞0

12e−x(

∫∞x

e−y2 dy)dx =

∫∞0

12e−x[−2 · e− y

2 ]∞x dx =

=∫∞0

12e−x · 2e−x

2 dx =∫∞0

e−32xdx =

= [−23e−

32x]∞0 = 2

3.

(ii) Pravděpodobnost je dána integrálem∫ ∞

0

∫ ∞

2x

1

2e−x− y

2 dy dx =1

2,

který vypočteme stejně jako v předchozím případě.

(iii)fX =

∫∞0

fX,Y (x, y)dy =

=∫∞0

12e−x− y

2 dy = 12e−x · [−2e−

y2 ]∞0 =

= e−x.

fY (y) =∫∞0

fX,Y (x, y)dx =

=∫∞0

12e−x− y

2 dx = 12e−

y2 · [−e−x]∞0 =

= 12e−

y2 .

(iv) Složky jsou nezávislé právě tehdy, když fX,Y (x, y) = fX(x)·fY (y), ∀x, y,což podle (iii) platí.

(v)

EX =

∫ ∞

0

xfX(x)dx =

∫ ∞

0

x · e−xdx = 1


EY =

∫ ∞

0

yfY (y)dy =

∫ ∞

0

y · 12e−

y2 dy = 2

var X = EX2 − (EX)2, var Y = EY 2 − (EY )2

EX2 =

∫ ∞

0

x2 · e−xdx = 2

EY 2 =

∫ ∞

0

y2 · 12e−

y2 dy = 8

var X = 2− 12 = 1

var Y = 8− 22 = 4

cov(X, Y ) = EXY − (EX) · (EY )

EXY =∫∞0

∫∞0

x · y 12e−x− y

2 dx dy =

=∫∞0

y 12e−

y2 ·∫∞0

x12e−xdx dy =

=∫∞0

12e−

y2 dy ·

∫∞0

x12e−xdx = (EY ) · (EX) ⇒

⇒ cov(X, Y ) = 0.

Jinak:

Z nezávislosti X, Y plyne okamžitě cov(X, Y ) = 0.

Variační matice je tedy rovna

var (X, Y ) =

(1 00 4

).

Příklad 10.2 Určete kovarianci složek náhodného vektoru (X, Y )T , který

má rovnoměrné rozdělení v trojúhelníku ohraničeném přímkami x = 0, y =

0, x + y = c, kde c > 0 je dána konstanta (uvnitř tohoto trojúhelníku je

hustota rovna vhodné konstantě, jinak je hustota nulová).

Řešení: Daný trojúhelník je pravoúhlý, rovnoramenný, jehož odvěsny mají

délku c.


Obsah trojúhelníka S = 12c2.

fX,Y = 2c2na daném trojúhelníku.

Spočtěme nejprve marginální hustoty:

fX(x) =

∫ c−x

0

2

c2dy =

2(c− x)

c2, x ∈ (0, c)

fY (y) =

∫ c−y

0

2

c2dx =

2(c− y)

c2, y ∈ (0, c)

Vidíme, že X a Y nejsou nezávislé, protože

2(c− x)

c2· 2(c− y)

c26= 2

c2.

Spočtěme tedy EX, EY a EXY .

EX =∫ c

0x · 2(c−x)

c2dx = 2

c2· [ cx

2− x3

3]c0 =

= 2c2[ c

3

2− c3

3] = c

3

EY = EX =c

3

EXY =∫ c

0

∫ c−x

0x · y 2

c2dy dx =

= 2c2·∫ c

0x · [y2

2]c−x0 dx = 1

c2

∫ c

0x(c− x)2dx =

= 1c2[ c

2x2

2− 2cx3

3+ x4

4]c0 =

1c2[ c

4

2− 2

3c4 + c4

4] =

= 112c2.

cov(X, Y ) = − c2

36.

Spočtěme ještě korelační koeficient X, Y .

corr(X, Y ) =cov(X, Y )√var X · var Y

EX2 =∫ c

0x2 · 2(c−x)

c2dx = 2

c2[ cx

3

3− x4

4]c0 =

= 2c2[ c

4

3− c4

4] = 1

6c2

10.5. ÚLOHY 135

var X = EX2 − (EX)2 = c2 · (16− 1

9) =

1

18c2 = var Y.

corr(X, Y ) = −136c2√

( 118c2)2

= −1

2

Příklad 10.3 Rozdělení minima a maxima

Nechť Xi, 1 ≤ i ≤ n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se

spojitou distribuční funkcí F . Nalezněte distribuční funkci náhodné veličiny

U = max1≤i≤n Xi a náhodné veličiny V = min1≤i≤n Xi.

Řešení: Z nezávislosti X1, . . . , Xn dostaneme

FU (u) = P (U < u) = P (X1 < u,X2 < u, . . . , Xn < u) =

= Πni=1P (Xi < u) = (P (X1 < u))n = (F (u))n.

FV (v) = P (V < v) = 1− P (V ≥ v) =

= 1− P (X1 ≥ v,X2 ≥ v, . . . , Xn ≥ v) = 1− Πni=1P (Xi ≥ v) =

= 1− (P (X1 ≥ v))n = 1− (1− F (v))n.

10.5 Úlohy

1. Nechť je dána funkce

p(x, y) =

111(y − x) x = 1, 2, 3, y = x2 + 1

0 jinde

Dokažte, že daná funkce p(x, y) je rozdělení nějakého náhodného vek-

toru. Spočtěte střední hodnotu a varianční matici.

2. Určete konstantu c tak, aby funkce

f(x, y) =

c · x · y · e−x2−y2 (0,∞)× (0,∞)0 jinde


byla hustotou nějakého náhodného vektoru (X, Y )T . (c = 4)

3. Nechť sdružená hustota náhodného vektoru (R,Φ)T je

g(r,ϕ) =

12πσ2 · e−

r2

2σ2 · r · ϕ r ∈ (0,∞)ϕ ∈ (0, 2π)

0 jinde

(a) Najděte marginální hustoty náhodných veličin R,Φ.

(b) Zjistěte, zda náhodné veličiny R,Φ jsou nezávislé.

4. Je dána funkce

f(x, y) =

c · (x2 + y) · ex < 0, 1 > × < 0, 1 >0 jinde

(a) Najděte konstantu c tak, aby f(x, y) byla hustota nějakého náhod-

ného vektoru (X, Y )T . (c= 2(3e−5)

)

(b) Vypočítejte distribuční funkci náhodného vektoru (X, Y )T .

(c) Spočtěte střední hodnotu a varianční matici.

5. Házíme 10 krát po sobě hrací kostkou. Nechť náhodná veličina X zna-

mená počet šestek, které padnou při 10 hodech a náhodná veličina Y

znamená počet jedniček. Najděte rozdělení pravděpodobnosti náhod-

ného vektoru (X, Y )T . Spočtěte střední hodnotu a varianční matici.

6. Nechť náhodný vektor (X, Y )T má hustotu

f(x, y) =

1(b1−a1)(b2−a2)

a1 ≤ x ≤ b1a2 ≤ y ≤ b2

0 jinde

(Náhodný vektor (X, Y )T má dvourozměrné rovnoměrné rozdělení.)

Najděte distribuční funkci náhodného vektoru (X, Y )T . Spočtěte střední

hodnotu a varianční matici.

10.5. ÚLOHY 137

7. Najděte konstantu c tak, aby funkce

f(x, y, z) =

c · z 0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤√4− x2

0 ≤ z ≤√

4− x2 − y2

0 jinde

byla hustotou náhodného vektoru (X, Y, Z)T . (c= 4π)

8. Náhodný vektor (X, Y, Z)T má sdruženou hustotu

f(x, y, z) =

18(1 + x · y · z) −1 ≤ x ≤ 1

−1 ≤ y ≤ 1−1 ≤ z ≤ 1

0 jinde.

(a) Najděte marginální hustoty náhodných veličin X, Y, Z.

(b) Najděte marginální hustoty náhodných vektorů (X, Y )T , (X,Z)T ,

(Y, Z)T .

(c) Zjistěte, zda náhodné veličiny X, Y, Z jsou nezávislé po dvou a

zda jsou vzájemně nezávislé.

( a) f1(x) = f2(y) = f3(z) = 12, b) f12(x,y) = f13(x,z) = f23(y,z) = 1

4, c)

jsou nezávislé po dvou a nejsou vzájemně nezávislé)

9. n zaměstnanců jistého podniku obědvá v jedné ze tří restaurací, každý

zaměstnanec volí restauraci náhodně, kapacity restaurací jsou n1, n2,

a n3, kde ni ≥ n, i = 1, 2, 3. Odvoďte rozdělení (X1, X2, X3)T , kde

Xi je počet zaměstnancům kteří obědvají v i-té restauraci. Odvoďte

očekávaný počet neobsazených míst v jednotlivých restauracích.

10. Z urny obsahující 2 bílé koule a 2 černé koule vybíráme za sebou s vra-

cením 2 koule. Definujeme náhodné veličiny X1, X2 následovně:

X1 =

1 jestliže 1. tažená koule je bílá,

0 jinak;


X2 =

1 jestliže 2. tažená koule je bílá,

0 jinak;

Určete distribuční funkci vektoru (X1, X2)T a zjistěte, zda jsou náhodné

veličiny X1 a X2 nezávislé.

11. Nechť Xi, 1 ≤ i ≤ n jsou nezávislé náhodné veličiny, nabývající hodnot

±1, P (Xi = 1) = p, P (Xi = −1) = 1− p. Najděte rozdělení náhodné

veličiny Sn =∑n

i=1 Xi.

12. Nechť náhodné veličiny U, V mají diskrétní rozdělení určené následující

tabulkou

U \V 1 2 31 0,1 0,2 0,32 0,2 0,1 0,1

Najděte marginální rozdělení každé z obou náhodných veličin, jejich

střední hodnoty, rozptyly a kovarianci.

13. Nechť (X1, . . . , Xn)T je náhodný výběr z rovnoměrného rozdělení na (0,1).

Označme

U = max1≤i≤n

Xi, V = min1≤i≤n

Xi.

Stanovte distribuční funkce a hustoty náhodných veličin U a V .

Určete EU, var U,EV, var V.

14. Náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé a mají obě stejné exponenciální

rozdělení

f(x) =

λ exp−λx x ≥ 0,

0 x < 0.

10.5. ÚLOHY 139

Najděte distribuční funkci náhodné veličiny Z = max(X, Y ) a její

střední hodnotu. Jsou náhodné veličinymax(X, Y ) amin(X, Y ) nezávis-

lé?

Chapter 11

Funkce náhodných veličin

Při řešení některých pravděpodobnostních úloh se setkáváme se situací, kdy

známe rozdělení náhodné veličiny X a hledáme rozdělení náhodné veličiny

Y , která je funkcí veličiny X, tj.

Y = φ(X).

Věta 11.1 Nechť X je náhodná veličina s distribuční funkcí F a nechť φ :

R → R. Označme Y = φ(X) a G její distribuční funkci. Potom

G(y) =

∫

x;φ(x)≤ydF (x), ∀y ∈ R. (11.1)

Speciálně, je-li F diskrétní xn, pn, je

G(y) =∑

xn;φ(xn)≤ypn, ∀y ∈ R, (11.2)

a je-li absolutně spojitá s hustotou f , je

G(y) =

∫

x;φ(x)≤yf(x) dx, ∀y ∈ R. (11.3)

140

141

Důkaz. Označme By = ω;X(ω) ≤ y; máme tyto rovnosti:

G(y) = P (Y ≤ y) = P (φ(X) ≤ y) = P (X ∈ By) =

=∫By

dµF=∫x;φ(x)≤y dF (x).

Lemma 11.2 Nechť X je absolutně spojitá náhodná veličina s distribuční

funkcí F (x) a hustotou f(x). Nechť t je ryze monotónní funkce, která má

derivaci všude. Položme Y = t(X). Označme t−1 inverzní funkci k t. Pak

Y má hustotu

g(y) = f(t−1(y)) | t−1(y)′ | .

Důkaz. OznačmeG(y) distribuční funkci Y . Předpokládejme, že t je rostoucí.

Pak platí

G(y) = P (Y ≤ y) = P (t(X) ≤ y)) = P (X ≤ t−1(y)) = F (t−1(y)).

Vidíme, že G je spojitá a má derivaci všude, až nanejvýš s výjimkou konečně

mnoha bodů. Platí tedy

G′(y) = f(t−1(y))(t−1(y))′ = g(y),

kde g je hustota veličiny Y . V případě, že t je klesající, je důkaz analogický.

Příklad 11.1 a) X je náhodná veličina s distribuční funkcí F , Y = a +

bX, b 6= 0, G je distribuční funkce Y . Je-li b > 0, pak a + bX < Y je

ekvivalentní s X < Y−aba z (11.1) plyne, že

G(y) =

∫

x:x< y−ab

dF (x) = F (

y − a

b).

142 CHAPTER 11. FUNKCE NÁHODNÝCH VELIČIN

Naopak je-li b < 0, pak a + bX < Y je ekvivalentní s X > Y−aba

dostáváme, že

G(y) =

∫

x:x> y−ab

dF (x) = 1− F (

y − a

b− 0).

Má-li F hustotu f, potom G má hustotu g, kterou najdeme derivováním

předchozích rovnic. Dostaneme (pro b > 0 i b < 0) vztah

g(y) =1

|b| f(y − a

b).

b) Má-li X normované normální rozdělení a Y = µ+ σX, pak z a) plyne,

že Y má normální rozdělení s parametry µ a σ2.

c) Má-li X normální rozdělení s parametry µ, σ2 a je-li Y = a + bX, pak

z a) plyne, že Y má opět normální rozdělení s parametry a + bµ a b2σ2,

neboť

g(y) = 1√2π|b|σ exp

−(

y−ab

−µ)2

2σ2

=

= 1√2π|b|σ exp

− (y−(a+bµ))2

2σ2b2

.

d) Je-li hustota f náhodné veličiny X sudá funkce, tj. je-li f(x) = f(-x) pro

každé x, potom náhodné veličiny X a -X mají totéž rozdělení.

Položme Y = -X, tj. a = 0 a b = -1, z (11.1) plyne, že

g(y) = f(−y), tj. g(y) = f(y),

jelikož je f sudá funkce.

e) Je-li f hustota náhodné veličiny X sudá funkce, potom pro distribuční

funkci F platí

F (x) = 1− F (−x) ∀x ∈ R,

neboť

F (−x) =

∫ −x

−∞f(t)dt =

∫ ∞

x

f(t)dt = 1− F (x).

11.1. KONVOLUCE 143

f) Nechť X má normované normální rozdělení. Nechť Y = X2, potom Y

má hustotu

g(y) =

0 pro y < 0

1√2πy

e−y2 pro y ≥ 0.

Jelikož dle (11.1) platí

G(y) =∫x:φ(x)<y f(x)dx = 1√

2π

∫x:x2<y e

−x2

2 dx =

= 2√2π

∫ √y

0e−

x2

2 dx,

položme substituci x2 = t a dostáváme

G(y) =1√2π

∫ y

0

t−12 e−

t2dt.

Odtud je zřejmé, že hustota g(y) má výše uvedený tvar.

11.1 Konvoluce

Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny X a Y s distribučními funkcemi F (x)

a G(y). Zajímá nás rozdělení součtu Z = X+Y . Distribuční funkci náhodné

veličiny Z označme H(z). Pak platí

H(z) =∫ ∫

x+y≤zdF (x)dG(y) =

∫∞−∞ F (z − y)dG(y) =

=∫∞−∞ G(z − x)dF (x).

(11.4)

Rozdělení s distribuční funkcí H(z) se nazývá konvoluce rozdělení s dis-

tribučními funkcemi F (x) aG(y). H se nazývá konvoluce distribučních funkcí

F a G. Operaci konvoluce budeme značit H = F ∗G.

Operace konvoluce je zjevně komutativní a asociativní, neboť pro nezávislé

náhodné veličiny X1, X2, X3 platí

X1 +X2 = X2 +X1


a

X1 + (X2 +X3) = (X1 +X2) +X3.

Z toho plyne pro distribuční funkce

F1 ∗ F2 = F2 ∗ F1

a

F1 ∗ (F2 ∗ F3) = (F1 ∗ F2) ∗ F3.

Věta 11.3 Nechť náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé a mají absolutně

spojité distribuční funkce F(x) a G(y) s hustotami f(x) a g(y). Potom také

H = F ∗G je absolutně spojitá a pro její hustotu h(z) (tj. pro hustotu náhodnéveličiny Z = X + Y) platí

h(z) =

∫ ∞

−∞f(x)g(z − x)dx =

∫ ∞

−∞f(z − x)g(y)dy. (11.5)

Důkaz. Formule (11.4) je za našich předpokladů totožná s

H(z) =∫∞−∞( ∫ z

−∞ f(x− y)dx)dG(y) =

=∫ z

−∞( ∫∞

−∞ f(x− y)dG(y))dx.

Odtud derivováním dostaneme

h(z) =

∫ ∞

−∞f(z − y)dG(y)

a z toho plyne (11.5).

Navíc je vidět, že k absolutní spojitosti rozdělení náhodné veličiny Z = X+Y

stačí, aby bylo absolutně spojité rozdělení jedné z náhodných veličin X a Y

bez jakýchkoliv předpokladů o rozdělení druhé náhodné veličiny. Funkce h(z)

definovaná vztahem (11.5) se nazývá konvoluce hustot f(x) a g(y) a budeme

11.1. KONVOLUCE 145

ji značit h = f ∗ g. Je to skutečně hustota, neboť z (11.5) plyne, že h(z) ≥ 0

a ∫∞−∞ h(z)dz =

∫∞−∞∫∞−∞ f(x− y)g(y)dydx =

=∫∞−∞( ∫∞

−∞ f(x− y)dx)g(y)dy =

=∫∞−∞ 1 · g(y)dy = 1.

Diskrétní analogií vztahu (11.5) je následující věta.

Věta 11.4 Nechť F,G jsou diskrétní distribuční funkce se skoky v přirozených

číslech o velikosti pn, qn, tj.

F (x) =∑

0≤n<x

pn, G(y) =∑

0≤n<y

qn.

Nechť H = F ∗G. Potom H je diskrétní distribuční funkce se skoky v přiroze-ných číslech a platí

H(z) =∑

0≤n<z

hn, kde hn =∑

k=0

pk qn−k.

Důkaz. Věta plyne přímo po aplikaci věty o úplné pravděpodobnosti.

Nyní si uveďme některé příklady konvoluce rozdělení.

1. Konvoluce rovnoměrných rozdělení

Nechť

f(x) =

1b−a

pro a ≤ x ≤ b

0 jinaka

g(y) =

1d−c

pro c ≤ y ≤ d

0 jinak.


Předpokládejme, že d − c ≥ b − a. Pak pro konvoluci h(z) hustot

náhodných veličin s hustotami f(x) a g(y) platí

h(z) =

0 pro z ≤ a+ c nebo b+ d ≤ z

z−(a+c)(b−a)(d−c)

pro a+ c ≤ z ≤ b+ c

1d−c

pro b+ c ≤ z ≤ a+ d

(b+d)−z(b−a)(d−c)

pro a+ d ≤ z ≤ b+ d

Grafem je lichoběžník se základnou v ose x. Vidíme, že hustota h(z)

je všude spojitá, ačkoliv f(x) a g(y) mají body nespojitosti (konvoluce

”vyhlazuje” nespojitosti). Ve speciálním případě, kdy obě náhodné

veličiny X a Y mají stejné rozdělení (tj. a = c, b = d), má hustota

h(x) tvar trojúhelníku; toto rozdělení se nazývá Simpsonovo rozdělení.

2. Konvoluce binomických rozdělení

NechťX1,X2 jsou nezávislé náhodné veličiny. X1 má rozděleníBi(n1, p)

a X2 má rozdělení Bi(n2, p). Potom náhodná veličina Y = X1 + X2

má binomické rozdělení s parametry (n1 + n2, p).

3. Konvoluce Poissonových rozdělení

Nechť X1 má Po(λ1) a X2 má Po(λ2). Předpokládejme navíc, že X1 a

X2 jsou nezávislé. Potom náhodná veličina Y = X1+X2 má Poissonovo

rozdělení s parametrem λ1 + λ2.

4. Konvoluce normálních rozdělení

Nechť X1, X2 jsou nezávislé náhodné veličiny, X1 má N(µ1, σ21) a X2

má N(µ2, σ22). Potom Y = X1 +X2 má rozdělení N(µ1 + µ2, σ

21 + σ2

2).

5. Konvoluce exponencionálních rozdělení

Jsou-li X1, X2 nezávislé náhodné veličiny s týmž exponencionálním

rozdělením s parametrem λ > 0, pak náhodná veličina Y = X1 + X2

11.1. KONVOLUCE 147

má rozdělení s hustotou

f(y;λ) = λ2y exp−yλ y > 0,

0 y ≤ 0.

Příklad 11.2 Rozdělení průměru X

Uvažujme hypotetickou populaci lučních květin, o nichž víme, že výška květin

se řídí normálním rozdělením N(20,25). Spočtěte pravděpodobnost, že průměr-

ná výška spočtená z 20 náhodně vybraných květin se bude od 20 lišit o více

než 3 cm.

Řešení:

Máme X1, . . . , X20 nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s rozdě-

lením Xi ∼ N(20, 25). Konvoluce normálních rozdělení nám dá

20∑

i=1

Xi ∼ N(20 · 20, 20 · 25).

a po jednoduché lineární transformaci X = 120

·∑20i=1 Xi dostáváme, že

X ∼ N(20,25

20).

Hledaná pravděpodobnost je tedy P (X < 17)+P (X > 23). Standardizujeme-

li X na Y = N(0, 1) rozdělení, dostaneme

P

(X−20√

54

< 17−20√54

)+ P

(X−20√

54

> 23−20√54

)=

= P

(Y < −3√

54

)+ P

(Y > 3√

54

)= Φ

(−3√

54

)+ 1− Φ

(3√54

)

= 2 ·(1− Φ

(3√54

))= 2 ·

(1− 0, 996

))= 0, 008.


Příklad 11.3 Samička určitého hmyzu naklade r vajíček s pravděpodobností

pr = e−λλr

r!. Z každého vajíčka se vylíhne živý jedinec s pravděpodobností p,

která je stejná pro všechna vajíčka. Osudy jednotlivých vajíček jsou nezávislé.

Zajímá nás pravděpodobnost, s níž dá samička život právě k novým jedincům.

Řešení:

Nechť N ∼ Po(λ) je náhodná veličina udávající počet vajíček aX je náhodná

veličina udávající počet vylíhnutých vajíček. Víme, že za podmínky, že

známe N , má X ∼ Bi(N, p). Tedy P (X = k) spočteme podle věty o úplné

pravděpodobnosti

P (X = k) =∞∑

n=k

P (X = k|N = n)P (N = n) =

=∞∑

n=k

(n

k

)pk(1− p)n−k · e−λλ

n

n!=

= e−λpk ·∞∑

n=k

n!

k!(n− k)!· (1− p)n−kλ

n

n!=

=e−λpk · λk

k!·

∞∑

n=k

(1− p)n−kλn−k

(n− k)!=

=e−λpk · λk

k!·

∞∑

n=0

((1− p) · λ)nn!

=

=e−λpk · λk

k!· e(1−p)·λ = e−λp · (λp)

k

k!.

Neboli X ∼ Po(λp).

Příklad 11.4 Spočítejte kovarianci náhodných veličin X a Y = X2, kde X

má rovnoměrné rozdělení na intervalu [−1, 1]. Jsou tyto náhodné veličiny

nezávislé?

11.1. KONVOLUCE 149

Řešení:

cov(X, Y ) = EXY − EX · EY = EX3 − EX · EX2

X ∼ U [−1, 1] ⇒ EX = 0

EX3 =

∫ 1

−1

x3 · 12dx = 0,

odtud dostáváme, že cov(X, Y ) = 0, ale náhodné veličiny X a Y = X2 zjevně

nejsou nezávislé.

Příklad 11.5 Náhodná veličina Y je funkcí absolutně spojité náhodné veliči-

ny X. Čemu se rovná hustota g(y), jestliže

f(x) =1√2π

e−x2

2 −∞ < x < ∞

a Y = X2?

Řešení:

t(x) = x2 pro−∞ < x < ∞.

V tomto intervalu není t(x) monotónní. Distribuční funkce náhodné veličiny

Y je obecně tvaru

G(y) = P (Y ≤ y) = P (X2 ≤ y) = P (−√y ≤ X ≤ √

y) =

= P (X ≤ √y)− P (X ≤ −√

y) = F (√y)− F (−√

y).

Odtud pro hustotu g(y) dostáváme

g(y) = f(√y) 1

2√y− f(−√

y)(− 1

2√y

)=

= 12√y

[f(√y) + f(−√

y)].


Speciálně pro f(x) = 1√2πe−

x2

2 platí, že

g(y) = 1√2π

· 12√y

(e−

y2 + e−

y2

)=

=

1√2πy

e−y2 pro y > 0

0 jinak.

Dostali jsme hustotu rozdělení χ2 o jednom stupni volnosti, která se používá

v matematické statistice [5].

11.2 Úlohy

1. Náhodná veličina Y je funkcí absolutně spojité náhodné veličiny X.

Čemu se rovná hustota pravděpodobnosti g(y), jestliže

(a) Y = 8X3 a

f(x) = 2x pro 0 < x < 1

0 jinak

(b) Y = −2 lnX a

f(x) = 1 pro 0 < x < 1

0 jinak

(c) Y = X3 a

f(x) = x2

9pro 0 < x < 3

0 jinak

(d) Y = X2 a

f(x) =

2xe−x2pro x > 0

0 jinak

(e) Y = eX a

f(x) = 1 pro 0 < x < 1

0 jinak

11.2. ÚLOHY 151

(f) Y = |X| a f(x) je libovolné, −∞ < x < ∞

(g) Y = sinX a

f(x) = 1

2πpro − π < x < π

0 jinak

(h) Y = |1−X| a

f(x) = 1

2pro 0 < x < 2

0 jinak

2. Najděte rozdělení náhodné veličiny Y , jestliže

(a) Y = 2X + 1 a

pn = 1

3pro n = 1, 2, 3

0 jinak

(b) Y = X3

pn = (1

2

)npro n = 1, 2, 3 . . .

0 jinak

(c) Náhodné veličinyX, Y jsou nezávislé a obě mají Poissonovo rozdělení,

X s parametrem λ1, Y s parametrem λ2. Určete rozdělení Z1 =

X + Y a Z2 = max(X, Y ).

(d) X, Y jsou nezávislé náhodné veličiny,X má exponencionální rozdělení

s parametrem λ > 0, Y má rovnoměrné rozdělení na (0,Θ), Θ > 0.

i. Určete rozdělení X + Y .

ii. Určete E(X + Y ).

iii. Určete var (X + Y ).

(e) Házíme třemi korunovými mincemi a čtyřmi pětikorunovými min-

cemi. NechťX je celková hodnota těch korunových mincí, na nichž

padl líc. Podobně nechť Y je celková hodnota těch pětikorunových

mincí, na nichž padl líc. Zaveďme W = X +Y . Spočítejte kovari-

anci náhodných veličin X,W .


(f) Nechť X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (1, 2). Určete

kovariaci náhodných veličin X, 1X.

(g) NechťX má rozděleníN(0, 1). Definujme Y = X |X| ≤ A

−X |X| ≥ A,kde A > 0. Odvoďte rozdělení náhodné veličiny Y a náhodného

vektoru (X, Y )T .

3. Nechť náhodný vektor Y = (X1, X2)T má sdruženou hustotu

fY (x1, x2) =1

2πσ2· e−

(x21+x22)

2σ2 .

Stanovte hustotu náhodné veličiny Y = X1 +X2.

Chapter 12

Zákon velkých čísel, centrálnílimitní věta

Až dosud jsme se zabývali náhodnou veličinou s teoretickým rozdělením,

které jsme popisovali teoretickými charakteristikami. Jestliže však opaku-

jeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení

relativních četností a informace o tomto rozdělení shrnout opět do charak-

teristik. Toto rozdělení, popř. jeho charakteristiky, nazveme - na rozdíl od

předchozích - empirickým rozdělením, popř. empirickými charakteristikami.

Např. střední hodnotu rozdělení často odhadujeme tak, že uskutečníme

náhodný výběr a vypočteme z něj aritmetický průměr.

Při dodržování jistých podmínek můžeme očekávat, že empirické rozdělení

(popř. jeho charakteristiky) se bude blížit k teoretickému rozdělení (popř.

teoretickým charakteristikám), a to tím více, čím větší bude rozsah rea-

lizovaných pokusů. Tak lze obecně vyjádřit tzv. zákon velkých čísel. Zde

je však na místě poznamenat, že přibližování empirických hodnot k teore-

tickým hodnotám nemá charakter matematické konvergence, ale konvergence

pravděpodobnostní. Pravděpodobnostní konvergencí rozumíme skutečnost,

že při vzrůstajícím počtu pokusů se pravděpodobnost velkých odchylek em-

153

154 CHAPTER 12. ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL, CLV

pirických hodnot od teoretických stále zmenšuje. Zavedeme pojem pravděpo-

dobnostní konvergence obecně.

Definice 12.1 Mějme posloupnost náhodných veličin X1, X2, X3, . . . a náhod-

nou veličinu X. Nechť jsou všechny tyto veličiny definovány na témže pravdě-

podobnostním prostoru (Ω,A, P ).

Říkáme, že Xn konverguje k X skoro jistě, jestliže

Pω : Xn(ω) →n→∞ X(ω) = 1.

Jestliže pro každé ε > 0 platí

Pω : |Xn(ω)−X(ω)| > ε →n→∞ 0,

pak říkáme, že Xn konverguje k X podle pravděpodobnosti.

Pokud

EX2n < ∞ pro n = 1, 2, 3, . . .

a jestliže

E(Xn −X)2 →n→∞ 0,

pak říkáme, že Xn konverguje k X podle středu stupně 2.

Následující věta ukazuje vztah mezi jednotlivými konvergencemi.

Věta 12.1 i) Z konvergence skoro jistě plyne konvergence podle pravdě-

podobnosti.

ii) Z konvergence podle středu stupně 2 plyne konvergence podle pravděpo-

dobnosti.

Tvrzení věty 12.1 nelze bez dodatečných předpokladů zesílit. Žádnou im-

plikaci nelze obrátit.

12.1. ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL 155

Některá tvrzení v této kapitole uvedeme bez důkazu. Důkazy lze nalézt

například v [4].

Lemma 12.2 Pro libovolnou nezápornou veličinu X, která má střední hod-

notu EX, platí:

P (X ≥ ε) ≤ E(X)

ε.

Důkaz.P (X ≥ ε) =

∫x≥ε

dFX(x) ≤∫x≥ε

xεdFX(x) ≤

≤ 1ε

∫xdFX(x) =

1εEX.

Tato věta má význam i pro větší ε, nikoli jen pro velmi malé ε, jak jsme

zvyklí z matematické analýzy.

12.1 Zákon velkých čísel

Věta 12.3 (slabý zákon velkých čísel)

Nechť X1, X2, X3, . . . jsou nezávislé náhodné veličiny se stejnými středními

hodnotami µ a stejnými rozptyly σ2 < ∞. Pak pro n→ ∞ platí

1

n(X1 +X2 + . . .+Xn) → µ

podle pravděpodobnosti.

Důkaz.

Označme

Xn =1

n(X1 +X2 + . . .+Xn).


Vypočteme střední hodnotu a rozptyl veličiny Xn.

EXn = E

[1n(X1 +X2 + . . .+Xn)

]=

= 1n

[EX1 + EX2 + . . .+ EXn

]=

= 1nn µ = µ

var Xn = var[1n(X1 +X2 + . . .+Xn)

]=

= 1n2

[var X1 + var X2 + . . .+ var Xn

]=

= 1n2 n σ2 = σ2

n.

Nyní využijeme Čebyševovy nerovnosti pro veličinu Xn a dostáváme, že pro

každé ε > 0 platí

P (|Xn − µ| ≥ ε) ≤ σ2

n ε2.

Odtud pro n → ∞ máme σ2

n ε2→ 0, takže také

P (|Xn − µ| ≥ ε) → 0.

Tato verze zákona velkých čísel patří mezi historicky nejstarší. Tvrzení věty

12.3 se dá dále zesílit. Jeden z výsledků je uveden v následující větě. Další

zobecnění například pro náhodné vektory s různými středními hodnostami

můžeme nalézt v [4].

Věta 12.4 (silný zákon velkých čísel)

Nechť Xn∞n=1 je posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin

se střední hodnotou EX1 = µ, a E|X1| < ∞. Pak

limn→∞

Xn = µ

v pravděpodobnosti a skoro jistě.

12.2. CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 157

12.2 Centrální limitní věta

Podstatou centrální limitní věty (CLV) je tvrzení, že náhodná veličina X,

která vznikla jako součet velkého počtu vzájemně nezávislých náhodných

veličin X1, X2, . . . Xn, má za velmi obecných podmínek přibližně normální

rozdělení. Budeme říkat, že náhodná veličina X, jejímž limitním zákonem je

rozdělení normální, má tzv. asymptoticky normální rozdělení.

Nejjednodušší případ centrální limitní věty je věta Moivreova-Laplaceova.

Náhodnou veličinou X je součet n vzájemně nezávislých náhodných veličin,

z nichž každá má alternativní rozdělení s parametrem p. Pak víme, že veličina

X má rozdělení Bi(n, p) se střední hodnotou EX = np a rozptylem var X =

np(1 − p). Moivreova-Laplaceova věta tvrdí, že pro normovanou náhodnou

veličinu

U =X − np√np(1− p)

platí limitní vztah

limn→∞

P (U ≤ u) = Φ(u) pro −∞ < u < ∞,

kde Φ(u) je distribuční funkce rozdělení N(0, 1). Tedy věta Moivreova-

Laplaceova říká, že při dostatečně velkém počtu nezávislých pokusů kon-

verguje binomické rozdělení k normálnímu. Zesílením této věty je věta Lévy-

Lindebergova, která vyjadřuje konvergenci rozdělení sledované náhodné veličiny

k normálnímu rozdělení za obecnějších podmínek. Náhodnou veličinou X je

v tomto případě součet n nezávislých náhodných veličin X1, X2, . . . Xn, které

jsou stejně rozdělené s konečnou střední hodnotou EXi = µ a konečným

rozptylem var Xi = σ2 pro i = 1, 2, . . . , n. Pak dle Lévy-Lindebergovy věty

platí pro normovanou náhodnou veličinu U

U =X − nµ√

n σ2


limitní vztah

limn→∞

P (U ≤ u) = Φ(u) pro −∞ < u < ∞.

Velmi obecně vyjádřil centrální limitní větu A. M. Ljapunov. Dokázal, že

rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin Xi, i = 1, 2, . . . , n konverguje

k normálnímu rozdělení i tehdy, nejsou-li veličiny Xi stejně rozdělené. Tato

věta se nazývá Ljapunovova. Důkazy centrálních limitních vět jsou poměrně

obtížné, a proto je nebudeme uvádět. Čtenář je nalezne např. v [4]. Zfor-

mujeme nyní výše diskutované věty do exaktních matematických tvrzení.

Věta 12.5 (Lévy-Lindebergova)

Nechť X1, X2, . . . jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se střední

hodnotou µ a konečným rozptylem σ2. Označme

Zn =

∑nk=1Xk − nµ√

nσ2n = 1, 2, . . .

a označme Fn(x) distribuční funkci Zn. Potom limn→∞ Fn(x) = Φ(x), −∞ <

x < ∞, kde Φ(x) je distribuční funkce N(0, 1).

Věta 12.6 (Moivreova-Laplaceova)

Nechť pro každé n ≥ 1 je Yn náhodná veličina s rozdělením Bi(n, p) (0 < p

< 1). Položme

Zn =Yn − np√np(1− p)

a označme Fn(x) distribuční funkci náhodné veličiny Zn. Potom

limn→∞

Fn(x) = Φ(x), −∞ < x < ∞.

Důkaz. Vyjdeme z věty 12.5. Za Xn položíme veličiny s alternativním

rozdělením s parametrem p. Pak Yn má binomické rozdělení s parametry


(n, p) a dle věty 12.5 tvrzení platí.

Tvrzení limitních vět lze ještě zesílit. Analogická tvrzení platí i pro vícerozměr-

ný případ nebo v obecnějších, než je n-rozměrný Eukleidův prostor. Také

podmínku nezávislosti veličin X1, X2, . . . lze oslabit.

Příklad 12.1 Mějme náhodnou veličinu X, pro kterou platí EX = 3,EX2 =

13. Odhadněte pravděpodobnost, že veličina X nabude hodnoty z intervalu

(-2,8).

Řešení:

Střední hodnota EX = 3. Určíme rozptyl veličiny X.

var X = EX2 − (EX)2 = 13− 32 = 4.

Hledanou pravděpodobnost odhadneme pomocí Čebyševovy nerovnosti:

P (−2 < X < 8) = P (|X − EX| < 5) ≥ 1− 4

25.= 0, 84.

Příklad 12.2 Jaká je pravděpodobnost, že ze 120 hodů kostkou padne

alespoň 14 šestek?

Řešení:

OznačmeXi ∼ A(16) náhodnou veličinu, která představuje to, zda nám padne

6 či nikoli v i-tém hodu kostkou. Pro Xi platí, že EXi =16, σ2 = 5

36. Tudíž

je třeba vypočíst

P (120∑

i=1

Xi ≥ 14).

Spočtěme tento příklad nejprve přímo. Náhodná veličina X =∑120

i=1 Xi

má binomické rozdělení Bi(120, 16). Pomocí definice binomického rozdělení


spočteme, že

P (X ≥ 14) = 1−13∑

k=0

pk = 1−13∑

k=0

(120

k

)(1

6)k(

5

6)(120− k) = 0, 95.

Nyní spočtěme tento příklad pomocí aproximace CLV. Použití CLV spočívá

v úpravě výrazu do podoby, ve které se nachází normované normální rozdělení.

Můžeme tedy psát, že

P

( 120∑

i=1

Xi ≥ 14

)= P

(∑120i=1 Xi − np√

nσ2≥ 14− np√

nσ2

).

Výraz U =∑120

i=1 Xi−np√nσ2

má podle CLV asymptoticky normované normální

rozdělení, můžeme tedy psát, že

P

( 120∑

i=1

Xi ≥ 14

)= P

(U ≥ 14− 120

6√120 · 5

36

).

Podle definice distribuční funkce normovaného normálního rozdělení máme

P

( 120∑

i=1

Xi ≥ 14

)= 1− P (U < −1, 47) = 1− Φ(−1, 47).

V tabulkách nebo ve statistickém softwaru najdeme hodnotu distribuční

funkce Φ(−1, 47) = 0, 07. Hledaná pravděpodobnost je podle aproximace

CLV rovna 0,93.

Příklad 12.3 Kolikrát musíme hodit kostkou, aby pravděpodobnost, že padne

alespoň 10 šestek, byla větší nebo rovna 0,95.

Řešení:

Obdobně jako v minulém příkladě označme Xi ∼ A(1/6) náhodnou veličinu,

která představuje to, zda nám padne 6 či nikoli v i-tém hodu kostkou. Pro

Xi platí, že EXi = 1/6, σ2 = 5/36. Problém můžeme přepsat na nerovnici

P

(n∑

i=1

Xi ≥ 10

)≥ 0, 95,


kde neznámá je n - počet hodů kostkou. Použití CLV spočívá v úpravě

nerovnice do podoby, ve které se nachází výraz asymptoticky se blížící nor-

málnímu rozdělení.

P

(∑ni=1 Xi − n/6√

5n/36≥ 10− n/6√

5n/36

)≥ 0, 95.

Výraz U =∑n

i=1 Xi−n/6√5n/36

má podle CLV asymptoticky normální rozdělení.

P

(U ≥ 10− n/6√

5n/36

)= 0, 95

Tímto předpisem je ovšem definována kritická hodnota normálního rozdělení

u(0, 05) = −1, 64 (viz odstavec 2.5). Tedy

10− n/6√5n/36

= −1, 64

Tuto kvadratickou rovnici snadno vyřešíme a vyjde nám n = 96. Neboli

musíme hodit nejméně 96-krát kostkou, abychom měli 95% pravděpodobnost,

že padne alespoň deset šestek.

Příklad 12.4 Pan prezident pravidelně jezdí do zaměstnání i zpět tramvají.

Je známo, že doba čekání na příjezd tramvaje se pohybuje v mezích 0 až 3

minuty. Jaká je pravděpodobnost, že celková doba čekání pana prezidenta

během 23 pracovních dnů bude kratší než 80 minut?

Řešení:

Doba čekání na příjezd tramvaje, tj. náhodná veličina Xi, má rovnoměrné

rozdělení s hustotou pravděpodobnosti

f(xi) =

13

pro 0 < xi < 3,

0 jinak.


Celková doba čekání na cestu do zaměstnání a zpět během 23 dnů je náhodná

veličina

X =46∑

i=1

Xi.

Střední hodnota a rozptyl veličiny Xi pro i = 1, 2, . . . , 46 jsou

EX i = 3−02

= 32

var X i = 34.

Jelikož jsou splněny podmínky Lévy-Lindebergovy věty, můžeme hledanou

pravděpodobnost určit jako

P (X < 80) = P

(∑46i=1 Xi−46·EXi√

46·var Xi< 80−46·EXi√

46·var Xi

)=

= P (U < 80−69√34,5

) = P (U < 1, 87) =

= Φ(1, 87) = 0, 96926.

Příklad 12.5 Podle úmrtnostních tabulek je pravděpodobnost úmrtí 32-leté

ženy rovna 0,001819. V případě úmrtí vyplatí pojišťovna rodině 1 milión

korun. Pojišťovna pojišťuje 5000 32-letých žen. Jakou sazbu za pojištění

má pojišťovna nastavit, aby pravděpodobnost, že pojišťovna vydělá alespoň 2

milióny korun, byla rovna 0,95.

Řešení:

Označme x sazbu za pojištění. Počet žen, které zemřou, se řídí binomickým

rozdělením, tedy Y ∼ Bi(n, p), kde n = 5000 a p = 0, 001819. Ze zadání

příkladu můžeme stanovit rovnici

P (x · 5000− 1000000 · Y > 2000000) = 0, 95

P (Y <5000x− 2000000

1000000) = 0, 95.


Nyní nerovnost upravíme tak, abychom mohli použít Moivrovu-Laplacovu

CLV.

P

(Y − 5000p√5000p(1− p)

<1

200x− 2− 5000p√5000p(1− p)

)= 0, 95

P (U <1

200x− 11, 095

3, 013) = 0, 95

Φ(1

200x− 11, 095

3, 013) = 0, 95

Z tabulek pro hodnoty distribuční funkceN(0, 1) zjistíme, že Φ(1, 64) = 0, 95,

a tedy1

200x− 11, 095

3, 013= 1, 64

x = 3207, 28.

Poznámka 12.1 Jak rychle se blíží rozdělení součtů nezávislých náhodných

veličin k normálnímu rozdělení? Touto otázkou se nebudeme teoreticky zabý-

vat, uvedeme jen numerické srovnání pro jeden speciální případ:

Nechť Xk, 1 ≤ k ≤ 12, jsou ”náhodná čísla”, tedy nezávislé náhodné veličiny

s rovnoměrným rozdělením na [0, 1]. Označme Y12 =∑12

k=1Xk − 6 (Y12

má nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl). V tabulce 12.1 značí F12

distribuční funkci Y12 a Φ distribuční funkci N(0, 1); vzhledem k symetrii

rozdělení stačí omezit se na nezáporné hodnoty argumetnu.

x 0 0,5 1,00 1,5 2,00 2,5 3,00Φ(x) 0,5 0,6915 0,8413 0,9331 0,9772 0,9937 0,9986F12(x) 0,5 0,6894 0,8393 0,9326 0,9777 0,9944 0,9990

Table 12.1: Aproximace distribuční funkce Y12 distribuční funkcí N(0, 1).

Shoda je překvapivě dobrá, uvážíme-li malý počet sčítanců a značně odlišný

tvar rovnoměrného a normálního rozdělení. Tak dobrou aproximaci však

nelze vždy očekávat. Zhruba platí, že konvergence je rychlejší pro symet-

rická (kolem střední hodnoty) rozdělení, pomalejší pro asymetrická. Zmiňme


se ještě o pravidlu užívaném v praxi, že totiž binomické rozdělení lze aproxi-

movat normálním, je-li np(1− p) ≥ 9.

12.3 Úlohy

* 1. Nechť posloupnostX1, X2, . . . konverguje podle pravděpodobnosti. Do-

kažte, že pak existuje taková vybraná podposloupnost, která konverguje

skoro jistě.

* 2. Najděte posloupnost Xn náhodných veličin, která konverguje skorojistě a nekonverguje podle středu stupně 2 a naopak.

* 3. Ukažte na příkladě, že z konvergence podle pravděpodobnosti neplyne

konvergence podle středu stupně 2, ani konvergence skoro jistě.

4. Zásilka obsahuje 3000 výrobků určitého typu. Je známo, že pravděpo-

dobnost zhotovení vadného výrobku tohoto typu je 0,04.

(a) Odhadněte pravděpodobnost, že absolutní odchylka podílu vad-

ných výrobků v zásilce a pravděpodobnost vyrobení vadného vý-

robku bude menší než 0,01.

(b) Jak se změní výsledek, jestliže pravděpodobnost vyrobení vad-

ného výrobku bude 0,004 a jestliže zásilka bude obsahovat 30000

výrobků?

( a) 0,872, b) 0,9986)

5. Během zkoušky spolehlivosti se výrobek porouchá s pravděpodobností

p = 0, 05. Jaká je pravděpodobnost toho, že při zkoušení 100 výrobků

se porouchá

(a) alespoň 7 výrobků,

12.3. ÚLOHY 165

(b) méně než 5 výrobků.

6. Pravděpodobnost výskytu jevu při jednom pokusu je 0,3. S jakou

pravděpodobností lze tvrdit, že relativní četnost výskytu tohoto jevu

ve 100 pokusech bude v mezích od 0,2 do 0,4? (0,97)

7. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že doba potřebná k objevení

a odstranění poruchy stroje - náhodná veličina X - má střední hod-

notu EX = 40 minut a směrodatnou odchylku√var X = σ = 30

minut. Jakou dobu si vyžádá objevení a odstranění 100 poruch, jestliže

žádáme, aby tato hodnota nebyla s pravděpodobností 0,95 překročena?

(4493.5 minut)

8. Nechť Xk∞k=1 jsou nezávislé náhodné veličiny a nechť Xk má hustotu

fk(x) =1

2k−λ exp−k−λ|x| x ∈ R, k = 1, 2, . . . , λ <

1

2.

Dokažte, že 1n

∑ni=1 Xi konverguje k nule skoro jistě.

9. Hodíme 100 krát hrací kostkou; označme S100 součet dosažených ok.

Určete přibližnou hodnotu pravděpodobnosti

P (320 ≤ S100 ≤ 380).

Použijte CLV.

10. Nechť vn značí poměrnou četnost líců v n hodech mincí. Kolik musíme

provést hodů, aby pravděpodobnost jevu [vn − 12] ≤ 0, 05 byla nejméně

0,95?

(a) řešte pomocí Čebyševovy nerovnosti;

(b) řešte pomocí centrální limitní věty.

11. Pojišťovna pojišťuje 1000 lidí stejného věku. Pravděpodobnost úmrtí

během roku je pro každého z nich 0,01. Každý pojištěnec zaplatí 1200


Kč. V případě úmrtí vyplatí rodině 80000 Kč. Jaká je pravděpodobnost

p, že pojišťovna utrpí ztrátu? (Použijte CLV)

Part II

Matematická statistika

167

Chapter 13

Zpracování statistickéhomateriálu

Dříve než se začneme zaobírat základními statistickými metodami, definu-

jeme základní pojmy z oblasti zpracování statistického materiálu.

Definice 13.1 Definujme následující pojmy:

1. Statistickým souborem nazýváme množinu předmětů roztříděných z hlediska

jejich určité společné vlastnosti zvané znak.

2. Předměty patřící do statistického souboru (tzv. statistické jednotky)

nazýváme prvky souboru.

3. Znak, jehož různé hodnoty, popř. obměny nacházíme u všech prvků daného

souboru a jenž je zvolen za podklad pro třídění těchto prvků, budeme

nazývat argumentem souboru.

4. Celkový počet všech prvků uvažovaného souboru nazýváme rozsahem

souboru.

168

169

5. Součet všech hodnot argumentu (znaku) statistického souboru nazýváme

úhrnem argumentu (úhrnem znaku).

Příklad 13.1 Skupina n osob roztříděna z hlediska jejich věku tvoří stati-

stický soubor rozsahu n. Jeho argument je věk osob. Táž skupina n osob

tvoří jiný statistický soubor, zvolíme-li za argument výšku osoby (měřena

např. v cm).

Definice 13.2 Nechť a je minimální hodnota argumentu S, b je maximální

hodnota argumentu X daného statistického souboru, tj. xmin = a, xmax = b.

1. Interval < a, b > nazýváme variačním oborem (nebo též oborem vari-

ability, intervalem variability) argumentu X daného statistického souboru.

2. Rozdíl x = b − a nazýváme variačním rozpětím argumentu X daného

statistického souboru.

3. Variační obor < a, b > rozkládáme na menší části nazývané třídy (popř.

třídní intervaly) argumentu X.

4. Šířkou (délkou) h třídy příslušného třídního intervalu 〈a, b〉 nazývámečíslo h = bk − ak. Číslo 1

2(ak + bk) nazýváme středem třídy, číslo ak

dolní hranicí uvažované třídy, číslo bk horní hranicí uvažované třídy.

5. Hodnotu xk argumentu X, která je zpravidla dána středem k-té třídy a

zastupuje všechny hodnoty patřící do této třídy, nazýváme třídním

znakem k-té třídy.

Při rozkladu variačního oboru 〈a, b〉 na třídy budeme dbát zpravidla těchtozásad:

170 CHAPTER 13. ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÉHO MATERIÁLU

1. Obsahuje-li soubor jen malý počet hodnot argumentu X, volíme kaž-

dou hodnotu xk tohoto argumentu za samostatnou třídu. Pokud stati-

stický soubor má značně velký počet různých hodnot xk argumentu

X (popř. je jich nekonečně mnoho), sdružujeme hodnoty argumentu

v třídy. Přitom šířky tříd volíme obvykle stejně velké. Pro výpočet

šířky h lze použít přibližného vzorce h ≈ 8100

(b − a).

Při volbě počtu třídních intervalů se doporučuje, aby jich bylo 8 až 20.

Záleží na rozsahu souboru a účelu statistické tabulky. Počet k třídních

intervalů volíme např. k ≈ 3, 3 log(n) nebo k ≈ √n, kde n je rozsah

souboru. Dvě pozorování považujeme za ekvivalentní, jakmile padnou

do téhož třídního intervalu.

2. Jestliže na hranici dvou sousedních tříd padne více hodnot argumentu,

zařazujeme polovinu z nich do nižší třídy a druhou polovinu do třídy

vyšší. Zbyla-li ještě jedna hodnota (toto odpovídá lichému počtu hod-

not ležících na hranic), rozhodneme o její příslušnosti k dané třídě

losem. Není vhodné zařazovat stereotypně takové hraniční hodnoty

vždy do vyšší, popř. nižší třídy, neboť by se tím mohl zkreslit celkový

obraz rozložení uvažovaného souboru ve prospěch vyšších, popř. nižších

tříd.

3. Vyskytuje-li se v hraničních třídách velmi málo hodnot argumentu X, je

vhodné tyto třídy spojit se sousední třídou v třídu jedinou.

13.1 Rozložení četností a jejich znázornění

U větších statistických souborů je zřejmé, že bude docházet k opakovanému

výskytu stejných hodnot statistického znaku. Z tohoto důvodu definujeme

pojem četnost.

13.1. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ A JEJICH ZNÁZORNĚNÍ 171

Definice 13.3 Druhy četností:

1. Počet prvků souboru patřících do k-té třídy nazýváme absolutní čet-

ností argumentu v k-té třídě nebo absolutní třídní četností (stručně

četností) k-té třídy a značíme jej fk.

2. Je-li fk absolutní třídní četnost k-té třídy a n rozsah uvažovaného souboru,

potom

a) fknnazýváme relativní četností k-té třídy,

b) 100fknnazýváme procentní relativní četností k-té třídy.

3. Kumulativní (součtovou) absolutní četností Fk k-té třídy nazýváme

součet všech četností fj až do k-té třídy včetně, tj.

Fk =k∑

j=1

fj.

4. Kumulativní relativní četností Rk k-té třídy nazýváme součet

Rk =k∑

j=1

fjn

=Fk

n.

Poznámka 13.1 Pro četnosti platí některé vlastnosti (uvažujeme statistický

soubor rozsahu n, který je rozdělen do r tříd )

1.r∑

k=1

fk = n

2.

Fr = n


3.r∑

k=1

fkn

= 1

Definice 13.4 Tabulkou rozložení četností daného statistického souboru

nazýváme tabulku, v níž jsou uvedeny hodnoty argumentu (popř. třídní znaky)

s příslušnými absolutními, popř. relativními četnostmi.

Příklad 13.2 Na telefonní stanici zaznamenávali počet telefonních výzev za

dobu 1 min. Během jedné hodiny bylo v určité denní době dosaženo těchto

výsledků (v každém řádku jsou hodnoty získané během 10 minut):

3,2,2,3,1,1,0,4,2,1

1,4,0,1,2,3,1,2,5,2

3,0,2,4,1,2,3,0,1,2

1,3,1,2,0,7,3,2,1,1

4,0,0,1,4,2,3,2,1,3

2,2,3,1,4,0,2,1,1,5.

Sestavte tabulku rozložení daného statistického souboru.

Argument statistického souboru představuje náhodnou veličinuX. Ze zákona

velkých čísel (podrobněji viz Věta 14.2) plyne, že relativní četnost fknudává

(přibližně) pravděpodobnost, že X padne do k-té třídy, takže platí pk =

P (ak ≤ X ≤ bk) ≈ fkn, přičemž interval 〈ak, bk〉 je k-tou třídou.

Definice 13.5 Typy znázornění absolutních či relativních četností:

1. Histogram rozložení absolutních (relativních) četností sestavíme tak, že

na osu x vyneseme středy jednotlivých tříd a nad každou úsečkou zo-

brazující určitou třídu (šířky h) sestrojíme obdélník s výškou rovnou

13.1. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ A JEJICH ZNÁZORNĚNÍ 173

Počet telefonníchvýzev za 1 min Absolutní četnost Relativní četnost

0 8 0.1331 17 0.2832 16 0.2663 10 0.1664 6 0,15 2 0,0337 1 0,016

Celkem 60 1

Table 13.1: Tabulka rozložení četností

příslušné absolutní četnosti fk, popř. relativní četnostifkn. Horní obraz

pravoúhelníka představuje histogram rozložení četností. Histogram rel-

ativních četností aproximuje hustotu rozdělení spojité náhodné veličiny

X.

2. Úsečkový diagram(nebo graf) rozložení absolutních (relativních) čet-

ností dostaneme, jestliže na ose x zobrazíme středy jednotlivých tříd a

v každém z nich sestrojíme ve směru osy y úsečku o délce rovné přís-

lušné absolutní četnosti fk, popř. relativní četnostifkn.

3. Polygon rozložení četností (spojnicový diagram) dostaneme, jestliže kon-

cové body úsečkového diagramu rozložení četnosti spojíme úsečkami

a vytvoříme tak lomenou čáru, která pak představuje hledaný polygon

neboli spojnicový diagram.

4. Graf, polygon nebo histogram kumulativních četností dostaneme analog-

icky jako v bodech 1,2 a 3.

5. Ogivní křivku (stručně ogivu) dostaneme, sestrojíme-li polygon kumu-

lativních relativních četností. Ogiva aproximuje graf distribuční funkce

uvažované náhodné veličiny X.


2 4 6 8

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figure 13.1: Histogram a ogiva dat z příkladu 13.2

13.2 Charakteristiky polohy

Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny je jednoznačně určeno distribuční

funkcí. Při řešení pravděpodobnostních úloh je mnohdy výhodné shrnout in-

formace o rozdělení náhodné veličiny do několika číselných charakteristik,

které popisují základní vlastnosti tohoto rozdělení. Mezi základní charakter-

istiky patří charakteristika polohy (střední hodnota) a charakteristika vari-

ability (rozptyl).

Charakteristiky polohy neboli střední hodnoty počítáme nejčastěji po-

mocí aritmetického, popř. harmonického, popř. geometrického průměru nebo

mediánu a modusu.

Definice 13.6 Nechť je dán statistický soubor, jehož argument X nabývá

hodnot x1, x2, ..., xn, které jsou popř. roztříděny do r tříd, přičemž fk značí

absolutní četnost k-té třídy.

1. Aritmetický průměr X je definován vztahy

X =1

n

n∑

k=1

xk =1

n

r∑

i=1

fixi. (13.1)

13.2. CHARAKTERISTIKY POLOHY 175

2. Geometrický průměr Xg je definován vztahem

Xg = n√x1 · x2 · ... · xn (13.2)

3. Harmonický průměr Xh je definován vztahy

Xh =1

A, kde A =

1

n

n∑

k=1

1

xk=

1

n

r∑

i=1

fixi. (13.3)

Ve vztazích 13.1, 13.3 jsou uvedeny dva tvary. První tvar odpovídá souboru

neroztříděnému a druhý tvar roztříděnému. Geometrický průměr nelze použít,

pokud argument X nabývá nulové hodnoty, popř. hodnoty záporné. Har-

monický průměr lze použít tehdy, má-li smysl součet reciprokých hodnot.

Věta 13.1 Pro libovolný statistický soubor X platí:

Xh ≤ Xg ≤ X.

Nechť je dán statistický soubor, jehož argumentX nabývá hodnot x1, x2, ..., xn.

Setřídíme-li hodnoty podle velikosti, dostaneme tzv. setříděný statistický

soubor

X(1), X(2), . . . , X(n),

kde X(1) označuje nejmenší hodnotu, X(2) označuje druhou nejmenší hod-

notu, . . .. Obecně X(i) označuje i-tou pořadovou hodnotu.

Definice 13.7 Medián je určen dvěma způsoby, v závislosti na počtu prvků

statistického souboru. V případě lichého počtu hodnot vezmeme za medián x

prostřední hodnotu

x = X([n2 ]+1).


Pokud X má sudý počet hodnot, vezmeme za medián x aritmetický průměr

prostředních dvou hodnot

x =X([n2 ])

+X([n2 ]+1)

2.

Medián je speciálním případem výběrového kvantilu. Výběrovým kvantilem

nazýváme hodnotu zvolenou tak, že pozorování, která jsou menší než tato

hodnota, tvoří předepsaný díl výběru (např. 10% výběrový kvantil oz-

načuje hodnotu, která je větší než 10% hodnot statistického souboru a menší

než 90% hodnot statistického souboru). Rozeznáváme tři speciální případy

výběrového kvantilu: 25% výběrový kvantil se nazývá dolní výběrový kvar-

til, 50% výběrový kvantil je medián a 75% výběrový kvantil se nazývá horní

výběrový kvartil.

Definice 13.8 Nechť argument statistického souboru může nabývat pouze

konečně mnoha hodnot. Pak modus je hodnota argumentu s největší abso-

lutní četností. Modus nemusí být určen jednoznačně.

Příklad 13.3 Uvažujme následující hypotetický příklad. Ve firmě F existují

4 platové třídy s platy uvedenými v následující tabulce. Počet zaměstnanců

udává, kolik zaměstnanců je v dané platové třídě.

třída zařazení plat v Kč počet zaměstnanců1. výkonná síla 10.000 302. mistr 16.000 103. náměstek 28.000 34. ředitel 50.000 1

Table 13.2: Tabulka četností příjmu zaměstnanců ve firmě F.

Spočtěme některé charakteristiky polohy. Aritmetický průměr X = 13.500,

geometrický průměr Xg = 12.381.3, harmonický průměr Xh = 11.726.6.

13.3. CHARAKTERISTIKY VARIABILITY 177

Jelikož máme 44 hodnot, bude medián průměr 22. a 23. pořadové hodnoty,

tedy x = 10.000. Dolní výběrový kvartil bude průměr 11. a 12. pořadové

hodnoty, tj. 10.000 a horní výběrový kvartil je 16.000.

Každá charakteristika polohy nám dává jen parciální informaci o statistickém

souboru, zatímco grafy rozložení četností nám dávají úplnou informaci o

statistickém souboru.

13.3 Charakteristiky variability

Definice 13.9 Charakteristiky variability:

1. Rozptylem (disperzí) s2 statického souboru s rozsahem n nazýváme

aritmetický průměr kvadratických odchylek (xk−X)2 hodnot argumentu

X od aritmetického průměru X

s2 =1

n

n∑

k=1

(xk − X)2 =1

n

r∑

i=1

fi(xi − X)2. (13.4)

2. Směrodatnou odchylkou s nazýváme

√s2 = s ≥ 0. (13.5)

3. Průměrnou odchylkou d nazýváme aritmetický průměr absolutních hod-

not odchylek od aritmetického průměru X, tj.

d =1

n

n∑

k=1

|xk − X| = 1

n

r∑

i=1

fi|xi − X|. (13.6)

4. Variační koeficient v statistického souboru je definován jako

v =s

X. (13.7)


Poznámka 13.2 Rozptyl je definován vzorcem (13.4), pro jeho výpočet se

však častěji používá vzorce

s2 =1

n

n∑

k=1

(x2k)− X2 =

1

n

r∑

i=1

fix2i − X2. (13.8)

Poznámka 13.3 Hodnoty argumentu statistického souboru jsou realizace

nějaké náhodné veličiny. Např. počet telefonních hovorů na ústředně za 1

minutu (viz příklad 13.2) je náhodná veličina, která má Poissonovo rozdělení

X ∼ Po(λ). Všechny charakteristiky polohy aproximují střední hodnotu

náhodné veličiny EX = λ. Podobně rozptyl statistického souboru aproximuje

rozptyl náhodné veličiny VarX = λ. Rozptyl uvedený ve vzorcích (13.4) a

(13.8) rozptyl náhodné veličiny podhodnocuje, proto se k výpočtu rozptylu

častěji používá vzorců:

S2 =1

n− 1

n∑

k=1

(xk − X

)2=

1

n− 1

r∑

i=1

fi(xi − X

)2, (13.9)

S2 =1

n− 1

n∑

k=1

(x2k)−

n

n− 1X2 =

1

n− 1

r∑

i=1

fix2i −

n

n− 1X2. (13.10)

Tyto vzorce již teoretickou hodnotu nepodhodnocují (podrobněji viz věta 14.1).

Chapter 14

Náhodný výběr

V mnoha případech nemůžeme při statistickém zpracování dat vycházet ze

základního souboru Z (např. má-li soubor nekonečný nebo značně velký

rozsah) a musíme se omezit na nějaký podsoubor souboru Z. Statistické

výsledky, získané zpracováním statistického podsouboru, pak zobecníme na

základní statistický soubor Z (toto nazýváme statistickou indukcí). Znamená

to tedy, že vyšetřujeme jen určitou část prvků zkoumaného souboru, kterou

nazýváme výběrovýn souborem. Statistická indukce nám nedává zobecněné

závěry s naprostou jistotou, ale jen s předem danou pravděpodobností. Zák-

ladem je teorie náhodných výběrů, které se nyní věnujeme.

Náhodné výběry můžeme dělit podle způsobu provedení nebo podle rozsahu.

Rozdělení náhodných výběrů podle způsobu provedení

a) Prostý náhodný výběr s vrácením je takový výběr, při němž se každý prvek

základního souboru vrátí po vybrání zpět do souboru a další prvek se

vybírá opět z celého základního souboru.

b) Prostý náhodný výběr bez vrácení je takový výběr, při němž se vybraný

179

180 CHAPTER 14. NÁHODNÝ VÝBĚR

prvek nevrací zpět do základního souboru.

c) Oblastní (stratifikovaný) výběr spočívá v tom, že základní výběr rozdělíme

na stejnorodé disjunktní části a v každé z nich pak provedeme náhodný

výběr. O základním souboru ovšem musíme mít dostatečné informace

umožňující správnou volbu jednotlivých oblastí.

d) Systematický (mechanický) náhodný výběr spočívá v tom, že prvky zák-

ladního statistického souboru seřadíme do určitého pořadí, z prvních

k prvků souboru (N ≥ kn, kde N je rozsah základního, n je rozsah

výběru) vybereme náhodně jeden prvek a od něho počínaje vybereme

každý k-tý, 2k-tý. . .prvek.

Rozdělení náhodných výběrů podle rozsahu

a) Malý náhodný výběr - rozsah výběru n < 30.

b) Velký náhodný výběr - rozsah výběru n ≥ 30.

Budeme uvažovat pouze prostý náhodný výběr s vrácením. Ve spojitosti

s teorií pravděpodobnosti budeme o prostém náhodném výběru uvažovat

následovně.

Definice 14.1 Nechť Z je statistický soubor, jehož argument představuje

náhodnou veličinu X. Náhodným výběrem z rozdělení náhodné veličiny

X budeme nazývat posloupnost n nezávislých realizací pokusu, danou náhod-

nými veličinami X1, X2, . . . , Xn, které mají totéž rozdělení jako náhodná

veličina X a jsou sdruženě nezávislé. (Neboli náhodným výběrem nazýváme

takový výběr, který poskytuje každému prvku základního statistického souboru

stejnou a nezávislou pravděpodobnost, že bude zahrnut do výběru.)

181

Definice 14.2 Charakteristiky základního souboru Z (náhodné veličiny X)

budeme nazývat teoretickými. Charakteristicky získané z empirického výběru

budeme nazývat empirickými (výběrovými).

Teoretické charakteristiky základního souboru představují vždy určité číslo,

zatím co empirické charakteristiky představují náhodné veličiny, neboť se

mění od jednoho náhodného výběru k druhému. Nazýváme je statistikami.

Jestliže známe typ rozdělení náhodné veličiny X (představuje argument zák-

ladního statistického souboru Z), můžeme za určitých předpokladů použít

empirických charakteristik k určení odpovídajících teoretických charakteris-

tik.

Příklad 14.1 Statistický soubor představují všichni muži České republiky.

Argumentem je jejich věk. Náhodná veličina X určuje věk náhodného muže

z České republiky. Pro určení charakteristik náhodné veličiny X provedeme

náhodný výběr o rozsahu n. Věk každého vybraného muže je jednou real-

izací náhodné veličiny X. Výsledné empirické charakteristiky pak odhadují

teoretické charakteristiky.

Příklad 14.2 (viz příklad 13.2) X je náhodná veličina udávající počet tele-

fonních výzev za dobu 1 minuty. Byl proveden náhodný výběr z rozdělení X,

jehož výsledky jsou zaznamenány v příkladu 13.2. Předpokládejme, že X ∼Po(λ). Určíme empirickou střední hodnotu např. aritmetickým průměrem

X = 2. Určíme empirický rozptyl např. podle vzorce 13.9, S2 = 2, 1356. Z

teorie pravděpodobnosti víme, že EX = λ = VarX pro Poissonova rozdělení.

Položme si otázku, zda empirická data prokazují úvodní hypotézu (X ∼Po(λ)). Tyto otázky a mnohé další řeší matematická statistika, kterou se

budeme zabývat v následujících kapitolách. Zatím pouze položme teoretickou

střední hodnotu EX = 2, neboli λ = 2, a napišme si příslušné pravděpodob-

nosti P (X = k) pro k = 0, 1, 2, ......7 a porovnejme je s příslušnými rel-


ativními četnostmi. Z tabulky je vidět, že teoretické pravděpodobnosti se

k P (X = k) Relativní četnost pro k výzev za jednu minutu0 0,135 0,1331 0,271 0,2832 0,271 0,2663 0,180 0,1664 0,090 0,1005 0,360 0,0336 0,012 07 0,003 0,016

Table 14.1: Porovnání teoretických pravděpodobností s relativními četnos-tmi.

chovají podobně jako relativní četnosti, ale jestli stačí tato podobnost na

prohlášení, že X ∼ Po(2), zatím říct nemůžeme.

Definice 14.3 Nechť X1, . . . , Xn je náhodný výběr z rozdělení, které má

střední hodnotu µ a konečný rozptyl σ2. Zaveďme veličiny

X =1

n

n∑

i=1

Xi, S2 =1

n− 1

n∑

i=1

(Xi − X)2,

kde X nazýváme výběrový průměr a S2 nazýváme výběrový rozptyl.

Věta 14.1 Nechť X1, . . . , Xn je náhodný výběr z rozdělení, které má střední

hodnotu µ a konečný rozptyl σ2, pak

EX = µ, VarX =σ2

n, ES2 = σ2.

Věta 14.2 Silný zákon velkých čísel Nechť X1, . . . , Xn je náhodný výběr

z rozdělení, které má střední hodnotu µ a konečný rozptyl σ2, pak

X → µ skoro jist.

14.1. KRITICKÉ HODNOTY 183

Konvergence skoro jistě znamená, že existuje pouze množina (A ⊂ Ω) pravděpodob-

nosti 0 (P(A)=0), pro kterou výraz nekonverguje.

Věta 14.3 Náhodný výběr z normálního rozdělení Nechť X1, . . . , Xn

je náhodný výběr z N(µ, σ2), kde σ2 > 0. Pak platí následující tvrzení:

• X ∼ N(µ, σ2

n).

• Je-li n ≥ 2, pak (n− 1)S2/σ2 ∼ χ2n−1.

• Je-li n ≥ 2, pak X a S2 jsou nezávislé.

• Je-li n ≥ 2, pak X−µS

√n ∼ tn−1.

Důkazy výše uvedených vět může čtenář nalézt např v [2].

14.1 Kritické hodnoty

Kritické hodnoty obvykle vyjadřují hranici, kterou náhodná veličina překročí

se zadanou pravděpodobností α. Kritickým hodnotám se někdy také říká

kvantily. Kritické hodnoty se dají nalézt v tabulkách či ve specializovaných

programech. V programu Excel jsou to funkce NOR.MINV, CHISQ.INV,

T.INV, F.INV.

Kritické hodnoty normálního rozdělení u(α)

X ∼ N(0, 1), P (X ≥ u(α)) = 1− α.

Kritické hodnoty Pearsonova rozdělení χ2k(α)

X ∼ χ2k, P (X ≥ χ2

k(α)) = 1− α.


Kritické hodnoty Studentova rozdělení tk(α)

X ∼ tk, P (X ≥ tk(α)) = 1− α.

Kritické hodnoty Fisherova-Snedecorova rozdělení Fk,n(α)

X ∼ Fk,n, P (X ≥ Fk,n(α)) = 1− α.

Kritické hodnoty Fisherova-Snedecorova rozdělení Fk,n(α) jsou tabelovány

pro 0 < α ≤ 0, 5. Pro 0, 5 < α ≤ 1 počítáme kritické hodnoty dle vztahu

Fk,n(α) =1

Fn,k(1− α).

Chapter 15

Odhady parametrů

Jedním z cílů statistické indukce je odhad charakteristik (neboli parametrů)

základního statistického souboru.

Rozlišujeme dva druhy odhadů

• Bodové odhady

• Intervalové odhady neboli intervaly spolehlivosti

Bodové odhady střední hodnoty a rozptylu: Věta 14.1 nám říká, že

X je nestranný odhad střední hodnoty µ, jelikož EX = µ,

S2 je nestranný odhad σ2, jelikož ES2 = σ2.

Výše uvedené bodové odhady vyjadřují nejpravděpodobnější místo výskytu

teoretické hodnoty µ či σ2. Bodové odhady se liší výběr od výběru. Často je

nutné určit nepřesnost bodového odhadu. K tomu slouží odhad intervalový,

který nám určuje interval kolem bodového odhadu, který nám zaručuje, že

teoretická hodnota µ či σ2 leží v tomto intervalu s velkou pravděpodobností.

Tato pravděpodobnost se nazývá koeficient spolehlivosti q = 1− α. α se

185

186 CHAPTER 15. ODHADY PARAMETRŮ

nejčastěji volí 0,05, 0,01 nebo ve výjimečných případech, kdy potřebujeme

mít zaručenou velkou jistotu, 0.001.

Definice 15.1 Jsou-li B1, B2 takové statistiky příslušné parametru β zák-

ladního souboru, že pro číslo α ∈ (0, 1) platí

P (B1 ≤ β ≤ B2) = 1− α,

pak interval 〈B1, B2〉 nazýváme konfidenčním intervalem pro parametr βo spolehlivosti 1− α. Používá se také názvu interval 100(1− α) - procentní

spolehlivosti pro parametr β nebo názvu konfidenční interval pro parametr β

se 100(1− α) - procentní spolehlivostí.

15.1 Intervalové odhady pro parametry nor-málního rozdělení

Mějme X1, . . . , Xn náhodný výběr z N(µ, σ2), parametr σ2 > 0 není znám.

Potom podle věty 14.3 platí

X − µ

S

√n ∼ tn−1,

tudíž podle definice kritické hodnoty Studentova rozdělení je

P

(−tn−1

(1− α

2

)≤ X − µ

S

√n ≤ tn−1

(1− α

2

))= 1− α,

přeuspořádáním dostaneme oboustranný intervalový odhad pro střední hod-

notu µ normálního rozdělení o spolehlivosti 1− α⟨X − tn−1

(1− α

2

) S√n, X + tn−1

(1− α

2

) S√n

⟩. (15.1)

Připomeňme zde, že tn−1

(1− α

2

)je jedna kritická hodnota definovaná v před-

chozí kapitole.

15.1. INTERVALOVÉODHADY PRO PARAMETRYNORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ187

Intervalový odhad pro rozptyl σ2 dostaneme obdobně.

(n− 1)S2/σ2 ∼ χ2n−1.

P(χ2n−1

(α2

)≤ (n− 1)S2/σ2 ≤ χ2

n−1

(1− α

2

))= 1− α,

přeuspořádáním dostaneme oboustranný intervalový odhad pro rozptyl σ2

normálního rozdělení o spolehlivosti 1− α

⟨S2(n− 1)

χ2n−1

(1− α

2

) , S2(n− 1)

χ2n−1

(α2

)⟩. (15.2)

Příklad 15.1 Při kontrole balicího automatu, který má plnit cukrem balíčky

o váze 1 kg, byly při přesném převážení 5 balíčků zjištěny tyto odchylky

(v gramech) od požadované hodnoty (viz [1]):

−3, 2,−2, 0,−1.

Bodový odhad systematické odchylky je

X =1

n

n∑

i=1

Xi =1

5(−3 + 2− 2 + 0− 1) = −0, 8.

Pro výpočet intervalového odhadu pro systematickou odchylku musíme před-

pokládat, že jednotlivé odchylky jsou realizace nezávislých náhodných veličin

s rozdělením N(µ, σ2), kde σ2 je neznámý parametr. Spočteme

S2 =1

n− 1

(n∑

i=1

X2i − nX2

)

S2 =1

4[(−3)2 + 22 + (−2)2 + 02 + (−1)2]− 5(−0, 8)2 = 3.7.

Směrodatná odchylka S = 1, 9235. Kritickou hodnotu nalezneme ve stati-

stických tabulkách, eventuálně ve statistickém softwaru t4(0, 975) = 2, 776.


Intervalový odhad o spolehlivosti 0,95 pro systematickou odchylku je tedy

roven

⟨X − t4(0, 975)

S√5, X + t4(0, 975)

S√5

⟩= 〈−3, 18; 1, 58〉.

Někdy je třeba odhadnout rozsah výběru n, abychom dostali požadovanou

šířku intervalového odhadu. Nechť požadovaná šířka intervalu o spolehlivosti

0,95 je 1. Výše jsme provedli 5 měření, z nichž jsme odhadli směrodatnou

odchylku S. Ptáme se, kolik ještě máme udělat měření (za předpokladu, že

směrodatná odchylka je S), aby šířka výsledného intervalového odhadu byla 1.

Podle vzorce 15.1 dostaneme, že šířka intervalového odhadu o spolehlivosti

0,95 je

d = 2tn−1(0, 975)S√n.

V odstavci 9 jsme uvedli, že Studentovo rozdělení se zvětšujícím se stup-

něm volnosti n konverguje k normálnímu rozdělení, nahradíme tedy kvantil

tn−1(0, 975) kvantilem normálního rozdělení u(0, 975) = 1, 96. Hladiny u Stu-

dentova a normálního rozdělení se neshodují, protože kvantily jsou u těchto

rozdělení zavedeny rozdílně. Odtud dostáváme, že

n.= 4u(0, 975)2

S2

d2= 4 · 1, 9623, 7

1= 56, 85.

Je tudíž nutné provést nejméně 57 měření, aby šířka výsledného intervalového

odhadu byla přibližně 1.

Intervalový odhad o spolehlivosti 0,95 pro rozptyl spočteme podle vzorce 15.2,

přičemž kvantily rozdělení χ2 nalezneme v tabulkách.

⟨S2(n− 1)

χ2n−1(0.975)

,S2(n− 1)

χ2n−1(0, 025)

⟩=

⟨3, 7 · 411, 14

,3, 7 · 40, 48

⟩= 〈1, 33, 30, 83〉 .

15.2. INTERVALOVÝ ODHAD STŘEDNÍ HODNOTY POMOCÍ CLV189

15.2 Intervalový odhad střední hodnoty po-mocí CLV

V případě, že náhodné veličiny nemají normální rozdělení, nemůžeme použít

předchozí odhady. Je-li však náhodných veličin větší počet, můžeme pak

využít centrální limitní věty, která jednoduše řečeno říká, že součet většího

počtu náhodných veličin se chová jako normální rozdělení. Pro použití aprox-

imace pomocí CLV se obvykle doporučuje rozsah náhodného výběru n ≥ 20.

Mějme X1, . . . , Xn náhodný výběr z rozdělení s konečnou střední hodnotou

µ a konečným rozptylem σ2. Potom podle centrální limitní věty má

X − µ

S

√n →n→∞ Φ ∼ N(0, 1)

asymptoticky normované normální rozdělení. Podle definice kritické hodnoty

normovaného normálního rozdělení je

P

(−u(1− α

2) ≤ X − µ

S

√n ≤ u(1− α

2)

)= 1− α,

přeuspořádáním dostaneme oboustranný intervalový odhad pro střední hod-

notu µ o spolehlivosti 1− α⟨X − u(1− α

2)S√n, X + u(1− α

2)S√n

⟩. (15.3)

Příklad 15.2 Byl proveden pokus, při němž jsme 600 krát hodili kostkou

a z toho 75 krát padla šestka. Zajímá nás odhad pravděpodobnosti padnutí

šestky na této kostce. Zaveďme si náhodné veličiny X1, . . . , X600 s alter-

nativním rozdělením A(p), kde úspěch (X = 1) nastane, když padne 6, a

neúspěch (X = 0) nastane při výsledcích hodu 1-5. Zajímá nás p = P [X =

1]. Bodový odhad p je X = 75/600 = 0.125. Výběrový rozptyl

S2 =1

n− 1

n∑

i=1

(Xi − X

)2=

1

599

(75(1− 0, 125)2 + 525(0− 0, 125)2

)= 0, 109.


Pro vypočet intervalového odhadu o spolehlivosti 95% potřebujeme znát ještě

hodnotu u(0, 975) = 1.96.⟨X − u(0, 975)

S√n, X + u(0, 975)

S√n

⟩= 〈0, 098; 0, 151〉.

Tudíž skutečná pravděpodobnost padnutí šestky na této kostce leží s pravděpodob-

ností 0,95 v intervalu 〈0, 098; 0, 151〉. Pokud by kostka byla symetrická, paktato pravděpodobnost by byla 1/6 = 0, 166. Tato pravděpodobnost neleží

v intervalovém odhadu o spolehlivosti 95%, tedy tato kostka není spravedlivá

s pravděpodobností 0,95. Porovnejte s příkladem 16.5.

Chapter 16

Parametrické testy

Ve vědeckém výzkumu i v aplikacích se problémy často formulují ve tvaru

hypotéz. Statistická hypotéza je tvrzení, které se týká pravděpodobnostního

rozdělení, případně parametrů náhodné veličiny. Každá úloha testování hy-

potéz je formulována tak, že proti sobě stojí dvě hypotézy, a to hypotéza

H0 (nulová) proti alternativní H1. V této kapitole se budeme zaobírat

pouze parametickými testy, tzn. budeme předpokládat znalost pravděpodob-

nostního rozdělení příslušné náhodné veličiny, testovat budeme parametr

daného rozdělení. Předpokládejme, že rozdělení náhodné veličiny závisí na

parametru θ. O parametru θ se domníváme, že by mohl být roven danému

číslu θ0. V tomto případě nulovou hypotézu zapisujeme ve tvaru H0 : θ = θ0.

Alternativní hypotéza H1 může být buď ve tvaru H1 : θ 6= θ0 nebo H1 : θ >

θ0, popř. H1 : θ 6= θ0. V prvním případě se jedná o oboustrannou hypotézu,

ve druhém o jednostrannou (přesněji pravostrannou, popř. levostrannou).

Při svém rozhodnutí o platnosti H1 či H0 se můžeme dopustit jedné ze

dvou chyb. Stane-li se, že zamítneme H0, ačkoli je správná, uděláme tzv.

chybu prvního druhu. Stane-li se, že nezamítneme H0, ačkoli správná není,

uděláme tzv. chybu druhého druhu. Při testování samozřejmě požadujeme,

191

192 CHAPTER 16. PARAMETRICKÉ TESTY

aby pravděpodobnosti obou chyb byly co možná nejmenší. Při rozhodování

o správnosti té či oné hypotézy se opíráme o tak zvanou testovací statistiku

T . Testovací statistika je předem daný funkční předpis závisející na nějakém

náhodném výběru X1, X2, ...., Xn z určitého rozdělení. Hodnoty statistiky T

mohou ležet v jedné ze dvou disjunktních množin, a to buď v kritickém oboru

W (obor zamítnutí hypotézy H0) nebo v oboru přijetí V (obor nezamítnutí

hypotézy H0). Jak už bylo řečeno, můžeme se při testování dopustit jedné ze

dvou chyb, přičemž se obvykle trvá jen na požadavku, aby pravděpodobnost

chyby prvního druhu byla rovna nebo menší než α, kde α je nějaké dané číslo

z intervalu (0,1). V praxi se nejčastěji volí α = 0, 05 nebo α = 0, 01 a číslu

α se říká hladina testu.

Poznámka 16.1 v současné době udává běžný statistický software (Statis-

tica, R, S+, SAS, ale i Excel) tzv. dosaženou hladinu (v anglicky psané

literatuře udávané pod názvem P-value, significance value). Je to nejmenší

hladina testu, při které bychom ještě hypotézu H0 zamítli. Tudíž zvolíme-li

α = 0, 05, a P-value vyjde menší než 0,05 (nebo rovna), pak zamítáme hy-

potézu H0 na hladině α = 0, 05. Pokud P-value vyjde větší než 0,05, pak

nezamítáme hypotézu H0 na hladině α = 0, 05.

16.1 Jednovýběrový t test

Nechť X1, . . . , Xn, je náhodný výběr z N(µ, σ2), kde n > 1. Parametr σ2 > 0

není znám. Je třeba testovat hypotézu H0 : µ = µ0, kde µ0 je dané číslo,

proti alternativě H1 : µ 6= µ0. Hypotézu H0 zamítneme, bude-li X hodně

vzdáleno od čísla µ0. Z věty 14.3 víme, že za platnosti hypotézy H0 má

statistika

T =(X − µ0)

√n

S∼ tn−1

16.1. JEDNOVÝBĚROVÝ T TEST 193

Studentovo rozdělení o n− 1 stupních volnosti. Podle definice kritické hod-

noty Studentova rozdělení dostaneme, že

P(|T | ≥ tn−1

(1− α

2

))= α.

Tedy hypotézu H0 zamítneme na hladině α, jestliže platí

|T | ≥ tn−1

(1− α

2

).

v případě jednostranné alternativy H1 : µ > µ0, resp. H1 : µ < µ0 hypotézu

H0 zamítneme, jestliže

T ≥ tn−1(1− α), resp. T ≤ −tn−1(1− α).

Příklad 16.1 Vraťme se k příkladu 15.1. Má se rozhodnout o tom, zda

automat má systematickou výchylku. Tudíž je třeba testovat hypotézu H0 :

µ = 0 proti alternativě H1 : µ 6= 0 na hladině α = 0, 05 (tj. že odchylky

kolísají kolem nuly a nejsou systematicky posunuty ani do kladných ani do

záporných hodnot). Máme n = 5, µ0 = 0, X = −0, 8, S = 1, 9235,

T =X − µ0

S

√n = −0, 93.

Protože | − 0, 93| < t4(0, 975) = 2, 776, nezamítáme H0. Tudíž zjištěná data

neodporují předpokladu, že automat nemá systematickou odchylku. Všim-

něte si, že µ0 = 0 (střední hodnota za platnosti hypotézy H0) leží uvnitř

intervalového odhadu o spolehlivosti 0,95. Neboli 0 je pravděpodobná hod-

nota skutečné střední hodnoty a tudíž nemůžeme zamítnout H0. Oba přístupy

k testování hypotéz, jak klasický přístup, tak přes intervalový odhad, jsou ek-

vivalentní.


16.2 Test o rozptylu normálního rozdělení

Nechť X1, . . . , Xn je náhodný výběr z N(µ, σ2), kde n > 1. Je třeba testovat

hypotézu H0 : σ2 = σ20, kde σ

20 je dané číslo, proti alternativě H1 : σ2 6= σ2

0.

Hypotézu H0 zamítneme, bude-li S2 hodně vzdáleno od čísla σ20. Z věty 14.3

víme, že za platnosti hypotézy H0 má statistika

T =(n− 1)S2

σ20

∼ χ2n−1

χ2 rozdělení o n − 1 stupních volnosti. Podle definice kritické hodnoty

rozdělení χ2 dostaneme, že

P(χ2n−1

(α2

)≤ (n− 1)S2/σ2

0 ≤ χ2n−1

(1− α

2

))= 1− α,


T ≤ χ2n−1

(α2

)nebo T ≥ χ2

n−1

(1− α

2

).

V případě jednostranné alternativy H1 : σ2 > σ20, resp. H1 : σ2 < σ2

0

hypotézu H0 zamítneme, jestliže

T ≥ χ2n−1(1− α), resp. T ≤ χ2

n−1(α).

Příklad 16.2 Zácvik laboranta na určitém optickém přístroji považujeme

za ukončený, jestliže při měření určitého objektu dosahuje rozptylu nejvýše

0,0196. Byly naměřeny hodnoty:

6, 82; 6, 44; 6, 38; 6, 21; 6, 38; 6, 60; 6, 32.

v tomto případě je třeba provést test s jednostrannou alternativou. Zajímá

nás, zda σ2 ≤ 0, 0196 nebo σ2 > 0, 0196. Za hypotézu H0 musíme vždy

zvolit, tu do které patří rovnost. Tudíž testujeme H0 : σ2 ≤ 0, 0196 proti

alternativě H1 : σ2 > 0, 0196. Spočteme výběrový rozptyl S2 = 0, 0406 a

statistiku T = 6S2

0,0196= 12, 44. Kritická hodnota χ2

6(0, 95) = 12, 59, tudíž

16.3. PÁROVÝ T TEST 195

T < χ26(0, 95) a tedy nemůžeme zamítnout hypotézu H0. Všimněte si, že

odhad rozptylu je výrazně větší než požadovaný rozptyl, ale naměřená data

nám neumožňují zamítnout hypotézu, že rozptyl je roven požadované hodnotě

na hladině α = 0, 05. Neboli, je více než 5% pravděpodobnost, že naměřená

data by mohla vzniknout z normálního rozdělení s rozptylem 0,0196.

16.3 Párový t test

Mějme náhodný výběr (Y1, Z1), (Y2, Z2), . . . , (Yn, Zn) z nějakého dvourozměrného

rozdělení, jehož vektor středních hodnot je (µ1, µ2). Chceme testovat hy-

potézu H0 : µ1 − µ2 = ∆ proti alternativě H1 : µ1 − µ2 6= ∆, kde ∆ je nějaké

dané číslo (nejčastěji ∆ = 0). Položíme

X1 = Y1 − Z1, X2 = Y2 − Z2, . . . , Xn = Yn − Zn.

VeličinyX1, X2, ..., Xn jsou nezávislé. Předpokládejme, žeXi ∼ N(µ, σ2), i =

1, 2, . . . , n. Zřejmě µ = µ1 − µ2. Jsou-li tyto předpoklady splněny, pak je

úloha převedena na jednovýběrový t test. Z veličin X1, X2, ..., Xn vypočteme

X a S2. Hypotézu H0 zamítneme na hladině α, platí-li

|T | =∣∣∣∣(X −∆)

√n

S

∣∣∣∣ ≥ tn−1

(1− α

2

).

Párový t test se používá v situacích, kdy na každém z n objektů máme

naměřeny dvě veličiny. Jednotlivé objekty lze zpravidla pokládat za nezávislé,

ale měření na témž objektu nikoli. Párový t test použijeme, když např.

testujeme účinnost nějakého léku na n pacientech, přičemž Yi jsou hodnoty

naměřené před podáním léku a Zi jsou hodnoty naměřené po podání léku.

Příklad 16.3 Má se rozhodnout na hladině α = 0, 05, zda lék na snížení

krevního tlaku je účinný či nikoli. Bylo proto vybráno 6 pacientů jimž byl


změřen tlak před aplikací léku a hodinu po aplikaci léku. Vyšší z obou hodnot

měření tlaku každého pacienta je zaznamenána v tabulce.

Pacient 1 2 3 4 5 6Před podáním léku: 180 160 150 165 170 175Po podání léku: 150 155 155 150 155 170Rozdíl 30 5 -5 15 15 5

Rozdíly měření budeme považovat za realizace nezávislých náhodných veličin

s rozdělením N(µ, σ2), kde σ2 není známo. Pokud lék nemá vliv na tlak krve,

platí hypotéza H0 : µ = 0. Máme tedy n = 6,∆ = 0,

X = 1n

∑ni=1 Xi =

16(30 + 5− 5 + 15 + 15 + 5) = 10, 833,

S2 =1

n− 1

(n∑

i=1

X2i − nX2

)=

1

5(302+52+52+152+152+52−6·10, 8332) =

144, 167, S = 12, 007, T =X −∆

S

√n = 2, 21, T < t5(0, 975) = 2, 57, tudíž

na základě uvedených měření hypotézu H0 nezamítáme.

16.4 Dvouvýběrový t test

Nechť X1, X2, . . . , Xn je výběr z N(µ1, σ2) a Y1, Y2, . . . , Ym výběr z N(µ2, σ

2).

Nechť tyto dva výběry jsou na sobě nezávislé. Předpokládejme, že n ≥2,m ≥ 2, σ2 > 0 a σ2 neznáme. Chceme testovat hypotézu H0 : µ1 −µ2 = ∆ proti H1 : µ1 − µ2 6= ∆, kde ∆ je nějaké dané číslo (nejčastěji

∆ = 0). Označme X, S2X a Y , S2

Y charakteristiky těchto výběrů. Hypotézu

H0 zamítneme na hladině α, platí-li

| T |=∣∣∣∣∣

X − Y −∆√(n− 1)S2

X + (m− 1)S2Y

·√

nm(n+m− 2)

n+m

∣∣∣∣∣ ≥ tn+m−2

(1− α

2

).

Dvouvýběrový t test používáme v případech, kdy se např. na n pacientech

zkouší působení léku A a na jiných m pacientech působení léku B. Účelem

pokusu je zjistit, zda je působení obou léků stejné.

16.5. TEST SHODNOSTI DVOU ROZPTYLŮ 197

Často dochází k záměně párového a dvouvýběrového t testu, což je hrubá

chyba. Dvouvýběrový t test můžeme použít pouze v případě, když máme

zajištěnu nezávislost všech veličin X1, X2, . . . , Xn, Y1, Y2, . . . , Ym. V případě

záměny těchto testů dojdeme zpravidla k nesmyslným výsledkům.

Předpoklady: Pro výše uvedené testy platí určité předpoklady. Jedním

z nich je nezávislost jednotlivých veličin. Tento předpoklad je nejdůležitější,

neboť jeho porušení má závažné důsledky a činí závěry založené na před-

chozích testech chybnými. Dalším předpokladem je normalita rozdělení.

Vzhledem k centrální limitní větě a zákonu velkých čísel její porušení při

větším rozsahu náhodného výběru není závažné. Navíc v odstavci 16.7 je

uveden test za pomoci CLV, který normalitu nepředpokládá. Při závažném

porušení normality a malém rozsahu náhodného výběru dáváme přednost

použití některého neparametrického testu. Testy na normalitu náhodného

výběru jsou uvedeny v odstavcích 21.2 a 21.4. U dvouvýběrového t testu je

další požadavek, a to shodnost rozptylů obou rozdělení. V případě, že rozdíl

ve velikosti rozptylů není příliš veliký, porušení tohoto požadavku neovlivní

podstatným způsobem celkový výsledek. O shodnosti rozptylů rozhodneme

na základě následujícího testu.

16.5 Test shodnosti dvou rozptylů

Nechť X1, X2, . . . , Xn je výběr z N(µ1, σ21) a Y1, Y2, . . . , Ym výběr z N(µ2, σ

22).

Nechť tyto dva výběry jsou na sobě nezávislé. Předpokládejme, že n ≥2,m ≥ 2, σ2

1 > 0, σ22 > 0. Testujeme hypotézu H0 : σ2

1 = σ22 proti H1 : σ2

1 6=σ22. Protože S

2X je nestranný odhad parametru σ2

1 a S2Y parametru σ2

2, lze

očekávat, že za platnosti hypotézy H0 bude podílS2X

S2Y

blízký jedné. Proti H0

budou tedy svědčit buď hodnoty blízké nule nebo hodnoty velké. Hypotézu



S2X

S2Y

≤ k1 neboS2X

S2Y

≥ k2,

přičemž

k1 = Fn−1,m−1(α

2) =

1

Fm−1,n−1(1− α/2), k2 = Fn−1,m−1(1−

α

2),

kde Fn−1,m−1(1 − α/2) je kritická hodnota Fisherova-Snedecorova rozdělení

o n− 1 a m− 1 stupních volnosti.

Příklad 16.4 Zemědělci oseli 11 polí, z toho u 6 polí použili hnojivo A a

u zbylých 5 polí použili hnojivo B. Po sklizni byli u každého pole stanoveny

průměrné výnosy (v tunách na hektar).Hnojivo A 62 54 55 60 53 58Hnojivo B 52 56 49 50 51

Je třeba zjistit, zda jsou obě hnojiva stejně efektivní. Průměrné výnosy

v první skupině budeme pokládat za výběr z N(µ1, σ2), průměrné výnosy ve

druhé za výběr z N(µ2, σ2). Parametr σ2 není znám. Hypotéza, že obě hno-

jiva jsou stejně efektivní, se dá vyjádřit jako H0 : µ1 = µ2.

Máme n=6, m=5, ∆ = 0, odtud vypočteme S2X = 12, 8, S2

Y = 7, 3 a S2X/S

2Y =

12, 8/7, 3 = 1, 753. Hypotézu o shodnosti rozptylů bychom zamítli, kdyby

platilo buď

S2X/S

2Y ≦ 1/F4,5(0, 975) = 1/7, 388 = 0, 135,

nebo

S2x/S

2y ≧ F5,4(0, 975) = 9, 3654.

Poněvadž žádný z těchto případů nanastal, hypotézu o shodnosti rozptylů

nezamítneme, a tudíž můžeme použít dvouvýběrový t test.

Je vidět, že je výhodné zavést takové označení, aby platilo S2X ≧ S2

Y . Pak

totiž při oboustranném testu stačí zjistit, zda S2X/S

2Y ≧ Fn−1,m−1(1−α/2), a

není třeba počítat převrácené hodnoty kritických hodnot.

16.6. POROVNÁVÁNÍ STŘEDNÍCH HODNOT PŘI NESTEJNÝCH ROZPTYLECH199

X = 57, Y = 51, 6,

T =X − Y −∆√

(n− 1)S2X + (m− 1)S2

Y

·√

nm(n+m− 2)

n+m= 2, 7712.

T > t9(0, 975) = 2, 26, tedy zamítáme hypotézu H0 o shodnosti efektivity

hnojiva A a B.

16.6 Porovnávání středních hodnot při neste-jných rozptylech

Nechť X1, X2, ..., Xn je výběr z N(µ1, σ21) a Y1, Y2, ..., Yn je výběr z N(µ2, σ

22)

nezávislý na prvním výběru. Víme-li, že σ21 6= σ2

2, můžeme střední hodnoty

porovnat následovně. Je-lim ≥ n, utvoříme rozdíly X1−Y1, X2−Y2, ..., Xn−Yn. Na ně lze aplikovat jednovýběrový t test, neboť jednotlivé rozdíly jsou na

sobě nezávislé a každý z nich má rozdělení N(µ1 − µ2, σ21 + σ2

2). Nevýhodou

tohoto postupu je nejen ztrátam−n veličin Y -ových, ale i neefektivní využití

zbývajících veličin.

Místo předcházející metody se v praxi dává přednost tomuto přibližnému

testu: Nejprve se vypočte

S2X =

1

n− 1

(n∑

i=1

X2i − nX2

), S2

Y =1

m− 1

(m∑

j=1

Y 2j −mY 2

)

S =

√S2X

n+

S2Y

m, vx =

S2X

n, vy =

S2Y

m.

Testujeme-li H0 : µ1 − µ2 = 0 proti H1 : µ1 − µ2 6= 0, pak H0 zamítneme

v případě, že platí nerovnost

|X − Y |S

≥ vxtn−1

(1− α

2

)+ vytm−1

(1− α

2

)

vx + vy.

Tento test má přibližně hodnotu α.


16.7 Test o střední hodnotě pomocí CLV

v případě, že náhodné veličiny výrazně nesplňují normalitu, nemůžeme použít

předchozí testy. Je-li však náhodných veličin větší počet, můžeme pak využít

centrální limitní věty, která říká, že součet většího počtu náhodných veličin

se chová jako normální rozdělení. Pro použití aproximace pomocí CLV se

obvykle doporučuje rozsah náhodného výběru n ≥ 20.

Mějme X1, . . . , Xn náhodný výběr z rozdělení s konečnou střední hodnotou

µ a konečným rozptylem σ2. Je třeba testovat hypotézu H0 : µ = µ0, kde µ0

je dané číslo, proti alternativě H1 : µ 6= µ0. Hypotézu H0 zamítneme, bude-li

X hodně vzdáleno od čísla µ0. Podle centrální limitní věty má statistika

T =X − µ0

σ0

√n →n→∞ Φ ∼ N(0, 1)

za platnosti H0 asymptoticky normované normální rozdělení.

Podle definice kritické hodnoty normovaného normálního rozdělení je asymp-

toticky

P(|T | ≤ u(1− α

2))= 1− α.


|T | ≥ u(1− α

2).

v případě jednostranné alternativy H1 : µ > µ0, resp. H1 : µ < µ0 hypotézu


T ≥ u(1− α), resp. T ≤ −u(1− α).

v případě, že σ20 není známo, použijeme místo něj ve výpočtu statistiky T

jeho nestranný odhad S2.

16.7. TEST O STŘEDNÍ HODNOTĚ POMOCÍ CLV 201

Příklad 16.5 Vraťme se k příkladu 15.2. Má se rozhodnout o tom, zda

kostka je symetrická. Tudíž je třeba testovat hypotézu H0 : µ = 1/6 proti

alternativě H1 : µ 6= 1/6 na hladině α = 0, 05 (tj. že pravděpodobnost padnutí

kostky na této kostce je 1/6). Máme n = 600, µ0 = 1/6, X = 0, 125, S2 =

0, 109. Rozptyl náhodné veličiny Xi ∼ A(µ0) za platnosti hypotézy H0 je

σ20 = µ0(1− µ0).

T =X − µ0

σ0

√n = −2, 74.

Protože | − 2, 74| > u(0, 975) = 1, 96, zamítáme H0. Tudíž zjištěná data

odporují předpokladu, že kostka je symetrická. Všimněte si, že u tohoto

testu jsme použili σ20, zatímco v příkladu 15.2 jsme použili S

2. Oba přís-

tupy k testování hypotéz, jak klasický, tak přes intervalový odhad, jsou ekvi-

valentní.

Chapter 17

Neparametrické testy

Parametrické testy jsou založeny na několika předpokladech. Jedním z nich

je předpoklad, že výběr pochází z daného rozdělení. Toto rozdělení je známo,

až na některé parametry. Často je dané rozdělení normální (viz Studentovy

t testy), přičemž porušení normality při dostatečně velkém výběru nemění

závěry testů. V tomto případě se totiž můžeme opřít o centrální limitní větu

a zákony velkých čísel. Často se však setkáváme s výběry malých rozsahů,

které pocházejí z výrazně ”nenormálních” základních souborů. Při práci

s nimi potom využíváme tzv. neparametrické testy. Tyto testy mají

velmi obecné předpoklady a jsou matematicky nenáročné. Před uvedením

některých neparametrických testů zavedeme pojem pořadí. Mějme daná

různá reálná čísla x1, x2, . . . , xn. Pořadím Ri čísla xi nazýváme počet těch

čísel x1, x2, . . . , xn, která jsou menší nebo rovna číslu xi. Mějme např. čísla

5,8,9,3,2,1. Číslo 5 má pořadí 4, protože čísla (5,3,2,1) jsou menší nebo rovna

pěti. Shrnutím do tabulky dostaneme

Čísla xi 5 8 9 3 2 1Pořadí Ri 4 5 6 3 2 1

Může se stát, že čísla x1, x2, . . . , xn nejsou různá, tzn. některá z nich jsou

202

17.1. ZNAMÉNKOVÝ TEST 203

si rovna a vytvářejí tzv. shody. V tomto případě se pak číslům, které tvoří

shodu, přiřazuje průměrné pořadí odpovídající takové skupince. Např. čís-

lům 5,5,5,9,9,2,1 se přiřadí pořadí R1, R2, . . . , R7, uvedené v tabulce:

Očíslování hodnot xi 1 2 3 4 5 6 7Vzestupně uspořádané hodnoty xi 1 2 5 5 5 9 9Pořadí Ri 1 2 4 4 4 6,5 6,5

17.1 Znaménkový test

Nechť x1, x2, . . . , xn je náhodný výběr z rozdělení se spojitou distribuční

funkcí, x je medián tohoto rozdělení, potom platí:

P (X < x) = P (X > x) =1

2.

Chceme testovat hypotézu

H0 : x = x0 proti alternativě H1 : x 6= x0,

kde x0 je dané číslo (nejčastěji rovno nule). Utvoříme nejprve rozdíly

X1 − x0, X2 − x0, . . . , Xn − x0.

Náhodná veličina Y pak bude označovat počet těch rozdílů, které mají kladné

znaménko. Za předpokladu platnosti hypotézy H0 má náhodná veličina Y

binomické rozdělení s parametry n a 12. Při oboustranném testu tvoří kritický

obor jednak příliš malé hodnoty Y (tj. hodnoty ležící blízko nule), jednak

příliš velké hodnoty Y (tj. hodnoty blízké n ). V případě malého rozsahu

výběru (tj. pro malá n ) jsou tabelována čísla k1, k2 tak, že

P (Y ≤ k1) ≤α

2, P (Y ≥ k2) ≤

α

2

pro α = 0, 05 a pro α = 0, 01. Kritické hodnoty k1, k2 je možné nalézt

v tabulkách. Hypotézu H0 tedy zamítáme, jestliže zjistíme, že Y ≤ k1 nebo

Y ≥ k2.

204 CHAPTER 17. NEPARAMETRICKÉ TESTY

Při velkém rozsahu náhodného výběru (stačí n ≥ 20) vypočteme

U =2Y − n√

n.

Veličina U má za platnosti H0 podle CLV asymtoticky rozdělení N(0,1), tudíž

hypotézu H0 zamítneme, jestliže

|U | ≥ u(1− α

2

).

Znaménkový test je možné provést též jako párový test. Na rozdíl od párového

t testu nemusíme k provedení znaménkového testu znát přesné hodnoty

Xi, Yi, i = 1, 2, ..., n, ale stačí vědět, zdali je rozdíl Xi − Yi kladný nebo

záporný. Z tohoto důvodu je znaménkový test použitelný i v případě, kdy

jsou k dispozici pouze kvalitativní srovnání, např. lék A působí lépe než lék

B. U znaménkového testu můžeme dojít k tomu, že některé rozdíly budou

rovny nule. Např. u kvalitativního srovnání není subjekt schopen rozhod-

nout o vlivu tím či oním směrem. V tomto případě se doporučuje nulové

hodnoty vynechat a za n vzít jen počet nenulových hodnot.

17.2 Jednovýběrový Wilcoxonův test

Tento test se rovněž nejčastěji používá jako test párový. Jeho provedení je

o něco náročnější než provedení znaménkového testu, zato je však citlivější.

Předpokládejme, že X1, X2, . . . , Xn je náhodný výběr ze spojitého rozdělení

s distribuční funkcí F (x). Chceme testovat hypotézu, že F je symetrická

kolem nuly v tom smyslu, že

F (x) = 1− F (−x), −∞ < x < ∞.

v tomto případě je nula mediánem daného rozdělení. Seřaďme X1,X2,. . .,Xn

do rostoucí posloupnosti podle velikosti jejich absolutní hodnoty, tj.

|X|(1) < |X|(2) < ... < |X|(n).

17.2. JEDNOVÝBĚROVÝ WILCOXONŮV TEST 205

Při tomto uspořádání označíme R+i pořadí Xi a zavedeme veličiny

S+ =∑

Xi≥0

R+i , S− =

∑

Xi<0

R+i

vyjadřující součet pořadí nezáporných hodnot Xi, resp. záporných hodnot.

Pokud jsme určili veličiny S+ a S− správně, musí platit S+ + S− = n(n+1)2,

neboť sčítáme čísla od 1 do n. Pro testování symetričnosti distribuční funkce

kolem nuly použijeme statistiku min(S+, S−). Pokud je tato statistika menší

nebo rovna tabelované kritické hodnotě, hypotézu zamítneme. Kritické hod-

noty jsou uvedeny v tabulkách. Pro větší hodnoty n opět použijeme testovou

statistiku, která bude mít asymptoticky rozdělení N(0,1) a tvar

U =S+ − 1

4n(n+ 1)√

24n(n+ 1)(2n+ 1).

V případě

|U | ≥ u(1− α

2)

zamítneme hypotézu na hladině, která je asymptoticky rovna α.

Příklad 17.1 Speciální cvičení na paměťové počítání bylo testováno na 11

žácích. V následující tabulce jsou uvedeny časy v sekundách, za které vyřešili

kontrolní úlohy před cvičením a po cvičení. Můžeme tvrdit, že tato cvičení

zlepšují schopnost žáků při řešení úloh na hladině α = 0, 05?

Před cvičením 87 61 98 90 93 74 83 72 81 75 83Po cvičení 50 45 79 90 88 65 52 79 84 61 52Rozdíly 37 16 19 0 5 9 29 -7 -3 14 31Pořadí absolutních hodnot 11 7 8 1 3 5 9 4 2 6 10

Testujeme hypotézu H0 : F (x) = 1 − F (−x), neboli hypotézu, že cvičení

nemá vliv na schopnost řešení úloh.

206 CHAPTER 17. NEPARAMETRICKÉ TESTY

S+ = 1 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 60

S− = 2 + 4 = 6

Kritická hodnota jednovýběrového Wilcoxonova testu je w11(0, 05) = 10

min(S+, S−) < w11(0, 05), z toho plyne, že zamítáme hypotézu H0 na hladině

5%.

Tato úloha se dá řešit i znaménkovým testem, avšak při něm nevyužijeme

všech informací, které známe, a to může vést k mylným závěrům. Počet

kladných hodnot je Y = 9. Kritické hodnoty znaménkového testu jsou k1 =

1, k2 = 10. k1 < Y < k2, z toho plyne, že nezamítáme hypotézu. V tomto

případě dostaneme rozdílné výsledky obou testů. Znaménkový test nemá

dostatek informací pro zamítnutí hypotézy H0, protože využívá pouze počtu

záporných hodnot, zatímco u Wilcoxonova testu využijeme navíc znalosti

toho, že záporné hodnoty jsou poměrně malé. Řekneme, že Wilcoxonův test

je silnější než znaménkový test.

17.3 Dvouvýběrový Wilcoxonův test

Tento test se používá nejčastěji místo dvouvýběrového t testu. Opět dochází

k zobecnění předpokladu, který je kladen na distribuční funkce daných náhod-

ných výběrů. Nechť X1, X2, . . . , Xn1 a Y1, Y2, . . . , Yn2 jsou dva nezávislé

výběry ze dvou spojitých rozdělení. Chceme testovat hypotézu, že distribuční

funkce obou rozdělení jsou totožné. Oba výběryX1, X2, . . . , Xn1 , Y1, Y2, . . . , Yn2

uspořádáme společně, jako jeden výběr, vzestupně podle velikosti. Zjistíme

součet pořadí hodnot X1, X2, ..., Xn1 ve spojených výběrech. Součet oz-

načíme T1. Dále zjistíme součet pořadí hodnot Y1, Y2, ..., Yn2 a označíme

ho T2. Vypočteme

U1 = n1n2 +n1(n1 + 1)

2− T1, U2 = n1n2 +

n2(n2 + 1)

2− T2.

17.3. DVOUVÝBĚROVÝ WILCOXONŮV TEST 207

Vzhledem k tomu, že T1+T2 =(n1+n2+1)(n1+n2)

2, platí U1+U2 = n1n2. Pokud

min(U1, U2) je menší nebo rovno kritické hodnotě uvedené v tabulce, zamít-

neme hypotézu, že distribuční funkce obou rozdělení jsou stejné. Při velkém

rozsahu obou výběrů opět přejdeme ke statistice, která má za platnosti hy-

potézy asymptoticky rozdělení N(0,1) a tvar

U0 =U1 − n1n2

2√n1n2

12(n1 + n2 + 1)

.

Pokud |U0| ≥ u(1− α2), zamítneme hypotézu na hladině asymptoticky rovné

α.

Příklad 17.2 V následující tabulce je uvedena délka těla larev chrobáků ži-

jících v osevech zimní rýže a prosa.Délka v rýži 7 10 14 15 12 16 12Délka v prosu 11 12 16 13 18 15 -Pořadí délek v rýži 1 2 8 9.5 5 11.5 5Pořadí délek v prosu 3 5 11.5 7 13 9.5 -

Naším úkolem je porovnat rozdělení těchto délek na hladině α = 0, 05. Součet

pořadí v rýži je roven T1 = 42 a v prosu je roven T2 = 49. n1 = 7 a n2 = 6.

Spočteme U1 = 42 + 56/2 − 42 = 28, U2 = 42 + 42/2 − 49 = 14. Kritická

hodnota dvouvýběrového Wilcoxonova testu na hladině α = 0, 05 pro rozsahy

výběrů 7,6 je rovna W7,6(0, 05) = 6. Protože min(U1, U2)> W7,6(0, 05), neza-

mítáme hypotézy o shodnosti rozdělení obou výběrů.

Chapter 18

Porovnání více výběrů

V praktických situacích dochází často k situacím, kdy máme jednu skupinu

kontrolní a několik skupin pokusných. Úkolem je ověřit, zda rozdíly mezi

všemi těmito skupinami jsou nahodilé nebo zda se mezi nimi projevují nějaké

systematické odchylky. K tomuto účelu slouží níže uvedené testy.

18.1 Analýza rozptylu jednoduchého třídění

Tento test je zobecněním dvouvýběrového t testu, který rozšíříme na případ

(I ≥ 3) výběru. Uvažujme tedy I nezávislých výběrů,

Y11, ..., Y1n1 je výběr z N(µ1, σ2)

atd. až

YI1, ..., YInIje výběr z N(µI , σ

2).

Chceme testovat hypotézu H0 : µ1 = . . . = µI proti alternativě, že existují

alespoň dvě střední hodnoty, které si rovny nejsou.

Někdy se uvedená situace zapisuje modelem:

Yij = µ+ αi + eij,

208

18.1. ANALÝZA ROZPTYLU JEDNODUCHÉHO TŘÍDĚNÍ 209

kde µ+αi = µi a eij ∼N(0, σ2) je chyba vyplývající z nepřesnosti měření nebo

ze systematické odchylky od průměru. Hypotézu H0 přepíšeme na jednodušší

model, který je splněn, pokud platí hypotéza H0:

Yij = µ+ eij.

Test provedeme následovně. Nejprve si označme průměry jednotlivých výběrů

Y i =Yi1 + ...+ Yini

ni

pro i = 1, ..., I

a průměr všech hodnot

Y =

∑i

∑j Yij

n,

kde n = n1 + . . .+ nI . Nyní spočtěme celkový součet čtverců ST (tj. celková

kvadratická chyba modelu za platnosti H0, tedy v případě že µ1 = . . . =

µI = µ). Za odhad µ se bere Y .

ST =∑

i

∑

j

(Yij − Y )2 =∑

i

∑

j

Y 2ij − nY

2.

Reziduální součet čtverců Se je celková kvadratická chyba modelu za před-

pokladu, že hypotéza H0 neplatí, tedy v případě že µ1 6= . . . 6= µI . Za odhad

µi se bere Y i.

Se =∑

i

∑

j

(Yij − Y i)2 =

∑

i

∑

j

Y 2ij −

∑

i

niY2

i .

Veličina SA = ST − Se se interpretuje jako součet čtverců připadající na

rozdíly v ošetřeních. Tato veličina je vždy kladná, protože chyba obecnějšího

modelu Se je vždy menší než chyba jednoduššího modelu ST . Je-li SA malé,

pak jsou si oba modely podobné, a tudíž nebudeme zamítat hypotézu H0.

Je-li SA velké, pak obecnější model vysvětluje velkou část celkové chyby ST

a tudíž zamítneme H0.

210 CHAPTER 18. POROVNÁNÍ VÍCE VÝBĚRŮ

Za platnosti hypotézy H0 má statistika

FA =(n− I)SA

(I − 1)Se

∼ FI−1,n−I

F rozdělení o I − 1 a n− I stupních volnosti. Tedy hypotézu H0 zamítneme

na hladině α v případě, že

FA ≥ FI−1,n−I(1− α).

Výsledky celého testu se stručně zapisují do tabulky (viz tabulka 18.1).

Variabilita součet čtverců počet stupňů podílS volnosti f S/f F

ošetření SA fA = I − 1 SA/fA FA

reziduální Se fe = n− I Se/fe -celková ST ft = n− 1 - -

Table 18.1: Tabulka analýzy rozptylu

Přepoklady tohoto testu jsou obdobné předpokladům dvouvýběrového t

testu (viz strana 197). Nejdůležitější je opět nezávislost jednotlivých výběrů,

normalita může být porušena, pokud rozsahy výběrů umožňují použití CLV.

Není-li tomu tak, je vhodnější provést neparametrickou obdobu tohoto testu,

která se nazývá Kruskalův-Wallisův test. Posledním předpokladem je shod-

nost rozptylů všech výběrů. Pokud by odhad některého rozptylu vycházel

velmi odlišně od ostatních, měli bychom provést test shody rozptylů (viz

např. [2]).

Veličina s2 = Se/(n− I) se nazývá reziduální rozptyl a je nestranným odha-

dem rozptylu σ2.

Poznámka 18.1 Mohlo by se zdát, že výše uvedený test by se dal provádět

sadou dvouvýběrových t testů, provedených na každou dvojici výběrů. Ovšem

18.1. ANALÝZA ROZPTYLU JEDNODUCHÉHO TŘÍDĚNÍ 211

takových testů bychom museli udělat I(I − 1)/2. Kdyby každý z nich byl

proveden na hladině α, byla by výsledná hladina výrazně větší než α. Pokud

bychom hladinu každého testu snížili na 2α/I(I − 1), byla by celková hladina

naopak podstatně menší než α. Ukazuje se, že tento postup nevede k dobrým

výsledkům.

V případě, že hypotézu H0 zamítneme, je často třeba rozhodnout, pro které

dvojice indexů platí µi 6= µj. Tento problém řeší Tukeyova metoda mno-

honásobného porovnání.

Protože Y i je odhadem pro µi, vytvoří se nejprve tabulka rozdílů Y i − Y j

(viz tabulka 18.2).

ji 2 3 . . . I

1 Y 1 − Y 2 Y 1 − Y 3 . . . Y 1 − Y I

2 Y 2 − Y 3 . . . Y 2 − Y I...

......

. . ....

I − 1 Y I−1 − Y I

Table 18.2: Rozdíly průměrů

Statistika|Y i − Y j|

s√

12( 1ni

+ 1nj)∼ qI,n−I

má rozdělení nazývající se studentizované rozpětí. Kritická hodnota qI,f (α)

studentizovaného rozpětí je takové číslo, pro něž platí P [Q ≥ qI,f (α)] = α.

Tyto kritické hodnoty jsou tabelovány. Tudíž platí-li

|Y i − Y j| ≥ sqI,n−I(α)

√1

2

(1

ni

+1

nj

),


zamítáme hypotézu o rovnosti µi = µj. Provedeme-li tento postup pro

všechny dvojice, pak hladina testu je menší nebo rovna α. Rovnost nastává

v případě, že všechny výběry mají stejný rozsah.

Abychom se lépe orientovali ve výsledcích Tukeyovy metody, připisuje se

do tabulky 18.2 ke každému rozdílu hvězdička, pokud je rozdíl významný

(signifikantní) na hladině 0,05. Dvě hvězdičky pro významnost na hladině

0,01 a tři pro 0.001.

Příklad 18.1 Sleduje se účinek tří protikorozních látek. První byla použita

ve 20 případech, druhá ve 25 případech a třetí ve 22 případech. Po stanovené

době byl zjištěn stupeň poškození s těmito výsledky

Y 1 = 82, 4; S21 = 12; Y 2 = 80; S2

2 = 10; Y 3 = 85, 8; S23 = 12.

Bohužel konkrétní měření se nedochovala. Postupně vypočteme: n = 67, Y =

(n1Y 1 + n2Y 2 + n3Y 3)/n = 82.64.

Podle definice výběrového rozptylu S2i = 1

n−1

∑j Y

2ij− n

n−1Y

2

i vypočteme∑

j Y21j =

136023,∑

j Y22j = 160240,

∑j Y

23j = 162208. Odtud již můžeme vyjádřit

tabulku analýzy rozptylu:

variabilita S f S/f Fmezi látkami 183,5 2 91,75 8,15**reziduální 720 64 11,25 -celková 903,5 66 - -

Kritická hodnota F2,64(0, 99).= 4.98, tudíž zamítáme hypotézu o shodnosti

všech protikorozních látek.

Nyní je třeba odhalit, které rovnosti jsou porušeny. Vytvořme tabulku rozdílů

průměrů:rozdíly 2. látka 3. látka1. látka 2,4 -3,4**2. látka -5,8**

18.2. KRUSKALŮV-WALLISŮV TEST 213

v tabulkách nalezneme kritickou hodnotu studentizovaného rozpětí q3,64(0, 01).=

4, 28 a vypočteme hodnoty zamítnutí pro každou dvojici zvlášť:hodnoty zamítnutí 2. látka 3. látka

1. látka 2,93 3,012. látka 2,85

Vidíme, že byla prokázána rozdílnost třetí protikorozní látky s ostatními na

hladině 0, 01, naproti tomu nebyla prokázána rozdílnost první a druhé látky

na hladině 0, 01.

18.2 Kruskalův-Wallisův test

Tento test je neparametrickou obdobou analýzy rozptylu jednoduchého třídění

a je zobecněním Wilcoxonova dvouvýběrového testu, který rozšíříme na pří-

pad I výběru (I ≥ 3). Uvažujme k nezávislých výběrů, které jsou postupně

o rozsahu n1, n2, ..., nI . Označme n = n1 + n2 + ...+ nI . Předpokládejme, že

každý tento výběr pochází z nějakého rozdělení se spojitou distribuční funkcí.

Chceme testovat hypotézu, že všechny výběry pocházejí z téhož rozdělení.

Tento test je citlivý zejména na vzájemné posunutí jednotlivých rozdělení.

Podobně jako u Wilcoxonova dvouvýběrového testu seřadíme všech n prvků

z I výběru do rostoucí posloupnosti a určíme pořadí každého prvku. Oz-

načme Ti součet pořadí těch prvků, které patří do i-tého výběru (i = 1, 2, ..., I).

Vzhledem k tomu, že celkový počet prvků ze všech výběrů je n, musí platit

T1 + T2 + ... + TI = n(n+1)2. Tohoto vztahu můžeme využít ke kontrole

správnosti výpočtu Ti. V případě platnosti hypotézy má pak statistika

Q =12

n(n+ 1)

I∑

i=1

T 2i

ni

− 3(n+ 1) ∼ χ2I−1

při n −→ ∞ asymptoticky χ2 rozdělení o I−1 stupních volnosti. Jestliže Q ≥χ2I−1(1−α), zamítneme hypotézu na hladině, která je asymptoticky rovna α.

Pokud hypotézu zamítneme, tvrdíme, že všechny výběry nepocházejí z téhož


rozdělení. V tomto případě nás pak zajímá, které výběry se od sebe vzájemně

liší.

v případě, že rozsahy všech výběrů jsou stejné, použijeme za tímto účelem

Neményho metodu mnohonásobného srovnávání. Je-li číslo |Ti−Tj| většínebo rovno kritické hodnotě (kritické hodnoty, s nimiž tato metoda pracuje,

jsou tabelovány), zamítá se hypotéza, že i-tý a j-tý výběr pocházejí z téhož

rozdělení. Tento postup se aplikuje na všech I(I−1)2čísel |Ti − Tj|.

V případě, že rozsahy všech výběrů nejsou stejné, označíme ti = Ti/ni, i =

1, . . . , I a prohlásíme, že se distribuční funkce i-tého a j-tého výběru od sebe

významně liší, pokud

|ti − tj| >√

1

12

(1

ni

+1

nj

)n(n+ 1)χ2

I−1(1− α).

Příklad 18.2 Byla sledována doba bezporuchového chodu 8 přístrojů tří různých

značek A, B a C. Výsledky jsou shrnuty v následující tabulce:A 48 16 75 29 96 67 89 22B 46 94 20 87 66 25 14 75C 58 17 65 34 26 63 74 106

Lze předpokládat, že jednotlivé výběry jsou z exponenciálního rozdělení, tudíž

pro porovnání kvality provedení přístrojů u jednotlivých značek nemůžeme

použít analýzu rozptylu. Proto použijeme Kruskalův-Wallisův test. Data us-

pořádáme v jednom společném výběru, výsledky jsou znázorněny v následující

tabulce:A 11 2 18,5 8 23 16 21 5 celkem 104,5B 10 22 4 20 15 6 1 18.5 celkem 96,5C 12 3 14 9 7 13 17 24 celkem 99

Vypočteme Q = 0, 08375. Kritická hodnota χ22(0, 95) = 5, 99, tudíž neza-

mítáme hypotézu H0. Data neprokázala významný rozdíl mezi kvalitami

provedení všech značek.

18.3. ANALÝZA ROZPTYLU DVOJNÉHO TŘÍDĚNÍ 215

18.3 Analýza rozptylu dvojného třídění

Uvažujme model:

Yij = µ+ αi + βj + eij, kde i = 1, . . . , I, j = 1, . . . , J, (18.1)

kde µ, αi pro i = 1, . . . , I a βj pro j = 1, . . . , J jsou neznámé parametry a

eij ∼N(0, σ2) je chyba vyplývající z nepřesnosti měření nebo ze systematické

odchylky od průměru. To znamená, že naměřené veličiny Yij závisí jak na

sloupci, tak na řádku, ve kterém se vyskytují. Navíc v každém řádku máme

stejný počet prvků. Představme si např. situaci, kdy měříme na J pacientech

tlak v I okamžicích (např. ráno, v poledne a večer). Každý pacient má jinou

průměrnou hodnotu tlaku µ+βj. Výchylky během dne jsou určeny parametry

αi. Je vidět, že ve výše uvedeném modelu jsou dva parametry nadbytečné.

Abychom tomuto předešli, klademe na parametry dvě dodatečné podmínky:

∑

i

αi = 0,∑

j

βj = 0.

Nyní chceme testovat hypotézu H0 : α1 = . . . = αI = 0 (tj. že nezáleží

na řádkovém třídění), kterou přepíšeme na jednodušší model odpovídající

jednoduchému třídění:

Yij = µ+ βj + eij .

Test provedeme následovně. Nejprve si označme průměry jednotlivých výběrů

Y i. =Yi1 + ...+ YiJ

Jpro i = 1, ..., I,

Y .j =Y1j + ...+ YIj

Ipro j = 1, ..., J

a průměr všech hodnot

Y =

∑i

∑j Yij

n,


kde n = IJ . Nyní spočtěme celkový součet čtverců ST (tj. celková kvadrat-

ická chyba, v případě že α1 = . . . = αI = β1 = . . . = βJ = 0.) Za odhad µ se

bere Y .

ST =∑

i

∑

j

(Yij − Y )2 =∑

i

∑

j

Y 2ij − nY

2.

Součet čtverců chyb v řádcích označíme

SA = J∑

i

Y2

i. − nY2.

Součet čtverců chyb ve sloupcích označíme

SB = I∑

j

Y2

.j − nY2.

Reziduální součet čtverců Se = ST − SA − SB je celková kvadratická chyba

modelu 18.1.

Stupně volnosti jednotlivých součtů čtverců jsou:

fT = n− 1, fA = I − 1, fB = J − 1, fe = n− I − J + 1.

Hypotézu H0 zamítneme na hladině α v případě, že

FA =SA/fASe/fe

≥ FfA,fe(1− α).

Podobně budeme postupovat v případě testování hypotézy H ′0 : β1 = . . . =

βJ = 0 (tj. že nezáleží na sloupcovém třídění), kterou přepíšeme na jednodušší

model odpovídající jednoduchému třídění:

Yij = µ+ αi + eij.

Hypotézu H ′0 zamítneme na hladině α v případě, že

FB =SB/fBSe/fe

≥ FfB ,fe(1− α).

18.3. ANALÝZA ROZPTYLU DVOJNÉHO TŘÍDĚNÍ 217

Variabilita součet čtverců počet stupňů podílS volnosti f S/f F

řádková SA fA = I − 1 SA/fA FA

sloupcová SB fB = J − 1 SB/fB FB

reziduální Se fe = n− I − J + 1 Se/fe -celková ST ft = n− 1 - -

Table 18.3: Tabulka analýzy rozptylu dvojného třídění

Výsledky celého testu se stručně zapisují do tabulky (viz tabulka 18.3).

Reziduální rozptyl s2 = Se/fe je nestranným odhadem rozptylu σ2.

v případě, že hypotézu H0 zamítneme, je často třeba rozhodnout, pro které

dvojice indexů neplatí rovnost. Tento problém řeší, stejně jako u jednoduchého

třídění, Tukeyova metoda mnohonásobného porovnání.

Rovnost αi = αl zamítneme, platí-li

|Y i. − Y l.| ≥ sqI,n−I−J+1(α)

√1

J.

Rovnost βj = βl zamítneme, platí-li

|Y .j − Y .l| ≥ sqJ,n−I−J+1(α)

√1

I.

Poznámka 18.2 Model 18.1 se dá dále zobecňovat. Např. pro každé i, j

můžeme mít P dat.

Yijp = µ+ αi + βj + eijp, kde i = 1, . . . , I, j = 1, . . . , J, p = 1, . . . , P.

Je možné sledovat interakce v modelu mezi řádky a sloupci

Yijp = µ+ αi + βj + λij + eijp.


Dále je také možné sledovat závislost veličin na třech typech parametrů - tzv.

trojné třídění. Tyto modely jsou řešeny např. v [1], [2]. Neparametrickou

obdobou výše popsaného dvojného třídění je Friedmanův test.

Příklad 18.3 Byl sledován vliv tří preparátů na srážlivost krve. Kromě

jiných ukazatelů byl zjišťován tzv. trombinovaný čas. U každé osoby byl

stanoven nejprve kontrolní údaj (K), který udává trombinovaný čas před za-

hájením pokusu. Pak byly aplikovány preparáty A,B,C, a to každý dostatečně

dlouho po odeznění účinku těch předchozích. Údaje o 10 sledovaných osobách

jsou uvedeny v následující tabulce (viz [1]).

Osoba PreparátK A B C Y i.

A 11,3 11,2 11,4 11,0 11,225B 11,9 12,1 11,8 9,5 11,325C 11,8 13,2 12,0 11,1 12,025D 12,1 12,8 12,0 12,5 12,35E 11,2 13,5 11,5 8,4 11,15F 11,3 12,5 11,5 9,0 11,075G 10,8 10,7 10,9 9,7 10,525H 12,0 13,8 11,6 12,2 12,4I 11,5 12,9 11,3 10,3 11,5J 11,7 11,9 11,3 8,2 10,775Y .j 11,56 12,46 11,53 10,19 11,435

Odtud již můžeme vyjádřit tabulku analýzy rozptylu:

variabilita S f S/f Fřádková (osoby) 14,606 9 1,62 2,58*sloupcová (preparáty) 26,253 3 8,75 13,9**reziduální 16,992 27 0,63 -celková 57,851 39 - -

18.4. FRIEDMANŮV TEST 219

Kritická hodnota F9,27(0, 95).= 2, 25, tudíž zamítáme hypotézu, že všechny

osoby mají stejný trombinový čas na hladině 0, 05.

Kritická hodnota F3,27(0, 99).= 4, 6, tudíž zamítáme hypotézu, že preparáty

nemají vliv na trombinový čas na hladině 0, 01.

Hypotéza o shodnosti trombinového času v závislosti na osobách nás zají-

mat nebude. Její neplatnost jsme předpokládali již na začátku, proto jsme

také zvolili dvouvýběrové třídění. Nyní je třeba odhalit, které rovnosti mezi

preparáty jsou porušeny. Vytvořme tabulku rozdílů průměrů:rozdíly A B CK -0,9 0,03 1,37**A 0,93 2,27**B 1,34**

v tabulkách nalezneme kritickou hodnotu studentizovaného rozpětí q4,27(0, 01).=

4, 85, q4,27(0, 05).= 3, 875 a vypočteme hodnoty zamítnutí sq4,27(0, 01)

√1/10 =

0, 79q4,27(0, 01)√

1/10 = 1, 22, sq4,27(0, 05)√

1/10 = 0, 97.

Vidíme, že preparát C významně snižuje trombinový čas jak ve vztahu k počátečnímu

stavu, tak k preparátům A a B.

18.4 Friedmanův test

Tento test je neparametrickou obdobou analýzy rozptylu dvojného třídění.

Máme I · J nezávislých pozorování, které uspořádáme do tabulky

Náhodné veličiny Yij mají spojitou distribuční funkci Fij, i = 1, 2, .., I j =

1, 2, ..., J a jsou vzájemně nezávislé.

Budeme testovat hypotézu

H0 : Fi1 = Fi2 = ... = FiJ .


Sloupce 1 2 3 . . . JŘádky1 Y11 Y12 Y13 . . . Y1J

2 Y21 Y22 Y23 . . . Y2J

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .I YI1 YI2 YI3 . . . YIJ

Table 18.4: Pozorované veličiny

Neboli testujeme hypotézu, zda Fij závisí na sloupcovém indexu j, přičemž

předpokládáme, že mohou záviset na řádkovém indexu i.

Uspořádáme pozorování v každém řádku podle velikosti a označíme příslušná

pořadí Ri1,Ri2,. . .,RiJ , i = 1, 2, ..., I.

Sloupce 1 2 3 . . . JŘádky Řádkové součty1 R11 R12 R13 . . . R1J

J(J+1)2

2 R21 R22 R23 . . . R2JJ(J+1)

2

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .I RI1 RI2 . . . RIJ

J(J+1)2

Sloupcové součty R.1 R.2 . . . R.J R.. =IJ(J+1)

2

Table 18.5: Pořadí a součty pozorovaných veličin

Zde R.j =∑

i Rij, R.. =∑

i

∑j Rij.

Statistika Friedmanova testu je dána vzorcem

Q =12

IJ(J + 1)

J∑

j=1

R2.j − 3I(J + 1). (18.2)

Hypotézu H0 zamítneme, jestliže Q překročí kritickou hodnotu uvedenou

18.4. FRIEDMANŮV TEST 221

v tabulkách. Při větších hodnotách I se za kritickou hodnotu bere χ2J−1(1−

α).

Zamítneme-li hypotézu, zajímá nás, které sloupce se od sebe liší. Za tímto

účelem vytvoříme tabulku hodnot |R.j − R.m| pro všechna j < m. Je-li

některá z hodnot |R.j − R.m| větší nebo rovna kritické hodnotě, která jetabelovaná, zamítne se na odpovídající hladině významnosti hypotéza, že

Fij = Fim.

Příklad 18.4 Vraťme se k příkladu 18.3 a řešme jej nyní Friedmanovým

testem. Vytvoříme pořadí Rij:

Osoba PreparátK A B C

A 3 2 4 1B 3 4 2 1C 2 4 3 1D 2 4 1 3E 2 4 3 1F 2 4 3 1G 3 2 4 1H 2 4 1 3I 3 4 2 1J 3 4 2 1∑

25 36 25 14

Podle vzorce 18.2 vypočteme

Q =12

10 · 4 · 5(252 + 362 + 252 + 142)− 3 · 10 · 5 = 14, 52∗∗.

v tabulkách nalezneme, že kritická hodnota na hladině 0,01 pro Friedmanův

test je rovna 10,53. Tudíž zamítáme hypotézu, že trombinový čas nezávisí na

preparátech K,A,B,C na hladině 0,01.


Abychom zjistili, který z preparátů K,A,B,C se od sebe liší, vypočteme hod-

noty |R.j - R.m|:

A B CK 11 0 11A 11 22**B 11

Kritická hodnota pro mnohonásobné porovnávání u Friedmanova testu na

hladině 0,01 je 18,0, tudíž významný se ukazuje pouze rozdíl mezi preparáty

A a C.

Porovnáme-li výsledky s příkladem 18.3, vidíme, že Friedmanův test je slabší

než analýza rozptylu dvojného třídění. Na druhou stranu Friedmanův test

můžeme použít i v případě nenormálních rozdělení nebo v případě, kdy známe

pouze pořadí výsledků.

Chapter 19

Lineární regrese

V praxi se můžeme často setkat ze situací, že některé náhodné veličiny jsou

snadno dostupné a dají se jednoduše změřit nebo jinak zjistit, zatímco jiné

veličiny se určují obtížně nebo se o nich dozvíme až s velkým časovým odstu-

pem. Pokud mezi těmito dvěma druhy veličin existuje nějaký vztah, lze

z jedněch odhadnout druhé, resp. předpovědět. Pro tento účel slouží metody

lineární regrese, jejichž základy jsou v této kapitole popsány.

19.1 Lineární regrese s jednou vysvětlující proměn-nou

Regresní model

Y = f(x)

vysvětluje závislost veličiny Y na hodnotách x prostřednictvím regresní funkci

f . Cílem regrese je najít regresní funkci f , známe-li n pozorovaných dvojic

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn),

223

224 CHAPTER 19. LINEÁRNÍ REGRESE

kde xi jsou hodnoty nezávislé (hodnoty vysvětlující proměnné x) a yi jsou

hodnoty závislé (hodnoty vysvětlované veličiny Y ). Předpokládejme, že hod-

noty yi jsou naměřeny s určitou chybou ei. Pro odvození všech testů a in-

tervalových odhadů v průběhu celé této kapitoly klademe na chyby ei před-

poklad, že mají normální rozdělení N(0, σ2). Pro odvození bodových odhadů

tento předpoklad není nutný. Jinak řečeno, máme n pozorování vysvětlované

veličiny Y v n známých hodnotách vysvětlující proměnné x, tudíž máme n

rovnic:

Yi = f(xi) + ei, i = 1, 2, . . . , n.

Za lineární regresi považujeme regresi, jejíž regresní funkce je lineární

f(x) = β0 + β1x.

Cílem lineární regrese je nalezení parametrů β0 a β1. Tento úkol provedeme

metodou nejmenších čtverců. Tato metoda spočívá v tom, že hledáme parame-

try β0 a β1, pro něž je součet čtverců chyb modelu minimální. Tedy hledáme

minimum funkce

g(β0, β1) =n∑

i=1

(Yi − (β0 + β1xi))2.

Tudíž řešíme soustavu rovnic

δg(β0, β1)

δβ0

= 0,δg(β0, β1)

δβ1

= 0.

Po úpravách obdržíme tyto odhady:

b1 =

∑(xi − x)Yi

(xi − x)2=

∑xiYi − nxY∑x2i − nx2 , b0 = Y − b1x, (19.1)

kde x = 1n

∑xi a Y = 1

n

∑Yi. Odhady b0, b1 jsou nejlepší nestranné odhady,

tzn. že odhady b0, b1 jsou nestranné (Eb0 = β0, Eb1 = β1) a mají nejmenší

rozptyl ze všech nestranných odhadů.

19.1. LINEÁRNÍ REGRESE S JEDNOUVYSVĚTLUJÍCÍ PROMĚNNOU225

Minimum funkce g

Se = g(b0, b1) =∑

(Yi − (b0 + b1xi))2 =

∑Y 2i − b0

∑Yi − b1

∑xiYi

se nazývá reziduální součet čtverců. Odhad rozptylu chyb σ2 je

s2 =Se

n− 2.

Celkový součet čtverců

ST =∑

(Yi − Y )2

vyjadřuje celkovou kvadratickou chybu regresního modelu.

Vhodnost modelu posuzujeme koeficientem determinace

R2 = 1− Se

ST

=ST − Se

ST

,

který vyjadřuje, jaká část celkové chyby ST je vysvětlena regresním modelem.

(Chyba Se obsahuje to, co regresní model nedokázal vysvětlit). Koeficient

determinace můžeme také počítat podle vzorce

R2 =

∑(Yi − Y )2∑(Yi − Y )2

,

kde Yi = f(xi) = b0 + b1xi je regresní odhad hodnoty regresní funkce v bodě

xi. Je zřejmé, že čím blíže je R2 jedné, tím lépe regresní model vystihuje

naměřená data. Někdy se uvádí: je-li koeficient determinace větší než 0,85,

můžeme říci, že model je vhodně zvolen.

Nejčastěji se zabýváme otázkou, zda je možné model zjednodušit tak, že

hodnoty Yi vůbec nezávisí na xi. Tudíž testujeme hypotézu

H0 : β1 = 0 proti H1 : β1 6= 0

Za platnosti H0 má testová statistika

T =b1s

√∑x2i − nx2 ∼ tn−2


Studentovo rozdělení o n− 2 stupních volnosti. Tudíž pokud |T | ≥ tn−2(α),

zamítneme hypotézu H0 na hladině spolehlivosti α. Zamítneme-li hypotézu

H0 tohoto testu, pak jsme vlastně potvrdili lineární závislost Yi na xi, za-

střenou náhodnými chybami ei.

Intervaly spolehlivosti: Standartním způsobem můžeme vytvořit inter-

valový odhad pro parametr β1 o spolehlivosti 1− α:⟨b1 −

tn−2

(1− α

2

)s√∑

x2i − nx2

, b1 +tn−2

(1− α

2

)s√∑

x2i − nx2

⟩.

Častěji ovšem hledáme intervalový odhad pro β0 + β1x:

⟨b0 + b1x− tn−2

(1− α

2

)s

√1

n+

(x− x)2∑x2i − nx2 ,

b0 + b1x+ tn−2

(1− α

2

)s

√1

n+

(x− x)2∑x2i − nx2

⟩.

Tento interval překrývá hodnotu β0+β1x s pravděpodobností 1−α. Sestrojíme-

li takovéto intervaly pro všechna x ∈ [min xi,max xi], vytvoříme tzv. pás

spolehlivosti kolem regresní přímky. Hranice pásu jsou tvořeny dvěma

větvemi hyperboly.

Příklad 19.1 Za prvních sedm měsíců roku má firma záznamy o počtu hodin

provozu výrobní linky (xi) a o nákladech na její údržbu (Yi) v tisících Kč.xi 275 350 250 325 375 400 300Yi 149 170 140 164 192 200 165

Najděme nejprve regresní přímku Y = b0 + b1x. Dosadíme-li do vzorců 19.1,

dostaneme: b0 = 42, 75 a b1 = 0, 387. Nyní spočtěme reziduální součet

čtverců Se = 148, 821, tudíž odhad rozptylu chyb ei je s2 = 29, 76. Celkový

součet čtverců můžeme snadno spočítat jako ST = (n − 1)S2Y , kde S2

Y je

19.1. LINEÁRNÍ REGRESE S JEDNOUVYSVĚTLUJÍCÍ PROMĚNNOU227

výběrový rozptyl Y . ST = 2771, 71. Tudíž koeficient determinace R2 =

0, 9463.

Nyní se zabývejme hypotézou H0 : β1 = 0. Spočteme statistiku T = 9, 38

a porovnáme ji s hodnotou kvantilu t5(0, 975) = 2, 57. Tudíž zamítáme hy-

potézu H0 na 5% hladině. Jak koeficient determinace, tak tento test nám

potvrdil vhodnost tohoto lineární modelu.

Podívejme se ještě na intervalové odhady. Intervalový odhad o spolehlivosti

95% pro parametr β1 je 〈0, 2811; 0, 4931〉. Odtud je také vidět, že zamítámehypotézu H0. Pás spolehlivosti kolem regresní přímky je ukázán na obrázku

19.1.

280 300 320 340 360 380 400

140

160

180

200

Figure 19.1: Závislost provozních nákladů na době provozu. Body zobrazujínaměřené hodnoty, plná čára představuje odhadnutou regresní přímku Y =b0+b1x a čárkovaně jsou vyznačeny hranice pásu spolehlivosti kolem regresnípřímky.

Interpretace modelu: Absolutní člen b0 odhaduje fixní měsíční náklady, nezávislé

na délce provozu linky. Lineární člen b1x odhaduje variabilní náklady přímo

úměrné délce provozu.


19.2 Lineární regrese s více vysvětlujícími proměn-nými

Regrese patří k základním statickým metodám. Jejím cílem je najít regresní

funkci, která se snaží vysvětlit vznik většího počtu pozorovaných náhodných

veličin Y1, Y2, ..., Yn pomocí známých vlivů Xij a pomocí poměrně malého

počtu parametrů β0, β1, β2, ..., βk. Za lineární regresi budeme považovat re-

gresi, ve které je závislost na parametrech β0, β1, β2, ..., βk lineární.

K dispozici máme na jednu vysvětlovanou proměnnou k vysvětlujících proměn-

ných. Tedy v tomto odstavci budeme pracovat s modelem:

Y = β0 + β1X1 + ...+ βkXk. (19.2)

Pokud máme n pozorování, dostaneme pak n rovnic o k + 1 neznámých ve

tvaru

Yi = β0 + β1Xi1 + β2Xi2 + ...+ βkXik + ei, kde i = 1, 2, ..., n. (19.3)

Zde ei jsou náhodné chyby. Pro odvození všech testů a intervalových odhadů

v průběhu celé této kapitoly klademe na chyby ei předpoklad, že mají nor-

mální rozdělení N(0, σ2). Pro odvození bodových odhadů tento předpoklad

není nutný.

Maticový zápis tohoto modelu má tvar

Y = Xβ + e,

kde

Y =

Y1

Y2...Yn

,X =

1 X11 . . . X1k

1 X21 . . . X2k......

......

1 Xn1 . . . Xnk

, β =

β0

β1...βk

, e =

e1e2...en

. (19.4)

19.2. LINEÁRNÍ REGRESE S VÍCE VYSVĚTLUJÍCÍMI PROMĚNNÝMI 229

Cílem lineární regrese je odhadnout parametry modelu β0, β1, β2, ..., βk. Pro

odhad těchto parametrů se nejčastěji používá metoda nejmenších čtverců.

Tato metoda spočívá v minimalizaci funkce

g(β0, β1, ..., βk) =n∑

i=1

(Yi − (β0 + β1Xi1 + β2Xi2 + ...+ βkXik))2. (19.5)

Nutnou podmínkou pro existenci extrému je nulovost parciálních derivací.

Vzhledem k tomu, že daná funkce je ve svém definičním oboru konvexní, je to

i postačující podmínka. Zderivujeme-li danou funkci podle všech proměnných

a položíme-li parciální derivace rovné nule, dostaneme soustavu následujících

rovnic

∂g(β0, β1, ..., βk)

∂β0

= 2n∑

i=1

(Yi − (β0 + β1Xi1 + β2Xi2 + ...+ βkXik))(−1) = 0

a

∂g(β0, β1, ..., βk)

∂βj

= 2n∑

i=1

(Yi − (β0 + β1Xi1 + β2Xi2 + ...+ βkXik))(−Xij) = 0,

kde j = 1, 2, ..., k.

Po menších úpravách obdržíme

nβ0 + β1

n∑

i=1

Xi1 + β2

n∑

i=1

Xi2 + ...+ βk

n∑

i=1

Xik =n∑

i=1

Yi

β0

n∑

i=1

Xi1 + β1

n∑

i=1

X2i1 + β2

n∑

i=1

Xi2Xi1 + ...+ βk

n∑

i=1

XikXi1 =n∑

i=1

YiXi1

...

β0

n∑

i=1

Xik + β1

n∑

i=1

XikXi1 + β2

n∑

i=1

XikXi2 + ...+ βk

n∑

i=1

X2ik =

n∑

i=1

YiXik.

(19.6)


Vyřešením této soustavy získáme odhady b0, b1, ..., bk parametrů β0, β1, β2, ..., βk.

Výše uvedená soustava se nazývá soustava normálních rovnic. Maticový

zápis soustavy normálních rovnic je

(XTX) · β = X

TY. (19.7)

Je-li matice (XTX) regulární (tzn. existuje k ní matice inverzní, označme ji

(XTX)−1), potom odhad parametrů β = β0, β1, β2, ..., βk je

b = (XTX)−1

XTY. (19.8)

Minimum funkce g nazýváme reziduální součet čtverců a vypočteme jej

Se = g(b) =∑

(Yi − (b0 + b1xi1 + b2xi2 + . . .++bkxik))2 =

∑(Yi − Yi)

2,

kde Yi = b0+ b1xi1+ b2xi2+ . . .+ bkxik je regresní odhad hodnoty Yi. Odhad

rozptylu chyb σ2 je s2 = Se

n−k−1. s2 nazýváme reziduální rozptyl.

Celkový součet čtverců ST =∑

(Yi−Y )2 vyjadřuje celkovou kvadratickou

chybu regresního modelu.

Vhodnost modelu posuzujeme koeficientem determinace

R2 = 1− Se

ST

=ST − Se

ST

,

který vyjadřuje, jaká část celkové chyby ST je vysvětlena regresním modelem.

(Chyba Se obsahuje to, co regresní model nedokázal vysvětlit). Koeficient

determinace můžeme také počítat podle vzorce

R2 =

∑(Yi − Y )2∑(Yi − Y )2

,

kde Yi = f(xi) = b0 + b1xi1 + . . . + bkxik je regresní odhad Yi. Je zřejmé,

že čím blíže je R2 jedné, tím lépe regresní model vystihuje naměřená data.


Někdy se uvádí: je-li koeficient determinace větší než 0,85, můžeme říci, že

model je vhodně zvolen.

Metodou nejmenších čtverců získáme bodové odhady parametrů β0, β1, β2, ..., βk.

Někdy nás však zajímají i intervalové odhady o spolehlivosti 1−α konstruo-

vané pro parametry β0, β1, β2, ..., βk. Intervalový odhad o spolehlivosti 1−α

pro parametr βi je interval⟨bi − tn−k−1(α) · s

√(XTX)−1

ii , bi + tn−k−1(α) · s√(XTX)−1

ii

⟩, (19.9)

kde (XTX)−1

ii je prvek matice (XTX)−1, nacházející se na i-tém řádku a i-tém

sloupci.

Je zřejmé, že čím méně budeme mít vysvětlujících proměnných, tím bude

model jednodušší. Proto se nejčastěji zabýváme otázkou, zda je možné model

zjednodušit tak, aby hodnoty Yi vůbec nezávisely na xij. Tudíž testujeme

hypotézu

H0 : βj = 0 proti H1 : βj 6= 0.

Za platnosti H0 má testová statistika

T =bj

s ·√

(XTX)−1jj

∼ tn−k−1 (19.10)

Studentovo rozdělení o n − k − 1 stupních volnosti. Tudíž pokud |T | ≥tn−k−1

(1− α

2

), zamítneme hypotézuH0 na hladině spolehlivosti α. Zamítneme-

li hypotézu H0 tohoto testu, pak jsme vlastně potvrdili lineární závislost Yi

na i-té vysvětlující proměnné, zastřenou náhodnými chybami ei.

Někdy se ptáme, zda je možné model zjednodušit o více než jeden parametr,

v takovém případě nepoužijeme dva předchozí testy, protože jejich společná

hladina by nebyla α, ale použijeme následující test.

Testujeme hypotézu

H0 : βj1 = βj2 = . . . = βjl = 0, 1 ≤ j1, . . . , jl ≤ k


proti alternativě, že zjednodušený model neplatí (tj. že alespoň jedno βji 6=0). Číslo l zde označuje počet parametrů, které se pokoušíme z modelu

vypustit. Maticový zápis zjednodušeného modelu má tvar

Y = Xβ + e,

kde matice X vznikne z maticeX vynecháním sloupců příslušejícím parametrům

βj1 , βj2 , . . . , βjl . Vektor β vznikne z vektoru β vynecháním parametrů βj1 , βj2 , . . . , βjl .

Podobně vznikne i e.

Parametry zjednodušeného modelu β odhadneme pomocí

b = (XTX)−1

XTY. (19.11)

Poté spočteme reziduální součet čtverců pro zjednodušený model

Se =∑

(Yi − ˜Yi)

2,

kde ˜Yi je regresní odhad Yi ve zjednodušeném modelu. Je zřejmé, že Se ≥Se, neboť Se je minimum funkce g(β) bez jakýchkoli omezení na vektor β,

zatímco Se je minimum funkce g(β) za podmínky βj1 = βj2 = . . . = βjl = 0.

Za platnosti H0 má pak testová statistika

F =(n− k − 1)(Se − Se)

lSe

∼ Fl,n−k−1

rozdělení Fl,n−k−1. Tudíž pokud F ≥ Fl,n−k−1(1 − α), zamítneme hypotézu

H0 na hladině spolehlivosti α, a tudíž model nemůžeme zjednodušit.

Příklad 19.2 V 60-tých letech proběhla ve Velké Británii následující studie.

Ve 30 hrabstvích byly naměřeny veličiny: A = změna populace za posledních

10 let, B = počet zaměstnanců v zemědělství, C = velikost daní z nemovitostí,

D = procento obyvatel majících telefon, E = procento obyvatel žijících na


vesnici, F = průměrný věk. Těmito veličinami měla být vysvětlena veličina

Y = procento obyvatel žijících pod hranicí bídy. Tudíž dostáváme lineární

regresní model

Yi = β0 + βAAi + βBBi + βCCi + βDDi + βEEi + βFFi + ei.

Matice X bude obsahovat 7 sloupců, kde v prvním budou samé jedničky, ve

druhém budou hodnoty veličiny A, ve třetím B, atd. Nyní podle vzorce 19.8

spočteme odhad jednotlivých parametrů

b = (b0; bA; bB; bC ; bD; bE; bF )T = (31, 26;−0, 39; 0, 0007; 1, 23;−0, 083; 0, 16;−0; 42)T .

Dále spočteme reziduální součet čtverců Se = 265, 66 a celkový součet čtverců

ST = 1197, 72. Odtud dostáváme, že R2 = 0, 78.

Nyní nás zajímá, jestli některé proměnné můžeme z modelu vypustit (H0 :

βj = 0). Za tímto účelem spočteme pro každou proměnnou hodnotu statistiky

T a to podle vzorce 19.10.

T = (T0;TA;TB;TC ;TD;TE;TF )T = (2, 35;−4, 87; 1, 69; 0, 38;−0, 63; 2, 67;−1, 64)T .

Tyto hodnoty porovnáme s kvantilem t23(0, 975) = 2, 068 a vidíme, že hy-

potézu nulovosti parametrů zamítáme u β0, βA, βE. Tyto testy nám říkají, že

můžeme z modelu vypustit proměnnou B, nebo C, nebo D, nebo F. Ovšem

nevíme, zda můžeme vypustit všechny proměnné najednou. Na tuto otázku

nám odpoví následující F-test.

Uvažujme tedy zjednodušený model (podmodel)

Yi = β0 + βAAi + βEEi + ei.

Pro podmodel spočteme odhad jednotlivých parametrů

b = (b0, bA, bE)T = (16, 67;−0, 40; 0, 13)T .


Dále spočteme reziduální součet čtverců podmodelu Se = 393, 03. Odtud

dostáváme, že R2 = 0, 67. Nyní sestrojíme statistiku

F =(30− 6− 1)(Se − Se)

3Se

= 3, 67 > 3.03 = F3,23(0, 95).

Z toho plyne, že H0 zamítáme, neboli nemůžeme vypustit všechny čtyři proměnné

zároveň.

Musíme tedy některou proměnnou do podmodelu přidat. Přidejme proměn-

nou B, protože TB > TC , TD, TF (tj. proměnná B je v modelu významnější

než C, D a F). Uvažujme tedy podmodel

Yi = β0 + βAAi + βBBi + βEEi + ei.

Pro podmodel spočteme odhad jednotlivých parametrů

b = (b0, bA, bB, bE)T = (10, 99;−0, 40; 0, 001; 0.19)T .

Dále spočteme reziduální součet čtverců podmodelu Se = 318, 83. Odtud

dostáváme, že R2 = 0, 73. Nyní sestrojíme statistiku

F =(30− 6− 1)(Se − Se)

4Se

= 1, 15 < 2, 80 = F4,23(0, 95).

Z toho plyne, že H0 nezamítáme, neboli z původního modelu můžeme vypustit

proměnné C, D a F. Popíšeme tedy veličinu Y proměnnými A, B a E.

19.3 Polynomiální regrese

Kvadratická regrese: Pod pojmem kvadratická regrese míníme model

Yi = β0 + β1Xi + β2X2i + ei, i = 1, 2, ..., n,

kde ei ∼ N(0, σ2), n ≥ 4. Zde veličiny Yi závisí kvadraticky na veličinách Xi.

19.3. POLYNOMIÁLNÍ REGRESE 235

Položíme-li Zi = X2i , i = 1, 2, ....., n, dostáváme model

Yi = β0 + β1Xi + β2Zi + ei, i = 1, 2, ....., n.

v tomto modelu závisí náhodná veličina Yi lineárně na veličinách Xi a Zi.

Neboli úloha kvadratické regrese byla převedena na úlohu lineární regrese se

dvěma vysvětlujícími proměnnými.

Podobně budeme postupovat i pro regrese vyšších stupňů.

Odhad stupně regresního polynomu: Uvažujme nyní model

Yi = β0 + β1Xi + . . .+ βpXpi + ei, i = 1, 2, ....., n,

kde stupeň p regresního polynomu není znám. Počet parametrů tohoto mod-

elu označme k = p+ 1.

Uvažujme, že skutečný stupeň polynomu je p0 a tedy skutečný počet parametrů

modelu je k0 = p0 +1. Označme s2k reziduální rozptyl modelu s k parametry

(reziduální rozptyl je definován na str. 230). Dá se ukázat, že

Es2k > σ2 pro k < k0, Es2k = σ2 pro k ≥ k0.

Je tudíž třeba najít bod, kde se posloupnost s2k mění z klesající posloupnosti

na oscilující. Toto je obtížná úloha, proto ji převedeme na úlohu hledání

minima posloupnosti. Vytvoříme posloupnost

Ak = s2k

(1 +

k4√n

),

která větším k přidává větší váhu. Hodnotu k, pro kterou je Ak minimální,

pak vezmeme jako odhad skutečného počtu parametrů k0.


19.4 Nelineární regrese

Uvažujme nelineární regresní model

Yi = f(Xi, β) + ei, i = 1, 2, ..., n,

kde f je regresní funkce a β je vektor neznámých parametrů. Odhad parametrů

β metodou nejmenších čtverců dostaneme minimalizací výrazu

S(β) =n∑

i=1

(Yi − f(Xi, β))2.

Tuto úlohu iteračně řeší různé statistické a matematické programy. Tyto

programy ovšem vyžadují počáteční aproximaci vektoru b (odhad parametru

β).

Počáteční aproximaci můžeme snadno získat u tzv. linearizovatelných

modelů, tj. modelů, které se dají převést na lineární model. Jako příklad

uveďme model, jehož regresní funkce je exponenciální:

Yi = β0eβ1Xi + ei, i = 1, 2, ..., n.

Při počáteční aproximaci si můžeme dovolit zapomenout na chyby ei a model

zlogaritmovat

lnYi = ln β0 + β1Xi, i = 1, 2, ..., n.

Zavedeme-li nové parametry α0 = ln β0 a α1 = β1, dostaneme lineární re-

gresní model

lnYi = α0 + α1Xi, i = 1, 2, ..., n,

který vyřešíme podle kapitoly 19.2 a dostaneme odhady a0, a1. Za počáteční

aproximaci odhadu parametrů původního modelu pak vezmeme odhady

b0 = ea0 , b1 = a1.

Na závěr uveďme příklady některých linearizovatelných modelů.

19.4. NELINEÁRNÍ REGRESE 237

1. Y = eβ0+β1X

2. Y = β0Xβ1

3. Y = ln(β0 + β1X)

4. Y = 1β0+β1X

Chapter 20

Korelační analýza

V odstavci 10.4 jsme uvedli, že z nezávislosti náhodných veličin plyne neko-

relovanost, neboli že korelační koeficient ρ = 0. Tudíž zamítneme-li hypotézu

H0 : ρ = 0, pak můžeme i zamítnout hypotézu nezávislosti. Zabývejme se

tedy nyní hypotézou H0 : ρ = 0.

20.1 Výběrový korelační koeficient

Mějme náhodný výběr (X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn) z nějakého dvourozměrného

rozdělení. Korelační koeficient je definován jako

ρ =Cov(X, Y )√VarX VarY

.

Pro odhad Var X a Var Y použijeme výběrový rozptyl

S2X =

1

n− 1

n∑

i=1

(Xi − X)2, S2Y =

1

n− 1

n∑

i=1

(Yi − Y )2.

238

20.1. VÝBĚROVÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT 239

Z věty 14.1 víme, že ES2X = VarX a ES2

Y = VarY . Podobně definujme

výběrovou kovarianci vztahem

SXY =1

n− 1

n∑

i=1

(Xi − X)(Yi − Y ),

pro kterou platí ESXY = Cov(X, Y ). Tudíž pokud S2X > 0 a S2

Y > 0,

definujeme výběrový korelační koeficient r jako

r =SXY√S2XS

2Y

.

Po drobné úpravě dostaneme vzorec vhodný pro výpočet:

r =

∑XiYi − nXY√

(∑

X2i − nX2)(

∑Y 2i − nY 2)

.

Ze Schwarzovy nerovnosti dostaneme, že −1 ≤ r ≤ 1.

Výběrový korelační koeficient není nestranný odhad ρ, jako tomu je u výběrového

rozptylu a kovariance.

Předpokládejme nyní, že (X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn) je náhodný výběr

z nějakého dvourozměrného normálního rozdělení a Var X > 0, Var Y > 0,

|ρ| < 1. Za těchto předpokladů je

Er = ρ− 1− ρ2

n+ o(n−1),

kde o(n−1) značíme funkci f(n), pro kterou platí limn→∞f(n)n

= 0.

Testujme nyní hypotézu H0 : ρ = 0 proti alternativě H1 : ρ 6= 0. Za platnosti

hypotézy H0 a za výše uvedených předpokladů má statistika

T =r√

1− r2

√n− 2 ∼ tn−2

Studentovo rozdělení o n−2 stupních volnosti. Tudíž hypotézuH0 zamítneme

na hladině α, v případě, že

|T | ≥ tn−2

(1− α

2

).

240 CHAPTER 20. KORELAČNÍ ANALÝZA

U tohoto testu je normalita náhodného výběru podstatný předpoklad. Nejsme-

li si jisti tímto předpokladem, použijeme pro test nezávislosti raději Spear-

manův korelační koeficient.

Příklad 20.1 U 10 dvojčat byla zjištěna následující váha (v gramech)starší 2440 3500 2820 2540 2650 2690 2750 2750 2650 2200mladší 2700 3080 2200 2700 2550 2350 3500 2500 2420 2520Ověřte, zda jsou váhy dvojčat korelované.

Postupně vypočteme S2X = 111965, 6, S2

Y = 145240, SXY = 35320, r =

0, 2769, T = 0, 8152. Kritická hodnota t8(0, 975) = 2, 306, z toho plyne, že

nezamítáme hypotézu o nekorelovanosti vah dvojčat na hladině α = 0, 05.

20.2 Spearmanův korelační koeficient

Spearmanův korelační koeficient je neparametrický odhad korelačního koe-

ficientu. Mějme náhodný výběr (X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn) z nějakého

dvourozměrného rozdělení. K sestrojení Spearmanova korelačního koefi-

cientu nám postačí pouze znalost pořadí X1,X2,. . .,Xn a pořadí Y1,Y2,. . .,Yn.

Jsou-li pořadí hodně podobná, svědčí to o závislosti mezi Xi a Yi. Nechť

R1,R2,. . .,Rn označují pořadí X1,X2,. . .,Xn a nechť Q1,Q2,. . .,Qn označují

pořadí Y1,Y2,. . .,Yn. Spearmanův korelační koeficient se pak vypočte:

rs = 1− 6

n(n2 − 1)

n∑

i=1

(Ri −Qi)2.

Testujeme-li hypotézu H0 : ρ = 0 proti alternativě H1 : ρ 6= 0, pak jsou

kritické hodnoty pro rs tabelovány pro n ≤ 30. Při n > 30 zamítneme

hypotézu H0 v případě, že

|rs| ≥u(1− α/2)√

n− 1,

20.2. SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT 241

kde u(1− α/2) je kritická hodnota rozdělení N(0, 1).

Příklad 20.2 Bylo sledováno 10 žáků. Na základě psychologického vyšetřování

byli tito žáci seřazeni podle nervové lability (čím byl žák labilnější, tím dostal

vyšší pořadí Ri). Kromě toho sledovaní žáci dostali pořadí Qi na základě

svých výsledků v matematice (nejlepší žák v matematice dostal 1). Výsledky

jsou uvedeny v tabulce 20.1 (viz [1]).

Rt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Qt 9 3 8 5 4 2 10 1 7 6

Rt −Qt -8 -1 -5 -1 1 4 -3 7 2 4

Table 20.1: Pořadí žáků podle nervové lability a podle matematiky

Ověřte závislost mezi nervovou labilitou a výsledky v matematice.

Dostáváme

rs = 1− 6

10 · 99(82 + 12 + 52 + 12 + 12 + 42 + 32 + 72 + 22 + 42) = −0, 127.

Kritická hodnota odpovídající hladině α=0,05 činí 0,6364. Poněvadž ji |rs|nepřekračuje, nemůžeme zamítnout hypotézu, že nervová labilita a výsledky

v matematice jsou nezávislé.

Chapter 21

Testy dobré shody

V předchozích kapitolách jsme se seznámili s některými testy, přičemž jsme

mohli pozorovat, že tyto testy jsou vázány na předpoklad, že rozdělení základ-

ního souboru, z něhož byl výběrový soubor pořízen, je určitého typu. V této

kapitole se tudíž budeme zabývat testy, které nám odhalí, zda náhodný výběr

má konkrétní rozdělení nebo nikoli.

21.1 Pearsonův χ2 test

Mějme náhodný výběr Z1, . . . , Zn, kde veličiny Zj, j = 1, . . . n mohou

nabývat hodnot 1, . . . , k. Veličinám Xi označujícím počet výskytů výsledku

i se říká empirické četnosti. Náhodný vektor X1, . . . , Xk má multinomické

rozdělení. Budeme testovat hypotézu H0, že skutečné hodnoty pravděpodob-

ností multinomického rozdělení jsou právě rovny číslům p1, ..., pk. Veličinám

npi budeme říkat teoretické četnosti. Za platnosti hypotézy H0 má statistika

χ2 =k∑

i=1

(Xi − npi)2

npi∼ χ2

k−1

242

21.2. TEST NORMALITY 243

asymptoticky rozdělení χ2 o k − 1 stupních volnosti. Jakmile dostaneme

χ2 ≥ χ2k−1(1− α),

zamítneme hypotézu H0 na hladině α.

Je třeba mít na zřeteli, že test χ2 je asymptotický, a proto ho lze doporučit

jen při dostatečně velkém rozsahu výběru n. V literatuře se obvykle uvádí,

že musí platit

npi ≥ 5q pro všechna i = 1, ..., k při k ≥ 3,

kde q je podíl tříd, pro něž platí npi < 5.

Tento test se může používat např. při ověřování spravedlivosti hrací kostky,

při kontrole generátorů náhodných čísel (každá cifra 0,1,. . .,9 by se měla ob-

jevovat s pravděpodobností 1/10 - viz následující příklad) a v řadě dalších

případů.

Příklad 21.1 Při testování generátoru náhodných čísel byla zkoumána řada

šesticiferných náhodných čísel o délce 100.000. Tudíž počet všech cifer je

n = 600.000. Byly zjištěny následující počty výskytů cifer náhodných čísel

(viz [1]): Z tabulky vyplývá, že χ2 = 6, 53233. Jelikož kritická hodnota činí

χ29(0,95) = 16,92, nelze na základě zjištěných dat zamítnout hypotézu, že

generátor je skutečně náhodný.

21.2 Test normality

Nechť Z1, ..., Zn je náhodný výběr. Chceme testovat hypotézu H0, že jde o

výběr z N(µ, σ2), kde parametry µ a σ2 nejsou známy. Nejprve vytvoříme

třídy

(−∞, b1), 〈b1, b2), 〈b2, b3), ..., 〈bk − 2, bk − 1), 〈bk − 1,∞),

kde k ≥ 4. Pro stručnost označme i-tou třídu symbolem Ji. Empirické

244 CHAPTER 21. TESTY DOBRÉ SHODY

Cifra 0 1 2 3 4Xi 59.889 59.796 59.969 60.056 60.303pi 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1npi 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000

(Xi − npi)2

npi0,20535 0,6936 0,0160 0,0523 1,53015

Cifra 5 6 7 8 9 CelkemXi 60.048 60.234 59.750 60.224 59.731 600.000pi 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 1npi 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000 600.000

(Xi − npi)2

npi0,0384 0,9126 1,04167 0,8363 1,2061 6,53233

Table 21.1: Výsledky testování generátoru náhodných čísel

četnosti jednotlivých tříd opět označíme Xi. Pravděpodobnost pi, že daná

veličina Zj, j = 1, ..., n padne do Ji, je rovna

pi = pi(µ, σ) =

∫

Ji

f(x)dx =

∫

Ji

1√2πσ

exp

[−(x− µ)2

2σ2

]dx.

Kdybychom znali parametryµ a σ2, pak by úloha byla převedena na případ

multinomického rozdělení se známými parametry p1, . . . , pk. Toho by se dalo

využít např. při testu, zda náhodný výběr má rozdělení N(0, 1).

V obecném případě ovšem parametry neznáme, tudíž tento postup není

vhodný. V tomto případě je tedy nutné najít vhodné odhady µ a σ2. Není

vhodné zvolit za µ a σ2 klasické odhady, tedy průměr a výběrový rozptyl,

protože by se tím podstatně změnilo rozdělení statistiky χ2. Musíme tedy

nalézt odhady µ a σ2 iteračně, tak aby odhady splňovaly soustavu rovnic

µ =1

n

k∑

i=1

Xi

pi

∫

Ji

xf(x)dx, σ2 =1

n

k∑

i=1

Xi

pi

∫

Ji

(x− µ)2f(x)dx,

kde jako počáteční aproximaci pro µ a σ2 zvolíme průměr a výběrový rozptyl.

Nezapomeňme, že na µ i σ závisejí pi i f(x), které jsou na pravých stranách

21.3. TEST POISSONOVA ROZDĚLENÍ 245

těchto rovnic. Řešení soustavy označme µ a σ. Tyto odhady použijeme pro

výpočet pravděpodobností pi. Statistika

χ2 =k∑

i=1

[Xi − npi(µ, σ)]2

npi(µ, σ)∼ χ2

k−3

má pak rozdělení χ2 o k−3 stupních volnosti. Pokud vyjde χ2 > χ2k−3(1−α),

zamítáme hypotézu H0 na hladině α.

21.3 Test Poissonova rozdělení

Nechť Z1, . . . , Zn je náhodný výběr z nějakého rozdělení na množině nezá-

porných celých čísel. Budeme testovat hypotézu H0, že jde o výběr z Pois-

sonova rozdělení Po (λ), kde parametr λ není znám.

Test provedeme obdobně jako u testu normality. Nejprve vytvoříme třídy,

jedna z možností je: Do první třídy se zařadí ty veličiny, které jsou menší nebo

rovny nějakému číslu r . Další třídy jsou postupně tvořeny samostatnými

hodnotami r+1, r+2, . . . , r + k − 2 . Poslední třída obsahuje hodnoty větší

nebo rovné číslu r+k -1. Tím je vytvořeno k tříd, kde k ≥ 3 a jejichž četnosti

označíme Xr ,Xr+1 , . . . ,Xr+k−1 . Označme

qi = P [Zj = i] =λie−λ

i!, i = 0, 1, 2, . . . .

Pak pravděpodobnosti jednotlivých tříd jsou

pr =∑r

i=0 qi, pi = qi pro i = r + 1, . . . , r + k - 2, pr+k−1 =∑∞

i=r+k−1 qi.

Pravděpodobnosti pi opět závisí na parametru λ, který neznáme a který

musíme odhadnout. Podobně jako u testu normality vyřešíme iteračně rovnici

λ =1

n

[Xr

∑ri=0 iqi∑ri=0 qi

+r+k−2∑

i=r+1

iXi +Xr+k−1

∑∞i=r+k−1 iqi∑∞i=r+k−1 qi

],


kdy za počáteční aproximaci λ zvolíme průměr hodnot Zj, j = 1, . . . , n.

Řešení rovnice označíme λ. Statistika

χ2 =r+k−1∑

i=r

[Xi − npi(λ)]2

npi(λ)∼ χ2

k−2

má pak rozdělení χ2 o k−2 stupních volnosti. Pokud vyjde χ2 > χ2k−2(1−α),

zamítáme hypotézu H0 na hladině α.

21.4 Kolmogorovův-Smirnovův jednovýběrovýtest

Nejprve zaveďme pojem empirická distribuční funkce.

Nechť X1, ..., Xm je náhodný výběr z rozdělení, které má distribuční funkci

F . Pro i = 1, ...,m zaveďme náhodné veličiny

ξi(x) = 1, je-li Xi < x,

ξi(x) = 0, je-li Xi ≥ x.

Pak empirická distribuční funkce je

Fm(x) =1

m

m∑

i=1

ξi(x).

Příklad 21.2 Generátor náhodných čísel normovaného normálního rozdělení

N(0,1) nám dal následujících 20 hodnot. (Hodnoty jsou vzestupně seřazeny.)

-2,63; -1,28; -1,23; -0,92; -0,91; -0,78; -0,77; -0,50; -0,41; -0,35; -0,11; -

0;01; 0,02; 0,23; 0,56; 0,75; 0,84; 0,87; 1,46; 1,62

Obrázek 21.1 ukazuje distribuční funkci normálního rozdělení N(0,1) a em-

pirickou distribuční funkci vytvořenou z výše uvedených hodnot.

Následující věta nám říká, že empirická distribuční funkce je dobrou aproxi-

mací distribuční funkce.

21.4. KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV JEDNOVÝBĚROVÝ TEST 247

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figure 21.1: Distribuční funkce a empirická distribuční funkce normovanéhonormálního rozdělení.

Věta 21.1 Pro každé x platí

Fm(x) → F (x) skoro jistě pro m → ∞,navíc, označíme-li

Dm = supx

|Fm(x)− F (x)|,

pak platí

P ( limm→∞

Dm = 0) = 1.

Nechť nyní X1, ..., Xn je náhodný výběr z nějakého rozdělení se spojitou dis-

tribuční funkcí. Chceme testovat hypotézu H0, že tato distribuční funkce je

F . Nechť Fm je empirická distribuční funkce odpovídající výběru X1, ..., Xm.

Věta 21.1 nám říká, že velké hodnoty veličiny Dm budou svědčit proti hy-

potéze H0. Je-li m malé, najdeme kritické hodnoty Dm(α) v tabulkách. Při

větších hodnotách m se kritické hodnoty aproximují výrazem

Dm(α).=

√1

2mln

2

α. (21.1)

Tedy H0 zamítáme, v případě že Dm ≥ Dm(α).


Vzhledem k monotónii F (x) nám při výpočtu veličiny Dm stačí se omezit

pouze na krajní body intervalů konstantnosti empirické distribuční funkce

Fm. Je-li tudíž x skok Fm, pak vyšetříme hodnotu rozdílu zleva Fm(x)−F (x)

a zprava limy→x+ Fm(y)− F (y).

Podobně jako u χ2 testu musíme znát přesně distribuční funkci F (x). Tudíž

tento test můžeme bez modifikace použít pro testování, zda náhodný výběr je

z rozdělení N(0,1), R(0,1) a pod. Testujeme-li ovšem např. normalitu náhod-

ného výběru, nemůžeme odhadnout parametry a ty dosadit do distribuční

funkce F (x). Pokud bychom to tak udělali, změnilo by se rozdělení testové

statistikyDm, a tedy i kritické hodnoty, při nichž zamítáme hypotézu. Ovšem

tyto změněné kritické hodnoty byly určeny pomocí simulačních studií a jsou

tabelovány ve speciálních tabulkách. Testy normality pomocí Kolmogorova-

Smirnova testu jsou také implementovány ve statistických softwarech.

Příklad 21.3 Budeme pokračovat v příkladu 21.1. Nyní je třeba zjistit hod-

notu statistiky Dm. Jak již bylo řečeno, vyšetříme všechny body, ve kterých

má empirická distribuční funkce skok, a to jak limity zleva, tak zprava. Max-

imální hodnota vyjde u třináctého skoku při limitě zprava

|F20(0, 02)− F (0, 02)| = |0, 65− 0, 50866| = 0, 1413.

Kritická hodnota D20(0, 05) = 0, 294, tedy nezamítáme hypotézu, že výběr

je z normovaného normálního rozdělení. Aproximace kritické hodnoty vy-

počtena podle vzorce 21.1 je D20(0, 05) = 0, 304.

Chapter 22

Kontingenční tabulky

Tato kapitola bude věnovaná základním testům v kontingenčních tabulkách,

kterých je celá řada. Dříve, než tyto testy uvedeme, definujeme pojem kontin-

genční tabulka.

Uvažujme náhodný vektor Z = (X, Y ), který má diskrétní rozdělení. Náhodná

veličinaX nabývá hodnot 1, ..., r a náhodná veličina Y nabývá hodnot 1, ..., c.

Náhodná veličina X a Y představuje znak nějakého statistického souboru

(např. pohlaví, dosažené vzdělání. . .). Hodnotu znaku sice uvažujeme klad-

nou celočíselnou, ale ve skutečnosti hodnoty znaku nemusí být číselné, jak je

zřejmé z příkladů uvedených v závorce. V mnohých případech přiřazujeme

čísla 1, 2, ... jen jako označení. Např. dosažené vzdělání: 1 - základní, 2 -

střední, 3 - vysokoškolské. Znaky mohou být tudíž

• kvalitativní

• diskrétní kvantitativní

• spojité kvantitativní s hodnotami sloučenými do skupin

Pro náhodný vektor Z = (X, Y ) označme

249

250 CHAPTER 22. KONTINGENČNÍ TABULKY

pij = P (X = i, Y = j), pi. = P (Y = i) =c∑

j=1

pij, p.j = P (Z = j) =r∑

i=1

pij.

Předpokládejme, že se uskutečnil výběr o rozsahu n z tohoto rozdělení. Počet

případů, kdy se ve výběru vyskytla dvojice (i, j), označme nij (jde o abso-

lutní četnost). Náhodné veličiny nij mají sdružené multinomické rozdělení s

parametrem n a pravděpodobnostmi pij. Kontingenční tabulku potom defin-

ujeme jako matici (nij). Kontingenční tabulka je uvedena v tabulce 22.1

společně s maticí pravděpodobností (pij), přičemž

ni. =c∑

j=1

nij , n.j =r∑

i=1

nij, n =r∑

i=1

c∑

j=1

nij

a platí

n =c∑

j=1

n.j =r∑

i=1

ni. =r∑

i=1

c∑

j=1

nij .

ZY 1...c

∑

1 p11. . .p1c p1.. . . . . . . . . . . . . . . . . .r pr1 . . . prc pr.∑

p.1 . . . p.c 1

ZY 1...c

∑

1 n11. . .n1c n1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 nr1 . . . nrc nr.∑

n.1 . . . n.c n

Table 22.1: Vlevo: matice pravděpodobností, vpravo: kontingenční tabulka

Máme-li data uspořádaná do kontingenční tabulky, kdy kategorie jednoho

znaku určují řádky a kategorie druhého znaku sloupce, jak je vidět z tabulky

22.1, můžeme testovat následující hypotézy.

• hypotéza nezávislosti dvou náhodných veličin X a Y

22.1. TEST NEZÁVISLOSTI 251

• hypotéza homogenity multinomických rozdělení

• hypotéza symetrie

22.1 Test nezávislosti

Na prvcích jediného souboru sledujeme dva znaky. Naším cílem je testovat

nulovou hypotézu o nezávislosti sledovaných znaků, tj.

H0: náhodné veličiny X (1. znak) a Y (2. znak) jsou nezávislé

H1: náhodné veličiny X a Y nejsou nezávislé.

Vzhledem k tomu, že platí následující věta

Věta 22.1 Veličiny X a Y jsou nezávislé tehdy a jen tehdy, platí-li pij =

pi.p.j, i = 1, ..., r; j = 1, ..., c.

Hypotézu nezávislosti můžeme přepsat do tvaru

H0 : pij = pi.p.j, i = 1, ..., r; j = 1, ..., c.

Za platnosti hypotézy H0 má statistika

χ2 =r∑

i=1

c∑

j=1

(nij −ni.n.j

n)2

ni.n.jn

(22.1)

asymptoticky rozdělení χ2 s počtem stupňů volnosti (r − 1)(c − 1). Vzorec

lze přepsat do následujícího tvaru

χ2 = n

r∑

i=1

c∑

j=1

n2ij

ni.n.j

− n. (22.2)


Hypotézu H0 o nezávislosti veličin X a Y zamítneme v případě, že χ2 ≥χ2(r−1)(c−1)(1− α).

Ke shodě s limitním rozdělením se vyžaduje, aby všechny teoretické četnostini.n.j

nbyly větší než 5. Obvykle se požaduje, aby nejméně 80 procent teo-

retických četností bylo větších než 5 a všechny teoretické četnosti výskytu

byly větší než 1. Pokud tato podmínka není splněna, spojují se obvykle něk-

teré řádky nebo sloupce. Toto ovšem nejde u tzv. čtyřpolních tabulek, což

jsou kontingenční tabulky 2 × 2. V takovém případě se používá Fisherův

faktoriálový test.

Příklad 22.1 Testování nezávislosti mezi výsledky testů z matematiky a oborem,

na který se uchazeč hlásí.

Studenti se mohou hlásit na bakalářský obor Finanční matematika, na pětileté

magisterské studium učitelství matematiky pro základní školy a na pětileté

magisterské studium učitelství matematiky pro střední školy. Obory jsou

seřazeny z hlediska obtížnosti studia od nejlehčího (bakalářský obor FM) k ne-

jtěžšímu (pětileté magisterské studium učitelství pro SŠ). Vyvstává otázka,

zda při výběru studia tuto skutečnost uchazeči zohledňují vzhledem ke svým

dosavadním studijním výsledkům. Jednoduše řečeno, zda ”lepší” studenti se

hlásí na těžší obor a ”horší” studenti na lehčí. Otestujme, zda existuje závis-

lost mezi výsledky testů z matematiky a oborem, na který se uchazeč hlásí.

Uchazeč může získat z testu maximálně 80 bodů. Veličina X (výsledek testu)

nabývá čtyř hodnot, a to 1 - počet získaných bodů 60-80, 2-počet získaných

bodů 40-59, 3-počet získaných bodů 20-39, 4-počet získaných bodů 0-19.

Veličina Y (studijní obor) nabývá tří hodnot: 1-finanční matematika, 2-

učitelství pro ZŠ, 3-učitelství pro SŠ. Veškeré údaje jsou v tabulce 22.2.

Řešení: v tabulce 22.3 jsou uvedeny empirické i teoretické četnosti (čísla

22.2. TEST HOMOGENITY MULTINOMICKÝCH ROZDĚLENÍ 253

HODNOCENÍ APROBACEFin. mat. Učitel. ZŠ Učitel. SŠ Celkem

1 9 7 40 562 10 31 58 993 17 29 29 754 14 25 19 58

Celkem 50 92 146 288

Table 22.2: Kontingenční tabulka výběru oboru a výsledků v testu.

v závorkách).

HODNOCENÍ APROBACEFin. mat. Učitel. ZŠ Učitel. SŠ Celkem

1 9 (9,7) 7 (17,9) 40 (28,4) 562 10 (17,2) 31 (31,6) 58 (50,2) 993 17 (13) 29 (24) 29 (38) 754 14 (10) 25 (18,5) 19 (29,4) 58

Celkem 50 92 146 288

Table 22.3: Empirické četnosti, teoretické četnosti (čísla v závorkách).

Hodnota testovací statistiky χ2 = 27, 56. Toto číslo překračuje kritickou hod-

notu χ26(0, 95) = 12, 59. Tím je statisticky prokázána závislost mezi výsledkem

testu z matematiky a oborem, na který se student hlásí.

22.2 Test homogenity multinomických rozdělení

Tento test je někdy uváděn jako test o shodnosti struktury. Testujeme shod-

nost jednoho ze sledovaných znaků za různých podmínek, které vyjadřují

kategorie druhého znaku. Například nás může zajímat, zda věková struk-

tura hospitalizovaných pacientů je ve dvou nemocnicích stejná. Obecně tato


nulová hypotéza zní:

H0: pravděpodobnosti qi1, ..., qic nezávisí na řádkovém indexu i

(tzn. že všechny řádky matice qij jsou stejné)

Pravděpodobnosti qi1, ..., qic přísluší relativním marginálním četnostem v i-

tém řádku kontingenční tabulkyni1

ni.

, ...,nic

ni.

, přičemž platí qi1 + ... + qic =

1 a dále předpokládáme, že marginální řádkové četnosti ni jsou předem

stanoveny.

Při testování homogenity budeme opět vycházet ze statistiky χ2 počítané

podle vzorce 22.1 nebo 22.2. Za platnosti hypotézy H0 má statistika χ2

asymptoticky rozdělení χ2 s počtem stupňů volnosti (r−1)(c−1). Hypotézu

H0 o homogenitě multinomických rozdělení zamítneme v případě, že χ2 ≥χ2(r−1)(c−1)(1− α).

Příklad 22.2 Kontingenční tabulka 22.4 ukazuje výsledky lékařského exper-

imentu ze čtyřicátých let minulého století, který se zabýval účinkem strepto-

mycinu při léčbě plicní tuberkulózy. Údaje z radiologického hodnocení po 6

měsících byly porovnány s tím, zda pacient patřil do léčebné, nebo kontrolní

skupiny. Existuje vztah mezi léčbou a výsledkem?

Radiologické hodnoceníLéčba Streptomycin Kontrolní Celkem

Významné zlepšení 28 4 32Střední/malé zlepšení 10 13 23

Beze změn 2 3 5Střední/malé zhoršení 5 12 17Významné zhoršení 6 6 12

Smrt 4 14 18Celkem 55 52 107

Table 22.4: Vztah mezi léčbou a výsledkem

Řešení: Vzhledem k tomu, že testová statistika se opírá o teoretické čet-

nosti ni.nj

n, musíme tyto četnosti vypočítat. Jsou uvedeny v závorkách vedle

22.3. TEST χ2 VE ČTYŘPOLNÍCH TABULKÁCH 255

skutečných četností v tabulce 22.5.

Radiologické hodnoceníLéčba Streptomycin Kontrolní Celkem

Významné zlepšení 28(16,45) 4(15,55) 32Střední/malé zlepšení 10(11,82) 13(11,18) 23

Beze změn 2(2,57) 3(2,43) 5Střední/malé zhoršení 5(8,74) 12(8,26) 17Významné zhoršení 6(6,17) 6(5,83) 12

Smrt 4(9,25) 14(8,75) 18celkem 55 52 107

Table 22.5: Empirické četnosti, teoretické četnosti (čísla v závorkách).

Testová statistika má hodnotu χ2 = 26, 96. Protože χ25(0, 95) = 11, 07,

platí χ2 ≥ χ21(1 − α), tudíž hypotézu homogenity zamítáme, tzn. na hlad-

ině významnosti asymptoticky rovné 0,05 jsme prokázali, že existuje vztah

mezi léčbou a výsledkem.

22.3 Test χ2 ve čtyřpolních tabulkách

Jak již bylo poznamenáno výše, v případě r × c = 2 × 2 mluvíme o tzv.

čtyřpolní tabulce. Tato tabulka má tvar

n11 n12 n1.

n21 n22 n2.

n.1 n.2 n

Table 22.6: Čtyřpolní tabulka

Ve čtyřpolní tabulce můžeme opět testovat nezávislost a homogenitu. Testová

statistika zůstává stejná jako v případě kontingenční tabulky r×c. Vzhledem

k tomu, že sčítací indexy nabývají pouze dvou hodnot, lze testovou statistiku

χ2 zjednodušit do následujícího tvaru:


χ2 = n(n11n22 − n12n21)

2

n1.n2.n.1n.2

.

Pokud χ2 ≥ χ21(1− α), zamítáme hypotézu nezávislosti. Stejným způsobem

testujeme i homogenitu dvou binomických rozdělení (zobecněním binomick-

ého rozdělení je multinomické), jestliže řádkové (nebo sloupcové) marginální

četnosti jsou pevné.

Příklad 22.3 v náhodném výběru padesáti obézních dětí ve věku 6 - 14 let

byla u každého dítěte zjištěna obezita u matky a obezita u otce. Údaje jsou

zaznamenány v tabulce 22.7. Zajímá nás, zda obezita rodičů spolu souvisí.

Matka Otec obézní Otec neobézní Celkemobézní 15 9 24neobézní 7 19 26celkem 22 28 50

Table 22.7: Čtyřpolní tabulka obezity rodičů obézních dětí

Řešení Po dosazení do testové statistiky dostaneme

χ2 = 50(15 · 9− 9 · 7)224 · 22 · 26 · 28 = 6, 41.

Kritická hodnota χ21(0, 95) = 3, 84. Protože χ2 ≥ χ2

1(1 − α), zamítneme

hypotézu nezávislosti, tzn. obezita rodičů spolu významně souvisí.

22.4 Fisherův faktoriálový test

Jak již bylo poznamenáno výše, ke shodě s limitním rozdělením χ21 se vyžaduje,

aby všechny teoretické četnostini.n.j

nbyly větší než 5. Pokud tato podmínka

není splněna, dochází ke spojování řádků, popř. sloupců. Toto ovšem nelze u

22.4. FISHERŮV FAKTORIÁLOVÝ TEST 257

čtyřpolní tabulky, a proto se používá Fisherův faktoriálový test. Tento test

umožňuje ověřit hypotézu nezávislosti i při malých četnostech. Provedení

testu probíhá v následujících krocích.

1. Vytvoříme soubor všech kontingenčních tabulek se stejnými marginál-

ními četnostmi jako má původní kontingenční tabulka.

2. U každé tabulky souboru vypočteme pravděpodobnosti P =n1.!n2.!n.1!n.2!

n!n11!n12!n21!n22!

a číslo d = ln b, kde b =n11n22

n12n21

. Číslo d se nazývá logaritmická inter-

akce dané tabulky.

3. Sečteme pravděpodobnosti P tabulek se stejnými marginálními četnos-

tmi, jako má výchozí tabulka, jejichž logaritmické interakce jsou v ab-

solutní hodnotě větší nebo rovny číslu |d| ( = logaritmická interakcedané tabulky).

4. Je-li součet těchto pravděpodobností menší nebo roven číslu α (hladina

testu), hypotézu nezávislosti zamítneme.

Celou proceduru ukážeme na následujícím příkladě.

Příklad 22.4 U 24 náhodně vybraných žáků se zjišťovalo, zda mají dobrý

či špatný prospěch v matematice a zda se učí nebo neučí hrát na nějaký

hudební nástroj. Zjištěné výsledky jsou uvedeny v Tabulce 22.8. Má se ověřit

hypotéza, že prospěch v matematice a okolnost, že se dítě učí hrát na nějaký

hudební nástroj, na sobě nezávisí.

Řešení: Vytvoříme všechny tabulky se stejnými marginálními četnostmi,

jako má výchozí tabulka. U každé tabulky vypočteme logaritmickou interakci

d a pravděpodobnost P :


matematikahudba učí neučí celkem

dobrý 6 4 10špatný 1 13 14celkem 7 17 24

Table 22.8: Výsledky studentů v matematice v porovnání se skutečností, zdase učí hrát na hudební nástroj

0 107 7

d = −∞P=0,009916

1 96 8

d = −1, 91P=0,086766

2 85 9

d = −0, 80P=0,260297

3 74 10d=0,07

P=0,347063

4 63 11d=0,89

P=0,220858

5 52 12d=1,79

P=0,066258

6 41 13d=2,97

P=0,008495

7 30 14d=∞

P=0,000347

Výchozí kontingenční tabulka má absolutní hodnotu logaritnické interakce

rovnu 2,97, tudíž sčítáme pravděpodobnosti těch tabulek, které mají d v abso-

lutní hodnotě větší nebo rovnu hodnotě 2,97. Součet těchto pravděpodobností

je 0,018758. Vzhledem k tomu, že tento součet není větší než α = 0,05,

zamítneme hypotézu o nezávislosti.

22.5 McNemarův test

Při statistické analýze kontingenčních tabulek nemusí být vždy cílem provést

klasický test nezávislosti nebo homogenity. Další test, který může být prove-

den v rámci čtyřpolní kontingenční tabulky, je McNemarův test. Tento test

se provádí v případě, kdy na souboru n náhodně vybraných objektů se sleduje

přítomnost nebo nepřítomnost výskytu nějakého znaku. Posléze se udělá na

témže souboru nějaký zákrok a opět se zjistí přítomnost či nepřítomnost

22.5. MCNEMARŮV TEST 259

sledovaného znaku u jednotlivých objektů souboru. Cílem bude zjistit, zda

zákrok změnil pravděpodobnost výskytu znaku.

Označme symbolem + výskyt sledovaného znaku a symbolem - případy,

kdy se znak nevyskytl. Obdržíme tabulky 22.9 a 22.10 následujících tvarů,

přičemž (X=před zásahem, Y=po zásahu), X=+,- a Y=+,-. Dále např.

p11 = P (X = +, Y = +).

Před Po zásahu Po zásahu Celkemzásahem + -+ n11 n12 n1.

- n21 n22 n2.

Celkem n.1 n.2 n

Table 22.9: Tabulka absolutních četností

Před Po zásahu Po zásahu Celkemzásahem + -+ p11 p12 p1.- p21 p22 p2.

Celkem p.1 p.2 1

Table 22.10: Tabulka pravděpodobností

Testujeme hypotézu

H0 : p1. = p.1.

Tato hypotéza je ekvivalentní s hypotézou

H0 : p12 = p12.

(procento pozitivního výsledku před zásahem je stejné jako po zásahu)

Testovací statistika má tvar

χ2 =n12 − n21

2

n12 + n21


Lék B Lék A Lék A Celkemúspěch neúspěch

úspěch 1 3 4neúspěch 9 5 14Celkem 10 8 18

Table 22.11: Porovnání léku A a B

a má asymptoticky χ21 rozdělení. Hypotézu H0 zamítáme v případě, že χ2 ≥

χ21(1 − α). Aproximaci pomocí asymptotického rozdělení chí-kvadrát o 1

stupni volnosti můžeme použít, pokud (n12 + n21) ≥ 8. Jestliže není splněna

podmínka, nemůže se použít výše zmíněná statistika. Test, který se používá

při malých hodnotách (n12 + n21), můžeme najít např. v [1]

Příklad 22.5 Pozorujeme náhodný výběr 18 pacientů, kteří byli léčeni dvěma

různými antihypertenzívy A a B. Každý pacient dostával po dobu jednoho

měsíce lék A a po odeznění jeho případných účinků dostával po dobu jednoho

měsíce lék B. Výsledek byl klasifikován jako úspěch nebo neúspěch. Máme

otestovat, zda procenta úspěšnosti jsou u obou léků shodná. Výsledky po-

zorování jsou uvedeny v Tabulce 22.11.

Řešení: Po dosazení do příslušné testové statistiky obdržíme

χ2 =3− 92

3 + 9= 3.

Protože příslušná kritická hodnota je χ21(0, 95) = 3, 84 a χ2 < χ2

1(0, 95),

hypotézu H0 nezamítneme, tzn. že na základě zkoumaných dat nelze prokázat

rozdíl v působení obou léků.

22.6 Test symetrie

Uvažujme nyní čtvercovou kontingenční tabulku typu c× c.

22.6. TEST SYMETRIE 261

n11 . . . n1c n1.

n21 . . . n2c n2.

. . . . . .nc1 . . . ncc nc.

n.1 . . . n.c n

Příslušná tabulka pravděpodobností má tvar

p11 . . . p1c p1.p21 . . . p2c p2.. . . . . .

pc1 . . . pcc pc.p.1 . . . p.c p

Budeme testovat hypotézu

H0 : pij = pji pro všechny dvojice(i, j), i, j = 1, 2, ..., c.

Jde o zobecnění případu 2×2. McNemarův test je tedy speciálním případem

tohoto testu symetrie. Testová statistika má v tomto případě tvar

χ2 =∑

i<j

(nij − nji)2

nij + nji

.

Za platnosti nulové hypotézyH0 (hypotéza symetrie) má statistika χ2 asymp-

toticky χ2 rozdělení o c(c − 1)/2 stupních volnosti. Hypotézu symetrie za-

mítneme, jestliže χ2 ≥ χ21(1− α).

Příklad 22.6 v tabulce 22.12 jsou údaje o rodinném stavu snoubenců. Je

třeba rozhodnout, zda pravděpodobnost uzavření sňatku mezi svobodným ženichem

a ovdovělou nevěstou je stejná jako pravděpodobnost uzavření sňatku mezi

svobodnou nevěstou a ovdovělým ženichem a že analogická rovnost platí i

pro pravděpodobnost ostatních kombinací původních rodinných stavů part-

nerů (viz [1]).

Řešení: Dosazením do testové statistiky pro test symetrie obdržíme

χ2 =(824− 1370)2

824 + 1370+

(3463− 4603)2

3463 + 4603+

(798− 590)2

798 + 590= 328, 17.


ženichnevěsta svobodná ovdovělá rozvedená celkem

svobodný 75564 824 3463 79851ovdovělý 1370 904 798 3072rozvedený 4603 590 2943 8136celkem 81537 2318 7204 91059

Table 22.12: Četnosti manželství při různých původních rodinných stavechpartnerů.

Vzhledem k tomu, že χ23(0, 95) = 7, 81, platí χ2 ≥ χ2

1(1 − α), tudíž hypotézu

symetrie zamítáme.

Chapter 23

Statistické tabulky

Tabulka 23.1: Kritické hodnoty normovaného normálního rozdělení

U ∼ N(0, 1), P (U ≥ u(α)) = 1− α u(α) = −u(1− α).α 0,9 0,95 0,975 0,99

u(α) 1,281552 1,644859 1,959964 2,326348α 0,995 0,999 0,9995 0,9999

u(α) 2,575829 3,090232 3,290527 3,719016

263

264 CHAPTER 23. STATISTICKÉ TABULKY

Table 23.2: Distribuční funkce normovaného normálního rozděleníX ∼ N(0, 1), Φ(x) = P (X ≤ x), Φ(x) = 1− Φ(−x).x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x)

0,00 0,50000,01 0,5040 0,31 0,6217 0,61 0,7291 0,91 0,81860,02 0,5080 0,32 0,6255 0,62 0,7324 0,92 0,82120,03 0,5120 0,33 0,6292 0,63 0,7357 0,93 0,82380,04 0,5160 0,34 0,6331 0,64 0,7389 0,94 0,82640,05 0,5199 0,35 0,6368 0,65 0,7422 0,95 0,82890,06 0,5239 0,36 0,6406 0,66 0,7454 0,96 0,83150,07 0,5279 0,37 0,6443 0,67 0,7486 0,97 0,83400,08 0,5319 0,38 0,6480 0,68 0,7517 0,98 0,83650,09 0,5359 0,39 0,6517 0,69 0,7549 0,99 0,83890,10 0,5398 0,40 0,6554 0,70 0,7580 1,00 0,84130,11 0,5438 0,41 0,6591 0,71 0,7611 1,01 0,84380,12 0,5478 0,42 0,6628 0,72 0,7642 1,02 0,84610,13 0,5517 0,43 0,6664 0,73 0,7673 1,03 0,84850,14 0,5557 0,44 0,6700 0,74 0,7703 1,04 0,85080,15 0,5596 0,45 0,6736 0,75 0,7734 1,05 0,85310,16 0,5636 0,46 0,6772 0,76 0,7764 1,06 0,85540,17 0,5675 0,47 0,6808 0,77 0,7794 1,07 0,85770,018 0,5714 0,48 0,6844 0,78 0,7823 1,08 0,85990,019 0,5753 0,49 0,6879 0,79 0,7852 1,09 0,86210,20 0,5793 0,50 0,6915 0,80 0,7881 1,10 0,86430,21 0,5832 0,51 0,6950 0,81 0,7910 1,11 0,86650,22 0,5871 0,52 0,6985 0,82 0,7939 1,12 0,86860,23 0,5910 0,53 0,7019 0,83 0,7967 1,13 0,87080,24 0,5948 0,54 0,7054 0,84 0,7995 1,14 0,87290,25 0,5987 0,55 0,7088 0,85 0,8023 1,15 0,87490,26 0,6026 0,56 0,7123 0,86 0,8051 1,16 0,87700,27 0,6064 0,57 0,7157 0,87 0,8078 1,17 0,87900,28 0,6103 0,58 0,7190 0,88 0,8106 1,18 0,88100,29 0,6141 0,59 0,7224 0,89 0,8133 1,19 0,88300,30 0,6179 0,60 0,7257 0,90 0,8159 1,20 0,8849

265

Table 23.2: Distribuční funkce normovaného normálního rozděleníX ∼ N(0, 1), Φ(x) = P (X ≤ x), Φ(x) = 1− Φ(−x).x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x)

1,21 0,8869 1,56 0,9406 1,91 0,9719 2,52 0,99411,22 0,8888 1,57 0,9418 1,92 0,9726 2,54 0,99451,23 0,8907 1,58 0,9429 1,93 0,9732 2,56 0,99481,24 0,8925 1,59 0,9441 1,94 0,9738 2,58 0,99511,25 0,8944 1,60 0,9452 1,95 0,9744 2,60 0,99531,26 0,8962 1,61 0,9463 1,96 0,9750 2,62 0,99551,27 0,8980 1,62 0,9474 1,97 0,9756 2,64 0,99591,28 0,8997 1,63 0,9484 1,98 0,9761 2,66 0,99611,29 0,9015 1,64 0,9495 1,99 0,9767 2,68 0,99631,30 0,9032 1,65 0,9505 2,00 0,9772 2,70 0,99651,31 0,9049 1,66 0,9515 2,02 0,9783 2,72 0,99671,32 0,9066 1,67 0,9525 2,04 0,9793 2,74 0,99691,33 0,9082 1,68 0,9535 2,06 0,9803 2,76 0,99711,34 0,9099 1,69 0,9545 2,08 0,9812 2,78 0,99731,35 0,9115 1,70 0,9554 2,10 0,9821 2,80 0,99741,36 0,9131 1,71 0,9564 2,12 0,9830 2,82 0,99761,37 0,9137 1,72 0,9573 2,14 0,9838 2,84 0,99771,38 0,9162 1,73 0,9582 2,16 0,9846 2,86 0,99791,39 0,9177 1,74 0,9591 2,18 0,9854 2,88 0,99801,40 0,9192 1,75 0,9599 2,20 0,9861 2,90 0,99811,41 0,9207 1,76 0,9608 2,22 0,9868 2,92 0,99821,42 0,9222 1,77 0,9616 2,24 0,9875 2,94 0,99841,43 0,9236 1,78 0,9625 2,26 0,9881 2,96 0,99851,44 0,9251 1,79 0,9633 2,28 0,9887 2,98 0,99861,45 0,9265 1,80 0,9641 2,30 0,9893 3,00 0,998651,46 0,9279 1,81 0,9649 2,32 0,9898 3,20 0,999311,47 0,9292 1,82 0,9656 2,34 0,9904 3,40 0,999661,48 0,9306 1,83 0,9664 2,36 0,9909 3,60 0,9998411,49 0,9319 1,84 0,9671 2,38 0,9913 3,80 0,9999281,50 0,9332 1,85 0,9678 2,40 0,9918 4,00 0,9999681,51 0,9345 1,86 0,9686 2,42 0,9922 4,50 0,9999971,52 0,9357 1,87 0,9693 2,44 0,9927 5,00 0,9999991,53 0,9370 1,88 0,9699 2,46 0,99311,54 0,9382 1,89 0,9706 2,48 0,99341,55 0,9394 1,90 0,9713 2,50 0,9938


Table 23.3: Kritické hodnoty k1 a k2 pro znaménkový testP (Y ≤ k1) ≤ α/2 P (Y ≥ k2) ≤ α/2.

α = 0, 05 α = 0, 01 α = 0, 05 α = 0, 01 α = 0, 05 α = 0, 01N k1 k2 k1 k26 0 6 - -7 0 7 - -8 0 8 0 89 1 8 0 910 1 9 0 1011 1 9 0 1112 2 10 1 1113 2 11 1 1214 2 12 1 1315 3 12 2 1316 3 13 2 1417 4 13 2 1518 4 14 3 1519 4 15 3 1620 5 15 3 17

N k1 k2 k1 k221 5 16 4 1722 5 17 4 1823 6 17 4 1924 6 18 5 1925 7 18 5 2026 7 19 6 2027 7 20 6 2128 8 20 6 2229 8 21 7 2230 9 21 7 2331 9 22 7 2432 9 23 8 2433 10 23 8 2534 10 24 9 2535 11 24 9 26

N k1 k2 k1 k236 11 25 9 2737 12 25 10 2738 12 26 10 2839 12 27 11 2840 13 27 11 2941 13 28 11 3042 14 28 12 3043 14 29 12 3144 15 29 13 3145 15 30 13 3246 15 31 13 3347 16 31 14 3348 16 32 14 3449 17 32 15 3450 17 33 15 35

267

Table 23.4: Kritické hodnoty wn jednovýběrového Wilcoxonova testuP (min(S+, S−) ≤ Wn(α)) ≤ α

n wn(0, 05) wn(0, 01) n wn(0, 05) wn(0, 01) n wn(0, 05)

6 0 - 26 98 75 46 3617 2 - 27 107 83 47 3788 3 0 28 116 91 48 3969 5 1 29 126 100 49 41510 8 3 30 137 109 50 43411 10 5 31 147 118 51 45312 13 7 32 159 128 52 47313 17 9 33 170 138 53 49414 21 12 34 182 148 54 51415 25 15 35 195 159 55 53616 29 19 36 208 171 56 55717 34 23 37 221 182 57 57918 40 27 38 235 194 58 60219 46 32 39 249 207 59 62520 52 37 40 264 220 60 64821 58 42 41 279 233 61 67222 65 48 42 294 247 62 69723 73 54 43 310 261 63 72124 81 61 44 327 276 64 74925 89 68 45 343 291 65 772


Table 23.5: Kritické hodnoty W(0,05) pro dvouvýběrový Wilcoxonův testP (min(U1, U2) ≤ W (0, 05)) ≤ 0, 05.

mn

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

4 - - 0

5 - 0 1 2

6 - 1 2 3 5

7 - 1 3 5 6 8

8 0 2 4 6 8 10 13

9 0 2 4 7 10 12 15 17

10 0 3 5 8 11 14 17 20 23

11 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30

12 1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37

13 1 4 8 12 16 20 24 28 33 37 41 45

14 1 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55

15 1 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64

16 1 6 11 15 21 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75

17 2 6 11 17 22 28 34 39 45 51 57 63 69 75 81 87

18 2 7 12 18 24 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99

19 2 7 13 19 25 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106

20 2 8 14 20 27 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112

21 3 8 15 22 29 36 43 50 58 65 73 80 88 96 103 111 119

22 3 9 16 23 30 38 45 53 61 69 77 85 93 101 109 117 125

23 3 9 17 24 32 40 48 56 64 73 81 89 98 106 115 123 132

24 3 10 17 25 33 42 50 59 67 76 85 94 102 111 120 129 138

25 3 10 18 27 35 44 53 62 71 80 89 98 107 117 126 135 145

26 4 11 19 28 37 44 53 62 71 80 89 98 107 117 126 135 145

27 4 11 20 29 38 48 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 158

28 4 12 21 30 40 50 60 70 80 90 101 111 122 132 143 154 164

29 4 13 22 32 42 52 62 73 83 94 105 116 127 138 149 160 171

30 5 13 23 33 43 54 65 76 87 98 109 120 131 143 154 166 177

Table 23.6: Kritické hodnoty W(0,01) pro dvouvýběrový Wilcoxonův testP (min(U1, U2) ≤ W (0, 05)) ≤ 0, 05.

mn

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

5 - - - 0

6 - - 0 1 2

7 - - 0 1 3 4

8 - - 1 2 4 6 7

9 - 0 1 3 5 7 9 11

10 - 0 2 4 6 9 11 13 16

11 - 0 2 5 7 10 13 16 18 21

12 - 1 3 6 9 12 15 18 21 24 27

13 - 1 3 7 10 13 17 20 24 27 31 34

14 - 1 4 7 11 15 18 22 26 30 34 38 42

15 - 2 5 8 12 16 20 24 29 33 37 42 46

16 - 2 5 9 13 18 22 27 31 36 41 45 50

17 - 2 6 10 15 19 24 29 34 39 44 49 54 60

18 - 2 6 11 16 21 26 31 37 42 47 53 58 64 70

19 0 3 7 12 17 22 28 33 39 45 51 57 63 69 74 81

20 0 3 8 13 18 24 30 36 42 48 54 60 67 73 79 86 92

21 0 3 8 14 19 25 32 38 44 51 58 64 71 78 84 91 98

22 0 4 9 14 21 27 34 40 47 54 61 68 75 82 89 96 104

23 0 4 9 15 22 29 35 43 50 57 64 72 79 87 94 102 109

24 0 4 10 16 23 30 37 45 52 60 68 75 83 91 99 107 115

25 0 5 10 17 24 32 39 47 55 63 71 79 87 96 104 112 121

26 0 5 11 18 25 33 41 49 58 66 74 83 92 100 109 118 127

27 1 5 12 19 27 35 43 52 60 69 78 87 96 105 114 123 132

28 1 5 12 20 28 36 45 54 63 72 81 91 100 109 119 128 138

29 1 6 13 21 29 38 47 56 66 75 85 94 104 114 124 134 144

30 1 6 13 22 30 40 49 58 68 78 88 98 108 119 129 139 150

269

Table 23.7: Kritické hodnoty qm,ν(0, 05) pro Tukeyovu metodu mnohonásob-ného porovnání

X ∼ qm,ν , P (X ≥ qm,ν(0, 05)) = 0, 05.

νm

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 18,0 27,0 32,8 37,1 40,4 43,1 45,4 47,4 49,1 50,6 52,0 53,2 54

2 6,08 8,33 9,80 10,9 11,7 12,4 13,0 13,5 14,0 14,4 14,7 15,1 15

3 4,50 5,91 6,82 7,50 8,04 8,48 8,85 9,18 9,46 9,72 9,95 10,2 10

4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,71 7,05 7,35 7,60 7,83 8,03 8,21 8,37 8,5

5 3,64 4,60 5,22 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 6,99 7,17 7,32 7,47 7,6

6 3,46 4,34 4,90 5,30 5,63 5,90 6,12 6,32 6,49 6,65 6,79 6,92 7,0

7 3,34 4,16 4,68 5,06 5,36 5,61 5,82 6,00 6,16 6,30 6,43 6,55 6,6

8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5,60 5,77 5,92 6,05 6,18 6,29 6,3

9 3,20 3,95 4,41 4,76 5,02 5,24 5,43 5,59 5,74 5,87 5,98 6,09 6,1

10 3,15 3,88 4,33 4,65 4,91 5,12 5,30 5,46 5,60 5,72 5,83 5,93 6,0

11 3,11 3,82 4,26 4,57 4,82 5,03 5,20 5,35 5,49 5,61 5,71 5,81 5,9

12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5,12 5,27 5,39 5,51 5,61 5,71 5,8

13 3,06 3,73 4,15 4,45 4,69 4,88 5,05 5,19 5,32 5,43 5,53 5,63 5,7

14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 5,25 5,36 5,46 5,55 5,6

15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,59 4,78 4,94 5,08 5,20 5,31 5,40 5,49 5,5

16 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,90 5,03 5,15 5,26 5,35 5,44 5,5

17 2,98 3,63 4,02 4,30 4,52 4,70 4,86 4,99 5,11 5,21 5,31 5,39 5,4

18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,49 4,67 4,82 4,96 5,07 5,17 5,27 5,35 5,4

19 2,96 3,59 3,98 4,25 4,47 4,65 4,79 4,92 5,04 5,14 5,23 5,31 5,3

20 2,95 3,58 3,96 4,23 4,45 4,62 4,77 4,90 5,01 5,11 5,20 5,28 5,3

24 2,92 3,53 3,90 4,17 4,37 4,54 4,68 4,81 4,92 5,01 5,10 5,18 5,2

30 2,89 3,49 3,85 4,10 4,30 4,46 4,60 4,72 4,82 4,92 5,00 5,08 5,1

40 2,86 3,44 3,79 4,04 4,23 4,39 4,52 4,63 4,73 4,82 4,90 4,98 5,0

60 2,83 3,40 3,74 3,98 4,16 4,31 4,44 4,55 4,65 4,73 4,81 4,88 4,9

120 2,80 3,36 3,68 3,92 4,10 4,24 4,36 4,47 4,56 4,64 4,71 4,78 4,8

∞ 2,77 3,31 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47 4,55 4,62 4,68 4,7


Table 23.8: Kritické hodnoty qm,ν(0, 01) pro Tukeyovu metodu mnohonásob-ného porovnání

X ∼ qm,ν , P (X ≥ qm,ν(0, 01)) = 0, 01.

νm

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 90,0 135 164 186 202 216 227 237 246 253 260 266 272

2 14,0 19,0 22,3 24,7 26,6 28,2 29,5 30,7 31,7 32,6 33,4 34,1 34,8

3 8,26 10,6 12,2 13,3 14,2 15,0 15,6 16,2 16,7 17,1 17,5 17,9 18,2

4 6,51 8,12 9,17 9,96 10,6 11,1 11,5 11,9 12,3 12,6 12,8 13,1 13,3

5 5,70 6,97 7,80 8,42 8,91 9,32 9,67 9,97 10,2 10,5 10,7 10,9 11,1

6 5,24 6,33 7,03 7,56 7,97 8,32 8,61 8,87 9,10 9,30 9,49 9,65 9,81

7 4,95 5,92 6,54 7,01 7,37 7,68 7,94 8,17 8,37 8,55 8,71 8,86 9,00

8 4,74 5,63 6,20 6,63 6,96 7,24 7,47 7,68 7,87 8,03 8,18 8,31 8,44

9 4,60 5,43 5,96 6,35 6,66 6,91 7,13 7,32 7,49 7,65 7,78 7,91 8,03

10 4,48 5,27 5,77 6,14 6,43 6,67 6,87 7,05 7,21 7,36 7,48 7,60 7,71

11 4,39 5,14 5,62 5,97 6,25 6,48 6,67 6,84 6,99 7,13 7,25 7,36 7,46

12 4,32 5,04 5,50 5,84 6,10 6,32 6,51 6,67 6,81 6,94 7,06 7,17 7,26

13 4,26 4,96 5,40 5,73 5,98 6,19 6,37 6,53 6,67 6,79 6,90 7,01 7,10

14 4,21 4,89 5,32 5,63 5,88 6,08 6,26 6,41 6,54 6,66 6,77 6,87 6,96

15 4,17 4,83 5,25 5,56 5,80 5,99 6,16 6,31 6,44 6,55 6,66 6,76 6,84

16 4,13 4,78 5,19 5,49 5,72 5,92 6,08 6,22 6,35 6,46 6,56 6,66 6,74

17 4,10 4,74 5,14 5,43 5,66 5,85 6,01 6,15 6,27 6,38 6,48 6,57 6,66

18 4,07 4,70 5,09 5,38 5,60 5,79 5,94 6,08 6,20 6,31 6,41 6,50 6,58

19 4,05 4,67 5,05 5,33 5,55 5,73 5,89 6,02 6,14 6,25 6,34 6,43 6,51

20 4,02 4,64 5,02 5,29 5,51 5,69 5,84 5,97 6,09 6,19 6,29 6,37 6,45

25 3,96 4,54 4,91 5,17 5,37 5,54 5,69 5,81 5,92 6,02 6,11 6,19 6,26

30 3,89 4,45 4,80 5,05 5,24 5,40 5,54 5,65 5,76 5,85 5,93 6,01 6,08

40 3,82 4,37 4,70 4,93 5,11 5,27 5,39 5,50 5,60 5,69 5,77 5,84 5,90

60 3,76 4,28 4,60 4,82 4,99 5,13 5,25 5,36 5,45 5,53 5,60 5,67 5,73

120 3,70 4,20 4,50 4,71 4,87 5,01 5,12 5,21 5,30 5,38 5,44 5,51 5,56

∞ 3,64 4,12 4,40 4,60 4,76 4,88 4,99 5,08 5,16 5,23 5,29 5,35 5,40

271

Table 23.9: Kritické hodnoty pro Neményho metodu mnohonásobnáhoporovnávání pořadí

α = 0, 05

mI 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3,3 4,7 6,1 7,5 9,0 10,5 12,0 13,52 8,8 12,6 16,5 20,5 24,7 28,9 33,1 37,43 15,7 22,7 29,9 37,3 44,8 52,5 60,3 68,24 23,9 34,6 45,6 57,0 68,6 80,4 92,4 104,65 33,1 48,1 63,5 79,3 95,5 112,0 128,8 145,86 43,3 62,9 83,2 104,0 125,3 147,0 169,1 191,47 54,4 79,1 104,6 130,8 157,6 184,9 212,8 240,98 66,3 96,4 127,6 159,6 192,4 225,7 259,7 294,19 78,9 114,8 152,0 190,2 229,3 269,1 309,6 350,610 92,3 134,3 177,8 222,6 268,4 315,0 362,4 410,511 106,3 154,8 205,0 256,6 309,4 363,2 417,9 473,312 120,9 176,2 233,4 292,2 352,4 413,6 476,0 539,113 136,2 198,5 263,0 329,3 397,1 466,2 536,5 607,714 152,1 221,7 293,8 367,8 443,6 520,8 599,4 679,015 168,6 245,7 325,7 407,8 491,9 577,4 664,6 752,816 185,6 270,6 358,6 449,1 541,7 635,9 732,0 829,2

α = 0, 01

mI 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4,1 5,7 7,3 8,9 10,5 12,2 13,9 15,62 10,9 15,3 19,7 24,3 28,9 33,6 38,3 43,13 19,5 27,5 35,7 44,0 52,5 61,1 69,8 78,64 29,7 41,9 54,5 67,3 80,3 93,6 107,0 120,65 41,2 58,2 75,8 93,6 111,9 130,4 149,1 168,16 53,9 76,3 99,3 122,8 146,7 171,0 195,7 220,67 67,6 95,8 124,8 154,4 184,6 215,2 246,3 277,78 82,4 116,8 152,2 188,4 225,2 262,6 300,6 339,09 98,1 139,2 181,4 224,5 268,5 313,1 358,4 404,210 114,7 162,8 212,2 262,7 314,2 366,5 419,5 473,111 132,1 187,6 244,6 302,9 362,2 422,6 483,7 545,612 150,4 213,5 278,5 344,9 412,5 481,2 551,0 621,413 169,4 240,6 313,8 388,7 464,9 542,4 621,0 700,514 189,1 268,7 350,5 434,2 519,4 606,0 693,8 782,615 209,6 297,8 388,5 481,3 575,8 671,9 769,3 867,716 230,7 327,9 427,9 530,1 634,2 740,0 847,3 955,7


Table 23.10: Kritické hodnoty Friedmanova testu.α = 0,05.

IJ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 6,000 7,4 8,53 9,86 11,24 12,57 13,88 15,19 16,48 17,764 6,500 7,8 8,8 10,24 11,63 12,99 14,34 15,67 16,98 18,35 6,400 7,8 8,99 10,43 11,84 13,23 14,59 15,93 17,27 18,66 7,000 7,6 9,08 10,54 11,97 13,38 14,76 16,12 17,4 18,87 7,143 7,8 9,11 10,62 12,07 13,48 14,87 16,23 17,6 18,98 6,250 7,65 9,19 10,68 12,14 13,56 14,95 16,32 17,7 19,09 6,222 7,66 9,22 10,73 12,19 13,61 15,02 16,40 17,7 19,110 6,200 7,67 9,25 10,76 12,23 13,66 15,07 16,44 17,8 19,211 6,545 7,68 9,27 10,79 12,27 13,70 15,11 16,48 17,9 19,212 6,167 7,70 9,29 10,81 12,29 13,73 15,15 16,53 17,9 19,313 6,000 7,70 9,30 10,83 12,32 13,76 15,17 16,56 17,9 19,314 6,143 7,71 9,32 10,85 12,34 13,78 15,19 16,58 17,9 19,315 6,400 7,72 9,33 10,87 12,35 13,80 15,20 16,6 18,0 19,316 5,99 7,73 9,34 10,88 12,37 13,81 15,23 16,6 18,0 19,320 5,99 7,74 9,37 10,92 12,41 13,8 15,3 16,7 18,0 19,4∞ 5,99 7,82 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68

α = 0,01

IJ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 - 9,000 10,13 11,76 13,26 14,78 16,28 17,74 19,19 20,614 8,000 9,600 11,20 12,59 14,19 15,75 17,28 18,77 20,24 21,75 8,400 9,96 11,43 13,11 14,74 16,32 17,86 19,37 20,86 22,36 9,000 10,200 11,75 13,45 15,10 16,69 18,25 19,77 21,3 22,77 8,857 10,371 11,97 13,69 15,35 16,95 18,51 20,04 21,5 23,08 9,000 10,35 12,14 13,87 15,53 17,15 18,71 20,24 21,8 23,29 8,667 10,44 12,27 14,01 15,68 17,29 18,87 20,42 21,9 23,410 9,600 10,53 12,38 14,12 15,79 17,41 19,00 20,53 22,0 23,511 9,455 10,60 12,46 14,21 15,89 17,52 19,10 20,64 22,1 23,612 9,500 10,68 12,53 14,28 15,96 17,59 19,19 20,73 22,2 23,713 9,385 10,72 12,58 14,34 16,03 17,67 19,25 20,80 22,3 23,814 9,000 10,76 12,64 14,40 16,09 17,72 19,31 20,86 22,4 23,915 8,933 10,80 12,68 14,44 16,14 17,78 19,35 20,9 22,4 23,916 8,79 10,84 12,72 14,48 16,18 17,81 19,40 20,9 22,5 24,020 8,87 10,94 12,83 14,60 16,30 18,00 19,5 21,1 22,6 24,1∞ 9,21 11,35 13,28 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67 23,21 24,73

273

Table 23.11: Kritické hodnoty pro mnohonásobná porovnání u Friedmanovatestu

α = 0,05

IJ 3 4 5 6 7 8 9 101 3,3 4,7 6,1 7,5 9,0 10,5 12,0 13,52 4,7 6,6 8,6 10,7 12,7 14,8 17,0 19,23 5,7 8,1 10,6 13,1 15,6 18,2 20,8 23,54 6,6 9,4 12,2 15,1 18,0 21,0 24,0 27,15 7,4 10,5 13,6 16,9 20,1 23,5 26,9 30,36 8,1 11,5 14,9 18,5 22,1 25,7 29,4 33,27 8,8 12,4 16,1 19,9 23,9 27,8 31,8 35,88 9,4 13,3 17,3 21,3 25,5 29,7 34,0 38,39 9,9 14,1 18,3 22,6 27,0 31,5 36,0 40,610 10,5 14,8 19,3 23,8 28,5 33,2 38,0 42,811 11,0 15,6 20,2 25,0 29,9 34,8 39,8 44,912 11,5 16,2 21,1 26,1 31,2 36,4 41,6 46,913 11,9 16,9 22,0 27,2 32,5 37,9 43,3 48,814 12,4 17,5 22,8 28,2 33,7 39,3 45,0 50,715 12,8 18,2 23,6 29,2 34,9 40,7 46,5 52,516 13,3 18,8 24,4 30,2 36,0 42,0 48,1 54,2

α = 0,01

IJ 3 4 5 6 7 8 9 101 4,1 5,7 7,3 8,9 10,5 12,2 13,9 15,62 5,8 8,0 10,3 12,6 14,9 17,3 19,7 22,13 7,1 9,8 12,6 15,4 18,3 21,2 24,1 27,04 8,2 11,4 14,6 17,8 21,1 24,4 27,8 31,25 9,2 12,7 16,3 19,9 23,6 27,3 31,1 34,96 10,1 13,9 17,8 21,8 25,8 29,9 34,1 38,27 10,9 15,0 19,3 23,5 27,9 32,3 36,8 41,38 11,7 16,1 20,6 25,2 29,8 34,6 39,3 44,29 12,4 17,1 21,8 26,7 31,6 36,6 41,7 46,810 13,0 18,0 23,0 28,1 33,4 38,6 44,0 49,411 13,7 18,9 24,1 29,5 35,0 40,5 46,1 51,812 14,3 19,7 25,2 30,8 36,5 42,3 48,2 54,113 14,9 20,5 26,2 32,1 38,0 44,0 50,1 56,314 15,4 21,3 27,2 33,3 39,5 45,7 52,0 58,415 16,0 22,0 28,2 34,5 40,8 47,3 53,9 60,516 16,5 22,7 29,1 35,6 42,2 48,9 55,6 62,5


Table 23.12: Kritické hodnoty Dn(α) pro jednovýběrový Kolmogorův -Smirnovův test

n α = 0, 05 α = 0, 01 n α = 0, 05 α = 0, 01 n α = 0, 05 α = 0, 01

1 ,97500 0,99500 31 ,23788 ,28530 61 ,17091 ,205062 ,84189 ,92929 32 ,23424 ,28094 62 ,16956 ,203433 ,70760 ,82900 33 ,23076 ,27677 63 ,16823 ,201844 ,62394 ,73424 34 ,22743 ,27279 64 ,16693 ,200295 ,56328 ,66853 35 ,22425 ,26897 65 ,16567 ,198776 ,51926 ,61661 36 ,22119 ,26532 66 ,16443 ,197297 ,48342 ,57581 37 ,21826 ,26180 67 ,16322 ,195848 ,45427 ,54179 38 ,21544 ,25843 68 ,16204 ,194429 ,43001 ,51332 39 ,21273 ,25205 69 ,16088 ,1930310 ,40925 ,48893 40 ,21012 ,25205 70 ,15975 ,1916711 ,39122 ,46770 41 ,20760 ,24904 71 ,15864 ,1903412 ,37543 ,44905 42 ,20517 ,24613 72 ,15755 ,1890313 ,36143 ,43247 43 ,20283 ,24332 73 ,15649 ,1877614 ,34890 ,41762 44 ,20056 ,24060 74 ,15544 ,1865015 ,33760 ,40420 45 ,19837 ,23798 75 ,15442 ,1852816 ,32733 ,39201 46 ,19625 ,23544 76 ,15342 ,1840817 ,31796 ,38086 47 ,19420 ,23298 77 ,15244 ,1829018 ,30936 ,37062 48 ,19221 ,23059 78 ,15147 ,1817419 ,30143 ,36117 49 ,19028 ,22828 79 ,15052 ,1806020 ,29408 ,35241 50 ,18841 ,22604 80 ,14960 ,1794921 ,28724 ,34427 51 ,18659 ,22386 81 ,14868 ,1784022 ,28087 ,33666 52 ,18482 ,22174 82 ,14779 ,1773223 ,27490 ,32954 53 ,18311 ,21968 83 ,14691 ,1762724 ,26931 ,32286 54 ,18144 ,21768 84 ,14605 ,1752325 ,26404 ,31657 55 ,17981 ,21574 85 ,14520 ,1742126 ,25907 ,31064 56 ,17823 ,21384 86 ,14437 ,1732127 ,25438 ,30502 57 ,17669 ,21199 87 ,14355 ,1722328 ,24993 ,29971 58 ,17519 ,21019 90 ,14117 ,1693829 ,24571 ,29466 59 ,17373 ,20844 95 ,13746 ,1649330 ,24170 ,28987 60 ,17231 ,20673 100 ,13403 ,16081

275

Table 23.13: Kritické hodnoty pro korelační koeficient r

n α = 0, 05 α = 0, 01 n α = 0, 05 α = 0, 01 n α = 0, 05 α = 0, 01

3 0,9969 0,9999 14 0,5324 0,6614 25 0,3961 0,50524 0,9500 0,9900 15 0,5140 0,6411 30 0,3610 0,46295 0,8783 0,9587 16 0,4973 0,6226 35 0,3338 0,42966 0,8114 0,9172 17 0,4822 0,6055 40 0,3120 0,40267 0,7545 0,8745 18 0,4683 0,5897 45 0,2940 0,38018 0,7067 0,8343 19 0,4555 0,5751 50 0,2787 0,36109 0,6664 0,7977 20 0,4438 0,5614 60 0,2542 0,330110 0,6319 0,7646 21 0,4329 0,5487 70 0,2352 0,306011 0,6021 0,7348 22 0,4227 0,5368 80 0,2352 0,286412 0,5760 0,7079 23 0,4123 0,5256 90 0,2072 0,270213 0,5529 0,6835 24 0,4044 0,5151 100 0,1966 0,2565

Table 23.14: Kritické hodnoty pro Spearmanův korelační koeficient

n α = 0, 05 α = 0, 01 n α = 0, 05 α = 0, 01 n α = 0, 05 α = 0, 01

11 0,6091 0,7545 21 0,4351 0,554512 0,5804 0,7273 22 0,4241 0,542613 0,5549 0,6978 23 0,4150 0,530614 0,5341 0,6747 24 0,4061 0,5200

5 0,9000 - 15 0,5179 0,6536 25 0,3977 0,51006 0,8286 0,9429 16 0,5000 0,6324 26 0,3894 0,50027 0,7450 0,8929 17 0,4853 0,6152 27 0,3822 0,49158 0,6905 0,7571 18 0,4716 0,5975 28 0,3749 0,48289 0,6833 0,8167 19 0,4579 0,5825 29 0,3685 0,474410 0,6364 0,7818 20 0,4451 0,5684 30 0,3620 0,4665

Bibliography

[1] J. Anděl: Matematická statistika, SNTL/ALFA, Praha 1978

[2] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998

[3] M. Denny, S. Gaines: Chance in Biology, Using probability to Explore

Nature, Princeton University Press, Princeton, 2000.

[4] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická statistika,

Karolinum, Praha 1999.

[5] T. Mrkvička, V. Petrášková: Úvod do statistiky, Jihočeská univerzita,

České Budějovice, 2006.

276

Index

absolutně spojité rozdělení 68

absolutní moment 80

alternativní rozdělení 89

Bayesova věta 45

binomické rozdělení 89

borelovské množiny 11

centrální limitní věta 152

centrální moment 80

Čebyševova nerovnost 82

disjunktní jevy 9

diskrétní rozdělení 65

distribuční funkce 61

doplňkový jev 9

dvourozměrné normální rozdělení120

elementární jev 7

exponenciální rozdělení 104

geometrické rozdělení 94

hustota 68

jev 8

jistý jev 9

koeficient korelační 119

konvergence skoro jistě 149

konvergence v pravděpodobnosti 149

konvoluce 138

kovariance 119

Lebesqueova míra 20, 72

Lebesqueova-Stjieltjesova míra 71

Lebesqueův integrál 72

Ljapunovova věta 153

marginální distribuční funkce 117

medián 83

měřitelná funkce 60

míra 70

modus 83

multinomické rozdělení 120

náhodná veličina 59

náhodný vektor 114

nemožný jev 9

nezávislé jevy 30

nezávislé náhodné veličiny 122

normální rozdělení 105

normované normální rozdělení 105

nula-jedničkové rozdělení 89

obecné normální rozdělení 106

podjev 9

podmíněná pravděpodobnost 27

Poissonovo rozdělení 92

pravděpodobnost 8

277

278 INDEX

pravděpodobnostní prostor 12

prostor elementárních jevů 8

rovnoměrné rozdělení 103

rozdělení 71

rozptyl 81

σ-algebra 10

sdružená distribuční funkce 114

silný zákon velkých čísel 151

směrodatná odchylka 81

střední hodnota 77

varianční matice 119

věta o celkové pravděpodobnosti 44

věta o násobení pravděpodobností 29

závislé jevy 31

analýza korelační 97

analýza regresní 81

analýza rozptylu 65

četnost absolutní 10

četnost relativní 10

četnost třídní 10

četnosti empirické 101

četnosti teoretické 101

diagram úsečkový 12

funkce distribuční 19

histogram 11

hladina testu 47

hodnota kritická 34

hodnota střední 21,22

hustota 21

hustota marginální 24

hustota sdružená 23

hypotéza alternativní 47

hypotéza homogenity 111

hypotéza jednoduchá 47

hypotéza nezávislosti 97

hypotéza nulová 47

hypotéza symetrie 111

chyba 1. druhu 47

chyba 2. druhu 47

interakce 74

interval spolehlivosi 41

koeficient determinace 83

koeficient korelační 25, 97

koeficient korelační Spearmanův 99

koeficient korelační výběrový 97

kovariance 24

kvantil 34

medián 13, 22

metoda linearizace 94

metoda nejmenších čtverců 82

metoda Neményova 71

metoda Tukeyova 68

model lineární 81

model nelineární 94

model regresní 81

modus 13, 22

metoda Neményova 71

nezávislost 24

obor kritický 47

odhad nestranný 41

INDEX 279

odhad průměru 41

odhad regresní 82

odhad rozptylu 41

odchylka směrodatná 16, 22

odchylka průměrná 16

pás spolehlivosti 84

podmodel 91

polygon četností 12

pořadí 59

pravděpodobnost 19

prostor elementárních jevů 19

průměr 13

průměr aritmetický 13

průměr geometrický 14

průměr harmonický 14

průměr výběrový 38

regrese exponenciální 94

regrese kvadratická 92

regrese linearizovatelná 94

regrese s více proměnnými 86

regresní polynom 92

rozdělení alternativní 25

rozdělení diskrétní 21

rozdělení exponenciální 27

rozdělení Fisherovo-Snedecorovo 33,

34

rozdělení multinomické 26

rozdělení normální 28, 34

rozdělení Poissonovo 26

rozdělení rovnoměrné 27

rozdělení spojité 21

rozdělení Studentovo t 32, 34

rozdělení χ2 31, 34

rozpětí 8

rozptyl 16

rozptyl reziduální 67

rozptyl výběrový 38

soubor statistický 7

součet čtverců celkový 66

součet čtverců reziduální 66

součet čtverců řádkový 73

tabulka kontingenční 109

test Friedmanův 76

test homogenity 113

test hypotézy 47

test jednostranný 48

test Kolmogorovův-Smirnovův 105

test Kruskalův-Wallisův 70

test McNemarův 118

test neparametrický 59

test nezávislosti 111

test normality 102

test oboustranný 48

test párový 51

test Pearsonův χ2 101

test shodnosti rozptylů 53

test symetrie 120

test t dvouvýběrový 52

test t jednovýběrový 48

test t párový 51

280 INDEX

test Wilcoxonův 61, 63

test znaménkový 60

test χ2 101, 115

testování hypotéz 47

třídění dvojné 72

třídění jednoduché 65

třídy 8

vektor náhodný 23

veličina náhodná 19

veličiny nekorelované 25

veličiny nezávislé 24

věta centrální limitní 29

výběr náhodný 36

výběr stratifikovaný 36

zákon velkých čísel 38

doc. RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D.,Ing. Michael Rost, Ph.D.

ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI AMATEMATICKÉ STATISTIKY

Roku 2016 vydala Jihočeská univerzitaVlastimil Johanus TISKÁRNA1. vydání

ISBN ????????

Documents

ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI A MATEMATICKÉ …home.ef.jcu.cz/~mrkvicka/vyuka/TPMSA.pdf · jihoČeskÁuniverzita,ekonomickÁfakulta zÁklady teorie pravdĚpodobnosti a matematickÉ