100411_199_Trabajo_Fase_2 (1).pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

100411- Cálculo integral

Trabajo Colaborativo Fase 2

GUÍA DE ACTIVIDADES

FASE 2. TRABAJO COLABORATIVO 2

100411 – CALCULO INTEGRAL

PRESENTADO POR:

NATALY CARDONA VALDES

CÓDIGO: 97022610850

ANNIE JEHOBEL CAMPOS

CÓDIGO: 65.816.063

FLOR ANGELA TRUJILLO HERNANDEZ

CÓDIGO: 97021024370

BLANCA ANGELLY SALAZAR MARIN

CÓDIGO. 30412231

GRUPO: 200611_119

PRESENTADO AL INGENIERO:

LUIS FERNANDO ARIAS RAMIREZ (Tutor)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

ABRIL DE 2015





CONTENIDO

INTRODUCCION ............................................................................................................................... 3

1. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD ............................................................................................ 4

2. CONCLUCIONES ........................................................................................................................ 17

3. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................... 18





INTRODUCCION

Este trabajo se realizó con el fin de profundizar los temas de la unidad 2 del curso Calculo Integral,

usando la estrategia de Aprendizaje Basado en Proyectos como experiencia pedagógica organizada para

consultar y solucionar problemas que se presentan en el mundo real, mediante los cuales se pueda

facilitar la comprensión de los nuevos conocimientos y el logro de aprendizajes significativos. Además,

porque se requiere saber que la participación en estas actividades implica investigación, estudio

autónomo, trabajo colaborativo y apoyo mutuo para facilitar el desarrollo del proceso.

Se desarrolló, porque se vio la necesidad de que nosotros los estudiantes analicemos las temáticas

abordadas y las relacionen de manera individual, con el fin de que identifiquemos los temas a tratar de

la unidad 2 del curso, a través de la realización y posterior consolidación de conocimiento, para poder

obtener la solución de las preguntas orientadas realizadas por el tutor, que serán empleados como

herramientas, que según su contenido y estructura, permitirán evaluarnos, y verificar que realmente

reconocimos las temáticas mencionadas. Finalmente, se puede decir que éste trabajo se realizó, con el

propósito de emplear recursos y métodos que permitan una comprensión más generalizada de las

unidades, ya que contiene conocimientos de gran importancia y necesarios para el entendimiento de

temáticas en unidades posteriores





1. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

PROBLEMAS PROPUESTOS

La integral definida de f entre 𝑎 y 𝑏 es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑛→∞ ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∇𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑛𝑖=1

𝑏

𝑎 para

cualquier función f definida en [𝑎, 𝑏] para la que ese límite exista y sea el mismo para toda elección de

los puntos de evaluación, 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛. En tal caso, se dirá que f es integrable en [𝑎, 𝑏].

Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal

es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto.

Sea 𝑓(𝑥) una función continua en el intervalo semiabierto [𝑎, 𝑏), entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑡→𝑏− ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥𝑡

𝑎

𝑏

𝑎

Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el

valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.

Evaluar las siguientes integrales impropias:

1. ∫ 𝐥𝐧(𝒙)𝟏

𝟎𝒅𝒙

Solución:

∫ ln(𝑥)1

0𝑑𝑥 = −1

Calculamos la integral indefinida:

∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = xln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

Aplicamos integración por partes: ∫ 𝑢𝑣′ = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢′𝑣

𝑢 = ln(x)

𝑣′ = 1

𝑢′ =1

𝑥

𝑣 = 𝑥





= ln(𝑥) 𝑥 − ∫1

𝑥𝑥𝑑𝑥

= 𝑥 ln(𝑥) − ∫ 1𝑑𝑥

∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥

∫ 1𝑑𝑥

Integral de una constante: ∫ 𝑓(𝑎)𝑑𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑓(𝑎)

= 1𝑥

Simplificando

= 𝑥

Calculamos los límites: ∫ ln(𝑥)𝑑𝑥 = −1 − 01

0

lim𝑥→0+(𝑥 ln(𝑥) − 𝑥) = 0

lim𝑥→0+(𝑥 ln(𝑥) − 𝑥)

lim𝑥→0+(𝑥 ln(𝑥)) − lim𝑥→0+(𝑥)

lim𝑥→0+(𝑥 ln(𝑥)) = 0

lim𝑥→0+(𝑥 ln(𝑥))

𝑥 ln(𝑥) =ln(𝑥)

1

4

= lim𝑥→0+

(ln(𝑥)

1

𝑥

)

lim𝑥→0+ (ln(𝑥)

1

𝑥

) = lim𝑥→0+ ((ln(𝑥))′

(1

𝑥)

′ )

d

dx(ln(𝑥)) =

1

𝑥

d

dx(ln(𝑥))

Aplicar la regla de derivación: d

dx(ln(𝑥)) =

1

𝑥

=1

𝑥





d

dx(

1

𝑥) = −

1

𝑥2

1

x= 𝑥−1

Aplicar la regla de la potencia: d

dx(𝑥𝑎) = 𝑎 ∗ 𝑥𝑎−1

= 𝑥−1−1

= −1

𝑥2

lim𝑥→0+ (1

𝑥

−1

𝑥2

)

lim𝑥→0+(−𝑥)

lim𝑥→0+(−0)

= 0

lim𝑥→0+(𝑥) = 0

lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎

= 0

lim𝑥→1−(𝑥 ln(𝑥) − 𝑥) = −1

lim𝑥→1−(𝑥 ln(𝑥) − 𝑥)

lim𝑥→1−(𝑥 ln(𝑥)) − lim𝑥→1−(𝑥)

lim𝑥→1−(𝑥 ln(𝑥)) = 0

lim𝑥→1−(𝑥 ln(𝑥))

lim𝑥→1−(𝑥) ∗ lim𝑥→1−(ln(𝑥)) = 0

= 0

= 1 ∗ 0

Simplificando

= 0





lim𝑥→1−(𝑥) = 1

lim𝑥→1−(1)

= 1

= 0 − 1

Simplificando

= −1

El límite sí existe y es convergente.

2. ∫𝟏

(𝒙−𝟏)𝟐 𝒅𝒙∞

𝟐

Solución:

Hayamos limite

lim𝑥→∞

∫1

(𝑥 − 1)𝑑𝑥

𝑥

2

𝑈 = 𝑋 − 1

𝑑𝑈 = 1𝑑𝑥

Sustituimos:

lim𝑎→∞

∫𝑑𝑢

𝑢2

𝑥

2

lim𝑎→∞

∫ 𝑢−2 𝑑𝑢𝑥

2

𝑢−1

−1{𝑎2

= −1

𝑢{𝑎2

lim𝑎→∞

−1

𝑥−1{𝑎2

= lim𝑎→∞

−1

𝑎.1− (

1

2−1) = −

1

−1= 1


3. ∫ 𝒆−𝟓𝒙𝒅𝒙∞

−∞

Solución:





5

5

5

dudx

dxdu

xu

115

1

15

11

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

55

05lim50lim

0

5lim0

5lim

0

lim0

lim

0

lim0

lim

0

5lim0

5lim

0

0

55

5

ee

ee

eeee

ee

ee

due

due

dxedxe

dxedxe

dxe

r

r

r

r

rx

rr

r

ru

rr

u

r

ru

rr

u

r

rx

rr

x

r

xx

x

El límite no existe, es divergente

4. ∫𝟒+𝒙

√𝒙𝟐−𝟒𝒅𝒙

𝟓

𝟐

Solución:

= lim𝑡→2

∫4+𝑥

√𝑥2−4𝑑𝑥

5

𝑡

= lim𝑡→2

∫(4+2 sec 𝜃).2 sec 𝜃 tan 𝜃𝑑𝜃

√(2 sec 𝜃)2−4

5

𝑡

= lim𝑡→2


√4 sec2 𝜃−4

5

𝑡

= lim𝑡→2


√2 (sec2 𝜃−1)

5

𝑡

= lim𝑡→2


√tan2 𝜃

5

𝑡





= lim𝑡→2

∫(4+2 sec 𝜃).sec 𝜃 tan 𝜃𝑑𝜃

tan 𝜃

5

𝑡

= lim𝑡→2

∫ 4 sec 𝜃 𝑑𝜃5

𝑡+ = lim

𝑡→2∫ 2 sec2 𝜃 𝑑𝜃

5

𝑡

= lim𝑡→2

[4𝐿𝑛(sec 𝜃 + tan 𝜃)] 5𝑡

+ = lim𝑡→2

[2 tan 𝜃] 5𝑡

= 𝑙𝑖𝑚𝑡→2

[4𝐿𝑛 (𝑥

2+

√𝑥2−4

2)]

5𝑡

+ = 𝑙𝑖𝑚𝑡→2

[2√𝑥2−4

2]

5𝑡


[4𝐿𝑛 (5

2+

√52−4

2) − 4𝐿𝑛 (

𝑡

2+

√𝑡2−4

2)] + 𝑙𝑖𝑚𝑡→2[√52 − 4 − √𝑡2 − 4] 5

𝑡


[4𝐿𝑛 (5

2+

√25−4

2) − 4𝐿𝑛 (

𝑡

2+

√𝑡2−4

2)] + 𝑙𝑖𝑚𝑡→2[√25 − 4 − √𝑡2 − 4] 5

𝑡

[4𝐿𝑛 (5+√21

2) − 4𝐿𝑛 (

2

2+

√22−4

2)] + [√21 − √22 − 4]

[4𝐿𝑛 (5+√21

2) − 4𝐿𝑛 (1 +

√4−4

2)] + [√21 − √4 − 4]

[4𝐿𝑛 (5+√21

2) − 4𝐿𝑛 (1 +

√4−4

2)] + [√21]

4𝐿𝑛 (5+√21

2) + √21

10,8498


Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades básicas de

las integrales (integrales inmediatas) y las diferentes técnicas o métodos de integración como

integración por sustitución e integración por cambio de variable.

Evaluar las siguientes integrales:

5. ∫𝐬𝐞𝐜𝟐(√𝒙)

√𝒙𝒅𝒙

Solución:

Sustituimos:

U=√𝑥 = 𝑥1/2

dU= 1

2𝑥

12⁄ 𝑑𝑥





dU=1

2.

1

𝑥1

2⁄𝑑𝑥

dU=1

2√𝑥𝑑𝑥

2dU=1

√𝑥𝑑𝑥

Reemplazamos

∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑢) 𝑑𝑢

2𝑇𝑎𝑛(√𝑥)

6. ∫𝟏

(𝟏+√𝒙)𝒅𝒙

𝟒

𝟏

Solución:

2,48,169,026

2526

225228

1124121242

122

1

122

1

112

12

1

2

1

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

InIn

InIn

InIn

tInt

dtt

dtdtt

dtt

tdt

t

t

dxx

7. ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙)𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 𝒅𝒙𝝅

𝟐𝟎

Solución:

∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)𝑐𝑜 𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 =1

3

𝜋

20

∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥𝜋

20

Calcular la integral indefinida: ∫ sin2(𝑥) cos(𝑥)𝑑𝑥 =sin3(𝑥)

3+ 𝐶





∫ sin2(𝑥) cos(𝑥)𝑑𝑥

Aplicar integración por sustitución: ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∗ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 , 𝑢 = 𝑔(𝑥)

𝑢 = sin(𝑥)

𝑑𝑢 = cos(𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑥 =1

cos(𝑥)𝑑𝑢

= ∫ 𝑢2 cos(𝑥) 1

cos(𝑥)𝑑𝑢

= ∫ 𝑢2𝑑𝑢

Aplicar la regla de la potencia: ∫ 𝑥𝑎𝑑𝑥 =𝑥𝑎−1

𝑎+1 , donde 𝑎 ≠ −1

=𝑢2+1

2+1

Sustituir en la ecuación 𝑢 = sin(𝑥)

=sin2+1(𝑥)

2+1

Simplificando

=sin3(𝑥)

3

Agregar una constante a la solución

=sin3(𝑥)

3+ 𝐶

Calcular los límites: ∫ sin2(𝑥) cos(𝑥)𝑑𝑥𝜋

20

: ∫ sin2(𝑥) cos(𝑥)𝑑𝑥𝜋

20

=1

3− 0

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = lim𝑡→𝑏−(𝑓(𝑥)) − lim𝑡→𝑎+(𝑓(𝑥))𝑏

𝑎

lim𝑥→0+ (sin3(𝑥)

3) = 0

= 0

lim𝑥→

𝜋

2

− (sin3(𝑥)

3) =

1

3





=1

3

=1

3− 0

Simplificando

=1

3

8. ∫ 𝒙𝒆(𝒙𝟐−𝟏)𝒅𝒙

Solución:

= ∫ 𝑥𝑒∪.𝑑∪

2𝑥

=1

2∫ 𝑒∪𝑑 ∪

=1

2𝑒∪ + 𝑐

=1

2𝑒(𝑥2−1) + 𝑐

Existen varios métodos para resolver integrales como integración por racionalización, integración por

sustitución trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales.

Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad utilizada:

9. ∫𝟏

(𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟏𝟑)𝒅𝒙

Solución:

∫1

(𝑥2+4𝑥+13)𝑑𝑥 =

tan−1(𝑥+2

3)

3+ 𝐶

∫1

(𝑥+2)2+9𝑑𝑥

Aplicar integración por sustitución:

𝑢 = (𝑥 + 2) 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 1𝑑𝑢





= ∫1

𝑢2+91 𝑑𝑢

= ∫1

𝑢2+9𝑑𝑢

Para 𝑏𝑥2 ± 𝑎 sustituyendo 𝑥 =√𝑎

√𝑏𝑢


𝑢 = 3𝑣 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑣

= ∫1

(3𝑣)2+93𝑑𝑣

= ∫1

3𝑣2+3𝑑𝑣

Factor 1

3𝑣2+3

= ∫1

3(𝑣2+1)𝑑𝑣

Sacar la contante: =1

3∫

1

𝑣2+1𝑑𝑣

Usar la integral común: ∫1

𝑣2+1𝑑𝑣 = tan−1(𝑣)

=1

3tan−1(𝑣)

Sustituir 𝑣 =1

3𝑢 , 𝑢 = (𝑥 + 2)

=1

3tan−1 (

1

3(𝑥 + 2))

Simplificando

=tan−1(

𝑥+2

3)

3

=tan−1(

𝑥+2

3)

3+ 𝐶

10. ∫𝟏

𝟒+𝒙𝟐 𝒅𝒙

Solución:





= ∫2 cos θdθ

4−(2 sin θ)2

= ∫2 cos θdθ

4−4 sin2 𝜃

= ∫2 cos θdθ

4(1−sin2 𝜃)

=2

4∫

cos 𝜃𝑑𝜃

cos2 𝜃

=1

2∫

𝑑𝜃

cos 𝜃

=1

2∫ sec 𝜃𝑑𝜃

=1

2𝑙𝑛|sec 𝜃 + tan 𝜃| + 𝑐

11. ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙

Solución:

= ∫(∪2− 1) ∪ 2 ∪ 𝑑 ∪





= ∫(2 ∪4− 2 ∪2)𝑑 ∪

= ∫ 2 ∪4 𝑑 ∪ − ∫ 2 ∪2 𝑑 ∪

=2∪5

5−

2∪3

3+ 𝑐

=2

5(𝑥 + 1)

5

2 −2

3(𝑥 + 1)

3

2

Para 𝑏𝑥2 ± 𝑎 sustituyendo 𝑥 =√𝑎

√𝑏𝑢


𝑢 =√31

2𝑣

𝑑𝑢 =√31

2𝑑𝑣

= 6 ∫1

4(√31

2𝑣)

2

+31

√31

2𝑑𝑣

= 6 ∫1

√31(2𝑣2+2)𝑑𝑣

Sacar la contante: ∫ 𝑎 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= 61

√31∫

1

2𝑣2+2𝑑𝑣

Factor 1

2𝑣2+2

= 61

√31∫

1

2(𝑣2+1)𝑑𝑣

Sacar la contante:

= 61

√31

1

2∫

1

𝑣2+1𝑑𝑣

Usar la integral común: ∫1

𝑣2+1𝑑𝑣 = tan−1(𝑣)

= 61

√31

1

2tan−1(𝑣)

Sustituyendo 𝑣 =2

√31𝑢





= 61

√31

1

2tan−1 (

2

√31𝑢)

=3tan−1(

2

√31)

√31

= 2 (ln(4𝑢2+31)

2+

3tan−1(2𝑢

√31)

√31)

Sustituyendo 𝑢 = (𝑥 −3

2)

= 2 (ln(4(𝑥−

3

2)

2+31)

2+

3tan−1(2(𝑥−

32

)

√31)

√31)

= 2 (ln(4(𝑥−

3

2)

2+31)

2+

3tan−1(2(𝑥−

32

)

√31)

√31) + 𝐶





2. CONCLUCIONES

Teniendo en cuenta la temática que tratamos en esta actividad logramos con el objetivo trazado en

cual adquirimos importantes conocimientos que nos servirán de gran utilidad durante nuestro proceso

educativo en la que fortalecimos consigo las competencias cognitivas, comunicativas y la capacidad de

expresar con argumentos concretos y representativos nuestras ideas de un determinado tema teniendo

en cuenta los instrumentos adecuados para dicho fin donde se represente de manera detallada y precisa

lo que se quiera dar a conocer o sustentar.

Se abordaron las temáticas generales de la Unidad 2 del curso Calculo integral, usando la estrategia

de Aprendizaje Basado en Proyectos como experiencia pedagógica organizada para consular guías de

apoyo para solucionar problemas que se presentan en el mundo matemático como real, mediante los

cuales logramos facilitar la comprensión de nuevos conocimientos y el fortalecimiento de aprendizajes

significativos.

Empleamos recursos y métodos que nos permitieron una comprensión más generalizada de las

unidades, pues a través de ellos, profundizamos en conocimientos de gran importancia y necesarios

para el entendimiento de temáticas en unidades posteriores.





3. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Nombre de la

unidad

Contenidos de

aprendizaje

Referencias Bibliográficas Requeridas

(Incluye: Libros textos, web links, revistas científicas)

Presaberes Conocimientos

previos

Consulta independiente de material de apoyo de álgebra y

diferenciación de funciones.

UNIDAD 2

Técnicas de

Integración

1. Métodos de

Integración I

Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos

para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales.

Alicante, España: Universidad de Alicante.

Temáticas de estudio: Métodos generales de integración

González, M. (24 de mayo de 2012). Aprende Integrales ‐ Tema 1. [video]. Disponible en

http://www.youtube.com/watch?v=v6JgjHMvNVc

Ríos, J. (14 de abril de 2010). Integral por el Método de

Sustitución. [video]. Disponible en

http://www.youtube.com/watch?v=zCldXOtAKQo


http://www.youtube.com/watch?v=UOOswzhDmEk

2. Métodos de

Integración II

Ríos, J. (19 de enero de 2012). Integral resuelta por los

métodos de sustitución y partes. [video].

Disponible en

http://www.youtube.com/watch?v=ukaQzboMjaA


http://www.youtube.com/watch?v=J3‐ykUup1Wo

3. Métodos de

Integración III

Ríos, J. (30 de agosto de 2009). Integración por fracciones

parciales. [video]. Disponible en

http://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE‐t3w

http://www.youtube.com/watch?v=v6JgjHMvNVc

http://www.youtube.com/watch?v=zCldXOtAKQo

http://www.youtube.com/watch?v=UOOswzhDmEk

http://www.youtube.com/watch?v=ukaQzboMjaA

http://www.youtube.com/watch?v=J3‐ykUup1Wo

http://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE‐t3w

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