10.2. Analisis de Esfuerzos Deformacione

7/21/2019 10.2. Analisis de Esfuerzos Deformacione

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Universidad Nacional de Colombia

Sede Manizales

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Departamento de Ingeniería Civil

Pavimentos. Profesor: Luis Ricardo Vásquez Varela, M.Sc.

Métodos de Análisis:

Esfuerzos, deformaciones y desplazamientos

en pavimentos rígidos.

Referencias:

• Huang (2004). Pavement Analysis and Design.• Papagiannakis & Masad (2008). Pavement Design and Materials.• FHWA (1990). Pavement Notebook.• ICPC – INVIAS (2008). Manual de diseño de pavimentos de concreto.

30/05/2015 LUIS RICARDO VÁSQUEZ VARELA, M.Sc. 1



Introducción.

• Los pavimentos rígidos constan de losas deconcreto de cemento Pórtland construidassobre una capa de base o subbase (granularo tratada) o directamente sobre lasubrasante.

• El módulo de Young del concreto de cementoPórtland (28 GPa) es mucho mayor que aquelde las capas subyacentes (30 – 600 MPa).

• La forma de trabajo del pavimento es porflexión de la losa en el plano horizontal.

• Los esfuerzos en los pavimentos rígidos estánafectados por:

– Factores ambientales (cambios de temperaturay humedad en la losa).

– Cargas de tránsito.

– Soporte de la base / subbase (alabeo de la losay erosión de la subrasante).


Concreto de cemento Pórtland

Base o subbase (opcional).

Subrasante.

13 a 35 cm.

10 a 30 cm.

Junta longitudinal



TIPOS DE PAVIMENTOS DECONCRETO.

Dimensiones, juntas y mecanismos de transferencia de carga.




Tipos de pavimentos de concreto.

• Pavimento de concreto simple y con juntas.

– El espaciamiento de juntas transversales estáentre 3.0 y 6.0 metros.

– Depende del tipo de agregados, el clima y laexperiencia local.

– La FHWA (1990) recomienda no superar 4.5metros.

– Las juntas longitudinales suelen coincidir conlos carriles del diseño geométrico.


Barras de anclaje corrugadas: previenen separación y escalonamiento. Barras pasajunta o dovelas lisas engrasadas.

J u n t a

t r a n s v e r s a l c o n d

o v e l a s .

3.0 – 6.0 metros 3.0 – 6.0 metros

J u n t a

t r a n s v e r s a l s i n d

o v e l a s .

3.0 – 6.0 metros

Junta longitudinal conbarras de anclaje.

Transferencia de carga portrabazón de agregados.

Transferencia de cargamediante dovelas.

h

h



http://www.cement.or

g/pavements/pv_sc_ctb_dulles.asp https://www.dot.ny.gov/regional-offices/region6/project-repository/i86_project/constr_jun07.html

LUIS RICARDO VÁSQUEZ VARELA, M.Sc. 530/05/2015

http://www.cement.org/pavements/pv_sc_ctb_dulles.asp



https://www.dot.ny.gov/regional-offices/region6/project-repository/i86_project/constr_jun07.html

https://www.dot.ny.gov/regional-offices/region6/project-repository/i86_project/constr_jun07.html




• Pavimentos de concreto reforzado y con juntas.

– Espaciamiento de las juntas transversalesentre 9.0 y 30.0 metros.

– El acero de refuerzo no incrementa lacapacidad estructural de la losa.

– La cuantía de acero se incrementa con elespaciamiento, se ha estimado unespaciamiento óptimo por costos de 12metros.

– La FHWA (1990) recomienda no superarespaciamientos de 9.1 metros.


Barras de anclaje corrugadas: previenen separación y escalonamiento. Barras pasajunta o dovelas lisas engrasadas.

J u n t a

t r a n s v e r s a l c o n d

o v e l a s .

9.0 – 30.0 metros


Malla o parrillade refuerzo.

9.0 – 30.0 metros

Grieta cerradapor el refuerzo.

Transferencia de cargamediante dovelas.

Posición del acero de refuerzo(h/3).

h



• Pavimentos de concretocontinuamente reforzados.

– Permite la eliminación total de las juntas transversales.

– Se forman grietas transversales enintervalos cortos y uniformes entre90 y 150 cm.

– Intervalos menores pueden causar ladestrucción del pavimento.


Posición del acero de refuerzo(h/2).

h

Barras de anclaje corrugadas: previenen separación y escalonamiento.


Refuerzo continuo.

90 – 150 cm.

Grietas cerradaspor el refuerzo.



http://onlinemanuals.txdot.gov/txdotmanuals/pdm/images/Figure_8_1.JPG







• Pavimentos de concreto presforzado. – Propuestos desde 1956 en Pittsburgh.

– Los proyectos experimentalesdesarrollados entre 1971 y 1975comprendían:

• Losas entre 91 y 232 metros.

• Tensionamiento longitudinal de sietealambres con un esfuerzo de 1.4 a 2.3MPa.

• Sin tensionamiento transversal.

– En la actualidad es un productoprefabricado.


Barras de anclaje corrugadas.

91 – 232 metros


Hilos de alambre.

Posición de los hilos de alambre.

h



• Pavimentos prefabricados de concreto presforzado.

http://www.precastpavement.com/






Paneles de base. Paneles de junta.

Paneles centrales de tensionamiento.http://www.precastpavement.com/






ftp://ftp.wsdot.wa.gov/public/Bridge/WBES2007/assets/monday/2A/David_Merritt_2A.pdf






COMPORTAMIENTO MECÁNICO DELOS PAVIMENTOS DE CONCRETO.

Modelos de fundación y teoría de placa.




Modelos de fundación del pavimento.

Fundación Winkler:

• Resortes lineales independientes.

• Constante elástica del resorte, k.

– Módulo de reacción de lasubrasante.

– Ensayo de la placa de carga.

Fundación sólida elástica:

• Continuo homogéneo isótropo de espesorinfinito.

• Módulo de Young y relación de Poisson (Esy νs).

– Ensayos triaxiales.

– Cálculo inverso a partir de deflexiones.


1 ν

× × r ij

i j



Generalidades de la teoría de placaselásticas – flexión pura de una placa.

• Deformaciones a una distancia z del eje neutro:

• Esfuerzos (E y ν son propiedades de la losa):

• Deformación en términos de esfuerzo:

• Relaciones esfuerzo – deformación para flexión en X:

Mx

hz

Mx

Rx

0

ν ν

0

1 ν

(1 ν²)

(1 ν²)

(1 ν²)


X

Y

Z



• Analizando la flexión en Y se obtienen relaciones similares. Se superponen lascomponentes de esfuerzo en cada dirección y se obtiene:

• Con las correspondientes deformaciones:


(1 ν²) + ν

(1 ν²) 1 ν

1

+ 1

(1 ν²) + ν

(1 ν²) 1 ν

1

+ 1

1 ν²

1 ν²



• La relación entre el momento y el radio de curvatura está definida por:

– dA: Diferencial de sección unitaria de la losa = (1) . dz.

– I: Momento de inercia de la sección unitaria de la losa.

• Integrando las ecuaciones de esfuerzo obtenidas en X & Y, se obtiene:

• Mx & My son los momentos flectores en las direcciones X & Y. En ambas ecuaciones se observa untérmino que representa la rigidez en flexión de la placa (D):


−/

/

−/

/ ∙ (1)

−/

/²

1

12ℎ

ℎ12 1 ν

1

+ ν 1 ℎ

12 1 ν1

+ ν 1

ℎ12 1 ν

∙

13 ∙

−// ℎ

12



• A partir de las ecuaciones de momento se pueden despejar los radios decurvatura:

• Los cuales están relacionados con los desplazamientos verticales de lalosa, uz, mediante las ecuaciones:


1

12ℎ + ν

1

12ℎ + ν

1

²

1

²



ESFUERZOS INDUCIDOS PORCONDICIONES AMBIENTALES

Esfuerzos de alabeo y fricción sobre la subrasante.




Esfuerzos debidos a gradientes detemperatura en la losa de concreto.

• Los cambios de temperatura producenla variación de la longitud de las fibrasde la losa según la relación:

• Donde:

– ΔL: Cambio en la longitud de la losa.

– L: Longitud de la losa.

– ΔT: Cambio en la temperatura.

– αt: Coeficiente de expansión linealdel concreto.

• Los cambios diferenciales detemperatura en el espesor de la losacausan el alabeo de la misma, pues lasfibras tienen cambios diferenciales delongitud.


∆ × × ∆Tipo de agregado grueso Coeficiente de expansión

térmica del concreto (10-6)

Cuarzo 6.6 / °F 11.9 / °C

Arenisca 6.5 / °F 11.7 / °C

Grava 6.0 / °F 10.8 / °C

Granito 5.3 / °F 9.5 / °C

Basalto 4.8 / °F 8.6 / °C

Caliza 3.8 / °F 6.8 / °C



• Anotaciones sobre diferenciales detemperatura.

– Se requieren mediciones de campo para sucorrecta estimación y modelación.

– Preliminarmente, se puede asumir entre0.055 y 0.077 °C por cada milímetro deespesor de losa.

• Experiencias registradas:

– Arlington Road Test: Promedio máximo delos meses críticos de abril y mayo.

• Losa de 152 mm: 12.2°C.

• Losa de 229 mm: 17.2°C.

– AASHO Road Test:

• Losa de 165 mm: 10.2°C (alabeo haciaabajo) y -4.9°C (alabeo hacia arriba).Máximos promedios de junio y julio.

• El diferencial de temperatura no esproporcional al espesor.

• En losas más delgadas se debenconsiderar diferenciales mayores.






• Las deformaciones en las fibras exteriores de la losa son:

• Los esfuerzos en las fibras exteriores se obtienen mediante las relaciones esfuerzo – deformación:

• Esta solución es válida para la flexión de una losa de dimensiones infinitas en planta.

• Bradbury adaptó esta solución para losas de dimensiones finitas sobre una fundación tipo Winklermediante las siguientes expresiones:

• Cx & Cy son coeficientes obtenidos a partir de las dimensiones de la losa, normalizadas por el radiode rigidez relativa de la misma.


× Δ

× × Δ(1 ν²) + ν × × Δ

(1 ν²) × × Δ1 ν

× × Δ

(1 ν²) + ν × × Δ

(1 ν²) + ν



• El radio de rigidez relativa se definecomo:

• Nótese que:

• “ l ” es una forma de factor geométrico

de rigidez para compatibilizar lafundación con la losa.

• Las dimensiones normalizadas de lalosa son Lx / l o Ly / l .

ℎ12 1 ν

× ℎ12 1 ν

LUIS RICARDO VÁSQUEZ VARELA, M.Sc. 24

λ × 8

1 2 × cos λ × cosh λ × tan λ + tanh λ sin 2λ + sinh 2λ

30/05/2015

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C o e f i c i e n t e

C

L / l

Coeficiente C de Bradbury.



Radio de rigidez relativa, .Sensibilidad frente al espesor, el módulo de Young y el módulo dereacción de la subrasante para ν = 0.15.


E = 28 GPa. k = 80 MPa / m.

30/05/2015




Tensile and Compressive Behaviour of Early Age Concrete.Andrew Barraclough. Ph.D. Candidate, Curtin University of Technology (2011).

http://espace.library.curtin.edu.au/R?func=dbin-jump-full&local_base=gen01-era02&object_id=167553

30/05/2015






Ejemplo:

• Durante la primera noche, posterior asu construcción, la fibra superior de unalosa de pavimento rígido experimentauna reducción de temperatura de 10°C,mientras que la fibra inferior soloexperimenta una reducción de 4°C.

• Se estima que la resistencia inicial delconcreto a la tracción es el 40% delvalor a largo plazo de 4.2 MPa, es decir,

1.68 MPa.

• Calcule los esfuerzos de alabeo en elcentro y en los puntos medios de losbordes de la losa de pavimento.

• Características del pavimento son:

– Longitud de las losas: 4.5 metros.

– Ancho de las losas: 3.6 metros.

– Espesor de la losa: 0.2 metros.

– Módulo de elasticidad del concreto: 27 GPa.

– Relación de Poisson del concreto: 0.15.

– Coeficiente de expansión lineal del concreto: 10.8μm/m / °C.

– Módulo de reacción de la subrasante: 100 MPa/m.




• Solución:

– En el siguiente esquema se identifican los puntos de cálculo de los esfuerzos de alabeo deacuerdo con el sistema de coordenadas y las dimensiones establecidas para el problema:


x

y

Ly = 3.6 m

Lx = 4.5 m

σxC

σxB

σyB σyC

σxC: Esfuerzo en la dirección X en el centro de la losa.

σyC: Esfuerzo en la dirección Y en el centro de la losa.

σxB: Esfuerzo en la dirección X en el borde X de la losa.σyB: Esfuerzo en la dirección Y en el borde Y de la losa.



– El gradiente equivalente de temperatura en la losa es:


Δ 10° 4°2 6°2 3°

ΔTtop = -10oC

ΔTbottom = -4oC

Eje neutro= +

[ (-10oC)+(-4oC) ] / 2 = -7oC

-

-- +

-+ [ (-10oC) - (-4oC) ] / 2 = -3oC

[ (-10oC)+(-4oC) ] / 2 = -7oC - [ (-10oC) - (-4oC) ] / 2 = +3oC



– El radio de rigidez relativa del pavimento es:

– Las dimensiones normalizadas de la losa son:

– Los coeficientes de Bradbury para los casos solicitados son:


ℎ

12 1 ν

27,000 ∙ 0.20

12 1 0.15 ∙100/ 0.655

4.50.655 6.87

3.60.655 5.50

Caso Cx Cy

Esfuerzo en la dirección X en el centro de la losa 1.016 0.826

Esfuerzo en la dirección Y en el centro de la losa 1.016 0.826

Esfuerzo en la dirección X en el borde X de la losa. 1.016 0.000

Esfuerzo en la dirección Y en el borde Y de la losa. 0.000 0.826



– Empleando los coeficientes obtenidos en las ecuaciones de esfuerzo enX & Y se obtiene:

• Esfuerzo en la dirección X en el centro de la losa:

• Esfuerzo en la dirección Y en el centro de la losa:

• Esfuerzo en la dirección X en el borde paralelo al eje X de la losa:

• Esfuerzo en la dirección Y en el borde paralelo al eje Y de la losa:


∙ ∙ Δ(1 ν²) + ν 27,000 ∙ 10.8× 10−/° ∙ 3°

(10.15²) 1.016 + 0.15 ∙ 0.826 1.020

∙ ∙ Δ(1ν²) + ν

27,000 ∙ 10.8 × 10−/° ∙ 3°(10.15²) 0.826 + 0.15 ∙ 1.016 0.876

∙ ∙ Δ(1ν²) + ν 27,000 ∙ 10.8 × 10−/° ∙ 3°

(1 0.15²) 1.016 + 0.15 ∙ 0.000 0.909

∙ ∙ Δ(1ν²) + ν 27,000 ∙ 10.8 × 10−/° ∙ 3°

(10.15²) 0.826 + 0.15 ∙ 0.000 0.739



– En las condiciones propuestas para elproblema, el mayor esfuerzo detracción se presenta en el centro dela losa, en la parte superior de lamisma y en la dirección X, con unvalor de 1.02 MPa.

– Este esfuerzo máximo de tracción nosupera el valor estimado deresistencia temprana del concreto de1.68 MPa, por lo tanto, no se esperaque se presente el agrietamientoprematuro de la losa.

– Si el esfuerzo de tracción en la

dirección X superase la resistenciatemprana del concreto, se generaríauna grieta en la sección normal almismo, es decir, paralela al eje Y.

– Los esfuerzos en los bordes sonmenores ya que no tienen una de lasdos componentes de esfuerzobidimensional consideradas para elpunto central.

– Los esfuerzos en la dirección X, en el

centro y en el borde, son mayoresque aquellos en la dirección Y. En unalosa cuadrada serían iguales enambas direcciones.




Esfuerzos debidos a la fricción con lasubrasante.

• Las losas experimentan procesos decontracción y expansión uniformepor:

– Un gradiente uniforme detemperatura.

– La retracción del concreto hidráulicoposterior a la construcción.

• El cambio de longitud de la losa esimpedido por el esfuerzo cortantegenerado por la fricción entre el

concreto y la fundación (base,subbase o subrasante).

• Se ignora la presencia de losasadyacentes en el análisis.

• La fricción de la subrasante sedesarrolla con el desplazamientorelativo de la losa, es decir, varíacon la distancia al eje central de lalosa.

• No obstante, se asume unadistribución uniforme del esfuerzocortante en el contacto losa –subrasante.





CL

Contracción uniforme

Expansión uniforme

Resistencia por fricción

Resistencia por fricción

L

τ

f r i c c i ó n

0 L/2

Distribución real delesfuerzo cortante

Distribución aproximadadel esfuerzo cortante

h

W = 1.0

L/2

Diagrama de cuerpo libre de media losa, de ancho unitario, en contracción uniforme.

σ

τ fricción

X

Y

Z

30/05/2015



• Equilibrio de fuerzas en X:

– Donde:

• σ: Esfuerzo de tracción en la sección central de la losa con contracción uniforme.

• L: Longitud de la losa.

• γc: Peso unitario del concreto (alrededor de 22.5 kN / m³).

• f: Coeficiente de fricción entre la losa y la subrasante (usualmente 1.5) .

– Note que este esfuerzo es independiente del espesor de la losa.

– Sus valores típicos no son críticos para la selección de la longitud de losa.


ℎ × 2 × × × × ℎ ×

2 × ×

ó × 2 × × ℎ ×



• La Guía AASHTO de 1993 (Parte II – Tabla 2.8)propone valores para el factor de fricción entrela losa y la base o subbase, F, como parte deldiseño de pavimentos de concreto reforzados ycon juntas.

• El procedimiento NCHRP 1-37A para el diseñode pavimentos de concreto continuamentereforzados requiere definir un coeficiente defricción base / losa.

– (*) Material no considerado en el proceso de calibración delNCHRP 1-37A.


Material de apoyo de la losa Factor de fricción, F

Tratamiento superficial 2.2

Estabilización con cal 1.8

Estabilización c on asfalto 1.8

Estabilización con cemento 1.8

Grava de río 1.5

Piedra triturada 1.5

Arenisca 1.2

Subrasante natural 0.9

Tipo de base / subbase

Coeficiente de fricción

Bajo Medio Alto

Suelo de grano fino 0.5 1.1 2.0

Arena* 0.5 0.8 1.0

Agregado 0.5 2.5 4.0

Arcilla estabilizada con cal* 3.0 4.1 5.3

Base tratada con asfalto 2.5 7.5 15

Base tratada con cemento 3.5 8.9 13

Suelo cemento 6.0 7.9 23

Cenizas volantes – cal – cemento 3.0 8.5 20

Cenizas volantes – cal – cemento (sin curar)* > 36

30/05/2015



• Ejemplo:

– Evalúe el esfuerzo de tracción, inducido por la fricción de la subrasante, durante el procesode contracción uniforme para losas de 6.0, 12.0, 18.0, 24.0 y 30.0 metros de longitud total.

– Compare estos valores con una resistencia temprana del concreto a la tracción de 1.68 MPa(1,680 kPa).

– Considere un factor de fricción entre losa y subrasante de 1.5 y un peso unitario delconcreto de 22.5 kN/m³.

– Se observa que incluso una losa de 30.0 metros de longitud no presentaría un esfuerzo detracción crítico en este escenario.


2 × ×

6.02 ×

22.5 × 1.5 101.3

Longitud de la losa (m) Esfuerzo de tracción por fricción de la subrasante durante contracción uniforme, σ (kPa)

6.0 101.3

12.0 202.5

18.0 303.8

24.0 405.0

30.0 506.3



Cálculo del acero de anclaje entrelosas.

• Las barras de anclaje se emplean en las juntas longitudinales de los pavimentos deconcreto entre carriles adyacentes o entrecarril y berma.

• Una junta longitudinal es unadiscontinuidad y, por lo tanto, no puedesoportar esfuerzos inducidos por lafricción de la subrasante.

• Estos esfuerzos se transmiten a barras deacero corrugadas con área transversal Ar.


h

W: ancho

Diagrama de cuerpo libre de una losa, de longitud unitaria, en contracción uniforme.

τ fricción

Y

X

Z



• Haciendo equilibrio de fuerzas en Y:

– Donde:

• Ar: Área de la sección transversal del acero de anclaje por unidad de longitud.

• h: Espesor de la losa.

• W: Ancho de la losa.

• γc: Peso unitario del concreto (alrededor de 22.5 kN / m3).

• f: Coeficiente de fricción entre la losa y la subrasante (usualmente 1.5).

• f r: Esfuerzo admisible en el acero, se propone entre 67% y 75% (AASHTO 1993) de f y.

– El área de acero se distribuye entre “n” barras de diámetros comerciales.


ó × × ×

ℎ × × × × ×

ℎ × × ×

30/05/2015



• Entre las barras de anclaje y el concreto segenera un esfuerzo de adherencia que nodebe superar 2.4 MPa.

• Dicho esfuerzo se desarrolla en la superficiede cada barra y se calcula como:

• Donde:

– u: Esfuerzo de adherencia entre unabarra de anclaje y la losa deconcreto.

– h: Espesor de la losa.

– W: Ancho de la losa.

– γc: Peso unitario del concreto (22.5 kN /m³).

– f: Coeficiente de fricción entre la losa yla subrasante (usualmente 1.5).

– N: Número de barras de anclaje por

unidad de longitud de losa.

– D: Diámetro de las barras de acero.

– t: Longitud de las barras de acero.


ℎ × × × × × ×

2

D

t



• Ejemplo:

– Calcule el área de acero de anclaje necesaria para la junta longitudinal de unpavimento rígido de 0.25 metros de espesor y un ancho de carril de 3.60 metros.

– Considere un factor de fricción entre losa y subrasante de 1.5 y un peso unitario delconcreto de 22.5 kN/m³.

– De acuerdo con el documento T5040.30 (FHWA, 1990) se pueden considerar lassiguientes combinaciones de calidad y dimensiones (D: diámetro, t: longitud) de lasbarras de refuerzo:

– El esfuerzo de trabajo del acero se toma como el 75% de su esfuerzo de cedencia.


Grado del aceroEsfuerzo de fluencia,

fy (psi / MPa)Esfuerzo de trabajo,

fr = 0.75 fy (psi / MPa)Barra No. 4

(D = 12.7 mm)Barra No. 5

(D = 15.9 mm)

Grado 40 40,000 / 276 30,000 / 207 t = 61 cm t = 76 cm.

Grado 60 60,000 / 414 45,000 / 310 t = 81 cm t = 102 cm



• Solución:

– Empleando acero Grado 60 se obtiene un área de refuerzo por metro lineal de junta de:

– Se calcula el espaciamiento necesario y se ajusta con el valor máximo recomendado por la FHWAde 120 centímetros.

– Se verifica que el esfuerzo de adherencia sea menor que 2,400 kPa. Por ejemplo, para la barraNo. 4 @ 120 cm. de t = 81 cm. se tiene:

– Ninguna barra de anclaje debe quedar instalada a menos de 40 centímetrosde las juntas transversales del pavimento.


Número dedesignación

Diámetronominal (mm)

Área nominal de lasección transversal (mm²)

Espaciamientoentre barras (cm)

Espaciamiento máximoFHWA (cm)

Longitud de labarra (cm)

Esfuerzo deadherencia, u (kN/m²)

4 12.70 127.0 130 120 81 2,256

5 15.88 198.0 202 120 102 1,433

ℎ × × × 0.25 × 3.60 × 22.5/³× 1.5310,000/² 9.798 05 /

ℎ × × × × × ×

2 0.25 × 3.60 × 22.5/³× 1.5

1 1.2 × × 12.7

1,000 × 0.812

2,256/²



• Recomendaciones de longitud de barras de anclaje contenidas en el Manual de Diseño dePavimentos de Concreto del Instituto Nacional de Vías de Colombia (2008).


Espesor dela losa (mm)

Barras de 9.5 mm (⅜”) Barras de 12.7 mm (½”) Barras de 15.9 mm (⅝”)

Longitud(m)

Separación entrebarras según el ancho

de carril (m)Longitud

(m)


de carril (m)Longitud

(m)


de carril (m)

3.05 3.35 3.65 3.05 3.35 3.65 3.05 3.35 3.65

Acero Grado 40: fy = 40 ksi, fr = 0.67 * fy = 26.8 ksi (185 MPa)

150

0.45

0.80 0.75 0.65

0.60

1.20 1.20 1.20

0.70

1.20 1.20 1.20

175 0.70 0.60 0.55 1.20 1.10 1.00 1.20 1.20 1.20

200 0.60 0.55 0.50 1.05 1.00 0.90 1.20 1.20 1.20

225 0.55 0.50 0.45 0.85 0.85 0.80 1.20 1.20 1.20

250 0.45 0.45 0.40 0.85 0.80 0.70 1.20 1.20 1.10

Acero Grado 60: fy = 60 ksi, fr = 0.67 * fy = 40.2 ksi (277 MPa)

150

0.65

1.20 1.10 1.00

0.85

1.20 1.20 1.20

1.00

1.20 1.20 1.20

175 1.05 0.95 0.85 1.20 1.20 1.20 1.20 1.20 1.20

200 0.90 0.80 0.75 1.20 1.20 1.20 1.20 1.20 1.20

225 0.80 0.75 0.65 1.20 1.20 1.20 1.20 1.20 1.20

250 0.70 0.65 0.60 1.20 1.15 1.10 1.20 1.20 1.20



Abertura de las juntas debido a gradienteuniforme de temperatura o retracción del

concreto.• La abertura de la junta es muy importante

en pavimentos cuyo mecanismo detransferencia de carga es la trabazón deagregados.

• La contracción uniforme por temperaturao la retracción del concreto incrementanla abertura de la junta y reducen laeficiencia en la transferencia de carga.

• Juntas de más de 1 mm de abertura notransfieren carga por trabazón deagregados.


CL

Contracción uniforme y retracción

CL

Contracción uniforme y retracción

Abertura de la junta = ΔL



• El criterio de abertura máxima de la juntacontrola la longitud máxima de losas sindovelas en las juntas transversales.

• Se evalúa para un diferencial detemperaturas en un intervalo de tiempomayor.

• La abertura de la junta se calcula con la

siguiente ecuación:

• Donde:

– ΔL: Abertura de la junta por lacontracción uniforme y retracción de

las losas adyacentes.

– c: Factor de proporción paraconsiderar la resistencia de lasubrasante (0.65 para basesestabilizadas y 0.80 para basesgranulares).

– L: Longitud de las losas adyacentes a la junta (se presume simétrica).

– αt: Coeficiente de expansión lineal delconcreto.

– ΔT: Diferencia entre la temperatura deconstrucción y la temperaturapromedio mensual más baja.

– ε: Deformación adicional debida a laretracción del concreto (ver tabla).


∆ × × × ∆ + Resistencia a la tracción

indirecta (kPa)Coeficiente de retracción del concreto de

cemento Pórtland (ε)

2,068 o menos 0.00080

2,758 0.00060

3,447 0.00045

4,137 0.00030

4,826 ó más 0.00020



• Otros criterios para limitar lalongitud de las losas:

– Para losas de concreto simple condovelas se recomienda una longitudmáxima de 4.5 metros para evitar eldesarrollo de grietas (FHWA, 1990).

– Investigaciones de la FHWA (FHWA-RD-89-136, 1990) proponen limitar larelación (L / l ) a valores menores que5.0.

– En la figura adjunta se observa que la

longitud máxima de la losa (L) seincrementa con el espesor (h) pero sereduce con el módulo de reacción dela subrasante (k) (En la figura: E =27.6 GPa y ν = 0.15).

– Para losas de concreto reforzado serecomienda una longitud máxima de9.1 metros (FHWA, 1990) con el finde evitar la rotura de la placa en laparte central y el incremento delescalonamiento entre las partesremanentes.




• Ejemplo:

– Calcule la longitud máxima (L) de las losas considerando una abertura máxima de la junta transversal ( ΔL) de 1 milímetro.

– El pavimento se construirá sobre una base granular, por lo tanto, el factor deproporción de resistencia de la subrasante (c) es de 0.8

– La diferencia de temperatura (ΔT) entre el momento de la construcción y el mes másfrío en operación es de 30°C.

– Se emplearán agregados graníticos, lo cual permite adoptar un coeficiente de

contracción térmica (αt) de 9.5E-06/°C.

– La resistencia del concreto a la tracción es de 4.1 MPa, lo cual permite asumir unaretracción (ε) de 3.0E-04.

• Solución:

– La longitud máxima de la losa sería de 2.14 metros.


∆ × × ∆ + 10.80× 9.5 06° × 30° + 3.0 04 2,137



ESFUERZOS Y DESPLAZAMIENTOSVERTICALES INDUCIDOS POR LASCARGAS DE TRÁNSITO.

Soluciones de Westergaard para carga en la esquina, el centro y el bordede una losa.




Esfuerzo en la esquina de la losa bajo unacarga puntual.

• La carga en la esquina se consideró durante mucho tiempo como la posición más críticapara la generación de esfuerzos en la losa.

• Goldbeck (1919) y Older (1924) propusieron el siguiente análisis de cuerpo libre:


Distribución de esfuerzos y fuerzas en el concreto a la distancia “x” de la esquina:

(+) σesquina

(-) σesquina

h

h/2

h/2

A

Px

x

x

h

k.w

A

(1/3) x (h/2)

A

( 1 + 2 / 3 ) *

( h / 2 )

F = – (1/2)* σesquina * (h/2) * (2x)

F = (1/2)* σesquina * (h/2) * (2x)

30/05/2015



• Sumatoria de momentos en el punto A = 0.

• El esfuerzo es independiente de la distancia “x”, es decir, es constante en cualquiersección normal a la diagonal de la esquina.

• Si la carga del tráfico fuese puntual, esta sería la solución exacta.


∙ + 12 ∙ ∙ ℎ2 ∙ 2 ∙ ℎ2 ∙ 1 + 2

3 13 0

∙ + 12 ∙ ∙ ℎ ∙ ∙ 23 ∙ ℎ 0

13 ∙ ∙ ℎ² ∙ ∙

3ℎ²

30/05/2015



Esfuerzo en la esquina de la losa bajo unárea circular uniformemente cargada.

• Westergaard (1926) propuso las siguientes ecuacionespara el esfuerzo y la deflexión por carga en la esquina:

• Ioannides (1985) propone las siguientes ecuaciones apartir de modelación con elementos finitos:

• c = 1.772a, es decir, es el lado de un cuadrado de áreaigual a (π.a²).

• El máximo momento ocurre en [1.80. c0.32. l 0.59]


• En este caso la sección con el máximo esfuerzoestá a [2.38 (a . l )0.5] de la esquina y no puede

omitirse la fuerza reactiva de la subrasante.

3ℎ² 1 2

.

∙ ² 1.10.88 2

3ℎ² 1

.

∙ ² 1.205 0.69

30/05/2015

Vista en planta

A

A

a

Sección A-A

∞

∞



• Ejemplo:

– Una losa de concreto de 25 cm de espesor está sometida a una carga en la esquinade 44.5 kN, distribuida en un área circular de 15 cm de radio. El módulo de Young delconcreto es 28 GPa y su relación de Poisson es de 0.15.

– El módulo de reacción de la subrasante es de 27 MN/m³.

– Calcule el esfuerzo máximo y la deflexión con las ecuaciones de Westergaard.

• Solución:


ℎ12 1 ν

28,000 /² × 0.25 12 1 0.15 ×27/³ 1.084

3ℎ² 1 2

.

3 × 44.50.25 ² 1 0.15 × 2

1.084.

1,333 /²

∙ ² 1.1 0.88 2

44.527,000/³ ∙ 1.084 ² 1.1 0.88 0.15× 2

1.084 1.301



Esfuerzo en el interior de la losa bajo unárea circular uniformemente cargada.

• Westergaard (1926) propone la siguiente ecuación para el esfuerzo en elinterior de una losa infinita en planta y de espesor finito (h), la cual estásometida a una carga uniformemente distribuida sobre un área circular deradio a.

• Donde l es el radio de rigidez relativa y b se obtiene de la siguiente forma:

• Considerando una relación de Poisson (ν) de 0.15 y logaritmos en base 10,se tiene:


3 1 + ν

2ℎ²

× ln

+ 0.6159

≥ 1.724 × ℎ 1.6² + ℎ² 0.675ℎ < 1.724 × ℎ

0.316ℎ² × 4log

+ 1.069



• Westergaard (1939) propone la siguiente ecuación para la deflexión debido a unacarga en el interior de la losa:


8² 1 +

12 ln

2 0.673

30/05/2015

a

Y

X

Z

∞

∞

∞

∞



• Ejemplo:

– Una losa de concreto de 25 cm de espesor está sometida a una carga en el centro de 44.5 kN,distribuida en un área circular de 15 cm de radio. El módulo de Young del concreto es 28 GPa ysu relación de Poisson es de 0.15.



• Solución:

– Dado que 1.724 x (0.25 m) > 0.15, se calcula b como:


ℎ12 1 ν 28,000/²× 0.25 12 1 0.15 × 27/³ 1.084

1.6² + ℎ² 0.675ℎ 1.6 × 0.15 + 0.25 0.675× 0.25 0.145

3 1 + ν 2ℎ² × ln + 0.6159 3 1 + 0.15 × 44.52(0.25)² × ln 1.0840.145 + 0.6159 1,027/²

8² 1 + 1

2 ln 2 0.673

44.5

8 × 27,000³ ×(1.084)²

1 + 12 ln 0.15

2×(1.084) 0.673 0.151.084

0.174



Esfuerzo en el borde de la losa bajo un áreacircular uniformemente cargada.

• Las ecuaciones para calcular el esfuerzo en el borde fueron presentadas porWestergaard en 1926, 1933 y 1948.

• La versión de 1948 corresponde a la solución general con áreas elípticas y semi-elípticasubicadas sobre el borde del pavimento.

– Si los semiejes de las elipses se igualan con el radio de un área de contacto circular (a) se obtienen

las soluciones para dicho caso particular.

– La solución con área semicircular requiere que el borde recto del semicírculo coincida con el bordedel pavimento.


a Y

X

Z

a

Área circularÁrea semi-circular

∞

∞∞



• De acuerdo con Ioannides et al. (1985) las ecuaciones de esfuerzo y

desplazamiento que deben emplearse son:


(í)

3 1 + ν 3 + ν ℎ² ln

ℎ³100 + 1.84 4ν

3 + 1 ν

2 + 1.18 1 + 2ν

(í)

3 1 + ν 3 + ν ℎ² ln ℎ³100 + 3.84 4ν3 + 1 + 2ν 2

í

2 + 1.2ν ∙

ℎ³

1 0.76 + 0.4ν

í 2 + 1.2ν ∙

ℎ³ 1 0.323 + 0.17ν

30/05/2015

• Ejemplo:



j p

– Una losa de concreto de 25 cm de espesor está sometida a una carga en el borde de44.5 kN, distribuida en un área circular de 15 cm de radio. El módulo de Young delconcreto es 28 GPa y su relación de Poisson es de 0.15.



• Solución:


(í)

3 1+0.15 ×44.5

3+0.15 ×(0.25)²

ln 28,000/²×(0.25)³

100× 27/³ ×(0.15) +1.84 4 × 0.15

3 + 10.152 + 1.18× 1 + 2 × 0.15 × 0.15

1.084 1,823/²

í

2 + 1.2ν ∙ ℎ³ 1 0.76 + 0.4ν

2 + 1.2 × (0.15) × 0.044528,000

² × (0.25)³ × 27³

1 0.76 + 0.4× 0.15 × 0.151.084 0.536

ℎ

12 1 ν 28,000 /²× 0.25

12 1 0.15 × 27/³ 1.084

(í)

3 1 + ν 3 + ν ℎ² ln

ℎ³100 + 1.84 4ν

3 + 1 ν

2 + 1.18 1 + 2ν

S l ió d l l



Solución de los casos expuestos con elmétodo de elementos finitos.

• Empleando el software KENSLABSse pueden resolver los mismoscasos de carga en la esquina, elcentro y el borde de la losa.

– Losa cuadrada de 360 cm de lado y25 cm de espesor.

– El área cargada es de formacuadrada, con 26.58 cm de lado(1.772 x 15 cm) y una presión de 630kPa.

– El módulo de Young del concreto es

de 28 GPa y su relación de Poisson de0.15.

– El módulo de reacción de lasubrasante es de 27 MN/m³.

• Esfuerzos y desplazamientos en lalosa:

– Se observa que las soluciones deWestergaard son menores para elesfuerzo y la deflexión de la losa bajo

las diferentes cargas.

– Esto se explica por la diferencia entrelas dimensiones de las losas en losmodelos


Caso decarga

Westergaard KENSLABS

σ (kPa) δ (mm) σ (kPa) δ (mm)

Esquina 1,333 1.301 1,352 1.527

Centro 1,027 0.174 1,032 0.215

Borde 1,823 0.536 1,943 0.699






RESISTENCIA A LA FATIGA DELCONCRETO DE CEMENTO PÓRTLAND.

Vida de fatiga y criterio de diseño estructural.


Mód lo de rot ra resistencia a la



Módulo de rotura y resistencia a lafatiga.

• El módulo de rotura para la aceptación delconcreto en obra es un valor mínimo. De nosatisfacerse, el producto será rechazado.

• El módulo de rotura empleado en el diseñodel pavimento debe ser mayor que elconsiderado como criterio de aceptación orechazo.

• Las ecuaciones de predicción de fatiga delconcreto se basan en la relación de esfuerzo.

• Para lograr una mayor vida de fatiga delpavimento se debe:

– Reducir el esfuerzo en el concreto debido a

las cargas de tránsito mediante el incrementodel espesor del pavimento.

– Incrementar el módulo de rotura de concreto.

• Ecuaciones de fatiga de la Portland CementAssociation (Packard y Tayabji, 1984):

– Para SR ≥ 0.55.

– Para 0.45 < SR < 0.55.

– Para SR ≤ 0.45 el número de repeticiones, Nf,es ilimitado.

• Ecuación de fatiga de la ACPA con

probabilidad de falla (P).


10 .−.∙

4.2577 0.4325.

10 − . × −.

.




0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

R e l a c i ó n

d e

e s f u e r z o s ( S R )

Número de repeticiones de carga

PCA ACPA P = 50% ACPA P = 20% ACPA P = 10% ACPA P = 5%



Comparación de esfuerzos y resistencia ala tracción.P = 40 kN, a = 0.15 m., E = 28GPa, ν = 0.15 y k = 50 MPa / m.




TRANSFERENCIA DE CARGA ENJUSTAS TRANSVERSALES.

Modelación de dovelas y acción del grupo de dovelas.


Análisis diseño de barras pasaj ntas o



Análisis y diseño de barras pasajuntas odovelas.

• Las dovelas cruzan las juntas transversales para transferir carga entre losas adyacentes.

• Este proceso reduce los esfuerzos y deflexiones en la losa.

• Las dovelas mitigan o impiden el desarrollo del bombeo y la escala en las juntas.


http://www.pavementinteractive.org/article/faulting/http://www.pavementinteractive.org/article/pumping/

30/05/2015

http://www.pavementinteractive.org/article/faulting/

http://www.pavementinteractive.org/article/pumping/

http://www.pavementinteractive.org/article/pumping/

http://www.pavementinteractive.org/article/faulting/



Concepto de transferencia de carga.


100% transferencia carga

(losa cargada) (losa sin carga)

Δ= 0 mmΔ = 0.66 mm

0% transferencia carga

Δ = 0.33 mmΔ = 0.33 mm

(losa cargada) (losa sin carga)

http://www.dot.state.oh.us/Divisions/ConstructionMgt/OnlineDocs/2009MOP/450%20Rigid%20Pavement/451/451%20REINFORCED%20PORTLAND%20CEMENT%20CONCRETE%20PAVEMENT.htm






Esfuerzo portante en una dovela(Timoshenko & Friberg).

• La dovela se modela como una viga y la losa deconcreto como una fundación tipo Winkler.

• El desplazamiento máximo del concreto se presentaen la cara de la losa:

• Donde: – y0: Desplazamiento de la dovela en la cara de la junta.

– Pt: Carga en la dovela (transferida).

– z: Abertura de la junta.

– Ed: Módulo de Young de la dovela.

– Id: Momento de inercia de la dovela de diámetro d.

– β: Rigidez relativa de una dovela embebida enconcreto.

– K: Módulo de soporte de la dovela (81.5 – 409 GPa).


=

2 +

4

64

4• El esfuerzo portante en el concreto es proporcional al

desplazamiento, así:

• El American Concrete Institute ha definido el esfuerzoportante admisible como (d: diámetro en pulgadas):

∙ = ∙ 2 +

4

4 3 ′ ≥

30/05/2015

y0X

Y

Pt

z/2



Acción del grupo de dovelas.

• Se considera una transferencia del 50% de lacarga aplicada por los vehículos.

• El máximo momento negativo ocurre a unadistancia de [1.8 l ] del punto de aplicación de la

carga (Westergaard & Friberg).

• Cuando el momento es máximo, la fuerzacortante es cero.

• En el grupo de dovelas, el cortante de cadabarra se reduce con la distancia desde la carga.

– Máximo en la dovela cercana a la carga. – Cero a la distancia 1.8 l .

• Las juntas longitudinales también interrumpenla acción del grupo de dovelas.

Diámetros y longitudes recomendadaspara las dovelas (PCA, 1975).


Espesor de la losa Diámetro de la dovela Longitud de la dovela

pulgadas cm. pulgadas mm. pulgadas cm.

5 13 5/8 15.9 12 31

6 15 ¾ 19.1 14 36

7 18 7/8 22.2 14 36

8 20 1 25.4 14 36

9 23 1 1/8 28.6 16 41

10 25 1 ¼ 31.8 18 46

11 28 1 3/8 34.9 18 46

12 31 1 ½ 38.1 20 51

El espaciamiento de estas dovelas debe ser de 12 pulgadas (≈ 30 cm) entre

centros.

Carril de 12 pies

12 dovelas con un espaciamiento de

9,000 lb. 9,000 lb.

72 plg.6 plg.



88 plg.

1 . 0

0

0 . 8

6

0 . 7

3

0 . 5

9

0 . 4

5

0 . 3

2

0 . 1

8

0 . 0

5

1 0 7 7

9 2 6

7 8 6 6

3 5

4 8 4

3 4 4

1 9 4 5

4

Factor

Fuerza (lb)

4.18 dovelas efectivas

Fuerzas en las dovelas debidas a la carga aplicada en A

88 plg. 88 plg.

1

. 0 0

0 . 8 6

0 . 7 3

0 . 5 9

0 . 4 5

0 . 3 2

7.08 dovelas efectivas

Fuerzas en las dovelas debidas a la carga aplicada en B

Factor

Fuerza (lb)

0 . 8 6

0 . 7 3

0 . 5 9

0 . 4 5

0 . 3 2

0 . 1 8

1 1 4

2 0 3

2 8 6

3 7 5

4 6 4

5 4 7

6 3 6

2 0 3

2 8 6

3 7 5

4 6 4

5 4 7

12 pulgadas centro a centro.

K = 50 psi/in.

6 plg.

A B

Ubicación de las cargas y dovelas.

9 plg.

Fuerzas en las dovelas debidas a ambas cargas

Fuerza (lb) 1 1 9 1

1 1 2 9

1 0 7 2

1 0 1 0

9 4 8

8 9 1

8 3 0

6 0 1 4

6 4

3 7 5

2

8 6

2 0 3

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10.2. Analisis de Esfuerzos Deformacione