KUANTUM MEKAN ALIMA SORULARI

PROBLEMLER VE ZMLER

1001

Kuantum olgusu makroskopik dnyada ou zaman ihmal edilebilir.

Aadaki durumlarda bu saysal olarak gsterilmitir:

(a) m=1kg ve =1 m ve uzunluunda bir sarka iin sfr noktas salnm genlii.

(b)Ktlesi m=5kg ykseklii H=5cm ve genilii w=1cm olan bir mermer engele kar 10cm/sn hz iin tnel olaslk hareketi.

(c)m=0.1kg ve v=0.5m/sn de hareket eden bir tenis topu iin 1x1.5metrekarelik bir pencere boyutunda krnm.

zm

(a)Harmonik osilatr teorisi ortalama kinetik enerjiyi verir.

12

V E= , i.e., 2 21 12 4

m ww A = h /w g l=

olduundan ve kk ortalama kare sfr noktas iin sanlm genliidir.Bundan dolay

170.41

2 10A x mmw

= h

dir.

Bylece sfr noktasndaki salnm makroskopik bir sarka iin ihmal edilir.

(b)

22 1exp 22

wT m mgH mV

h

22exp 2mw gH V = h , olduundan

2 302 2 0.9 10mw gH V x

h

Bylece 300.9 10 0xT e

Yani mermer iin tnel olaslk aslnda sfrdr.

(c)Tenis topu iin De Broglie dalga boyu,

301.3 10h h x cm

p mw = = =

Yatay ve dikey yndeki krnm alar srasyla

321 1.3 10 .x radD =

332 9 10 .x radL

=

Bylece o noktada herhangi bir n krlmas yoktur.

1002

, , ,e c mh elektron asndan M=protonun ktlesi olarak adlandrlmaktadr.Ayn zamanda herbirinden kabaca saysal boyutta fikir edinmek iin tahmin verin.

(a)Bohr yarap (cm)

(b)Hidrojenin balanma enerjisi(eV)

(c)Bohr manyetonu(kendi birim seimi)

(d)Bir elektronun Compton dalga boyu(cm)

(e)Klasik elektronun yarap(cm)

(f)Elektronun geri kalan enerjisi(Mev)

(g)Protonun geri kalan enerjisi(Mev)

(h)nce yap sabiti

(i)Hidrojenin tipik ince yap yarlmas(eV)

zm

(a)2

92 5.29 10 .a x cmme

= =

h

(b)4

2 13.62meE = =h

eV

(c) 21 19.27 102Be x erg Gsmc

= = h

(d) 102 2.43 10x cmmcpi = =h

(e)2

132 2.82 10e

er x cmmc

= =

(f) 2 0.511eE mc Mev= =

(g) 2 938pE Mc Mev= =

(h)2

3 17.30 10137

e xc

= = h

(i)8 2

4 2 42 4

1 1.8 108 8e mcE mc x eV

c = = =

h

1003

Aadaki saysal deerler iin bir tahmin veya karm tretiniz.

(a)Elektronun Comton dalga boyu.

(b)Elektronun Thomson kesiti.

(c)Hidrojenin Bohr yarap.

(d)Atomik Hidrojenin iyonizasyon potansiyeli.

(e)Atomik Hidrojenin taban seviyesi iin ar ince yarlma.

(f)ekirdein Z=3 olan 3 7Li iin manyetik dipol moment.

(g)Proton ile ntron arasndaki ktle fark.

(h)mr boyu cretsiz ntron.

(i)Helyum-4 ekirdeinin balanma enerjisi.

(j)Byk bir ekirdein yarap.

(k)Bir 0pi mezonun mr.

(I)Bir mezonun mr.

zm

22 31 2

2

2

2

( ) 2.4310 .

8( ) 6.5610 .3

( ) 0.53 .

( ) 13.6 .2

ee

e

e

ha x Amc

b r x m

ca Ameed eVa

pi

= =

= =

= =

==

o

oh

(e)Taban enerji seviyesindeki yarlma

2

4113.6 10 .137f

E x eV = Taban enerji seviyesinde ar ince yarlma

73 10 .10f

hf

EE eV

26 1

30

2

( ) 1.67 10( ) 2.3 10 .

( ) 15min 9 10 .( ) 4 7 28

p n

n

f x J Tg m m m x kg

h x si E x Mev Mev

=

= =

=

= =

g

(f)Bir alan iindeki nkleer kuvvetin etkili olduu yarap yledir

( )1 13 31.4 1.4 100 6.5 .r A x fm = =

(k) 178.28 10 .x s =

(I)Pi zayf etkileimi iin bozunma bylece

62.2 10 .x s = dir.

1004

Aadaki deneyler radyasyon ve mekanik kuantumlanmann ne olduunu aklar.

(a)Fotoelekrik olay

(b)Siyah cisim ma spektroskopisi

(c)Franck-Hertz deneyi

(d)Davisson-Germer deneyi

(f)Compton salmas

Deneylerde llen kasik olmayan etkilerin kuantum fenomeniyle nasl aklanr.Uygun olmas durumunda denklemleri veriniz.

zm

(a)Fotoelektrik olay:Vakumlanm bir ortamda metal plakaya gelen ultraviyole n, metal plakadan elektronun biri yaylr, bu gzlenen olay elektronun emisyonunu ifade eder.Bu ekilde retilen elektrik akm foton younluu ile doru orantldr.Eik frekans metalin cinsine baldr ancak fotonlarn enerjilerinin artmas, elektron saysn arttrmaz enerjilerini arttrr.Bu sonular

klasik fizikle aklamak mmkn deildir.

1905 ylnda Einstein h enerjisine sahip paracklardan oluan fotonlar olarak adlandrd.Metaldeki bir elektron bir foton ile karlatnda h enerjili foton tammen emilir.Bu enerjiyi alan elektron bir miktarn i fonksiyonu olarak W (yani metalden sklebilmek iin) harcyor.Kalan

212

mv h W= Kalan enerji kinetik enerji olarak

ortaya kyor

Bu teori ile bylece n tanecikli niteliini onaylamtr.

(b)Siyah cisim mas:Siyah cisim, zerine den btn may emer.Siyah cisim tarafndan yaylan radyasyonun spektral dalm elde edilebilir.Bunun iin madde ve ma arasndaki etkileimi klasik teori ile karlan Wien yasas ve daha sonraki Rayleigs yasas eski deneyle uyumluluk gsterir.

Fakat ilki sadece yelpazenin ksa dalga boyuna,ikincisi ise uzun dalga boyu ile toplamnda farkllklara yol aar.

Planck, 1900 ylnda karlalan glklerin giderilmesi iin siyah cisim masn klasik fizikte enerjiyi srekli olduu gibi deil de paral yani kuantumlu yapda olduunu varsayarak gsterdi.Enerjiyi E h= spektrumunda ifade eder.Bu da deneyle uyum iindedir.

3

3

8 1 ,1

hkt

hEc e

pi =

h Planck sabiti olarak bilinen evrensel bir sabit

Planck hipotezi mikroskobik lekteki fiziksel sreksizliklerin varln ortaya koymaktadr.

Yani kuantumlu yapy ortaya koymaktadr.

(c) Franck-Hertz deneyi:Franck-Hertz deneyinde tek enerjili elektronlar atomlarla arparak elektronlarn

hareket enerjileri llr.Varsayalm 0 1 2, , ...E E E atomlarn

ardk enerji seviyeleri ve T elektronlara den kinetik enerji

Tyi yle 1E E = ifade edilebilir.Atomlar enerjiyi absorbe etmezler ve btn arpmalar elastiktir.imdi esnek olmayan arpmalar meydana gelen baz atomlarn

ilk uyarlm kinetik enerjileri 1 0>ET E dir.Benzer ekilde

atomlarn ikinci uyarlma halinde enerjileri 2 0>T E E vs. Bylece Franck-Hertz deneyi deneysel olarak atomik enerji seviyelerinin kuantumlu olduunu aklar.

(d) Davisson-Germer deneyi:L.de Broglie madde ve temelinde birleik bir teori gibi varsayarak,madde ve her ikisini de dalga gibi gstermektedir.(hem k dalgasnn hem de maddesel dalgay birletirmitir.)1927de Davisson ve Germer tarafndan elektron dalgalar elde edildi.Bu olay bir elektriksel potansiyel vastasyla iinden geen elektronlarn hzlandrlmasyla saland.Kristal kafes parametrelerini bilmek mmkn olan bir elektronun dalga boyu iin deneysel deerlerin ve sonularnn anlalmasn salar

buda deBroglie dalga hp

= ve p elektronun momentumu ile

mkemmel bir uyum iindedir.Benzer deneyler bakalar tarafndan Helyum atomlar ve Hidrojen moleklleri ile yapld.Elektronlarn dalga yaps hidrojen molekllerinin dalga yapsna zg olmad gz nne serildi.

(f) Compton salmas:Compton, zayf x nlarnn salmasnda gzlenen elektron ve x n arasndaki as ile dalga boyu fark arasnda

22 sin2

hmc

= vardr

Burada h planck sabiti, m geri kalan ktledir ayrca gelen fotonun dalga boyundan bamszdr.

Compton etkisi, herhangi bir k gibi klasik dalga teorisi ile izah edilemez.Bundan dolay n foton kuramn onaylamaz.

1005

Kuantum mekanii iin nceleri byk problem durdurulan bir atom n yayar.Aklaynz.Kuantum mekanii sonralar byk problem uyarlm atomlar n yayarlar.Aklaynz.Uyarlm atomlar neden ma yaparlar.

zm:Kuantum mekaniinden nce,Rutherford gre atom modeli elektronlar ekirdek etrafnda eliptik bir yrngede hareket ederler.Klasik elektrodinamik ykl bir parack hzlandrldnda radyasyon yayar bylece atom k yayar.Bu demektir ki elektronlar srekli enerji kaybedecek ve sonuta ekirdek tarafndan yakalanacak.Gerekte elektronlar ekirdein iine dmezler.Bunun nedeni atomlar taban durumunda ma yapmazlar.Problem ma yapan atomu nleyebilecek bir mekanizma keffetmekti.Fakat tm bu giriimler baarszlkla sonuland.

Kuantum mekaniinde temel prensib d bir etkileim olmadan, yani zamandan bamsz Hamiltonyenle ile almaktr.Bunun anlam uyarlm durumda bir atom hala sabit durumda ma yapmadan kalamaz ve kendiliinden ma yaynlarlar.Ancak kendiliinden gei uyarlm atomlarda atomlarda meydana gelir ve ma yaparlar.

Kuantum mekaniine gre radyasyonun tesir sahasnda elektronlar ve atom iin iki kuantum sistemini

kapsar.Tek bir terim iin foton oluturma a+ operatr

ieren herhangi bir foton balangta olmasa bile tamamiyle kaybolmaz.Bu terim uyarlm durumdaki atomlarn geileri srasnda kendiliinden ma yaparak yaymlanr.

1006

Bir elektron demetine ynelik bir deney dnn.ki tane yark ieren plaka etiketli plaka tesinde A ve B gibi bir dizi yeri belirlemeyi salayan dedektrlerle donatlmtr.Aadaki durumlarda kabataslak olarak elektronlarn bu durumlarnn bir fonksiyonu olarak ilikin ekran boyunca olaylar tayin ediniz ve ksaca aklama veriniz.

(a)A ak yark,B kapal yark

(b)B ak yark,A kapal yark

(c)Her iki yark ak

(d)Stern-Gerlanch aygt ekildeki gibi yarklara balandktan sonra

2z

s = h sadece Adan tek elektron geebilir 2z

s = h sadece

Bden tek elektron geebilir.

(e)Yalnz 2z

s = h elektron Adan geer,yalnz 2z

s = h

elektron Bden geer.

Ik younluu yksek olmayan yalnz bir elektron ne kadar zaman iinde cihazdan geiyor?

zm

(a)Perdedeki bu olaslk A yarnn iinden geen elektronlardan meydana gelir.

(a) A

B

(b)

A

B

(c)

A

B

(d)

A

B

(e)

A

B

1 ( )A x =

(b)B yarndan geen elektronlarn olasl,

( )2 B x = (c) ( )12 1 2 1 2c x giriim = = + + +

(d)Denklemin artlarndan biri A yarndan geen elektronlar veya B yarndan geen elektronlar ve herhangibir giriim terimidir.Ekrandaki younluk sadece toplamdr.

1 2d = +

(e) c ye benzerdir fakat younluk cnin yarsdr

2c

e =

nk elektronlar dalga fonksiyonunun z karlamasndaki bu olay yukarda geen n younluu iin cevaplar geerli klar, bir seferde sadece bir elektron gemesi dk bir olaydr.

1007

m ktleli bir paraca ( ) ( )rF V r= kuvveti maruz brakldnda ( ),p t dalga fonksiyonunun momentum uzaynda denklemi

( ) ( )2

2 ,,2 p

p tp a p t im t

= ,

1=h deimeyen gerek sabit ve,

2 2 22

2 2 2px y zp p p

= + + dir

F(r) kuvvetini bulunuz.

zm:Bir dalga fonksiyonunun koordinat ve momentum gsterimi yledir,

( ) ( )

( ) ( )

3/2

3/2

1, , ,2

1, , ,2

ikr

ikr

r t k t e dk

k t r t e dr

pi

pi

=

=

pk =h

olduundan ( 1=h ile) bylece,

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

, , ,

, , ,p

P p t r t

p t r r t

Schrdinger denklemi koordinat alannda

( ) ( )2

2 ,,2

r tar r t i

m t

+ =

Bundan dolay potansiyel

2( )V r ar=

ve kuvvet ise

( ) ( ) ( ) 2r dF r V r V r arr dr

= = = r

dir.

1008

Tek boyutlu zamandan bamsz Schrdinger denklemi dnn, V(a) keyfi bir potansiyel.

Eer ( )x dalga fonksiyonu x olduunda ( )x 0 olacan ispat ediniz.Bundan dolay olas genel bir faz faktr olacan gster.

pucu:Aksine varsaymn bir elikiye yol atn gster.

zm:O noktada bulunan baka bir ( )x fonksiyonun olduunu farz edelim.Schrndinger denklemi ayn E

enerjisindeki ( ) ( )x ile x fonksiyonlar olduklarndan ( )lim 0x x = diyebiliriz.O zaman

( )

( )2

2

2,

2,

m E V

m E V

=

=

h

h

ve bylece

0, = veya

deimez =

x snr durumunda 0 = verir. Veya

=

.

Sahip olduumuz integre ifademiz ln ln sabit = + veya sabitx = dir.

Bundan dolay ve dalga fonksiyonlar istatiksel olarak ayn yorumu anlatr.

V(x) potansiyelinin olduu zaman * ve birlikte ayn snr durumlarna getirildiinde ayn enerjiyi salar.

*lim 0x = dr.Burada *lim 0x = veya * *C = den dolay bizim iin

2 1c = dir veya ic e = burada bir gerel saydr.Eer biz =0 seersek o zaman c=1 olur

Buda bize (asl dalga) fonksiyonumuzu verir.

1009

Tek boyutlu bir parack dnn

(a) ( ) ( )* , , 0d x t x t dxdt

+

= olduunu gsteriniz.( sabit bir durumda olmas gerekmez)

(b)Parack belirli bir anda duraan durumda olduu zaman sabit kalacan gsteriniz.

(c)T=0 annda dalgal fonksiyonu -a

Her iki taraf H ile soldan arplrsa aralarnda deiebilir ve

( )0 exp /i t t H h ulalr.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

00

00

, exp ,

exp ,

,

iH t tH x t H x t

iH t tE x t

E x t

=

= =

h

h

Bylece ( ),x t daha sonraki bir t zamann temsil eder.(c)Dalga fonksiyonunun t=0da hakknda ifade

verilmitir

C, IxI

( ) ( )/2

2

1,0 ,02

exp2

ipxp e x dx

A x ipx dxa

pi

pi

+

+

=

=

h

h

hh

2 2

2exp 42Aa a p

= hh(b)Serbest bir parack iin momentum uzaynda

Schrndinger denklemi

( ) ( ) ( )2, , ,

2p t pi H p t p tt m

= =h verir

( )2

, exp2ip tp t Bm

= ht=0 zamannda ( ), 0B p= bundan dolay

( )2 2 2

2

2

22

, exp ,4 22

exp22

Aa a p ip tp tm

Aa xi ti t aa mm

= = ++

h hh

hh

Ayrca dorusal bir dzlemde sperpozisyon gibi dalga fonksiyonunu geniletebiliriz

( ) ( ) ( )( )

1/21, ,0

2i kx wtx t p e dp

pi

+

= h

( )2 2

1/2 2

2

2 2 2

2

2

22

1 exp422

exp2

exp4 22

exp ,22

Aa a p

p p tx i x dpm

Aa a p ip t ipx dpm

Aa xi ti t aa mm

pi

pi

+

+

=

= +

++

hhh

h h

h h hh

hh

nceki sonucu kabul eder.

1011

Tekboyutlu m ktleli bir paracn 0 x a aralnda ekilde gsterildii gibi t=0 annda dalga fonksiyonunu gstermektedir.

( ) ( ), 0 8 / 5 1 cos sin /xx t a x aa

pi pi = = + (a) 0t t= annda dalga fonksiyonu nedir.

(b) 0t t= ve 0t = annda sistemin ortalama enerjisi nedir.

(c) 0t t= da paracn kuyunun sol tarafnda bulunma olasl nedir.(0 / 2x a aralnda)

zm:0

( )2/2

00

/2 22 2 0

20

20

2

0 ,2

38 sin 1 cos 2cos cos5 2

31 16 cos2 15 2

a

a

aP x x t dx

tx x dxa a a a ma

tma

pipi pi pi

pi

pi

=

= + +

= +

h

h

1012

Tek boyutlu m ktleli bir paracn l uzunluunda bir potansiyel kuyusunda

0,0 0 ,

V xV xV x

= = =

l

l

t=0 annda bu paracn dalga fonksiyonunun bilinen formu

( )50 30 / , 0 ,0,

X X Xaksidurumda

=

l l l

Aada ( , 0)x t iin bir dizi ve dizi katsaylar iin ifadeleri yaznz.

zm:zfonksiyonlar ve enerji zdeerleri

2( ) sin ,nnxx n = l l

22

,2n

E nm

pi =

hl

n=1,2,3 bylece

,n

n n =

( ) ( )

( )( ) ( )

50

3

3

2 300 sin

14 15 1 cos

4 15 1 1 1/ ,n

xn t n x x dx

nn

n

pi

pipi

pi

= =

= =

l ll l l

ve bylece

( ) ( )

( )2

1

2 12

3 30

, 0 exp

30 1 2 18 sin2 1

nn

n

ni tm

n

Ex t n t i t

n x en

pi

pipi

=

+

=

= =

+ = +

h

l

h

l l

Ayegl AZL

(Blm-1)

1013

atalet momenti ile rijit gvde xy dzleminde izin verilirse as x-ekseni ve rotator ekseni arasnda serbeste dner.

(a) enerji z deerleri ve karlk gelen z fonksiyonlarn bul

(b) t=0 zamannda bir dalga paketi tarafndan aklanan t> 0 iin bu

zm :

bir yzey Hamiltonyeni

Ve bylece Schrdinger denklemi

zm olarak yazarsak

A,B keyfi sabitleri iin, dalga fonksiyonu olduu yerlerde bize gerekli olan:

Enerji z deerden sonra

Ve ilgili z fonksiyonlar

Normlanmas

(a) t=0 da

m = 0 ve m = 2 de bir asal hz tarafndan

verir

Bu nedenle t zamanda

1014

Bir elektronun genilii tek boyutlu bir kutunun temel hali ile snrldr. enerji 38eV

Hesaplayn.

(a) ilk uyarlm halde elektronun enerjisini

(b) elektron temel haldeki kutunun duvara olan ortalama gcn

zm:

Bir boyutlu kutu ile snrl bir elektron enerji seviyeleri (problem 1011)

Bu nedenle ilk uyarlm durumuna (n = 2), enerji

(c) kutunun duvarlarna ortalama kuvvet

sabit durum denklemi ayrt edilmesi ve

ve dolaysyla

Yukardaki denklemin sol tarafn btnletirerek,

gerek olduundan denklemin sa tarafnda btnletirdiimizde sfr verir.

Bundan dolay

n = 1 temel durumu iin,

1015

enerji dzeyleri tek boyutlu potansiyeli ekil 1.3 (a) da yan sra enerji dzeyleri potansiyeli ekil. 1.3 (b) verir

zm:

(a) ekil .1.4 de gsterildii gibi sistem koordinat kullann. Schrdinger denklemi

burada

Bal durumlar iin

Schrdinger denklemi

Bu zmler olur

da artlarn gerektirir

ve Snr koullar x= dan sonra snrl olarak

A, B, C, D yok olmad iin zmler A = 0, ya da C = D verir B=0 ya da C=-D de verir.

Bylece zmlere bal durumlar veren iki blm mmkn

1.blm

enerji seviyeleri ve pozitif deerler ile snrl olduundan, kar izilen radyan ile tan erisi daire ilk eyrek daire iinde kesiimler bulunmaktadr. ekil1.5. ve a kesikli seviyelerinin says ve a baldr ve Sadece kk bir iin olas belirlenmesidir

2.blm

Benzer bir yap ekil. 1.6. da byk iki zm verirken herhangi bir kk deeri verir.

(b) ekil 1.7 de grld gibi kullanlan koordinat

Schrndingerin denklem zmleri

0 da X gider ve son olarak

yukardaki ikinci blm zmleridir.

1016

M ktleli bir paracn bir potansiyel iinde tek boyutlu bir problem dnn

(a)Bal durumuna enerjileri denklemi tarafndan verildiini gster.

(b) baka zm olmadan, zemin durumuna balfonksiyon taslan

zm

(a) iki blge iin schrdinger denklemler

= 0 ve x = 0 snr koullar iin iin 0 x + .

zmler

ve srekli bir sabit olduunda x=a verir

b) taban-durum dalga fonksiyonu olarak ekil 1.8 de gsterilir

1017

Bir V (x) Potansiyeli Dinamikleri hamiltonyeni tek

boyutlu hareket eden bir paracn tarafndan ynetilir.

momentum operatrdr. , n=1,2,3,, z deer. Dnn. Bir

yeni hamiltonyen ve verilen bir parametre. , m ve

zdegerleri bul.

zm:

Yeni Hamiltonyenin

ve z fonksiyonlar ve z deerler yeni z

fonksiyonlar

Ve ilgili z deerler

1018

Tek boyutlu dalga fonksiyonu dnn

A, n ve sabitlerdir

schrndinger denklemini kullanarak, V (x) ve enerji E

(b) balants bu yrnge asal momentum I hydogenic dzlem iin potansiyel ve etkili bir ekilde radyal potansiyeli arasnda gryor musunuz?

zm:

Verilen dalga fonksiyonu farkll

Ve zamandan bamsz schrndinger denklemde yerine

Biz

olarak ve dolaysyla

hidrojen atomu iin etkin radyal

potansiyelidir. karlatrarak grdmz terim ile

terim resmen zdetir. Burada asal momentum terimi yer alyor.

terimi ve n= hidrojen otumu iin potansiyel yrnge asal

momentumudur. Bu iki potansiyel arasndaki farktr.

1019

Aadaki tek boyutlu kuyuyu gz nnde bulundurun.

(a) derinlii iin bal durumunu nitel olarak aklaynz?

(b) kuyu iin bal durumlarn enerjileri arasndaki iliki nedir?

(c) Verilen srekli enerji durumlar iin ka bamsz zm olabilir?

(d) Paracn snr durumlar iinde ve dnda bulunma olasln aklayn?

ZM

(a) bal durumlar iin;

Burada iki durum dr.

ekil 1.9 da verilen potansiyel problem 1015 de zmleri verilmektedir.

enerji seviyeleri yar apl dairenin merkezi ve kesitii ekil 1.16

da verilmektedir. Grld gibi ve , ve den

byk olmaldr. Dolaysyla snr koullar

verilir.

ekil 1.10 da gsterilen potansiyel iin iki zm mmkndr. ekil

1.16 daki durum ayn ve keyfi iin mmkn deildir. zmler dier ksm tarafndan verilmektedir.

erisi orjinde olarak erisi ile kesien kesien kk

deerler olabilir. Ancak kk iin her zaman bal durumlar vardr.

(b) ekil 1.10 da potansiyel iin ekil 1.9 da bal durumlar potansiyelini bulunuz?

(c) Hhjj

(d) parack iinde ve dndaki olaslklar gstermektedir.

Burada iin

srekliliini x=a salar.

Daha nce olduu gibi dr.

Buradan

Parite zmleri verilmektedir.

Burada olur.

ve Analitik

zm olur.

olur.

1020

Aadaki m ktleli bir paracn ksa uzunluklu potansiyeli nedeniyle bir boyutlu enerjisini elde edinin?

ZM

Schrdinger denklemi;

Ve olarak yazlabilir.

olur.

ve , x zerinde yukardaki denklemin her iki tarafndan birletirerek keyfi kk bir pozitif say elde ederiz.

haline geldiinde olur.

schrdinger denklemi zm

(1) Denkleminde anlald gibi

ki sonu karlatrdmzda k= olur.

Bylece balayc enerjisi bulunur.

1021

M ktleli bir paracn tek boyutlu fonksiyon potansiyeli dnn

negatif ise bal bir bal bir durum vardr ve balayc enerji

dr

ZM

Schrdinger denklemi dir

Farkl olarak E

Burada A keyfi sabittir. Normalletirme tarafndan elde edilmitir.

1022

M ktleli bir parack ile verilen potansiyel bir boyut

olmayan relavistik hareket eder. Burada dirac delta

fonksiyonudur. Paraca baldr. paracn bulunma

olasl ye tam eit olduunda deerini bulun.

ZM

E

E enerji zdeeri iin m ktlesi, potansiyelini ve sistemin boyutunu L ynnde bulun?

ZM

Schrdinger denkleminin her iki tarafna

uygulayarak

elde edilir.

Burada dr

Snr deerlerini uyguladmz zaman schrdinger

denklemi iin;

zmne sahiptir

Burada ve gelii gzel kk bir pozitif saydr. Dalga

fonksiyonu deki srekliliinden

elde edilir. Dalga

fonksiyonu (1) denklemde yerine yazarsak

elde edilir.

Burada denklemleri enerji z deerleri

iin transandantal

1024

Bir parack bir boyutlu sonsuz kare kuyu potansiyelinde arasnda hapsedilmitir. En kk enerjili z durum iin dalga fonksiyonunu bulunuz? Eer bu sonsuz kare kuyu potansiyelinin

merkezine eklindeki itici delta potansiyel fonsiyonu eklenir ise yeni dalga fonksiyonu elde ediniz ve enerjinin azalmasn veya artmasn belirleyiniz. Eer enerji deimiyorsa

yani ise ne olur?

ZM

Sonsuz kare kuyu potansiyeli iin en dk enerji seviyesine karlk gelen z fonksiyonlar ve z deerler srasyla aadaki gibidir

Bu dalga fonksiyonun ekli ekil 1.12 deki gibidir. eklindeki delta potansiyeli eklediimiz zaman schrdinger denklemi;

Burada dr. Snr deerleri

olur.

Denklem (2) schrdinger denkleminin her iki tarafna

uyguland zaman elde edilir. Ve denklem (3) in x= deki

srekliliinden elde edilir.

iin (1) denklemi salayan zmler

dr.

Taban durumu iin alalm. Denklem (3) olmasn gerektirir ve taban durum iin dalga fonksiyonu

eklinde olur.

Denklem 2, n eklindeki transistandal

denklemin en kk kk olduunu gsterir.

negatif olduu iin dr. Grld gibi enerji

artmtr.

Dolaysyla, eer a giderken ye gider ve yeni

taban durum enerjisi dr

1025

Relativistik olmayan m ktleli bir parack,

eklindeki potansiyel altnda hareket etsin.

Burada g>0 olan bir sabit ve dirac delta fonksiyonu taban durum enerji z fonksiyonlarn bulunuz ve nin sabit olduu durumlar iin enerji z deerlerini elde ediniz.

ZM

Olduu iin enerji z fonksiyonlar tanml pariteye

sahiptir. Taban durumu ift pariteye sahiptir . Bu taban durum bir bal durum olur ve enerjisi negatiftir. E

zm: Potansiyel yukardaki ekilde gsterildii gibi schrdinger denkleminde

iin snrl iken, bu biimsel zmlere sahiptir.

gerekliliinin yan sra x=0 da dalga fonksiyonunun sreklilii ve trevinin sreksizlii

verir. Burada bulduklarmz zersek

,

dir.

Yaklam bal sabiti veren denklemidir.

Son ifadenin ikinci ksm duvarn yol at enerji deiimidir. Bylece

enerji deiimi iin gerekli kkln olmas iin

olmaldr.bu uzakta olmak anlamna gelir.

(b) iken ikinci grafii ifade eden doru 1i ve

ifade eden eri 2 yi gsterir.

denklemi iin balang koulunun zm

noktasndaki 2 erisinin eiminin 1 dorusundan daha fazla olmasdr.

Bundan dolay, eer ise bir bal sabit vardr.

1027

m ktlesi ve k sabit kuvvetine sahip harmonik bir salncnn zemin durumundaki dalga fonksiyonu

,

Klasik blge dnda paracn bulunma olasl iin bir ifade elde ediniz.

zm: Eer ise paracn klasik blge dnda bulunduu sylenebilir. Zemin durumu iin ve klasik olmayan durum iin

ise. Yani:

dr. Bu nedenle, klasik olmayan blgede paracn bulunma olasl:

1028

Lineer bir harmonik salnc dnn ve srasyla normalize edilmi zeminin ve birinci durumun enerji z fonksiyonlar olan i onun asl (reeli) olarak

alalm. ile A ve B reel saylarn salncnn anlk dalga fonksiyonu olarak ele alalm. in ortalama deerinin genel olarak sfrdan farkl olduunu gsterelim. A ve B nin ni maksimuma karan ve azaltan deerleri nelerdir?

zm: Ortonormal durum

,

i verir.

Genellikle A ve B sfr deildir. Bu yzden in ortalama deeri,

, sfra eit deildir.

Yukardaki ilemi

olarak yazarsak ve

de extramuma sahip olan olduunu dnerek,

eer ise maksimuma karldn; eer

ise in azaldn grrz.

1029

iken olduunda, basit bir harmonik salncnn minimum enerjisinin h/2 olduunu gsterin.

zm: Harmonik bir salnc iin, dir ve bylece dir. O zaman harmonik bir salncnn Hamiltonyeni

,

olarak ortalama bir enerji deeri verir. a,b pozitif reel saylar ve

veya ise

dir.

1030

Bir elektron olduu gibi, tek boyutlu harmonik salncnn taban durumunda snrldr. Elektronun 1. uyarlm duruma uyarlmas iin gerekli olan enerjiyi eV cinsinden bulun. (virial teoremi yardmc olabilir.

zm:Virial teoremi tek boyutlu harmonik salnc iin (T)=(V) yi belirtir. Bylece ya da taban durum iin

, olduunu vererek, harmonik bir

salnc iin iken

m yi elde ederiz. Bu

Nedenle 1. uyarlm duruma uyarlmas iin gerekli olan enerji:

1031

Harmonik bir salncda potansiyel iin dalga fonksiyonu t=0, ve A reel sabit, iken

eklindedir ve hermitik polinoma dntrlyor ve bylece

oluyor.

(a) (x,t) iin bir ifade yazn.

(b) Bu durumdaki bir enerji lmnn olas sonular nelerdir ve bu deerlerin alnmasnn greceli olaslklar nelerdir?

(c) T de nedir? zamanla nasl deiir?

zm:

(a) Sistem iin Schrdinger denklemi t=0 da deeri verilen yi alrken

dir. t ye aka bal deilken,

, doyurucu enerji z

fonksiyonu iken, dir. genileyerek asndan,

iken dir.

Bylece, dir.

Harmonik bir salnc iin, dir. Bu nedenle,

dir.

Fonksiyonlar ortanormal iken,

hari, tm dr. Buradan

, olmas iin e gre

olarak verilir.

(b) Bu durum iin grnr enerji deerleri ve dir

ve bu deerlerin greceli olasl dr.

(c) , ift pariteye sahip olan ve in tek dorusal bileimi

iken, dr. Bundan dolay, t=0 iin

dr. Zamanla deimeyen in ortalama deerini takip eder.

1032

(a) Tek boyutlu harmonik salnm yapan m ktleli paracn potansiyeli

dir. Harmonik salncnn z durumlar cinsinden, zamana bal schrdinger denklemi iin en genel zm yazn.

(b) (a) y kullanarak x in beklenen deerini gsterin. A ve B sabit ise zamann fonksiyonu olarak yazlabilir.

(c) (a) da apak grld gibi geneldir. Bunu kullanarak ortalama

bir zamanda potansiyel enerjinin olduunu gsteriniz.

Eitlii dikkate aln

zm:

(a)Zamana bal schrdinger denkleminden iin

aka zaman bal olmakszn

elde ederiz. ve

ile in z fonksiyonlar iken

asndan geniletebiliriz. Bundan dolay

dr.

(b)

iken ve y kullandmzda, verilen eitlii kullanarak

yi elde ederiz.

(c)Zamanla potansiyel enerjinin ortalama deeri zerinden, operatr V nin genel etkisinin ortalama sresi olarak grlr. Bir tam salnm iin geen ortalama zaman (periyodu) olarak almak yeterlidir.

ve y bir A operatrnn zaman ve genel ortalamas olarak ayr ayr belirtelim.

iken,

ken, durumundadr. kinci terim sfr iken bir periyot zerinden alnan ortalama potansiyel:

Dier taraftan,

ve dir. Bu yzden,

dir.

1033

m ktleli bir paracn bir boyutta potansiyeli

ile x=0 da harmonik salncnn potansiyelinden yksek ince ve neredeyse alamaz engel vardr. ek 1.16.

(a) Tamamyla nfuz edilemez olan engelin tahminin altndaki alak enerji spektrumu nedir? Engelden tamamnn gemedii tahmin edilen dk enerji spektrumu nedir?

(b) Engelin nfuz edilebilirlik snrnn spektrum zerindeki etkisini bakmdan belirtin.

zm:

(a) Dk enerji spektrumlarn bariyer tamamen tamamen nfuz edemezken, potansiyel; harmonik salnc potansiyelinin iki ayr yarmna eittir ve alak z fonksiyonlar duruma uymaldr . Dk enerji spektrumu bylece 2nin bir dejeneresiyle n=0,1,2,,x=0 ve

de iin tek kuantum saylaryla 2n + 1

normal bir salncya karlk gelir.bylece sadece tek pariteli dalga fonksiyonlarnn alak seviyeleri iin izin verilir.

(b) Orada zayf olanlar engelin iine girecek. Apak parack iin olaslk de engelinin dnda olasl nispeten daha byk olurken, engel

olduunda, herhangi bir potansiyel durum iin daha az olur. Balang noktasna yakn ift pariteli durumlarn dalm olasl tek pariteli durumlarnkinden daha bykken: ift parite zmlerinin kk bir ksm parack durumlarna kartrlr. Buna paralel olarak, enerjinin

kk bir ksm durum (a) iin enerjinin kartrlr. engel potansiyeli | olduu iin, enerji seviyeler yukar

doru kayacak. ift pariteli durum iin seviye deiimleri tek pariteli durumda olduundan daha byktr. Ayrca, enerji deiimi ayn eik durumlar iin olan daha byk enerjiler iin daha kktr.

1034

Daha kk birimlerde (m=h==1) harmonik bir salnc iin Hamiltonyen

Burada

Normalize edilmemi bir enerji z fonksiyonu

dir

e enerji bakmndan en yakn olan dier iki normalize edilmemi z fonksiyonu bulun.

zm: harmonik salncnn Fock gsterimi, ve aada gsterildii gibi imha etme ve reme operatrdr.

, ,

,

ken, elde ederiz. Bundan dolay, ya en yakn enerji z fonksiyonlar, ve olan normalize edilmemi dalga fonksiyonlardr. Bunlar:

1035

t = 0 zamannda bir paracn potansiyeli , dalga fonksiyonu

Burada, enerjinin z durumlar ve z deerleridir.

olduu veriliyor.

(a) A sabitinin normalizasyonunu bulunuz.

(b) olduunda iin bir ifade yaznz.

(c) nin zamann periyodik bir fonksiyonu olduunu ve en uzun periyot T yi gsterin.

(d) t=0 iin enerjinin beklenen deerini bulun.

zm:

(a) Normalizasyon durumu

Ay pozitif reel olarak aldmzda yi verir.

(b) Zamana bal dalga fonksiyonu

(c) Olaslk younluu

dir.

Not: Zaman faktr ve maksimum periyodu 2/ iken,

periyotlu bir fonksiyon olduuna dikkat ediniz.

(d) Enerjinin beklenen deeri

1036

potansiyelindeki ktleli bir paracn bir boyutlu hareket eden bir parac gz nne alalm. Burada n pozitif bir tam deer ve . paritelerin ve z deerlerin dalmn uygun z fonksiyonlara gre nitel olarak tartn. Byklk mertebesini elde etmek iin belirsizlik ilkesini kullanarak en dk enerji z deerini tahmin edin. n=1 ve n iin bu tahminleri belirleyin.

Bu durumlarda V(x) in ne olduunu aklayn ve nceki sonularla bunu karlatrn.

zm: a nk potansiyel de gider.burada potansiyeldeki bal durumlarn says sonsuzdur ve enerji z deerleri kesiklidir. yleyse m. uyarlm durum ile verilen blgesindeki m iaretteki deiime sahip olmaldr. yavaa azald gibi m de azalr. orantldr. Virial teoreminden

ve bylece

ifadesine sahip oluruz.

Genel olarak n in azalmasna karlk e deer enerji seviyeleri arasndaki fark da azalr. olduunda z durumlar kesin paritelere sahiptir. Temel durum ikinci, drdnc uyarlm durumlar ift pariteye sahiptir. Dier durumlar tek pariteye sahiptir.

Paracn enerjisi bilirsizlik ilkesiyle tahmin edilebilir

burada

Bylece

1037

Bir boyutta hareket eden bir paracn Hamiltonyeni

Burada btn x ler iin ve V her yerde sfr deildir.en az bir bal durum olduunu gsterin (zel bir dalga fonksiyonu iin Rayleigh-Ritz) prensibini kullanmak bir metot dur) bununla birlikte eer baka bir metot biliyorsan bunu da kullanabilirsin.

zm:

ekilde gsterildii gibi bir potansiyeli

varsayalm. yi bir kare potansiyel de yledir.

iyi bir potansiyeli iin en az bir bal durumunun olduunu biliyoruz;

Biz o zaman

lerle H z fonksiyonunu belirler ve geniletirsek:

Eitsizlii karlayan en azndan bir z fonksiyonu vardr.

Bu nedenle de en az bir bal durum vardr.

2. metot: b belirsiz bir parametre iken dalga fonksiyonu

olarak alalm.

ve bylece

Bylece

verimi iin ifadede yerine konulursa

Tm x ler iin iken dr ve V her yerde 0 deildir, elde ederiz.ve bundan dolay dr. Aslnda

bu artlar altnda, belirli bir negatif deere sahip olan toplam enerji (T yi pozitif yapmak iin V den byk olan) deeri, ne olursa olsun V iindeki bir parack eklinde sonsuza kadar hareket edemez bir bal sabit kalmaldr.

1038

eklindeki bir boyutlu potansiyelde M ktleli bir paacn dalga fonksiyonu

Burada , ve pozitif sabitlerdir.(a) Parack balmdr? Aklaynz.

(b) Paracn toplam E enerjisinin lm iin olaslk nedir?

(c) Verilen bykle gre in en kk enerji z deerini bulun.

zm:

(a) Paracn bal sabit olmas nedeniyle dalga fonksiyonu i karlar.

(b) (c) schrdinger denkleminde iin dalga fonksiyonu yerine,

veren

iin potansiyel

dir.

i karlayan paracn sabit bir dalga fonksiyonu olarak

veya

ayarlayarak

ve , yukardaki denklemin ile bir hidrojen atomunun radyal dalga fonksiyonu ile karlandn gryoruz. Enerji seviyeleri

ken, ilgili Bohr yar ap dr. Bundan dolay,

dir. Ve sonu olarak en dk enerji z deeri

Dalga fonksiyonu ile dir. Olaslk younluu

dir. Bu nedenle

Demet KAHRAMAN

(Blm-1)

Soru 1039:m ktleli bir parack t=0 da serbest braklr.Tek boyutlu ift kare ekil 1.14 de gsteriliyor

yleki t=0daki dalga fonksiyonu bir sinzoideal lop(yarm sins dalga) potansiyel konum grafiinde gsterilmitir.

V(x) a

(x)

x

(a)t=0 annda ortalama deeri bulunuz(yukarda belirtilen sembollere gre)

(b) Enerjinin ortalama deeri takip eden denemelerde(izleyen zamanlarda) deimez midir?niin?

(c)Bu deimeyen bir enerji durumu olabilir mi?(Bu enerjinin bir lm olabilir mi bu durumda hep ayn sonuca ulalr m?)niin?

(d)Dalga fonksiyonu t=0dan baka deerler alrsa deiir mi?Eer cevap evet ise dalga fonksiyonunu nasl hesaplarsn?Eer cevap hayrsa neden hayrdr?

(e)Bir paracn potansiyelden kamas mmkn mdr?(iki durum iinde geerlidir)Aklaynz.

zm: t=0 da dalga fonksiyonun normalizasyonu

(b) t>0 da sabittir ve bu nedenle olur.

(c)Bu durum sabit bir enerji durumu deildir.nk sonsuz kare kuyunun z fonksiyonu balang aamasndaki a, ve verilen olaslktaki potansiyel deildir.z fonksiyonun belirttii sperpozisyondur.Bu yzden bu durumda enerji llnce her zaman ayn deeri vermez.Fakat baz enerji paketleri bu durumun dndadr.

(d)Dalga fonksiyonun ekli zamana gre deiir.Bu yzden sperpozisyon durumu iin yeterli bir zmlemedir.

Deiimi ile ) de deiir.

(e)Eer takip eden daki artlar salanrsa paracn

btnden kopmas mmkndr.Eer bu potansiyel yeterli genilikte ise derinlik fazla olamaz ve paracn enerjisi pozitif ise parack potansiyelden kaabilir.

Soru 1040:

m ktleli bir parack tek boyutta hareket ediyor.Paracn t=0 zamanndaki normalizasyonu,

Ve dir.

(a)Momentumun yaylmasn hesaplaynz.

(b)t>0 zamannda paracn olas younluu nedir?

(c)Yukardaki (a) ve (b) paralarnn kesin olmayan sonularn yorumlaynz.

zm:(a) gibi

(b)Fourier transformu ile,

Den,

Serbest paracklar iindir.Bunu da fourier transformunu ters evirerek bulursak,

(c) Tartalm

sonular gsteriyor ki gaussian dalga paketleri t zamannda da

sabittir.(t=0 da )

prensibi yeterlidir.

Problem 1041:

m ktleli bir parack tek boyutta V(x) potansiyeli etkisi altnda

hareket eder.Eer z durumunda bir enerji

yazarsak .

(a)Paracn ortalama konumunu bulun.

(b)Paracn ortalama momentumunu bulun.

(c)V(x) bulun.

(d)Paracn olas p ile p+dp arasndaki momentumu bulun.

zm:(a) Paracn ortalama konumu,

(b)Ortalama momentumu,

(c)Schrdinger eitliini yle yazabiliriz:

eklinde yazabilir.

Sahip olduumuz denklem,

Veya,

(d)Schrdinger eitlii momentum ifadesinde yle gsterilebilir;

Fonksiyonunu yukardaki eitlikteki yerine yazarsak bu ,

Veya

Yukardaki denklemde a=1/2 yerine yazarsak bu durumda,

Buna z fonksiyonu ile enerjinin belirtilmesi

denir.Momentumu gsterirsek normalizasyonu dr.Bu

paralarn momentumu p ile p+dp arasndadr.

dp

Unutmayalm ki fourier transformlar bu deeri direk verir ;

Problem 1042:Tek boyutlu, m ktleli bir parack ok kk paracklara ayrlm durumda iken uzayda kk bir blgede birbirine potansiyelle balanabilir.t=0 da bu olaslk ortadan kalkar.t>0 zamana ulaan paracn gzlemci L noktasndan uzakta iken muhtemel konumunu birim zaman cinsinden formle edin.

zm:Dalga fonksiyonu t=0 da,

Yerine yazarsak,

Bu yzden,

Gaussian dalgalarndan bir paket gsterirsek a:

En sonki integral bu deeri verir

Bundan dolay akm younluu;

Formlde yerine koyarsak birim zamanda paracn x=L noktasndan uzakta olan gzlemciye ulama zamann hesaplayabiliriz.

Problem 1043:

m ktleli bir paracn balangtaki dalga fonksiyonu (x,0)dr.

(a)Balangtaki fonksiyonun dalga boyu

Fouier transformuna gre parack zerine etkisi ile t zamanda yeteri kadar sre getikten sonraki yaylm nedir?

(b) a deerleri aral iin tahmin edici bilgi verin.

pucu: giderken zaman dikkate aln.

zm: (a) schrdinger eitlii

Fouier transformu ekildeki gibi yazlr,

eitlik bu duruma gelir,

integrali bunu verir,

bu yzden,

alrsak eer,

iin,

Uzun bir t sresi getikten sonra (t

Ve

(b)

nk fourier trasnformundaki ile ayndr

Deerlerine sahibiz

Buda bize toplam olasln korunduunu gsterir.t giderken snrl durumda bulduumuzu yerine yazarsak,

Buda paracn dalga fonksiyonunun sonsuzda nasl yayldn gsterir.

Soru 1044:m ktleli bir paracn tek boyuttaki kuantum mekanii dikkate alnarak ki enerisi

ekil 1.19 da grld gibi t=0 durumunda paracn dalga fonksiyonu a

n=1,2. ile

En dk normal enerji fonksiyonu n=1 olarak verilmitir.

(b)x>-a iin schrdinger eitlii

veya

ile

st artlar ve srekli olmayan artlar yeterlidir

Kk bir aralktaki schrdinger eitlii en son denklemden elde

edilir ve da y grelim.

(c)Hem I ve hem de II blgedeki dalga boylardr.

.Bunlarn gerek zm sinzoideal fonksiyonlardr. st artlar iin yeterli zm,

Srekli olmayan ve normal artlar,

(d) durum iin nin dalga fonksiyonu geniletelim ve

Veya

(e) gibi

Sahip olduumuz

t=0 zamannda ok kk paralar halindeki parack sonsuz derin

kuyuda a engelini delip geer. dalga paketi,t>0 artyla yaylr.nce unu hesaplarz.

Ve buradan

Blge I ve blge II iin yukar sradaki ve aa sradaki dalgalar iin u ifadeler verilmitir.

zamannda salnm faktr dr.Deiiklik ok hzl

olsada integral normal davranma eilimi gsterir.Bu yzden dr.ok geni olduunda k numaral kk dalgay oluturan etmenler birinci rol oynar.O anda parack o blgeden kaabilir.

Soru 1045: radyoaktif izotoplar ve E=6.0 Mev da

kaybolur enerjinin paracklar tarafndan dar verilir.

(a)Yarlanma sresini hesaplamak iin ve ekil 1.20 deki potansiyel snr dnmek gerekir.m ktleli bir paracn gei olasln T hesaplamak iin gereken enerji snr nedir?Enin snr T

(a)Eer T

parac ile,Tl ekirdeinde v hz ile hareket eder duvardaki

arpma her saniyesinde yarlanma sresi

veya

Kare potansiyelin en st snr budur. b= =33.

v=0.1 bizim bulduumuz

Problem 1046: E=1 eV enerjiye sahip olan elektron kare snrlar

iinde olan bir enerji iin rnek midir?Geiin salanabilmesi iin snrn genilii ne olmaldr?

V(x) d

E

x

zm:zm olasl Problem 1045

nereden

Problem 1047:ekil 1.23 deki tek boyutlu potansiyel kareyi dnn

pozitif iken m ktleli bir parack relativistik olmayan bir kinetik enerjiye rnek olursa potansiyel arasndaki gei olasl nedir?Bunun iin Enin hangi deerleri olasdr?

V(x)

0 a x

zm:Deimeyen deerler,

Ve katsaylar

x=0 ve x=a ki bunlar R.S.A.B deerlerini verir ve ve bu snrlar iin belirleyicidir.unu verir

Bu yzden

Ve gei olasl

Gei rezonans ka=n srasnda ortaya kar,bu paracn kinetik enerjisi E olur,

Olas gei ,P,bir btnlk salar.

Soru 1048:Tek boyutta bir potansiyel kare dnelim,

(a)E

(b)E>0 da bir enerjiye sahip paracn bir durumu rnek tekil ettiini varsayalm.Bu dalga ile dar kan dalgann aamalarn bulun.

zm:Schrdinger eitlii farkl blgelerdedir

(a)E0. Fonksiyonumuz

nereden

X=a da sreklidir

bylece

x>a iin

nereden

Bu aama deimesi olarak ortaya kan dalgann bahsettiimiz dalga ile ilikisi vardr.

Soru 1049:ekil 1.25 deki tek boyutlu potansiyel sistemde

bir pozitif sabittir.Edeki paracktaki foton bir rnek tekil ederse hangi ksmlara yaylr?Hangi ksmdan yansr?Enin olas btn deerlerini gz nne aln.

V(x)

E

zm: x>0 iin,Schrdinger eitlii yledir

Bunun zmne baldr

nerede

x>0 iin, eitlik

Eer E< ise yukardakini yle yazn,

iin sabit olmaldr

nerde

Devam eden durum unu verir

Bu yzden r=(k+ik)/(ik-k)=(1-ik/k)/(1+ik/k).Bu ksmdan yansyan R=j/j=1,yaylan ise T=1-R=0 olur.

E> . x>0 iin .sahip olduumuz

nerede

Sadece darya kan dalgalar vardr. iin 1+r=t(ik-ikr)=ikt,ver=(k-k)/(k+k).Bu yzden yansyan ksm R=

,yaylan ksm T=1-R=4kk/ dr.

Soru 1050:m ktleli bir parack ve p momentumu ekil 1.26 gsterilen admdaki potansiyele rnek olsun da geri planda kalan seyrek paracn olasln hesaplayn.

(a)

(b)

zm:schrdinger eitlii,

(a)Eer E< ise,sahip olduumuz,

Nerede

durumunda snrl olacandan durum byledir.Devam eden artlar 1+r=t,ik- ikr=-kt bu yzden r=(k+ik)/(ik-k).Yansma

ihtimali R=j/j= dr.

(c)Eer E> ise,sahip olduumuz

Nerede

x> iin sadece dar kan bir dalgadan baka bir ey deildir.

Devamndan 1+r=t,ik- ikr=-kt olur.Bu yzden r=(k+ik)/(ik-

k).Olas yansma R= dr.

Soru 1051:ekil 1.27 de gsterilen bir aama iin tek boyutlu potansiyel yansma ve yaylma katsaylarn bulun eer potansiyel sadan bir rnekse,

x

zm:Eer potansiyel sadan byk bir rnekse E> dr.Her ikiside tesadf ve x>0 blgesinde yansyan bir dalgadr.x>0 iin schrdinger denklemi

zm iin olmaldr

X

potansiyel srama tespit edilmitir.Potansiyel, iin sfr ve

iin 3E/4 tr. da yansyan paracklarn olasl nedir?

zm

Schrdinger eitliinden;

olduu yerde iin molekller zaten yansyan

dalgalar olacaktr. zm de u formda olur;

Dalga fonksiyonunun x=0 da sreklilik koullar ,

elde ederiz ve bylelikle ,

tr.Bylece da yansyan paracklarn olasl 1/9 dur.

1053

Dzlem dalgas tarafndan yaklatrlm, soldan x ekseni boyunca

yneltilmi, yke gre potansiyeli olan

molekl gz nne alndnda, Dirac delta fonksiyonu;

(a) iin, dalga fonksiyonunu veren form ?

(b) iin, dalga fonksiyonunu veren form ?

(c)Dalga fonksiyonunun snr blgeler arasndaki artlarn

veren form ?

(d)letim ihtimalini hesaplaynz ?

zm

(a) iin formunda gelen dalgalar ve

formunda yansyan dalgalar. Bylece;

(b) iin, sadece var olan iletilmi dalgalardr.

Bylece;

(c)Schrdinger eitliinden;

Ve bu zm problem 1020ye yeter.

Dalga fonksiyonu devamldr.

(d)(a), (b) ve (c) zmlerinden elde ettiimiz ,

bize,

0E

x

V(x)

y verir.

Bu nedenle olduu yerde, iletim katsays ;

1054

emada gsterilen ekilde m ktleli bir parack stne gelen bir

boyutlu potansiyel problemi dnelim. da E enerjisinin

dan daha byk olduunu farzedelim. iken asimptotik

potansiyel deeridir.

Gelen bir gerilim tarafndan blnm, yansyan ve iletilen

gerilimlerin toplamn gsterir.

zm

iken asimptotik formlar varsayabiliriz.

r, t, k, lar burada sabitdirler.Tanmlanm younluk olaylar birim

zaman bana paracklar younluunun numaras dir.

Ayn ekilde, srasyla iletilen ve yansyan gerilimler;

Schrdinger eitlii a gre arpm ;

ve schrdinger eitlii a gre elenii ;

ve iki eitliin farkn ;

alrz.

Bunun manas udur ;

Bir sabittir.buradan ve eitliini bulabiliriz.

Her iki taraf ile beraber toplanrsa ;

1055

Bir boyutlu schrdinger denklemi;

ni gsterir.

(a) belirli bir sabit deeri iin, zm

verdiini gsteriniz. Bu problem iin S matrisini hesaplaynz

( S matrisi= iletim ve yanstma katsaylardr)

(b)schrdinger denklemine cevap vermek iin bu dalga

fonksiyonu "sec x" olur.Snr deerine uygun den enerji

deerini hesaplaynz ve bunun temel durum potansiyeli

olduuna dair bir rnek gsteriniz.

(c)dalga fonksiyonunu bilmeseydiniz, temel durum

potansiyelini tahmin etmede nasl bir yol izlerdiniz?

zm

(a)zmde verilen sabiti kabul edersek " ", K olur ve

schrdinger denkleminden " "yi karrsak;

alrsak bu eitlik doyuma ulam

olur.Bylelikle;

Uygun den enerji ve eitliin bir zm dir.Bundan

dolay iin ve alrz.

olduundan aktarma katsays , T=1 dir ve

yansma katsays V(x) yoluyla hareket eden paracktan

dolay R=0 dr.Yani S-matrisi ;

(b)Schrdinger eitliinde bozuyor.

alrz.Bylelikle, olur.nk btn uzay koordinatnda

zorunlu durum boum noktas deildir, bu taban

durumu olmaldr.

(c)Bir parametre ile bal bir dm olmayan hatta ilerleyen

fonksiyonu varsayarak varyasyonel yntem ile taban durum

enerjisi yaklak bir deer elde ederiz.

1056

E enerjisinin izafi olmayan ntronlarnn tek enerjili paralel n t

kalnlndaki madde plakas dzleminden gemektedir.

Maddedeki ntronlar tek boyutlu ekici V potansiyelinde hareket

etmektedir. Resim 1.29da gsterildii gibi gelen n dzleme

normale nazaran 0lk bir a yapmaktadr.

(a) t sonsuz ise gelen n nasl krlr?

(b) V itici ve V = E ise gelen n nasl krlr? tyi sonlu aln.

zm

Alternatif zm:

zm, optikteki Fabry-Perot interferometresine benzer ekilde

sonsuz genliklerin aktrlmasyla da elde edilebilir (bkz. Resim

1.30).

Sadece dalgalarn x bileenini gz nne almamz

gerekmektedir.T12 ve R12 srasyla 1. ortamdan 2. ortama

geen bir dalga eklinde genlik aktarm ve yansmasnn

katsaylarn gstersin. T21 ve R21 de 2. ortamdan 1. ortama

gerekleen genlik aktarm ve yansmasnn katsaylarn

gstersin. Gelen dalgann genlii 1 olsun. O halde 2. ortama

aktarlan dalgann genlii toplam

1057

-iV sabit sanal bir potansiyelin bir boyutta hareket eden

parack iin dalga fonksiyonunu bulun.Burada dir.

Gncel olasln hesaplayn ve paracn absorbsiyonunu

temsil eden sanal potansiyeli gsterin.Vnin absorbsiyon

katsaylarn temsil eden terimleri bulun.

zm

Schrdinger eitliinden

Diyelim ki ;

iken ; alrz.

Ve bylelikle ;

Burada srasyla sa ve soldan hareket eden

dalgalarn stel olarak azalmas ile ilgilidir.geerli olaslk;

Burada, ynergeler ayr ayr stel azalma

olasllaryd.absorbsiyon katsaysndan ;

Sanal potansiyel iV paracn absorbsiyonu iin

sorumludur.daha sonra madem j hayali olacak.Bylelikle ,

eer V gerekse orada absorbsiyon olmayacaktr.

1058

(x,t) koordinatlar erevesinde, O gzlemcisi civarnda

tanmlam dalga boyu olarak belirlenmi nin bir

boyutlu zamana bal serbest parac scrdinger

denkleminde zelim.imdi ayn parac dalga

fonksiyonuyla tanmlanm gzlemcisine gre (x,t) ye

bal koordinatlar ile beraber Galileo da ekil

deitirdiini dnn.

(a) Ayn dalga boyunun , tanml dalgalarn

yapn?

(b) Ayr ayr koordinatlarnn schrdinger eitliini her ikisi

de salyorsa ve arasndaki iliki nedir?

zm

(a) Serbest parack iin bir boyutlu zamana bal

schrdinger eitlii;

dalga boyu ile belirli zme uyan;

Bununla birlikte ;

ki referans etrafnda paracn p momentumu farkldr

ayrca dalga boyu da farkldr.

(b) etrafnda schrdinger eitliini kullanarak yaplan

ve Galileo nun ekil deitirmesini uygulayarak buluruz.

Dnn;

Ve

nn (1) eitliini kullanarak ve tanmlayarak unu grrz.

Bu sadece shrdinger eitliinden doyumuna

ulamtr.Bylelikle, faz faktrn hatasz ilikilendiririz.

1059

frekansnn tek boyutlu harmonik osilatr potansiyelinde ve

taban durumda bulunan bir m ktle paracna itici gc

uygulanmaktadr.

Taban durumda kalma olasln bulun.

zm

Parack t = 0da ani p momentumu kazanr ve hz aniden p/m

eklinde deiir. Ancak itici gcn sresi dalga fonksiyonunu

deitiremeyecek kadar ksadr. Bu nedenle parackla birlikte

hareket eden K erevesi gz nnde bulundurulduunda

ikincisi harmonik osilatr nin taban durumunda kalr.

Ama hareketsiz K erevesi gz nnde bulundurulduunda

durumundadr. Sre boyunca paracn

konumunu makul derecede sabit tutabiliriz, bylece itici g

sona erdiinde paracn konumu K ve K iin ayn olur. Bu

nedenle Kdeki ilk dalga fonksiyonu;

Bylece itici g uygulandktan sonra paracn taban durumda

kalma olasl ;

Buradan;

1060

dealletirilmi m ktleli bir pin pon topu sadece hs ynyle

birlikte bir boyutlu evrende geri tepmesiz masada, taban

durumunda zplyor.

(a) ye uyarak m,g,h enerjide uygun yerine

koyarak ispat ediniz ve y tespit ediniz.

(b) Ergin m=1 gram iin deerinin ve srekli K deerinin

deiken hesabn tahmin ediniz.

zm

(a) Boyut analizi metotunu kullanrsak ;

Buradan ; tr.

Bylece; verilirse topun enerjisi izah edilmi olur.

(b) Hz masadan orjin ile beraber yukar ynde x koordinatnda

alnrsa ; hamiltonyene gre ;

en aza indirilmi, alnr ve salanr.

Taban durum enerjisinden ;

verir.

1061

enerji zdeerleri ile ilgili teorem bir boyutta

schrdinger eitliini takip ediyor.

Teorem: Eer zdeerlerini veren potansiyeli ve

zdeerlerini veren potansiyeli ve tm x deerleri iin

ise, buradan dir.

(a) Bu teoremi ispat edin

pucu: potansiyelini dnn.Burada ve

(tm x deerleri iin) ve hesaplanr.

(b) imdi ekil (1.31) deki potansiyeli dnn.

Biz bu potansiyeli tutabilir bal durumlarn saysn belirlemek

isteriz. Bu say varsayalm. Bu en yksek bal durum iin

dalga fonksiyonunun kaitelibi resmini izmeye faydal olabilir.

zlebilir bir karlatrma potansiyeli ve N ye iddetli bal

alt deer veya N ye iddetli bal st deer belirlemek iin

yukardaki teoremi sein(her ikisi de yaplabilir fakat sadece biri

istenir.)

zm

(a) tanmlanr. Aka grlyor ki;

Hamiltonyenden;

Ve zgn denklemi ;

Buradan ;

Bundan dolay ;

alrz ve teorem ispatlanm olur. u

notu kullanrz.

(b) izin verilendir.Buradan dir. Eer

potansiyeli iin enerji seviyesi ise ; dr.

Burada dir. Bal durum iin dir.

yi zersek ;

Burada belirlemeleri maximum A tamsaysndan daha azdr.

imdi V(x) iin sonlu derinlikte bir kare kuyu seeriz.

U(x)e bal durumlarn says V(x) den daha azdr.kincisi iin

dir. ihmal edilebilir bir terim iin U(x) in

bal durumlarn saysn kadar bal stten

alabiliriz.

Birlikte alnm, ve arasnda bal

durumlarn saysn buluruz.

1062

Elektronik durumlar iin bir boyutlu sistemde sade bir

hamiltonyen modeli;

Burada ortonormal tabanda dir.

parametrelerdir. kadarn periyodik snr artlar

varsayalm.Enerji seviyelerini ve dalga fonksiyonlarn

hesaplayn.

zm

Ortonormal fonksiyon eksiksiz bir set formunda durumudur.

Burada n=1,2,3,,N eklindedir ve ;

Veya ;

Bununla beraber ;

Ve

Biliyoruz ki ; bazen nin zvektrlerdir. Bylelikle

problemi sadece operatrnn zdeer ve zvektrlerini

bularak zeriz. Yani ;

Alrz ;

Yani;

Denklemini veren ;

Eer operatrleri bazen nin zvektrleri ise , yan ;

Buradan ;

Bylelikle , nin zdeerleri ;

dir. Bununla beraber

lgili fonksiyonlarn matris denklemleri elde edilebilir.

Bununla ;

Veya;

1063

Neden Kristal katlarda enerji bantlar bulunduuyla ilgili ksa bir

aklama yapn. Kuantum mekanii fikirlerini kullann ancak

karmak hesaplamalar yapmayn. Aklamanz okuyan

herhangi birinin Kuantum mekaniini anlayacan ama katlarn

teorisiyle ilgili hibir ey anlamayacan varsaymalsnz.

zm

Kristal, 1065. sorudaki rg yap gibi potansiyel kuyularn

sonsuz periyodik dizilii olarak grlebilir. Bloch teoremine gre

Schrodinger denkleminin zm formundadr.

Burada K sabit ve u(x) rgnn belli aralklarla gereklemesiyle

periyodiktir. u(x) ve in kuyu snrlarndaki sreklilik

durumu yaylan paracn enerjisini belli deer aralklarna yani

enerji bantlaryla snrlandrr. 1065. soruda detayl bir rnek

verilmitir.

1064

m ktle parac sonsuz kapsamn periyodik potansiyelinde tek

boyutlu olarak hareket eder. ou alanda potansiyel sfrdr,

fakat b geniliinin a uzunluunun aralklaryla (b

Meydana gelen ;

blgesinde, Blochun teoremine gre ;

Burada K, Bloch dalga saysdr.Snr artlarn veren ;

A ve B nin sfrdan farkl zmleri iin ihtiya duyduumuz;

Veya

Bloch dalga says, K determinesine gredir. Bu nedenle k nn izin

verilen dalgalar belirlenen aralkla snrldr.

Veya

Bu eitsizlie uyan knn minimumu dr.

(c) iin ;

Burada ;

normalizasyonunu verenler ;

x=a da snr atlarn veren ;

Yani ;

iin ; dalga fonksiyonu formundadr. Burada ;

(d) , burada , ufak bir pozitif saydr. Biz ;

gayet ufak olduundan, sol taraftan dir. Bu

nedenle belli bir blgede nn orada z fonksiyonu yoktur.

Dier elde zfonksiyona benzeyenlerdir. yani ilk enerji

boluu , hangisi ; doyuma ulaan ilikideki veya

.

Hatice MUTLU

(Blm-1)

1065

"tek bir potansiyel" yineleme tarafndan ina edilmi bir boyutlu periyodik potansiyelde parack dalga yaylm eitim almak isteyen

V(x) uzunluu aras l. V(x) ve ve V(x)=V(-x)

Eer bir dalga soldan olay iin x iletilen bir

dalga retir x ve

iin x

ve . Faz potansiyel V (x) nedeniyle kaymalar olarak verilen bu sonular almak.onlar elde deilimdi, sonsuz bir periyodik

potansiyel (x) potansiyel itrating tarafndan ina gz nnde

Mesafe ile ayrlm merkezleri ile V (x) . (x) " Potansiyeli" noktalar aramak potansiyel yaylan dalgalar oluturmak iin

giriimi olacaktr (x)sa ve sol hareket eden dalgalar

superpositions olarak

ekil 1.33

Soldan dalga olay iin potansiyelini V (x), izin olma

=t + , t=

=r - , r=

iletim ve yansma katsaylar olduu dalga olay iin ve r' srasyla .

t'=t , r'= .

Periyodik potansiyelde, komu interpotential noktalarnda iletim ve

yansma katsaylar ilikileri var = ve = exp(i2kl). bylece tek bir gsterim iletim katsays ile gsterilir.

(a) komu i potansiyel noktalarda dalgalar halinde gsterilmitir.

ekil 1.33belli ki, sadece yansmas vadeli ve iletim vadeli

katkda

+t

Benzer ekilde

+

bylece biz = +t

= +t

ekil 1.33

(b) n ile n +1 deitirilmesi vermektedir = +t

=

r ve r exp(i2nkl).Varsayabiliriz =

potansiyeli dnemi olarak l, blgedeki dalga fonksiyonu

,o zaman, exp( blgedeki dalga fonksiyonu

.

=

= ve =

1= ,

= +t ve = +t

) (1- +

+ + =0

Biz zmnde =

Ve -4

= -4

(d)Sonsuz periyodik alannda varln kararl bir dalga iin gerekli bir kouldur.

=

1+ - =t

= t(

Yerine yukardaki denklemin ve kullanlmas + =1 elde ederek

t + =2 cos ,

veya tanm kullanarak

(e) Metaller, pozitif iyonlar dzenli bir dalm olup iletimi elektronlarn dnemsel bir potansiyelinin bir ekilde hareket ettii.

1066

ikinci derece denklemini cevap verici bir gerek bir operatr

verilir.

, -3

Bu deklem opratr ile oluan en dk dereceli denklem ise

(a) zdeer vektrleri nelerdir?

(b) n zdurumlar nelerdir?

(c) gzlemlenebilir olduunu kantlamak?

zm:

(a)kinci dereceden bir denklemi olduu gibi karlayan 2x2 matris tarafndan temsil edilebilir. z deerler ikinci dereceden

denklemin kkleri =1, =2

(b) matrisi ile temsil edilir.

z deer denklemi ,

a= 1, b = 0 = 1 ve a = 0, b = 1 = 2 verir.

(c ) , bu nedenle hermityenyendir.

SORU 1067

Qelektrik ykndeki operatrn q karlk gelenherhangi bir zdeer denklemi,

demek ki, Q =q , ekim yk operatrn C uygulanan

bir eigenstate yol aar. zdeeri k Q'nun karlk gelen

q :

C =

(a) CQ+QC nin operatrn zdeerlerini bul

(b)Ayn anda C ve Q eigenstate olabilir?

ZM : =

Sonra

(CQ+QC) =qC +Q q q 0

Bylece operatrn CQ + CQ zdeeri 0 olur.

(b)C ekim yk bir dnmdr, CQ =-Q, ya da CQ+QC=0, C ve Q nun ortak zdurumlar olamaz.

SORU 1068

Bir kuantum mekanik sistem indirgenen sadece iki enerji

zdurumlar sahip olduu bilinmektedir( ve ) .P, Q ve R olarak bilinir baka bir gzlenebilirler, sistemin de iermektedir.

(a) = , =

(b) = , =

(c) = , = , =

ZM: Biz onlarn grnr deiikliklerin Hermityene karlayan P, Q, R, verilmektedir.

ve mekanik sistemin, enerji z durumlar tam

bir dizi sahip olduunu ve

(a) ki durumdan btnl ve "deneysel veriler" vermek

= + ,

Burada belirlenecek bir sabittir.zdurumlarortogonallik ve grafik erisi Hermitik

Bu yzden P = + ,

ise tespit edilecek. =P(P )

= P +

Ve oluguna gre ve =0 bu nedenle

P =

(b) Q =

belirlenmelidir, benzeri bir ilemi olsun.

. = - bu veriler Q zdeer tespit edilemedi.

(c) bu yazabileceimiz gibi;

belirlenir.

= olduunu gsteren

belirleyecei gz nnde bulundurarak

= + +

+

, exp(i ve

R ,

R(1+

Ayrca aadaki ekilde

R + (1+

= + + +

Deneysel bylece veren

bu nedenle sleri ve R matrisi i

R zdeerlerini bulmak iin, = 0

- =(1 ) ( 1 )=0 zlr.R=

1069

Bir manyetik alanda, ykl bir paracn, hz bileenleri ile ilgili operatrleri iin komtasyon kurallarn belirlemek.

ZM:Manyetik alannda bir A vektr potansiyelini ortaya ktn varsayalm;

-q

=

= = ( - )

=

1070

Koordinat momentumu komtasyon ilikisini kullanarak patlamak

=constant,

ZM:

H= +V(x),

=

= =- ,

=2 m

=2 -2

=2

H =

=

=

iki sonucun eitlenmesi ile m = 0 elde edilir.

=

1071

(a)Hermitiyen operatr A zdeerleri ve zfonksiyonlar

(x) ,r exp (iA) niter bir operatr olduunu gsterin.

(b), verilen Hermit operatr matris tersine evirmeyi gstermek.

(c) B zdeer ile ikinci bir Hermit operatr verilen ve

zfonksiyonlar (x),A, B zvektrlerini dntrr niter bir operatr V bir temsili oluturmak.

ZM:

=A A hermityen

=exp(-i )=exp(-iA)=

(b) = + ,

hermitiyen operatr matrislerle gsterilmesi C=U+ =U , =C

bunun iin

( c) Hermitiyen operatr ve ortonormal bir set oluturmakicin,

dolaysyla herhangi bir ve tam setini getirilerek alabilir.

=

(x) (x)dx Benzer ekilde

=

=

=

= bundan dolay

=

ve dir.

1072

Hamilton ile tek boyutlu osilatr dnn H= +

(a) "balang pozisyonuna" beklenti deerleri zaman bamllk ve "balang momentumu" operatrleri bulmak

)sinwt,

= +mwx.

Hamiltonyenin ile bu operatrlerin gidip gelmek?

(a) ve (b) uyumlu olmasnn sonularnbulun?

Heisenberg grnt operatrlerinin hareket denklemleri nelerdir?

komtatr llmesi teori adna nemi nedir?

ilikisi faydalanarak

= -w -

coswt

= coswt-w - sinwt-

- +

+m

= coswt-w + sinswt+ m

=0

bylece bu operatrlerinin beklenti deerleri zaman bamsz olarak bulundu.

(b) = coswt- sinwt

coswt+i

= coswt+mw sinwt

xcoswt+i

(c ) (a) ve (b) sonularn uyumludur. ve . ifadeleri

iin ise t ak bir ekildeH ile komtasyon kendi korunur.

= + =0

= + =0

bunlar aslnda korunur olduunu gsterir.

(c) Heisenberg grnt, bir operatr hareket denklemi

= + .

Bylece hareket denklemleri srasyla

=0 , =0

ve ifadeler kullanarak

=

coswt+ mwsinwt

coswt+ mwsinwt

= co wt- si wt

=-

=-i

= =0, = i

genel denklemi, A ve B iki gzlenebilirler karlayan = i

Sonra onlarn karekk sapmalar anlamna , E zamanl olarak llr zaman, belirsizlik ilkesi yerine getirmelidir.

Bu durumda

ortaya kar.

ayn anda llmesi, olas st limitlerinin arasndaki bir ilikidir.

SORU 2001

Bir elektron boyutlu iyi sonsuz potansiyel snrldr. x,y ve z eksenleri paralel kenarlarnda her L uzunluu ;

a) Uygun bir Schrdinger denklemi yazlr.

b) Mmkn olan en dk enerji durumuna tekabl eden zamandan bamsz dalga fonksiyonu yazlr.

c) Varsayalm ki iin baz verilen E ok daha az enerjiye sahip olan N says iin bir ifadesini verir.

Den

Buradan

Eksenleri olan bir koordinat sistemini gz nne

alalm. Bir N doal says yarap olan bir

krenin ilk eyrek dairesinin hacmine eitliine gereklilik

ksm iin salanmtr. Buradan

'Kuark' (ktlesi = ) kbik kutusunda uzunluu 2 fermis = 2x

ile snrl durum iin zemin t uyarma enerji Zemin durumuna MeV ilk uyarlm hal uyarlma enerjisini bulun.

zm:

Kp eklinde kutusunun enerji dzeyleri tarafndan verilir.

= ( + , =1,2,3..

zemin durumuna gre enerjisi dolaysyla = ilk

uyarlm duruma = = .bu nedenle zemin uyarlm hal ilk uyarlm durumuna uyarlma enerji olan

= =461MeV

SORU 2003

Bir NaCl kristalinde, Negatif iyonu bo bir elektron bulunduu, boyutlar sabit rg zerindeki bir hacim ierisindeki serbeste hareket eden bu elektronlarn davran kristalin oda scaklndaki elektronlar tarafndan gl bir ekilde absorbe edilen elektromanyetik nmn en uzun dalga boyunda iin saysal bir tahmini bulmak.

zm: Bir elektronun enerji dzeyleri iki tarafn ile kbik

kutusunda tarafndan verilmektedir. =( (

n, m ve k pozitif tamsaylara temel durum enerjinin =(

= =112Ev

= =110

SORU 2004

Bir elektron yarap R almaz duvarlar olan ii bo bir kresel boluunun ilerine kadar snrldr.Elektronun duvarlarna uygulad basnc, zemine durumda iin bir ifade bulmak

ZM:

Zemin durumu iin, l = 0 veR(x)= radyal dalga fonksiyonu gibisonra X (r) verilir

iin r

X=0 iin r

Bu durum karlayan zmler = sin , (n=1,2,3,)

=

duvarlarda elektron radyal hareket ortalama F kuvveti tarafndan verilen

F= =- = ( = n=1 ve F= =

P= =

Mustafa DEVELOLU

(Blm-2)

2005

m ktleli bir paracn r=a ve r=b de snrlandrlm geirimsiz iki kre arasnda baka bir potansiyel vardr.Taban durumunda enerjiyi ve normalize edilmi dalga fonksiyonunu bulunuz.

zm: Paracn radyal dalga fonksiyonu ( ) ( )R r X r r= olsun.Sonra ( )X r denklemi

( ) ( ) ( )2 2 12 0m E V r X rr+

= l l

h

( )a r b

l =0 taban durumu iin bylece radyal dalga fonksiyonu nemsiz

olduundan ( )V r =0 izin vermektedir. 2 22K mE= h deyip denklemi azaltrsak

2 0X K x + = ile

0r a r b

X X= =

= =

V(a)=0 formu zm gerektirir.

( ) ( )sinX r A K r a= Sonra X(b)=0, K olas deerler olmak zere

( )K n b api= , ( )1, 2,3...n =n=1 de yani taban durumunda paracn enerjisi elde edilir.

( ) 22 2 2 22 2E K m m b api= = h hnormalize durumunda

( ) ( )2 2 2 1b b

a a

R r r dr X r dr= = ( )2A b a= olsun.Dolaysyla taban durum iin radyal dalga

fonksiyonu normalize durumu

( ) ( )2 1 sin r aR rb a r b a

pi =

dir.

ve normalize edilmi dalga fonksiyonu

( ) ( )1 2 1sin4

r ar

b a r b api

pi

=

dir.