Számok normálalakban történő felírása

Ha túl nagy, vagy túl piciny számokat kívánunk kis helyigényű, egyszerű, könnyen olvasható módon

felírni, akkor ez a felírás a legjobb. És amellett még roppantul tudományos kinézete is van nekije.

Azért is hivatkoznak rá is.

Pl. (baloldalon a hagyományos, jobboldalon a normálalak)

Tehát az egyenlőség jobboldalán lévő szám kevesebb karakterrel fejezi ki ugyanazt. Miként ebben az

esetben is:

Tehát annak a fárasztóan sok nullának a leírásától, ill. kiolvasásától kíméljük meg magunkat és

olvasóinkat. A szabály a következő:

A normálalakban felírt szám egészrésze mindig egyetlen számjegyből áll, mely nem nulla. Tehát

csak -től -ig választhatunk. A tíz hatványkitevője1 azt mutatja, hogy mennyivel kell arrébb

léptetni a tizedes vesszőt, hogy visszakapjuk a szám hagyományos alakját. Ha jobbra kell ehhez

léptetni a tizedesvesszőt, akkor a tíz kitevője pozitív, ha balra, akkor negatív. Ha nulla, akkor nem

piszkáljuk a tizedes vesszőt. Hiszen ez éppen azt jelenti, hogy nulla lépést kell tenni, tetszőlegesen

jobbra, vagy balra. Vagyis a pozitív kitevő szorzást, a negatív kitevő osztást jelent, a megfelelő

tízhatvánnyal.

A jobbra vagy balra lépés miértjét könnyű megérteni, hiszen a számegyenesen is, ha jobbra megyek

nőnek a számok, ha balra csökkennek.

Lássuk ezt további példákon, melyek során mindig ellenőrizd le, hogy azt látod-e, amit kell! Azaz,

hogy a szabálynak megfelelően írtam-e fel mindent:

Na, igen. Eme utóbbi esetben nem kevesebb, hanem éppen több karakter kellett a normálakhoz. De

csak azért, mert itt nem vótak megspórolható nullák. Hiszen ez a módszer pont arra jó. Ha ilyenek

nincsenek a számban, akkor nem látszik előnyösnek. Azonban ekkor is helyes ez a felírás.

1 Az a kis szám a -es jobb felső sarkában. Jelentése is van, mint ahogy mindennek: Tehát a nulla kitevő azt jelenti, hogy ne vidd sehova a tizedes vesszőt. Az plusz egy, kettő, három, stb. azt, hogy ennyivel jobbra, a mínusz egy, kettő, három, stb. azt, hogy ennyivel balra vidd a tizedes vesszőt a hagyományos alakban felíráshoz.

Vagyis a szám közepén lévő nullákat nem hagyhatjuk le. Ezt úgy mondjuk tudósul, hogy ha egy nulla,

vagy nullák után még vannak , akkor azokat a nullákat is ki kell írni. Ezért nem

egyenértékű a két oldala a következő egyenlőségnek:

2

Néhány további (helyes) példa:

Tehát igen, negatív számokat is felírhatunk így. De itt nekem, nehogy valaki összeszorozza a szám

előjelét és a tíz kitevőjét! ÁÁÁÁ! Aki ilyet tesz, azt megölöm.

Ez utóbbi esetben a tízes kitevője, az , el is hagyható, hiszen a , miként azt mindenki tudja,

aki lábjegyzetet is olvas.

Gyakran csak annyi a feladat, hogy egy számot írjunk át egyik alakból a másikba. A házi feladat is ez:

Add meg a következő számok normál alakját!

Kicsodák tulajdonképpen következő, normálalakban felírt számok? Azaz, mi a hagyományos

kinézetük? Az egyikük, tényleg egy valaki. Melyik az, és mi a neve?

És most néhány életünket megkönnyítő varázslat következik. Nem is tudom, hogyan tudtatok eddig

ezek nélkül élni. Aki ezután sem él ezekkel a lehetőségekkel, az teljességgel taníthatatlan ember. Az

ilynek ne is olvassák tovább a könyvemet! Már az is képtelenség, hogy idáig eljutottak.3

2 Úgy értve persze, hogy ne írj „ ”-t oda, ahol helyesen „ ” áll!

3 Álljanak e sorok itt ösztönzésképpen!

Normálalakokban történő összeadás és kivonás Nem is ezek a műveletek lesznek olyan szörnyen előnyösek, hanem a szorzás és osztás. De ezeket is

nehogy ne tudjuk má! A kulcs az, hogy igyekezzünk kiemelni a tagokból közös tízhatványt. Akár

mocskos, de helyes trükköktől sem riadva vissza. Így fejben kiszámolhatóvá lészen sok minden. Nem

szükséges tehát a számológép, ha ügyesek vagyunk. Illetve, gyorsan eldönthetjük, hogy nem-e

ütöttünk be valamit hibásan a gépbe, ha már elég járatosak vagyunk e számolási eljárásokban.

Végezzük el a következő összevonást!

Ha előbb kissé átalakítunk minden tagot, előtűnik valami. És nem kell vacakolni a tizedes törtekkel

sem, de túl nagy számokkal sem, ha ügyesek vagyunk:

Vagyis a tíz hatványokat felbontottuk úgy, hogy az egyik tényezővel való szorzás a tízhatványok

együtthatóit a lehető legkisebb egésszé tegye. A felbontás másik tényezője, a pedig közös mind

a három tagban. Ezeket most emeljük ki!

Majd a zárójelben végezzük el a szorzásokat:

Számoljuk ki a zárójelben lévőt:

És ezt most írhatjuk ismét normálalakban, ha akarjuk, vagy a feladat úgy kívánja:

Tehát ezt kaptuk:

De persze többféleképpen is lehet ezt a számítási eljárást variálni, de az a legszerencsésebb, ahol a

legkevesebbet kell ténylegesen számolni. Az egyszerű átírásokat pedig ugyan ne tekintsük már

fárasztó számításnak, mert abban az esetben nagyon lustának tűnünk ám!

Vonjuk össze ezeket e!

Bővítsük minden tagot, amelyiket szükséges úgy, hogy mindegyikben előtűnjön a tényező!

Amelyikben már eleve ott van, békén hagyható. Ez így néz ki:

Ez azért tehető meg, mert mint minden legális tört bővítés, ez is csupán az valamely alkalmas,

alakjával történő szorzást takar. Hiszen a mínusz kitevős hatvány, osztást, a pozitív kitevős,

szorzást jelent. És így minden tagot osztottunk és szoroztunk is esetenként azonos tényezőkkel.

Azonban eme balgának tűnő lépéssel elértük, hogy minden tagban ott van egy olyan szorzat, mely

éppen értékkel bír. Mivel nem titok, hogy a , éppen úgy, mint a

, és minő véletlen,4 hogy a is igaz. Általánosan pedig:

bármely és számokra. Sőt nyilván: ugyancsak bármely

és számra. De erről majd bővebben olvashatsz a c. fejezetben.

Már csak ki kell emelnünk az így immár minden tagban ott virító tényezőt.

Még a zárójelben látható szorzatok elvégzése előtt látható, hogy ez nem olyan szép egészek

összevonása lesz, mint az előbbi feladatnál. Nem baj! Tudunk mi már helyi érték helyesen számolni,

tizedes törtekkel és számokkal is vegyesen.

Ez is írható normálalakban is, mint ahogy minden:

Tehát az eredmény eszerint:

Most lássunk egy negatív és pozitív tízhatványkitevős tagokat egyaránt tartalmazó összevonást!

4 Nem is annyira véletlen. Egyáltalán nem az. Hiszen a tényezők felcserélhetőek a számok szorzásánál.

Na, ezt vond össze, ha tudod!

─ Aki ezt a feladatot kitalálta, az őrült! Laci, miért szívatsz minket mindig ilyenekkel? ─ kérdi

ingerülten Pisti, és már készül kimenni a teremből.

─ Csak pusztán szeretető gondoskodásból. Hogy ezt is tudjátok.

Intézzük el külön a pozitív és külön a negatív tízhatványkitevőket tartalmazó tagok összevonását, és

majd csak ezek eredményeit egyesítsük újra!

A pozitív tízhatványkitevősek:

A már fentebb vázolt módon:

Sajnálatos módon ebben csak a tíz első hatványa közös, azt viszont kiemeljük:

A zárójelben elvégezve a szorzásokat:

Majd össze is vonva őket:

Ezt jegyezzük meg! És most rendezzük a negatív tízhatványkitevősöket:

Így is írhatóak:

Most pedig emeljük ki mindegyik tagból a -t!

És ezt most dolgozzuk egybe az imént kapottal:

Akár így is tehetjük:

Ami normálalakban így néz ki:

Azaz, azt kaptuk, hogy

Na, jó. Ezt is csinálhattuk volna egészen másképp is, de ennek legalább volt valami köze a fejezet

címéhez. És gyakoroltuk is ezáltal egy kissé, az ilyen fajta ide-oda írásokat. Most jöjjenek a már

beharangozottak, melyek miatt érdemes tudni a normálalakos számolásról.

Normálalakok szorzása, osztása

Mivel szorzatok szorzása esetén is megtehető, hogy csoportosítjuk a tényezőket, így itt a

tízhatványokat fogjuk egymás mellé gyűjteni. A még egyéb ottlévőségeken kell csak ténylegesen

kiszámolnunk a szorzást, a tízkitevőket elintézhetjük egyszerűbben is.

Végezzük el a szorzást!

Tehát csoportosítsuk egymás mellé a -ket!

Az egyik korábbi feladat kapcsán már említve lett, hogy a igaz bármilyen és

számokra. De szerencsére igaz ez több tényezőre is. Akárhány tényezőre:

Miként az a c. fejezteből majdan leszűrhető lesz számodra is, ha eljutsz

odáig. Jelen esetben ez a rész nekünk így alakul:

És ez éppen nem más, mint:

Tehát ezért így írható a számolnivalónk:

Így már csak a többi tényezőn kell elvégezni a szorzást:

Majd ennek a végére írni a tíz tényezőt:

Ami normálalakban ez lesz:

Azaz, az állításunk az, hogy:

Itt csak két számra nézzük, mint becsületesen is két számra szoktuk az osztást.

Számold ki ezt!

Előbb ismét emeljük ki külön a tíz tényezőket:

Ami másként annyit tesz, hogy

Így egyszerűsíthetünk a faktorral:

Ez viszont annyit tesz, hogy -nel van osztva a törtünk. Ugye emlékszünk, hogy a tízhatvánnyal való

osztás a tizedes vessző balrább léptetését jelenti, a tíz hatványkitevője szerinti mértékben. Hoppá,

hogyan is tudjuk mi másképpen jelölni ezt a balra léptetést? Így e:

Már csak a törtet kell kiszámolnunk:

Vagyis ezt kell még a tíz tényezőnkkel szorozni:

Az eredmény ezekszerint az, hogy

És most vegyesen! Szorzás és osztás, meg összevonás is egyszerre.

Mennyit ér a következő kifejezés?5

A külön a számlálóban és külön a nevezőben is emeljük ki a legnagyobb tízhatványt, amit tudunk:

A bent maradottakra pedig végezzük el a kijelölt szorzásokat:

A tízhatványok hányadosa itt éppen . Hiszen:

Tehát majd ezzel kell szorozni, ha kiszámoltuk a tört többi részét:

5 Zolika szerint semmit se.

Tehát az eredmény:

Ami azt jelenti, hogy:

Oly mesésen gyönyörű és szépséges, mint Pál Petra. Illetve, csak majdnem, mert ő a világ legszebb

nője.

Add meg ezen kifejezések értékeit normálalakban!

Ha ügyes vagy észreveheted, hogy van egy feladat, amit már nem is kell számolnod, mert valaki már

majdnem azt is kiszámolta.

∎∎