11. Előadás Gradiens törésmutatójú közeg II. · 2015-05-20 · 11. Előadás Gradiens törésmutatójú közeg II. A következőkben két különleges, gradiens törésmutatójú

11. ElőadásGradiens törésmutatójú közeg II.

A következőkben két különleges, gradiens törésmutatójú lencsévelfogunk foglalkozni, az úgynevezett Luneburg-féle lencsékkel. Annak iskét típusával:két típusával:

a Maxwell-féle halszem lencsével és aStandard-Luneburg lencsével.g

Mindkét lencse tökéletesen gömb alakú és törésmutatójukgömbszimmetrikusan változik az alábbi képletek szerint:

20=

nn

Maxwell-féle halszem lencse: Luneburg-féle lencse

2

2 ⎟⎞

⎜⎛=

rnn2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

Rr 0 2 ⎟

⎠⎜⎝

−⋅=R

nn

Ahol n0 konstans törésmutató, R a gömb sugara, r pedig a középponttól mért

TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 1

távolság.

Maxwell féle halszem lencseElsőként nézzük a Maxwell-féle lencsét

Maxwell-féle halszem lencseElsőként nézzük a Maxwell-féle lencsét.Ennek különlegessége, hogy a lencse felületén egy pontból indulószéttartó sugarakat a túlsó felületen ugyanabba a pontba képezi le,

b kii d ló lszemben a kiinduló ponttal.

TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 2http://en.wikipedia.org/wiki/Luneburg_lens

Maxwell féle halszem lencseA TracePro egyéni tulajdonságszerkesztőjében a Gradiens-törésmutató

Maxwell-féle halszem lencseA TracePro egyéni tulajdonságszerkesztőjében a Gradiens-törésmutatómegadásánál, új törésmutató definiálásánál ki is választhatjuk ezt atípust és a megfelelő értékekkel könnyen be is állíthatjuk a lencsénknek.(I i i l l h él f l j ük d i il h llá h kí(Initial wavelength-nél ne felejtsük megadni, milyen hullámhosszon kí-vánjuk „használni”)


Maxwell féle halszem lencseA következőkben készítsünk el aT P b il l ét

Maxwell-féle halszem lencseTracePro-ban egy ilyen lencsét:Először is definiáljunk egy gömböt(Insert / Primitive Solid [Sphere]),( [ p ]),melynek sugara legyen 5 mm és aközéppontja legyen Z irányban 15mm-en a tengelyen. (X = 0; Y = 0)mm en a tengelyen. (X 0; Y 0)/ Érdemes átlátszóvá tenni a gömböt aProperties menüben, hogy lássuk asugármeneteket /Ezután definiáljuk az n0 illetve agradiens törésmutatót.


Maxwell féle halszem lencseA törésm tatónk leg en 546 1 nm re 2!

Maxwell-féle halszem lencseAz n0 törésmutatónk legyen 546,1 nm-re n0 = 2!A gradiens törésmutatót pedig úgy definiáljuk, hogy a típusa legyen„Maxwell’s Fisheye Lens” az Initial wavelength legyen 546,1 nm.y g gyA táblázatban az nr1 értékét adjuk meg úgy, hogy az ekvivalens legyena definiált gömbünk sugarával.Ha ezzel megvagyunk és mentettük a tulajdonságokat alkalmazzukHa ezzel megvagyunk és mentettük a tulajdonságokat, alkalmazzukőket a lencsén úgy, hogy a gradiens törésmutató esetében atörésmutató origója legyen a gömb geometriai középpontja, Znormálvektora 1, és a felfelé mutató vektor Y = 1 legyen.


Maxwell féle halszem lencseDefiniáljunk két alapértelmezett hullám-hosszú (546,1 nm) sugárforrást a Z =

Maxwell-féle halszem lencsehosszú (546,1 nm) sugárforrást a Z10 mm pontba, egyiket fordítsuk el +15,másikat -15°-al az X tengely körül.Ha elvégezzük a sugárkövetést márHa elvégezzük a sugárkövetést, márláthatjuk is, hogy a lencse tökéletesen akiindulóponttal szemben lévő pontba„vezette” a két sugarat.„vezette a két sugarat.Próbáljuk ki a szögek változtatásával is(Nem muszáj egyenlőnek lenniük)


Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelKeressünk olyan Axial-Radial típusú gradiens törésmutatójú közeget, melynekradiális törésmutató profilja ekvivalens a Maxwell-féle halszem lencséével.

Ehhez a Maxwell féle lencse törésmutatóját0nEhhez a Maxwell-féle lencse törésmutatóját

fejtsük Taylor sorba R = 5 mm és n = 2 paraméterek mellett!

20

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

Rr

n

fejtsük Taylor-sorba R = 5 mm, és n0 = 2 paraméterek mellett!

A Sorfejtés eredménye: n(r) = n0n0−

R2r2⋅+

n0

R4r4⋅+

n0−

R6r6⋅+ O r8( )+

R R R

1. rendig:

2. rendig:

n1 r( ) n0 0− 08 r2⋅,:=

n2 r( ) n0 0− 08 r2⋅ 3+, 2 10 3−⋅ r4⋅,:=g

3. rendig:

( ) , ,

n3 r( ) n0 0− 08 r2⋅ 3+, 2 10 3−⋅ r4⋅ 1−, 28 10 4−

⋅ r6⋅,:=


Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelÁbrázolva az egzakt (n), és a különböző rendűTaylor polinomos közelítéseket (n1 n2 n3)Taylor-polinomos közelítéseket (n1, n2, n3)

22

1

1.5n r( )

n1 r( )

n2 r( )

0.5

0

n3 r( )

0 2 40

0

50 r

Látható, hogy még harmad rendig sem tekinthető kimondottan jó közelítésnek.


Megvalósítás más módszerrelTraceProban illesszünk be egy (a gömbbel megegyező) 5 mm sugarúh t ú h h l j é f lé k (Y Z)

Megvalósítás más módszerrelhengert úgy, hogy a henger alapja nézzen felénk. (Y-Z)Törésmutatójának adjuk meg az n0 = 2 –es értéket, gradienstörésmutatójának pedig definiáljunk egy új törésmutatót Axial-Radialj p g j gy jtípusban.Az egyes koefficienseket a sorfejtésnek megfelelően adjuk meg:


Megvalósítás más módszerrelRendeljük hozzá az így definiált

Megvalósítás más módszerrelMaxwellj gy

törésmutatót a hengerünkhöz, úgy,hogy a gradiens törésmutatóorigója legyen a hengerünk geo-

Maxwell

metriai középpontja.Ezután nincs más dolgunk, mint kétsugárforrást definiálni a hengerg gpalástján az optikai tengellyel5°illetve -5° -os szöget bezárólag. Henger


Megvalósítás más módszerrelCsak jó közelítéssel kaptuk meg a várt eredményt. Ennek oka a (Taylor-

Megvalósítás más módszerrelj p g y ( y

soros) közelítés tökéletlensége. Tehát célravezetőbb a beépítetttörésmutató típust alkalmazni már csak az egyszerűség kedvéért is.

A i í l j löltA piros színnel jelöltnyalábok a Maxwelllencsén, míg afeketék a „kézzel”megadott törés-mutatójú hengerenj ghaladnak át.


Standard Luneburg lencseA Standard-Luneburg lencse tulajdonsága, hogy speciális

Standard-Luneburg lencsetörésmutatójának köszönhetően a lencse felületéről induló széttartósugarakat a lencsét elhagyván egymással párhuzamossá teszi. Alencsére érkező egymással párhuzamos sugarakat pedig a lencsegy p g p gtúlsó felületén egy pontba fókuszálja.

TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 12http://en.wikipedia.org/wiki/Luneburg_lens

Standard Luneburg lencseStandard-Luneburg lencse

Készítsünk Standard-Luneburg lencsét!A gömb sugara legyen most is 5 mm és ismét 15 mm-re legyen ageometriai középpontja Z irányban az origótól. (többi koordináta zérus)Az n0 törésmutató legyen n0 = 1 546,1 nm-re.Definiáljuk a gradiens törésmutatót úgy hogy típusa a LuneburgDefiniáljuk a gradiens törésmutatót úgy, hogy típusa a „Luneburglens” legyen, Initial wavelength pedig 546,1 nm.


Standard Luneburg lencseAlkalmazzuk a törésmutatókat a gömbön! A gradiens törésmutatóorigója legyen ezúttal is a gömb geometriai középpontja (Z = 15)

Standard-Luneburg lencseorigója legyen ezúttal is a gömb geometriai középpontja (Z 15)Végül definiáljunk két sugárforrást 546,1 nm-es hullámhosszal ésZ = 10 mm kezdőponttal. X körül forgassuk el egyiket +35°-al, másikat-35°-al Végezzünk sugárkövetést Láthatjuk hogy a széttartó35 al. Végezzünk sugárkövetést. Láthatjuk, hogy a széttartónyalábokat lencse párhuzamossá tette.A források szögeit változtatva láthatjuk, hogy különböző szögeknél ispárhuzamosak lesznek a nyalábokpárhuzamosak lesznek a nyalábok.


Megvalósítás más módszerrelA Maxwell-féle halszemlencsénél már tárgyaltuk, hogy közelítő módszerrel islehetséges ilyesfajta törésmutatót megadni egy optikai elemnek

Megvalósítás más módszerrellehetséges ilyesfajta törésmutatót megadni egy optikai elemnek.Most vizsgáljuk meg a Standard-Luneburg lencsét, melynek törésmutatója:

2

2 ⎟⎞

⎜⎛ r

0 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

Rnn

szerint változik.

Taylor sorba fejtésnél R = 5 mm, és n0 = 1 értékeket feltételezzünk.Sorba fejtés után az alábbit kapjuk:

11 2

1

2 1 2

1

2 1 2

1

2 ( )A Sorfejtés eredménye: n(r) =

1. rendig:

22 1−4

2

R2⋅ r2⋅+

1−32

2

R4⋅ r4⋅+

1−128

2

R6⋅ r6⋅+ O r8( )+

n1 r( ) n0 0− 014 r2⋅,:=

2. rendig:

3 rendig:

n2 r( ) n0 0− 014 r2⋅ 7 071 10 5−⋅,( ) r4⋅−,:=

n3 r( ) n0 0− 014 r2⋅ 7 071 10 5−⋅( ) r4⋅− 7− 071 10 7−⋅ r6⋅:=


3. rendig: n3 r( ) n0 0 014 r⋅ 7 071 10⋅,( ) r⋅ 7, 071 10⋅ r⋅,:=

Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelÁbrázolva az egzakt (n), és a különböző rendűTaylor-polinomos közelítéseket (n1 n2 n3)Taylor-polinomos közelítéseket (n1, n2, n3)

1 4

1.5

1.4n r( )

n1 r( )

n2 r( )1.2

1

n3 r( )

0 2 41

1

50 r

Látható, hogy a harmad renddel már igen jónak tekinthető közelítés.


Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelIsmét illesszük be a Maxwell lencsénél használt hengert, melynekg , ytörésmutatóját most 1 –nek válasszuk. A gradiens törésmutatódefiniálásnál figyeljünk oda, hogy az egyes koefficienseket, a megfelelőr-ekhez írjuk (ne a z függő rubrikákba!):r ekhez írjuk (ne a z függő rubrikákba!):


Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelLuneburg

Az egzakt (beépített) lencse és az azzalkvázi ekvivalens közelítéssugárkövetéses eredményét láthatjuk. A

á f á k d fi iálá á ál t i

Luneburg

sugárforrások definiálásánál most is+5° illetve -5°-os szögben indulnak asugarak.A Maxwell féle halszemlencse esetéhezA Maxwell-féle halszemlencse esetéhezképest sokkal jobb egyezést kapunk azegzakt és az azt közelítő törésmutatójúközegbeli terjedés közt. Ennek oka, Hengerg j ,hogy ez esetben a 4 tagú Taylor-polinomos közelítés sokkal pontosabbvolt.


Közeg melyben a fény pályája körKözeg, melyben a fény pályája kör

Szimuláljuk a fényterjedést törésmutatójú közegben!

rx

nn−

=1

0

Elméleti megfontolással belátható, hogy a sugár pályája ilyen közegben KÖR! Alevezetést most mellőzzük.

A i lá ió á l 1 5 (546 1 ) 10 !A szimuláció során legyen n0 = 1.5 (546,1 nm), r = 10 !

Készítsünk egy planparalell lemezt! Szélessége X irányban legyen 5 mm, Yirányban 1 mm és Z irányban 20 mm Középpontjaik X koordinátái legyen 2 5 Yirányban 1 mm és Z irányban 20 mm. Középpontjaik X koordinátái legyen 2,5, Ypedig 0,2Ebből helyezzünk egymás „fölé” összesen 3 azonos darabot!


Közeg melyben a fény pályája körA b áll ód kb il tí ú tö é t tó ált á t

Közeg, melyben a fény pályája körA programban nem áll módunkban ilyen típusú törésmutató változástmegadni, ezért fejtsük Taylor-sorba a függvényt z = 0 körül!

( ) ( ) K33

2210 zzznzn α+α+α+=

A Taylor-koefficiensek rendre a következők:.

15101 ,=α

00151001510

3

2

,,

=α=α


Közeg melyben a fény pályája körA bal oldali ábrán az egzakt törésmutató és közelítései, a jobb oldalin az

kt é téktől ló lté é k láth tók M áll íth tj k h h d

Közeg, melyben a fény pályája köregzakt értéktől való eltérések láthatók. Megállapíthatjuk, hogy a harmadrendű polinom már kellő pontosságú közelítést ad.

1.9

1.95 .2

1.8

.9

n_elm x( )

n1 x( )

n2 x( )

0.15

Δn1 x( )

Δn2 x( )

1.6

1.7n2 x( )

n3 x( )

n4 x( )

0.05

0.1Δn3 x( )

Δn4 x( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31.4

1.5

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0


30 x 30 x

Közeg melyben a fény pályája körA á lá h l tt l l ll l k k ú dj k k tt

Közeg, melyben a fény pályája körAz egymás alá helyezett planparalell lemezeknek úgy adjuk meg a kapottkoefficiensek alapján a gradiens törésmutatót, hogy a legfelsőnél csak azelső koefficienst, a középsőnél az első kettő koefficienst és a legalsónálmind a hármat megadjuk. Figyeljünk oda, hogy az egyes koefficienseket,mind a hármat megadjuk. Figyeljünk oda, hogy az egyes koefficienseket,a megfelelő z függő rubrikákba írjuk (ne az r függő rubrikákba!)

Mindhárom lemezre bocsássunk egy-egy sugarat úgy, hogy Z koor-Mindhárom lemezre bocsássunk egy egy sugarat úgy, hogy Z koordinátájuk 0, X koordinátájuk -1, Y koordinátájuk pedig az egyes lemezekközéppontja legyen. Mindhárom forrásból induló sugarakhoz más-másszínt rendeljünk és ezt állítsuk is be az Analysis / Ray Colors menüben.


Kö l b fé ál áj köAz eredményt az alábbi képen láthatjuk:

Közeg, melyben a fény pályája kör


Kö l b fé ál áj köAz fénysugár pályája és a simulókör

Közeg, melyben a fény pályája kör


Kö l b fé ál áj köKözeg, melyben a fény pályája kör

Láthatjuk, hogy a másod- és harmad-rendig megadott törésmutatójúanyagokban a nyalábok szinte ugyanúgy haladtak illetve közelanyagokban a nyalábok szinte ugyanúgy haladtak, illetve közelugyanabban a szögben hagyták el a lemezeket.A táblázatokban azonban megfigyelhetjük, hogy még így is van minimáliskülö b ékülönbség:

Kettő koefficiensig Három koefficiensig megadottKettő koefficiensig megadott törésmutatójú közeg

Három koefficiensig megadott törésmutatójú közeg


Mit ismertünk meg?Mit ismertünk meg?- A Luneburg-féle és a Maxwell’ Fish-eye lencse típúsú közegekben

tö té ő fé t j dé lí i i lá iójtörténő fényterjedés analízise, szimulációja.- Demonstráltuk, hogy a függvénnyel megadható

rx

nn−

=1

0

Kö k k

törésmutatójú közegben a fénysugár pályája kör.r

Következik:Rezonátorok- Rezonátorok


Documents

11. Előadás Gradiens törésmutatójú közeg II. · 2015-05-20 · 11. Előadás Gradiens törésmutatójú közeg II. A következőkben két különleges, gradiens törésmutatójú