บทท 1

บทน ำ

บทนจะศกษาความรพนฐานเรองเรขาคณตวเคราะห (Analytic Geometry) ซงจะศกษาเรอง ระบบพกดฉาก สมการเสนตรง ซงจะเปนพนฐานทส าคญในการเขยนกราฟไดงายและรวดเรวมากยงขน รวมทงมสวนชวยในการเรยนวชาแคลคลสเบองตน และคณตศาสตรขนสง ไดเขาใจงายยงขน

1.1 ระบบพกดฉำก

การบอกพกดของจดใดๆทอยบนระนาบ ระบพกดโดยบอกต าแหนงบนระบบพกดฉาก

1.1.1 แกนพกด

เสนตรง 2 เสนตงฉากกนทจด O จดก าเนด (Origin) เสนแนวนอนคอ แกน x ( x -axis) เสนแนวตงคอ แกน y ( y -axis) ทศทางบนแกน x ไปทางขวามอของจด O เปนบวก ซายมอเปนลบ ทศทางบน แกน y ขนไปจากจดO เปนบวก ลงขางลางเปนลบ เสนแกนทงสองเรยกวา แกนพกด (Coordinate Axis) แบงระนาบออกเปน 4 สวน แตละสวนเรยกวา จตภาค (Quadrant)

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

1 2

3 4

0, 0

,

x y

0, 0

,

x y

0, 0

,

x y

0, 0

,

x y

O

ภำพท 1.1 แสดงระบบพกดฉาก

4

1.1.2 โปรเจคชน

โปรเจคชนของจด A บนเสนตรง L หมายถงจดทเกดจากการลากสวนของเสนตรงจากจด A ไปตงฉากกบเสนตรง L

A

L

B

ภำพท 1.2 B เปนโปรเจคชนของจด Aบนเสนตรง L

การบอกพกด (Coordinate) ของจด A ใดๆจะหาไดจากการบอกระยะทจด A ใดๆ จะหาไดจากการบอกระยะทจด A หางจากแกน x และแกน y โดยเขยนเปนคอนดบ (Ordered

Pair)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7-6-5-4-3-2-1

12345

x

y

0,4

5,1

3, 2

ภำพท 1.3 การแสดงคอนดบ 0,4 , 3, 2A B และ 5,1C

ตวอยำงท 1.1 จงหาโปรเจคชนของจด 6, 2A บนแกน x และแกน y

วธท า

โปรเจคชนของจด 6, 2A บนแกน y คอ 0, 2B

โปรเจคชนของจด 6, 2A บนแกน x คอ 6,0C

ภำพท 1.4 โปรเจคชนของจด 6, 2A บนแกน x และแกน y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

x

y

A B

C

5

1.1.3 ระยะทำงระหวำงจดสองจด

ก าหนดใหจด P และ Q เปนจดใดๆทอยบนระนาบ ระยะทางระหวางจด 1 1,P x y ถง

จด 2 2,Q x y คอความยาวของสวนของเสนตรง PQ เขยนแทนดวย PQ

1 1,P x y

2 2,Q x y

2 1,R x y

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

x

y

x

y

ภำพท 1.5 ระยะทางระหวางจด 2 จด จากกฎพทาโกรส

2 2 2c a b

ภำพท 1.6 กฎพทาโกรส

จะได 2PQ =

2PR +

2RQ

PQ = 2 2

x y

PQ = 2 2

2 1 2 1x x y y

ระยะทางระหวางจด 1 1,P x y ถงจด 2 2,Q x y

PQ = 2 2

2 1 2 1x x y y

a

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

x

y

b

c

6

ตวอยำงท 1.2 จงหาระยะทางระหวางจด 2,3A และ 4, 5B

วธท า จาก AB = 2 2

2 1 2 1x x y y

= 2 2

4 2 5 3

= 4 64

= 68

ภำพท 1.7 ระยะทางระหวางจด 2,3A และ 4, 5B

หมำยเหต 1. ถาระยะทางระหวางจด 1,P x y ถงจด 2 ,Q x y จะได PQ = 2 1x x

2. ถาระยะทางระหวางจด 1,P x y ถงจด 2,Q x y จะได PQ = 2 1y y

ตวอยำงท 1.3 จงหาระยะทางระหวางจด 3,4A ถงจด 6,4B และ ระยะทางระหวางจด

3,7C ถงจด 3, 4D

วธท า

AB = 6 3 = 9

ภำพท 1.8 ระยะทางระหวางจด 3,4A ถงจด 6,4B

CD = 4 7 = 11

ภำพท 1.9 ระยะทางระหวางจด 3,7C ถงจด 3, 4D

2,3A

4, 5B

-8 -6 -4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y

3,7C

3, 4D

y

7

ตวอยำงท 1.4 จงตรวจสอบวา จด 0, 2A จด 2,1B และจด 4,4C เปนจดบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

วธท า

จากรปจะตองแสดงวา AB BC AC

AB = 2 2

1 2 2 0 = 13

BC = 2 2

4 2 4 1 = 13

AC = 2 2

4 0 4 2 = 52

= 2 13

ภำพท 1.10 จด 0, 2A จด 2,1B และจด 4,4C

จะเหนวา AB BC = 13 13

= 2 13

= AC

ดงนน จด 0, 2A จด 2,1B และจด 4,4C เปนจดบนเสนตรงเดยวกน

1.1.4 จดแบงสวนของเสนตรง

ก าหนดใหจด 1 1,P x y และ 2 2,Q x y เปนจดใดๆทอยบนระนาบ ลากสวนของเสนตรงเชอมจด 1 1,P x y ถงจด 2 2,Q x y และก าหนดจด ,R x y เปนจดทแบงสวนของเสนตรง PQออกเปนอตราสวน :a b ดงรป

จากรป PQT RQS

จะได PQ

RQ =

QT

QS

a b

b

= 2 1

2

y y

y y

2a b y a b y = 2 1by by

ภำพท 1.11 จดแบง a b y = 2 2 2 1ay by by by

y = 2 1ay by

a b

ในท านองเดยวกนจะได x = 2 1ax bx

a b

1 1,P x y

2 2,Q x y

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

x

y

,R x y

1,U x y 2 1,T x y

2 ,S x y

a

b

-6 -4 -2 2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y

0, 2A

2,1B

4, 4C

8

ดงนนสรปไดวา ,R x y เปนจดทแบงสวนของเสนตรง PQออกเปนอตราสวน :a b

จด ,R x y = 2 1 2 1,ax bx ay by

a b a b

ตวอยำงท 1.5 จงหาจดทแบงสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจด 3,2A และ จด 3, 4B

เปนอตราสวน 2 :3

วธท า ก าหนดให ,R x y เปนจดทแบงสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจด 3,2A และ จด

3, 4B เปนอตราสวน 2 :3

จะได ,R x y = 2 1 2 12 3 2 3,

2 3 2 3

x x y y

= 2 3 3 3 2 4 3 2

,5 5

= 3 2

,5 5

ดงนนจดทแบงสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจด 3,2A และ จด 3, 4B เปนอตราสวน

2 :3 คอ จด 3 2,

5 5

1.1.5 จดกงกลำง

จดกงกลาง (Midpoint) จะเปรยบไดกบการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสองสวนโดยแตละสวนมขนาดเทากน ในท านองเดยวกน ถา ก าหนดจด ,R x y เปนจดกงกลาง นนคอจด R จะแบงสวนของเสนตรง PQออกเปนอตราสวน 1:1 จะไดวา

R เปนจดกงกลางของเสนตรง PQ

,R x y = 2 1 2 1,2 2

x x y y

หรอ ,R x y = 1 2 1 2,2 2

x x y y

1 1,P x y

2 2,Q x y

,R x ya

b

9

ตวอยำงท 1.6 จงหาจดกงกลางของสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจด 0, 2A และ จด 2,1B

วธท า ก าหนดให จดกงกลางคอจด ,R x y

จาก ,R x y = 2 1 2 1,2 2

x x y y

= 0 2 2 1

,2 2

= 1

1,2

ดงนน จดกงกลางของสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจด 0, 2A และ จด 2,1B คอ จด 1

1,2

1.2 สมกำรเสนตรง

สมการเสนตรงเปนกราฟทมความส าคญในการศกษาเรขาคณตวเคราะห จะศกษาสมบตของสมการเสนตรงทมรปแบบตางๆดงน

1.2.1 สมกำรเสนตรงในรปมำตรฐำน

ก าหนดใหจด 1 1,P x y และ 2 2,Q x y เปนจดใดๆทอยบนเสนตรง l ลากสวนของเสนตรงเชอมจด 1 1,P x y ถงจด 2 2,Q x y ลากเสนตรงเสนหนงขนานแกน x และอกเสนตรงหนงขนานกบแกน y จะเหนวาเสนตรงทงสองตดกนทจด 2 1,R x y เกดเปนรปสามเหลยมมมฉากดงรป ก าหนดให มม เปนมมทเสนตรง l ท ากบแกน x ทศทางทวนเขมนาฬกา ดงรป

1 1,P x y

2 2,Q x y

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

x

y

2 1,R x y

ภำพท 1.12 สมการทผานจด 1 1,x y และ 2 2,x y

ใชสมบตของรปสามเหลยมมมฉากและอตราสวนตรโกณมต เมอแทน m เปนควำมชน

(Slope) ของเสนตรง l จะไดวา 2 1 1 2

2 1 1 2

tany y y yQR

mx x x xPR

10

ถาก าหนดจดผานเพยงจดเดยว คอ 1 1,P x y และความชนของเสนตรง สามารถหาสมการของ

เสนตรงนนได โดยความชนของเสนตรงคอ 1

1

y ym

x x

จะไดสมการเสนตรง (Linear Equation) จาก 1 1y y m x x

บทนยำมท 1.1 ก าหนดให 1 1,P x y เปนจดใดๆบนเสนตรงและ m เปนความชนของเสนตรง แลว สมการของเสนตรงจะหาไดจาก 1 1y y m x x จากสมการ 1 1y y m x x 1mx mx

y 1 1mx mx y จาก 1,m x และ 1y เปนคาคงตว ดงนนให 1 1c mx y จะได y mx c เปน สมกำรเสนตรงในรปมำตรฐำน (Standard Form of Linear Equation)

ตวอยำงท 1.7 จงหาสมการเสนตรงในรปมาตรฐาน เมอเสนตรงผานจด 2,3 และมความชน 1

4 พรอมทงบอกจดทอยบนเสนตรง มา 3 จด

วธท า จากโจทยได 1 1, 2,3x y และ 1

4m

จากสมการ 1y y 1m x x

3y 1

24

x

y 1 13

4 2x

y 1 5

4 2x

หาจดบนเสนตรง โดยเลอก 0,1,2x เพอหาคา y

เมอ 0x จะได y 1 5 5

04 2 2

ดงนนจดผานคอ 50,

2

เมอ 1x จะได y 1 5 9

14 2 4

ดงนนจดผานคอ 91,

4

เมอ 2x จะได y 1 5

2 24 2

ดงนนจดผานคอ 2,2

จะได 50,

2

,9

1,4

และ 2,2 เปนจดทอยบนเสนตรง

11

1.2.2 สมกำรเสนตรงในรปทวไป

จาก y mx c mx y c 0 ก าหนดให , 1A m B และ C c

จะไดวา 0Ax By C เปน สมกำรเสนตรงในรปทวไป (General Form of Linear

Equation) โดยมความชน Am

B

หมำยเหต 1. ถาเสนตรง 1l ขนานกบเสนตรง 2l แลว ความชนของเสนตรง 1l จะเทากบความชนของเสนตรง 2l 1 2 1 2l ll l m m 2. ถาเสนตรง 1l ตงฉากกบเสนตรง 2l แลว ความชนของเสนตรง 1l คณกบความชนของเสนตรง 2l เทากบ 1

1 2 1 21l ll l m m

ตวอยำงท 1.8 จงหาสมการเสนตรงในรปทวไป ทผานจด 3, 5 และตงฉาก กบสวนของเสนตรงทเชอมจด 2,1P และ 4,3Q วธท า จากโจทยได 1 1, 3, 5x y ความชนของสวนของเสนตรง

1 3 1

2 ( 4) 3PQ

จะได m ของสมการทตองการ คอ 3 จากสมการ 1y y 1m x x

5y 3 3x

5y 3 9x

3 4x y 0

จากสมการเสนตรงในรปทวไป 0Ax By C

จดตดแกน x แทนคา 0y จะได

0Ax C 0

Ax C

x C

A

ดงนน กราฟตดแกน x ทจด ,0C

A

12

จดตดแกน y แทนคา 0x จะได

0 By C 0

y C

B

ดงนน กราฟตดแกน y ทจด 0,C

B

จากสมการเสนตรงในรปทวไป 0Ax By C

จดตดแกน x คอ ,0C

A

หรอระยะตดแกน x เทากบ C

A

จดตดแกน y คอ 0,C

B

หรอระยะตดแกน y เทากบ C

B

ตวอยำงท 1.9 ก าหนดสมการเสนตรง 3 5 7 0x y จงหาจดตดแกน x และจดตดแกน y

วธท า จดตดแกน x คอ 7 7,0 ,0 ,0

3 3

C

A

จดตดแกน y คอ 7 70, 0, 0,

5 5

C

B

หมำยเหต สมการเสนตรง y mx c

จดตดแกน x คอ ,0c

m

และ จดตดแกน y คอ 0,c

ตวอยำงท 1.10 จงหาสมการทผานจด 3,1 และ 3,7 พรอมทงหาจดตดแกน x และจดตดแกน y

วธท า ความชนของเสนตรงคอ 7 11

3 3m

เลอก 1 1, 3,1x y สมการเสนตรงหาไดจาก 1y y 1m x x

1y 1 3x

y 4x

จดตดแกน x คอ 4

,0 ,0 4,01

c

m

จดตดแกน y คอ 0, 0,4c

13

1.3 มมระหวำงเสนตรง 2 เสน

ก าหนดใหเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l ตดกนทจด P และท ามมกบแกน x เปนมม 1 และ 2 ตามล าดบ ดงนนมมระหวางเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l จงมคาเทากบ 1 2 นนเอง

1l

2l

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

x

y

21

1 2

1 2

ภำพท 1.13 มมระหวางเสนตรง 2 เสน

ก าหนดให 1 1tanm และ 2 2tanm

ใชสตรตรโกณมต 1 2tan 1 2

1 2

tan tan

1 tan .tan

1 2

1 21 .

m m

m m

1 2 1 1 2

1 2

tan1 .

m m

m m

บทนยำมท 1.2 ก าหนดใหเสนตรง 1l มความชนเทากบ 1m และเสนตรง 2l มความชนเทากบ 2m ท ามมกบแกน x เทากบ 1 และ 2 ตามล าดบแลว มมระหวางเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l 1 2

1 2 1 1 2

1 2

tan1 .

m m

m m

ตวอยำงท 1.11 จงหามมระหวางเสนตรง 1 : 2 3 3 0l x y และเสนตรง 2 : 2 9l x y

วธท า เสนตรง 1 : 2 3 3 0l x y ความชน 1

2

3m

เสนตรง 2 : 2 9l x y ความชน 2

1

2m

1 2tan 1 2

1 21 .

m m

m m

14

1 2tan

2 1

3 2

2 11

3 2

7

4

1 2 1 7tan

4

1.4 ระยะทำงระหวำงจดกบเสนตรง

ระยะทางจากจด 1 1,P x y ไปยงเสนตรง 0Ax By C โดยลากเสนตรงจากจด P ไปตงฉากกบเสนตรง 0Ax By C จะเปนระยะทางทสนทสดหาไดจาก

1 1

2 2

Ax By Cd

A B

ภำพท 1.14 ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง

ตวอยำงท 1.12 จงหาระยะทางทสนทสดจากจด 4,2 ไปยงเสนตรง 4 5y x วธท า จดรปสมการเสนตรง 4 5y x เปน 4 5 0x y

แทน 1 1, 4,2x y และ 4, 1, 5A B C

ลงใน d 1 1

2 2

Ax By C

A B

2 2

4 4 2 5

4 1

23

17

23 17

17

1 1,P x y

0Ax By C d

15

ตวอยำงท 1.13 วงกลม A มจดศนยกลางทจด 0, 2 มเสนสมผสวงกลมเสนหนงมสมการเปน 4 3 24 0x y จงหาความยาวรศมของวงกลม

วธท า แทน 1 1, 0, 2x y และ 4, 3, 24A B C

รศมหาไดจาก r 1 1

2 2

Ax By C

A B

2 2

4 0 3 2 24

4 3

306

5

ภำพท 1.15 ระยะทางระหวางจด 0, 2 กบเสนตรง 4 3 24 0x y

1.5 ระยะทำงระหวำงเสนตรง 2 เสนทขนำนกน

ก าหนดใหเสนตรง 1l ขนานกบเสนตรง 2l และก าหนดให PQ เปนสวนของเสนตรงทเชอมระหวางเสนตรง 1l และเสนตรง 2l ให PQ d และ 1 1,R x y เปนจดกงกลางของ PQ

1 2,d PR d RQ

1 1: 0l Ax By C

2 2: 0l Ax By C

1d

2d

11

,R

xy

P

Q

ภำพท 1.16 ระยะทางระหวางเสนตรง 2 เสนทขนานกน

จะไดวา 1 1 11

2 2

Ax By Cd

A B

และ 1 1 2

22 2

Ax By Cd

A B

เนองจาก 1 2d d 0

1 1 1 1 1 2

2 2 2 2

Ax By C Ax By C

A B A B

0,-2

r4 3 24 0x y

16

จากกฎของสามเหลยม (Triangle Inequality) จะไดวา

1 1 1 1 1 2

2 2

Ax By C Ax By C

A B

1 1 1 1 1 2

2 2

Ax By C Ax By C

A B

1 1 1 1 1 2

2 2

Ax By C Ax By C

A B

1 2

2 2

C C

A B

0

ทฤษฎบทท 1.1 ก าหนดใหเสนตรง 1 1 1 1:l Ax By C ขนานกบเสนตรง 2 1 1 2:l Ax By C ให

d คอระยะทางระหวางเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l จะไดวา 1 2

2 2

C Cd

A B

(ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

ตวอยำงท 1.14 ก าหนดใหเสนตรง 1 : 7 24 9 0l x y ขนานกบเสนตรง 2 : 7 24 50 0l x y จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l

วธท า จากสมการ d 1 2

2 2

C C

A B

จะไดวา

22

9 50

7 24

59

25

เสนตรง 1l กบเสนตรง 2l อยหางกน 59

25 หนวย

ตวอยำงท 1.15 ก าหนดใหเสนตรง 1

3: 5

7l y x และ 2

3: 3

7l y x จงหาระยะทาง

ระหวางเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l วธท า จดรปสมการได 1 :3 7 35 0l x y และ 2 :3 7 21 0l x y

จากสมการ d 1 2

2 2

C C

A B

จะไดวา 2 2

35 21

3 7

56

58

เสนตรง 1l กบเสนตรง 2l อยหางกน 56

58 หนวย

17

บทสรป บทท 1 กลาวถงความรพนฐานเรองเรขาคณตวเคราะห ประกอบดวยเรอง ระบบพกดฉาก สมการเสนตรง ซงจะเปนพนฐานทส าคญในการเขยนกราฟไดงายและรวดเรวมากยงขน แลวมสวนชวยใหการศกษาในบทถดไปในเรองลมตและความตอเนอง ซงจะสามารถวาดกราฟประกอบในการพจารณาหาลมตและความตอเนองของฟงกชนได

แบบฝกหด

1. จงหาระยะทางระหวางจดสองจดตอไปน 1.1. 2, 6 และ 3,6 1.2. 0,6 และ 3, 6

1.3. 3,5 และ 3,3 2

1.4. ,0a และ ,a b a b 2. จงหาจดกงกลางของสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดทก าหนดใหตอไปน

2.1. 0,6 และ 3, 6

2.2. 3,5 และ 3,3 2

2.3. ,0a และ ,a b a b 2.4. 2, 6 และ 3,6

3. จงหาความชนของเสนตรงทผานจดทก าหนดใหตอไปน

3.1. 0,6 และ 3, 6

3.2. 3,5 และ 3,3 2

3.3. ,0a และ ,a b a b 3.4. 2, 6 และ 3,6

3.5. 1 1

,2 4

และ 1 1,

3 5

4. จงหาสมการเสนตรงในรปทวไปทผานจดทก าหนดใหตอไปน 4.1. 2,6 และ 2, 6

4.2. 2,5 และ 3, 4

4.3. 1 2

,2 3

และ 1 3,

3 5

4.4. 2 2, 3 และ 2,4 3

18

4.5. ,0a และ ,a b a b 5. จงหาสมการเสนตรงในรปทวไปโดยมเงอนไขใหตอไปน

5.1 ผานจด 1, 5 และมความชน 2

3m

5.2 ผานจด 3,4 และขนานกบเสนตรง 3 4 9 0x y 5.3 ผานจด 5,5 และตงฉากกบเสนตรง 5 6 14x y

5.4 ผานจด 1, 7 และตงฉากกบเสนตรง 28

5y x

5.5 ตดแกน X ทจด 5,0 และตดแกน Y ทจด 0,4 6. จงหามมระหวางเสนตรง 1 : 4 3 0l x y และเสนตรง 2 : 4 9l x y 7. จงหาระยะทางทสนทสดจากจด 3, 2 ไปยงเสนตรง 3 0y x 8. วงกลม A มจดศนยกลางทจด 2,2 มเสนสมผสวงกลมเสนหนงมสมการเปน

5 4 2 0x y จงหาความยาวรศมของวงกลม

9. ก าหนดใหเสนตรง 1 : 2 19 0l x y ขนานกบเสนตรง 2 : 2 24 0l x y จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l

10. จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l เมอก าหนดใหเสนตรง 1

2: 9

5l y x

และ 2 :5 2 15 0l y x จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1l กบเสนตรง 2l