Metod parcijalne integracije

Dr piro Gopevi

Metod parcijalne integracije se najee primjenjuje kada je podintegralna funkcija u obliku proizvoda

Ovaj metod je posledica pravila diferenciranjaproizvoda funkcija

Pravilo, koji odgovara pravilu diferenciranja proizvoda funkcija, zove se metod parcijalne integracije

Metod parcijalne integracije

Neautorizovani tekst. 2

Neka su u(x) i v(x) dve diferencijabilne funkcije nezavisno promenjive x

Po pravilu izvoda proizvoda funkcija imamo da je

Neautorizovani tekst. 3

Metod parcijalne integracije

( ) ( ) 'd uv uv dx=( ) ( ' ' )d uv uv u v dx= +( ) ( ' ) ( ' )d uv u v dx v u dx= +( )d uv udv vdu= +

Integraljenjem predhodnog izraza

Neautorizovani tekst. 4

Metod parcijalne integracije

( ) d uv v du u dv =( ) u dv d uv v du=

( )( ) u dv d uv v du= ( )( ) u dv d uv v du=

udv uv v du= ili = dxvuuvdxvuIzrazi za parcijalnu integraciju

Primer: Reiti integral

Reenje:

sinu x dv x dx= =

sin sin ( cos ) ( cos )cos cos

cos sin

dv v vu u du

x x dx x x dx x x x dx

x x x dx

x x x C

= =

= +

= + +

cosdu dx v x= =

Metod parcijalne integracije

sinx x dxudv uv v du=

elja nam je da metodom parcijalne integracije dobijemo integral koji je jednostavniji nego poetni

U predhodnom primeru, startovali smo sa integralom

x sin x dx i izrazili smo ga preko jdnostavnijeg

integrala cos x dx.

Metod parcijalne integracije

Ako umesto predhodnog izaberemo da je u = sin x i dv = x dx , imamo da je du = cos x dx i v = x2/2.

Tako, metod parcijalne integracije daje:

Vidi se da je, x2cos x dx mnogo tei integral od integrala od kojega smo krenuli

221sin (sin ) cos

2 2x

x x dx x x dx=

Metod parcijalne integracije

Kao to moe da se vidi, kada biramo u i dv, obino pokuavamo da sauvamo da u = f(x) bude ona funkcija koja postaje jednostavnija kada se diferencira

Takoe, treba da budemo sigurni da dv = g(x) dxmoe lako da se integrie da bi se dobilo v.

Metod parcijalne integracije

Formula za parcijalnu integraciju je pravilo proizvoda za integraciju.

u je diferencijabilno do nule (obino).

v je lako za integraljenje

Izaberi u u ovom poretku: LIPET

Logs, Inverzna trig, Polinom, Exponencijalna, Trig

= dxvuuvdxvuMetod parcijalne integracije

Neautorizovani tekst. 9

Primer (I nain):

logaritam

LIPET dxxln

1=v

= dxvuuvdxvu

xu

1=

= dxvuuvdxvu

ln 1 lnx dx x x x c = +

xu ln=

xv =

1ln x x x dxx

Metod parcijalne integracije

Neautorizovani tekst. 10

Primer (II nain):

Metod parcijalne integracije

ln

ln

ln ln ln

xdx

u x dv dxdxdu v xx

xdx x x dx x x x C

= =

= =

= = +

Neautorizovani tekst. 11

udv uv v du= LIPET

Primer:

polinom kao faktor u x=

sinv x=

LIPET

sin 1sin x x x dx

dxxx cos

xv cos=

= dxvuuvdxvu

1=u = dxvuuvdxvu

cxxxdxxx ++= cossincos

Metod parcijalne integracije

Neautorizovani tekst. 12

This is still a product, so we need to use integration by parts again.

Primer:2

xx e dxLIPET

2u x=xv e=

u x=

xv e=

= dxvuuvdxvu

xu 2=

xev =

1=u

xev == dxxeex

xx 22

= dxxeexxx 22

( )2 2x x xx e xe e dx= 2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e C= + +

Metod parcijalne integracije

Neautorizovani tekst. 13

Primer:

Metod parcijalne integracije

x

x

x

x x x x x x

xe dx

u x dv e dxdu dx v e

e dx xe e dx xe e dx xe C

= =

= =

= = = +

Neautorizovani tekst. 14

udv uv v du= LIPET

Primer: Izraunaj integral

ex sinx dx

ex ne postaje jednostavnije kada se diferencira.

Ni sin x ne postaje jednostavnije kada se integrira

Metod parcijalne integracije

LIPET

uv vdu

xu e= sin dv x dx=xdu e dx= cosv x=

Integracija metodom parcijalne integracije daje:

sin cos cosx x xe x dx e x e x dx= +

Metod parcijalne integracije

Vidi se da integral koji smo dobili, excos x dx, nije jednostavniji nego poetni

Ali nije ni tei nego poetni integral

Na dobijeni integral opet emo primeniti parcijalnu integraciju

Metod parcijalne integracije

sin cos cosx x xe x dx e x e x dx= +

Na integral excos x primeniemo metod parcijalne integracije

Neautorizovani tekst. 18

LIPETuv vdu

xu e= cos dv x dx=xdu e dx= sinv x=

Metod parcijalne integracije

cos sin sinx x xe x dx e x e x dx=

cosxe x dx =

Na prvi pogled izgleda da nismo postigli nita Doli smo do integrala ex sin x dx, a to je

integral od kojega smo krenuli

Metod parcijalne integracije

cos sin sinx x xe x dx e x e x dx=

Ako stavimo dobijeni izraz za ex cos x dx u

dobijamo

Ovo moe da se posmatra kao jednaina ije reenje nam daje nepoznati integral

sin cos sin sinx x x xe x dx e x e x e x dx= +

Metod parcijalne integracije

sin cos cosx x xe x dx e x e x dx= +

Dodajui na obe strane ex sin x dx, dobija se:

odnosno reenje naeg integrala je

2 sin cos sinx x xe x dx e x e x= +

Metod parcijalne integracije

12sin (sin cos )x xe x dx e x x C= +

Slika prikazuje grafike funkcija f(x) = ex sin x iF(x) = ex(sin x cos x) iz naeg primera

Kao vezuelna potvrda naeg rada, moe

da se opazi da je f(x) = 0

kada F ima maksimum

ili minimum

Metod parcijalne integracije

Pojavljuje se poetni integral

cos xe x dxLIPET

uv vdu

2 cos sin cosx x xe x dx e x e x= +sin cos

cos 2

x xx e x e xe x dx C+= +

sin sinx xe x e xdx=

xu e= sin dv x dx=xdu e dx= cosv x=

xu e= cos dv x dx=xdu e dx= sinv x=

sin cos cos x x xe x e x e x dx= +

( )sin cos ( cos ) x x xe x e x e x dx=

Neautorizovani tekst. 23

uv v du

Primer:

Neautorizovani tekst. 24