Metod parcijalne integracije
Dr piro Gopevi
Metod parcijalne integracije se najee primjenjuje kada je podintegralna funkcija u obliku proizvoda
Ovaj metod je posledica pravila diferenciranjaproizvoda funkcija
Pravilo, koji odgovara pravilu diferenciranja proizvoda funkcija, zove se metod parcijalne integracije
Metod parcijalne integracije
Neautorizovani tekst. 2
Neka su u(x) i v(x) dve diferencijabilne funkcije nezavisno promenjive x
Po pravilu izvoda proizvoda funkcija imamo da je
Neautorizovani tekst. 3
Metod parcijalne integracije
( ) ( ) 'd uv uv dx=( ) ( ' ' )d uv uv u v dx= +( ) ( ' ) ( ' )d uv u v dx v u dx= +( )d uv udv vdu= +
Integraljenjem predhodnog izraza
Neautorizovani tekst. 4
Metod parcijalne integracije
( ) d uv v du u dv =( ) u dv d uv v du=
( )( ) u dv d uv v du= ( )( ) u dv d uv v du=
udv uv v du= ili = dxvuuvdxvuIzrazi za parcijalnu integraciju
Primer: Reiti integral
Reenje:
sinu x dv x dx= =
sin sin ( cos ) ( cos )cos cos
cos sin
dv v vu u du
x x dx x x dx x x x dx
x x x dx
x x x C
= =
= +
= + +
cosdu dx v x= =
Metod parcijalne integracije
sinx x dxudv uv v du=
elja nam je da metodom parcijalne integracije dobijemo integral koji je jednostavniji nego poetni
U predhodnom primeru, startovali smo sa integralom
x sin x dx i izrazili smo ga preko jdnostavnijeg
integrala cos x dx.
Metod parcijalne integracije
Ako umesto predhodnog izaberemo da je u = sin x i dv = x dx , imamo da je du = cos x dx i v = x2/2.
Tako, metod parcijalne integracije daje:
Vidi se da je, x2cos x dx mnogo tei integral od integrala od kojega smo krenuli
221sin (sin ) cos
2 2x
x x dx x x dx=
Metod parcijalne integracije
Kao to moe da se vidi, kada biramo u i dv, obino pokuavamo da sauvamo da u = f(x) bude ona funkcija koja postaje jednostavnija kada se diferencira
Takoe, treba da budemo sigurni da dv = g(x) dxmoe lako da se integrie da bi se dobilo v.
Metod parcijalne integracije
Formula za parcijalnu integraciju je pravilo proizvoda za integraciju.
u je diferencijabilno do nule (obino).
v je lako za integraljenje
Izaberi u u ovom poretku: LIPET
Logs, Inverzna trig, Polinom, Exponencijalna, Trig
= dxvuuvdxvuMetod parcijalne integracije
Neautorizovani tekst. 9
Primer (I nain):
logaritam
LIPET dxxln
1=v
= dxvuuvdxvu
xu
1=
= dxvuuvdxvu
ln 1 lnx dx x x x c = +
xu ln=
xv =
1ln x x x dxx
Metod parcijalne integracije
Neautorizovani tekst. 10
Primer (II nain):
Metod parcijalne integracije
ln
ln
ln ln ln
xdx
u x dv dxdxdu v xx
xdx x x dx x x x C
= =
= =
= = +
Neautorizovani tekst. 11
udv uv v du= LIPET
Primer:
polinom kao faktor u x=
sinv x=
LIPET
sin 1sin x x x dx
dxxx cos
xv cos=
= dxvuuvdxvu
1=u = dxvuuvdxvu
cxxxdxxx ++= cossincos
Metod parcijalne integracije
Neautorizovani tekst. 12
This is still a product, so we need to use integration by parts again.
Primer:2
xx e dxLIPET
2u x=xv e=
u x=
xv e=
= dxvuuvdxvu
xu 2=
xev =
1=u
xev == dxxeex
xx 22
= dxxeexxx 22
( )2 2x x xx e xe e dx= 2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e C= + +
Metod parcijalne integracije
Neautorizovani tekst. 13
Primer:
Metod parcijalne integracije
x
x
x
x x x x x x
xe dx
u x dv e dxdu dx v e
e dx xe e dx xe e dx xe C
= =
= =
= = = +
Neautorizovani tekst. 14
udv uv v du= LIPET
Primer: Izraunaj integral
ex sinx dx
ex ne postaje jednostavnije kada se diferencira.
Ni sin x ne postaje jednostavnije kada se integrira
Metod parcijalne integracije
LIPET
uv vdu
xu e= sin dv x dx=xdu e dx= cosv x=
Integracija metodom parcijalne integracije daje:
sin cos cosx x xe x dx e x e x dx= +
Metod parcijalne integracije
Vidi se da integral koji smo dobili, excos x dx, nije jednostavniji nego poetni
Ali nije ni tei nego poetni integral
Na dobijeni integral opet emo primeniti parcijalnu integraciju
Metod parcijalne integracije
sin cos cosx x xe x dx e x e x dx= +
Na integral excos x primeniemo metod parcijalne integracije
Neautorizovani tekst. 18
LIPETuv vdu
xu e= cos dv x dx=xdu e dx= sinv x=
Metod parcijalne integracije
cos sin sinx x xe x dx e x e x dx=
cosxe x dx =
Na prvi pogled izgleda da nismo postigli nita Doli smo do integrala ex sin x dx, a to je
integral od kojega smo krenuli
Metod parcijalne integracije
cos sin sinx x xe x dx e x e x dx=
Ako stavimo dobijeni izraz za ex cos x dx u
dobijamo
Ovo moe da se posmatra kao jednaina ije reenje nam daje nepoznati integral
sin cos sin sinx x x xe x dx e x e x e x dx= +
Metod parcijalne integracije
sin cos cosx x xe x dx e x e x dx= +
Dodajui na obe strane ex sin x dx, dobija se:
odnosno reenje naeg integrala je
2 sin cos sinx x xe x dx e x e x= +
Metod parcijalne integracije
12sin (sin cos )x xe x dx e x x C= +
Slika prikazuje grafike funkcija f(x) = ex sin x iF(x) = ex(sin x cos x) iz naeg primera
Kao vezuelna potvrda naeg rada, moe
da se opazi da je f(x) = 0
kada F ima maksimum
ili minimum
Metod parcijalne integracije
Pojavljuje se poetni integral
cos xe x dxLIPET
uv vdu
2 cos sin cosx x xe x dx e x e x= +sin cos
cos 2
x xx e x e xe x dx C+= +
sin sinx xe x e xdx=
xu e= sin dv x dx=xdu e dx= cosv x=
xu e= cos dv x dx=xdu e dx= sinv x=
sin cos cos x x xe x e x e x dx= +
( )sin cos ( cos ) x x xe x e x e x dx=
Neautorizovani tekst. 23
uv v du
Primer:
Neautorizovani tekst. 24