Embed Size (px)
Citation preview
639Und. 11 Geometría Analítica
11.3.1. La Parábola
11.3.1A. DefiniciónSe llama parábola al lugar geométrico de puntos P que equidistan de un punto fijo F y de una
recta fija d del plano.
11.3.1B. Construcción de la parábolaPara dibujar una parábola necesitamos una escuadra y un
hilo que tenga la misma longitud que uno de sus catetos.
Fijamos un punto F y una recta d. Un extremo del hilo, delongitud HG, se fija en el vértice G de la regla correspondiente alángulo no recto del cateto, cuya longitud debe coincidir con ladel hilo, y el otro extremo en F. El otro cateto de la escuadra seapoya en la recta fija d. Con un lápiz tensamos el hilomanteniéndolo pegado al cateto al mismo tiempo deslizamos laescuadra a lo largo de la recta fija, de esta forma se dibuja laparábola. Debe observarse que: PH = PF.
11.3.1C. Elementos de la parábolaC1. FocoEs el punto fijo «F» que sirve de primera referencia para medirlas distancias de un punto «P» de la parábola.
C2. Directriz Es la recta fija «d» que sirve de segunda referencia para medirlas distancias de un punto «P» de la parábola.
Cuando las organizaciones de vuelos espacia-les desean poner en órbita un satélite deben lan-zarlos con una velocidad aproximada de 8 km/s.Pero cuando quieren que salga de la órbita terres-tre deben lanzarlo con una velocidad 8 2 km/s yla trayectoria resulta ser una hipérbola. Fig. (a).
Pero no hay que ir tan lejos para comprobar quelas hipérbolas aparecen en muchas situaciones rea-les, por ejemplo la intersección del plano de unapared y el cono de luz que emana de una lámpara demesa con pantalla troncocónica, es una hipérbolatal como se puede apreciar en la imagen. Fig. (b).
641Und. 11 Geometría Analítica640 Trigonometría
El foco está en F(0; p) y la ecuación de la directriz es D : y = -p. Si p > 0, la parábola se abre haciaarriba (Fig. c), si p < 0, hacia abajo (Fig. d).
El término p se llama parámetro de la parábola. En cualquier caso la distancia de la directriz alvértice y la distancia del vértice al foco son iguales a |p|. Asimismo la longitud del lado recto seobtiene haciendo en (1) x = p, o, y = p en (2), obteniéndose en cualquier caso: LL’ = |4p|.
Observación.- Algunos autores definen p > 0 y consideran los siguientes casos:
y2 = 4px ; y2 = -4px ; x2 = 4py ; x2 = -4py
Ejemplo 1.- Las siguientes son parábolas cuyos ejes están en el eje de abscisas:
Ejemplo 2.- Las siguientes son parábolas cuyos ejes están en el eje de ordenadas:
C3. EjeSe llama eje de la parábola a la recta FD que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.
C4. VérticeSe llama vértice al punto medio V del segmento FD y que está definido por la intersección del ejecon la parábola.
C5. CuerdaSe llama cuerda al segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
C6. Cuerda focalSe llama cuerda focal a toda cuerda PP’ que pase por el foco.
C7. Lado rectoSe llama lado recto a la cuerda focal LL’ que es perpendicular al eje.
C8. Radios focalesSe llaman radios focales de P y P’ a los segmentos FP y FP’ respectivamente.
11.3.2. Ecuación de la Parábola11.3.2A. Forma reducida
La ecuación de la parábola toma su forma más reducida o simple cuando el vértice está en elorigen y el eje coincide con uno de los ejes coordenados.
A1. Vértice en el origen y eje en el eje xSi el vértice está en el origen y el eje coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es:
y2 = 4px . . . (1)
El foco está entonces en F(p; 0) y en tal caso la ecuación de la directriz es d: x = -p. Si p > 0, laparábola se abre hacia la derecha (Fig. a); si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda (Fig. b).
A2. Vértice en el origen y eje en el eje ySi el vértice está en el origen y el eje coincide con el eje y, la ecuación de la parábola es:
x2 = 4py . . . (2)
643Und. 11 Geometría Analítica642 Trigonometría
11.3.3. La Hipérbola
11.3.3A. DefiniciónSe llama hipérbola al lugar geométrico de puntos P de un plano tales que la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos F y F’ del mismo plano es constante.
11.3.3B. Construcción de la hipérbolaPara dibujar una rama de hipérbola necesitamos una
regla de longitud L > FF’ y un hilo que tenga una longitudl tal que L – l = 2a, siendo 2a la cantidad constante.
Fijamos un extremo de la regla en el punto F’. Un extremodel hilo se fija en D, extremo libre de la regla, y el otro en F.
Teniendo tenso el hilo a lo largo de la regla y haciendogirar a ésta alrededor de F’, el punto P describirá un arcode hipérbola. Debe observarse que para cualquier posiciónde P se verifica que:
F’P + PD = L, FP + PD = l, tal que: F’P – FP = 2a.
Obsérvese que el conjunto de puntos consta de dos ramas distintas, ambas infinitas.
11.3.3C. Elementos de la hipérbolaC1. FocosSon los puntos fijos F y F’ que sirven de primerasreferencias para medir las distancias de un puntoP de la hipérbola.
C2. CentroEs el punto medio C del segmento FF’ que une losfocos.
C3. VérticesSon los puntos V y V’ en los que el segmento FF’,que une los focos, corta la hipérbola.Las distancias entre los vértices y los focos estánrelacionadas por:
FP – F’P = VV’
C4. Eje transversoEl segmento VV’ determinado sobre la recta FF’ se llama eje transverso o real.
C5. Eje conjugadoEs el segmento perpendicular al eje transverso que lo intersecta en el punto medio del segmento VV’.Para designar al eje conjugado basta indicar un segmento de longitud BB’ con la condición de quesu punto medio C coincida con el punto medio del segmento VV’.
11.3.2B. Forma trasladadaCuando el vértice de la parábola se ubica en V(h; k) y su eje es paralelo a uno de los ejes
coordenados, pueden presentarse los siguientes casos.
a) Eje paralelo al eje x: (y - k)2 = 4p(x - h) , Foco: F(h; k + p), Directriz: x = h - p
b) Eje paralelo al eje y: (x - h)2 = 4p(y - k) , Foco: F(h; k + p), Directriz: y = k - p
La distancia de la directriz al vértice, la distancia de los vértices al foco y la longitud del ladorecto son las mismas que las dadas en el ítem anterior.
La ecuación de la parábola suele darse mediante la expresión: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0,donde, A y B no son nulos a la vez.
Ejemplo.- Tracemos el gráfico y obtengamos las coordenadas del vértice y el foco, las ecuacionesdel eje y de la directriz, y la longitud del lado recto de la parábola:
y2 – 6y + 8x + 41 = 0
Empecemos expresando la ecuación en la forma:
(y – 3)2 = -8(x + 4)
Obsérvese que 4p = -8 por lo que la parábola seabre hacia la izquierda. Identificamos el vérticeen V(-4; 3), y el eje por V es paralelo al eje x.
Para situar el foco, nos desplazamos, por el eje ydesde el vértice hacia la izquierda, una distancia|p| = 2, esto es, hasta el punto F(-6; 3).
Para situar la directriz, nos desplazamos, por eleje y desde el vértice hacia la derecha, una dis-tancia |p| = 2, esto es, hasta D(-2; 3). La directrizpasa por D tiene por ecuación: x + 2 = 0.
Asimismo el lado recto LL’ mide: |4p| = 8.
Por último, mediante los puntos L, L’ y V se puede bosquejar la parábola tal como se muestra en lafigura adjunta.
645Und. 11 Geometría Analítica644 Trigonometría
d) Los focos están sobre el eje transverso en F’(-c; 0) y F(c; 0)
e) En el OBV se verifica que: 2 2c a b
A2. Centro en el origen y eje transverso en el eje ySi el centro está en el origen y el eje transverso sobre el eje y, la ecuación de la hipérbola es:
2 2
2 2 1y xa b
. . . (2)
Luego de identificar las raíces cuadradas de los denomi-nadores se tiene que:
a) Los vértices están en V(0; a) y V’(0; -a).
b) La longitud del eje transverso es V’V = 2a.
c) Los extremos del eje conjugado son B’(-b; 0) y B(b; 0) y sulongitud es B’B = 2b.
d) Los focos están sobre el eje transverso en F(0; c) y F’(0; -c).
e) Y en el OBV se verifica que: 2 2c a b
Observaciones:
1) En ambos casos, la longitud del lado recto es:
22' bLL a
2) La excentricidad está dada por:2 2a bce a a
3) Las directrices son perpendiculares al eje transverso y respecto del centro, están ubicadas a lasdistancias:
2a ad c e
Ejemplo.- Las siguientes son hipérbolas en la que se indican sus dos ejes:
C6. CuerdaEs todo segmento cuyos dos extremos están sobre la hipérbola, ambos en una misma rama o endistintas ramas.
C7. Cuerda focalEs aquella cuerda cuyos dos extremos pertenecen a una misma rama y que pasa por el foco de lamisma rama de la hipérbola.
C8. Lado rectoSe llama lado recto de la hipérbola a la cuerda focal LL’ que es perpendicular al eje transverso.
C9. DirectricesSon aquellas rectas d y d’ ubicadas entre las ramas de la hipérbola respecto de las cuales la razónde las distancias de todo punto P a ellas y a los focos F y F’ es constante.
FP F'PPD PD' = constante
El punto fijo es un foco F o F’ y la recta fija d o d’ es una directriz.
C10. ExcentricidadSe llama así a la razón e > 1 de las distancias medidas desde un punto a los focos y a lasdirectrices.
La excentricidad es también la razón que existe entre las distancias del centro C al foco F y delcentro al vértice V de la misma rama.
FP F'P CFPD PD' CVe
11.3.4. Ecuación de la Hipérbola
11.3.4A. Forma reducidaLa ecuación de la hipérbola toma su forma más reducida o simple cuando su centro es el
origen y su eje transverso está sobre un eje coordenado.
A1. Centro en el origen y eje transverso en el eje «x»Si el centro está en el origen y el eje transverso sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es:
yx
a b
22
2 2 1 . . . (1)
A partir de las raíces cuadradas de los respectivosdenominadores: a y b, se determinan:
a) Los vértices en V(a; 0) y V’(-a; 0)
b) El eje transverso es V’V = 2a.
c) Los extremos del eje conjugado son B’(0; -b)y B(0; b) y su longitud es B’B = 2b.
647Und. 11 Geometría Analítica646 Trigonometría
11.3.5. Asíntotas de la Hipérbola
Se llaman así a las rectas que tienen la propiedad de que la distancia de un punto de lahipérbola a una de ellas tiende a cero cuando el punto se aleja indefinidamente del centro.
La ecuación de las asíntotas son:
a) Para hipérbolas del tipo (1): by xa Fig (a)
b) Para hipérbolas del tipo (2): bx ya Fig (b)
Si las hipérbolas tienen su centro en un punto tal como C(h; k), la pendiente de las asíntotas nocambian, es decir son como aquí la hemos presentado.
Ejemplo.- Determinar las asíntotas de la hipérbola del ejemplo anterior.
De la ecuación de la hipérbola:
yx
22 13 04 25
Se puede deducir que a = 2 y b = 5. A partir de ello sepuede aplicar la fórmula de las asíntotas:
Pendientes: ±b/a = ±5/2
Luego las ecuaciones son: y – 1 = ±5/2(x + 3)
Es decir: 5x - 2y + 17 = 0 5x + 2y + 13 = 0
11.3.4B. Forma trasladadaCuando el centro está en C(h; k) y el eje transverso es paralelo respectivamente al eje x o al eje y,
la ecuación de la hipérbola tiene una de las siguientes formas:
a) Eje paralelo al eje x: 22
2 2 1y kx h
a b
b) Eje paralelo al eje y: 2 2
2 2 1y k x h
a b
Los ejes transverso y conjugado, la distancia entre focos, la distancia del centro a una direc-triz, la longitud del lado recto y la excentricidad se determinan como en el caso anterior.
Ejemplo.- Determinemos el centro, vértices y focos; ejes transverso y conjugado; lado recto, la
excentricidad y las ecuaciones de las directrices y asíntotas de la hipérbola yx
22 13 14 25y graficarla.
El centro está en C(-3; 1). Como a2 está en eltérmino positivo del primer miembro de laecuación, se logra establecer que: a2 = 4 y b2 = 25;luego: a = 2 y b = 5.
El eje transverso es paralelo al eje «x» porque lavariable x está en el término positivo. Para si-tuar los vértices se toman sobre el eje transversodos puntos distantes a = 2 del centro «C», queson V(-1; 1) y V’(-5; 1). Para situar los extremosdel eje conjugado se toma en la perpendicular aleje transverso una distancia b = 5 del centro lospuntos B’(-3; -4) y B(-3; 6).
Los ejes transverso y conjugado tienen longitu-des 2a = 4 y 2b = 10, respectivamente.
La distancia del centro a un foco es: c a b2 2 4 25 29
Para situar los focos, se toman sobre el eje transverso a partir del centro dos puntos a distanciac 29 , que son F(-3 + 29 ; 1) y F’(-3 - 29 ; 1).
La cuerda perpendicular al eje mayor por un foco es 2b2/a = 25. Las coordenadas de sus extre-mos son (-3 + 29 ; 27/2) y (-3 + 29 ; -23/2) para la que pasa por F, ya que F es su punto medio;y(-3 - 29 ; 27/2) y (-3 - 29 ; -23/2) para la que pasa por el foco F’.
La excentricidad está dada por: e c a/ 29 /2
La distancia del centro a una directriz es a2/c = 4/ 29 = 4 29 /29. Como las directrices sonperpendiculares al eje transverso, sus ecuaciones son d : x = -3 + 4 29 /29 y d : x = -3 - 4 29 /29.
648 Trigonometría 649Und. 11 Geometría Analítica
01.- Completar el siguiente cuadro, anotando en «E»el eje coordenado en donde se ubica el eje de la pará-bola, en «F» anotar las coordenadas de su foco, en«d» escribir la ecuación de su directriz y en LL’ anotarla longitud de su lado recto.
Parábola dFE LL'
02.- Dadas las siguientes gráficas de parábolas, sepide indicar las coordenadas del foco (F), la longituddel lado recto (LL’) y la ecuación de la directriz (d):
a.
b.
c.
d.
03.- Dadas las ecuaciones de cuatro parábolas:
A : x2 – 6x + 8y + 25 = 0
B : y2 – 16x + 2y + 49 = 0
C : x2 – 2x – 6y – 53 = 0
D : y2 + 20x + 4y – 60 = 0
Se pide determinar y escribir las coordenadas del vér-tice (V) y el foco (F), las ecuaciones del eje (E).
Parábola EFV
04.- Del ejercicio anterior se pide vincular el lado rectoLL’ de la parábola con la ecuación de su correspon-diente directriz:
a. 8 i. x + 1 = 0
b. 20 ii. 2y + 21 = 0
c. 16 iii. y = 0
d. 6 iv. 5x – 41 = 0
05.- Dadas las siguientes ecuaciones de hipérbolas:
A.22 yx 19 4
B.2 2y x 14 25
C. 2 29x 25y 225
D. 2 29y 16x 144
11.3.6. Hipérbolas Equiláteras
Las hipérbolas de ecuaciones x2 - y2 = a2 y y2 - x2 = a2 cuyos ejes transversos y conjugados tienenigual longitud 2a se llaman hipérbolas equiláteras.
Como sus asíntotas x ± y = 0 son perpendiculares entre sí, la hipérbola equilátera se suelellamar también rectangular.
El caso (c) es el de la hipérbola simétrica que se le ha hecho rotar 45º respecto de sus posicionesanteriores. En su ecuación, el término «k» es una constante.
Ejemplo.- Las siguientes son hipérbolas simétricas:
Observación.- Dos hipérbolas tales que el ejetransverso de la una es el conjugado de la otra,
como las yx
22116 9 y
y x2 2
19 16 , se llaman hi-
pérbolas conjugadas, y se dice que cada una es con-jugada de la otra.
Dos hipérbolas conjugadas tienen, pues, elmismo centro y las mismas asíntotas.
Sus focos están sobre un círculo cuyo centro esel centro común de ambas hipérbolas.
651Und. 11 Geometría Analítica650 Trigonometría
PARÁBOLA
Prob. 01
Determina la ecuación de la parábola cuyo vérti-ce está en el origen de coordenadas. Además sesabe que ella está situada en el semiplano dere-cho, es simétrica con respecto al eje Ox y suparámetro es p = 3.
De la información que nos dan en el enuncia-do, deducimos que la ecuación de la parábolaP tiene la forma: y2 = 4px
Y como: p = 3 P: y2 = 12x
Ahora, la gráfica de la parábola será como semuestra en la figura:
Prob. 02
Determina el valor del parámetro y la posición deparábola y2 = -4x con respecto a los ejes coorde-nados.
La ecuación y2 = -4x corresponde a una parábolade vértice en el origen de coordenadas cuyo ejeestá en el eje x, y cuyo parámetro se obtiene de:4p = -4, es decir: p = -1.El signo del parámetro (-1), nos indica que la
parábola se abre hacia la izquierda, como semuestra en la siguiente gráfica:
Prob. 03
Calcula la ecuación de la parábola cuyo vérticeestá en el origen de coordenadas, sabiendo que laparábola es simétrica con respecto al eje Ox, ypasa por el punto A(9; 6)
De la información deducimos que la ecuaciónde la parábola tiene la forma: y2 = 4px
Si el punto A(9; 6) pertenece a la parábola P,entonces debe satisfacer la ecuación. Luego,reemplazamos las coordenadas y calculamosel parámetro p, así:
2 24 6 4 9 1y px p p
Finalmente, la ecuación de la parábola es:
P: y2 = 4x
Prob. 04
Un cable de acero está colgado por los dos extre-mos. Los puntos de suspensión están situados auna misma altura y a una distancia de 20 m. Lamagnitud de flexión a la distancia de 2 m de lospuntos de suspensión en sentido horizontal, esigual a 14,4 cm. Determina la magnitud de sus-pensión de este cable en su punto medio (la fle-cha), suponiendo que el cable tiene la forma de unarco de parábola.
Se pide completar el siguiente recuadro anotando en«E» el eje coordenado en donde se ubica el ejetransverso, en V y V’ sus vértices, en F y F’ sus focos:
F'V'VE F
06.- Del ejercicio anterior vincular el lado recto de lahipérbola con su correspondiente excentricidad ubica-da en la columna de la derecha:
a. 25 i. 3 138
b. 8/3 ii. 5/4
c. 9/2 iii. 345
d. 4/5 iv. 292
07.- Del ejercicio anterior, determinar las ecuaciones delas directrices d y d’, así como la de sus asíntotas T y T’.
Hipérbola d' T'd T
08.- Dadas las hipérbolas:
a. 9x2 – 25y2 – 36x – 150y – 41y = 0
b. 9x2 – 4y2 + 54x + 16y – 79 = 0
c. x2 – 4y2 + 6x + 16y – 11 = 0
d. 144x2 – 25y2 – 576x + 200y + 3776 = 0
Escribir en los recuadros las coordenadas de sus cen-tros (C), vértices (V y V’) y focos (F y F’).
V' F'VC F
09.- Del ejercicio anterior se pide vincular cada ejetransverso (VV’) con su correspondiente lado recto (LL’)de la columna de la derecha:
a. 14 i. 5 / 2
b. 6 ii. 25/6
c. 4,2 iii. 10
d. 24 iv. 8/3
10.- Anotar la excentricidad de cada una de las hipér-bolas del ejercicio anterior:
a. e =
b. e =
c. e =
d. e =
653Und. 11 Geometría Analítica652 Trigonometría
En la figura observamos que el parámetro p = 7,entonces la ecuación de la parábola tiene la forma:
y2 = -4px P: y2 = -28x
Prob. 08
Calcula la ecuación de la parábola, sabiendo quesu vértice coincide con el punto (; ), el paráme-tro es igual a «p», el eje es paralelo al eje Oy, y laparábola se prolonga indefinidamente en la di-rección positiva del eje Oy (es decir, la parábolaes ascendente).
Nos informan que el eje focal es paralelo al eje«y», de vértice (; ), parámetro «p» y se abrehacia arriba, luego se trata de una parábolacuya ecuación tiene la siguiente forma:
P: (x – h)2 = 4p(y – k)Reemplazando datos:
P: (x – )2 = 4p(y – )
Prob. 09Se da la ecuación de una parábola: y2 = 4x – 8 calcu-la las coordenadas de su vértice «V», la magnitud delparámetro «p» y la ecuación de la directriz.
Transformamos la ecuación de la parábola asu forma ordinaria, así:
2 20 4 2 4y x y k p x h
Por comparación las coordenadas del vértice«V» son: V(h; k) = V(2; 0).
Asimismo el valor del parámetro «p» es:
4p = 4 p = 1
Por lo tanto se trata de una parábola con ejefocal paralelo al eje «x» que se abre hacia laderecha. Con esta información graficamos laparábola y ubicamos la posición de su direc-triz y por consiguiente su ecuación.
Prob. 10
La ecuación de una parábola es y = 4x2 - 8x + 7,calcula las coordenadas de su vértice V y la mag-nitud del parámetro p.
Para determinar las coordenadas del vértice«V» y el parámetro «p», transformamos la ecua-ción dada completamos cuadrados así:
24 8 7y x x
2
2
4 2 1 1 7
1
y x x
x
2 211 3 44x y x h p y k
Por comparación obtenemos las coordenadasdel vértice «V», así tenemos: V(h; k) = V(1; 3).Ahora, para el parámetro «p», tenemos:
4p = 1/4 p = 1/16
Prob. 11
Determina la ecuación de la parábola, si se dansu foco F(7; 2) y la directriz x - 5 = 0.
Sea P(x; y) un punto cualquiera de la parábola,para determinar su ecuación aplicamos la de-
Uniformizamos las medidas expresando todoslos datos en centímetros. Elaborando una figu-ra para visualizar las condiciones del proble-ma indicando con V el punto medio, se tiene:
El cable de acero tiene por ecuación: x2 = 4py
Los puntos A(1000; h) y B(800; h - 14,4) pertene-cen a la parábola, por lo tanto, deben satisfacerla ecuación:
21000 4ph 2800 4 14,4p h
Dividiendo las dos ecuaciones y simplifican-do, obtenemos:
2516 14,4
hh 40h cm
Finalmente, la magnitud de suspensión (h) deeste cable en su punto medio es 40 cm.
Prob. 05
Calcula el foco «F» y la ecuación de la directrizde la parábola y2 = 24x.
Comparamos las ecuaciones:
y x y px2 224 4
Luego: 4 24 6p p
Se trata entonces de una parábola de eje focalen el eje «x», que se abre hacia la derecha.
Ahora elaboramos el gráfico correspondientepara esquematizar la parábola:
Del gráfico, notamos que las coordenadas delfoco son: F(p; 0) = F(6; 0) y la ecuación de ladirectriz es: x = -p.
d: x = -6
Prob. 06
Determina el radio focal del punto «M» de la pa-rábola y2 = 12x, si la ordenada de este punto esigual a 6.
Sean (xm; 6) las coordenadas del punto «M»que pertenece a la parábola, luego al reempla-zar en la ecuación y2 = 12x, obtenemos M(3; 6).
Ahora, calculamos el parámetro p, así:
4p = 12 p = 3Luego, las coordenadas del foco de esta pará-bola, cuyo eje focal está en el eje «x», tiene laforma: F(p; 0) = F(3; 0).Finalmente, calculamos el radio focal FM, así:
2 2FM 3 3 0 6 FM 6
Prob. 07
Determina la ecuación de la parábola, si se da elfoco F(-7; 0) y la ecuación de la directriz x - 7 = 0.
Si la ecuación de la directriz es x = 7 y las coor-denadas del foco F(-7; 0), entonces se trata deuna parábola cuyo eje focal es el eje «x» y convértice en el origen de coordenadas, abriéndo-se hacia la izquierda.
655Und. 11 Geometría Analítica654 Trigonometría
Prob. 14
Determinar, en los casos siguientes, la posiciónrelativa de la recta y la parábola: si la corta, sies tangente o pasa por fuera de ella:
x - y + 2 = 0 ; y2 = 8x
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
22 0 8x y y xLuego, reemplazamos y = x + 2 en y2 = 8x
De donde obtenemos la ecuación cuadrática:
2 4 4 0x x
Ahora, analizando su discriminante
24 4 1 4 0
Si el 0 , entonces tiene una única solución,es decir: 2 24 4 0 2 0x x x
x = 2 y = 4
Luego, el único punto de intersección es (2; 4),por lo tanto la recta L: x - y + 2 = 0 es tangente ala parábola P: y2 = 8x
Prob. 15
Calcula la ecuación de la tangente a la parábolay2 = 4px en su punto M1(x1; y1)
La ecuación de la recta tangente a la parábolaque pasa por 1 1 1M ;x y es:
1 1 ....(1)y y m x x
1
1 11
1y ym x y mx yx x m
Luego, reemplazamos en: 2 4y px
De lo que se obtiene: 21 1
4py y mx ym
Expresándolo de otro modo, tenemos:
21 14 4 0my py p y mx
Ahora, para que la recta sea tangente a la parábo-la se debe cumplir que su discriminante sea iguala cero:
21 14 4 4 0p pm y mx
21 1 0x m y m p
Despejando m se tiene:
21 1 1
1
4....(2)2
y y pxm x
Pero 1 1 1M ;x y pertenece a la parábola
2 4y px por lo tanto debe satisfacer la ecua-
ción: 21 14y px
Reemplazando en (2), obtenemos: 1
12y
m x
Pero: 21
1
24 py px m y
Ahora, reemplazando en (1), tenemos:
1 11
2py y x xy 1 12y y p x x
Prob. 16
Determina la ecuación de la recta que es tangentea la parábola x2 = 16y, y perpendicular a la recta2x + 4y + 7 = 0
Si: T T: 2 4 7 0 2L L x y m
Ahora, la ecuación de la tangente será de laforma: T : 2L y x k
Reemplazando en 2 16x y tenemos:
2 216 2 32 16 0x x k x x k
Para que la recta sea tangente, entonces su dis-criminante debe ser cero, así:
232 4 1 16 0 16k k
Luego, reemplazando en LT tenemos:
LT: y = 2x - 16
finición de parábola: «la distancia de P al focoF es igual a la distancia de P a la directriz» .Luego del gráfico tenemos:
Luego se cumple: PF = PD
227 2 5x y x
Elevando al cuadrado y reduciendo resulta:
21 74x y y
Completando cuadrados, obtenemos:
22 4 6y x
Como la parábola se abre hacia la izquierda leagregamos el signo (–) al 2do miembro:
P: (y – 2)2 = -4(x – 6)
Prob. 12
Dado el vértice de una parábola V(6; -3) y la ecua-ción de su directriz: 3x – 5y + 1 = 0, calcula elfoco de esta parábola.
Nos apoyamos de la siguiente gráfica:
Para determinar las coordenadas del foco «F»,bastará con determinar las coordenadas delpunto «D», siendo este punto la intersecciónde las rectas, directriz y el eje focal.
Observa que d EF
, luego obtenemos:
: 3 5 1 0d x y
EF : 5 3 21 0x y
Las soluciones de este sistema de ecuacionesson las coordenadas del punto «D», esto es:
D(x; y) = D(3; 2)
De la figura, extraemos el siguiente segmento:
donde «V» es punto medio de FD, entonces:
3 6 92a a
2 3 82b b
La coordenada del foco es F(9; -8)
Prob. 13
Determina los puntos de intersección de la rectax + y - 3 = 0 y la parábola x2 = 4y.
Para determinar los puntos de intersección sim-plemente resolveremos el sistema de ecuaciones:
L: x + y - 3 = 0 P: x2 = 4y
Luego, reemplazamos y = 3 – x en la ecuaciónde la parábola P, de lo que obtenemos:
2 4 12 0x x6x2x
x = -6 y = 9
x = 2 y = 1
Los puntos de intersección son:(2; 1) y (-6; 9)
657Und. 11 Geometría Analítica656 Trigonometría
HIPÉRBOLA
Prob. 20
Determinar la ecuación de la hipérbola cuyos fo-cos están situados en el eje de abscisas y son simé-tricos con respecto al origen de coordenadas, sa-biendo, además, que sus ejes son 2a = 10 y 2b = 8
Si los focos están en el eje x, entonces se trata deuna hipérbola cuyo eje transverso, también estásituado en el mismo eje y tiene por centro el ori-gen de coordenadas, por lo tanto la ecuación deesta hipérbola tiene la forma:
22
2 2H : 1 ....(*)yxa b
Como: 2a = 10 a = 5 y 2b = 8 b = 4
Luego: c a b c c2 2 2 2 2 25 4 41
Reemplazando a y b en (*) obtenemos la ecuación:22
H : 125 16yx
La gráfica de esta hipérbola es:
Prob. 21
Determinar los puntos de intersección de la hipér-
bola 22 yx 120 5
y de la parábola y2 = 3x.
Para determinar los puntos de intersección dela hipérbola y la parábola de ecuaciones:
yx
22H : 120 5
y x2P : 3
resolvemos el sistema de ecuaciones, obtenien-do un único valor de x, es decir: x = 10. Al reem-plazar en: y2 = 3x y 30
Finalmente los puntos de intersección son:
10; 30 y 10; 30
Prob. 22
Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán situados en el eje de abscisas y son simétricoscon respecto al origen de coordenadas, sabiendo,además que el eje 2a = 16 y la excentricidade = 5/4
Como lo hicimos anteriormente, si los focos es-tán en el eje x, entonces su eje transverso tam-bién está situado en el mismo eje y tiene porcentro el origen de coordenadas. Ahora, calcu-lamos a, b y c sabiendo que la excentricidad es5/4, entonces:
b c a b c2 2 2 2 2 210 8 10
Aplicando b c a2 2 2 se tiene:
b b2 2 210 8 6
Finalmente, la ecuación de la hipérbola es:
yx
a b
22
2 2H : 1 22
H : 164 36yx
Prob. 23
Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán situados en el eje de abscisas y son simétri-cos con respecto al origen de coordenadas, sa-biendo, además, las ecuaciones de las asíntotas
4y x3 y la distancia entre los focos 2c = 20.
Según datos del problema, podemos deducirque se trata de una hipérbola de eje transversoen el eje «x» y de centro en el origen. Ahora,calculamos a, b y c. Empezamos del dato:
2c = 20 c = 10
Prob. 17
Sabiendo que la ecuación de la recta tangente a
una parábola y2 = 4px, está dada por: py mx m ,
determina en la parábola y2 = 64x el punto M máspróximo a la recta 4x + 3y - 14 = 0 y calcula ladistancia «d» del punto M a esta recta.
Determinamos la ecuación de la tangente a la pa-rábola y2 = 64x paralela a la recta 4x + 3y - 14 = 0
De estas ecuaciones deducimos la pendientede la tangente y el parámetro de la parábola:
m = - 4/3 p = 16
Aplicando la propiedad: T : pL y mx mLuego, reemplazando datos se tiene:
T4 16: 3 4
3L y x T : 4 3 36 0L x y
Las coordenadas del punto M son las solucio-nes del sistema de ecuaciones formado por:
T : 4 3 36 0L x y 2P: 64y x
M ; M 9; 24x y
Luego, la distancia d de M a L lo calculamosasí: M(9; -24) L: 4x + 3y - 14 = 0
2 2
4 9 3 24 144 3
d d = 10
Prob. 18
Si se trazan rectas tangentes desde un puntoP0(x0; y0) a una parábola de la forma y2 = 4px, laecuación de la cuerda de contacto está dada por:
0 02y y p x x
Desde el punto P0(-3; 12) se han trazado tangen-tes a la parábola y2 = 10x, calcula la distancia«d» del punto «P» a la cuerda de la parábola queune los puntos de contacto.
Aplicando la propiedad dada para determinarla cuerda de contacto, tenemos:
P0 = (-3; 12) P: y2 = 10x 4p = 10 p = 5/2
Reemplazando datos en la ecuación de la cuerda:
L yC : 12 2 52 x 3 L x yC : 5 12 15 0
Ahora calculamos la distancia «d» del puntoP0(-3; 12) a la cuerda de contacto:
d2 2
5 3 12 12 155 12
17413d
Prob. 19
Demostrar que dos parábolas que tienen un ejecomún y un foco común, situados entre sus vérti-ces, se cortan formando un ángulo recto.
Graficamos según condición del problema:
Obsérvese que el ángulo que forman dos pará-bolas en el punto de intersección está definidopor el ángulo que forman sus tangentes en estepunto.Ahora, MM’ es el lado recto para las dos pará-bolas, la cual verifica la siguiente propiedad:«La pendiente de la tangente a una parábolaen un extremo del lado recto siempre es 1 ó -1»
Para LT su pendiente mT = -1
Para L’T su pendiente m’T = 1
Y como mT = m’T entonces LT y L’T son perpen-diculares, es decir forman un ángulo de 90º.
659Und. 11 Geometría Analítica658 Trigonometría
Transformamos a la ecuación ordinaria:
y xy x
2 22 216 9 144 19 16Se trata de una hipérbola de centro en el origende coordenadas y de eje transverso en el eje «y».
Ahora calculamos a, b y c:
y yx x
b a
2 22 2
2 21 19 16
a a b b2 216 4 9 3
c a b c c2 2 2 2 16 9 5
a) Las coordenadas de los focos de esta hipér-bola son: F1(0; 5) y F2(0; -5).
b) Las ecuaciones de las directrices de esta hi-
pérbola, tienen la forma: ay c2
Reemplazando a = 4 y c = 5, obtenemos: 165y
Prob. 28
Calcular el área del triángulo formado por las
asíntotas de la hipérbola: 22 yx 14 9
y la recta
9x + 2y - 24 = 0.
Una técnica para determinar las ecuaciones delas asíntotas es la siguiente:
De: yx
2214 9
, hacemos: 22
04 9yx
302 3 2 3 2y yx x y x
El triángulo se determina intersectando las tresrectas:
A A'3 3: ; : ; 9 2 24 02 2L y x L y x L x y
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtene-mos las coordenadas de los siguientes vértices:
(0; 0), (2; 3) y (4; -6)
El área (S) del triángulo se obtiene calculandoel determinante de la matriz:
0 04 612 320 0
S
2S = 12 – (-12) S = 12 u2
Prob. 29
Se da el punto M(10; 5 ) en la hipérbola
22 yx 180 20
. Calcular las ecuaciones de las rec-
tas, en las cuales están los radios focales del pun-to «M».
Calculamos a; b y c de la ecuación dada:
2 22 2
2 21 180 20y yx x
a b
2 280 4 5 20 2 5a a b b 2 2 2 2 80 20 10c a b c c
La hipérbola tiene por centro el origen de coor-denadas y su eje transverso está en el eje «x»,por lo tanto las coordenadas de los focos sonF1(10; 0) y F2(-10; 0).
Nos piden determinar las ecuaciones de las rec-tas que pasan por los radios focales F1M y F2M,lo que haremos por partes.
a) La recta que pasa por F1(10; 0) y M 10; - 5su pendiente no existe por lo tanto es una rectavertical cuya ecuación es L: x = 10.
b) La recta que pasa por F2(-10; 0) y M 10; - 5tiene por pendiente - 5/20, luego la ecuaciónes:
05' : 20 10
yL x
' : 4 5 10 0L x y
Luego, una asíntota tiene por ecuación:
y x y mx m4 43 3
Y como sabemos que la pendiente de la asínto-ta está dada por m = b/a = 4/3, asumimos:
b = 4k y a = 3k
Ahora, aplicando c a b2 2 2 se tiene:
k k k2 2 210 3 4 2Reemplazando obtenemos: a = 6 y b = 8
Finalmente la ecuación de la hipérbola es:
yx
a b
22
2 2H: 1 22
H: 136 64yx
Prob. 24
Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán situados en el eje de abscisas y son simétri-cos con respecto al origen de coordenadas, sa-biendo, además que la distancia entre las direc-trices es igual a 32/5 y el eje 2b = 6
De los datos se sabe que: 2b = 6 b = 3
Luego, según dato se sabe que la distancia entrelas directrices es 32/5, es decir:
2 22 32 16 ....(*)5 5a a cc
c b c c c2 2 216 1695 5Resolviendo la ecuación: c = 5
Reemplazando valores en (*): a = 4
Finalmente, la ecuación de la hipérbola es:
yx
a b
22
2 2H : 1 22
H : 116 9yx
Prob. 25
Determinar la ecuación de la hipérbola cuyos fo-cos están situados en el eje de ordenadas y sonsimétricos con respecto al origen de coordena-das. Además, que sus semiejes son a = 6; b = 18(«a» es el semieje situado en el eje de abscisas).
Si los focos están situados sobre el eje «y», en-tonces se trata de una hipérbola cuyo eje trans-verso se encuentra en el eje «y», de centro en elorigen de coordenadas.Además según dato del problema se sabe quea = 6 y b = 8, por lo que la ecuación de la hipér-bola tiene la forma:
y xa b
2 2
2 2H : 1 2 2
H : 136 324y x
Prob. 26
Dada la hipérbola 16x2 - 9y2 = 144, determina:a) Los semiejes a y b.b) La excentricidad.
La ecuación dada, la transformamos a la formaordinaria así:
y yx x
2 22 2916 144 1144 144 144 9 16
Se trata de una hipérbola cuyo eje transverso seencuentra sobre el eje «x» y cuyo centro es elorigen de coordenadas.
a) y yx x
a b
2 22 2
2 21 19 16
Identificando términos se tiene:
a a b b2 29 3 16 4
b) Se sabe que: c a b2 2 2
c c2 2 23 4 5
La excentricidad «e» está dada por: 53
ce a
Observa que la excentricidad de una hipérbolasiempre es mayor que 1 (e > 1).
Prob. 27
Dada la hipérbola 16y2 – 9x2 = 144, calcular:a) Los focos.b) Las ecuaciones de las directrices.
661Und. 11 Geometría Analítica660 Trigonometría
Prob. 33
Calcula la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán en el eje de abscisas y son simétricos conrespecto al origen de coordenadas, si se dan lospuntos M1(6; -1) y M2(-8; 2 2 ) de la hipérbola.
De acuerdo a los datos del problema, la ecuación
de esta hipérbola tiene la forma: 22
2 2 1yxa b
Como 1 2M 6; 1 y M 8; 2 2 pertenecen a lahipérbola, entonces deben satisfacer la ecuación:
2 2 2 236 1 64 81 1a b a b
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:2 232 8a b
Finalmente la ecuación de la hipérbola es:
22
H : 132 8yx
Prob. 34
Determina la excentricidad de la hipérbola, si elsegmento comprendido entre sus vértices se vedesde los focos de la hipérbola conjugada bajo unángulo de 60º.
Elaboramos el gráfico correspondiente, segúndatos del problema:
En la figura se reconoce el F2OV2 notable de30º y 60º. Luego se tiene:
3ce a
Prob. 35
Los focos de una hipérbola coinciden con los fo-
cos de la elipse 22 yx 125 9
. Determina la ecua-
ción de la hipérbola, si su excentricidad es e = 2.
De la elipse:
2 22 2
2 21 125 9y yx x
a b
2 2 2 2 225 ; 9a b c a b 2 25 9 4c c
Luego, los focos de la elipse son F1(-4; 0) yF2(4; 0) que también son los focos de la hipérbo-la, por lo tanto: c = 4.
Pero e = 2, entonces: c/a = 2
Luego: 4 2 2aa
Si a = 2 y c = 4, entonces 2 2 2b c a
Luego: 2 216 4 12b b
Finalmente la ecuación de la hipérbola:22
2 2 1yxa b
22
14 12yx
Prob. 36
Demostrar que el área del paralelogramo, limita-
do por las asíntotas de la hipérbola 22
2 2yx 1
a by las rectas trazadas por cualquiera de sus puntos
Prob. 30
La excentricidad de una hipérbola es e = 2; elradio focal de su punto «M» trazado desde uno delos focos es igual a 16. Calcula la distancia delpunto «M» a la directriz, unilateral a este foco.
Aplicando la propiedad referida a las distan-
cia r y d: r ed , donde: d(M; F) = 16 e = 2
Nos piden calcular: d(M; L) , por lo que reem-
plazamos en: r ed , así: 16/d = 2 d = 8
Prob. 31
La excentricidad de una hipérbola es e = 3/2; sucentro está en el origen de coordenadas y una desus directrices se da mediante la ecuación x = -8.Calcula la distancia del punto M de la hipérbola,de abscisa igual a 10, al foco correspondiente a ladirectriz dada.
De acuerdo a los datos del problema, un gráfi-co aproximado es el siguiente:
Nos piden calcular r1, aplicando la propiedadexpuesta en la teoría:
1 ....(*)r ex a
Sabemos que: x = 10 y e = 3/2
Además la ecuación de la directriz:2
' : 8 a ad x x c e
Reemplazando todo lo calculado en (*):
1 13 10 12 272r r
Por lo tanto la distancia del punto «M» de lahipérbola, de abscisa 10, al foco es 27.
Prob. 32
Determina los puntos de la hipérbola
22 yx 19 16
, cuyas distancias al foco derecho son
iguales a 7.
Se trata de una hipérbola de centro en el origeny eje transverso en el eje «x». De la ecuaciónvamos a calcular a, b y c.
2 22 2
2 21 19 16y yx x
a b
2 29 3 16 4a a b b
Ahora, calculamos la excentricidad: 53
ce a
Nos piden calcular M y M’, para lo cual aplica-mos la propiedad anterior: 1r ex a
Reemplazando: 157, y 33r e a , se tiene:
57 3 63 x x
Luego reemplazamos en la ecuación para cal-cular las coordenadas:
x = 6, en: 22
19 16yx y = ± 4 3
M 6; 4 3 M' 6; -4 3
663Und. 11 Geometría Analítica662 Trigonometría
Si los focos están situados en una recta parale-la al eje «x», entonces el eje transverso tambiénes paralelo al eje «x», y como las coordenadas
del centro son 0 0;x y entonces la ecuación es:
2 20 0
2 2 1x x y y
a b
Prob. 38
Determina la ecuación de la hipérbola, sabiendoque la distancia entre sus vértices es igual a 24 ylos focos son F1(-10; 2), F2(16; 2)
Si la distancia entre sus vértices es 24, enton-ces: 2a = 24 a = 12
Los focos son F1(-10; 2) y F2(16; 2) entonces elpunto medio de F1F2 es el centro de la hipérbo-la, es decir:
10 6 2 2C ; C 3; 2 C ;2 2 h k
Como los focos y el centro son colineales, en-tonces el valor de c lo calculamos así:
c = 16 -3 c = 13
Luego, calculamos b: 2 2 2b c a 2 2 213 12 5b b
Finalmente, la ecuación de la hipérbola es:
22
2 2H : 1y kx h
a b
22 23H : 1144 25
yx
Prob. 39
Determina la ecuación de la hipérbola si se conocesu excentricidad e = 5/4, el foco F(5; 0) y la ecua-ción de la directriz correspondiente 5x - 16 = 0.
De acuerdo a los datos, podemos deducir quese trata de una hipérbola de eje transverso si-tuado en el eje «x», de centro en el origen decoordenadas:
F(5; 0) c = 5
Además, la excentricidad es:
e = 5/4 5 54c ca
2 2 24 3a b c a b
La ecuación es 22
H : 116 9yx
Prob. 40
Determina los valores de «k» para los que la recta
5y x k2
corta a la hipérbola 22 yx 1
9 36.
Para que la recta corte a la hipérbola, resolve-mos el sistema de ecuaciones:
225: H : 12 9 36yxL y x k
22 5
2 19 36x kx
Reduciendo, resulta:
2 29 20 4 144 0 ....(*)x kx k
Para que la recta corte a la hipérbola, es decirsea secante, entonces se debe cumplir que eldiscriminantes de (*) tiene que ser mayor quecero:
2220 4 9 4 144 0k k
Reduciendo, resulta: |k|> 4,5
y paralelas a las asíntotas, es una cantidad cons-tante, igual a (ab)/2.
Graficamos la hipérbola, con sus asíntotas ylas rectas paralelas a estas, trazadas de un pun-to P(x1; y1) cualquiera de la hipérbola, determi-nándose el paralelogramo ORPQ.
Si la ecuación de la hipérbola es:
22
2 2H : 1yxa b
Las ecuaciones de sus asíntotas son:
'A A: :b bL y x L y xa a
Luego, hacemos que: m = b/a, entonces:
'A A: :L y mx L y mx
La recta LP es paralela a la recta LA. Si tienen lamisma pendiente m y el punto de paso es P(x1; y1)entonces determinamos su ecuación así:
LP : y = mx + y1 - mx1
Haciendo lo mismo, determinamos la ecuaciónde L’P obteniendo:
'P 1 1:L y mx y mx
Ahora, vamos a determinar las coordenadas R(punto de intersección de LP y L’P), resolviendoel sistema de ecuaciones de:
'A :L y mx '
P 1 1:L y mx y mx
De aquí obtenemos:
1 1
1 1 1 1
1 1
2;2 2
2
y mxx m y mx y mx
R my mxy
El área del paralelogramo ORPQ es dos veces elárea del triángulo ORP, calculemos dicha área:
1 1 1 1
ORP ORP
11
0 0OR1 1 2 2P2 2Q
00
y mx y mxmS S
yx
Calculando el determinante de esta matriz, ob-tenemos:
2 221 1
ORP ....(*)4m x y
S m
Pero 22
1 1 2 2P( ; ) H : 1yxx ya b
, y por tanto debe
satisfacer la ecuación. Luego:
x y by x ba b a
2 2 22 2 21 11 12 2 21
Pero: m = b/a 2 22 21 1y m x b
Reemplazamos en (*):
2 22 21 1
ORP 4m x mx b
S m
2 2
ORP 4 44 /b b abS m b a
Finalmente el área del paralelogramo es:
ORPQ ORP2 2 4abS S ORPQ 2
abS
Prob. 37
Determinar la ecuación de la hipérbola, si seconocen sus semiejes a y b, así como su centroC(x0; y0) y los focos están situados en una rectaparalela al eje Ox.
665Und. 11 Geometría Analítica664 Trigonometría
09.- Si la ecuación y2 = 4 – 6x determina una parábo-la, calcula las coordenadas de su vértice A, la mag-nitud del parámetro p y la ecuación de la directriz.
A) A(2/3; 0) ; p = 32 ; 6x – 13 = 0
B) A(1/3; 0) ; p = 2 ; 2x – 5 = 0
C) A(2/3; 0) ; p = 32 ; 6x – 11 = 0
D) A(1/3; 0) ; p = 2 ; 2x – 11 = 0
E) A(2/3; 0) ; p = 3/2 ; 6x + 5 = 0
10.- Sabiendo que y = -1/6x2 + 2x – 7 determina unaparábola, calcula las coordenadas de su vértice «A»y la magnitud del parámetro.
A) A(6; -1) ; p = 32 B) A(5; 3) ; p = 6
C) A(6; 1) ; p = 6 D) A(5; 3) ; p = 32
E) A(6; -1) ; p = 3/4
11.- Determina la ecuación de la parábola, si se dansu foco F(4; 3) y la directriz y + 1 = 0.
A) y = -1/2 x2 – x + 1 B) y = 1/4 x2 – x + 6
C) y = 1/8 x2 – 2x + 3 D) y = 1/8 x2 – x + 3
E) y = 1/4 x2 – x + 2
12.- Dado el vértice de una parábola A(6; -3) y laecuación de su directriz 3x – 5y + 1 = 0, calcula ellado recto de esta parábola.
A) 34 B) 2 34 C) 3 34
D) 4 34 E) 5 34
13.- Determina los puntos de intersección de la rec-ta 3x + 4y - 12 = 0 y la parábola y2 = -9x.
A) (-4; 6), la recta es tangente a la parábola.
B) (-2; 1) y (3; 5)
C) (-2; 3), la recta es tangente a la parábola.
D) (-3; 1) y (-6; 9)
E) (3; 5), la recta es tangente a la parábola.
14.- ¿Para qué valores de la pendiente «k», la rectaL: y = kx + 2 corta a la parábola y2 = 4x?
A) k < 1/2
B) k < 1/3
C) k < 1/4
D) k < 2
E) k < 3
15.- Determina la ecuación de la recta «L» que estangente a la parábola y2 = 8x y paralela a la rectaL: 2x + 2y – 3 = 0
A) x – y + 4 = 0 B) x – y – 2 = 0
C) x + y + 3 = 0 D) x + y + 2 = 0
E) x – y + 4 = 0
16.- Traza una tangente «L» a la parábola y2 = 12xque resulta ser paralela a la recta L’: 3x – 2y + 30 = 0.Calcular la distancia «d» entre esta tangente y larecta dada.
A) 2 7
B) 2 13
C) 4 5
D) 2 6
E) 5
17.- Desde el punto A(5; 9) se han trazado tangen-tes a la parábola y2 = 5x. Calcula la ecuación de lacuerda que une los puntos de contacto.
PARÁBOLA
01.- Calcula la ecuación de la parábola cuyo vérticeestá en el origen de coordenadas, sabiendo que laparábola está situada en el semiplano izquierdo, essimétrica con respecto al eje Ox y el módulo de suparámetro es | p | = 0,5.
A) y2 = -x B) y2 = -2x C) y2 = -4x
D) y2 = -x/4 E) y2 = -x/2
02.- Identifica la parábola cuya ecuación es: x2 = 5y
A) B)
C) D)
E)
03.- Calcula la ecuación de la parábola cuyo vérticeestá en el origen de coordenadas, sabiendo ademásque la parábola es simétrica con respecto al eje Oyy pasa por el punto C(1; 1).
A) x2 = y B) x2 = 2y C) x2 = 4y
D) x2 = y/2 E) x2 = -y
04.- Determina la ecuación de la parábola que tieneel foco F(0; -3) y pasa por el origen de coordenadas,sabiendo que su eje sirve de eje Oy.
A) x2 = 12y B) x2 = -12y C) x2 = -6y
D) x2 = 6y E) x2 = 5y
05.- Calcular el radio focal r del punto M de la pará-bola y2 = 20x, si la abscisa del punto M es igual a 7.A) 21B) 15C) 18D) 20E) 12
06.- Determina en la parábola y2 = 16x, los puntoscuyos radios focales son iguales a 13.A) (9; 12) y (9; -12) B) (9; 12) y (-9; 12)C) (9; 6) y (9; -6) D) (8; 12) y (-8; 12)E) (12; 9) y (-12; 9)
07.- Calcula la ecuación de la parábola, sabiendoque su vértice coincide con el punto (-3; 2), el pará-metro es igual a 6, el eje es paralelo al eje Ox y laparábola se prolonga indefinidamente en la direc-ción positiva del eje Ox.A) (y - 2)2 = 12(x + 3) B) (y + 2)2 = 6(x + 3)
C) (y - 2)2 = 12(x - 3) D) (y + 2)2 = 6(x - 3)
E) (y – 2)2 = 24 (x + 3)
08.- Calcula la ecuación de la parábola, sabiendoque su vértice coincide con el punto (2; -5), el pará-metro es igual a 3, el eje es paralelo al eje Oy y laparábola se prolonga indefinidamente en la direc-ción negativa del eje Oy (es decir, la parábola eshacia abajo).A) (x - 2)2 = -12(y - 5) B) (x + 2)2 = 6(y - 5)
C) (x - 2)2 = -12(y + 5) D) (x + 2)2 = -6(y + 5)
E) (x + 2)2 = 6 (y + 5)
667Und. 11 Geometría Analítica666 Trigonometría
23.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyos fo-cos están situados en el eje de abscisas y son simétri-cos con respecto al origen de coordenadas, sabien-do, además, que la distancia entre las directrices esigual a 222
13 y la distancia entre los focos 2c = 26.
A) 22
1144 5
yx B) 22
112 5
yx
C) 22
1144 25
yx D) 22
125 144
yx
E) 22
125 12
yx
24.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyosfocos están situados en el eje de abscisas y sonsimétricos con respecto al origen de coordenadas,sabiendo, además, que la distancia entre las directri-ces es igual a 8/3 y la excentricidad es e = 3/2.
A) 22
15 4
yx B) 22
14 15
yx
C) 22
19 10
yx D) 22
14 5
yx
E) 22
12 3
yx
25.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyosfocos están situados en el eje de ordenadas y son
simétricos con respecto al origen de coordenadas,sabiendo, además, que la distancia entre los focos2c = 10 y la excentricidad es e = 5/3.
A) 22
116 9
yx
B) 22
14 5
yx
C) 22
116 3
yx
D) 22
19 16
yx
E) 22
13 4
yx
26.- Dada la hipérbola 16x2 – 9y2 = 144, calcula losfocos y también las ecuaciones de las asíntotas.A) F1(5; 0) ; F2(10; 0) ; y = ±3/4 xB) F1(-5; 0) ; F2(5; 0) ; y = ±4/3 xC) F1(-3; 0) ; F2(3; 0) ; y = ±2/5 xD) F1(-5; 0) ; F2(5; 0) ; y = ±2/5 xE) F1(-4; 0) ; F2(4; 0) ; y = ±3/4 x
27.- Dada la hipérbola 16x2 – 9y2 = 144, determinalos semiejes a y b, y también la excentricidad.
A) a = 6; b = 8; e = 5/4 B) a = 4; b = 3; e = 4/5
C) a = 3; b = 4; e = 5/3 D) a = 3; b = 4; e = 2/3
E) a = 5; b = 12; e = 13/5
28.- Habiendo verificado que el punto M1(-5; 9/4)
está en la hipérbola 22
116 9
yx , determinar los ra-
dios focales del punto M1.
A) 124
; 1104
B) 3 ; 6
C) 152
; 183
D) 194
; 1104
E) 15 4 ; 18 5
A) 5x – 18y + 25 = 0 B) 3x – 11y + 20 = 0
C) 5x – 18y + 15 = 0 D) 3x + 11y - 20 = 0
E) 3x + 11y – 15 = 0
18.- Determina los puntos de intersección de la elip-
se 22
1100 225
yx y de la parábola y2 = 24x.
A) (0; -12) y (6; 12)
B) (2; 12) y (4; -12)
C) (6; 12) y (6; -12)
D) (6; 0) y (6; -12)
E) (3; 0) y (3; -4)
19.- ¿Cuál de los siguientes puntos no es un puntode intersección de las dos parábolas:
y = x2 – 2x + 1; x = y2 – 6y + 7?
A) (-1; 4)
B) (2; 1)
C) 3 13 7 13;2 2
D) 3 13 7 13;2 2
E) (1; 2)
20.- Desde el foco de la parábola y2 = 12x se hadirigido un rayo de luz hacia el eje Ox, formando conél un ángulo . Se sabe que tan = 3/4. Al llegar a laparábola se ha reflejado el rayo de ella. Calcula laecuación de la recta en la que está el rayo reflejado.
A) y – 18 = 0
B) x – y = 0
C) x – 5 = 0
D) x + 18 = 0
E) y + 2 = 0
HIPÉRBOLA
21.- Calcula la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán situados en el eje de abscisas y son simétri-cos con respecto al origen de coordenadas, sabien-do, además, que la distancia entre los focos 2c = 10y el eje 2b = 8.
A) 22
19 4
yx B) 22
116 9
yx
C) 22
14 9
yx D) 22
19 16
yx
E) 2
2 116yx
22.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyosfocos están situados en el eje de abscisas y sonsimétricos con respecto al origen de coordenadas,sabiendo, además, que la distancia entre los focoses 2c = 6 y la excentricidad es e = 3/2.
A) 22
19 5
yx B) 22
125 4
yx
C) 22
115 12
yx D) 2 2 1
4x y
E) 22
14 5
yx
669Und. 11 Geometría Analítica668 Trigonometría
A) 2b B) b C) 2a
D) a E) ab
37.- Determina la ecuación de la hipérbola, si se co-nocen sus semiejes 5a y 2b , así como sucentro C(1; 2) y los focos están situados en unarecta paralela al eje Oy.
A) 22 21 15 2
yx
B) 22 21 12 5
yx
C) 22 21 12 5
yx
D) 22 21 15 2
yx
E) 2 22 1 15 2y x
38.- Determina la ecuación de la hipérbola, sabien-do que los focos son F1(3; 4), F2(-3; -4) y la distanciaentre las directrices es igual a 3,6.
A) 24xy + 7y2 – 144 = 0 B) 15xy + 6y2 – 64 = 0
C) 12xy + 9y2 – 144 = 0 D) 24xy + 7y2 + 144 = 0
E) 12xy + 7y2 – 72 = 0
39.- Determina la ecuación canónica de la hipérbola,si se conoce su excentricidad e = 13/12, el focoF(0; 13) y la ecuación de la directriz correspondiente13y – 144 = 0.
A) 22
125 12
yx
B) 22
1144 5
yx
C) 22
-125 144 yx
D) 22
1144 25
yx
E) 22
116 81yx
40.- Determina los valores de «m» para los que larecta 5
2y x m sea tangente a la hipérbola:
221
9 36yx
A) m = ±3/2
B) m = ±3
C) m = ±2
D) m = ±1,5
E) m = ±4,5
01B
09A
17A
25A
33B
02C
10A
18C
26B
34B
03A
11D
19E
27C
35A
04B
12D
20E
28A
36B
05E
13A
21D
29B
37E
06A
14A
22E
30E
38A
07E
15D
23C
31A
39C
08C
16B
24D
32D
40E
29.- La excentricidad de una hipérbola es e = 3; ladistancia de un punto «M» de la hipérbola a la di-rectriz es igual a 4. Calcula la distancia del punto«M» al foco, unilateral a esta directriz.
A) 15 B) 12 C) 18
D) 16 E) 20
30.- La excentricidad de una hipérbola es e = 2; sucentro está en el origen de coordenadas y uno delos focos es F(12; 0). Calcula la distancia del puntoM1 de la hipérbola, de abscisa igual a 13, a la direc-triz correspondiente al foco dado.
A) 16
B) 11
C) 15
D) 13
E) 10
31.- Determina los puntos de la hipérbola:22
164 36
yx
cuyas distancias al foco derecho son iguales a 4,5.
A) (10; 9/2) y (10; -9/2) B) (6; 4) y (6; -4)
C) (3; 10/3) y (3; -10/3) D) (10; 5/2) y (10; -5/2)
E) (5; 9/2) y (5; -9/2)
32.- Por el foco izquierdo de la hipérbola:22
1144 25
yx
se ha trazado una perpendicular al eje que contienea los vértices. Determina las distancias de los focosa uno de los puntos de intersección de esta perpen-dicular con la hipérbola.
A) 1103
y 1124
B) 134
y 183
C) 195
y 165
D) 1 12 y 2612 12
E) 15 4 y 53 2
33.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyosfocos están en el eje de abscisas y son simétricoscon respecto al origen de coordenadas, si se da elpunto M1(-5; 3) de la hipérbola y la excentricidad es
2e .
A) x2 - y2/2 = 8
B) x2 - y2 = 16
C) x2 - y2 = 12
D) x2 - 2y2 = 4
E) 2x2 - y2 = 1
34.- Calcula la excentricidad de una hipérbolaequilátera.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 1/2 E) 22
35.- Calcula la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán en los vértices de la elipse:
221
100 64yx
y las directrices pasan por los focos de esta elipse.
A) 22
160 40
yx B) 22
130 10
yx
C) 22
115 70
yx D) 22
120 17
yx
E) 22
140 60
yx
36.- Determina la distancia del foco de la hipérbola22
2 2 1yxa b
, a su asíntota.
